Đề thi tuyển sinh Cao Đẳng môn Toán khối B năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
CAO ĐẲNG
NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề



PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu
I (2,0 điểm)

Cho hàm số với là tham số thực.
32
(2 1) (2 ) 2 (1),yx m x mx=− − +− +
m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
(1)
2.m =

2. Tìm các giá trị của để hàm số
(1
có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
có hoành độ dương.
m
) (1)
Câu

II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình
2
(1 2sin ) cos 1 sin cos .x xx+=++x

2. Giải bất phương trình
12 2 5 1( ).xx xx++ − ≤ + ∈\

Câu
III (1,0 điểm)

Tính tích phân
1
2
0
()
xx
.I exed
−
=+
∫
x

Câu
IV (1,0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều có
.S ABCD
,2AB a SA a==.

Gọi
,M N
và lần lượt là trung điểm
của các cạnh và
CD
Chứng minh rằng đường thẳng
P
,SA SB
. MN
vuông góc với đường thẳng
Tính theo thể tích của khối tứ diện
.SP
a
.AMNP
Câu
V (1,0 điểm)

Cho và là hai số thực thỏa mãn
0
a
b 1.ab< <<
Chứng minh rằng
22
ln ln ln ln .abba a b−>−

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.
a (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có
C,Oxy
ABC
(1; 2),− −
đường trung tuyến
kẻ từ
A
và đường cao kẻ từ
B
lần lượt có phương trình là
59xy 0+ −=
và
350xy .+ −=

Tìm tọa độ các đỉnh
A
và
.B
2. Trong không gian với hệ tọa độ cho các mặt phẳng và
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với
hai mặt phẳng và
.

,Oxyz
1
(): 2 3 4 0Px y z+++=
2
():3 2 10.Pxyz+−+=
()P (1; 1; 1),A

1
()P
2
()P
) (2 ) 8 (1 2 ) .iizi iz+−=+++
y
0
Câu VII.
a (1,0 điểm)

Cho số phức thỏa mãn
(1
Tìm phần thực và phần ảo của
.

z
2
z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI
.b (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Ox
cho các đường thẳng
,
1
:23xyΔ −−=
và
Tìm tọa độ điểm

2
:1xyΔ++=0.
M
thuộc đường thẳng
1
Δ
sao cho khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
2
Δ

bằng
1
2
⋅

2. Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm
Viết phương trình đường thẳng
,Oxyz
ABC
(1; 1; 0), (0; 2; 1)AB
(0; 2; 1).G −
Δ
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
C
().ABC

Câu VII.
b (1,0 điểm)

Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:
437
2.
zi
zi
zi
− −
= −
−

---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị …
Khi hàm số trở thành
2,m = (1)
32
32yx x=− +.
• Tập xác định:

.\
•
Chiều biến thiên:
- Ta có hoặc
2
'3 6;yxx=−
'0 0yx=⇔=
2.x =
- Hàm số đồng biến trên các khoảng
(;
và
0)−∞ (2; ).+∞
- Hàm số nghịch biến trên khoảng
(0; 2).
0,25
•

Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại
y
0,x =
CĐ
=
y
(0) = 2.
- Hàm số đạt cực tiểu tại
y
2,x =
CT
=

y
(2) = −2.
•

Các giới hạn tại vô cực: và
lim
x
y
→−∞
=−∞ lim .
x
y
→+∞
=+∞
0,25
•

Bảng biến thiên:



Trang
1
/
4



0,25

•

Đồ thị









0,25
2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m …
Ta có
()
2
'3 22 1 2yx mx=− −+−.m
m
thỏa mãn yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi phương trình có hai
nghiệm dương phân biệt
'0y =
0,25
2
'(2 1) 3(2 )0
2(2 1)
0
3
2
0

3
mm
m
S
m
P
⎧
⎪
Δ= − − − >
⎪
−
⎪
⇔= >
⎨
⎪
−
⎪
=>
⎪
⎩

0,25
I
(2,0 điểm)
5
2.
4
m⇔<<

0,50

x
y
O
2
2
−2
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 − 0 +
y 2 +∞
−∞ −2

Trang
2
/
4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương với
(si

n 1)(2sin 2 1) 0xx+−
II
=
0,50
•


sin 1x =−
π
2π ()

2
xkk⇔=−+ ∈]
(2,0 điểm)
.

0,25
•

1
sin 2
2
x =

π
π
12
x k⇔=
hoặc
+
5π
π ()
12
xkk=+ ∈
]
.

0,25
2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình …
Điều kiện: 2.x ≥
0,25

Bất phương trình đã cho tương đương với
(1)(2)2xx+−≤

0,25
23x⇔− ≤ ≤ .
0,25
Kết hợp điều kiện ta được tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là
[ ]
2; 3 .

0,25
11 1 1
1
0
00 0 0
1
1.
xxxx x
I e dx xe dx e xe dx xe dx
e
−−
=+=−+=−+
∫∫ ∫ ∫

0,25
Đặt và ta có và
.
ux=
,
x

dv e dx=
du dx=
x
v

e=
0,25
1
11
00
0
11
11
x xx
I xe e dx e e
ee
=− + − =− +−
∫

0,25
III
(1,0 điểm)
1
2
e
=−⋅

0,25
Ta có
//MNCD

và suy ra
,SP CD⊥
.MNSP⊥

0,50
IV
(1,0 điểm)
Gọi là tâm của đáy O .ABCD
Ta có
22
6
2
a
SO SA OA=−=
⋅

.
11
48
AMNP ABSP S ABCD
VVV==

3
2
11 6
..
83 48
a
SO AB==
⋅

0,50
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
22
ln ln
11
ab
ab
<⋅
++

0,25
Xét hàm số
2
ln
() , (0;1).
1
t
ft t
t
=∈
+
Ta có
2
22
1
(1)2ln
'( ) 0, (0; 1).

(1)
ttt
t
ft t
t
+−
=>∀
+
∈

Do đó
()f t
đồng biến trên khoảng
(0

; 1).
0,50
V
(1,0 điểm)
Mà nên
01ab<<<,() ().f afb<
Vậy
22
ln ln
11
ab
ab
<⋅
++

0,25
S
M
N
A
B
C
D
P
O

Trang
3
/
4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh A và B …
Đường thẳng AC qua và vuông góc với đường thẳng C
350xy+−=.
Do đó
:3 1 0.AC x y−+=
0,25
Tọa độ điểm
A
thỏa mãn hệ
590
(1; 4).
310
xy
A

xy
+−=
⎧
⇒
⎨
−+=
⎩
0,25
Điểm B thuộc đường thẳng và trung điểm của
350xy+−=
BC
thuộc đường
thẳng
5
Tọa độ điểm
9xy+−=0.
B
thỏa mãn hệ
350
12
59
22
xy
xy
+−=
⎧
⎪
−−
⎨
⎛⎞

+−=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
0

0,25
(5; 0).B
⇒

0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) …
•

(P
1
) có vectơ pháp tuyến
1
(1; 2; 3).n =
JJG
•

(P
2
) có vectơ pháp tuyến
2
(3; 2; 1).n =−
JJG
0,25

•

(P) có vectơ pháp tuyến
(4; 5; 2).n =−
JJG
0,25
VI.a
(2,0 điểm)
(P) qua A(1; 1; 1) nên
():4 5 2 1 0.Pxyz−+−=
0,50
Hệ thức đã cho tương đương với
(1

2 ) 8iz i+=+
0,25
23.zi⇔=−

0,50
VII.a
(1,0 điểm)
Do đó z có phần thực là 2 và phần ảo là
3.−
0,25
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M …
1
(2 3; ).M Mt t∈Δ
⇒
+

0,25
Khoảng cách từ
M
đến là
2
Δ
2
|2 3 1|
(, )
2
tt
dM
+++
Δ=
⋅

0,25
2
1
(, )
2
dM Δ=
1
5
3
t
t
=−
⎡
⎢

⇔
⎢
=− ⋅
⎣

0,25
Vậy hoặc
(1; 1)M −
15
;.
33
M
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠

0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng
Δ
…
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ
1
0
3
3
2
3
1
1

3
x
y
z
+
⎧
=
⎪
⎪
+
⎪
=
⎨
⎪
+
⎪
=−
⎪
⎩

(1;3; 4).C⇒ −−
0,25
Ta có
(1;1;1), (1;1; 1).AB AG=− =− −
JJJG JJJG
0,25
Mặt phẳng
()ABC
có vectơ pháp tuyến
(1; 1; 0).n =

JJG

0,25
VI.b
(2,0 điểm)
Phương trình tham số của đường thẳng Δ là
1
3
4.
x t
y t
z
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=−
⎩

0,25

Trang
4
/
4
Câu Đáp án Điểm
Điều kiện:
.

z i
≠

Phương trình đã cho tương đương với
2
(4 3 ) 1 7 0.zizi−+ ++=
0,25
VII.b
2
34 (2 ).iiΔ= − = −

0,50
(1,0 điểm)
Nghiệm của phương trình đã cho là và
12zi=+ 3.zi=+
0,25


-------------Hết-------------