Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử

Đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên


nguyễn nh xuân


ứng dụng phơng pháp tích phân
phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề
tơng tác của lý thuyết trờng lợng tử

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 01


tóm tắt Luận án tiến sĩ vật Lý


Hà Nội - 2008


Công trình đợc hoàn thành tại: Bộ môn Vật lý lý thuyết -
Khoa Vật lý- Trờng đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học
Quốc gia Hà nội
Ngời hớng dẫn khoa học:
Giáo s, Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn

Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ
Phản biện 2: GS.TSKH. Đào Vọng Đức
Phản biện 3: GS. TS. Nguyễn Văn Thoả

Luận án đã đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án Tiến
sĩ cấp nhà nớc họp tại: Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân,
Hà Nội vào hồi giờ 9h00 ngày 10 tháng 02 năm 2009


Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Th viện Quốc gia Việt nam.
- Trung tâm thông tin - Th viện, Đại học Quốc gia Hà nội.


C¸c bµi b¸o liªn quan trùc tiÕp ®Õn luËn ¸n
1. Nguyen Nhu Xuan (2000),“Dimensional Regularization to Deal
Divergences and Green’s Function for an Electron in the Bloch –
Nordsieck”, Proceedings of the Scientific Conference on Physics, organized
by the Hanoi University of Science, 25 November 2000, The Collection of
Scientific Reports, Hanoi University of Science Press, pp. 219 - 223.
2. Nguyen Nhu Xuan (2002), “Renormalization Electron Green's
Function in Bloch-Norsieck Model for QED
3
”, VNU. Journal of
Science, Mathematics - Physics, T.XVIII (1), pp.55-59.
3. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian
Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”,
e-print arXiv: gr-qc/0203054, 15 Mar 2002, 15p; European Physical
Journal C, vol 24, pp.643-651. The Collection of Vietnamese Physical
Selected Papers over the pass 50 years, Vietnam Physical Society,
Education Publishing House (2007), pp.393 - 401.
4. Nguyen Suan Han, Dang Huy Uyen and Nguyen Nhu Xuan (2002),
“Corrections to Eikonal Approximation in Quasi-potential Approach”,

Report at the Scientific Conference on Physics, organized by the Hanoi
University of Science, 25 November 2002, the Collection of Scientific
Reports, Hanoi University of Science Press.
5. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2005), “Corrections to The
Leading Eikonal Amplitude For High Energy Scattering in Quantum
Field Theory and Quasi-potential Approach”, Vietnam National
Conference of 6
th
on Physics at Hanoi, from 23 to 25, November 2005,
organized by the Vietnam Physical Society, The Collection of Scientific
Reports, Science and Technical Publishing House, Ha Noi (2006), pp. 14-19.
6. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2007), Eliminating on the
Divergences of the Photon self – energy Diagram in (2+1)
Dimensional Quantum Electrodynamics”, VNU. Journal of Science,
Mathematics - Physics, Vol.23, pp. 22-27. e-print arXiv: 0804.3612,
v.1, [hep-th] 22 Apr. 2008.
7. Nguyen Nhu Xuan (2007), “Some Effects of Quantum Gravity
Planckian Scattering”, Report at the 32
rd
National Conference on
Theoretical Physics, from 6 to 9, August 2007- Nha trang City, Khanh Hoa.
8. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2008), “Planckian
Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Quasi-Potential
Approach”, e-print arXiv. 0804.3432, v. 2 [hep-th], 2 May 2008;
submitted to European Physical Journal C.



- 1 -

Hàm green của hạt tơng tác
Trong chơng này, chúng ta sẽ trình bày cách tìm
hàm Green trong mô hình tự tơng tác của các nucleon
vô hớng. Sau đó, kết quả thu đợc trong mô hình này sẽ
đợc tổng quát hoá cho trờng hợp điện động lực học vô
hớng, trong đó nucleon vô hớng phức tơng tác với
trờng điện từ (trờng véc tơ) và tơng tác của nucleon
vô hớng với trờng hấp dẫn (trờng tenxơ). Kết thúc
chơng này chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm
hàm Green lợng tử của hạt vô hớng trong trờng sóng
phẳng điện từ.
Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong
trờng ngoài dới dạng tích phân phiếm hàm
Phơng trình cho hàm Green trong trờng ngoài của
mô hình tự tơng tác giữa các nucleon vô hớng mô tả
bởi trờng
( )
x

có Lagrangian tơng tác:
3
int
L g

= , có dạng:

2 2 2 4
( ) ( , | ) ( )
i g x m G x y x y
à

+ =

.
(1.1)
Lời giải của phơng trình (1.1) đã đợc tìm
bằng nhiều phơng pháp khác nhau.
Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn
cải biến. Trong phơng pháp này, hàm Green của
hạt vô hớng trong trờng ngoài đã tìm đợc dới
dạng tổng của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng
số tơng tác g. Tuy nhiên kết quả tính toán mới chỉ
đa ra đợc số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai
của lý thuyết nhiễu loạn. Quá trình tính toán các bậc
nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu


- 2 -

thức, nếu thu đợc, cũng rất phức tạp (vì nó chứa
các toán tử trờng bậc cao). Điều này gây khó khăn
cho việc tìm hàm Green lợng tử khi lấy trung bình
phiếm hàm hàm Green
( , | )
G x y

theo các trờng
ngoài.
Cách thứ hai là thêm tơng tác bổ sung với

nguồn ngoài
(
)

à
t . Hàm Green thu đợc theo
phơng pháp này chứa các toán tử trờng có dạng
bậc nhất mà u điểm của nó là: Phép lấy trung
bình phiếm hàm theo các trờng ngoài (khi tìm
hàm Green lợng tử cũng nh phiếm hàm sinh)
sẽ tiến hành đơn giản hơn vì trờng ngoài cổ
điển
( )
x

có trong hàm luỹ thừa dới dạng tuyến
tính. Cần chú ý rằng, khi chuyển sang biểu diễn
xung lợng trong không gian phiếm hàm
t
, thì hàm
Green
( , | )
G x y

đợc biểu diễn dới dạng tích phân
phiếm hàm, mà nó đợc xem xét nh là phép biến
đổi Lagrange đã đợc Feynman tổng quát hoá cho
phơng trình Klein-Gordon đối với hàm Green của
phơng trình này. Hơn nữa, bằng lời giải toán tử sau
đó khai triển nhiễu loạn thông thờng theo hằng số

tơng tác, hàm Green
( , | )
G x y

sẽ tìm lại đợc theo
lý thuyết nhiễu loạn cải biến. Tuy vậy, biểu thức của
hàm Green lại chứa tích phân phiếm hàm của
nguồn tơng tác ở dạng bậc hai. Hàm Green tuy
thu đợc là kín nhng kết quả tính toán là rất phức
tạp.
Với cách viết (1.2), thừa số mũ, mà trong đó hệ
số có các đại lợng không giao hoán nh


- 3 -

(
)
(
)
, ,
x
à

theo Feynman, đợc coi nh
T


exponent (T-tích). Biến số

có ý nghĩa thời gian
riêng chia cho khối lợng của hạt và đóng vai trò
tích thứ tự trong (1.2). Chỉ số s có nghĩa là thời gian
riêng. Tất cả các toán tử đợc xem nh là hàm giao
hoán của biến

.
Sử dụng phép biến đổi Weierstrass trong không
gian hàm số 4-chiều, toán tử vi phân bậc cao có thể
biểu diễn thành tích các toán tử bậc thấp hơn. Sau
đó tiến hành gỡ rối toán tử theo quy tắc Feynman,
thực hiện phép thay biến:
( ) ( )
p
à à à

+
, nghiệm
của phơng trình (1.1) đợc biểu diễn dới dạng tích
phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lợng:

2 2
4 ( ) ( ) 4 2
0 0
0 0
( , | ) exp ( )
exp 2 2 ( )
s
i p q y i p m s
s

G p q i d ye dse C i d
ig y p d d
à







=






ì + +








.
(1.3)
Ưu điểm của phơng pháp này là cho ta biểu
thức tổng quát của hàm Green dới dạng tích phân

phiếm hàm, từ biểu thức đó ta có thể dễ dàng lấy
giá trị trung bình của hàm Green của hạt theo các
trờng ngoài (x) để thu đợc hàm Green lợng tử
của một hạt trong trờng ngoài.
Khi g = 0, tức là khi không có tơng tác, chúng
ta suy ra hàm Green của hạt tự do. Khai triển biểu


- 4 -

thức hàm Green này theo hằng số tơng tác g thì nó
tơng ứng với tập hợp các giản đồ Feynman sau:








Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm
Green của electron theo hằng số tơng tác.
a) Giản đồ bậc không ứng với quá trình không
tơng tác.
b) Giản đồ đỉnh bậc một c) Giản đồ đỉnh bậc
hai d) Giản đồ đỉnh bậc ba
Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài
toán đơn giản là tìm hàm Green lợng tử của hạt vô
hớng trong trờng sóng phẳng điện từ. Trờng này
lý thú ở chỗ là hàm Green

( , | )
G x y A
của hạt có thể
tính đợc một cách chính xác. Trờng sóng phẳng
điện từ có dạng:
( ) ( )
kx
A x a
à à
=
, trong đó
( )
kx
a
à
là thế
năng của trờng sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng
đẳng hớng
2
0
k
à
=
. Giả thiết rằng trờng sóng phẳng
là sóng ngang
( ) 0
kxk a
à à
=
. Thay trờng sóng phẳng

vào biểu thức tơng ứng cho hàm Green, Kết quả
thu đợc là:
=

+

(a)

(c)

(b)

+

+

+

+

+

+

(
d
)

- 33 -


giữa các hạt trong lý thuyết lợng tử, kể cả hấp dẫn lợng
tử. Việc nghiên cứu các hiệu ứng lợng tử liên quan đến
tán xạ năng lợng Planck sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời
gian tới.
Các kết quả nghiên cứu đã đợc trình bày tại Hội
nghị Vật lý toàn quốc lần thứ VI tại Hà Nội (2005), Hội
nghị Vật lý lý thuyết lần thứ lần thứ 32 tại Nha Trang -
Khánh Hoà (2007), các Hội nghị khoa học do trờng Đại
học khoa học tự nhiên -ĐHQG Hà Nội tổ chức tại Hà Nội
(2002, 2004), đồng thời đợc công bố trên mạng Quốc tế,
các Tạp chí khoa học quốc gia và quốc tế.








- 32 -


5. Số hạng bổ chính bậc nhất lần đầu tiên đợc tìm
trong tán xạ Planck hai hạt qua việc trao đổi các
graviton bằng phơng pháp phiếm hàm. Đã
chng minh rằng: các số hạng bổ chính này
trùng với số hạng bổ chính theo tong bậc của lý

thuyết nhiễu loạn cải biến, khi sử dụng phơng
trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze trong gần
đúng eikonal. Thế Yukawa đợc sử dụng để cụ
thể hoá các kết quả kể trên .
6. Từ hàm Green trong mô hình Bloch-Norsieck,
sau khi khử các tích phân phân kỳ bằng phơng
pháp chỉnh Pauli-Villars hoặc chỉnh thứ nguyên
và tiến hành tái chuẩn hoá khối lợng, đã thu
đợc hàm Green lợng tử của electron trong
QED
3
, QED
4
là hữu hạn.
7. Đã chỉ ra rằng: quá trình khử phân kỳ bằng
phơng pháp chỉnh Pauli Villars và chỉnh thứ
nguyên cho giản đồ năng lợng riêng của photon
trong QED
3
sinh khối lợng photon nh nhau,
trong quá trình tính toán, nếu tính bất biến chuẩn
của lý thuyết đợc đảm bảo.
Những kết quả thu đợc đã chứng tỏ phơng pháp
tích phân phiếm hàm là một phơng pháp tiếp cận hữu
hiệu để nghiên cứu các vấn của vật lý năng lợng cao, đặc
biệt là tán xạ năng lợng Planck. Ưu việt cơ bản của nó so
với phơng pháp của lý thuyết nhiễu loạn thông thờng
hay việc tổng của lớp giản đồ Feynman riêng biệt là khả
năng nghiên cứu ở dạng kín các đại lợng nh hàm Green,
biên độ tán xạ , đặc trng của các quá trình tơng tác

- 5 -

( ) ( )
2 2
4 ( ) ( )
4
0
2 2
0
( , | )
(2 )
2 ( ) 2 ( )
s
0
exp i d kx kp kx kp
is p m ip x y
s
i
G x y A d p dse e
e a s ie d p a s
à à à




=

ì +





.(1.4)
Một tính chất quan trọng của trờng sóng
phẳng điện từ là các bổ chính phân cực thu đợc sẽ
giống với kết quả nhận đợc bởi Schwinger nếu
nh sóng phẳng là biểu diễn chồng chập của các
véc tơ sóng k.
Hàm Green thu đợc trong trờng sóng phẳng
hoàn toàn giống với kết quả mà Volkov thu đợc.


- 6 -

Chơng 2:
Tán xạ năng lợng Planck trong cách
tiếp cận phiếm hàm
Trong chơng này biên độ tán xạ của hai hạt vô
hớng trong mô hình đơn giản
3

sẽ đợc tìm. ở
vùng năng lợng lớn, xung lợng truyền nhỏ, biên
độ tán xạ này có dạng biểu diễn Glauber (hay biểu
diễn eikonal). Các kết quả cho tơng tác phức tạp
có thể dễ dàng thu đợc bằng cách tổng quát hoá

những biểu thức thu đợc ở đây. Cuối cùng chúng ta
sẽ tìm các số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ
tán xạ Eikonal ở vùng năng lợng cao.
ở đây, chúng ta không xét đến vấn đề tái chuẩn hoá.
Chúng ta cần tách các số hạng cực điểm dạng
2 2 1
( )
i
p m


và
2 2 1
( )
i
q m

trong công thức (2.2), để chúng triệt tiêu các
nhân tử
2 2
i
p m

và
2 2
i
q m

. Trong lý thuyết nhiễu loạn sự
triệt tiêu các số hạng cực rất dễ thấy vì biểu thức biên độ

tán xạ đợc thiết lập từ từ các hàm truyền tự do. Còn trong
trờng hợp hàm Green đợc xây dựng từ bằng phơng
pháp khác lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách các số hạng
cực gặp một số khó khăn nhất định. Chúng ta quan tâm tới
cấu trúc biên độ tán xạ một cách tổng quát thì việc phát
triển một phơng pháp đúng chuyển đến mặt khối lợng
2 2 2 2
; ; 1, 2
i i
p m q m i= = =
trong trờng hợp tổng quát có vai
trò hết sức quan trọng. Rất nhiều phơng pháp gần đúng
có thể hợp lý về quan điểm vật lý khi chuyển tới mặt khối
lợng nhng vị trí các cực điểm của hàm Green ở phần
còn lại của biên độ tán xạ tìm đợc về mặt toán học là bị
sai lệch. ở đây chúng ta tổng quát hoá phơng pháp tách


- 31 -


nhau, dới dạng tích phân phiếm hàm. Đã tìm
đợc biểu thức tờng minh cho hàm Green của
hạt vô hớng trong trờng sóng phẳng điện từ.
2. Việc tách cực điểm trên mặt khối lợng p
2
= m
2
từ
hàm Green hai hạt bằng phép chuyển giới hạn

một cách chặt chẽ về mặt toán học và tìm đợc
các biểu thức tổng quát chính xác cho biên độ
tán xạ hai hạt với nhau qua các loại tơng tác kể
cả tơng hấp dẫn dới dạng tích phân phiếm
hàm.
3. Sử dụng phép gần đúng quỹ đạo thẳng cho các
tích phiếm hàm và ở vùng năng lợng lớn, xung
lợng truyền nhỏ đã chứng minh biên độ tán xạ
thế hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn
Glauber, mà pha của nó tơng ứng với thế năng
tơng tác dạng Yukawa. Biểu diễn này cho biên
độ tán xạ cũng có thể nhận đợc bằng việc khai
triển eikonal hàm Green tơng ứng trên mặt khối
lợng, và nó chính là số hạng chính (leading
term) trong chuỗi này.
4. Trong khuôn khổ của tích phân phiếm hàm và
phép gần đúng eikonal, đã tìm đợc số hạng
bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Planck.
Số hạng này dẫn đến sự xuất hiện của hiệu ứng
trễ, mà nó có bậc nhỏ hơn số hạng chính mà ta
đã nhận đợc.


- 30 -


của trờng điều chỉnh. Từ biểu thức (4.10), dễ dàng
nhận thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi hằng số
tơng tác bằng nhau c
1

= c
2
tơng đơng với
1
2

=
,
suy ra:
2
2
3 2
(0)
2 ( )
M
e
m

=
thu đợc phù hợp với kết quả
sử dụng phơng pháp chỉnh thứ nguyên cho tensor
phân cực chân không. Cần lu ý rằng: phép điều
chỉnh Pauli-Villars phá vỡ sự đối xứng bình đẳng
trong không gian (2+1) chiều. Với sự lựa chọn nh
vậy, đối xứng này đợc khôi phục khi khối lợng sử
dụng trong cách điều chỉnh càng lớn.
Nh vậy, tùy thuộc vào việc chọn dấu của c
1

và c

2
mà trong phép chỉnh Pauli Villars có xuất
hiện sự sinh khối lợng photon hay không. Khi
1 2
c c
=
;
1
2

=
thì khối lợng photon đợc sinh ra trong
cả hai phép chỉnh thứ nguyên và Pauli Villars là
giống nhau
2
2
3 2
(0)
2 ( )
M
e
m

= . Điều quan trọng là ở
đây là các quá trình khử phân kỳ bằng các phơng
pháp khác nhau đều phải đảm bảo sự bảo toàn tính
bất biến chuẩn.
Kết luận
Những kết quả chính thu đợc trong Luận án
bao gồm :

1. Đã thu đợc biểu thức cho hàm Green một hạt ở
trờng ngoài tuỳ ý cho nhiều dạng tơng tác khác


- 7 -

cực điểm của hàm Green đã đợc đề xớng và vận dụng để
tìm biên độ tán xạ trong mô hình tơng tác giữa nucleon
vô hớng với trờng meson vô hớng trong gần đúng bỏ
qua các loop nucleon.
Từ công thức (2.2) và biểu thức của hàm Green hai
hạt trong biểu diễn xung lợng sau một số phép biến đổi
phiếm hàm, chúng ta thu đợc biểu thức cuối cùng của
biên độ tán xạ hai nucleon. Biên độ tán xạ này có thể coi
là phiếm hàm của tổng tất cả các quỹ đạo khả dĩ của
nucleon trong quá trình tán xạ.
2.2. Tán xạ năng lợng cao
Biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt với
nhau đã tìm đợc dới dạng tích phân phiếm hàm. Để tính
các tích phân này theo các biến số () không phải đơn
giản. Các biến số () ở trên đợc đa vào để nhận đợc
biểu thức tổng quát cho hàm Green ở trên, có ý nghĩa mô
tả sự lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt. ở vùng năng lợng
lớn, xung lợng truyền nhỏ, hạt có thể coi là chuyển động
theo quĩ đạo thẳng, do đó việc tính các tích phân theo biến
số () có thể áp dụng cách tính gần đúng các tích phân
phiếm hàm do B.M. Barbashov đề xớng khi nghiên cứu kì
dị hồng ngoại của hàm Green trong QED. Sử dụng phép
gần đúng này chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán tán
xạ hai hạt ở trên.

2.2.1. Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai
hạt vô hớng trong trờng vô hớng
Biên độ tán xạ hai hạt vô hớng đợc giải thích
nh là phần d của hàm Green hai hạt tại các cực
điểm tơng ứng với các nucleon cuối.
Biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô
hớng có thể đợc biểu diễn dới dạng:


- 8 -


1 1
2
( )
4
1 2 1 2 1 2
4
0
( , | , ) ( ) ( )
(2 )
ix p q
scalar
ig
T p p q q d xe D x d S p p

= +

,
((2.3) trong đó
[ ]
{ }
[ ]
2
4 2
1 2
1
exp ;
i
S ig J DJ




=

= =



,
(2.4)
Để tính tích phân theo
i
(), chúng ta sẽ sử
dụng một phơng pháp gần đúng, phơng pháp này

cho phép giữ lại sự phụ thuộc của hàm truyền
nucleon vào bình phơng xung lợng k
i
. Khi đó, số
hạng chính có dạng:

(
)
[ ]
(
)
( 0) 2 2 4
exp ( ) exp
n scalar
S i g i g


=

=



(2.5)
với

[ ]
( )
4
1 1

4
2
( ) ( )
1
( ) exp 2
(2 )
exp
ikx
a a
d kD k e d d ik
s s
k
i
s









=

ì +



.
(2.6)
biểu thức của số hạng bổ chính bậc nhất
( 1)
n
S

=

là:


- 29 -


Rõ ràng từ (4.10) chúng ta có nhận xét rằng:
Nếu
10
<

<
thì s = -1 và các tơng tác c
1
và c
2

cùng dấu,
2
(0) 0
M

; trong trờng hợp này
photon đòi hỏi một khối lợng hình học, tỷ lệ
với
2
(0)
M

, khối lợng này đợc đa vào từ
phần tensor cực chân không phản xứng của
hàm truyền photon tự do.
Nếu giả thiết rằng nằm ngoài khoảng (0,1)
thì s =1 và c
1
, c
2
trái dấu và
2
(0) 0
M
=
.
Nh vậy chúng ta có thể kết luận: với việc
chọn tuỳ ý các giá trị khác nhau của tham số

,
nó sẽ phản ánh khối lợng photon khác nhau.
Bây giờ, ta phải đối mặt với một vấn đề khác
là: giá trị nào của sẽ dẫn đến hiệu chỉnh khối
lợng photon? Chúng ta nhận thấy rằng
2
2
( )
M
k
là
hữu hạn ở vùng tử ngoại (bằng cách tính theo
chuỗi). Ta biết rằng một loop fermion phải đợc điều
chỉnh trong suốt quá trình tính toán để bảo đảm
bất biến chuẩn. Tuy nhiên, để làm điều đó, chúng
ta phải tác động vào phần hữu hạn của tensor cực
chân không phản xứng và hệ quả là sẽ sinh ra phần
khối lợng photon điều chỉnh. Sử dụng phơng pháp
chỉnh Pauli-Villars chúng ta cũng có thể tính toán
đợc các kì dị của mô men từ electron. Trái lại, nếu
không quan tâm tới sự bảo đảm bất biến chuẩn
trong quá trình tính toán, các kết quả vật lý thu đợc
không chính xác.
Để loại bỏ những lo lắng này, cần tìm giá trị
của sao cho nó có thể làm thay đổi sự đóng góp


- 28 -

2 2
1 2 3 3
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
k k
k k k k k
à à à à à
= =
= + + =
.
(4.8)
Chúng ta thấy ngay ý nghĩa của biểu thức này
rằng trong phơng pháp chỉnh thứ nguyên photon
nhận một khối lợng khác không đợc sinh ra, ngay
cả khi xung lợng của nó bằng không.
4.4.2. Phơng pháp chỉnh Pauli-Villars cho giản
đồ năng lợng riêng của photon
Trên cơ sở phơng pháp chỉnh Pauli-Villars,
biểu thức của tensor cực chân không sau khi điều
chỉnh là
2 2 2
1 2 3
2
( ) ( ) ( ) ( )
M M M M
k k
k g k im k k g k
k
à

à à à à


= + +


.
(4.9)
Sau khi lấy tích phân trong không gian xung
lợng, chúng ta nhận đợc
2
3
( ) 0
M
k
=
. Điều này là
hoàn toàn nh mong muốn do có bất biến chuẩn.
Điểm cốt yếu ở đây là ta không thể đơng nhiên chỉ
lấy một trờng phụ trợ nh thờng làm. Việc chọn
một trờng phụ trợ này sẽ vi phạm các điều kiện bất
biến chuẩn đã đặt ra. Mà ở đây chúng ta phải chọn
số lợng trờng điều chỉnh ít nhất phải bằng hai. Vì
thế chúng ta đặt:
2j khi 0c,c,1c
j21
>
=

=


=
,
trong đó tham số



nhận mọi giá trị tuỳ ý, trừ các
giá tri 0 và 1. Cho
1 2
,


, chúng ta có:
(
)
1
0 0
M
=
.

( ) ( )
2
2
3 2
0 1

2 ( )
M
e
s
m


=
với:
1
1s sign


=


.
(4.10)


- 9 -


[ ]
2
( 1)
0
2
1
2 2 4 2 2

2
0 1
2
exp ( )
4
1 ( ) ( ) ( )
4
( ) ( )
8 32
n
ig
S K x
s
x
ig
x x x x K x
x
s s
g ig
x x K x x x K x
s s s s


à

à
à

à à
à à

=


+ +

+ +

ì










+ + +



.
(2.7)
Trong biểu thức này hệ số đứng trớc ngoặc
tơng ứng với trạng thái eikonal chủ yếu của biên độ
tán xạ, trong khi các số hạng trong ngoặc xác định
độ lớn tơng đối của bổ chính tỉ lệ với
1/

s
.
Trong phép gần đúng gần đúng quỹ đạo thẳng
hàm truyền của nucleon không chứa các số hạng
dạng tích (k
i
k
j
) với k
i
và k
j
là các xung lợng của các
meson khác nhau tơng tác với các nucleon.
Hình thức luận này làm cho khái niệm vật lý trở nên
rõ ràng và phù hợp với hạt năng lợng cao chuyển
động dọc theo các quỹ đạo Feynman, các quỹ đạo
gần nh là thẳng.
Với việc bỏ qua các số hạng k
i
k
j
ở mẫu số hàm
truyền nucleon thì các giản đồ thang thông
thờng sẽ thu đợc bởi sự lặp lại của các giản đồ
trao đổi đơn meson. Sự trao đổi này không ảnh
hởng tới trạng thái tiệm cận ở năng lợng cao của
hạt.
Nh chúng ta đã biết trạng thái tiệm cận năng
lợng cao chỉ có thể chứa chuỗi các tích phân loga

của s. ở đây, chúng ta nhận thấy khi lấy tích phân


- 10 -


biểu thức (2.7) của S theo d dẫn đến sự biến mất
các hệ số trong chuỗi bán nguyên của s. Trái lại,
chấp nhận các số hạng mà chúng chứa chuỗi bán
nguyên của s sẽ là cần thiết cho việc tính toán các
bổ chính bức xạ tiếp theo trong biên độ tán xạ. Thật
thú vị khi thấy rằng sự xuất hiện trong

các biểu thức
bổ chính các số hạng phụ thuộc vào x
0
và x
z
(
0
z
x x x

=
), đây chính là hiệu ứng trễ, hiệu ứng này
vắng mặt trong số hạng tiệm cận chính tắc.
Thực hiện các tính toán tơng tự, tất cả các số
hạng tiếp theo của khai triển (2.7) giảm đủ nhanh
khi so sánh với những số hạng mà chúng ta đã viết.
Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng điều đó không có

nghĩa là đã là căn cứ cho biểu diễn eikonal cho biên
độ tán xạ đợc trình bày trong mục này. Hàm hệ số
trong khai triển tiệm cận, những hàm đợc biểu diễn
bởi hàm MacDonald, là đơn trị ở khoảng cách ngắn
và sự đơn trị này trở nên mạnh hơn theo tốc độ tăng
với sự giảm tơng ứng của các số hạng ở s lớn. Vì
thế, tích phân của S

khi xác định biên độ tán xạ có
thể dẫn đến xuất hiện các số hạng vi phạm vào
chuỗi eikonal ở thứ tự bậc cao hơn g
2
. Khảo sát cấu
trúc của các đóng góp không eikonal đối với biên độ
tán xạ hai nucleon chỉ ra rằng tổng tất cả các giản
đồ thang từ thứ tự bậc 8 trong mô hình vô hớng
chứa các số hạng, những số hạng này vắng mặt
trong các phơng trình eikonal chính thống và biến
mất khi lấy giới hạn
0
m
à

với à và m là khối lợng
meson và nucleon tơng ứng. Những số hạng này


- 27 -

4.4. Đánh giá sự phân kỳ của giản đồ năng lợng
riêng photon trong QED
3

Trong quá trình điều chỉnh 1 loop một mâu
thuẩn đã nảy sinh đó là nếu chúng ta sử dụng phép
chỉnh thứ nguyên để xác định phân kỳ tử ngoại thì
photon xuất hiện một khối lợng hình học trong khi
đó nếu dùng phép chỉnh Pauli Villars thì khối
lợng photon sẽ bằng không khi khối lợng phụ trợ
tiến đến vô cùng. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng sự mâu
thuẫn đó sẽ không xuất hiện trong QED
3
nếu các
quá trình tính toán đảm bảo cho lý thuyết bảo toàn
tính bất biến chuẩn. Quá trình tính toán đợc áp dụng
cho giản đồ phân cực của photon của QED
3
.
p
p-k
à

k
k

Giản đồ năng lợng riêng của photon
4.4.1. Chỉnh thứ nguyên cho giản đồ năng lợng
riêng của photon
Theo quy tắc Feynman giản đồ phân cực chân

không trong QED
3
tơng ứng với biểu thức:
2
3
3 2 2 2 2 2


( )
(2 ) ( )
p m p k m
ie
k d pTr
p m i p k m i
à à



+ +
=

+ +



.
(4.7)
Sử dụng phép chỉnh thứ nguyên, tiến hành tách
à

thành ba số hạng. Kết quả cuối cùng chúng ta có :


- 26 -


Rõ ràng các kết quả thu đợc ở hai phép khử
phân kỳ khác nhau ở trên là đồng nhất. Tuy nhiên
điều chúng tôi muốn đề cập đến ở đây là với việc sử
dụng chỉnh thứ nguyên cho phép chúng ta khử phân
kỳ tổng quát trong điện động lực học lợng tử 3
chiều và 4 chiều. Hơn nữa so sánh kết quả thu đợc
của hàm Green trong QED
3
và QED
4
, ta thấy trong
QED
4
có cả phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử
ngoại, còn trong QED
3
chỉ xuất hiện phân kỳ hồng
ngoại (tham số đóng vai trò nh khối lợng phụ trợ
trong điều chỉnh bằng Pauli-Villars). Điều này là
hoàn toàn dễ hiểu vì QED
4
là lý thuyết tái chuẩn hoá
đợc còn QED

3
là lý thuyết siêu tái chuẩn hoá. Kết
quả cho thấy hàm Green trong QED
3
sau khi tái
chuẩn hoá là hoàn toàn giống với hàm Green của
trờng tự do (chúng chỉ khác nhau ở chỗ trong khử
phân kỳ bằng thứ nguyên
( )
f

không phụ thuộc vào
tham số chuẩn a, còn trong phép khử phân kỳ bằng
phơng pháp Pauli-Villars thì
( )
f

lại phụ thuộc vào
tham số chuẩn do ta đã sử dụng khối lợng phụ trợ
làm cho lý thuyết mất tính bất biến chuẩn) còn
hàm Green trong QED
4
chỉ khác hàm Green của
trờng tự do hệ số:
1
1
up
m

(đặt:
2
(3 )
8
ie a



= ). Nếu ta
khai triển hàm này theo chuỗi của thì chúng ta sẽ
thu đơc các số hạng lôga đặc trng cho các tai
biến hồng ngoại mà ở phép xấp xỉ bậc không nó trở
thành hàm Green của trờng tự do.


- 11 -


tơng ứng với sự đóng góp cho các thế chuẩn hiệu
dụng kết quả từ việc trao đổi cặp nucleon và phản
nucleon.
Để kết thúc mục này, chúng ta quan tâm tới
trạng thái tiệm cận của biên độ tán xạ đàn tính của
hai nucleon vô hớng ở năng lợng siêu cao. Thực
hiện lấy tích phân theo
,
dx dx
+
và
d

cho biên độ tán
xạ trong hệ khối tâm (c.m.s), ta thu đợc biểu thức
dạng eikonal:

[
]
2
( , ) 2 1
i x
T s t is d x e S




=

,
(2.8) với
x

là véc tơ hai chiều vuông góc với phơng
tán xạ của nucleon (tham số tán xạ).
ở đây, chúng ta chỉ xét đến số hạng bổ chính
bậc nhất (2.8). ở vùng năng lợng siêu cao có thể
đợc xác định bởi biểu thức:
( )
2 4 2
(1) 2
1 2

2 2
4 2 4 2 4
11 1 2 12
2 2 2
2
1
( ) ( )
4(4 )
24(4 )
1 2
( ) ( )
2(4 )
8 (4 )
g g
T g F t F t
s
t s
g g g g
A F t F t A
s
t s
s s s s
t



à

à

à
à

= + +




+ +




(2.9)
Những tính toán tơng tự đã chỉ ra rằng số hạng
trao đổi (
1 2
p p
) ở thứ tự bậc một của (1/s) là nhỏ
hơn vì thế ta có thể bỏ qua trong biểu thức (2.4).
Biên độ tán xạ là ở dạng eikonal.
2.3. Tán xạ hai hạt với tơng tác hấp dẫn trong vùng
năng lợng Planck
Trong mục này ta xét bài toán tán xạ hai hạt trong lý
thuyết hấp dẫn tuyến tính. Trong vùng năng lợng cao


- 12 -

xung lợng nhỏ, chúng ta thu đợc biểu diễn eikonal cho
biên độ tán xạ. Biểu thức này hoàn toàn trùng với các kết
quả tìm đợc bằng phơng pháp khác nh: phơng pháp
sóng xung kích (shock-wave method) của tHoop, phơng
pháp lý thuyết topo hiệu dụng ở giới hạn năng lợng bậc
Planck của Verlinder E. và Verlinder H, cũng nh
phơng pháp lấy tổng các giản đồ Feynman trong gần
đúng Eikonal.
2.3.1. Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tơng tác
hấp dẫn
Từ hàm Green của "nucleon" vô hớng (x) tơng
tác với trờng hấp dẫn g
à
(x) trong hệ toạ độ điều hoà thu
đợc ở chơng 1, suy ra biên độ tán xạ đàn tính dới
dạng:

[ ]
1 1
( )
2 4
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
0
( , ; , ) ( ) ( ; , ; , )
exp ( ; , ; , )
i p q x
T p p q q R t d xe x p p q q
d i x p p q q

=
ì


,
(2.10)
Thật lý thú khi nhận thấy rằng, sự đóng góp của các
bổ chính bức xạ có thể đợc tìm đợc dới dạng hệ số
của h(s,t). Trong điện động lực học lợng tử, việc tính các
biểu thức mô tả sự đóng góp của các bổ chính bức xạ
cũng cho kết quả tơng tự. Khi tính toán biểu thức h(s,t)
để khử các phân kỳ hồng ngoại, chúng ta đa vào khối
lợng graviton nhỏ à. Sau đó ớc lợc các tích phân thu
đợc biểu thức cho các bổ chính bức xạ sau:


- 25 -


hoá khối lợng của electron. Lý do là trong QED
4

chứa cả phân kỳ loga
ln
M

và phân kỳ tuyến tính
(
)
ln

, trong QED
3
chỉ có phân kỳ tuyến tính
( , 0)


.
Sau khi điều chỉnh, biểu thức (4.3) phụ thuộc vào
tham số chuẩn a, còn biểu thức (4.4) không chứa
tham số chuẩn.
3.3. Phơng pháp chỉnh thứ nguyên
Để thu đợc hàm Green cho QED
3
, QED
4
ta
phải tiến hành thay số chiều không gian tơng ứng
sau đó tái chuẩn hoá khồi lợng hàm Green (4.1).
Trong QED
4

Thay
4 2

n

=
vào (4.2) sau đó lấy giới hạn khi
0


, đồng thời tái chuẩn hoá khối lợng (đặt
i
M

=
), thay m bằng:
2
1
2
(3 )
8
e a
m m M


= . Khi đó,
hàm Green G(p) đợc thay bằng hàm Green G
1
(p)
đã điều chỉnh bằng cách nhân thêm hệ số nhân tái
chuẩn hoá
2
2

(3 )
2
1
ie a
Z m



=
, thu đợc:

2
2
(3 )
8
1
1 1
1
( ) 1
ie a
up
G p
m up m


=

.
(4.5)
Trong QED

3

Thay n=3- vào (4.4) và lấy giới hạn khi
0


,
sau đó tái chuẩn hoá khối lợng thu đợc:

[ ]
1 1
1
0
1
( ) ( ) exp ( )G p G p i d i m up i
m up i



= + =
+

.
(4.6)


- 24 -


mà cần định nghĩa lại các đại lợng vật lý, sao cho

các kết quả thu đợc phù hợp với hiện tợng thực
tiễn hơn. Để giải quyết vấn đề nay ta tiến hành theo
hai cách: phơng pháp chỉnh Pauli-Villars và
phơng pháp chỉnh thứ nguyên.
4.2. Phơng pháp chỉnh Pauli-Villars
Dựa trên ý tởng trên hàm Green của photon
tự do đợc thay bằng hàm Green đã điều chỉnh: ,
ở đây khối lợng phụ trợ đợc đa vào để khử
các phân kỳ hồng ngoại. Kết quả cuối cùng thu
đợc ta sẽ lấy giới hạn khi
, 0
M


. Bằng
phơng pháp này ta có kết quả sau:
Trong QED
4
:
Hàm Green của electron đợc thay thế bằng
hàm Green đã điều chỉnh. Kết quả là:

2
2
( 3)
8
1
1
1 1
1

( ) ( ) 1
e a
up
G p Z G p
m up m



= =

.
(4.3)
Trong QED
3
:
Sau khi tái chuẩn hoá khối lợng thì hàm Green
đã điều chỉnh là

[ ]
1 1
1
0
1
( ) ( ) exp ( )G p G p i d i m up i
m up i



= + =
+

.
(4.4)
Chúng ta thấy rằng, việc điều chỉnh hàm
Green trong QED
3
, QED
4
về hình thức tiến hành
theo các cách khác nhau. Trong QED
4
, chúng ta
nhân thêm vào hàm Green nghịch đảo hệ số nhân
tái chuẩn hoá, còn trong QED
3
, chúng ta tái chuẩn


- 13 -


2 2 2 2
0
2 2
2
2 2
1 2
2
2
( , ) exp ln

2(2 )
(4 )
4 4
ln ln ( ) ( )
4
t
m t m m
h s t
t m t
m m t m t t
z z
m t t

à

à
<




= ì

+


ì +









,
(2.11)
2 2
1 2
2 2
0
4 4
( ) ln 1 ; ,
2 4 2 4
z
dy
m t t m t t
z y z z
y
m t m t

+
= = =


.
(2.12)
Tại vùng năng lợng cao, chúng ta có thể viết biên
độ tán xạ dới dạng:

( )
2
2
0
2
( , ) 2 ( , ) 1
i
K x
ix T
s
f s t ish s t d x e e

à







=

r
r
r
r
,
(2.13) trong đó
(
)
1 1 0
( ); |
T p q K x
à

=
r
là hàm MacDonald bậc
không,

( )
2 2
0
2
2
2
. 1
( , ) exp ln

2
3 2
t
s m
h s t t
m

à

<




= +








.
(2.14)
Trong phép gần đúng các graviton mềm và tái
chuẩn hoá khối lợng của hạt, việc lấy tổng các số hạng bổ
chính dẫn đến sự xuất hiện trong biểu thức tán xạ một nhân
tử mà ngoài sự phụ thuộc vào xung lợng truyền, nó còn phụ
thuộc vào năng lợng. Sự phụ thuộc vào năng lợng của

nhân tử là do hạt trao đổi graviton có spin bằng 2.
Cần nhấn mạnh thêm rằng, ở trên ta đã sử dụng phép
xấp xỉ lợng tử mềm, tuy nhiên nếu hạt trao đổi có thêm
bậc tự do (ví dụ nh điện tích) thì những giả thiết đơn giản về
độ lớn mô men của hạt trao đổi là bé cha đủ đảm bảo cho
phép lấy tổng nh vậy, vì bậc tự do sẽ ảnh hởng rất lớn tới
các đại lợng tơng thích giữa các hạt trao đổi.


- 14 -


2.3.2. Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong
tơng tác hấp dẫn
Sự sinh ra hạt thứ cấp trong va chạm của hai
nucleon đợc giải thích một cách tơng tự với các bức
xạ hãm của các hạt mềm trong điện động lực học lợng tử
có nghĩa là, bức xạ hãm của các nucleon va chạm,
tơng tác thông qua sự trao đổi các lợng tử ảo của
trờng
h
à
, và bức xạ hạt thứ cấp là ở cùng thời điểm đó.
Biên độ tán xạ của quá trình không đàn tính có dạng:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1
( )
4
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1

1
2 2
2
4 2
1 2
4
1
0
( , ; , | , )
exp ( ) ( ) exp ( )
2
(2 )
i p q x
inel N
ikx
i
i
T p p q q k k k d xe
k p q k p q D k p q k p q
i
d kD e J k J k DJ m
à
à
à
à




=

= ì
+ + + + + + + +


ì









2 2
1 2
3
2
1
0
( )
1
( ) ( ) ( )
!
(2 ) 2
i i
i
N
ik x ik x
i

i i
i
k
i J k e J k e
N
k i
à
à à




=

ì +



,
(2.15)
Nếu chúng ta thừa nhận giả thiết rằng tất cả các graviton
là mềm thì graviton tạo ra có xung lợng nhỏ, ta có thể
đặt
0; 1,2,3
i
k i N
= =
trong biểu thức
exp( / 2)
i

ik x

của
phơng trình (2.15). Nói cách khác, chúng ta chỉ quan
tâm tới sự sinh các graviton mềm mà chúng không làm
ảnh hởng tới chuyển động của các nucleon tán xạ
năng lợng cao.
2.3.3. Đóng góp bổ chính cho biên độ tán xạ đàn tính ở
vùng năng lợng Planck
Với cách tơng tự nh đã thiết lập trong mô hình tự
tơng tác hạt vô hớng ở mục 2.2, số hạng bổ chính bậc
nhất trong trờng hợp trờng hấp dẫn lợng tử có dạng:


- 23 -




Chơng 4:
Khử phân kỳ và tái chuẩn hoá khối
lợng hàm Green trong mô hình
Bloch-Norsieck cho QED
3
và QED
4

Trong chơng này, chúng tôi áp dụng phơng
pháp trung bình phiếm hàm để tính hàm Green
lợng tử G(x,y) trong trờng ngoài của mô hình

Bloch-Norsieck. Sau đó sử dụng điều chỉnh Pauli-
Vilars và chỉnh thứ nguyên xác định hàm Green của
QED
3
, QED
4
sau khi đã tái chuẩn hoá khối lợng
của electron.
4.1. Hàm Green lợng tử G(x,y) trong mô hình
Bloch-Norsieck
Hàm Green lợng tử trong không gian xung
lợng có dạng:

[ ]
0
( ) exp ( ) ( )
G p i i m up i f d


= +

.
(4.1) với:
1
2
2 2
( )
1 2
2 2 2
0 0

1 ( )
( ) (1 )
(2 ) ( )
i uk
n
n
ie uk
f d d d k a e
k i k i






= ì +

+ +


.
(4.2)
Để xác định hàm Green lợng tử cần tìm cách
tính các tích phân trong biểu thức (4.2). Rõ ràng
trong biểu thức này chứa các tích phân phân kỳ. Xét
về mặt toán học khó có thể tính trực tiếp (4.2) đợc,


- 22 -

eikonal chính, còn các bậc tiếp theo chính là các bổ
chính của nó.
3.4. Mối liên hệ giữa phơng pháp chuẩn thế và
phơng pháp tích phân quỹ đạo Feynman
Bức tranh vật lý thực sự tơng ứng với các kết
quả chúng ta đã đa ra ở biểu thức (3.2.20) là gì?
Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ đi thiết lập mối
liên hệ giữa phơng pháp chuẩn thế với phơng
pháp tích phân quỹ đạo Feynman, bằng cách chúng
ta xem xét phơng trình chuẩn thế theo quan điểm
tích phân phiếm hàm. Với giả thiết nh vậy thì chúng
ta thu đợc mối liên hệ
( )
2
1
0 0
2
( ) exp ( ) ( ) ( ; )
( ) ; ( ; );
qr
W i d K p k d x U r s
dqe K q k s V q s

= = +





= +



r
r
r
r r
&
r
r r

(3.6)

[ ]
( )
( ) ( )
{ }
2
2
1
2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 2
1 2 1 2

1
exp ( ) ;
2 2
; ; ( ; ) ( ; );
W
W dq dq i q r q r K q q k s
K q k s K q k s U q s U q s

= + + + +



ì + + +



r
r r r r r r r r
r r
r r r r

(3.7)
Nếu giới hạn số hạng bậc nhất (n=0), ta sẽ
nhận đợc biểu thức gần đúng cho biên độ tán xạ,
mà nó tơng ứng với việc tính các quỹ đạo của các
hạt, gần với các quỹ đạo cổ điển, hoặc trùng với các
quỹ đạo thẳng trong trờng hợp tán xạ các hạt
năng lợng cao và góc tán xạ nhỏ. Kết quả thu đợc
cho vấn đề này từ hai cách khác nhau (chuẩn thế và
phiếm hàm ) là đồng nhất.

- 15 -


( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
( 1)
0
2
1
2 2 4 2 2 2
2
0 1
2
exp
2
1 ( ) ( )
2
-
4 8
n tensor
i s
S K x
x
i s
x x x x K x

x
s
s i s
x x K x x x K x
s s


à

à
à

à à
à à

=


+ +

+ +

ì





ì + ì

+ + +


.
(2.16)
Điều quan trọng cần lu ý ở đây là khác với mô hình
vô hớng tự tơng tác
3

, các số hạng bổ chính tơng
ứng trong lý thuyết hấp dẫn lợng tử là tăng theo sự tăng
của năng lợng.
Sau khi lấy tích phân theo dx
+
, dx
-
và d cho biên độ
tán xạ ở giới hạn năng lợng cao
2
PL
s M t
>> >>
, chúng ta
thu đợc dạng eikonal tiếp theo:

(
)

2
( , ) 2 1
i x s
i x
tensor
T s t is d x e e






=


,
(2.17) ở đây hàm pha eikonal
(
)
x s


mô tả sự trao đổi
graviton tăng theo năng lợng.
Chơng 3:
Tán xạ năng lợng Planck trong cách
tiếp cận chuẩn thế

Nội dung chơng này, tìm biểu thức cho biên
độ tán xạ bằng phơng pháp nhiễu loạn cải biến từ

phơng trình chuẩn thế Logunov Tavkhelidze. Kết
quả đợc tính tới số hạng gần đúng bậc nhất theo
hằng số tơng tác g, kết quả đợc tính trong giới
hạn năng lợng cao và xung lợng truyền cố định.


- 16 -


Số hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn
các số hạng bổ chính bậc nhất có bậc nhỏ hơn số
hạng chính là






s
t
. Phép gần đúng đợc sử dụng
ở đây là gần đúng eikonal, vì số hạng bậc không
của chuỗi nhiễu loạn cho ta biểu diễn eikonal của
biên độ tán xạ ở vùng năng lợng cao và xung
lợng truyền nhỏ. Trong chơng này chúng tôi cũng
thiết lập mối liên hệ giữa hai phơng pháp chuẩn
thế và tích phân quỹ đạo đồng thời đa ra sự so
sánh sơ đồ tính toán tơng ứng. Chúng tôi sẽ áp
dụng các kết quả tìm biên độ tán xạ hai nucleon
đã trình bày ở đây trong một chuẩn thế cụ thể là thế

Yukawa để từ đó rút ra kết luận rõ ràng hơn về tính
tin cậy của các kết quả thu đợc
3.1. Nghiệm của phơng trình chuẩn thế
Logunov-Tavkhelidze cho tán xạ hai hạt vô
hớng
Trong biểu diễn xung lợng phơng trình chuẩn thế
Logunov-Tavkelidze cho tán xạ hai hạt vô hớng có
dạng.

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
, '; '; ; ; , ';
T p p s gU p p s g dqK q s U p q s T q p s
= +

r r r r r r r r r r
,
(3.1)
với
(
)

2 2 2 2
4 4( ' )
s p m p m
= + = +
là năng lợng khối tâm;
Nói chung, chuẩn thế U là hàm phức của năng
lợng và xung lợng tơng đối của hai hạt. Phơng
trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu chuẩn
thế U là nhẵn hay nói cách khác chuẩn thế U là


- 21 -



( )
( )
4 3 6
(0)
1 2
4
2 2 5
1
; ( ) ( )
2(2 ) 3(2 )
2
tensor
T s t F t F t
t

à


= + +



,

( )
( )
4 3 6
(1)
1 2
6
2 2 5
3 2 2 2
; ( ) ( )
(2 ) (2 )
2
tensor
T s t F t F t
t
s

à


= + +

.
Để kết thúc mục này, điều quan trọng chúng tôi
muốn chỉ ra ở đây là trong khuôn khổ lý thuyết
trờng chuẩn cho biên độ tán xạ năng lợng cao,
các phơng pháp khác nhau đã đợc phát triển để
khảo sát tính chất tiệm cận của các giản đồ
Feynman riêng rẽ và lấy tổng của các giản đồ này.
Trong các lý thuyết khác nhau bao gồm cả lý thuyết
hấp dẫn, việc tính toán các giản đồ Feynman đợc
tiến hành tơng tự nh cách chúng ta đã thực hiện
trong chơng 2 với QED. Sự tin cậy của phép gần
đúng eikonal phụ thuộc vào spin của hạt trao đổi
tơng tác. Bằng phơng pháp nhiễu loạn, các bậc
khác nhau trong số hạng chính của biên độ tán xạ
thu đợc ở mỗi mô hình là đáng tin cậy, tuy nhiên
khi lấy tổng của các số hạng này thì chúng ta lại
thấy nó không trội hơn so với các số hạng mà chúng
ta đã bỏ qua trong phép gần đúng này. Sự tin cậy
của biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là
không chắc chắn. Vì thế, thay cho phơng pháp lý
thuyết nhiễu loạn, cách tiếp cận chuẩn thế của
chúng tôi trong chơng này dựa trên biểu thức chính
xác của biên độ tán xạ và lý thuyết nhiễu loạn cải
biến mà ở bậc thấp nhất chính là biên độ tán xạ


- 20 -

Số hạng bổ chính bậc nhất trong biểu diễn toạ
độ và biểu diễn xung lợng là trùng nhau. Số hạng
bổ chính trong phơng pháp chuẩn thế chính xác
hơn so với phơng pháp tích phân phiếm hàm và
phơng pháp giản đồ Feyman. Cụ thể là ở vùng
năng lợng nói trên trong phơng pháp tích phân
phiếm hàm thì biên độ chỉ chính xác tới gần đúng
bậc một, còn phơng pháp giản đồ Feyman thì
dờng nh bị triệt tiêu khi tính tổng các đóng góp của
từng giản đồ cho biên độ tán xạ, trong khi phơng
pháp chuẩn thế lại chính xác tới gần đúng bậc hai.
ở đây, cũng cần nói thêm rằng với các tính
toán tơng tự trong các trờng hợp tơng tác của
hạt có spin chúng tôi thu đợc các kết quả sau:
Trong trờng hợp hạt vô hớng tơng tác với
trờng vector, thì chuẩn thế không phụ
thuộc vào năng lợng đã tìm đợc:

( )
( )
4 3 6
(0)
1 2
4
2 2 5 2
1
; ( ) ( )
4(2 ) 12(2 )
2 2

vector
g g g
T s t F t F t
t s s
s
à


= +



,

( )
( )
4 3 6
(1)
1 2
6
2 2 5 2
3 2
; ( ) ( )
(2 ) 2(2 )
2 2
vector
g g g
T s t F t F t
t s s
s s

à


= +



.
Trong trờng hợp hạt vô hớng tơng tác với
trờng tensor nh đã xét ở mục 2.3 có
chuẩn thế tăng theo năng lợng đã tìm
đợc:


- 17 -


hàm của hiệu xung lợng tơng đối giữa hai hạt
( ')
p p

và năng lợng toàn phần (đợc gọi là chuẩn
thế định xứ). Sự tồn tại của chuẩn thế định xứ đã
đợc chứng minh chặt chẽ trong trờng hợp tơng
tác yếu và đây cũng là cách để chúng ta xây dng
chuẩn thế. Chuẩn thế định xứ đợc xây dựng theo
cách này sẽ đa ra nghiệm của phơng trình (3.1),
nghiệm này đơc xem nh là biên độ vật lý của quá
trình tán xạ hai hạt trên mặt khối lợng.
Trong khuôn khổ của cách tiếp cận chuẩn thế

thì chuẩn thế đợc xác định bằng cách khai triển
thành chuỗi vô hạn theo hằng số tơng tác, nó
tơng ứng với việc khai triển nhiễu loạn biên độ tán
xạ trên mặt khối lợng. Nghiệm gần đúng thu đợc
của phơng trình trên (3.1) chỉ đợc tìm ở thứ tự bậc
thấp nhất của chuẩn thế. Để giải quyết đợc bài
toán một cách thuận lợi thì ta phải cải tiến phơng
pháp này trong phép khai triển mà nó có tên gọi
phơng pháp nhiễu loạn cải biến.
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lợng cao
Trong biểu thức tiệm cận của biên đô tán xạ
chúng ta giữ lại hai số hạng gần đúng đầu tiên (số
hạng chính tắc và số hạng gần đúng tiếp theo)
Số hạng thứ nhất mô tả dáng điệu eikonal cho
biên độ tán xạ, còn các số hạng bổ chính tiếp có
bậc nhỏ hơn số hạng chính cỡ ~ (
s1
). Sự phụ
thuộc vào năng lợng s của số hạng chính và số
hạng bổ chính cũng tơng tự nh kết quả mà ta thu
đợc bằng cách qua biểu diễn toạ độ .


- 18 -


Một hiệu ứng tơng tự cũng đợc quan sát ở
đây, đó là sau khi lấy tích phân các số hạng này sẽ
dẫn đến sự biến mất các hệ số của chuỗi bán
nguyên của s. Trái lại nếu chấp nhận có các số

hạng trong chuỗi bán nguyên của s khi tính các số
hạng bổ chính tiếp theo thì sẽ dẫn đến hiệu ứng trễ,
điều này vắng mặt trong các số hạng tiệm cận chính
tắc.
3.3. Biên độ tán xạ trong trờng chuẩn thế
Yukawa
Xét tơng tác của hệ hai nucleon bằng cách
trao đổi hạt vô hớng trong trờng hợp thế năng
tơng tác là thế Yukawa. Tuy nhiên do tính chất
phức tạp của các tích phân nên trong mục này
chúng ta chỉ đi tính các kết quả cho số hạng chính
và số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ.
Thay thế năng Yukawa vào biều thức của số
hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất của biên
độ tán xạ, sau đó thực hiện một số tính toán cần
thiết, chúng ta thu đợc kết quả sau:
( )
( )
4 3 6
(0)
1 2
4 2 2 2 5 4
2
1
; ( ) ( )
8(2 ) 48(2 )
4 2
scalar
g g g
T s t F t F t

t s s
s
à


= +



,
(3.2)

( )
( )
4 3 6
(1)
1 2
6 2 2 2 5 4
2
3
2
; ( ) ( )
2(2 ) 8(2 )
4 2
scalar
g g g
T s t F t F t
t s s
s s
à

= +



.
(3.3)
Từ các biểu thức trên, chúng ta thấy ngay rằng
biểu thức eikonal của biên độ tán xạ thu đợc trong


- 19 -


vùng năng lợng cao và cố định xung lợng truyền
có số hạng bổ chính giảm rất nhanh. Lu ý rằng nếu
tiếp tục tính các gần đúng bậc cao hơn theo hàm
pha số hạng chính và số hạng bổ chính bậc một thì
kết quả thu đợc cũng sẽ giảm dần bậc
1/
n
s
. Điều
này cho thấy rằng các kết quả mà chúng ta thu
đợc ở chơng trớc bằng lý thuyết nhiễu loạn là
khá chính xác. Các kết quả thu đợc trong (3.2) và
(3.3) có thể tính toán chính xác đến bậc bất kỳ, tuy
nhiên trong chơng này chúng ta bằng cách tính
toán các số hạng bậc thấp chúng ta cũng thấy rằng

chuỗi khai triễn mà chúng ta thực hiện là hội tụ. Vì
vậy, việc tính các số hạng bậc cao là không cần
thiết khi chúng ta xét đến vùng năng lợng Planck
trong phép gần đúng eikonal.
Nghiên cứu bài toán cho biên độ tán xạ gần đúng
eikonal ở năng lợng cao và xung lợng truyền cố định,
bằng phơng pháp chuẩn thế nhận đợc kết quả thật thú
vị, bởi vì nó không những thừa kế đợc vấn đề cũ mà còn
khắc phục và tìm đợc bổ chính bậc nhất cho biên độ tán
xạ. Cụ thể là:
Số hạng chính cho biên độ tán xạ trùng với
biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trong cơ học
lợng tử phi tơng đối. Cũng nh số hạng chính
trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn xung lợng, khi
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở
cùng điều kiện. Số hạng này tơng ứng với biểu
thức đợc tính với gần đúng quĩ đạo thẳng cổ điển
trong cơ học lợng tử.