Nghiên cứu bài toán Polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2014

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

2

Chương 1 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 6
1.1. Khái niệm Polaron ……...……………………………………………… 6
1.1.1. Polaron bán kính lớn .................................................................. 8
1.1.2. Polaron bán kính nhỏ ................................................................. 9
1.2. Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể …………………...…… 11
1.3. Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thông thường ………...…. 15
1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc nhất ……………………...…… 17
1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc hai …..…………………...…… 17
1.3.3 Năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của
Polaron …………………………………………………………………………… 19
Chương 2 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22
Chương 3 – Năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất. Khối lượng
hiệu dụng của Polaron

30

3.1. Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân không ………...…..30
3.2. Năng lương trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron …..35
3.3. Gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng ………………………………..39
KẾT LUẬN

44

TÀI LIỆU THAM KHẢO

45

1


MỞ ĐẦU
Khái niệm polaron đầu tiên được L.D. Landau giới thiệu trong một bài báo
rất ngắn /16/, sau đó được phát triển bởi S.I. Pekar/20/, ông đã nghiên cứu các tính
chất cơ bản nhất của polaron tĩnh trong trường hợp giới hạn của tương tác electronphonon rất mạnh, để hành vi của polaron có thể được phân tích trong gần đúng đoạn
nhiệt.
Nhiều nhà nghiên cứu nổi tiếng khác, trong đó có H. Fro¨hlich/14/, R.
Feynman/11/ và N.N. Bogolyubov /8/, đã đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết
polaron sau này. Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm trong thực
nghiệm cũng như lý thuyết: nó mô tả các tính chất vật lý của các hạt mang điện
trong các tinh thể có cực và các bán dẫn ion và, cùng lúc đó, nó biểu hiện một mô
hình đơn giản nhưng hiệu quả trong mô hình lý thuyết trường của một hạt tương tác
với trường boson vô hướng.
Mô hình Polaron mô tả tương tác của hạt phi tương đối tính với trường lượng
tử vô hướng là một trong những mô hình cơ bản đơn giản, quan trọng trong việc
vận dụng các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/.
Có rất nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu mô hình Polaron. Bằng
phương pháp nhiễu loạn thông thường ta tính được năng lượng trạng thái cơ bản và
khối lượng hiệu dụng của Polaron/12, 14, 16/, tuy nhiên việc tính toán các bổ chính
bậc cao gặp khó khăn. Trong rất nhiều phương pháp của lý thuyết trường lượng tử
cho bài toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra là phương pháp hữu hiệu.
Einstein và Smolykhovski là những người đầu tiên đã đưa khái niệm tích
phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi là tích phân đường hay tích phân theo
quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động của hạt Brown, song cơ sở toán học

chặt chẽ của khái niệm này lại dựa vào các công trình nghiên cứu của Weiner (trong
toán học người ta gọi là tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm)/7/.

2


Khái niệm tích phân qũy đạo là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các vấn đề
vật lý lý thuyết. Feynman là người đầu tiên đã sử dụng nó để xây dựng một cách
phát biểu mới cho cơ học lượng tử /3, 9/. Nền tảng chủ yếu của phương pháp này là
dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất của phép dời chuyển lượng tử của hệ từ
trạng thái đầu |i đến trạng thái cuối |f được xác định bởi tổng hay tích phân)
theo tất cả các quỹ đạo khả dĩ trong không gian pha của biểu thức exp  S[ x(t )]
i




trong đó S[ x(t )] là hàm tác dụng cổ điển”. Feynman cũng là người đầu tiên áp
dụng phương pháp này vào lý thuyết trường lượng tử tương đối tính. Thành tựu to
lớn của phương pháp tích phân phiếm hàm là phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman
được sử dụng trong Điện động lực học lượng tử (QED) trước đây và việc lượng tử
hóa các lý thuyết trường chuẩn sau này.
Bài toán Polaron đã được Feynman nghiên cứu đầu tiên /11/ bằng phương
pháp biến phân, trong đó mức năng lượng của trạng thái cơ bản đã được đánh giá
cho trường hợp liên kết yếu.
Mục đích của bản luận văn là phát triển nghiên cứu của Feynman, tính năng
lượng trạng thái cơ bản, và bổ chính năng lượng bậc nhất của nó, khối lượng hiệu
dụng của Polaron bằng phương pháp tích phân phiến hàm. Các tích phân phiếm
hàm được tính toán nhờ phương pháp gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần
đúng eikonal trong lý thuyết tán xạ lượng tử.

Nội dung của luận văn bao gồm ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông
thƣờng
Mô hình Polaron trong mạng tinh thể được trình bày trong mục (1.1). Từ
mô hình đó chúng tôi xây dựng biểu thức cho Hamiltonian của hệ electron - phonon
trong mạng tinh thể (1.2). Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường ta tính được

3


năng lượng cơ bản, bổ chính của nó, và khối lượng hiệu dụng của Polaron trong
trường hợp liên kết yếu (1.3).
Chương 2: Bài toán Polaron trong khuôn khổ phƣơng pháp tích phân
phiếm hàm.
Tích phân phiếm hàm trong luận văn được đưa vào giải bài toán Polaron khi
tuyến tính hóa toán tử Laplace :
∫

[ ∫

]

Biến số s trong hàm mũ, được coi như chỉ số trật tự ( như thời gian trong T – tích ).
Thừa số mũ exp[ ∫

] được coi như T – tích hay Ts exponent. Việc chuyển từ

T- tích sang N - tích không thể thực hiện được nêu không khai triển thành chuỗi của
lý thuyết nhiễu loạn, lý do trong thừa số hàm số mũ chứa toán tử phi tuyến
.

Ta chỉ có thể thực hiện phép biến đổi
[ ∫

]

∫

∫⃗⃗⃗

…

Phương trình cho hàm Green tổng quát của mô hình Polaron (cụ thể xét mô hình
tương tác của hạt vô hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường ngoài – (nếu
trường ngoài lượng tử hóa, sẽ là tập hợp các phonon) được dẫn ra ở chương 2.
Chương 3: Năng lƣợng và bổ chính bậc nhất cho trạng thái cơ bản, và
khối lƣợng hiệu dụng của Polaron.
Sử dụng hàm Green thu được ở chương 2, ta tìm giá trị trung bình của hàm
Green trong trạng thái chân không trong gần đúng quỹ đạo thẳng ở mục (3.1). Sử
dụng kết quả này để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và tính khối lượng hiệu dụng

4


của Polaron trong mục (3.2). Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ
bản được trình bày trong mục (3.3).
Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả chung thu được trong
luận văn và thảo luận.

5

Chƣơng 1 BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ
LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƢỜNG
1.1. Khái niệm Polaron
Electron trong vật rắn là chuẩn hạt và chiếm các trạng thái đơn electron
trong mô hình vùng năng lượng. Phonon cũng là một chuẩn hạt mô tả các dao động


mạng. Số các Phonon của các trạng thái riêng biệt được đặc trưng bởi véctơ sóng q


và nhánh j của phổ tán sắc  j q  .
Tương tác electron – Phonon thể hiện qua việc sinh (phát) hoặc huỷ (hấp thụ)
Phonon với sự biến đổi đồng thời trạng thái lượng tử
k  q, 

k ,

sang trạng thái

. Trong mạng tinh thể phức tạp, các nguyên tử cơ sở có các điện tích khác

nhau như các tinh thể Ion thì sự phân cực sẽ liên kết với các dao động quang của
mạng và sự phân cực này dẫn đến tương tác mạnh của electron với các Phonon
quang. Trong tinh thể Ion do

tương tác Co lom m electron phân c c môi

trường xung quanh mình. S phân c c này làm biến dạng mạng, nghĩa là kích
thích các Phonon quang. Trong các tinh thể Ion, một số nguyên tử mang điện tích

dương trong khi một số khác lại mang điện tích âm. Một Phonon quang có các Ion
khác nhau dao động khác pha. Khi các Ion âm và các Ion dương dao động theo
hướng ngược nhau, chúng thiết lập một trường lưỡng cực phân cực. Sự phân cực
hoá gây ra trường điện làm tán xạ các electron. Trường điện đó là nguồn liên kết có
cực, electron và sự phân cực mạng (biến dạng mạng) liên kết với nhau tạo thành
một chuẩn hạt được gọi là Polaron. Mô hình mô tả Polaron phụ thuộc vào sự biến
dạng mạng truyền trong môi trường hoặc trực tiếp bao quanh electron với một
khoảng vài hằng số mạng (Polaron bán kính nhỏ) hay trên một số lớn hằng số mạng
(Polaron bán kính lớn) .
Khi có electron chen thêm vào giữa các nút mạng thì các Ion nằm ở các nút
mạng bị lệch khỏi vị trí cân bằng của mình do lực hút hoặc lực đẩy tĩnh điện. Từ

6


đây thấy rằng khi electron thêm vào này chuyển động thì các Ion nằm ở các nút
mạng cũng phải dao động theo một cách tương ứng làm xuất hiện các Phonon.
Polaron là khái niệm để chỉ electron nằm giữa các nút mạng cộng với đám
mây phonon (có thể gồm 1,2,3 hoặc nhiều Phonon) bao bọc xung quanh nó. Như
vậy có thể nói một cách đơn giản rằng Polaron là electron “Mặc áo” Phonon v
các tính chất của một electron khoác thêm áo như vậy trong nhiề trường hợp
khác hẳn với các tính chất của electron “Trần trụi” cụ thể là:
(1) Polaron được sinh ra do tương tác tĩnh điện giữa electron và mạng tinh
thể, do đó tinh thể phải là tinh thể Ion thì Polaron ở đó mới khác nhiều so với
electron vì tương tác này lúc đó mạnh hơn nhiều so với tinh thể đồng hoá trị hoặc
các loại tinh thể khác.
(2) Polaron xảy ra chủ yếu trong tinh thể Ion mà tinh thể Ion là chất cách
điện, do đó về cơ bản Polaron chỉ có mặt trong các tinh thể cách điện.
(3) Polaron xảy ra không phải chỉ với electron mà còn có thể xảy ra với cả lỗ
trống.

(4) Để có Polaron xuất hiện các Ion của mạng tinh thể phải bị dịch chuyển,
do đó so với electron thì Polaron có độ ì (quán tính) hay nói cách khác là khối
lượng hiệu dụng lớn hơn nhiều. Polaron thậm chí có thể nặng đến mức bị bắt giữ
(định xứ tại một vị trí nào đó trong tinh thể) không chuyển động được. Về sự bắt
giữ của Polaron có thể nói thêm như sau:
- Sự bắt giữ Polaron thường xảy ra trong các tinh thể Ion phân cực mạnh, ví
dụ như các tinh thể kiềm – halogen, hoặc bạc – halogen.
- Lỗ trống hay bị bắt giữ hơn electron, hầu như trong tất cả các tinh thể kiềm
- halogen và bạc - halogen lỗ trống đều bị bắt giữ.

7


* Mô hình Polaron là mô hình nghiên cứu sự tương tác của electron với
phonon.
Hamilton Polaron Frohlish là mô hình để cho tương tác Coulomb của electron
với các phonon của tinh thể ion.
electron

Thuyết cổ điển

Thuyết lượng tử

Tương tác

electron

Trong trường điện
từ

electron + phonon

Giữa electron và
phonon

“electron”

Trong mạng tinh
thể

“electron” +
phonon

Giữa “electron” và
phonon

electron

Trong chất rắn

Electron + phonon

electron

Trong kim loại

Electron + phonon

Giữa electron và
phonon

Giữa electron và
phonon

Điện động lực học
lượng tử

1.1.1. Polaron bán kính lớn
Lớp dáng điệu đầu tiên là chuyển động polaron lớn. Nó xuất hiện khi độ
rộng dài zj lớn, trong đó z là số toạ độ. Khi độ rộng dài lớn, Hamilton được giải
trong không gian vector. Biến đổi để tập các toạ độ
Ck 

1
N

C e

ik . R j

(1.1)

j

j

H  zj   k CkCk   q aq aq   Ck qCk M (k .q)(aq  aq )
k

k 

q

(1.2)

kq

1
eik .

z 

(1.3)

M (k.q)  X q {D1  D2ˆq .F (q)  D3ˆq [ F * (k  q)  F * (k )]}

8

(1.4)


F (k )    eik .  i k

(1.5)



Trong đó:  q là vector đơn vị phân cực hoá phonon.
Tương tác electron – phonon có dạng thông thường, ngoại trừ yếu tố ma trận
M (k.q) phụ thuộc vào k cũng như q. Sự phụ thuộc vào k là do sự nhảy biến điệu

của phonon. Phần này sẽ được bỏ qua ( D3  0 ), vì vậy yếu tố ma trận electron –
phonon M (q)  M q chỉ phụ thuộc vào q.
Tổng theo vector sóng đối với các hạt chỉ mở rộng qua vùng Brillouin. Trong mô
hình thực của vật rắn, sẽ có rất nhiều dải được lấy tổng. Đối với độ rộng dải lớn, hạt
sẽ giam giữ chuyển động của nó để cho các trạng thái ở gần đáy của dải. Đối với j
âm, đáy của dải xuất hiện ở k = 0. Khai triển

k

xung quanh k = 0 và tìm được

2
trong tinh thể lập phương  k  zj (1  (k ) / 6) , vì thế hạt có khối lượng hiệu dụng

m* mà 1/ m  z j  / 3 . Nếu độ lớn liên kết Polaron M q , Hamilton này có thể cho
2

bởi lý thuyết liên kết yếu. Những thay đổi này (trong mô hình liên kết chặt) phải
tương xứng với thay đổi trong độ rộng dải. Năng lượng tự trao đổi Polaron theo lý
thuyết nhiễu loạn Rayleigh – Schrodiger bậc nhất là :
(1)

 (k )   M
RS

q

2
q

{

N q  1  nF ( k  q )

 k   k q  q



N q nF ( k  q )

 k   k q  q

}

(1.6)

Các biểu thức tích phân theo vector sóng là rất khó tính toán đối với hầu hết các
dạng của M q2 , bởi vì các mẫu số năng lượng có các biểu thức bất thuận lợi

 k q  zJ  k q . Các kết qủa số đã thu được trong trường hợp một chiều
1.1.2. Polaron bán kính nhỏ
Tiếp theo chúng ta xem xét trường hợp giới hạn Hamilton Polaron nhỏ. Hiệu
ứng Polaron được giả thiết là nổi trội và độ rộng dải là hẹp. Bức tranh vật lý là hiệu
9


ứng Polaron định vị một hạt trên ô mạng và hiện tượng nhảy từ ô mạng này sang ô
mạng khác xuất hiện một cách không thường xuyên. Phần liên kết chặt chính là
nhiễu loạn, trong khi phần tương tác phonon – hạt lại lớn. Hamiltonan được giải
trong không gian cho các hạt mà không sử dụng đến các toạ độ tập hợp. Bước đầu

tiên là áp dụng biến đổi chính tắc làm chéo hoá hai phần cuối trong Hamiltonian.
Biến đổi chính tắc có dạng :
% es He s
H

S   n j e

(1.7)

iq. R j

jq

M (q)

q

(aq  aq )

(1.8)

H% J  C j  C j X j  X j   q aq aq   n j
j


q

q

M (q) 2

(1.10)

q

X j  exp[ e

(1.9)

j

iq. R j

M (q)

q

q

(aq  aq )]

(1.11)

 là năng lượng tự trao đổi Polaron. Các thừa số X j xuất hiện từ biến đổi chính

tắc các toán tử esC j e s  C j X j . Toán tử số hạt n j  C j C j giao hoán với S và không


bị ảnh hưởng bởi phép biến đổi. Nhưng thành phần liên kết chặt JC j  C j sinh ra

thừa số X j  X j . Thành phần đầu tiên không thể giải chính xác được, vì vậy phép
biến đổi chính tắc đã không thể làm chéo hoá Hamilton này được. Trạng thái riêng
và các mức năng lượng của H% cũng như của H. Sử dụng biểu diễn tương tác ta đặt
H% H 0  V .

H 0   q aq aq   n j

(1.12)

V  J  C j  C j X j  X j

(1.13)

q

j

j

10


Những thành phần trong thừa số X j  X j có thể kết hợp được vì chúng giao
hoán. Cũng giả thiết là M *q  M q .
X j  X j  exp[ e

iq. R j

(1  eiq. )

q

M (q)

q

(aq  aq )]

(1.14)

Việc kết hợp hai thừa số sẽ làm đơn giản dạng của toán tử này để thực hiện
điều mong muốn cho các toán tử phonon. Nhiễu loạn V mô tả hiện tượng nhảy của
Polaron từ ô mạng R j tới ô mạng lân cận R j   . Biên độ của quá trình này là :
J f X j  X j i

(1.15)

Trong đó: i , f mô tả các trạng thái ban đầu và cuối cùng của phonon trong
quá trình dịch chuyển. Vì thừa số X j  X j cho phép các phonon được hình thành
hoặc bị huỷ cho nên ở các trạng thái i , f

có thể có số lượng phonon khác nhau.

Hiệu ứng Polaron làm giảm độ rộng dải một thừa số exp(- S ). Khối lượng hiệu
dụng tăng lên cùng một lượng. Trong khuôn khổ Holstein, nhảy chéo đóng góp vào
phần ảo.
Dáng điệu Polaron lớn xuất hiện khi các chuyển dịch chéo chi phối.
Dáng điệu Polaron nhỏ, với nhảy khuyếch tán, xuất hiện khi các dịch chuyển
không chéo chi phối (xem [3,9]).
1.2. Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể

Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể có thể biểu diễn dưới dạng:
H = H0 + Hint = H0 + U

(1.16)

Trong đó H0 : Hamiltonian tự do, nó bao gồm động năng của electron và năng


lượng của các phonon, còn Hint = U( r ) : Hamiltonian tương tác của electron vơi
11


phonon. Mạng tinh thể được xem như tập hợp các dao động tử điều hòa. Khi đó
Hamiltonian tự do H0 có thể biểu diễn dưới dạng sau:
∑

∑

Hay
Trong đó,

,

(1.17)

là các toán tử sinh và toán tử hủy lượng tử (các phonon) cùng với

véctơ sóng ⃗ , sao cho:
[

,

]=

(1.18)

là tần số dao động mạng
là khối lượng hiệu dụng của electron
r là toán tử tọa độ của electron
là toán tử Laplace
Trong biểu thức Hamiltonian tự do H0, số hạng thứ nhất trong công thức (1.17)
tương ứng với động năng electron, số hạng thứ hai là năng lượng của các lượng tử
của trường ngoài, trong mạng tinh thể chúng là các phonon.


Thành phần Hamiltonian tương tác giữa electron vói trường ngoài U( r ) – trường
của mạng tinh thể trong công thức (1.2) thỏa mãn phương trình cổ điển:

r

Trong đó,




r

(1.19)

 ( r ) là mật độ điện tích phụ thuộc vào sự phân cực ⃗

trình:
(1.20)

12

theo phương


Phân tích véctơ phân cực ⃗
⃗ ( r )=  '

theo các sóng phẳng ta có:





d 3k 3
ikr

ikr *
b
(
k
,
a
)
e
e


b
(
k
,
a
)
e
e k ,a

k ,a
 (2 ) 3 a1



là toán tử sinh phonon, α’ là hằng số thực liên quan đến điện mối

Trong đó

thẩm thấu của môi trường.
Mật độ điện tích sẽ được biểu diễn dưới dạng:




d 3k  3
ikr

ikr *
'

k
b
(
k
,
a
)
e
e

b
(
k
,
a
)
e
e k ,a
 (r )  .P(r )  i  

k
,
a
(2 ) 3 a 1





Một cách gần đúng có thể coi chỉ có mode dao động với véc tơ đơn vị phân cực dọc

theo ⃗ cho đóng góp đáng kể vào

 ( r ), bỏ qua các mode dao động khác. Khi đó ta

có:


 (r )  i ' 


d 3 k  ikr
k bk e  bk e ikr
3
(2 )





(1.21)

Thay biểu thức (1.21) vào (1.19) ta được Hamiltonian tương tác của hệ electron –
phonon :


U( r )  ie ' 
1

= i( 2 ) (
2





d 3k 1
ikr
  ikr
b
e

b
e
k
k
(2 ) 3 k

3 3



)

1

4






d 3 k 1  ikr
ikr
 (2 ) 3 k bk e  bk e



(1.22)

ở đây α là hằng số không thứ nguyên.
3
i  2 2 2 
Nếu đặt gAk=  

k  V  

1/ 2

,  k  .

(1.23)

13


Chuyển đến giới hạn thể tích vô cùng lớn và thay thế việc lấy tích phân bằng phép
lấy tổng theo công thức sau:
∫ ⃗

∑

(1.24)

Cuối cùng ta nhận được:




U(r) = g  ( Ak eikr bk  Ak*e ikr bk ) ,

(1.25)

k

Trong đó: Ak là các thành phần Fourier của mật độ dòng, g là hằng số liên kết.
Vậy bài toán dẫn đến việc xác định tính chất của hệ với Hamiltonian
1 2
H=
P +
2

1
  k (bk bk  bk bk )
2 k

 5 3 

i( 2 ) 
  

1

+

2

1

4

 k b
1


k





e ikr  bk e ikr



k

(1.26)
Hay viết
∑

∑ (

⃗

⃗

)(1.27)

Việc tìm năng lượng trong trường hợp liên kết yếu (g<<1) về nguyên tắc
không khó khăn. Trường hợp liên kết mạnh phức tạp hơn nhiều… tồn tại một lập
luận, có thể được dùng làm cơ sở cho phương pháp lặp. trong trường hợp liên kết
mạnh (g>>1) có thể bỏ động năng của các dao động tử của trường tự do.
Khi đó vai trò của trường này sẽ là thế năng cổ điển hiệu dụng1. Thế năng
này không nhỏ, vậy các bổ chính liên quan với thế năng này là các trường có bản
chất lượng tử, và ta có thể tính bổ chính này bằng lý thuyết nhiễu loạn.
Sau đây ta sẽ vận dụng biểu thức Hamiltonian ở (1.26) để giải quyết bài toán
POLARON

14


1

Các tọa độ và xung lượng của trường lượng tử này
⃗

√

,

⃗

,

√

[

⃗

⃗⃗⃗⃗

]

⃗ ⃗⃗⃗⃗

(a)

Hamiltonian sẽ có dạng
⃗

√ ∑⃗

∑⃗

(b)

Nếu bỏ thành phần cuối trong ngoặc của số hạng thứ ba, từ phương trình chuyển
động Heisenberg ta có
⃗

⃗

(c )
Và trong gần đúng bậc nhất
√ ∑⃗
ở đây

⃗

⃗

∑⃗

(d)

là thành phần cổ điển lớn nhất của các toán tử mà nó được xác định

từ điều kiện tối thiểu của năng lượng. (Xem thêm các công trình của N.N.
Bogoliubov đã dẫn về vấn đề này)
Vấn đề Polaron không đặc biệt quan trọng, nhưng lý thú ở chỗ nó sẽ đưa
đên một bài toán vật lý toán nào đó. Phương pháp giải bài toán này cũng có thể sử
dụng để giải bài toán tương tự. Bài toán Polaron có thể giải theo những cách khác
nhau. Trước tiên để đơn giản ta giải quyết bài toán Polaron trong trường hợp liên
kết yếu α và sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường.

15


1.3. Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thông thƣờng.

Để cho hằng số liên kết yếu α ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường. Theo
(1.16) Hamiltonian được viết dưới dạng tổng


H = H0 + U( r )


Trong đó U( r ) là toán tử nhiễu loạn bổ ung vào toán tử không nhiễu loạn H0 và
không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Hamiltonian của hệ thỏa mãn phương
trình Schrodinger dừng:
H  (n)  E (n)  ( n)

(1.28)

Trong đó E (n ) và  (n ) là giá trị năng lượng và trạng thái riêng của hệ ở trạng
thái n
Để thuận tiện trong mục này ta chọn hệ đơn vị   c      1
Khi đó ta có:
1
2

1
2

HO= P 2 +   (bk bk  bk bk )
k

U(r) = i( 2 )

1

2

 k b
1


k





e ikr  bk e ikr



là Hamiltonian tự do(1.29)

- là Hamiltonian tương tác (1.30)

K

Các giá trị riêng và các hàm riêng của HO nhận được từ lời giải phương trình:
H O 0( n)  E0( n) 0( n ) ( đã có lời giải chính xác). Hệ các hàm riêng {

} ở đây là một

tập hợp đủ trực chuẩn với nhau theo /1/.
Để thuận tiện ta viết:

H= HO+ ε U

(ε là hằng số vô cùng bé, sau khi tính

xong đặt ε = 1)
Khai triển năng lượng của hệ dưới dạng chuỗi luỹ thừa :
E(n)= E0(n) + ε E1(n) + ε2 E2(n) +…

=
16

E0(n) +  E0

(1.31)


E0(n) bao gồm động năng của electron tự do và năng lượng của trường lượng
tử phonon.
Ta quan tâm tới việc xác định năng lượng nhiễu loạn E0 nảy sinh khi tính
đến tương tác với các dao động mạng, khi đó năng lượng nhiễu loạn theo /1/:
|

∑

và

(1.32)

⟨ | | ⟩ - là phần tử ma trận đối ứng của

∫

Trong đó

|

năng lượng nhiễu loạn bổ xung, | m  và | n  - là các trạng thái riêng của H 0 .
Eo(n) là trị riêng H 0 ứng với trạng thái

|n .

1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc nhất
Để đơn giản ta xét trạng thái | n  không phonon, ký hiệu 0
U nn  0 i( 2 )

1

2

 k b
1


k





e ikr  bk e ikr



0

k

= i( 2 )

1

2

0

 k b
1


k







e ikr  bk e ikr 0

k

Ta luôn có : bk 0  0 và bk 0  0 bk  0 do đó

U nn  0

(1.33)

Khái quát lên, do U tương tác lên trạng thái sẽ làm thay đổi số phonon, nên số hạng
chéo U nn  0 Như vậy, ta quan tâm đến năng lượng của electron chuyển động tự do
với xung lượng

⃗

⃗

và năng lượng

. Bổ chính năng lượng trong gần đúng

này
1.3.2 Tính số hạng nhiễu loạn bậc hai
Xét giản đồ bậc 2 được biểu diễn bằng giản đồ trên (H.1) .

17


Trạng thái đầu có | n  electron với xung lượng P và không có phonon.

⃗

⃗

⃗
(H.1)
⃗

Trong trạng thái trung gian có electron với xung lượng ⃗

⃗ ) và pho non cùng với

xung lượng ⃗ . Vì thế cho nên , các năng lượng EO(n ) và EO(m ) được mô tả bằng các
biểu thức:
E

(n)
O

P2

2

E0( m ) 

(1.34)

(P  k ) 2
1
2

ở đây xuất hiện số hạng “1” trong biểu thức để cho En0 là năng lượng phonon.
Trong hệ đơn vị đã được lựa chọn của chúng ta.
Xét yếu tố ma trận:
Umn= i( 2 )

1

2

m

1

 k (b


k





e ikr  bk e ikr ) P,0

(1.35)

k

r

Trong đó 0 trong trang thái | n  = | P, 0  có nghĩa là không có phonon.

18


Yếu tố ma trận này khác không chỉ khi trong trạng thái | m  có một electron với
r

xung lượng P và phonon.
Nếu xung lượng của phonon bằng ⃗ , thì :
Umn=i( 2 )


1


1
P ' ,0 e ikr P,0
k

2

 



r

nên xung lượng P bằng ⃗

Vì e iKr P  P  k

Umn=i( 2 )

1

ở đây  P , P k = 1 
|

|

1
 '
k P ,P k

Umn=i( 2 )

'

∑

2

√

⃗ ) vì chúng ta giả thiết

1

2

1
k

∑

(1.36)

Thừa số bổ xung 2 xuất hiện là do khi tính spin của electron, nên sẽ có hai
trạng thái trung gian với xung lượng ⃗

⃗)

1.3.3 Năng lƣợng trạng thái cơ bản và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron.
Tổng quát hóa công thức (1.36) cho trường hợp ba chiều và viết tổng dưới dạng
tích phân, ta tìm đươc:

E0  2 2 

d 3k
(2 ) k 2 (k 2  2 P.k  2)
2

(1.37)

.
3

Sử dụng đồng nhất thức feynman
1

1
dx

ab 0 ax  b(1  x)2

(1.38)

19


Đặt b=k2 và a=k2 - 2P.k + 2 có thể viết (1.37) thành
1

d 3k
E0  4 2 
(2 ) 3 0
1

dx
[ x(k  2 P.k  2)  (1  x)k 2 ]2
2

d 3k
1
3
2
(2 ) [k  2 xP.k  2 x]2

 4 2  dx 

0
1

d 3k
1
3
2
(2 ) [(k  xP ) .  (2 x  x 2 P 2 )]2

 4 2  dx 
0

Đổi biển k -> k-xP
Sử dụng tích phân Feynman
d 3k
1
1
 (2 ) 3 (k 2  a) 2  8 a

(1.39)

Ta tìm được
1

dx

E0  4 2 

8 2 x  x 2 P 2

0

E0  

2
P

arcsin

  2 / P. arcsin

P
2

P

(1.40)

2

 Nếu xung lƣợng P  0 thì công thức (1.40) cho
E0  

2 P

 
P
2

(1.41)

Thực hiện tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn với các số hạng cao hơn
/2/ thì hệ thức (1.41) có dạng:


EO    1,26( ) 2
10

(1.42)

20


Năng lượng nhiễu loạn này tương ứng với electron đứng yên( bỏ qua sự giật lùi do
tương tác).
 Nếu xung lƣợng P là nhỏ
khai triển hàm arcsin
EO  

P
2

khi đó (1.40) viết dưới dạng:

2 P 1 P 3
P 2


(
)


...




 ...

P  2 6 2
12


( 1.43)

Kết hợp năng lượng nhiễu loạn cùng với động năng , thì đối với tổng năng lượng ta
thu được
E

P2
P 2
P2
 
 ... 
   ...
2
12
2(1   )
6

(1.44)

Biểu thức ( 1.44) chỉ ra rằng do tương tác với phonon khối lượng của electron tăng

1   6 

lần. Như vậy khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng:

 HD

 
 1    HD   1  

6
6


(1.45)

Trên đây chúng tôi đã trình bày lời giải bái toán Polaron bằng lý thuyết
nhiễu loạn, tuy nhiên sử dụng phương pháp này ta chỉ th được kết quả một cách
rời rạc và việc tính các số hạng bổ chính bậc cao là phức tạp.
Phương pháp tích phân phiếm hàm cho phép tìm biểu thức tổng quát của hàm
Green, thuận tiện vượt khỏi khuôn mẫu của lý thuyết nhiễu loạn.

21


Chƣơng 2
BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ
PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

 Tìm Hàm Green
Ta sẽ sử dụng Hamoltonian (1.11) để tìm biểu thức cho hàm Green của hệ. Đối
với bất kỳ hệ vật lý nào, hàm Green là một lượng vật lý quan trọng. Nó mô tả tương
tác của hệ và cho phép ta tìm các đại lượng vật lý cơ bản khác như năng lượng,
xung lượng, biên độ tán xạ... Vì thế, đối với mô hình tương tác của hạt vô hướng
phi tương đối tính với trường ngoài, ta cũng sẽ đi tìm biểu thức cho hàm Green.
Trong chương này, ta sẽ tìm hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm.
Để thuận tiện trong mục này ta chọn hệ đơn vị   c  1
Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu bài toán tìm hàm Green trong P-biểu diễn,
khi xung lượng toàn phần của hệ có dạng:



P  i r   k bk bk ,

(2.1)

k

và là c-số. Do bất biến tịnh tiến, toán tử (2.1) giao hoán với Hamiltonian. Sử
dụng phép biển đổi chính tắc Bogoliubov:




bk   k  eikr bk

bk   k  e ikr bk ,






 i r  P   k  k k ,




k ,  k   kk ' ,

(2.2)

k

đưa hệ Hamoltonian (1.12) tới dạng
1 
2



H ( P   k  k k ) 2 
k

1
k ( k k   k k )  g  ( Ak  k  Ak* k )

2 k
k

(2.3)

22


Hàm Green2 của hệ tương ứng với Hamiltonian (2.3) trong biểu diễn xung
lượng được xác định bởi phương trình:
(H-E)G = 1,

(2.4)

Sử dụng biểu diễn toán tử ngược do Fock-Feynman đề xướng


1
 i  dseiHs ,
H
0


ta có:

G=

1
 i  dsei ( H  E ) s .
H E 0

(2.5)

Do phổ toán tử H là thực nên để đảm bảo sự hội tụ của tích phân theo s ta thêm vào
một phần ảo vô cùng bé – i0 đồng thời đổi biên s-




0

0

G=  i  de i ( H  E i 0)  i  de i ( E i 0)G ,

(2.6)

Trong đó G thỏa mãn phương trình:
i


G  HG , G 0  1 .


(2.7)

Ta có biểu thức cho G:
G

=

 i
i

exp  ( P   k k k ) 2 
2
k
 2


k

k


( k  k   k k )  ig  ( A k  k  Ak* k )
k


(2.8)

2

Muốn xây dựng hàm Green cho Hamiltonian (2.3) đại lượng cần tìm là

23