de thi HSG cac nam gan day(chuan)

phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2005 -2006
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: ( 3 điểm)
Cho
( )
2
2 x 1
x x 2x x
A
x x 1 x x 1

+
= +
+ +
a.Rút gọn A.
b.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: ( 4 điểm) Giải hệ phơng trình:
2 2
2
4x 4xy y 7
2x xy 1

+ =


=

Bài 3: ( 4 điểm)
Cho phơng trình x
2
- 2(m -1)x + m - 3 = 0
a.Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm.
b.Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.
c.Xác định m sao cho phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị
tuyệt đối.
Bài 4: ( 7 điểm)
Cho đờng tròn (O ; R), M là một điểm nằm ngoài đờng tròn. Qua M kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB của đờng tròn (O ; R) ( A, B là các tiếp điểm). Một đờng thẳng d qua M
cắt đờng tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của
CD. Đờng thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự tại các điểm E, F, K.
a.Chứng minh rằng OE. OM = OK. OI = R
2
b. Khi đờng thẳng d không đi qua O. Chứng minh OECD là tứ giác nội tiếp.
c. Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm. Tính MB?
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho p =
abc
là số nguyên tố. Chứng minh rằng phơng trình a
2
+ bx + c = 0 không
có nghiệm hữu tỷ.
1
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 1998- 1999
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 999. Chứng minh rằng
giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
999 y 999 z 999 z 999 x 999 x 999 y
P
999 x 999 y 999 z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Câu 2. Cho biểu thức:
1 3 2
A
x 1 x x 1 x x 1
= +
+ + +
a.Tìm giá trị thích hợp của x?
b. Rút gọn A.
c. Chứng minh : A
1

d. Tính giá trị của A biết
x 4 7 4 7 2
= + +
Câu 3. Giải hệ phơng trình:
x y z 2

3x 2y 4z 24
4x 9y 25z 108
+ + =


=


+ + =

Câu 4. Cho đờng tròn (O; R) và (O

; r) tiếp xúc ngoài tại M. Kẻ 1 tiếp tuyến chung
ngoài NP (
( )
( )
'
N O ;P O
)
a.Tính góc NMP và tính NP?
b.Gọi Q là giao điểm của PM với đờng tròn (O) (Q khác M). Chứng minh
rằng : ba điểm N, O, Q thẳng hàng.
c.Tính MN? MP?
d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đờng tròn (O), kẻ
AB và AC là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm). Chứng minh
rằng: Khi điểm A di động trên tia MQ ( ở miền ngoài (O) thì đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC luôn đi qua 2 điểm cố định.
2
đề chính thức
phòng GD- đt

huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1997- 1998
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:
a.
x y xy xy 1
A :
x y
x y x y

+
= +
ữ
ữ

+ +

với
x 0; y 0; x y
b.
B 4 5 3 5 48 10 7 4 3= + + +
Bài 2. Giải phơng trình:
2x 4x 1 2x 4x 1 6
+ + =
Bài 3. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính giá trị biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2

1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y
P x. y. z.
1 x 1 y 1 z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y x 3 4 x 1 x 15 8 x 1= + + +
Bài 5. Cho đờng thẳng d, trên d lấy 2 điểm phân biệt M và N. Kẻ tia Nx
d
. Trên tia
Nx lấy một điểm O sao cho NO = 1/2MN. Tia MO cắt đờng tròn (O; ON) ở A và
B. ( M và O nằm ở 2 phía của A). Đờng tròn (M; MA) cắt MN ở C.
a. Chứng minh: AB
2
= MA. MB
b. Chứng minh : MC
2
= CN. MN
c. Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với AB, cắt d ở E. Từ M và E kẻ các tiếp tuyến
MP và EQ với đờng tròn (O), ( P và Q là các tiếp điểm khác N). Chứng minh
rằng : MP. EQ = 1/4PQ
2
.
d. Dựng đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng d tại M và tiếp xúc với đờng tròn (O).
3
đề chính thức
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 1999- 2000
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Cho biểu thức :
( )
( )
2
3 3
2
a b ab a b
A
ab 1 4 ab
+ + +
=
+
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A biết:
a 3 20 6 11 3 20 6 11
2 3 2 3
b
2 3 2 2 3 2
= + +
+
=
+ +
Bài 2. Giải phơng trình:
( )
1
x y 1 z 2 x y z
2

+ + = + +
Bài 3. Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn: a + b = c. Chứng minh rằng:
3 3 3
4 4 4
a b c+ >
Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD ( Â = D = 90
0
). Tia phân giác của góc C đi qua
trung điểm I của AD.
a. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I; IA).
b. Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn tâm I nói trên, K là giao điểm của AC
và BD. Chứng minh: KH //DC.
c. Kẻ đờng thẳng vuông góc với DA tại I, cắt BC tại E. Nối DE. Gọi F là giao điểm
của tia AB và tia DE. Chứng minh:
2
AD
AB.BF
4
=
d. Dựng đờng tròn tiếp xúc với DC tại C và tiếp xúc với đờng tròn (I; IA)
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
4
đề chính thức
đề chính thức
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 4 điểm)

Rút gọn biểu thức:
2
2
1 a 1 a 1 1
P : 1
a
a
1 a 1 a
1 a 1 a

+
= +

+
+

với -1
a 0
<
Câu 2: ( 4 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
k 1

ta có:
( )
1 1 1
2
k 1 k k k 1

<

ữ
+ +

b.Chứng minh rằng:
( )
1 1 1 1
... 2 voi n N, n 0
2
3 2 4 3 n 1 n
+ + + + <
+
Câu 3: ( 3 điểm)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn:
3 3 3
2 2 2
x y z 1
x y z 1

+ + =


+ + =


Tính tích P = xyz
Câu 4: ( 6 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d cố định ( d ngoài (O)). Gọi A là chân đ-
ờng cao hạ từ O xuống d. Từ một điểm E trên d kẻ các tiếp tuyến EP, EQ với (O). Dây
cung PQ cắt OA tại Ivà cắt OE ở K. Gọi B là giao điểm thứ hai của AP với (O; R). Tiếp
tuyến của (O) tại B cắt đờng thẳng d tại C.

a. Chứng minh các điểm O, A, B, C cùng thuộc một đờng tròn.
b. Chứng minh: AC = AE
c. Chứng minh: OI. OA = R
2
d. Khi điểm E di động trên d thì K chuyển động trên đờng nào? Vì sao?
Câu 5*: ( 3 điểm)
Cho
( ) ( )
n n
n
2 3 2 3
a voi n N
2 3
+
=
Chứng minh rằng: a
n
có giá trị là một số nguyên với mọi n
N
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2002- 2003
5
đề chính thức