Tìm hiểu một số chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia Phương trình và bất đẳng thức: Phần 2

x + >^+ —+ —= 5
X y
a)

b)
x '+ / + - ỉ ^ + - ^ = 9
x' /

|(x + l)^(>' + l)^ = 2 7 x ;.
[(x '+ l)(> ;^ + l) = 10x;; '

HD-ĐS
a) Đặt ẩn phụ u = x + —, v = > ’+ —. b )S = x-f-y, p=xy.
X

y

ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM
Phương trình bậc nhất
Phương trình: ax + b = 0 <=>ax = -h.
Neu a 7^0 thì phương trình có nghiệm duy nhất:

X

Nếu a = 0 thì phương trình trở thành: Ox = -b:
Khi b = 0: Phương trình cỏ nghiệm với mọi X.
Khi b ỹí 0: Phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai: ax^ + hx + c = 0, a ri 0.
Lập zl =

- 4ac

Á < 0: Phiỉơng trình vô nghiệm
A = 0: Phương trình có nghiệm kép X /
Á > ớ. Phương trình có 2 nghiêm X/,.

= X,

’ 2a

—b± V Ã

2a
- Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

<=>p < 0
Phương trình cỏ hai nghiệm dương <=>Á>0, p>0 và s>0
Phiỉơng trình cỏ hai nghiệm âm A > 0, p > 0 và s < 0.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu

Chú ỷ:
1) Đe so sánh nghiệm với sổ a, la có thể đặt t = x - a, khi đó
a < x ị < ^ t i < 0 < t2 x ị > X 2 > a < ^ t i >
2) Đồ thị parabol (P) y = ax^ + bx + c = 0, a r^o
xị

96

<

Ì2>

0,...


a > 0

\

a < 0

J

b

Dinh cua parahol Xị

,

A

PliuviiỊỉ trình hộc ha

Dạng ax^ * hx~ ‘ cx ' d 0. a ^ 0
Biên dôi thành tích sô hoặc dùmị máv tinh củ nhân dê tìm nghiệm X x„.
( 'hiu da thức vẽ trái cho (x - x„) hoặc dùng SO’ dồ IIooc ne dê có phún tích:
(x-x„) (ax- * h'x c')
Phưong trình hộc 3 có 3 nghiệm phân hiệt khi: dồ thị có 2 cực trị và}’(•/). ycr < ()■
( 'ó l nghiệm khi: do thị không có cực trị hoặc do thị có 2 cực trị và Ven. ycr ^ 0.
^hirưng trình hộc cao

Phương trình hậc cao dược dưa vớ phương trình hạc nhát, hậc hai hang cách
ihán tích thành tích hay dặt ân phụ.
Dấu nhị thức hộc nhất
Shị thứchậc nhát f(x)
X

f(x)
Dấu tam thức hậc hai

ax ■ h. a

0:

-X

-h/a

trái dâu a

0

cùny dấu a

'lam thức hậc hai là hiêu thức có dạny: f(x)

p p f(x)

■X

ax~

hx ‘ c (a

A<()

af(x) > 0, Vx e R

/1

af(x) > 0. Vx

0

/1 > 0
0 có 2 nghiệm

a /( .x j

.V/

<

,Y:

' 0. Vx

af(x) ■■0 . tb'

0)

2a
ếf

(x ị . X :)

e ( - X , x ị ) u (x :.

■x )

'lệ phirơng trình
- llệ có một phưong trình hậc nhất: rút thế.
- llệ dôi xứníỊ. Dặt s X • ị',' p xy hoặc trừ hai phương trình.
- l l ệ dăng cấp (thuần nhất): Xét .V 0: xét X 0 dặt V kx dưa Vứ ân k.
'2hú ỷ: Cách giai diều kiện cần và diều kiện du cua hệ có nghiệm duy nhất (x: y).
Băng cách thư dôi dâu Ún. dôi chó ân dê tìm ra niỊhiệm thứ hai (-x: yj: (x: -y);
Ạ', X): ... lừ dó dông nhát cúc nghiệm dê tìm ra giá trị tham so.
97


Điều kiện phương trình, hệ có nghiệm
Cho y =f(x) trên ữ đ ạ t giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; GTLN = M và
GTNN = m thì phương trĩnh f(x) = k có nghiệm
m Chuyển hệ phương trình về phương trình một an kèm theo các điểu kiện đá
đủ để tìm điều kiện có nghiệm.
Điều kiện về nghiệm bất phương trình
Cho y =^f(x) trên D đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: GTLN = M và GTNN = m thì:
Bất phương trĩnh f(x) > k có nghiệm o k Bất phương trĩnh f(x)

k >m

Bất phương trình f(x) > k có nghiệm mọi X thuộc D

k
Bất phương trình f(x) < kcỏ nghiệm mọi X thuộc D
k >M
Chú ý:
1) Neu phương trình dạng f(x, m) =0 thì đưa về dạng đánh giá tham sổ 1 bên:
f(x) = m hav f(x) = h(m) rồi xét hàm sổ y = f(x).
2) Nếu hàm số không đạt GTLN, GTNN thì lập BBT để giải.
( m - 2 )x + 3
Bài toán 5.1: Giải và biện luận phương trình:
2m - 1.
x+1
Giải
Với điều kiên

- \ thì phương trình

2m - 1
x+1
<=> (m - 2)x + 3 = (2m - l)(x + 1) o (m + l)x = 4 - 2m (1)
Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
4 -2 m
Với m -1 phương trình (1) có nghiệm X
m+1
Nghiệm này thoả mãn điều kiện X ÍẾ -1 khi và chỉ khi
4 -2 m

ít -1 <=> -2m + 4 :? tm -] <=>mít5.
m+1
Vậy, khi m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm.
4 -2 m
Khi m 5t -1 và m 5 phương trình có nghiệm là X
m+1
Bài toán 5.2: Cho phương trinh p(x + 1) - 2x ^ p^ -( p - 5. Với giá trị nào của p tl
phương trình: có nghiệm; vô nghiệm?
Giải
Phương trình: p(x + 1) - 2x = p^ -+ p - 5 <=> (p - 2)x = p^ - 5.
Phương trình có nghiệm khi

p -2

0

p - 2 = 0, p ^ - 5 = 0
98

Cí> p 5t 2.


Phương trình vô nghiệm khi p - 2 == 0 và
Bài toán 5.3: Tìm m để phương trinh
m^(x - 1) = mx - 1 có nghiệm

X

-5

0 <=> p = 2.

thoả |x | + | x - l | = 1 .
Giải

PT: m^(x - 1) = mx - 1 o (m^ - m)x = m^ - 1
m(m - 1)x = (m - 1)(m -t 1)
Điều kiện

IX I + IX - 11=1

« ( í x | - x) + ( l l - x | -(1 -x )) = 0
í|x| = x

[x > 0

y i - x |= i - x

[i-x > 0

o

<»0
Xét m = 0 phương trình; Ox = -1 vô nghiệm (loại)
Xét m = 1 phương trình: Ox = 0 nghiệm đúng với mọi x: thoả
m+1
Xét m 5Ế 0 và m
1 phương trình: X =
m

Điều kiện 0 <

X

< 1 <=> 0 < ilL tl < 1 <1^ 0 < 1 + — < 1
m
m
<=5> — < 0 và -— > -1 <=> m < -1.
m
m

Vậy giá trị cần tìm: m < -1 hoặc m = 1.
Bài toán 5.4: Giải và biện luận phương trình; x^ Giải
P T ;x^- |x | + m = 0 ( l )
Dặt t =

IX I, t> 0 thì (1): t“ - 1 + m = 0 (2), A =

1X I + m = 0.
1 - 4m

Nếu A < 0 <=> 1 - 4m < 0 <=> m > — thi (2) vô nghiộm nên (1) vô nghiệm.
4
Nếu A = 0 <=> m = — thi (2) có nghiệm kép t = —> 0
4
2
nên (1) có nghiêm |x |= — <:í>x=-±—.
2
2
Nếu A > 0 <=> 1 - 4m > 0

m < — thì (2) có nghiệm
4

1 - Vl - 4 m
_ 1 + Vl - 4m
^
ti = ------ , t 2 = ------------- ---------- > 0
2
2
Với m = 0 thì ti = 0, t2 = 1 nên (1) có nghiệm

X

= 0,

X

=± 1

99


Với m < 0 thì li < 0 nôn (1) có 2 nghiệm

X

1+ Vl - 4m

±

V,

Với 0 < m <

thi ti > 0 nên (1) có 4 nghiộm:

4

1- V l -4 m

X = ±

;x - ±

1+ Vl -4 m

lĩài toán 5.5: Biện luận bàng đồ thị số nghiệm của phương trình
X -

3

X

-k

t

1

0.

Cìiâi

Viết phưcmg trình thành dạng x “
chia khoảng:

y

- 3

I XI

) 1

k.

Vc d ồ thị hàm số bàng cách

[x" - 3 x + 1 khi X > 0

ị

[x" + 3x +1 khi X < 0

Ta có y

f(x) là hàm so chẵn ncn có do thị

Dựa vào đồ thị. ta có:
Ncu k < - ^ , phưong trình vô nghiêm
4

Ncu k

- ^ hoặc k > 1 phương trình cỏ hai nghiệm
4

Ncu - ^ < k < 1, phương trinh có bốn nghiộm
Ncu k 1, phương trình cỏ ba nghiệm.
Bài toán 5.6: rim các giá trị của m dc phương trinh:
x‘ - 4x t m - 1

0 có nghiệm Xi, X2 mà xi' + x'

40.

Cỉiải
Diều kiện có nghiệm la A 4 - (m - 1)
K hiđóxi t X2 4vàXiX2 m 1.
100

5 - m > 0 hay m < 5.


(xi ♦ X2Ỷ -

Ta có: xi* + xí
nên x,* + x '

3 x ị X2

(xi +

4'^ - 12 (m

X2 ) ^

-

1)

^

76

-

12m

40 Cí> 76 - 12m “ 40 <::> 12m ^ 36 <=> m " 3 (ihoả )

lìài toán 5.7: 'l ìm các giá trị của m dc phưcmg trình: x“ I (4m I 1) X t 2(m - 4) = 0
có 2 nghiệm và hiệu số giữa nghiệm lớn và nghiệm bc bằng 17.

Giai
Ta có A
Ncnxi

(4m I 1)“ - 8(m - 4)
t X2

- (4m

) 1). X | X 2

Giá sử X] > X2 ihì X| - X2
o (Xi » X2)‘ - 4 x |X2

16m" t 33 > 0, Vm.
2 (m - 4)

17 <=> (X| - X2)^

289

289

<=> 16m“ < 33 289 <=> m^ 16 Cí> m ±4.
Bài toán 5.8: Cho phương trình kx^ - 2(k t 1) X ỉ k t 1 = 0 . Tìm k để
a) Phương trình có ít nhất 2 nghiệm dương.
b) Phưtmg trình cỏ một nghiệm kVn hơn 1 và một nghiệm bé hơn 1.

Giải
a)

-

Xét k

^ 0:

Phương trình - 2x í

-X c tk ^ O ; A' (k

t

1

l)" -k (k I 1)

0 <=> X = ^ > 0 : chọn
k

t

1

Ncu k < - 1 thì A' < 0: loại
Ncu k

-

1 thì A'

0, P T có nghiệm kép X

0: loại

N'ếu k > - 1 thì A' > 0, p 1' có ít nhất nghiộm dưcmg khi;
X, < 0 < Xi

p <0

X| = 0 < X, <=> p = 0 ,s > 0
[0 < X, < X,

p>0,s>0

Từ dó giải ra dược k > - 1.
b) Dặt X = y t 1 thì phương trình trờ thành
k(y t l )^-2(k t l ) ( y I 1) t k 1 1 = 0 « k y '- 2y - 1 = 0
Diều kiên X| < 1 < X2Cí> >'1 < 0 < y2<=> p < 0 o

-- < 0 <=> k > 0.
k

Bài toán 5.9: Cho phưtmg trình sau có 2 nghiệm X|, X2.
(m - 1) x^ - 2(m I 2)x ( m t 1 0, lìm m đố 2 nghiệm thoá mãn X| ^2x2Giải
Diều kiện đc phưcmg trình có hai nghiêm là:
m ^1, A'

4m i 5>0 <=> m > — , m
4

1.
101


s
Theo đề ta có:

ÍX |

+ Xt

3x,

^ 3

[x,x, = 2 \\

„2

p

^2 = .
p ^
m+1
(2m + 4)^
^
Do đó: ^ = — <=> _ — = -—
. <» 9 (m + 1) (m - 1) = 2(2m + 4 r
2. 9
2 (m -l)
9(m -l)'<=>

- 32m - 4 1 = 0 < : í > m = 1 6 ± 3 y í Ĩ 3 (thoả điều kiện).

Bài toán 5.10: Cho phưong trình sau có 2 nghiệm Xi, X2.
x^ - (m + l)x tbé nhất.

- 2m t- 2 = 0, tìm m để xf + Xj đạt giá trị lớn nhất, giá trị

Giải
Điều kiện để phuơng trình có hai nghiệm là:
« A = (m+ 1 )- - 4(m^ - 2m + 2) > 0 « - 3m^ ( lOm - 7 >0
2
7
o 3m^ - 1Om + < 0 <» 1 < m < - .
ò
Theo định lý Viet ta có: X| + X2 = m t 1 và X1X2 = m^ - 2m + 2

Nôn T =

+ X2 = (X| + X2)^ - 2 xiX2 = (m + 1)" - 2(m' - 2m + 2) = - m^ + 6m - 3

Xét hàm y = f(m) = -m

2

7

6m - 3, m e [1; —].
7

.

r

7

Vì a = - 1 <0 và đỉnh mi = 3 > — nên hàm sô nghịch biên trên đoạn [1; —].
Vây max T = f( 1)

2 khi m = 1, min T = f( —) = — khi m= —.
3
9
3
Bài toán 5.11: Tìm m để phưong trình có 3 nghiệm phân biệt
mx^ - (2 m 1 ) x“ - (m - l)x + 2 m ) 2 = 0 .
Giải
Xét X = - 1 thi phương trình nghiệm đúng nôn Pl' tương dương:
(x + 1) (mx“ - (3m t" 1)x + 2m t- 2) = 0
X = - 1 hoặc mx^ - (3m + 1)x + 2m + 2 = 0
Phương trình cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai
có 2 nghiệm phân biệt khác - 1 là
m

0

m+0

f(l) :?í:0 0 • m + (3m +1) + 2m + 2
A>0

102

m^ - 2 m + l > 0

m

0

0 -»< 6 m ^ - j
m-1 + 0


- —,m ? tO v à m 9 í:l.
2
Bài toán 5.12: Giải và biện luận phưong trình: 2x^ - (3 - 2m)x^ - 2mx Giải
Vây

Ta viết lại PT theo ẩn m:

+ 1 =■- 0.

- 2(x^ - x)m + (3x^ - 2x^ - 1) = 0

A' = (x" - x)" - (3x“ - 2x^ - 1) = x'* - 2x^ + x^ - 3x^ + 2x^ + 1
- x"* - 2x^ + 1 = (x^ - 1)^
Do đó:
m = x' - x - ( x ^ - l ) = l - x
m=
,

X" - X

+ (x" - 1) = 2x"

«>

- X -

V

8

Nêu m =

9

- —,

Xĩ-

PT có nghiệm kép X

m — -ĩ

1

8

X

1

= —

= 1- m

2x“-

1

Nêu m < - —, phương trình có nghiệm

X

- (m +1) = 0 (A = 8m + 9)

X

= 1 - m.
và nghiệm

_ l± V 8m + 9
4

= 1 - m.

X

,

_

Bài toán 5.13: Định m để phương trình sau có nghiệm
(x - 1) (x+5)(x - 3)(x+7) = m.
Giải
PT: (x - l)(x+5)(x - 3)(xf7) = m Cí> (x^ K x - 5)(x^+4x - 21) = m

Đặt t = x^+4x -13 = (x-i-2)^ - 17 > - 17
Phương trình trở thành (t t-8)(t - 8) = m o t^ = m

4-

64 > 0

Vậy phương trình có nghiệm khi m > - 64.
Bài toán 5.14: Định m để phương trình sau có nghiệm: (x+3)'^ +(x+5)'* = m.
Giải
Đặt t =

X

+ 4. PT <=> (t - 1)"* + (t + 1)'* = m
« (t- - 2t + 1)^ + (t^ + 2t -M)^ = m « 2tV l2t^+2 - m = 0

Đặt y = t^; y > 0 thì PT <=> 2y^ 4 12y 4 2 - m = 0 (*).
Phương trình cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm không âm.
Nhung do s = - 6 < 0 nên phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi
p=

2

<0«m >2

Bài toán 5.15: Tìm m để phương trình
(m - l)x'* + 2(m - 3)x^ 4 m +3 = 0 có nghiệm.
103

Giải
Đặt t = x“ > 0 PT trờ thành (m - l)t^ + 2(m - 3)t f m + 3 = 0 (*)
Phương trình cho có nghiệm <=> phương trình (*) có nghiệm không âm.
Xét m =1 thì (*) <» t = 1 (chọn).
Xét m

ta phải có:
m +3

<0

><0
t, < 0 < t ,

ÍA’> 0

0 < t, < t ,

«p

>0

<=>

s >0

1 2 -8 m > 0
m+3
<—— > 0

m -1
m -3
>0
m -1

-3 < m < 1
<=>

1< m <

3 ■

n

Vậy giá trị cần tìm là - 3 < m < —.
Cách khác: Ta xét điều kiện vô nghiệm rồi suy ra điều kiện có nghiệm.
Bài toán 5.16: Tìm m để phương trình x"* - 2(m+4)x^ t m^ 8 = 0 có 4 nghiệm
phân biệt Xi < X2 < X3 < X4 và X2 - Xi = X3 - X2 = X4 - X3 .
Giải
Vì phương trình trùng phương nên X4 = - X i; X3 = - X2
Do đó điều kiện ở giả thiết trở thành X4 = 3x3
Bài toán trở thành tìm m để phương trình:
t^ - 2(m+2)t + m^ + 8 = 0
m+4
có hai nghiệm ti, Í2 dương mà t2 = 9ti <=> lOti = ti + Í2 = 2(m+4) => ti
'
,
.
8(2m^ -9 m + 7) .
1 hế ti vào ta được: ------------------ = 0

25
o

^ 2 r.
^ ^ r.
2m - 9m + 7 = 0

m =1 hoặc m = —. Thử lại, cả hai giá trị đều thoả.

Bài toán 5.17: Tìm m để phương trình có nghiệm; x+ 3(m - 3x^)^= m.
Giải
Đặt y = m - 3x^
3x^ + y = m.
Ta có hệ:

104

|x + 3 y ^ = m

íy + 3x^=m

[y + 3x“ =m

|x - y - 3 ( x ^ - y ^ ) = 0

íy + 3x^ = m
|( x - y ) ( l - 3 x - 3 y ) = 0


l-3x

jy = x
+x-m = 0

hoặc <
1- 3 x
3x'- +

Do đó điều kiện có nghiệm

X

=m

là phương trinh 3x^ +

X-

m=0

có nghiệm hoặc 9x^ - 3x + 1 - 3m = 0 c ó nghiệm.
A, = 1+ 12m > 0
=108m-27>0

m>-

1
p

1
<=> m > —— .

m>—
4

Bài toán 5.18: Tìm m để phương trình; x^ + mx^ - 3 = 0 có một nghiệm duy nhất.
Giải
Xét m = 0 thì PT: x^ - 3 = 0 <=> X = \Í3 : có nghiệm duy nhất.
Xét m

0. Đặt f(x) = x^ -í mx^ - 3, D = R.

Ta có f'(x ) = 3x^ + 2mx = x(3x + 2m)
f ’( x )

= 0 <=> X = 0 h o ặ c

X

■2m

có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình f(x) = x^ + mx^ - 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực
đại và cực tiểu của hàm số cùng dấu:
> 0 « (-3 )

'' 8m^
V 27

4m ^_3^

>0

8m^ - 12m^ + 81 > 0 o 4m^ <81 <=> m < 3.ị — (m ^ 0).
V4
[3

Vậy giá trị cân tìm: m < 3.y— .
Bài toán 5.19: Tìm k để phương trình
x"* + 4x^ - 8x + 1 - k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
Phương trình: x'* H4x^ - 8x -I- 1 = k
Xét hàm số: y = x'* + 4x^ - 8x + 1, D = R
y’= 4x^ + 12x^ - 8 - 4(x + 1) (x^ + 2x - 2)
y' = 0 ^ x = - l , x = - l ± V3
Lập BBT thì điều kiện có 4 nghiệm phân biệt là -3 < k < 6.
105


Bài toán 5.20: Tìm tham số k đế phương trình có 4 nghiệm:
2x'' - 17x^ f 51x^ - (36 + k)x + k - 0 (1)
Giải
Với mọi k thì X = 1 luôn thoả mãn phương trình (1)
Ta có (1)

(x - 1) (2x^ - 15x^ + 36x - k) = 0
<=> X=1 hoặc 2x^ - 15x^ + 36x - k = 0(*)

- Trường hợp X = 1 là nghiệm cùa (*) <=ỉ> k = 23
Khi đó (*): 2x^ -1 5 x “ + 36x- 23 = 0 « (x -1 ) (2x^ - 13x + 23) = 0

« X = 1 hoặc 2x^ - 13x + 23 = 0 <=> X = 1
Vậy khi k = 23 thì (1) có nghiệm duy nhất X = 1
- Với k 23, khi đó X = 1 không phải là nghiệm của (*) nên số nghiệm của (1)
bằng 1 cộng với số nghiệm của phương trình (*)
Xét f(x) = 2x^ -15x^ + 36x thì; f'(x) = 6x^ -30x t- 36 == 6 (x^ - 5x t 6 )
f'(x) = 0 « x= 2 hay x=3
Lập bảng biến thiên PT có bốn nghiệm phân biệt khi (*) có ba nghiệm phân
biệt nên 27 < k < 28.
Bài toán 5.21: Tìm a để phương trình sau vô nghiệm.
x^ +- 3x'^ + (6 - a)x'* + (7 - 2a)x^ + (6 - a)x" + 3x + 1 = 0.
Giải
Xét X = 0 => 1 = 0; loại. Xét X 0. Chia 2 vế cho x^, phương trìrứi;
x^ + 3x" + (6 - a)x + (7 - 2a) -t- (6 - a). —+ ^
X

{x^+ \ )

X

X

0
X

+ 3(x- -t--^ ) + (6 - a) (x + - ) t- 7 - 2a - 0
X
X

Đặt t = X + - , 111 > 2=> t^ = x^ + ^ 4- 2
X

X
và t^ = x^ + — + 3(x + —) nên x^ +
-■=t^ - 3t
x^
X
X'
Do đó phưcmg trình: t^ - 3t + 3(t" - 2) + (6 - a)t + 7 - 2a = 0
(t + 2)a- t^ + 3t- + 3t t- 1
Khi t = - 2 thì phương trình không thoả.
_ _
___/ + 3 c + j í + l (? + l)
Khi t ^ ~ 2 thì phương trình; a = ------------------- = — ——
t+ 2
t+ 2
1

Đặt f(t) -

106

. 1

^
, t < - 2 hay t > 2 thì f'(t)
t +2

(2t + 5)í( + l)^
2{t + 2 f

27
27
Lâp bảng biên thiên thì f(t) > —- V/ e D nên phương ừình vô nghiêm khi a < — .
4
4
Bài toán 5.22: Xác định m saơ cho phương trình
t"* —(m - l)t^ + 3t^ - (m - l)t + 1 = 0 có nghiệm.
Giải
Ta có t = 0 không là nghiệm, chia hai vế cho t^
t - ( m - l)t + 3 - ( m - 1)

r

<=> t + V
Dặt

X

và

, 1_ A

_

IX

t"

( m - 1 ) f t + -0 + 1 = 0

= t + - thì I X I > 2
2

t

phương trình trở thành;
_ x^ + X + 1 ___
X

X" -1
II
Ta có: y' = — - - > 0, V I X I > 2
X

3
7
Lâp BB4 thi phương trình có nghiêm khi m < - — hay m > —.
Bài toán 5.23: Tìm m đổ phương trình (m - l)x^ - (m - 5)x + m - 1 = 0 có hai
nghiệm phân biộl đều thuộc doạn [-2; 3).
Giai
Ta có PT đã cho tương đương với
(x^ -

X

+ l)m = x^ - 5x

I-

1 <=> m ■

x “ - 5 x +1
X --X

,
X —5x -f-ì
Xét hàm số f(x) = — — -------- ,

X

+1

e [-2; 3J

X - x + 1

4x' - 4
(x - x + 1)

107


Bài toán 5.24: Tìm m để phương trinh có nghiệm:
(1 m + 1 I + 1m - 2 I - 3)x = Im -t- 3 I -I- 1.
Giải
Vi Im + 1 I + 1m - 2 I - 3 = Im + 1 I - (m I' 1)4 I 2 - m 1 - (2 - m) > 0
Ím4l >0
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi <
[2-m > 0

-1 < m < 2

Do đó, nếu m < -1 hoặc m > 2 thì phương trình có nghiệm.
Bài toán 5.25: Tìm tham sổ để phương trình: Imx - 2 I = IX -4 4 Icó nghiệm duy nhất.
Giải
Ta có;

mx - 2

X 4

4I

(m-l)x = 6

(1)

(m 4 l)x = - 2

(2)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
- (1) có nghiệm duy nhất, (2) vô nghiệm: m ? t l v à m = - l <=>m = - l
- (1) vô nghiệm, (2) nghiệm duy nhất: m = l v à m ? t - l < i > m = l
- (1) và (2) đều có nghiệm duy nhất và hai nghiệm đó trùng nhau
m

±1,

—

6(m4l) = - 2(m - 1) <=> m
m 41
m -1
Cách khác: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình:
(m- - 1) x^ - 4(m42)x -1 2 = 0
Bài toán 5.26: Tìm tham số để phương trình:
(x - 1)^ = 2 I X - k I c ó b ố n n g h i ệ m p h â n b i ệ t

= - —
2

Ta có (x - 1)^ = 2 IX - k 1 « (x - 1)'* - 4(x - k)^ = 0
« (x^ - 2x 4 1)^ - 4 (x - k)^ = 0
<=> (x^ - 2x414-2 - 2k) (x^ - 2x41 - 2x+2k) = 0
« (x^ 4 1 - 2k) (x^ - 4x -4 1 4 2k) = 0
<=>

x“ = 2 k - l

(1)

x--4x4l42k = 0

(2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

X

= ± y j 2 k - \ nếu k > —

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

X

= 2 ± -v/3-2k nếu k < —

Các nghiệm này khác nhau nếu k 9Í: 1.
1
3
Vậy phương trình đã cho có bôn nghiệm phân biệt khi - - < k < —,k?!:l.

108


Bài toán 5.27: Tìm tham số để phương trình có nghiệm
Ix - l | + 2 | x ^ - 3 | + | x - 5 | = 4-m^.
Giải
Ta có: IX - 1 1 + IX - 5 I = i X - 1 1 -1- I5 - XI > I(x - 1) + (5 - x) I = 4
Nên IX - 1 1 + 2 1x^ - 3 I + IX - 5 1 > 4, Vx
Mà 4 - m^ < 4, Vm, do đó VT > 4 > VP
Nếu m 0 thì VT > 4 > VP: vô nghiệm
Neu m = 0 thì VT = 4 nên dấu bằng đồng thời xảy ra:
í(x-l)(5-x)>0
\
[x'-3 = 0

fl/-C :> X

[x = ±V3

/= V3

Vậy phương trình có nghiệm khi m = 0.
Bài toán 5.28: Tìm m để phương trình:
12x^ +
PT «

3Ỉ = 5 a - 2 - 1 2 x - 2x^ có nghiệm duy nhất.
Giải

X -

12x^ +

X

Đặt y = 12x^ +

- 3 I + 2x^ + 12x + 2 = 5a
X

- 3 I + 2x^ -t- 12x + 2

4x“ + 13x - 1

khi X G

1 Ix + 5

e

3

u(l;-=o)

Ta có y =
khi X

3
9'

ĐỒ thị của hàm số gồm một đoạn thẳng ở giữa và 2 nhánh của parabol
y = 4x^ + 13x - 1 có đỉnh s ^ 13
Y ’ ~Ĩ6^ ■
13
3
'
185
37
Vì - — < - — nên phương trình có nghiêm duy nhất khi 5a = <=> a = - —
8 2
16
16
Bài toán 5.29: Tìm m để phương trinh: 2 |x“ - 5x t 4| = x^ - 5x + m có 4 nghiệm
Giải
Ta có: 2 |x^ - 5x + 4| = x^ - 5x + m <=> 2 |x^ - 5x 4- 4| - x^ + 5x ==m
Xét y = f(x) = 2 |x^ - 5x + 4| - x^ + 5x, D = R
_ í- 3 x ' + 1 5 x - 8 , l < x < 4

[

X'

í-6x + 15
2x-5

-5x + 8

,X<1

vx>4

k h il< x < 4
khi X < 1 , X > 4

. Cho y ’= 0

_ 5

X = —

2
109


43

Lập bảng biến thiên thì điều kiện có 4 nghiệm là 4 < m <
Cách khác: đặt t =

- 5x.

Bài toán 5.30: Tìm m để phương trình (x - 1) IX - 5 1 = m có 3 nghiệm.
Giải
,
I
íx^ - 6 x + 5 khi
Xét hàm y = (x - l ) | x - 5 | = <
[-xHó
5 khi

X

>5

X

<5

/
4

Số nghiệm của phương trình là
Số giao điểm của đồ thị với
đường thăng y = m.
Dựa vào đồ thị phương trình có 3
nghiệm khi 0 < m < 4.
Vậy giá trị cần tìm 0 < m < 4.

\

1/
() / ’

/*
/1 V= m
\ /'
\i '
3 5 3 + 2 • Ịĩ'
\

Bài toán 5.31: Tìm m để phương trình Ix'' - 4x^ I- 3 I = m có 8 nghiệm.
Giải
Đặt t = x^, t> 0 thì phương trình cho (1) trở thành 11^ - 4t +' 3 1 = m (2)
Dựa vào đồ thị f(t) = 11^ - 4t 1- 3 I, t > 0 và
tương giao với đường thẳng y = m, ta có:
(1) có 8 nghiệm khi (2)
(2) có 4 nghiệm t dương nên 1 < m < 3.
Vậy giá trị cần tìm 1 < m < 3.

Bài toán 5.32: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm:
3x Vx + 2x + m-v/x + 2m + 16 = 0.
Giải
Đặt t = Vx > 0 với

X

> 0, t > 0. Phương trình tương đương:

3t^ -+ 2t“ + mt + 2m i 16 = 0 <=> (t + 2)(3t^ - 4t

m -i 8) - 0

V ì t > 0 n ê n 3t“ - 4 t + m + 8=-0(l).
PT cho có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm t dương:
[A'>0
p<0

110

'A’> 0
hoặc

p>0
s

>0


-3m-20>0

-3m-20 > 0
m+8

m+8

hoặc

<0

^
>0

20
o m < -— .

3

3

->0
13

ì..
20
Vậy giá trị cân tìm m < ---Bài toán 5.33: Tìm m để phưong trình có nghiệm;
V3 + X + V 6 - X - . ^ ( 3 + x ) ( 6 - x) = m .

Giải
Đặt t =
thì 9 <

a/ 3

+ x +V ó-X >

= 9 + 2 7(3 +

x)

0, -3

(6-

x)


6.

< 9 + (3 + X -t- 6 -

x)

= 18

:=>3 < t < 3 ^ / 2 .

Bài toán trở thành tìm m để phương trình sau có nghiệm
t - - 2 t + 2 m - 9 - 0 , t 6 [3; 3 V ĩ ]
Xét f(t) = t^ - 2t t 2m - 9
Vì - = 1 < 3 < 3 V2 nên phương trình có nghiộm thuộc [3; 3 V2 ] khi và chỉ khi:
[f(3 )< 0
ị
r[f(3V2) > 0

6 V2 - 9

__ ^

-----< m < 3 .
2

Cách khác: Đánh giá tham số m: t“ - 2t - 9 = -2m.
Bài toán 5.34: Tim các giá trị của m để phương trình:
( x - 2 ) ( x + 2)-f 3 ( x - 2 ) .

Ịx + 2

ni(m + 3) có nghiệm duy nhất.

X -2

Giải
Điều kiện

X

< -2 hoặc

X

> 2. Đặt t = ( x - 2 ) J -

x+2

PT: V + 3t - m(m + 3) = 0 o t = m hoặc t = -m - 3.
3
Hệ có nghiệm duy nhât k h i m = - m- 3 <: í >m = - —.
Bài toán 5.35: Tìm m đế phương trình có nghiệm

m(Vl + x' - V l - x ^ + 2 ) = 2 V l - x ‘’ +Vl + x^ - V ĩ - x ' .
111


G iải:

Điều kiện - 1 < X < 1. Dặt t == Vl + x “ - Vl và

X”

thì t > 0

= 2 - 2 Vl - x"* < 2, dấu = khi x^ = 1. Do đó 0 < t < V2

PT; m(t + 2) == 2 - +
Xét f(t)

t« m= —

t+2
t^ + 4 t

í '(t)

t+2

<0

(t + 2)^

nên f nghịch biến trên [0; V2 ].
Điều kiện có nghiệm:
min f(t) < m < max f(t) «> f( V2 ) < m < f(0) <=> V2 - 1 < m < 1.
Bài toán 5.36: Tìm m để phương trinh có nghiệm:
(4m - 3) Vx + 3 + (3m - 4)Vl -X + m -1 = 0.
Giải
" 1 •'
iT ' ^ 3-\/x + 3 + 4-\Ị\ — X +1
Điêu
kiện - 3"2 ^< X < 1. TPT
—
4Vx + 3 + 3 V I - X +1

=

m

Ta có (Vx + 3 ) + ịỵjì - x j = 4 nên đặt:
2t
Vx + 3 = 2sin(p = 2,—
Với t = tan ^ , 0 < ọ
2
PT C:í> m
Ta c ó f'(t)

7t - 1 2 t - 9
5 t^ -1 6 t-7

, Vl -

X

= 2coscp =

1 -T
l + t'

0 < t < 1.

2

. Đặt f(t) ^

-5 2 t^ - 8 t - 6 0
(5t- - 1 6 t - 7 ) “

7t - 1 2 t - 9
5t'-16t-7

0 < t < 1.

< 0 nên f nghịch biến trên đoạn [0; 1], do đó điều

7
9
kiện có nghiệm: f(l) < m < f(0) <=> — < m < —.
Bài toán 5.37: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Vx^ +m x + 2 = 2 x + l.
Giải

Í2x + 1 > 0
PT<=> i ,
.
1 <=> 3x^ + 4x
[ x ^ + m x + 2 = (2x + l)-

112

- 1

= mx,

X

>


Vì

X

= 0 không thoả mãn nên:

Xét f(x) =

3 x.2‘' + 4 x - l

----- ,

BBT:

X >

3x"+4x-l_

1

- —,
2

. 1
2

X

X 5* 0

thi

f (x)

0

=

3x^+1
—— í—

X

+00

+

f'

1

-------------------- = m , X > - —
X
2

+
-1-00

■■i'O0

f
9

-00

2

Điều kiện phưong trình cho có 2 nghiệm phân biệt
1

9

<=> f(x) = m có 2 nghiệm phân biệt x > - —, x?t O<=>m> —

Bài toán 5.38: 4'ìm m để phưong trình:
■v/l + x +V 3-X W 3 + 2 x -x ^ = 2m có nghiệm.
Giải
Điều kiện -1 < X < 3.
Đ ặ t t = -v/l + x

+ V 3-X

1

,x e [1;

1

3]

■v/3-x - V l + X

t = — J = -----p = = -^-7—
2^J\ + X 2^1)- X
2V1 +
t' = 0 <=i>

Ta có

t(-l)

r - — , x e (-1; 3);

X .V 3-X

í-1 < X < 3
,— _
--------- <=> X = 1
[V l + X = V 3 - X

{

=

t( 3 )

= 2;

t(l)

= 2 V2

=> rnax t = 2yỈ2; rnin t = 2 = ^ 2 < t < 2 ^ / 2 , V x e [-1;31
x e [ “ U 3]

Với

x e [ " l,3 ]

t = V l + X + V 3 - X , X G [ -1; 3 ] , t a c ó:

t^

= 4 + 2Ậ\ +

x )(3 - x )

«

t'

= 4 + 2yl3 + 2 x - x ^

<=> 'Jì + 2x - x^ = ----- -

2

Khi đó, phưong trình đã cho tưcmg đưong với:
Í ..[ 2 ;2 4
t + - ^ ^ = 2m

ụ J 2 ,2 ự ĩ]
t ' + 2 t - 4 = 4m (*)

113


Xét hàm số f(t) =

+ 2t - 4, t e [2; 2 V2 ];

f'(t) = 2t + 2 > 0 , Vt e [ 2 ; 2 V2 ]
=í> min f(t) = f(2) = 4 ;

max f(t) = f ( 2 V2 ) = 4(1 W 2 )

tel2,2V2]

tÊ[2,2/2j

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x e [-1; 3]
<=i> phương trình (*) có nghiệm t e [2; 2 V2 ]
<» 4 < 4m < 4(1 + V2 ) <=> 1 < m < 1 + V2 .
Vậy giá trị cần tim là 1 < m < 1 + V2 .
Bài toán 5.39: Tìm m để phương trình; x^ I m(x - 1) = 6xVx - 1 có bốn nghiệm
thực phân biệt.
Giải
Điều kiện; X > 1. Khi X = 1 thì PT vô nghiệm.
Khi X > 1, chia hai vế PT cho X - 1, ta có PT
X

<=> m = -

+

6
^Jx-\

Vx-ly

X -2
,x > 1 =í>t’=
Vx-1 ’
2(x-l)Vx-l

X

Đặt t

t' = 0 Cí> X = 2. Lập BBT = > t > 2 và mỗi t
biệt và t = 2 tương ứng chỉ có 1 nghiệm X.
Do đó; m = -t^

>

2 tương ứng có 2 nghiệm

6t với 2 < t.

Xét f(t) = -t^ + 6t; f '(t) - -2t + 6 = 0 « t = 3.
Lập BBT suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt « 8 < m < 9.
Bài toán 5.40: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
m + 2 + V 4 —x^ = mx có nghiệm.
Giải
ĐK: -2 < x < 2. Xét
Xét X

Đặt: f(x)

X

= 1

1 thì PT <=> m ^

2 + -v/4-x^

0 = 3: PT vô nghiệm
2+V ^
x -1
f'(x) =

-4-2^(x -l)^ V Ĩ-^

Suy ra: f'(x) < 0, Vx e (-2; 1) u (1; 2).
__

Lập BBT thì phương trình có nghiệm <=> m e

114

2
( - 00 ; - —

] u (2;

+ 00 ).

X

phân


Bài toán 5.41: Tìm m để phương trình Vĩ + x + V l - X = a có nghiệm.
Giải

Đặt

íu = V Ĩ+ ^

= 2. Ta có hệ:

v = VTÕ^
u+v=a

í Li + V = a

U^+V“ = 2

Ị(u + v)’ - 3uv(u + v) = 2

u+v=a
Ị a ’ -3a.uv =

2

,
[u + V = 0
Nêu a = 0: Hệ <=> j
: vô nghiệm.
u+ V= a

Nếu a

0; Hệ <=>
uv =

Do đó

Li, V

a -2

3a

là 2 nghiệm của phương trình

Điều kiện có nghiệm: a
<=> a - 4

a ^ -2
3a

- aX +

a ^ -2
3a

0 và A > 0:

8—
> 0 <=> — ^
3a

> 0 « a(8 - aV > 0

<=> a(2 - a)(4 + 2a ^ a^) > 0 <íí> a(2 - a) > 0 <=> 0 < a < 2
Vậy giá trị cần tìm: 0 < a < 2.
Cách khác: Xét hàm f(x) = Vl - X + Vl + X , D = R

=

V ( i - x ) - - x l ạ +x ) -

, f ‘(x) = 0 ^

X

=0

ĩ y ạ - x Y .ịỊạ + x Ý
lim f(x)= lim (Vl'X + Vl + x) = lim (Vl + X - V l - x )
J f^ + C 0

.v-> + o o

'

lim
^•->+00

.X— »+« 0

________________ 2________________
ỉặJ ( \

0

+ x ) Ỵ + Ự ( x^ - 1) + ị ^ Ậ x - \ ) Ỵ

n Lập
ĩ an BBl’
Rĩ^ 1^thì
tị^ì PT r*A
ii^m <»s 0 < a < 2.
Tương tự lim f(x)^= 0.
có rxíTV
nghiệm
.x-^ -o o

Bài toán 5.42: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thirc:
(V x + Vx-i)Ị^ mVx +

1
Vx - 1

Vx(x-l)

= 1.

115


G iả i

Điều kiện

X>

1. Phương trình tương đương

( V x + V x - l ] í m V x + ^ — + ự x ( x - ĩ ) =1(1)
V
vx-1
y
<=> mVx +

+ ự x ( x - l ) = Vx - Vx - 1
^ịx-\

<=> Vx - 1 +

+ ự x ( x - l ) = (1 - m)Vx
-s/x - 1

Vĩ

—

= l - » í . Đ ă t t = J ^ ^ , 0 < t < 1.

X

V

X

Phương trình trờ thành: - ^ + t = l - m < í í > - ^ - t + l = m(2)
t
t^
Phương trình (1) có nghiệm

X

o (2) có nghiệm t e (0; 1)

Xét hàm số f(t) = - ^ - 1 + 1, t e (0; 1).
Tacóf'(t)= ^
r
BBT

- 1 > 0 , Vt e (0; 1)

Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm <t=> m < -1.
Bài toán 5.43: Tìm m trong mỗi trường hợp:
a) (m + 2)x + 5 - 2m > 0, Vx e [1; 3].
b) mx - 3 - X + 4m > 0, Vx > 2.
Giải
a) Đặt y = f(x) = (m -t 2)x + 5 - 2m thì y có đồ thị là đường thẳng d.
Gọi A, B là hai điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ X = 1, X = 3. Điều kiện
f(x) > 0, Vx e [1; 3] là đoạn AB nằm phía trên trục hoành tức là 2 mút A, B ở
phía trên trục hoành:
íf(l)>0

ím + 2 + 5 - 2 m > 0

ím<7

[ f ( 3 ) >0

[3m + 6 + 5 - 2 m > 0

[m >-ll

.Vậy-ll
b) Viết lại: (m - l)x + 4m - 3 > 0, Vx > 2
Đặt y = f(x) = (m - l)x r 4m - 3 có hệ số góc a = m - 1.
116


Xét m = 1 Ihì y = 1 > 0, Vx > 2: đúng
Xét m ^ 1 thì f(x) > 0, Vx > 2
m>1
Ím-1>0
fm>l
5 . Vậy: m > 1.
<=> i <=> 1 <=> ■!
[f(2)>0
[2m-2 + 4 m -3 > 0
m>
Bài toán 5.44: Tìm m để mỗi biểu thức sau:
a) (m + 2)x^ + 2(m + 2)x + m 3 luôn luôn dương.
b) -x^ + 2m V2 X - 2m^ - 1 luôn luôn âm.

Giải

a) Đặt f(x) = (m + 2)x^ + 2(m + 2)x + m + 3
Xét m = -2, ta có f(x) = 1 > 0 với mọi x: chọn.
Xét m ^ -2, f(x) là một tam thức bậc hai nên
f(x) > 0, Vx

ía >0

[m + 2 >0

[a ' < 0

[(m + 2 ) ' - ( m + 2)(m + 3) < 0

Í/M+ 2 > 0
ịm > -2
<=> <
o <
<=ĩ> m > -2. Vây: m > -2.
[- w - 2 < 0
[m > - 2
b) Vì a = -1 < 0 nên -x^ + 2m V2 X - 2m^ - 1 < 0, Vx
Cí> A' < 0 Cí> 2m" - (2m^ + 1) < 0 <:^ 0. m < 1: đúng, với mọi m.
Vậy với mọi m thì TTB2 luôn luôn âm.
Bài toán 5.45: Xác định m sao cho bất phương trình:
f(x) = x^ - 2x + 1 - m^ < 0 được nghiệm đúng Vx e [1; 2].

Giải
Ta có: y = f(x) = x“ - 2x + 1 - m“ là hàm bậc hai có a = 1 > 0 nên bề lõm hướng
lên, do đó;
f(x) < 0, Vx e [1; 2]

íf(l)<0

í-m -< 0

[f(2)<0

Ịl-m -<0

<=> m^ > 1 <=> m < -1 hoặc m > 1.
Cách khác; f(x) < 0, Vx e [1; 2] <=í> m" > (x - 1)\ Vx e [1; 2].
o m^ > m a x ( x - l) ' <=> m^ > 1 <=> m < -1 hoặc m > 1.
Bài toán 5.46: Tìm m để bất phương trình: f(x) = x^ + (1 - 3m)x + 3m - 2 > 0
nghiệm đúng với mọi X mà Ịxl > 2.

Giải
B P T « ( x - l)(x-3m + 2)>0
117


Tam thức bậc hai có 2 nghiệm X = 1 và X = 3m - 2
Xét 3m - 2 = 1 <=> m = 1 thì f(x) = ( x - 1)^ > 0, V x

1

=> f(x) > 0, Vx mà i XI > 2.
Xét 3m - 2 > 1 <=> m > 1 thì =í> f(x) > 0 <=> X < 1 hoặc

X

> 3m - 2.

Điêu kiện f(x) > 0, Vx mà I XI > 2 là 3m - 2 < 2 o m < —
I
4
Kết họp thì 1 < m < —.
Xét 3m - 2 < 1 <=> m < 1 thì f(x) > 0 « X < 3m - 2 hoặc X > 1.
Điều kiện f(x) > 0, Vx mà IXI > 2 là 3m - 2 > - 2 « « m > 0
4

Kêt hợp thì 0 < m < 1. Vậy điêu kiện cân tìm là 0 < m < —.
Cách khác: TTB2 có 2 nghiệm X = 1, X = 3m - 2
Vì 1 e (-2; 2) và TTB2 có hệ số a = 1 > 0 nên
f(x) > 0, Vx mà IX I > 2.
-2 < 3m - 2 < 2
4
<=>0 3
Bài toán 5.47: Xác định m để tam thức: f(x) = X (3 - m)x - 2m + 3 luôn luôn
dưong với mọi X < -4.
Giải
Đặt t = X + 4 thì X < -4 <=> t < 0
Ta có: X = t - 4 nên f(x) = g(t) = (t - 4Ý + (3 - m)(t - 4) - 2m + 3
= t^ - (m + 5)t “I 7 + 2m
Do đó f(x) > 0, Vx < -4 o g(t) > 0, Vt < 0.
A = (m + 5)^ - 4(7

2m) = m^ + 2m - 3.

Xét A < 0 o m ^ + 2 m - 3 < 0 < = > - 3 < m < l thì:

g(t) > 0, Vt => g(t) > 0, Vt < 0.
Xét A > 0 ^ m^ + 2m - 3 > 0 <=> m < -3 hoặc m > 1.
Vì a > 0 nên g(t) > 0, Vt < 0.
o ti > Í2 > 0
s>0
p>0

m > -5
7
<=>
7 + 2m>0
m > —2
m+5>0
-

m>

2

o
.

Kết họp thì - — < m < -3 hoặc m > 1. Vậy giá trị cần tìm là m > - —
118


Bài toán 5.48: Hãy tìm m sao cho bất phương trình:
f(x) = (m - l)x“

2x + m + 1 > 0 được nghiệm đúng Vx > 0.

Giải

- Xét m = 1: f(x) = 2x + 2 > 0, Vx > -1: chọn
- Xét m < 1: TTB2 có A' - 1 - (m - l)(m + 1) = 2 - m^
Nếu A' < 0 thì f(x) < 0, Vx: loại
Ncu A' > 0 thì f(x) > 0 <=> Xi < X < X2: loại
- Xét m > 1:
Nếu A' < 0 <=> 2 - m^ < 0 <=> m^ > 2. Chọn m > V2 .
Ta có f(x) > 0, Vx: chọn
m^ < 2. Chọn 1 < m < ^Í2 .

Nếu A' > 0

Vì a = m - 1 > 0 nên f(x) > 0, Vx > 0
m +1
p>0
m-1
<i>Xis <0
lm-1

>0
: Đúng vì m > 1
<0

Vậy giá trị cần tìm là m > 1.
Bài toán 5.49: Tìm m để mx'* 4- 2mx^ - 4x^ - 2mx

4-

m > 0, Vx.

Giải
Xét X = 0 thì m > 0. Xét x ^ o , chia 2 vế cho x^ > 0
mx

2

Đặt t =

^

4 - 2mx

1

X - —
X

. 2m m
..2 4- 1
- 4 — —+ ^>0<=> m X
2
V
thì

2

X -

4-

2m

1

X -----V Xy

-4>0

tx - 1 = 0.

Vì phương trình này có A = t^ + 4 > 0, Vt nên t e R.
Ta có: t^ = x^ +

X

- 2 => x H -V =
X

2

Bài toán trở thành tìm m để: m(t^ 4 2) 4- 2mt - 4 > 0, Vt
o mt

2

4-

_

_
fa>0
fm>0
2mt + 2m - 4 > 0, Vt<=>
1A'< 0 ^ |m - - m(2m - 4)< 0

ím > 0
ím > 0
<»om>4.
<=> I
[-m"4-4m<0
[m <0haym>4
Bài toán 5.50: Xác định m để có: x(x

4

2)(x + 4)(x

4-

6) > m, Vx
119


G iả i

Ta có x(x + 2)(x + 4)(x + 6) = x(x + 6)(x + 2)(x + 4)
= (x^
( ? + 6x)(x^ + 6x + 8)

Đặt t = x^ + 6x + 4 thì t = (x + 3)^ - 5 > -5
ĐK <» (t - 4)(t + 4) > m, Vt > - 5 « m < t - 16, Vt > -5.
<=> m < min(t" -1 6 ) ■» m < -16.
l> - 5

Bài toán 5.51: Tìm m để bất phương trình: x^ + 1X + m I < 2 có nghiệm.
Giải
Ta có |x + m | < 2 - x ^ < = > x ^ - 2 < x + m < 2 - x ^
o

x-x-ff7-2<0
<
x " + x + aw- 2 < 0

w >x^'-x-2
\m < -x ^ -

X

n

+2

Đặt f(x) = x^ - X - 2 thì f(x) đạt GTNN tại đỉnh f
và g(x) = -x^ +

X

v2y

+ 2 thì g(x) đạt GTLN tại đỉnh g Í - . 2,
m>

Hệ (*) có nghiệm <=> <
<=> -i
[ m
9
4
9
4

9
4

9
m <—
4

9
9
Vây bât phương trình có nghiêm khi - —< m < —.
4
4
Bài toán 5.52: Tìm m để bất phương trình: x^ - 2mx+ 2 | x - m Ị - f 2 > 0 c ó nghiệm
với mọi X.
Giải
Đặt t = IX - m I > 0 ta đưa về bài toán tìm m để:
t^ + 2t + 2 - m ^ > 0 thoả với mọi t > 0
Phần thuận: Cho t = 0 thì 2 - m‘ > 0 <=> m^ < 2 <=> Im I < 4 ĩ

Đảo lại, khi Im I < ^Ỉ2 ^ 2 - m^ > 0
mà t >0 => t^ + 2t > 0 nên t^ + 2t + 2 - m^ > 0, Vt > 0
Vậy giá trị cần tìm: Im I < V2 .
Bài toán 5.53: Tìm m để bất phương trình:
-y/(l

120

+ 2x)(3 - x ) > m + (2x^ - 5x + 3) có nahiệm với mọi

X