Số phức_01

Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 5
Chơng 1
Số phức



Đ1. Trờng số phức

Kí hiệu = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng và phép
toán nhân nh sau
(x, y), (x, y)
(x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)
(x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy

+ xy) (1.1.1)

Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) và (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1)

Định lý (, +, ì ) là một trờng số.
Chứng minh
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1)
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không là (0, 0)
(x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mọi phần tử có phần tử đối là -(x, y) = (-x, -y)
(x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị là (1, 0)
(x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y)
Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo là (x, y)
-1
= (

22
yx
x
+
,
22
yx
y
+

)
(x, y) - {(0, 0)}, (x, y) ì (
22
yx
x
+
,
22
yx
y
+

) = (1, 0)
Ngoài ra phép nhân là phân phối với phép cộng

Trờng (, +, ì ) gọi là trờng số phức, mỗi phần tử của gọi là một số phức.
Theo định nghĩa trên mỗi số phức là một cặp hai số thực với các phép toán thực hiện
theo công thức (1.1.1). Trên trờng số phức phép trừ, phép chia và phép luỹ thừa định
nghĩa nh sau.
(n, z, z) ì ì

*
với
*
= - { (0, 0) }
z - z = z + (- z),
'z
z
= z
ì
(z)
-1
và z
0
= 1, z
1
= z và z
n
= z
n-1

ì
z (1.1.2)

Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0)
Chơng 1. Số Phức
Trang 6 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
x (x, 0), 1 (1, 0) và 0 (0, 0)
tập số thực trở thành tập con của tập số phức. Phép cộng và phép nhân các số phức hạn
chế lên tập số thực trở thành phép cộng và phép nhân các số thực quen thuộc.
x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, ...

Ngoài ra trong tập số phức còn có các số không phải là số thực. Kí hiệu i = (0, 1) gọi là
đơn vị ảo. Ta có
i
2
= (0, 1) ì (0, 1) = (-1, 0) -1
Suy ra phơng trình x
2
+ 1 = 0 có nghiệm phức là x =
1
3.
Nh vậy trờng số thực (3, +, ì) là một trờng con thực sự của trờng số phức (, +, ì).




Đ2. Dạng đại số của số phức

Với mọi số phức z = (x, y) phân tích
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) 1 và đơn vị ảo (0, 1) i, ta có
z = x + iy (1.2.1)
Dạng viết (1.2.1) gọi là dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gọi là phần thực, số
thực y = Imz gọi là phần ảo và số phức z = x - iy gọi là liên hợp phức của số phức z.
Kết hợp các công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức.

(x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y)
(x + iy) ì (x + iy) = (xx - yy) + i(xy + xy)

yix
iyx

+

+
=
22
yx
yyxx

+


+

+ i
22
yx
yxyx

+




, ... (1.2.2)

Ví dụ Cho z = 1 + 2i và z = 2 - i
z ì z = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i,
'z
z

=
i2
i21

+
= i
z
2
= (1 + 2i) ì (1 + 2i) = -3 + 5i, z
3
= z
2
ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i

Từ định nghĩa suy ra
z = z z 3 z = - z z i3
z
= z
z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re
2
z + Im
2
z (1.2.3)

Ngoài ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý

(n, z, z)

ì



ì



Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 7
1. 'zz +
= z + 'z
2. 'zz = z 'z
n
z =
n
)z(
3.
1
z

=
1
)z(


z

z

=
z
z


Chứng minh

1. Suy ra từ định nghĩa
2. Ta có 'zz =
)yix(iy) (x

+

ì+ = (xx - yy) - i(xy + xy)
z 'z = (x - iy) ì (x - iy) = (xx - yy) + i(-xy -xy)
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.
3. Ta có
1
zz

= z
1
z

= 1
1
z

= ( z )
-1

Suy ra z/z

=
1
)z(z


= z
1
z




Với mọi số phức z = x + iy, số thực | z | =
22
yx + gọi là
module
của số phức z.
Nếu z = x 3 thì | z | = | x |. Nh vậy module của số phức là mở rộng tự nhiên của khái
niệm trị tuyệt đối của số thực. Từ định nghĩa suy ra
| Rez |, | Imz | | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |
2

z
-1
= z

|z|
1
2

'z
z
= z(z)
-1
=
2
|'z|
1
z 'z (1.2.4)
Ngoài ra module của số phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý
(n, z, z) ì ì
1. | z | 0 | z | = 0 z = 0
2. | z z | = | z || z | | z
n
| = | z |
n
3. | z
-1
| = | z |
-1

z
z

=
|z|
|z|


4. | z + z | | z | + | z | || z | - | z|| | z - z |
Chứng minh

1. Suy ra từ định nghĩa
2. Ta có | zz |
2
= zz 'zz = (z z )(z z

) = (| z || z| )
2

Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.
3. Ta có | z z
-1
| = | z || z
-1
| = 1

| z
-1
| = 1 / | z |
Suy ra | z / z | = | z (z)
-1
| = | z | | (z)
-1

|
4. Ta có z z

+ z z = 2Re(z z

) | z z

= | z || z|
Suy ra | z + z
2
= (z + z)( 'zz + ) = z
2
+ 2Re(z z

) + | z|
2
(| z | + | z|)
2




Đ3. Dạng lợng giác của số phức

Chơng 1. Số Phức
Trang 8 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Với mọi số phức z = x + iy
*
tồn tại duy nhất số thực (-, ] sao cho
cos =

|z|
x
và sin

=
|z|
y
(1.3.1)
Tập số thực Argz = + k2, k 9 gọi là argument, số thực argz = gọi là argument
chính của số phức z. Chúng ta qui ớc Arg(0) = 0.
Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra
x = rcos và y = rsin
Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc
z = r(cos + isin) (1.3.2)
Dạng viết (1.3.2) gọi là dạng lợng giác của số phức.

Từ định nghĩa suy ra
argz = arg(-z) = - , arg z = - và arg(- z ) = -
x > 0, argx = 0 x < 0, argx =
y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = -/2 ... (1.3.3)
Ngoài ra argument của số phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý (n, z, z) ì ì
1. arg(zz) = argz + argz [2] arg(z
n
) = n argz [2]
2. arg(z
-1
) = - argz [2] arg(z / z) = argz - argz [2]
Chứng minh

1. Giả sử z = r(cos + isin) và z = r(cos + isin)
Suy ra
zz = rr[(coscos - sinsin) + i(sincos + cossin)]
= rr[cos( + ) + isin( + )]
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.
2. Ta có
arg(zz
-1
) = arg(z) + arg(z
-1
) = 0 [2] arg(z
-1
) = - arg(z) [2]
Suy ra
arg(z / z) = arg(zz
-1
) = argz + arg(z
-1
)

Ví dụ Cho z = 1 + i và z = 1 +
3
i
Ta có zz = [
2
(cos
4

+ isin
4

)][2(cos
6

+ isin
6

)] = 2
2
(cos
12
5
+ isin
12
5
)
z
100
= (
2
)
100
[cos(100
4

) + isin(100
4

)] = -2
50

Với mọi số thực 3, kí hiệu
e
i

= cos + i sin (1.3.4)
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 9
Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây.

Định lý (n, , ) ì 3 ì 3
1. e
i

0 e
i

= 1 = k2
i
e = e
-i


2. e
i(

+

)

= e
i

e
i


(e
i

)
-1
= e
-i

(e
i

)
n
= e
in


Chứng minh
Suy ra từ công thức (1.3.4) và các kết quả ở trên

Hệ quả (n, ) ì 3
1. (cos + isin)
n

= cosn + isinn (1.3.5)
2. cos =
2
1
(e
i

+ e
-i

) sin

=
i2
1
(e
i

- e
-i

) (1.3.6)
Công thức (1.3.5) gọi là công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi là công thức Euler.

Ví dụ Tính tổng C =

=

n
0k

kcos
và S =

=

n
0k
ksin

Ta có C + iS =

=

n
0k
ik
e
=
1e
1e
i
)1n(i



+

Suy ra C =
1cos
1cosncos)1ncos(

2
1

++
và S =
1cos
sinnsin)1nsin(
2
1

+


Số phức w gọi là căn bậc n của số phức z và kí hiệu là w =
n
z
nếu z = w
n

Nếu z = 0 thì w = 0
Xét trờng hợp z = re
i

0 và w = e
i


Theo định nghĩa w
n
=

n
e
in

= re
i


Suy ra
n
= r và n = + m2
Hay =
n
r
và =
n

+ m
n
2
với m 9
Phân tích m = nq + k với 0 k < n và q 9. Ta có

n

+ m
n
2

n

+ k
n
2
[2]
Từ đó suy ra định lý sau đây.

Định lý
Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau
w
k
=
n
r
[cos (
n

+ k
n
2
) + isin(
n

+ k
n
2
)] với k = 0 ... (n - 1) (1.3.7)

Ví dụ
Chơng 1. Số Phức

Trang 10 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
1. Số phức z = 1 + i =
2
(cos
4

+ isin
4

) có các căn bậc 3 sau đây
w
0
=
6
2 (cos
12

+ isin
12

), w
1
=
6
2 (cos
12
9
+ isin
12
9

), w
2
=
6
2 (cos
12
17
+ isin
12
17
)
2. Giải phơng trình x
2
- x +1 = 0
Ta có = -3 < 0 phơng trình có nghiệm phức x
1,2
=
2
3i1


Hệ quả
Kí hiệu
k
=
n
2
ik
e

, k = 0...(n - 1) là các căn bậc n của đơn vị.
1.
k

=
n-k
2.
k
= (
1
)
k
3.


=

1n
0k
k
= 0

Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j =
3
2
i
e

=
1

. Suy ra
2
= j
2
= j và 1 + j + j
2
= 0




Đ4. Các ứng dụng hình học phẳng

Kí hiệu V là mặt phẳng vectơ với cơ sở trực chuẩn dơng (
i
,
j
). Anh xạ
: V, z = x + iy
v
= x
i
+ y
j
(1.4.1)
là một song ánh gọi là
biểu diễn vectơ
của số phức. Vectơ
v
gọi là

ảnh
của số phức z,
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của vectơ
v
và kí hiệu là
v
(z).
Kí hiệu P là mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2)
là một song ánh gọi là
biểu diễn hình học
của số phức. Điểm M gọi là
ảnh
của số phức z
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của điểm M và kí hiệu là M(z).
Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M
1
(- z ), M
2
(-z) và M
3
( z ).
Nếu z = x 3 thì điểm M(z) (Ox), còn nếu z = iy thì điểm
M(z) (Oy). Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi là mặt phẳng
phức, trục (Ox) là trục thực và trục (Oy) là trục ảo. Sau này
chúng ta sẽ đồng nhất mỗi số phức với một vectơ hay một điểm

trong mặt phẳng và ngợc lại.

Định lý
Cho các vectơ
u
(a),
v
(b) V, số thực 3 và điểm M(z) P
1. |
u
| = | a | (
i
,
u
) = arg(a) (a + b) =
u
+
v
2. |
OM
| = | z | (
i
,
OM
) = arg(z)
Chứng minh
0
M
M
1

M
2

M
3