Số phức_08

WWW.VNMATH.COM
Chương 8
Số phức
Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;
2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;
3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ;
4. z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
(liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;
5. z
1
.z
2
= z
1
.z
2
(liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ;
6. Với bất kì số phức z  0, có z
−1
= (z)
−1
;
7.


z
1
z
2

=
z
1
z
2
, z
2
 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ;
8. ℜ(z) =
z + 2
2
và ℑ(z) =
z − z
2i
.
Bài 8.2 : 1. Tính z =
5 + 5i
3 − 4i
+
20
4 + 3i
;
2. Giả sử z
1
, z

2
∈ C. Chứng minh rằng số E = z
1
.z
2
+ z
1
.z
2
là một số thực.
Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :
1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ;
2. |z| = | − z| = |z| ;
3. z.z = |z|
2
;
4. |z
1
.z
2
| = |z
1
|.|z
2
| (môđun của một tích bằng tích các môđun) ;
5. |z
1
| − |z
2
| ≤ |z

1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
| ;
6. |z
−1
| = |z|
−1
, z  0 ;
7.
¬
¬
¬
¬
z
1
z
2
¬
¬
¬
¬
=
|z
1
|

|z
2
|
, z
2
 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ;
8. |z
1
| − |z
2
| ≤ |z
1
− z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|.
Bài 8.4 : Chứng minh rằng
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2

|
2
= 2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
)
với mọi số phức z
1
, z
2
.
Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z
1
| = |z
2
| = 1 và z
1
.z
2
 −1, thì
z
1
+ z
2
1 + z

1
z
2
là số thực.
Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và
M
a
=

z ∈ C
∗
:
¬
¬
¬
¬
z +
1
z
¬
¬
¬
¬
= a

.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ M
a
.
167

WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có
|z + 1| ≥
1
√
2
hoặc |z
2
+ 1| ≥ 1.
Bài 8.8 : Chứng minh rằng :
Ö
7
2
≤ |1 + z| + |1 − z + z
2
| ≤ 3
Ö
7
6
với mọi số phức mà |z| = 1.
Bài 8.9 : Xét tập
H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}.
Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H.
Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho
y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1).
Chứng minh rằng
|z| − |y|
|z − y|
≥

|z| − |x|
|z − x|
≥
|y| − |x|
|y − x|
.
Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức
z
2
− 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0.
Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q  0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x
2
+ px + q
2
= 0 có cùng
môđun, thì
p
q
là một số thực.
Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|.
1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az
2
+ bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b
2
= ac.
2. Nếu mỗi phương trình
az
2
+ bz + c = 0 và bz
2

+ cz + a = 0
có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|.
Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C :
1. z
2
+ z + 1 = 0 ; 2. z
3
+ 1 = 0.
Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau :
1. (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ;
2.
x − 3
3 + i
+
y − 3
3 − i
= i ;
3. (4 − 3i)x
2
+ (3 + 2i)xy = 4y
2
−
1
2
x
2
+ (3xy− 2y
2
)i.
Bài 8.16 : Tính :

1. (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ;
2. (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ;
3.

1 + i
1 − i

16
+

1 − i
1 + i

8
;
4.

−1 + i
√
3
2

6
+

1 − i
√
7
2


6
;
5.
3 + 7i
2 + 3i
+
5 − 8i
2 − 3i
.
Bài 8.17 : Tính :
1. i
2000
+ i
1999
+ i
201
+ i
82
+ i
47
;
2. E
n
= 1 + i + i
2
+ ··· + i
n
, với n ≥ 1 ;
3. i
1

.i
2
.i
3
. . .i
2000
;
4. i
−5
+ (−i)
7
+ (−i)
13
+ i
−100
+ (−i)
94
.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 168
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.18 : Giải phương trình trong C :
1. z
2
= i ; 2. z
2
= −i ;
3. z
2

=
1
2
− i
√
2
2
.
Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z  0 sao cho z +
1
z
∈ R.
Bài 8.20 : Chứng minh rằng :
1. E
1
= (2 + i
√
5)
7
+ (2 − i
√
5)
7
∈ R ;
2. E
2
=

19 + 7i
9 − i


n
+

20 + 5i
7 + 6i

n
∈ R.
Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau :
1. |z
1
+ z
2
|
2
+ |z
2
+ z
3
|
2
+ |z
3
+ z
1
|
2
= |z
1

|
2
+ |z
2
|
2
+ |z
3
|
2
+ |z
1
+ z
2
+ z
3
|
2
;
2. |1 + z
1
z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|

2
= (1 + |z
1
|
2
)(1 + |z
2
|)
2
;
3. |1 − z
1
z
2
|
2
− |z
1
− z
2
|
2
= (1 − |z
1
|
2
)(1 − |z
2
|)
2

;
4. |z
1
+ z
2
+ z
3
|
2
+ | − z
1
+ z
2
+ z
3
|
2
+ |z
1
− z
2
+ z
3
|
2
+ |z
1
+ z
2
− z

3
|
2
= 4(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ |z
3
|
2
).
Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C
∗
sao cho
¬
¬
¬
¬
z
3
+
1
z
3
¬

¬
¬
¬
≤ 2. Chứng minh rằng
¬
¬
¬
¬
z +
1
z
¬
¬
¬
¬
≤ 2.
Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho :
1. |z| = 1 và |z
2
+ z
2
| = 1 ; 2. 4z
2
+ 8|z|
2
= 8 ; 3. z
3
= z.
Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > 1. Chứng minh rằng
¬

¬
¬
¬
1
z
−
1
2
¬
¬
¬
¬
<
1
2
.
Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = −
1
2
+ i
√
3
2
. Tính
(a + bω + cω
2
)(a + bω
2
+ cω).
Bài 8.26 : Giải các phương trình :

1. |z| − 2z = 3 − 4i ;
2. |z| + z = 3 + 4i ;
3. z
3
= 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ;
4. iz
2
+ (1 + 2i)z + 1 = 0 ;
5. z
4
+ 6(1 + i)z
2
+ 5 + 6i = 0 ;
6. (1 + i)z
2
+ 2 + 11i = 0.
Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
z
3
+ (3 + i)z
2
− 3z − (m + i) = 0
có ít nhất một nghiệm thực.
Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho
z
′
= (z − 1)(z + i)
là một số thực.
Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| =
¬

¬
¬
¬
1
z
¬
¬
¬
¬
.
Bài 8.30 : Giả sử z
1
, z
2
∈ C là các số phức sao cho |z
1
+ z
2
| =
√
3 và |z
1
| = |z
2
| = 1. Tính |z
1
− z
2
|.
Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho


−1 + i
√
3
2

n
+

−1 − i
√
3
2

n
= 2.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 169
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình
z
n−1
= iz.
Bài 8.33 : Giả sử z
1
, z
2
, z
3

là các số phức với
|z
1
| = |z
2
| = |z
3
| = R > 0.
Chứng minh rằng
|z
1
− z
2
|.|z
2
− z
3
| + |z
3
− z
1
|.|z
1
− z
2
| + |z
2
− z
3
|.|z

3
− z
1
| ≤ 9R
2
.
Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức sao cho |u| < 1,|v| = 1 và w =
v(u − z)
u.z − 1
. Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1.
Bài 8.35 : Giả sử z
1
, z
2
, z
3
là các số phức sao cho
z
1
+ z
2
+ z
3
= 0 và |z
1
| = |z
2
| = |z
3
| = 1.

Chứng minh rằng
z
2
1
+ z
2
2
+ z
2
3
= 0.
Bài 8.36 : Xét các số phức z
1
, z
2
, . . . ,z
n
với
|z
1
| = |z
2
| = ··· = |z
n
| = r > 0.
Chứng minh rằng số
E =
(z
1
+ z

2
)(z
2
+ z
3
)···(z
n−1
+ z
n
)(z
n
+ z
1
)
z
1
.z
2
···z
n
là số thực.
Bài 8.37 : Giả sử z
1
, z
2
, z
3
là các số phức khác nhau sao cho
|z
1

| = |z
2
| = |z
3
> 0.|
Nếu z
1
+ z
2
z
3
, z
2
+ z
1
z
3
và z
3
+ z
1
z
2
là các số thực, chứng minh rằng z
1
z
2
z
3
= 1.

Bài 8.38 : Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
− x + 1 = 0. Tính
1. x
2000
1
+ x
2000
2
; 2. x
1999
1
+ x
1999
2
; 3. x
n
1
+ x
n
2
, với n ∈ N.
Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau :
1. x
4
+ 16 ; 2. x

3
− 27 ; 3. x
3
+ 8 ; 4. x
4
+ x
2
+ 1.
Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là :
1. (2 + i)(3 − i) ;
2.
5 + i
2 − i
;
3. i
51
+ 2i
80
+ 3i
45
+ 4i
38
.
Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau
|z
1
+ z
2
| + |z
2

+ z
3
| + |z
3
+ z
1
| ≤ |z
1
| + |z
2
| + |z
3
| + |z
1
+ z
2
+ z
3
|
đúng với mọi số phức z
1
, z
2
, z
3
.
Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z
1
= 3 + i ; z
2

= −4 + 2i ; z
3
= −5 − 4i ; z
4
= 5 − i ; z
5
= 1 ; z
6
= −3i ; z
7
= 2i ;
z
8
= −4.
Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây :
1. |z − 2| = 3 ;
2. |z + i| < 1 ;
3. |z − 1 + 2i| > 3 ;
4. |z − 2| − |z + 2| < 2 ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 170
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
5. 0 < ℜ(iz) < 1 ;
6. −1 < ℑ(z) < 1 ;
7. ℜ

z − 2
z − 1


= 0 ;
8.
1 + z
z
∈ R ;
9. |
√
x
2
+ 4 + i
√
y − 4| =
√
10, với z = x + yi ;
10.
¬
¬
¬
¬
z +
1
z
¬
¬
¬
¬
= 2.
Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
1. z
1

= −1 − i ; 2. z
2
= 2 + 2i ; 3. z
3
= −1 + i
√
3 ; 4. z
4
= 1 − i
√
3.
Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :
1. z
1
= 2i ; 2. z
2
= −1 ; 3. z
3
= 2 ; 4. z
4
= −3i.
Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức
z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ (0; 2π).
Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và
¬
¬
¬
¬
z
z

+
z
z
¬
¬
¬
¬
= 1.
Bài 8.48 : Tính (1 + i)
1000
.
Bài 8.49 : Chứng minh rằng
sin 5t = 16 sin
5
t − 20 sin
3
t + 5 sin t; cos 5t = 16 cos
5
t − 20 cos
3
t + 5 cos t.
Bài 8.50 : Tính z =
(1 − i)
10
(
√
3 + i)
5
(−1 − i
√

3)
10
.
Bài 8.51 : Tính :
1. (1 − cos a + i sin a)
n
với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ;
2. z
n
+
1
z
n
, nếu z +
1
z
=
√
3.
Bài 8.52 : Giả sử z
1
, z
2
, z
3
là các số phức sao cho
|z
1
| = |z
2

| = |z
3
| = r > 0
và z
1
+ z
2
+ z
3
 0. Chứng minh rằng
¬
¬
¬
¬
z
1
z
2
+ z
2
z
3
+ z
3
z
1
z
1
+ z
2

+ z
3
¬
¬
¬
¬
= r.
Bài 8.53 : Giả sử z
1
, z
2
là các số phức sao cho
|z
1
| = |z
2
| = r > 0.
Chứng minh rằng

z
1
+ z
2
r
2
+ z
1
z
2


2
+

z
1
− z
2
r
2
− z
1
z
2

2
≥
1
r
2
.
Bài 8.54 : Giả sử z
1
, z
2
, z
3
là các số phức sao cho
|z
1
| = |z

2
| = |z
3
| = 1
và
z
2
1
z
2
z
3
+
z
2
2
z
3
z
1
+
z
2
3
z
1
z
2
+ 1 = 0.
Chứng minh rằng

|z
1
+ z
2
+ z
3
|{1; 2}.
Bài 8.55 : Giả sử z
1
, z
2
là các số phức sao cho |z
1
| = |z
2
| = 1. Chứng minh rằng
|z
1
+ 1| + |z
2
+ 1| + |z
1
z
2
+ 1| ≥ 2.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 171
www.VNMATH.com www.VNMATH.com