Đề thi - đáp án casio Hải dương 09-10

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN LỚP 9 THCS
Ngày 08 tháng 01 năm 2009
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài (gồm có 2 trang)
Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây (Cần trình bày sơ
lược cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán để nguyên kết quả
trên máy nếu không có yêu cầu làm tròn).
Bài 1(5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
2 0 2 0
3 0 2 0
1296 cot 59 35'.cos 66 30'
tan 74 15'.sin 54 20'
A
=
b) Tính chính xác:
2 2
200912 201081
+
Bài 2(5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A và B thuộc đồ thị
2
3
2
y x

= +
; B và C thuộc đồ thị
3
1
2
y x
= +
; C và A thuộc đồ thị
5
2
2
y x
= − +
.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
b) Tính số đo các góc B; C.
Bài 3(5 điểm)
Dân số của một nước là 50 triệu người. Do đặc điểm riêng của dân nước này
mà tỷ lệ giảm dân số hàng năm là 1,15 %. Tính xem sau ít nhất bao nhiêu năm nữa
thì dân số nước đó có không quá 25 triệu người.
Bài 4(5 điểm)
Tìm đa thức P(x) bậc 3 sao cho P(x) chia cho
2
( 5 4)x x
− +
được dư là
2
( )
3 5
x

−
; P(x) chia cho
2
( 5 6)x x
− +
được dư là
2
( )
5 3
x
+
.
Bài 5(5 điểm)
Cho tam giác đều cạnh a =
3
(cm). Người ta dựng tam giác đều thứ 2 có
các đỉnh là trung điểm các cạnh tam giác đều đã cho (tam giác thứ nhất). Tiếp tục
quá trình như vậy ta được một dãy n tam giác đều mà tam giác thứ k+1 có các đỉnh
là trung điểm các cạnh của tam giác thứ k( k= 1; 2; 3; …; n-1).
a) Tính tổng diện tích n tam giác đã cho với n = 16.
b) Tìm n để tổng diện tích n tam giác đã cho lớn hơn
0,9999999
.

Bài 6(5 điểm)
Tìm các số tự nhiên
1 2 3
; ; ;...a a a
thỏa mãn:
1

2
3
20112009 1
1
812010
a
a
a
= +
+
+
O
Bài 7(5 điểm)
Cho dãy số
{ }
n
U
thỏa mãn:
2 1
10 11
3 2 3( *)
2; 3
n n n
U U U n N
U U
+ +
= + + ∀ ∈


= =


Lập quy trình bấm phím liên tục tính
1 20
;U U
Bài 8(5 điểm)
Cho quãng đường AB dài 50,7 km. Bạn An đi xe đạp từ A với vận tốc 15,5
km/giờ; Bạn Bình đi bộ từ B với vận tốc 5,1 km/giờ. Hai bạn cùng xuất phát tại
cùng một thời điểm.
a) Hỏi sau thời gian bao lâu họ gặp nhau, nếu An và Bình ngược hướng
nhau.
b) Nếu An và Bình đi cùng hướng từA tới B thì họ gặp nhau tại địa điểm C
cách B bao xa ?
( Thời gian tính chính xác đến giây; quãng đường tính chính xác đến mét).
Bài 9(5 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn:
6
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 ... ( 1)( 2)( 3) 10n n n n
+ + + + + + + >
Bài 10(5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A. AB = 4,1 cm; AC = 3,2 cm. M là
điểm thay đổi trên cạnh BC; gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
AB và AC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác HMK.
HẾT
Họ và tên thí sinh:................................................Số báo danh:............................
Họ tên và chữ ký giám thị 1:.....................................................
Họ tên và chữ ký giám thị 2:.....................................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS(8/1//2010)
(Viết trên máy CASIO FX 570 ES)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu
bằng)

Bài 1(5 đ)
A=
0,0670544119
; 2đ
B=
5 2 5 3 2
(2.10 912) (2.10 10 81) ...+ + + + =
=80799200305.
(khai triển đúng 2đ; Đs đúng 1 đ)
Bài 2(5 đ)
Đưa về giải hệ hoặc giải phương trình bậc nhất một ẩn, 1đ
ta có:
A(-0,5479029434; 2,612574113); B(12,58505748;
11,89897949);C(0,5040171699; 1,436491673) 1đ
Gọi
1 2 3
; ;
α α α
là góc nhọn có:
0
1 1
3
tan 40 53'36"
2
α α
= ⇒ =
;
0
2 2
2

tan 35 15'51"
2
α α
= ⇒ =
0
3 1
5
tan 40 53'36"
2
α α
= ⇒ =
. 2đ
Lý luận để có đáp số:
Góc B= 5
0
37’45”; C= 180
0
-(
1 3
α α
+
)= 90
0
55’1”. 1đ
Bài 3 (5 đ)
Lý luận để ra công thức sau n năm thì dân số nước đó còn là:
4
115
50 1
10

n
 
−
 ÷
 
( triệu) 1đ
Yêu cầu
⇔
( )
4
115 1
50 1 25 0,9885
10 2
n
n
 
− ≤ ⇔ ≤
 ÷
 
. 1đ
Lý luận để có khi n tăng vế trái giảm. 1đ
Lập công thức
( )
1
1: 0,9885 ; ; ?1; ; ;...
2
X
X X CACL X= + − = =
1đ
Đáp số: n=60 1đ

Bài 4 (5 đ)
P(x)=
3 2
ax ( 0)bx cx d a+ + + ≠
Theo giả thiết có: P(x)=
2
2
( 5 4) ( ) ( )
3 5
x
x x Q x x− + + − ∀
nên P(1)=
1
15
−
; P(4)=
14
15
1đ
Tương tự có P(2)=
16
15
; P(3)=
19
15
1đ
Khi đó có hệ:
1/15
64 16 4 14/15
8 4 2 16 /15

27 9 3 19 /15
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + + = −


+ + + =


+ + + =


+ + + =

1/15
63 15 3 1
...
56 12 2 2 /15
37 7 5/15
a b c d
a b c
a b c
a b c
+ + + = −


+ + =


⇔ ⇔

+ + = −


+ + = −

2đ
a= 1/15 = 0,66666666; b=-13/15=-0,866666666; c=49/15=3,266666667; d=-
38/15=-2,533333333. 1đ
Bài 5(5đ)
Tam giác đều cạnh a có diện tích S
1
=
2
2
3 3
( )
4 4
a
cm=
0,5đ
Lý luận để có diện tích tam giác thứ 2 là
1
1
4
S
; Lập luận để có
1
1

1
4
k
k
S S
−
=
;
k= 1,2,…,n. 1đ
Ta có tổng cần tìm: S=
1
2 1
1 1 1
1 ...
4 4 4
n
S
−
 
+ + + +
 ÷
 
. Nhân hai vế với 4 rồi trừ 2 đẳng
thức ta có
1
1
1 1
4 1
3 4 4
n n

S
S
−
 
= − = −
 ÷
 
. 1đ
Cần tìm n để S > 0,9999999. Lý luận S tăng khi n tăng, 1đ
lập công thức bấm liên tục 1đ
Suy ra n
12≥
0,5đ
Bài 6:(5đ)
Có
1
20112009
24,... 24
812010
a= ⇒ =
; 20112009-24.812010=623769; 2đ
làm tương tự có
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1; 3; 3; 5; 3; 6; 1; 12; 13a a a a a a a a a= = = = = = = = =
. 3đ
Bài 7(5đ)
+) Tìm U
20
:
2 ;3 ;11 ; 1: 3 2 3: 1: 3 2 3A B X X X A B A X X B A B→ → → = + = + + = + = + +

CACL; =;=;=…
2đ
Có U
20
= 421672
+) Tìm U
1
: có
2 1
1 3 3
2 2 2
n n n
U U U
+ +
= − −

1đ
2 ;3 ;10
1 3 3 1 3 3
1: : 1:
2 2 2 2 2 2
B A X
X X A A B X X B B A
→ → →
= − = − − = − = − −

CACL; =; =;=…
1đ
U
1

=
1059
264,75
4
−
= −
.
1đ
Bài 8(5đ)
a) Gọi x là thời gian để hai bạn gặp nhau( x>0)
Lập được phương trình:15,5.x+5,1.x=50,7 ; Nên x= 2giờ 27phút40giây 2,5đ
b) Làm tương tự có đoạn BC= 24,8625= 24,863 (km). 2,5đ
Bài 9(5đ)
Ta có:
( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1) ( 1)( 2)( 3) 5 ( 1)( 2)( 3)k k k k k k k k k k k k k k+ + + + − − + + + = + + +
( với
mọi k) . 1đ
Do đó tổng đã cho S =
1
( 1)( 2)( 3)( 4)
5
n n n n n+ + + +
. 1đ
Yêu cầu
6
1
? : ( 1)( 2)( 3)( 4) 10
5
n n n n n n⇔ + + + + >
(*) .

Lý luận khi n( n nguyên dương) tăng thì VT(*) tăng. 1đ
Lập công thức bấm liên tục hoặc : điều kiện cần là
5 6
( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4) 5.10n n n n n n+ > + + + + >
2 22 20n n
⇒ + ≥ ⇒ ≥
1đ
ĐK đủ: thử lại n=20 đúng.
Đáp số
20n
≥
1đ
Bài 10(5đ)( đặt như trên hình vẽ)
Tứ giác AHMK có 3 góc vuông nên là hình chữ
nhật. nên tam giác MHK vuông ở M. 0,5đ
Diện tích tam giác MHK là S=
2
xy
0,5đ
Dùng định lý TaLet để chứng tỏ được
1
3,2 4,1
x y
+ =

1,5đ
Suy ra
4 3,2.4,1
1 1,64
3,2.4,1 2 8

xy xy
≥ ⇒ ≤ =
1đ
Đáp số S lớn nhất bằng 1,64 (cm
2
) khi
1
3,2 4,1 2
x y
= =

Hay M là trung điểm BC. 1,5đ
x
y
B
A
C
M
H
K