Bài giảng Hình học 10 – Ôn tập Phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng

SỞ GDĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT TIỂU LA

CHÀO MỪNG THẦY, CÔ ĐẾN DỰ GIỜ
TẠI LỚP 12A4


ÔN TẬP
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 


NỘI DUNG CHÍNH CỦA TIẾT HỌC




­ Viết phương trình  đường thẳng.
­ Viết phương trình mặt phẳng.
­ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt 
phẳng và một số điểm liên quan.


Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải
d

thay x=1+2t, y=-1+t, z=-t
vào phương trình tổng
quát của (P) ta được:
(1+2t)+2(-1+t)+(-t)-2=0 (1)

x = 1 + 2t
y = −1 + t
z = −t

M(3;0;-1)
M(?;?;?)
(P): x +2y + z -2= 0

Giải (1) ta có: t=1
Vậy d cắt (P) tại M(3;0;-1)


Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
mặt phẳng.
M
Làm thế nào để xác định được hình chiếu
của M trên mặt phẳng (P)?

M’
(P)


Bài toán1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm trên
một mặt phẳng.
Làm thế nào để xác định được tọa
độ hình chiếu của M trên mp(P)?

x = x0 + At

M (x0, y0, z0)

y = y0 + Bt
z = z0 + Ct

M’
(P): Ax + By + Cz + D= 0

Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với 
mp (P).
* Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).


Ví dụ 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M(1; -2; 2)
trên mặt phẳng (P) 2x – y + 2z + 1 = 0
d

M(1; ­2; 2)

Gọi d là đường thằng qua M và vuông góc với (P)
x = 1 + 2t
Vậy phương trình tham số của d: y = −2 − t
z = 2 + 2t

Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
Thay x=1+2t, y=­2­t, z=2+2t vào 
phương trình mp(P) ta được:
2(1+2t)­(­2­t)+2(2+2t)+1=0

M’
(P): 2x – y + 2z + 12 = 0

� t = −1

Thay t=­1 vào phương trình đường thẳng d ta có tọa độ giao điểm của d 
và (P) là M’(­1;­1;0)
Vậy hình chiếu của M trên (P) là M ’(­1;­1;0)


Bài toán2: Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một
mặt phẳng.
Em hãy cho biết quan hệ của 3 điểm A, B, C?

A( x A ; y A ; z A )

Tọa độ của 3 điểm này có quan hệ với nhau
như thế nào?
x A + xC
= xB
2
y A + yC
= yB
2
z A + zC
= zB
2

B ( xB ; y B ; z B )

(P)

C ( xC ; yC ; zC )

Nếu ta biết tọa độ điểm A và tọa độ điểm B
thì ta có thể tìm được tọa độ điểm C không?

Nhận xét: Nếu tìm được tọa độ hình chiếu B của A trên (P) thì ta
sẻ xác định được tọa độ điểm đối xứng C của A qua (P)


Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một
mặt phẳng.
Bạn nào có thể trình bày các bước để x = x A + at
y = y A + bt
giải bài toán này?

A( x A ; y A ; z A )

z = z A + ct

B ( xB ; y B ; z B )

(P): ax + by + cz + d= 0

Các bước để giải bài toán

C ( xC ; yC ; zC )

*Lập ptđt đi qua A và vuông góc với đường thẳng (P).

* Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).
* Tìm điểm đối xứng.


Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(1; -2; 2) qua mặt
phẳng (P):2x – y + 2z + 1 = 0
M (1; −2; 2)

Gọi d là đường thằng qua M và vuông góc với (P)
x = 1 + 2t
Vậy phương trình tham số của d: y = −2 − t
z = 2 + 2t

Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
Thay x=1+2t, y=­2­t, z=2+2t vào 
phương trình mp(P) ta được:
2(1+2t)­(­2­t)+2(2+2t)+1=0

M '(−1; −1;0)

(P): 2x -y +2z +1= 0

� t = −1

Thay t=­1 vào phương trình đường thẳng d ta có tọa độ giao điểm của d 
và (P) là M’(­1;­1;0)
Vậy hình chiếu của M trên (P) là M ’(­1;­1;0)


Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(1; -2; 2) qua mặt

phẳng (P):2x – y + 2z + 12 = 0
M (1; −2; 2)

Gọi

C ( xC ; yC ; zC )

là điểm đối xứng của M qua mp(P)

Vậy M’ là trung điểm của đoạn MC ta có:
1 + xC
= −1
2
�
−2 + yC
= −1
2
2 + zC
=0
2

M '(−1; −1;0)

xC = −3
yc = 0
zC = −2

(P): 2x -y +2z +12= 0

C ( xC ; yC ; zC )

C (−3;0; −2)

Kết luận: điểm đối xứng với M qua mp(P) là C (−3;0; −2)


Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
đường thẳng.

M

M’
d

(P)

Các em có nhận xét gì về quan hệ của hai điểm M và M’ ?


Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
đường thẳng.
Làm thế nào để có thể tìm được tọa độ
hình chiếu của M trên đường thẳng d?

(P) :a(x- xM)+b(y­ yM)+c(z­zM) =0
:
M (xM, yM, zM)

M’

d

x

x0 at

y

y0 bt

z

z0 ct

Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với 
đường thẳng d.
* Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).


Ví dụ 3: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M(4; ­3; 2) trên
đường thẳng d:

x
y
z

2 3t
2 2t
t

(P): 3(x- 4)+2(y+3)­1(z­2) =0

Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d
Vậy phương trình của mp(P): 3(x- 4)+2(y+3)-1(z-2) =0

� 3x + 2 y − z − 4 = 0
Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
Thay x=­2+3t, y=­2+2t, z=­t vào phương trình mp(P) ta được:
3(­2+3t)+2(­2+2t)­(­t)­4=0

M (4,-3,2)
M’ d

x
y
z

Giải phương trình ta được t=1

Thay t=1 vào phương trình đường thẳng d ta có tọa độ giao điểm của d 
và (P) là M’(1;0;­1)
Vậy hình chiếu của M trên d là M ’(1;0;­1)

2 3t
2 2t
t


Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một
đường thẳng.

M
Em hãy cho biết quan hệ của ba
điểm M, I, M’?
I

d

M’

Nhận xét:
Nếu tìm được tọa độ hình chiếu I của M trên d thì ta sẻ xác
định được tọa độ điểm đối xứng M’ của M qua d


Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một
đường thẳng.
Bạn nào có thể trình bày các bước để
giải bài toán này?

M (xM, yM, zM)

I
(P) :a(x- xM)+b(y­ yM)+c(z­zM) =0
:

M’

d

x

x0 at

y

y0 bt

z

z0 ct

Các bước để giải bài toán

*Lập phương trình mặt phẳng (P)đi qua M và vuông góc với 
đường thẳng d.
* Tìm giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng 
(P).
* Tìm điểm đối xứng.


Ví dụ 4: Tìm tọa độ điểm đối xứng  của M(4; ­3; 2) qua
đường thẳng d:

x
y
z

2 3t
2 2t
t

Gọi (P) là đường thằng qua M và vuông góc với d
Vậy phương trình của mp(P):
(P):3(x- 4)+2(y+3)-1(z-2) =0

M (4,-3,2)
d

x = −2 + 3t
y = −2 + 2t
z = −t

I (1;0;­1)

Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
Thay x=­2+3t, y=­2+2t, z=­t vào phương 
Trình mp(P) ta được:
3(­2+3t)+2(­2+2t)­(­t)­4=0

(P): 3(x- 4)+2(y+3)­1(z­2) =0

Giải phương trình ta được t=1
Thay t=1 vào phương trình đường thẳng d ta có tọa độ giao điểm của d 
và (P) là I(1;0;­1)
Vậy hình chiếu của M trên d là I(1;0;­1)


Cách giải khác





Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d.
Ta có  H  d    H(­2t+3; ­2t+2; ­t )
  = ( ­2t­1;­2t+5;­t­2) 


Ví dụ 4: Tìm tọa độ điểm đối xứng  của M(4; ­3; 2) qua
đường thẳng d:

x
y
z

2 3t
2 2t
t

M (4,-3,2)

Gọi M’ (a,b,c) là điểm đối xứng của M qua 
đường thẳng d
Vậy I là trung điểm của MM’ ta có:
4+a
=1
2
−3 + b
=0
2
2+c

= −1
2

a = −2
� b=3
c = −4

I(1,0,-1)

M’(-2;3;-4)
M’(a;b;c)

Kết luận: điểm đối xứng với M qua đường thẳng d là M’(-2;3;-4)


Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
x

2 3t

A(2; ­3; 1) trên đường thẳng d: y 1 2t
z

t

Bài 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M(­2; 1; 0) và 
vuông góc với mặt phẳng (Q):x + 2y – 2z + 1 = 0

Bài toán1: Tìm hình chiếu vuông góc của một
điểm trên một mặt phẳng.
Các bước để giải bài toán

*Lập phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mp 
(P).
* Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).


Bài toán 2: Tìm điểm đối xứng của một
điểm qua một mặt phẳng.
Các bước để giải bài toán
*Lập ptđt đi qua A và vuông góc với đường thẳng (P).
* Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).
* Tìm điểm đối xứng.


Bài toán 3: Tìm hình chiếu vuông góc của
một điểm trên một đường thẳng.
Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc 
với đường thẳng d.
* Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).


Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng với một
điểm qua một đường thẳng.
Các bước để giải bài toán
*Lập phương trình mặt phẳng (P)đi qua M và vuông 
góc với đường thẳng d.

* Tìm giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
* Tìm điểm đối xứng.