Hệ phương trình tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (269.15 KB, 45 trang )
Chu
.
o
.
ng 4
Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c
kh´ac0 ......................132
4.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n............133
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t . . 165
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh
th´u
.
ckh´ac 0
Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
P d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆe
.
Cramer
1
nˆe
´
usˆo
´
phu
.
o
.
ng tr`ınh b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa
’
nv`ad
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n (ma
trˆa
.
nhˆe
.
sˆo
´
)cu
’
ahˆe
.
l`a kh´ac khˆong.
1
G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho
.
c Thu
.
yS˜ı.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 133
Hˆe
.
Cramer c´o da
.
ng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ···+ a
1n
x
n
= h
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ···+ a
2n
x
n
= h
2
,
... ... ... ... ... ...
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ···+ a
nn
x
n
= h
n
(4.1)
hay du
.
´o
.
ida
.
ng ma trˆa
.
n
AX = H (4.2)
trong d
´o
A =
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn
,X=
x
1
x
2
.
.
.
x
n
,H=
h
1
h
2
.
.
.
h
n
ho˘a
.
c
a
11
a
21
.
.
.
a
n1
x
1
+
a
12
a
22
.
.
.
a
n2
x
2
+ ···+
a
1n
a
2n
.
.
.
a
nn
x
n
=
h
1
h
2
.
.
.
h
n
.
4.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n
V`ı detA =0nˆentˆo
`
nta
.
i ma trˆa
.
n nghi
.
ch da
’
o A
−1
. Khi d´ot`u
.
(4.2) ta
thu d
u
.
o
.
.
c
A
−1
AX = A
−1
H ⇒ EX = X = A
−1
H.
Vˆa
.
yhˆe
.
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tl`a
X = A
−1
H. (4.3)
Tuy nhiˆen viˆe
.
c t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o n´oi chung l`a rˆa
´
tph´u
.
cta
.
pnˆe
´
u
cˆa
´
pcu
’
a ma trˆa
.
n A l´o
.
n.
134 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer
Nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tcu
’
ahˆe
.
Cramer du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo cˆong th´u
.
c
Cramer:
x
j
=
det(A
j
)
detA
,j=
1,n (4.4)
trong d
´o A
j
l`a ma trˆa
.
nthudu
.
o
.
.
ct`u
.
ma trˆa
.
n A b˘a
`
ng c´ach thay cˆo
.
t
th´u
.
j bo
.
’
icˆo
.
t c´ac hˆe
.
sˆo
´
tu
.
.
do H, v`a c´ac cˆo
.
t kh´ac gi˜u
.
nguyˆen.
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss
Nˆo
.
i dung chu
’
yˆe
´
ucu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Gauss (hay thuˆa
.
t to´an Gauss) l`a
khu
.
’
liˆen tiˆe
´
p c´ac ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
. Thuˆa
.
t to´an Gauss du
.
.
a trˆen c´ac ph´ep biˆe
´
n
d
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh. D
´o l`a c´ac ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i:
1
+
Nhˆan mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ao d
´ocu
’
ahˆe
.
v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
kh´ac 0.
2
+
Thˆem v`ao mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ao d
´ocu
’
ahˆe
.
mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh
kh´ac nhˆan v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
t`uy ´y.
3
+
Dˆo
’
ichˆo
˜
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ahˆe
.
.
D
-
i
.
nh l´y. Mo
.
iph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p thu
.
.
chiˆe
.
ntrˆen hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(4.1) d
ˆe
`
udu
.
ad
ˆe
´
nmˆo
.
thˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh m´o
.
itu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng.
Viˆe
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
ptrˆenhˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınnh
(4.1) thu
.
.
cchˆa
´
t l`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac h`ang
cu
’
a ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
.
Do d
´o sau mˆo
.
tsˆo
´
bu
.
´o
.
cbiˆe
´
nd
ˆo
’
itathudu
.
o
.
.
chˆe
.
(4.1) tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
v´o
.
ihˆe
.
tam gi´ac
b
11
x
1
+ b
12
x
2
+ ···+ b
1n
x
n
= h
1
b
22
x
2
+ ···+ b
2n
x
n
= h
2
... ... ...
b
nn
x
n
= h
n
T`u
.
d
´or´ut ra x
n
,x
n−1
,...,x
2
,x
1
.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 135
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh sau b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n
1)
x
1
+ x
2
+ x
3
=4,
x
1
+2x
2
+4x
3
=4,
x
1
+3x
2
+9x
3
=2.
(4.5)
2)
3x
1
+2x
2
− x
3
=1,
x
1
+ x
2
+2x
3
=2,
2x
1
+2x
2
+5x
3
=3.
(4.6)
Gia
’
i. 1) Ta k´yhiˆe
.
u
A =
111
124
139
,X=
x
1
x
2
x
3
,H=
4
4
2
.
Khi d
´ophu
.
o
.
ng tr`ınh (4.5) c´o da
.
ng
AX = H.
V`ı detA =2=0nˆenA c´o ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o v`a do vˆa
.
yhˆe
.
(4.5) c´o
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t:
X = A
−1
H.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng
A
−1
=
3 −31
−
5
2
4 −
3
2
1
2
−1
1
2
v`a do d
´o
x
1
x
2
x
3
=
3 −31
−
5
2
4 −
3
2
1
2
−1
1
2
4
4
2
.
136 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep nhˆan ma trˆa
.
no
.
’
vˆe
´
pha
’
itathud
u
.
o
.
.
c
x
1
=3· 4 − 3 · 4+1· 2=2,
x
2
= −
5
2
· 4+4· 4 −
3
2
· 2=3,
x
3
=
1
2
· 4 − 1 · 4+
1
2
· 2=−1.
2) Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ahˆe
.
v`a t`ım A
−1
:
A =
32−1
11 2
22 5
⇒ A
−1
=
1 −12 5
−117−7
0 −21
.
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng
x
1
x
2
x
3
=
1 −12 5
−117−7
0 −21
1
2
3
=
−8
12
−1
t´u
.
cl`a
x
1
=8,x
2
=12,x
3
= −1.
V´ı d u
.
2.
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
c Cramer, gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
1)
x
1
+2x
2
+3x
3
=6,
2x
1
− x
2
+ x
3
=2,
3x
1
− x
2
− 2x
3
=2.
(4.7)
2)
x
1
− 2x
2
+3x
3
− x
4
=6,
2x
1
+3x
2
− 4x
3
+4x
4
=7,
3x
1
+ x
2
− 2x
3
− 2x
4
=9,
x
1
− 3x
2
+7x
3
+6x
4
= −7.
(4.8)
Gia
’
i. 1)
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c (4.4)
x
j
=
det(A
j
)
detA
,j=
1, 3
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 137
trong d´o
detA =
12 3
3 −11
31−2
=30= 0; detA
1
=
62 3
2 −11
21−2
= 30;
detA
2
=
16 3
22 1
32−2
= 30; detA
3
=
126
2 −12
312
=30.
T`u
.
d
´o suy ra
x
1
=1,x
2
=1,x
3
=1.
2) T´ınh d
i
.
nh th´u
.
ccu
’
ahˆe
.
:
detA =
1 −23−1
23−44
31−2 −2
1 −37 6
=35.
V`ı detA =0nˆen hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t v`a nghiˆe
.
md
u
.
o
.
.
c t`ım theo
cˆong th´u
.
c (4.4). Ta t´ınh c´ac d
i
.
nh th´u
.
c
det(A
1
)=
6 −23−1
−73−44
91−2 −2
−7 −37 6
=70,
138 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
det(A
2
)=
16 3−1
2 −7 −44
39−2 −2
1 −77 6
= −35,
det(A
3
)=
1 −26−1
23−74
31 9−2
1 −3 −76
=0,
det(A
4
)=
1 −23 6
23−4 −7
31−29
1 −37−7
= −70.
Do d
´o
x
1
=
det(A
1
)
detA
=2,x
2
=
det(A
2
)
detA
= −1,
x
3
=
det(A
3
)
detA
=0,x
4
=
det(A
4
)
detA
= −2.
V´ı d u
.
3.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
1)
x
1
− 2x
3
= −3,
−2x
1
+ x
2
+6x
3
=11,
−x
1
+5x
2
− 4x
3
= −4.
2)
2x
1
− x
2
+3x
3
− x
4
=9,
x
1
+ x
2
− 2x
3
+4x
4
= −1,
3x
1
+2x
2
− x
3
+3x
4
=0,
5x
1
− 2x
2
+ x
3
− 2x
4
=9.
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 139
Gia
’
i. 1) Lˆa
.
p ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng v`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i:
A =
10−2
−3
−21 6
11
−15−4
−4
h
2
+2h
1
→ h
2
h
3
+ h
1
→ h
3
−→
10−2
−3
01 2
5
05−6
−7
−→
h
3
− 5h
2
→ h
3
10 −2
−3
01 2
5
00−16
−32
.
T`u
.
d
´o suy ra
x
1
− 2x
3
= −3
x
2
+2x
3
=5
−16x
3
= −32
⇒ x
1
=1,x
2
=1,x
3
=2.
2) Lˆa
.
p ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng v`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p:
2 −13−1
9
11−24
−1
32−13
0
5 −21−2
9
h
1
→ h
2
h
2
→ h
1
−→
11−24
−1
2 −13−1
9
32−13
0
5 −21−2
9
−→
h
2
− 2h
1
→ h
2
h
3
− 3h
1
→ h
3
h
4
− 5h
1
→ h
4
11−24
−1
0 −37 −9
11
0 −15 −9
3
0 −711−22
14
h
2
→ h
3
h
3
→ h
2
−→
140 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
−→
11−24
−1
0 −15 −9
3
0 −37 −9
11
0 −711−22
14
h
3
− 3h
2
→ h
3
h
4
− 7h
2
→ h
4
−→
11 −24
−1
0 −15−9
3
00 −818
2
00−24 41
−7
−→
h
4
− 3h
3
→ h
4
11−24
−1
0 −15 −9
3
00−818
2
00 0−13
−13
T`u
.
d
´o suy ra r˘a
`
ng x
1
=1,x
2
= −2, x
3
=2,x
4
=1.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh sau
1.
x
1
− x
2
+2x
3
=11,
x
1
+2x
2
− x
3
=11,
4x
1
− 3x
2
− 3x
3
=24.
.(D
S. x
1
=9,x
2
=2,x
3
=2)
2.
x
1
− 3x
2
− 4x
3
=4,
2x
1
+ x
2
− 3x
3
= −1,
3x
1
− 2x
2
+ x
3
=11.
.(D
S. x
1
=2,x
2
= −2, x
3
=1)
3.
2x
1
+3x
2
− x
3
=4,
x
1
+2x
2
+2x
3
=5,
3x
1
+4x
2
− 5x
3
=2.
.(D
S. x
1
= x
2
= x
3
=1)
4.1. Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 141
4.
x
1
+2x
2
+ x
3
=8,
−2x
1
+3x
2
− 3x
3
= −5,
3x
1
− 4x
2
+5x
3
=10.
.(D
S. x
1
=1,x
2
=2,x
3
=3)
5.
2x
1
+ x
2
− x
3
=0,
3x
2
+4x
3
= −6,
x
1
+ x
3
=1.
.(D
S. x
1
=1,x
2
= −2, x
3
=0)
6.
2x
1
− 3x
2
− x
3
+6 =0,
3x
1
+4x
2
+3x
3
+5 =0,
x
1
+ x
2
+ x
3
+2 =0.
.(D
S. x
1
= −2, x
2
=1,x
3
= −1)
7.
x
2
+3x
3
+6 =0,
x
1
− 2x
2
− x
3
=5,
3x
1
+4x
2
− 2x =13.
.(D
S. x
1
=3,x
2
=0,x
3
= −2)
8.
2x
1
− x
2
+ x
3
+2x
4
=5,
x
1
+3x
2
− x
3
+5x
4
=4,
5x
1
+4x
2
+3x
3
=2,
3x
1
− 3x
2
− x
3
− 6x
4
= −6.
.
(D
S. x
1
=
1
3
, x
2
= −
2
3
, x
3
=1,x
4
=
4
3
)
9.
x
1
− 2x
2
+3x
3
− x
4
= −8,
2x
1
+3x
2
− x
3
+5x
4
=19,
4x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= −1,
3x
1
+2x
2
− x
3
− 2x
4
= −2.
.
(D
S. x
1
= −
1
2
, x
2
=
3
2
, x
3
= −
1
2
, x
4
=3)
10.
x
1
− x
3
+ x
4
=3,
2x
1
+3x
2
− x
3
− x
4
=2,
5x
1
− 3x
4
= −6
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
=2.
.
(D
S. x
1
=0,x
2
=1,x
3
= −1, x
4
=2)
142 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
11.
2x
1
+3x
2
+8x
4
=0,
x
2
− x
3
+3x
4
=0,
x
3
+2x
4
=1,
x
1
+ x
4
= −24
.
(D
S. x
1
= −19, x
2
= 26, x
3
= 11, x
4
= −5)
12.
3x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
=0,
2x
1
+3x
2
− x
4
=0,
x
1
+5x
2
− 3x
3
=7,
3x
2
+2x
3
+ x
4
=2,
.
(D
S. x
1
= −1, x
2
=1,x
3
= −1, x
4
=1)
13.
x
1
− 2x
2
+ x
3
− 4x
4
− x
5
=13,
x
1
+2x
2
+3x
3
− 5x
4
=15,
x
2
− 2x
3
+ x
4
+3x
5
= −7,
x
1
− 7x
3
+8x
4
− x
5
= −30,
3x
1
− x
2
− 5x
5
=4.
.
(D
S. x
1
=1,x
2
= −1, x
3
=2,x
4
= −2, x
5
=0)
14.
x
1
+ x
2
+4x
3
+ x
4
− x
5
=2,
x
1
− 2x
2
− 2x
3
+3x
5
=0,
4x
2
+3x
3
− 2x
4
+2x
5
=2,
2x
1
− x
3
+3x
4
− 2x
5
= −2,
3x
1
+2x
2
− 5x
4
+3x
5
=3.
.
(D
S. x
1
=
2
5
, x
2
= −
3
5
, x
3
=
4
5
, x
4
=0,x
5
=0)
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 143
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
Tax´ethˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh gˆo
`
m m phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i
n ˆa
’
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ···+ a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ···+ a
2n
x
n
= b
2
,
... ... ... ... ...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ···+ a
mn
x
n
= b
m
,
(4.9)
v´o
.
i ma trˆa
.
nco
.
ba
’
n
A =
a
11
a
12
... a
1n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
v`a ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng
A =
a
11
a
12
... a
1n
b
1
... ... ... ...
...
a
m1
a
m2
... a
mn
b
m
Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng r(A) r(
A)v`ımˆo
˜
id
i
.
nh th´u
.
c con cu
’
a A d
ˆe
`
ul`adi
.
nh
th´u
.
c con cu
’
a
A nhu
.
ng khˆong c´o d
iˆe
`
u ngu
.
o
.
.
cla
.
i. Ta luˆon luˆon gia
’
thiˆe
´
t
r˘a
`
ng c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
n A khˆong d
ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0 tˆa
´
tca
’
.
Ngu
.
`o
.
i ta quy u
.
´o
.
cgo
.
id
i
.
nh th´u
.
c con kh´ac 0 cu
’
amˆo
.
t ma trˆa
.
nm`a
cˆa
´
pcu
’
an´ob˘a
`
ng ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
nd
´ol`adi
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
cu
’
a n´o.
Gia
’
su
.
’
d
ˆo
´
iv´o
.
i ma trˆa
.
nd
˜a cho ta d˜acho
.
nmˆo
.
tdi
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
.
Khi d
´o c´ac h`ang v`a c´ac cˆo
.
t m`a giao cu
’
ach´ung lˆa
.
p th`anh di
.
nh th´u
.
c
con co
.
so
.
’
d
´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`ang, cˆo
.
tco
.
so
.
’
.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa. 1
+
Bˆo
.
c´o th´u
.
tu
.
.
n sˆo
´
(α
1
,α
2
,...,α
n
)du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a nghiˆe
.
m
cu
’
ahˆe
.
(4.9) nˆe
´
u khi thay x = α
1
,x= α
2
,...,x= α
n
v`ao c´ac phu
.
o
.
ng
tr`ınh cu
’
a (4.9) th`ı hai vˆe
´
cu
’
amˆo
˜
iphu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
a (4.9) tro
.
’
th`anh
d
ˆo
`
ng nhˆa
´
t.
144 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
2+ Hˆe
.
(4.9) du
.
o
.
.
cgo
.
il`atu
.
o
.
ng th´ıch nˆe
´
u c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
t nghiˆe
.
mv`a
go
.
il`akhˆong tu
.
o
.
ng th´ıch nˆe
´
u n´o vˆo nghiˆe
.
m.
3
+
Hˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ahˆe
.
x´ac d
i
.
nh nˆe
´
u n´o c´o nghiˆe
.
m duy
nhˆa
´
t v`a go
.
il`ahˆe
.
vˆo d
i
.
nh nˆe
´
u n´o c´o nhiˆe
`
uho
.
nmˆo
.
t nghiˆe
.
m.
D
-
i
.
nh l´y Kronecker-Capelli.
2
Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh (4.9)
tu
.
o
.
ng th´ıch khi v`a chı
’
khi ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nb˘a
`
ng ha
.
ng cu
’
a
ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
,t´u
.
cl`ar(A)=r(
A).
D
ˆo
´
iv´o
.
ihˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch ngu
.
`o
.
itago
.
i c´ac ˆa
’
nm`ahˆe
.
sˆo
´
cu
’
ach´ung lˆa
.
p
nˆen d
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
nco
.
ba
’
nl`aˆa
’
nco
.
so
.
’
, c´ac ˆa
’
n c`on
la
.
id
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aˆa
’
ntu
.
.
do.
Phu
.
o
.
ng ph´ap chu
’
yˆe
´
ud
ˆe
’
gia
’
ihˆe
.
tˆo
’
ng qu´at l`a:
1.
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
c Kronecker-Capelli.
2. Phu
.
o
.
ng ph´ap khu
.
’
dˆa
`
nc´acˆa
’
n (phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss).
Quy t˘a
´
c Kronecker-Capelli gˆo
`
m c´ac bu
.
´o
.
c sau.
1
+
Kha
’
o s´at t´ınh tu
.
o
.
ng th´ıch cu
’
ahˆe
.
. T´ınh ha
.
ng r(
A)v`ar(A)
a) Nˆe
´
u r(
A) >r(A)th`ıhˆe
.
khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch.
b) Nˆe
´
u r(
A)=r(A)=r th`ı hˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch. T`ım d
i
.
nh th´u
.
c con
co
.
so
.
’
cˆa
´
p r n`ao d
´o (v`a do vˆa
.
y r ˆa
’
nco
.
so
.
’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng xem nhu
.
d
u
.
o
.
.
c
cho
.
n) v`a thu d
u
.
o
.
.
chˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng gˆo
`
m r phu
.
o
.
ng tr`ınh
v´o
.
i n ˆa
’
nm`a(r × n)-ma trˆa
.
nhˆe
.
sˆo
´
cu
’
an´och´u
.
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
ad
i
.
nh
th´u
.
c con co
.
so
.
’
d
˜a c h o
.
n. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh c`on la
.
i c´o thˆe
’
bo
’
qua.
2
+
T`ım nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng thu d
u
.
o
.
.
c
a) Nˆe
´
u r = n, ngh˜ıa l`a sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
th`ı hˆe
.
c´o
nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t v`a c´o thˆe
’
t`ım theo cˆong th´u
.
c Cramer.
b) Nˆe
´
u r<n, ngh˜ıa l`a sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b´e ho
.
nsˆo
´
ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
th`ı ta
chuyˆe
’
n n − r sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
aˆa
’
ntu
.
.
do cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sang
vˆe
´
pha
’
id
ˆe
’
thu du
.
o
.
.
chˆe
.
Cramer d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
. Gia
’
ihˆe
.
n`ay ta
thu d
u
.
o
.
.
c c´ac biˆe
’
uth´u
.
ccu
’
a c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua c´ac ˆa
’
ntu
.
.
do.
2
L. Kronecker (1823-1891) l`a nh`a to´an ho
.
cD´u
.
c,
A. Capelli (1855-1910) l`a nh`a to´an ho
.
c Italia.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 145
D´o l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
ahˆe
.
. Cho n − r ˆa
’
ntu
.
.
do nh˜u
.
ng gi´a tri
.
cu
.
thˆe
’
t`uy ´y ta t`ım d
u
.
o
.
.
c c´ac gi´a tri
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
aˆa
’
nco
.
so
.
’
.T`u
.
d
´o t h u
d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
ahˆe
.
.
Tiˆe
´
p theo ta tr`ınh b`ay nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Gauss.
Khˆong gia
’
mtˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
11
= 0. Nˆo
.
i dung cu
’
a
phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss l`a nhu
.
sau.
1
+
Thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
a
hˆe
.
d
ˆe
’
thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng m`a b˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
hai
mo
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
`
u khˆong ch´u
.
aˆa
’
n x
1
.K´yhiˆe
.
uhˆe
.
n`ay l`a S
(1)
.
2
+
C˜ung khˆong mˆa
´
ttˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
22
= 0. La
.
i thu
.
.
c
hiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ahˆe
.
S
(1)
(tr`u
.
ra phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
nhˆa
´
td
u
.
o
.
.
cgi˜u
.
nguyˆen!) nhu
.
d
˜a l`am trong bu
.
´o
.
c
1
+
ta thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng m`a b˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
ba
mo
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
`
u khˆong ch´u
.
aˆa
’
n x
2
,...
3
+
Sau mˆo
.
tsˆo
´
bu
.
´o
.
ctac´othˆe
’
g˘a
.
pmˆo
.
t trong c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p sau
d
ˆa y .
a) Thˆa
´
yngayd
u
.
o
.
.
chˆe
.
khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch.
b) Thu d
u
.
o
.
.
cmˆo
.
thˆe
.
“tam gi´ac”. Hˆe
.
n`ay c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t.
c) Thu d
u
.
o
.
.
cmˆo
.
t“hˆe
.
h`ınh thang” da
.
ng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= h
1
,
b
22
x
2
+ ... + b
2n
x
n
= h
2
,
... ... ... ...
b
rr
x
r
+ ···+ b
rn
x
n
= h
r
,
0=
h
r+1
,
... ...
0=
h
m
.
Nˆe
´
u c´ac sˆo
´
h
r+1
,...,h
m
kh´ac 0 th`ı hˆe
.
vˆo nghiˆe
.
m. Nˆe
´
u h
r+1
=
··· =
h
m
=0th`ıhˆe
.
c´o nghiˆe
.
m. Cho x
r+1
= α,...,x
m
= β th`ı
thu d
u
.
o
.
.
chˆe
.
Cramer v´o
.
iˆa
’
nl`ax
1
,...,x
r
. Gia
’
ihˆe
.
d´o ta thu du
.
o
.
.
c
146 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
nghiˆe
.
m x
1
= x
1
; x
2
= x
2
,...,x
r
= x
r
v`a nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
d˜achol`a
(
x
1
, x
2
,...,x
r
,α,...,β).
Lu
.
u´yr˘a
`
ng viˆe
.
c gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng
ph´ap Gauss thu
.
.
cchˆa
´
t l`a thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p trˆen c´ac
h`ang cu
’
a ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng cu
’
ahˆe
.
d
u
.
an´ovˆe
`
da
.
ng tam gi´ac hay da
.
ng
h`ınh thang.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
3x
1
− x
2
+ x
3
=6,
x
1
− 5x
2
+ x
3
=12,
2x
1
+4x
2
= −6,
2x
1
+ x
2
+3x
3
=3,
5x
1
+4x
3
=9.
Gia
’
i. 1. T`ım ha
.
ng cu
’
a c´ac ma trˆa
.
n
A =
3 −11
1 −51
240
213
504
,
A =
3 −11
6
1 −51
12
240
−6
213
3
504
9
Ta thu d
u
.
o
.
.
c r(
A)=r(A) = 3. Do d
´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch.
Ta cho
.
nd
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
l`a
∆=
1 −51
240
213
v`ı∆=36=0v`ar(A) = 3 v`a c´ac ˆa
’
nco
.
so
.
’
l`a x
1
,x
2
,x
3
.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 147
2. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
x
1
− 5x
2
+ x
3
=12,
2x
1
+4x
2
= −6,
2x
1
+ x
2
+3x
3
=3.
Sˆo
´
ˆa
’
nco
.
so
.
’
b˘a
`
ng sˆo
´
ˆa
’
ncu
’
ahˆe
.
nˆen hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
tl`ax
1
=1,
x
2
= −2, x
4
=1.
V´ı d u
.
2. Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
1
+2x
2
− 3x
3
+4x
4
=7,
2x
1
+4x
2
+5x
3
− x
4
=2,
5x
1
+10x
2
+7x
3
+2x
4
=11.
Gia
’
i. T`ım ha
.
ng cu
’
a c´ac ma trˆa
.
n
A =
12−34
24 5 −1
510 7 2
,
A =
12−34
7
24 5 −1
2
510 7 2
11
Tathud
u
.
o
.
.
c r(
A)=r(A) = 2. Do d
´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng th´ıch.
Ta c´o thˆe
’
lˆa
´
yd
i
.
nh th´u
.
c con co
.
so
.
’
l`a
∆=
2 −3
45
v`ı∆=22= 0 v`a cˆa
´
pcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c=r(A) = 2. Khi cho
.
n ∆ l`am
d
i
.
nh th´u
.
c con, ta c´o x
2
v`a x
3
l `a ˆa
’
nco
.
so
.
’
.
Hˆe
.
d
˜a cho tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
x
1
+2x
2
− 3x
3
+4x
4
=7,
2x
1
+4x
2
+5x
3
− x
4
=2
hay
2x
2
− 3x
3
=7− x
1
− 4x
4
,
4x
2
+5x
3
=2− 2x
1
+ x
4
.
148 Chu
.
o
.
ng 4. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
2. Ta c´o thˆe
’
gia
’
ihˆe
.
theo quy t˘a
´
c Cramer. D˘a
.
t x
1
= α, x
4
= β ta
c´o
2x
2
− 3x
3
=7− α − 4β,
4x
2
+5x
3
=2− 2α + β.
Theo cˆong th´u
.
c Cramer ta t`ım d
u
.
o
.
.
c
x
2
=
7 − α − 4β −3
2 − 2α + β 5
22
=
41 − 11α − 17β
22
,
x
3
=
27− α − 4β
42− 2α + β
22
=
−24 + 18β
22
·
Do d
´otˆa
.
pho
.
.
p c´ac nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
c´o da
.
ng
α;
41 − 11α − 17β
22
;
9β − 12
11
; β
∀ α, β ∈ R
V´ı d u
.
3. B˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss h˜ay gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
4x
1
+2x
2
+ x
3
=7,
x
1
− x
2
+ x
3
= −2,
2x
1
+3x
2
− 3x
3
=11,
4x
1
+ x
2
− x
3
=7.
Gia
’
i. Trong hˆe
.
d
˜a cho ta c´o a
11
=4=0nˆen dˆe
’
cho tiˆe
.
ntadˆo
’
ichˆo
˜
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆa
`
u v`a thu du
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
x
1
− x
2
+ x
3
= −2,
4x
1
+2x
2
+ x
3
=7,
2x
1
+3x
2
− 3x
3
=11,
4x
1
+ x
2
− x
3
=7.
4.2. Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh 149
Tiˆe
´
p theo ta biˆe
´
ndˆo
’
i ma trˆa
.
nmo
.
’
rˆo
.
ng
A =
1 −11
−2
42 1
7
23−3
11
41−1
7
h
2
− 4h
1
→ h
2
h
3
− 2h
1
→ h
3
h
4
− 4h
1
→ h
4
−→
1 −11
−2
06−3
15
05−5
15
05−5
15
h
4
− h
3
→ h
4
→
−→
1 −11
−2
06−3
15
05−5
15
00 0
0
h
2
× 5 → h
2
h
3
× 6 → h
3
−→
−→
1 −11
−2
030−15
75
030−30
90
00 0
0
−→
h
3
− h
2
→ h
3
1 −11
−2
030−15
75
00−15
15
00 0
0
.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
chˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
x
1
− x
2
+ x
3
= −2
30x
2
− 15x
3
=75
−15x
3
=15
v`a do d
´othudu
.
o
.
.
c nghiˆe
.
m x
1
=1,x
2
=2,x
3
= −1.
V´ı d u
.
4. Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= −1,
2x
1
+2x
2
+3x
4
+ x
5
=1,
2x
3
+2x
4
− x
5
=1,
−2x
3
+4x
4
− 3x
5
=7,
6x
3
+3x
4
− x
5
= −1.
