Kỹ năng giải hệ phương trình

(loại)
MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . Nhằm giúp các
bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng
I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích
nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong
hệ .
*Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc
ngược lại
Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
x y 1 x y 1 3x 4x 1 1
xy x 1 x 2

+ + + = − +


+ + =


Giải.
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có :
2
x 1
y 1
x
−

+ =
thay vào (1) ta được
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
x 1 x 1
x x 3x 4x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1
x x
 
− −
+ = − + ⇔ − − = − −
 ÷
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2 3 2
x 1
x 1 2x 2x x 1 x 1 3x 1 x 1 2x 2x 4x 0 x 0
x 2
=


⇔ − + − − = − − ⇔ − + − = ⇔ =


= −


Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2;
5
2
−
)
*Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
xy x y x 2y 1
x 2y y x 1 2x 2y 2

+ + = −


− − = −


Giải .
Điều kiện : x≥1 ; y≥0
PT (1)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x xy 2y x y 0 x y x 2y x y 0
⇔ − − − + = ⇔ + − − + =
( từ điều kiện ta có x+y>0)

x 2y 1 0 x 2y 1
⇔ − − = ⇔ = +

thay vào PT (2) ta được :
( )
( )
( )
y 2x 2y 2y 2 y 1 2y 2 0 do y 0 y 2 x 5+ = + ⇔ + − = ≥ ⇔ = ⇒ =
*loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham
số
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
y = 5x 4 4 x 1
y 5x 4xy 16x 8y 16 0 2

+ −


− − + − + =


Giải .
Biến đổi PT (2) về dạng
( )
2 2
y 4x 8 y 5x 16x 16 0
− + − + + =
1
Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có
2

' 9x
∆ =
từ đó ta được nghiệm
( )
( )
y 5x 4 3
y 4 x 4
= +

= −


Thay (3) vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
2
4
x y 0
5x 4 5x 4 4 x
5
x 0 y 4

= − ⇒ =

+ = + − ⇔

= ⇒ =

Thay (4) vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
2

x 4 y 0
4 x 5x 4 4 x
x 0 y 4
= ⇒ =

− = + − ⇔

= ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , (
4
5
−
;0)
II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
( ) ( )
a f x, y ;b g x, y= =
có ngay trong từng
phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu
thức khác 0.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
x 1 y y x 4y 1
x 1 y x 2 y 2


+ + + =


+ + − =


Giải .
Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT
( )
2
2
x 1
y x 4
y
x 1
y x 2 1
y

+
+ + =


⇔

 
+

+ − =
 ÷


 

Đặt
2
a b 2
x 1
a ,b y x 2
ab 1
y
+ =

+
= = + − ⇒

=

giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ
2
x 1 y
x y 3

+ =

+ =

Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2

2
3
4xy 4 x y 7
x y
1
2x 3
x y

+ + + =

+



+ =

+

Giải . Điều kiện : x +y ≠0
HPT
( ) ( )
( )
2 2
2
3
3 x y x y 7
x y
1
x y x y 3
x y


+ + − + =

+

⇔


+ + + − =

+


Đặt
( )
1
a x y a 2 ;b x y
x y
= + + ≥ = −
+
ta được hệ
( )
( )
2 2
3a b 13 1
a b 3 2

+ =



+ =


2
Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ
1
x y 2
x y 1 x 1
x y
x y 1 y 0
x y 1

+ + =
+ = =
 

+
⇔ ⇔
  
− = =
 

− =

III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc
D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu
* Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y
thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu
Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình

( )
( )
3 3
8 4
x 5x y 5y 1
x y 1 2

− = −


+ =


Giải .
Từ PT (2) ta có
8 4
x 1; y 1 x 1; y 1≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Xét hàm số
( )
[ ]
3
f t t 5t;t 1;1= − ∈ −
có
( )
[ ]
2
f ' t 3t 5 0; t 1;1= − < ∀ ∈ −
do đó f(t) nghịch biến trên
khoảng (-1;1) hay PT (1)
x y

⇔ =
thay vào PT (2) ta được PT :
8 4
x x 1 0+ − =
Đặt a=x
4
≥0 và giải phương trình ta được
4
1 5 1 5
a y x
2 2
− + − +
= ⇒ = = ±
*loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−

+ − + = +


+ − + = +


Giải .
Đặt

a x 1;b y 1= − = −
ta được hệ
( )
( )
2 b
2 a
a a 1 3 1
b b 1 3 2

+ + =


+ + =


Trừ vế với vế 2 PT ta được :
2 a 2 b
a a 1 3 b b 1 3+ + + = + + +
(3)
Xét hàm số
( ) ( )
2
2 t t
2
t 1 t
f t t t 1 3 ;f ' t 3 ln3
t 1
+ +
= + + + = +
+

Vì
( )
2 2 2
t 1 t t t 1 t 0 f ' t 0, t+ > ≥ − ⇒ + + > ⇒ > ∀
do đó hàm số f(t) đồng biến trên R
Nên PT (3)
a b⇔ =
thay vào PT (1) ta được
2 a
a a 1 3+ + =
(4)
Theo nhận xét trên thì
2
a a 1 0+ + >
nên PT (4)
(
)
2
ln a a 1 a ln 3 0⇔ + + − =
( lấy ln hai vế )
Xét hàm số
( )
(
)
( )
2
2
1
g a ln a a 1 a ln 3; g' a ln3 1 ln3 0, a R
a 1

= + + − = − < − < ∀ ∈
+
hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1
IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất
đẳng thức cơ bản
3
Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình
2
3 2
2
2
3
2xy
x x y
x 2x 9
2xy
y y x
y 2y 9

+ = +

− +



+ = +

− +


Giải.
Cộng vế với vế hai PT ta được
2 2
3 2 2
3
2xy 2xy
x y
x 2x 9 y 2y 9
+ = +
− + − +
(1)
Ta có :
( )
2
3 2
3
3 32 2
2 xy 2 xy
2xy
x 2x 9 x 1 8 2 xy
2
x 2x 9 x 2x 9
− + = − + ≥ ⇒ ≤ ≤ =
− + − +
Tương tự
3 2
2xy
xy
x 2x 9

≤
− +
mà theo bất đẳng thức Côsi
2 2
x y 2 xy+ ≥
nên VT(1)≤VP(1)
Dấu bằng xảy ra khi
x y 1
x y 0
= =


= =

thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)
Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình
3
3
y x 3x 4
x 2y 6y 2

= − + +


= − −


Giải.
HPT
( )

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3
2
3
y 2 x 3x 2
y 2 x 1 x 2 1
x 2 2 y 3y 2
x 2 2 y 1 y 2 2


− = − − −
− = − + −
 
⇔ ⇔
 
− = − −
− = + −
 


Nếu x>2 từ (1) suy ra y-2<0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu
Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí . Vậy nghiệm của hệ là x=y=2
Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ .Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải
các hệ phương trình sau
( )
( )
( )

( )
( )
( )
3
2 2
3
3 2
2
4 2
3 2
x 2 3y 8
xy 3x 2y 16
1) 2)
x y 2x 4y 33
x y 2 6
2 x 2x y 1 x y 1
x 3y 9
3) 4)
y 4 2x 3 y 48y 48x 155 0
y 4x 1 ln y 2x

+ =
− − =


 
+ − − =
− =




+ − − = +

+ =


+ − − − + =
+ + + + =


0





3 2
2 2
2 2
x
2 2 2
2
3 2
y
2
x y 2
x x 2 x 4 y 1 y 3 y 5
5) 6)
x xy y y 0
x y x y 44

y
e 2007
x y 2x y 0
y 1
7) 8)
x
2x 3x 6y 12x 13 0
e 2007
x 1


+ =
+ + + + = − + − + −
 
 
+ + − =
+ + + =





= −


− + =
−


+ + − + =


= −

−





4