Định lý Grobman - Hartman cho hệ nhị phân mũ không đều : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Ngoan

ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ
PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Ngoan

ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ
PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Huy Tiễn

Hà Nội - 2012

Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời nói đầu

ii

1 Nhị phân mũ không đều
1.1 Nhị phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều
1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định . .
1.3 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tính liên tục H¨
older . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Bổ đề Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

v
v
vi
vii
ix
x
xii
xii
xii
xii

2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường
hợp thời gian rời rạc
xiv
2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều . . . . xiv
2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô . . . . . . . . . . . . . . xviii
2.2 Tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . xxiv
2.2.1 Tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp . . . . . . . . xxiv
2.2.2 Chuẩn Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
2.2.3 Chứng minh tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp . xxvii
3 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường
hợp thời gian liên tục
xxxiii
3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii

iii


3.2

3.1.1 Phép quy về trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv
3.1.2 Chứng minh định lý Grobman-Hartman . . . . . . . . . . xxxvi
Tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp cho dòng . . . . . . .
xl

Kết luận

xliii

Tài liệu tham khảo

xliv

iv


Chương 1

Nhị phân mũ không đều
1.1

Nhị phân mũ đều

Trước hết ta nhắc lại khái niệm nhị phân mũ đều. Để đơn giản ta xét trường

hợp hệ hữu hạn chiều. Xét một ánh xạ liên tục t −→ A(t) sao cho A(t) là toán
tử tuyến tính bị chặn trên X = Rn với mỗi t ≥ 0 và phương trình
x = A(t)x.

(1.1)

Gọi X(t) là ma trận cơ bản, tức là nghiệm của (1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0).
Gọi X(t, s) = X(t)X −1 (s) là ma trận tiến hóa của (1.1).
Định nghĩa 1.1. Phương trình (1.1) được gọi là có nhị phân mũ đều nếu tồn
tại phép chiếu P và các hằng số K, α ≥ 0 sao cho
i) ||X(t)P X −1 (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s,
ii) ||X(t)(I − P )X −1 (s)|| ≤ Ke−α(s−t) với s ≥ t.
Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi Rn = S ⊕U
và tồn tại K, α > 0 sao cho:
i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ S,
ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| với s ≥ t, y ∈ U .

v


Mệnh đề 1.3. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi tồn tại
họ các phép chiếu P (t) thỏa mãn sup ||P (t)|| < ∞ với P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s)
t∈R

∀t ≥ s và tồn tại các hệ số K, α > 0 sao cho
i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ Im P (s),
ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với s ≥ t, x ∈ Im Q(s),
trong đó Q(t) = Id − P(t).
Hệ nhị phân mũ đều có các tính chất rất tốt, ví dụ như tính vững, đặc trưng

Peron của hệ nhị phân mũ hay sự tồn tại đa tạp ổn định và đa tạp không ổn
định.
Sau đây, chúng ta phát biểu định lý Grobman-Hartman cho trường hợp ôtô-nôm.
Định lý 1.4. ([13]) Xét phương trình
x = Ax

(1.2)

và phương trình
x ∈ Rn

x = Ax + f (x),

sinh ra dòng ϕt , trong đó ||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y||.
Giả sử σ(A) ∩ iR = ∅, tức là (1.2) có nhị phân mũ đều. Khi đó, tồn tại đồng
phôi H trong lân cận mở của gốc tọa độ sao cho
etA ◦ H = H ◦ ϕt .
Ví dụ 1.5. (xem [13], trang 140) Cho hệ
x = x,

y = −y + x2

(1.3)

Khi đó, chúng ta tìm được đồng phôi
H=

1.2

x

y−

x3
3

Khái niệm nhị phân mũ không đều

Hệ nhị phân mũ không đều là trường hợp mở rộng của hệ nhị phân mũ đều
và ta hãy xem sự khác nhau và giống nhau căn bản của chúng.
vi


1.2.1

Định nghĩa và ví dụ

Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) là một hàm liên
tục trong khoảng mở J ⊂ R, và B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên
X.
Xét bài toán giá trị ban đầu
v = A(t)v

(1.4)

v(s) = vs
trong đó s ∈ J và vs ∈ X.
Ta viết nghiệm duy nhất của phương trình (1.4) dưới dạng
v(t) = T (t, s)v(s),
trong đó T (t, s) là toán tử tiến hóa và ta có T (t, t) = Id và
T (t, s) = T (t, r)T (r, s).

(1.5)

Định nghĩa 1.6. Phương trình (1.4) có nhị phân mũ không đều trên J nếu tồn
tại họ phép chiếu P : J → B(X) với
P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s)

∀t ≥ s,

(1.6)

và tồn tại các hệ số
a < 0 ≤ b, a, b ≥ 0, D1 , D2 ≥ 1

(1.7)

sao cho
||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s|
||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t|

(1.8)

trong đó Q(t) = Id − P (t).
Vậy a, b coi là số mũ Lyapunov, còn a và b đặc trưng cho tính không đều của
hệ nhị phân mũ.
Nhận xét 1.7. Như vậy từ hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũ
không đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a|s|
hoặc b|t|. Thực chất nhị phân mũ không đều tổng quát hơn nhị phân mũ đều
rất nhiều. Chẳng hạn, một hệ hữu hạn chiều chỉ cần có một số mũ Lyapunov có
phần thực âm là hệ có nhị phân mũ không đều. ([8, Định lý 10.6])

Ta cũng có thể định nghĩa thêm về hệ nhị phân mũ không đều mạnh với các
hệ số
a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b và a, b > 0.
(1.9)
vii


Định nghĩa 1.8. Ta nói hệ (1.4) là một nhị phân mũ không đều mạnh trong
J nếu tồn tại một họ phép chiếu P (t) thỏa mãn (1.6) và tồn tại các hệ số thỏa
mãn (1.9) sao cho
||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| ,

||T (s, t)P (t)|| ≤ D1 e−a(t−s)+a|t| ,

||T (t, s)Q(s)|| ≤ D2 eb(t−s)+b|s| ,

||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| .

(1.10)

Nhận xét 1.9. Rõ ràng một nhị phân mũ không đều mạnh là một nhị phân
mũ không đều nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Ta xét một số ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1.10. Xét phương trình cho trong R2 , cho bởi
x = −x,
y = ty.

(1.11)

Hệ (1.11) là một nhị phân mũ không đều trong R+ với

a = −1, b = 0, a = b = 0, và D1 = D2 = 1.
Tuy nhiên bất đẳng thức thứ ba trong (1.10) không thỏa mãn nếu b = +∞.
Do đó (1.11) không là một nhị phân mũ không đều mạnh.
Tiếp theo ta xét một ví dụ để phân biệt nhị phân mũ không đều và nhị phân
mũ đều.
Ví dụ 1.11. Cho w > a > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R2
u = (−w − at sin t)u,
v = (w + at sin t)v.

(1.12)

Mệnh đề 1.12. Hệ (1.12) là một nhị phân mũ không đều trong R nhưng không
là nhị phân mũ đều.
Chứng minh. Có thể kiểm tra rằng u(t) = U (t, s)u(s) và v(t) = V (t, s)v(s) trong
đó
U (t, s) = e−wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s ,
V (t, s) = ewt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s .
Toán tử tiến hóa của hệ (1.12) là
T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v).
viii


Giả sử P (t) là phép chiếu P (t)(u, v) = u. Thì P thỏa mãn điều kiện (1.6).
Ta chỉ ra tồn tại D sao cho
U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s,

(1.13)

V (s, t) ≤ De−(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s.

(1.14)

và
Đầu tiên ta viết lại U (t, s) như sau:
U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) .

(1.15)

Với t, s ≥ 0 thì từ (1.15) có
U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2as .
Hơn nữa nếu t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N thì
U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+2as .

(1.16)

Với t ≥ 0, s ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra
U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s) .
Cuối cùng nếu s ≤ t ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra
U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|s| .
Kết hợp với (1.13) với D = e2a và việc chứng minh cho V (t, s) trong (1.14)
là hoàn toàn tương tự.
Hơn nữa nếu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π thì
V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t| .

(1.17)

Vậy từ (1.13), (1.14) thì hệ (1.12) là hệ nhị phân mũ không đều. Nhưng ta
không thể bỏ e2a|s| và e2a|t| bằng cách cho D hoặc w − a đủ lớn nên hệ (1.12)
không là nhị phân mũ đều.

1.2.2

Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều

1.2.2.1

Tính vững

X là không gian Banach, A : J → B(X) là hàm liên tục trên J ⊂ R. Xét
phương trình
v = A(t)v

(1.18)

v(s) = vs , s ∈ J, vs ∈ X.
ix


Giả sử phương trình trên có nghiệm t ∈ J và T (t, s) là toán tử tiến hóa. Giả
sử phương trình trên là một nhị phân mũ không đều. Ta nói nhị phân là vững
nếu với B đủ nhỏ trong hệ
v = (A(t) + B(t))v

(1.19)

cũng là một nhị phân mũ không đều.
Với a, b thỏa mãn a < 0 < b, a, b > 0, D1 , D2 > 0 ta đặt
e = min{−a, b}, ϑ = max{a, b}, D = max{D1 , D2 }
2δD
D

, D=
.
c
1 − δD/(c + c)

c=c 1−

Định lý 1.13. (xem [8], trang 28)Toán tử A, B : J → B(X) là hàm liên tục
thỏa mãn
1) Phương trình (1.18) là nhị phân mũ không đều trên mỗi khoảng mở J,
2) ||B(t)|| ≤ δe−2ϑ|t| với ϑ < e, với mọi t ∈ J.
Nếu δ đủ nhỏ thì hệ (1.19) cũng là nhị phân mũ không đều trên J với hệ số c, ϑ
và D thay bởi c, 2ϑ và 4DD.

1.2.3

Không gian con ổn định và không ổn định

Giả sử hệ phương trình tuyến tính v = A(t)v là nhị phân mũ không đều trên
khoảng mở J ⊂ R. Xét hai không gian con tuyến tính
E(t) = P (t)X,

F (t) = Q(t)X,

(1.20)

với mỗi t ∈ J. Chúng ta tương ứng gọi E(t) và F (t) lần lượt là không gian con
ổn định và không ổn định tại thời điểm t. Rõ ràng là
X = E(t) ⊕ F (t) với mỗi t ∈ J
và dim E(t), dim F (t) là không phụ thuộc vào thời điểm t.

Nghiệm của (1.18) có thể được viết dưới dạng
v(t) = (U (t, s)ξ, V (t, s)η) ∈ E(t) × F (t),

∀t, s ∈ J, t ≤ s

trong đó v(s) = (ξ, η) và
U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s)
V (t, s) := T (t, s)Q(s) = T (t, s)Q(s)2 = Q(t)T (t, s)Q(s).
x

(1.21)


Từ (1.20) ta có thể dễ dàng suy ra rằng
U (t, s)E(s) = E(t) và V (t, s)F (s) = F (t)
với mỗi t, s ∈ J.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con ổn định và không gian ổn
định không phụ thuộc vào t, tức là E(t) = E, F (t) = F với mọi t, thì toán tử
T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F :
T (t, s) =

U (t, s)
0
0
V (t, s)

Hơn thế nữa, toán tử
U (t, s) : E(s) → E(t) và V (t, s) : F (s) → F (t)
là khả nghịch. Ký hiệu toán tử nghịch đảo tương ứng là U (t, s)−1 và V (t, s)−1 .
Rõ ràng

U (t, s)−1 = U (s, t) và V (t, s)−1 = V (s, t)
với mọi t, s ∈ J.
Ta có
||U (t, s)|| ≤ D1 .ea(t−s)+a|s| ,

||U (t, s)−1 || ≤ D1 .e−a(t−s)+a|t| ,

||V (t, s)|| ≤ D2 .eb(t−s)+b|s| ,

||V (t, s)−1 || ≤ D2 .e−b(t−s)+b|t| .

(1.22)

Tương tự, chúng ta có thể thay thế bất đẳng thức trong (1.10) bằng bất đẳng
thức đầu và cuối trong (1.22). Đặt t = s trong (1.10) chúng ta suy ra
||P (t)|| ≤ D1 .ea|t| ,

||Q(t)|| ≤ D2 .eb|t| .

Tiếp theo, ta định nghĩa góc giữa hai không gian con E(t), F (t).
α(t) = inf{||x − y|| : x ∈ E(t), y ∈ F (t), ||x|| = ||y|| = 1}.

(1.23)

Mệnh đề 1.14. Với mọi t ∈ J ta có:
1
2
1
2
≤ α(t) ≤

và
≤ α(t) ≤
.
||P ||
||P ||
||Q||
||Q||
Mệnh đề 1.14 cho ta biết góc của hai không gian con E(t) và F (t) là tách
khỏi 0.

xi


1.3
1.3.1

Một số kiến thức chuẩn bị
Tính liên tục H¨older

Xét f là một hàm trên không gian Euclide d-chiều thỏa mãn điều kiện H¨older
hay liên tục H¨
older nếu tồn tại hệ số thực không âm C, α thỏa mãn:
||f (x) − f (y)|| ≤ C||x − y||α
với mọi x, y thuộc miền xác định của f . Số α được gọi là số mũ H¨
older.
• Nếu α = 1 thì f thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
• Nếu α = 0 thì f bị chặn.

1.3.2

Định lý điểm bất động

Định nghĩa 1.15. Giả sử X là không gian metric với khoảng cách d. Ánh xạ
f : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ θ < 1 sao cho
d(f (x), f (y)) ≤ θd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Điểm x0 ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x0 ) = x0 .
Định lý 1.16. (Nguyên lý ánh xạ co)
Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ X vào chính nó có duy nhất điểm
bất động.

1.3.3

Bổ đề Gronwall-Bellman

Bổ đề 1.17. Cho λ(t) là hàm thực liên tục và µ(t) là hàm liên tục không âm
trên khoảng [a, b]. Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn tính chất
t

y(t) ≤ λ(t) +

µ(s)y(s)ds
a

với mọi t ∈ [a, b], thì cũng trên khoảng đó ta có
t

t

y(t) ≤ λ(t) +

µ(τ )dτ
λ(s)µ(s)e s

a

xii

ds.


Nếu λ(t) = λ là một hằng số thì
t

µ(s)ds
y(t) ≤

λea

.

Như vậy chương 1 tôi đã trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân
mũ không đều, so sánh hai khái niệm này. Tôi cũng đưa ra các tính chất của
nhị phân mũ không đều mà không chứng minh, bởi mục tiêu chính của luận văn
là chỉ ra sự tương đương tô–pô giữa hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ
phương trình vi phân không thuần nhất.

xiii


Chương 2

Tương đương tô-pô cho hệ
nhị phân mũ không đều
trong trường hợp thời gian
rời rạc
Chương 1 tôi đã trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không
đều cho phương trình vi phân. Trong chương 2 ta xét sự tương đương tô-pô cho
hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc.

2.1

Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ

Chúng ta sẽ chứng minh kết quả cho bài toán liên tục thông qua bài toán
rời rạc. Vì vậy, ta xét hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc hay
là nhị phân mũ không đều cho dãy các toán tử của phương trình sai phân
xm+1 = Am xm + fm (xm ).

2.1.1

Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều

Giả sử X là không gian Banach, B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn
trong X. Trước hết ta xét nhị phân mũ không đều rời rạc hay trường hợp nhị
phân mũ không đều cho dãy các toán tử. Xét một số điều kiện sau:
xiv


F1: Tồn tại toán tử tuyến tính khả nghịch Am ∈ B(X), m ∈ Z với nghịch
đảo A−1

m ∈ B(X).
F2: Tồn tại ánh xạ liên tục fm : X → X, m ∈ Z và hệ số δ > 0 và ϑ ≥ 0 với
mỗi m ∈ Z, ánh xạ Am + fm là đồng phôi và
||fm ||∞ = sup {||fm (x)|| : x ∈ X} ≤ δe−ϑ|m| .

(2.1)

F3: Tồn tại β ≥ 0, với mọi x, y ∈ X ta có
||fm (x) − fm (y)|| ≤ δe−β|m| ||x − y||,

m ∈ Z.

(2.2)

Nhận thấy rằng điều kiện F1 khá chặt, điều kiện F2 chỉ ra rằng nhiễu fm
của Am khá nhỏ khi δ đủ nhỏ, còn điều kiện F3 chỉ ra nhiễu fm của Am nhỏ
theo nghĩa hằng số Lipschitz nhỏ.
Dễ dàng thử được Gm = Am + fm là khả nghịch và nghịch đảo của nó là
Lipschitz.
Xét


nếu m > n,

Am−1 · · · An
A(m, n) =

Id



A−1 · · · A−1
m
n−1

nếu m = n,

nếu m < n.

Bây giờ ta đưa ra khái niệm nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời
rạc.
Định nghĩa 2.1. Dãy các toán tử (Am )m∈Z là hệ nhị phân mũ không đều nếu
tồn tại họ các phép chiếu Pn ∈ B(X) với n ∈ Z để
Pm A(m, n) = A(m, n)Pn ,

∀m, n ∈ Z, m ≥ n,

(2.3)

và tồn tại các hệ số
a < 0 ≤ b; a, b ≥ 0 và D ≥ 1
sao cho mọi m, n ∈ Z, m ≥ n ta có
||A(m, n)Pn || ≤ Dea(m−n)+a|n| ,
||A(m, n)−1 Qm || ≤ De−b(m−n)+b|m| ,

(2.4)

trong đó Qm = Id − Pm .
Với một dãy {Am } là hệ nhị phân mũ không đều trong không gian tuyến
tính Em = Pm X và Fm = Qm X với mỗi m ∈ Z. Ta gọi Em , Fm là không gian
con ổn định và không ổn định.

xv


Hiển nhiên Em ⊕ Fm = X với mọi m ∈ Z. Hơn nữa, dim Em và dim Fm
không phụ thuộc vào m.
Dãy toán tử
Bm := Am |Em : Em → Em+1
với mỗi m ∈ Z,
Cm := Am |Fm : Fm → Fm+1
là toán tử tuyến tính khả nghịch với nghịch đảo liên tục. Ta có phân tích
X = Em ⊕ Fm
thì
Am =

Bm
0

0
Cm

với m ∈ Z.

(2.5)

Với mỗi dãy {zm }m∈Z ⊂ X thỏa mãn zm+1 = Am zm với mọi m ∈ Z ta có
thể viết
zm = A(m, n)zn = (B(m, n)xn , C(m, n)yn ), m, n ∈ Z,
với zn = (xn ; yn ) ∈ Em × Fm và




Bm−1 · · · Bn
B(m, n) = Id


B −1 · · · B −1
m
n−1



Cm−1 · · · Cn
C(m, n) =

Id


C −1 · · · C −1
m

n−1

nếu m > n,
nếu m = n,
nếu m < n.
nếu m > n,
nếu m = n,
nếu m < n.

Khi đó (2.4) có thể viết

||B(m, n)|| ≤ Dea(m−n)+a|n| ,
||C(m, n)−1 || ≤ De−b(m−n)+b|m| .

(2.6)

Bây giờ ta sẽ đưa ra khái niệm chuẩn Lyapunov trong trường hợp hệ rời rạc.
Chọn > 0 sao cho < min{−a, b}. Nếu với mỗi m ∈ Z, ta định nghĩa
||B(k, m)x||e(−a−

||x||m =

)(k−m)

với x ∈ Em ,

k≥m

(2.7)
||C(m, k)−1 y||e(b−

||y||m =
k≤m

xvi

)(m−k)

với y ∈ Fm ,

và đặt
||(x, y)||m = ||x||m + ||y||m với mỗi (x, y) ∈ Em × Fm .

(2.8)

Áp dụng (2.6) ta thấy ||x||m , ||y||m là hữu hạn và
||x|| ≤ ||x||m ≤
và
||y|| ≤ ||y||m

Dea|m|
||x||
1 − e−

Deb|m|
≤
||y||.
1 − e−

Như vậy ta đã xét mối quan hệ giữa chuẩn thông thường và chuẩn Lyapunov
trên không gian con ổn định Em và trên không gian con không ổn định Fm . Bây
giờ ta xét mối quan hệ đó trên toàn không gian X.
Hệ quả 2.2. Với mỗi z ∈ X và m ∈ Z ta có:
2

||z|| ≤ ||z||m

2D
≤
e2 max{a,b}|m| ||z||.

1 − e−

(2.9)

Chứng minh. Ta có:
||(x, y)|| ≤ ||x|| + ||y|| ≤ ||x||m + ||y||m = ||(x, y)||m .
Mặt khác từ Pm (x, y) = x, Qm (x, y) = y và từ (2.4) ta có:
||(x, y)||m ≤

D
emax{a,b}|m| (||Pm || + ||Qm ||)||(x, y)||
−
1−e
2

2D
≤
e2 max{a,b}|m| ||(x, y)||.
1 − e−
Vậy ta đã chứng minh xong Hệ quả 2.2.
Hơn thế khi m ≥ n ta có
||B(m, n)|| :=
−1

||C(m, n)

||B(m, n)x||m
≤ e(a+
||x||n
x∈E\{0}

sup

)(m−n)

||C(m, n)−1 y||n
≤ e(−b+
|| := sup
||y||m
y∈F \{0}

xvii

)(m−n)

.


2.1.2

Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô

Định lý Grobman-Hartman chỉ ra tương đương tô-pô hệ tuyến tính Am và
hệ nhiễu Am + fm . Vì vậy để xây dựng sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân
mũ không đều cho trường hợp rời rạc, ta sẽ chứng minh theo ba bước sau:
1. Ta xây dựng liên hợp trái theo nghĩa: Tồn tại duy nhất hàm u
ˆm liên tục
thỏa mãn
Am ◦ u
ˆm = u
ˆm+1 ◦ (Am + fm )

(2.10)

A

X −−−m
−→ X

uˆ
u
ˆm 
 m+1
X −−−−−→ X
Am +fm

sao cho u
ˆm − Id là bị chặn với mỗi m ∈ Z.
2. Ta xây dựng liên hợp phải theo nghĩa: Tồn tại duy nhất vˆm liên tục thỏa
mãn
vˆm+1 ◦ Am = (Am + fm ) ◦ vˆm

(2.11)

A

X −−−m
−→ X




vˆ

v
ˆm

m+1

X −−−−−→ X
Am +fm

sao cho vˆm − Id là bị chặn với mỗi m ∈ Z.
3. Với mỗi m ∈ Z, những hàm trên thỏa mãn
u
ˆm ◦ vˆm = vˆm ◦ u
ˆm = Id

(2.12)

và chúng được gọi là ánh xạ liên hợp tô-pô. Thực ra u
ˆ và vˆ là nghịch đảo của
nhau.
Ta sẽ tìm hiểu tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp trong mục 2.2.
Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại duy nhất của các hàm u
ˆm thỏa mãn
(2.10) và vˆm thỏa mãn (2.11). Để thay thế (2.10), (2.11) ta có thể chứng minh
ˆm = u
ˆm+1 ◦ (Am + fm )
(Am + f m ) ◦ w

(2.13)

và chỉ ra sự tồn tại duy nhất hàm liên tục w
ˆm thỏa mãn (2.13) để có w
ˆm − Id
với mỗi m ∈ Z. Điều này cũng chỉ ra sự tồn tại và liên tục của nghịch đảo của
xviii


hàm u
ˆm . Dẫn đến f m = 0 ở (2.12) tương ứng với Định lý 2.3 và fm = 0 ở (2.12)
tương ứng với Định lý 2.4.
Xét không gian X các dãy u = (um )m∈Z của các hàm liên tục um : X → X
với
||u||∞ = sup{||um ||m : m ∈ Z} < ∞,
(2.14)
ở đó
||um ||m = sup{||um (x)||m : x ∈ X}.
Khi đó X là một không gian metric đầy đủ với chuẩn trên.
Đầu tiên ta chứng minh tương đương tô-pô liên hợp trái.
Định lý 2.3. (xem [8]) Giả sử điều kiện F1, F2 thỏa mãn. Nếu dãy {Am }m∈Z
là hệ nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ, thì tồn tại duy nhất
dãy {um }m∈Z ∈ X ∀m ∈ Z ta có:
Am ◦ u
ˆm = u
ˆm+1 ◦ (Am + fm ),

(2.15)

ở đó

u
ˆm = Id + um .
Chứng minh. Đặt
Gm = Am + fm
Khi đó phương trình (2.15) tương đương:
Am ◦ um − um+1 ◦ Gm = fm .

(2.16)

Ta viết
um = (bm , cm ),

fm = (gm , hm )

với giá trị trong Em × Fm . Từ điều kiện F1 ta có (2.16) thỏa mãn với mọi m ∈ Z
nếu và chỉ nếu
∀m ∈ Z.
(bm , cm ) = (bm , cm )
Trong đó
bm = (Bm−1 ◦ bm−1 − gm−1 ) ◦ G−1
m−1

(2.17)

−1
cm = Cm−1
◦ (cm+1 ◦ Gm + hm )

(2.18)

Giả sử u = (um )m∈Z = (bm , cm )m∈Z ∈ X. Ta định nghĩa S(u) = (bm , cm )m∈Z .
Khi đó để chứng minh định lý ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của điểm
cố định của S trong không gian X. Hay ta chỉ ra S(X) ⊂ X và S là phép co trong
xix


không gian metric đủ X. Ta có Gm là đồng phôi nên (bm , cm ) liên tục với mọi
m ∈ Z. Mặt khác sử dụng chuẩn Lyapunov trong (2.7), với mỗi z ∈ X ta có
−1
||B(k, m)Bm−1 bm−1 (Gm−1
(z))||e(−a−

||bm (z)||m ≤

)(k−m)

k≥m
(−a−
||B(k, m)gm−1 (G−1
m−1 (z))||e

+

)(k−m)

k≥m
(−a−
||B(k, m − 1)bm−1 (G−1
m−1 (z))||e

≤ ea+

)(k−(m−1))

k≥m−1

||B(k, m)||||gm−1 ||∞ e(−a−

+

)(k−m)

(2.19)

k≥m

≤ ea+ ||bm−1 (G−1
m−1 (z))||m−1
ea(k−m)+ϑ|m| e−ϑ|m−1| e−(a+

+ Dδ

)(k−m)

k≥m
ϑ
≤ ea+ ||bm−1 (G−1
m−1 (z))||m−1 + Dδe

e

(m−k)

.

k≥m

Đặt θ = Dδeϑ /(1 − e− ), với dãy b = (bm )m∈Z và b = (bm )m∈Z ta có
||bm ||∞ = sup ||bm ||m : m ∈ Z ≤ ea+ ||b||∞ + θ < ∞.

(2.20)

Tương tự với mỗi z ∈ X ta có
−1
||C(m, k)−1 Cm
cm+1 (Gm (z))||e(b−

||cm (z)||m ≤

)(m−k)

k≤m
−1
||C(m, k)−1 Cm
hm (z)||e(b−

+

)(m−k)

k≤m

≤ e−b+

||C(m + 1, k)−1 cm+1 (Gm (z))||e(b−

)(m+1−k)

k≤m+1

||C(m + 1, k)−1 ||||hm ||∞ e(b−

+

)(m−k)

(2.21)

k≤m

≤ e−b+ ||cm+1 (Gm (z))||m+1
e−b(m+1−k)+ϑ|m+1| e−ϑ|m| e(b−ϑ)(m−k)

+ Dδ
k≤m

≤ e−b+ ||cm+1 (Gm (z))||m+1 + Dθeϑ−b

eϑ(k−m) .
k≤m

Với dãy c = (cm )m∈Z , c = (cm )m∈Z ta có:
||c||∞ ≤ e−b+ϑ ||c||∞ + θ < ∞.
xx

(2.22)


Vậy từ (2.20) và (2.22) ta được S(u) ∈ X và vì vậy S : X → X là định nghĩa
hợp lý.
Ta đi chứng minh S là phép co.
Giả sử u1 = (b1,m ; c1,m )m∈Z và u2 = (b2,m ; c2,m )m∈Z trong X. Tương tự như
quá trình ở (2.19), với mỗi z ∈ X ta có:
−1
||b1,m − b2,m || ≤ ea+ ||b1,m−1 (G−1
m−1 (z)) − b2,m−1 (Gm−1 (z))||m−1

≤ ea+ ||b1,m−1 − b2,m−1 ||m−1 .
Vì vậy:
||b1 − b2 ||∞ ≤ ea+ ||b1 − b2 ||∞ .

(2.23)

Và tương tự như quá trình ở (2.21) ta có:
||c1,m (z) − c2,m (z)||m ≤ e−b+ ||c1,m+1 (Gm (z)) − c2,m+1 (Gm (z))||m+1
≤ e−b+ ||c1,m+1 − c2,m+1 ||m+1 .
Vì vậy:
||c1 − c2 ||∞ ≤ e−b+ ||c1 − c2 ||∞ .
Khi

(2.24)

< min{−a; b}, từ (2.23), (2.24) ta có:
||S(v1 ) − S(v2 )||∞ ≤ max ea+ , e−b+

||v1 − v2 ||∞ .

Vì vậy toán tử S là phép co. Nên tồn tại duy nhất dãy u ∈ X để S(u) = u.
Và ta kết thúc chứng minh Định lý 2.3.
Ta thấy rằng Định lý 2.3 không chỉ ra ánh xạ duy nhất u
ˆm là khả nghịch.
Nên để chỉ ra sự tồn tại của ánh xạ liên hợp tô-pô ta phải xét đến (2.11). Từ đó
ta đi vào Định lý 2.4 và ở Định lý này ta sẽ sử dụng điều kiện F3.
Để chứng minh Định lý 2.4 ta sử dụng phương pháp như trong chứng minh
Định lý 2.3. Đó là, ta sử dụng định lý điểm bất động để chỉ ra sự tồn tại duy
nhất của liên hợp phải.
Định lý 2.4. (xem [8]) Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = ϑ. Nếu
dãy {Am }m∈Z là nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ và δ đủ
nhỏ, thì tồn tại duy nhất (vm )m∈Z ∈ X sao cho với mọi m ∈ Z ta có
vˆm+1 ◦ Am = (Am + fm ) ◦ vˆm ,
trong đó
vˆm = Id + vm
xxi

(2.25)


Chứng minh. Phương trình (2.25) tương đương với
vm+1 ◦ Am − Am ◦ vm = fm ◦ vˆm

(2.26)

Ta viết vm = (dm ; em ), fm = (gm , hm ) có giá trị trong Em × Fm . Sử dụng
điều kiện F1 ta có (2.26) thỏa mãn với mọi m ∈ Z khi và chỉ khi
(dm ; em ) = (dm ; em ) với mọi m ∈ Z.
Trong đó:
dm = (Bm−1 ◦ dm−1 + gm−1 ◦ vˆm−1 ) ◦ A−1
m−1 ,

(2.27)

−1
em = Cm
◦ (em+1 ◦ Am − hm ◦ vˆm ).

(2.28)

Giả sử v = (vm )m∈Z = (dm , em )m∈Z ∈ X, ta định nghĩa
T (v) = (dm ; em )m∈Z .
Để chứng minh định lý ta chỉ ra T có điểm cố định duy nhất trong X. Đầu
tiên ta chỉ ra T (X) ⊂ X.
Với điều kiện F1, ánh xạ A−1
m liên tục nên (dm ; em ) liên tục với mọi m ∈ Z.
Vì vậy ta có
(−a−
||B(k, m)Bm−1 dm−1 (A−1
m−1 z)||e

||dm (z)|| ≤

)(k−m)

k≥m
(−a−
||B(k, m)gm−1 (ˆ
vm−1 (A−1
m−1 z))||e

+

)(k−m)

k≥m
(−a−
||B(k, m − 1)dm−1 (A−1
m−1 z)||e

≤ ea+

)(k−(m−1))

k≥m−1

||B(k, m)||||gm−1 ||∞ e(−a−

+

)(k−m)

.

k≥m

Tương tự như (2.19) ta có ||d||∞ < ∞.
Hoàn toàn tương tự ta có
−1
||C(m, k)−1 Cm
em+1 (Am z)||e(b−

||em ||m ≤

)(m−k

k≤m

||C(m, k)−1 hm (ˆ
vm (z))||e(b−

+

)(m−k)

k≤m

≤ e−b+

||C(m + 1, k)−1 em+1 (Am (z))||e(b−
k≤m+1

||C(m, k)−1 ||||hm ||∞ e(b−

+
k≤m

xxii

)(m−k)

,

)(m+1−k)


và tương tự như quá trình (2.21) ta có ||e||∞ < ∞. Vì vậy T (v) ∈ X và T : X → X
là xác định.
Ta chứng minh T là phép co. Giả sử vi = (di,m ; ei,m )m∈Z ∈ X với i = 1, 2.
Đặt
vˆi,m = Id + vi,m và Gi,m = vˆi,m ◦ A−1
m−1 .
Tương tự như (2.19), với mỗi z ∈ X ta có
||d1,m (z) − d2,m (z)||m
(−a−
||B(k, m − 1)(d1,m−1 − d2,m−1 )(A−1
m−1 z)||e

≤ ea+

)(k−m)

k≥m−1

||B(k, m)[gm−1 (G1,m−1 (z)) − gm−1 (G2,m−1 (z))]||e(−a−

+

)(k−m)

k≥m
−1
≤ ea+ ||d1,m−1 (A−1
m−1 z) − d2,m−1 (Am−1 z)||m−1

+ θ||ˆ
v1,m−1 (A−1
ˆ2,m−1 (A−1
m−1 z) − v
m−1 z)||
≤ ea+ ||d1,m−1 − d2,m−1 ||m−1 + θ||v1,m−1 − v2,m−1 ||m−1 .
Sử dụng (2.9) ta được
||d1,m − d2,m ||m ≤ ea+ ||d1,m−1 − d2,m−1 ||m−1 + θ||v1,m−1 − v2,m−1 ||m−1 (2.29)
và tương tự như (2.21) ta được
||e1,m (z) − e2,m (z)||m ≤
≤ e−b+

||C(m + 1, k)−1 (e1,m−1 (Am z) − e2,m−1 (Am z))||e(b−

)(m−k)

k≤m+1

||C(m + 1, k)−1 [hm−1 (ˆ
v1,m (z)) − hm−1 (ˆ
v2,m (z))]||e(b−

+

)(m−k)

k≥m

≤ e−b+ ||e1,m+1 − e2,m+1 ||m+1 + θ||ˆ
v1,m − vˆ2,m ||m .
Vì vậy
||e1,m (z) − e2,m (z)||m ≤ e−b+ ||e1,m+1 − e2,m+1 ||m+1 + θ||ˆ
v1,m − vˆ2,m ||m . (2.30)
Bởi (2.29) và (2.30), ta có
||T (v1 ) − T (v2 )||∞ ≤ max{ea+ , e−b+ } + 2θ ||v1 − v2 ||∞ .
Từ < min{−a, b}, với δ đủ nhỏ thì toán tử T là phép co, hay tồn tại duy
nhất v ∈ X sao cho T (v) = v. Ta đã thu được ánh xạ liên hợp phải.
xxiii


Từ Định lý 2.3 và Định lý 2.4 ta thu được ánh xạ liên hợp tô-pô.
Hệ quả 2.5. Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = ϑ. Nếu dãy
{Am }m∈Z là nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ và δ trong
(2.1), (2.2) là đủ nhỏ thì ánh xạ u
ˆm = Id + um và vˆm = Id + vm , với um như
trong Định lý 2.3 và vm như trong Định lý 2.4 là đồng phôi và thỏa mãn
u
ˆm ◦ vˆm = vˆm ◦ u

ˆm = Id.

(2.31)

Chứng minh. Từ sự liên tục của um trong Định lý 2.3 và vm trong Định lý 2.4
chỉ ra điều kiện (2.31). Đặt Gm = Am + fm . Bởi (2.15) và (2.25) ta có
u
ˆm+1 ◦ vˆm+1 ◦ Am = u
ˆm+1 ◦ Gm ◦ vˆm = Am ◦ u
ˆm ◦ vˆm ,

(2.32)

với mọi m ∈ Z. Do sup{||ˆ
um ◦ vˆm − Id||m : m ∈ Z} < ∞ vì vậy
(ˆ
um ◦ vˆm )m∈Z ∈ X.
Từ (2.32) và sự duy nhất của ánh xạ u
ˆm và vˆm trong Định lý 2.3 hoặc Định
lý 2.4 (với nhiễu fm = 0) thì
u
ˆm ◦ vˆm = Id, với mọi m ∈ Z.
Vì vậy u
ˆm và vˆm là tồn tại nghịch đảo và nghịch đảo liên tục và (2.31) được
thỏa mãn.

2.2

Tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp

Ta chỉ ra rằng ánh xạ liên hợp tô-pô um và vm trong Hệ quả 2.5 là liên tục
H¨
older.

2.2.1

Tính chính quy H¨
older của ánh xạ liên hợp

Ta sẽ định nghĩa nhị phân mũ không đều mạnh cho dãy toán tử.
Định nghĩa 2.6. Ta nói dãy toán tử tuyến tính (Am )m∈Z là nhị phân mũ không
đều mạnh nếu tồn tại các phép chiếu Pn ∈ B(X) với n ∈ Z thỏa mãn (2.3) và
tồn tại các hệ số
a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b, a, b ≥ 0 và D ≥ 1,

xxiv


sao cho với mọi m, n ∈ Z, với m ≥ n ta có
||A(m, n)Pn || ≤ Dea(m−n)+a|n| ,
||A(m, n)−1 Qm || ≤ De−b(m−n)+b|m| ,
và với mọi m, n ∈ Z với m ≤ n ta có
||A(m, n)Pn || ≤ De−a(n−m)+a|n| ,
||A(m, n)−1 Qm || ≤ Deb(n−m)+b|m| .
Nhận thấy (Am )m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh thì sẽ là nhị phân mũ
không đều.
Bây giờ ta giả sử rằng có một nhị phân mũ không đều mạnh, và gọi α0 =
min{a/a; b/b}. Khi đó ta có kết quả cơ bản liên quan tới tính chính quy của ánh
xạ liên hợp trong Hệ quả 2.5.

Định lý 2.7. Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = 4ϑ. Nếu dãy
các toán tử tuyến tính (Am )m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh với b > 0 và
max{a, b} ≤ ϑ thì với mỗi α ∈ (0; α0 ), với δ trong (2.1), (2.2) là đủ nhỏ (phụ
thuộc α), với dãy duy nhất (um )m∈Z ∈ X trong Định lý 2.3 và (vm )m∈Z ∈ X
trong Định lý 2.4 thì tồn tại K > 0 (phụ thuộc α và δ) sao cho
||um (x) − um (y)|| ≤ Ke2 max{a,b}α|m| ||x − y||α ,
||vm (x) − vm (y)|| ≤ Ke2 max{a,b}α|m| ||x − y||α ,
với mọi m ∈ Z và x, y ∈ X và
||x − y|| ≤ e−2 max{a,b}|m| .
Định lý 2.7 là hệ quả của Định lý 2.10 và Định lý 2.11 và Hệ quả 2.9..

2.2.2

Chuẩn Lyapunov

Ta cần đưa vào một chuẩn Lyapunov mới sao cho phù hợp với khái niệm nhị
phân mũ không đều mạnh.
Chọn > 0 sao cho < min{−a, b}. Với mỗi m ∈ Z, ta đặt
||x||∗m =

||B(k, m)x||e−(a+ϑ)(k−m) +
k≥m

||B(k, m)x||e(a−ϑ)(m−k) , với x ∈ Em ,
k
(2.33)

xxv