KSL20708

ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN II
MÔN TOÁN - KHỐI 10, NĂM HỌC 2007 - 2008
(Ngày thi: 23-03-2008, Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1.(2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
26 3 2008
26 3 2008
y
x y
x
x
y x
y

− =




− =



b) Giải phương trình:
2 2
3 2 1.x x x x− + − + − =
Câu 2.(2 điểm)
a) Giải bất phương trình:
2 4 3
2
x x

x
− + −
≥
.
b) Giải hệ bất phương trình:
2
2
3 2 1 0
2 5 2 0
x x
x x

− − ≥


− + <


Câu 3.(2 điểm) Cho phương trình
2 2
2(1 2 ) 4 3 2 0,(1)x m x m m− − + − + = (
m
là tham số).
a) Giải phương trình với
2m = −
.
b) Tìm
m
để phương trình có nghiệm
1 2

,x x
thoả mãn:
1 2 1 2
15 . 11x x x x− ≤ + − ≤ −
.
Câu 4.(3 điểm)
1) Cho tam giác
ABC∆
có
, ,AB c BC a CA b= = =
và bán kính đường tròn nội tiếp là
r
.
Chứng minh rằng
ABC∆
đều khi và chỉ khi
2 2 2 2
36 .a b c r+ + =
2) Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho hai điểm
( 1; 2)A − −
và
(1; 6)B −
.
a) Tìm điểm
C
thuộc đường thẳng
( ) : 2 3 0x y∆ − − =
sao cho

ABC∆
cân tại
A
, biết
C
có
hoành độ dương.
b) Viết phương trình đường tròn qua
A
, tiếp xúc với
BC
và có bán kính nhỏ nhất.
Câu 5.(1 điểm) Cho số thực
a
thoả mãn
a 1≤
. Chứng minh rằng:
2
4
4 4
1 1 1 3.a a a− + − + + ≤
(Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm!)
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT LẦN II
MÔN TOÁN - KHỐI 10, NĂM HỌC 2007 - 2008
Câu Nội dung Điểm
1.
[ ]
3;3A = −
0.25
(

]
; 1B = −∞ −
0.25
A B∩
=[-3;-1]
0.25
C ( ; 3) (3; )A = −∞ − ∪ +∞
¡
0.25
2.a
[-4;+ )D = ∞
0.25
( 2) 0f − =
0.25
(0) 5f =
0.25
(5) 8f =
0.25
2.b 0.5
0.5
3.a
Đưa phương trình đã cho về dạng
2 2
(2 1) 2 3 1m m x m m+ − = + +
(1)
+ Nếu
2
1
2 1 0
1

2
m
m m
m
≠ −


+ − ≠ ⇔

≠


thì pt có nghiệm duy nhất
2 1
2 1
m
x
m
+
=
−
0.5
+ Nếu
1m
= −
thì (1)
0 0x
⇔ =
, pt có tập nghiệm là
¡

. 0.25
+ Nếu
1
2
m =
thì (1)
0 3x
⇔ =
, pt vô nghiệm.
0.25
3.b
+ Nếu
1m
=
thì pt đã cho trở thành
3
4 3 0
4
x x+ = ⇔ = −
0.25
+ Nếu
1m ≠
thì pt đã cho là pt bậc hai có
' 3m∆ = +
. Do đó
-Nếu
3m
< −
thì pt vô nghiệm.
-Nếu

3m
= −
thì pt có nghiệm kép
1,2
1
2
x = −
0.25
y
O
1 3
3
2
-1
-2
-4
-3
Nếu lấy cả đường thẳng
ứng với x<-4, x>0 hoặc lấy
cả phần Parabol ứng với
x<0 trừ 0.25 điểm.
x
x
y
-4 0 2
+∞
-3
3
-1
+∞

-Nếu
3m
> −
thì pt có hai nghiệm phân biệt
1,2
1 3
1
m m
x
m
− − ± +
=
−
0.25
Kết luận:...
Ghi chú: Nếu không xét riêng trường hợp
1m =
mà tính
∆
hoặc
'∆
ngay và
biện luận đúng thì cho 0.5 điểm toàn bài.
0.25
4.a
Ta có
( ) ( ) ( )
3 3 3
3 3
2 2 2

AB
MB MA MB BA MB CB CA b a= = + ⇒ = = − = −
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
.
0.5
1
2 2
b
BD CB= − = −
r
uuur uuur
0.25
MD MB BD= +
uuuur uuur uuur
=
3
2
a b− +
r r
Ghi chú: - Không vẽ hình không cho điểm.
- Có thể có nhiều cách phân tích khác:
1
,...
2
MD MA AD AB CD CA= + = + −
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
hoặc
MD MC CD= + = ×××
uuuur uuuur uuur

0.25
4.b
E chia CA theo tỉ số -3 nên
3EC EA= −
uuur uuur
0.25
Từ đó
( )
3
3 4 4 3
2 4
b a
ED DC ED DC CA ED CD CA ED+ = − + + ⇔ = − ⇔ = −
r r
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(Hoặc
3 3
)
2 4 2 4
CB CA b a
ED CD CE= − = − = −
uuur uuur r r
uuur uuur uuur
0.5
Theo kết quả phần a) và kết quả vừa tìm được thì
2 , ,MD ED M E D= ⇒
uuuur uuur
thẳng
hàng.
Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng định lý Mê lê na uýt:

chia theo tû sè 3,M BA
E chia AC theo tỷ số
1
3
−
, D chia CB theo tỷ số -1 mà
1
3. .( 1) 1
3
−
− =
. Suy ra M, E,
D thẳng hàng.
0.25
4.c
Gọi AN cắt BC tại A
1
, BN cắt AC tại B
1
; Kẻ CA
’
//BB
1
, CB
’
//AA
1
. Gọi AH, CK tương
ứng là các đường cao kẻ từ A và C của các tam giác NAB, NBC.
Theo qui tắc HBH ta có

' '
' '
NA NB
NC NA NB NA NB
NA NB
= + = − × − ×
uuur uuuur uuuur uuur uuur
(1)
0.25
A
B
M
M
D
C
A
B
C
A
B
C
N
H
K
B
1
A
1
A
’

B
’
P
L
Vì
1
1
1
'
// '
B C
NA
NB A C
NA B A
⇒ =
. Hơn nữa hai tam giác vuông
1 1
,B AH B CK
đồng
dạng với nhau nên
1
1
1
2
1
2
.
'
.
NBC NBC

NAB NAB
CK BN
S S
B C
CK NA
B A AH S NA S
AH BN
∆ ∆
= = = ⇒ = ×
(2)
0.25
Tương tự
1
1 2
1
1
1
2
.
'
// ' .
.
NCA
NAB
CL NA S
A C
NB CL
NA B C
NB A B BP BP NA S
∆

∆
⇒ = = = =
(3)
0.25
Thay (2), (3) vào (1) ta được
. . .
NBC NCA
NAB NBC NCA
NAB NAB
S S
NC NA NB S NC S NA S NB
S S
∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆
= − × − × ⇔ = − − ⇒
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Đpcm.
0.25
5.a Q đúng thì chữ số tận cùng của n+51 là 2, chữ số tận cùng của n-38 là 3 nên n+51
và n-38 không thể là các số chính phương, suy ra P, R cùng sai, vô lý!Vậy Q phải
là mệnh đề sai. Tức là P, R đúng.
0.25
Giả sử
2 2
51 ; 38 ( , ) .n x n y x y x y+ = − = ∈ ⇒ >¥
0.25
( )( ) 89x y x y⇒ − + =
=89.1
1 45

89 44
x y x
x y y
− = =
 
⇒ ⇒
 
+ = =
 
0.25
Vậy
2
45 51 1974.n = − =
Ghi chú: Học sinh có thể xét 3 khả năng
-P sai, Q & R đúng,
-Q sai, P & R đúng,
-R sai, P & Q đúng.
0.25
5.b
Phương trình đã cho tương đương với
2
6 5 1 2x x m− + = −
. Xét hàm số
2
6 5y x x= − +
, có đồ thị ứng với
2x
>
:
Ghi chú: Học sinh có thể vẽ đồ thị của cả hàm số

2
6 5y x x= − +
mà không bỏ
đi phần
2x ≤
, vẫn cho đủ điểm.
0.5
Số nghiệm pt đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán là số giao điểm của đường thẳng
1 2y m= −
( song song với trục hoành) và phần đồ thị nét liền. Do đó để pt có ba
nghiệm dương phân biệt lớn hơn 2 thì
3
3 1 2 4 1
2
m m< − < ⇔ − < < −
.
0.5
5
4
0
1
-4
5
2
3
x
y