Đồng bộ trong thông tin - xác định thời gian chuẩn theo GPS Common-View cho nút mạng viễn thông : Luận văn ThS. Kỹ thuật vô tuyến điện tử và thông tin liên lạc: 2 07 00

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI

KHOA CÔNG NGHỆ

LÊ VÃN NINH

ĐỔNG BỘ TRONG THÔNG TIN - XÁC ĐỊNH THỜI GIAN CHUAN
THEO GPS COM MON-VIEW CHO NÚT MANG VlỄN THÔNG

CHUYÊN NGÀNH : KỸ THUẬT VÔ TUYẾN ĐIỆN TỬ
VÀ THỐNG TIN LIÊN LẠC
MÃ SÔ : 2.07.00

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TIẾN S ĩ NGUYỄN VIẾT KÍNH

V .lC ./ttC
HÀ NỘI-2002


MỤC LỤC

CÁC C H Ử V IẾ T T Ắ T

3

LỜI MỞ ĐẦU

4

CHƯƠNG 1 X Â Y DỤNG TIÊU CH U A N ư ớ c l ư ợ n g t h a m s ố
HIỆU V À X Â Y DỤNG PLL
1.1. Xây dựng tiêu chuẩn ước lượng tham số tín hiệu,
1.1.1 Tiêu chuẩn ước lượng tham số,
1.1.2 H àm gần giống nhất,
1.2 Xây dựng PLL,

TÍN

6

6

6

8

9

1.2.1 Xây dựng PLL tuyến tính,
1.2.1.1 H àm truyền,

9

9

1.2.1.2 Lỗi ở trạng thái ổn định và các đặc trưng của bộ lọc,
1.2.1.3 PLL bậc 1,

12

1.2.1.4 P L L bậc 2,

13

1.2.1.5 P L L bậc 3,

14

1.2.1.6 Chất lượng PLL khi có nhiễu tạp ,
1.2.2 Xây dựng PLL phi tuyến,

15

18

1.2.2.1 Quá trình đồng bộ,
1.2.2.2 Thời gian trượt chu

11

18
kỳ lần đầu tiên,

CHƯƠNG 2. Đ Ồ N G BỘ SÓNG M AN G
2.1. Ư ớc lượng pha sóng mang,

22

22

2.2. Ư ớc lượng pha sóng mang ML,
2.3 Các vòng quyết định trực tiếp,

20

23
26

2.4. Các vòng quyết định gián tiếp,

31

2.5 Ước lượng pha sóng mang cho các tín hiôu điều pha cơ số M,

37

2.6 Ảnh hưởng lỗi bám pha đến chất lượng BPSK,
2.7 So sánh các vòng quyết định trực tiếp và quyết đinh gián tiếp,

39
41

CHƯƠNG 3. Đ Ồ N G BỘ KÝ HIỆU
3.1 Ước lượng định thời ký hiệu,

42
42

3.2 Ước lượng định thời M L quyết định trực tiếp, 43
3.3 Ước lượng định thời quyết định gián tiếp,

44

3.4 Ảnh hưởng lỗi đồng bộ ký hiệu đến chất lượng BPSK,

50


2

3.5 ư ớ c lượng cùng một lúc pha sóng mang và định thời ký hiệu,
3.6 Các đặc trưng chất lượng của các bộ ước lượng ML,

51

54

CHƯƠNG 4 Đ Ồ N G BỘ K H U N G

59

68

CHƯƠNG 5 Đ Ồ N G BỘ M ANG
5.1 Đ ồng bộ máy phát vòng hở,

69

5.2 Đ ổng bộ máy phát vòng kín,

71

CHƯƠNG 6 Đ Ồ N G BỘ THỜI GIAN
C U N G CẤP THỜI G IA N CHO CÁC N Ú T M Ạ N G V IỄN t h ô n g
6.1 K ế hoạch đồng bộ mạng viễn thông,

75

75

6.2 Xây dựng phương pháp truyền thời gian chuẩn cho nút mạng viễn
thông,
77
6.2.1 H ệ đơn vị quốc tế - Đơn vị thời gian,
78
6.2.2 Các thang thời gian th ế giới,

79

6.2.3 Chuẩn thời gian quốc gia Việt nam,

82

6.2.4 Độ chính xác của Chuẩn thời gian quốc gia,

83

6.2.5 Thực hiện so sánh thời gian bằng GPS Comm on-View,

6.2.5.1 Thực hiện việc thu đo so sánh ƯTC(VMI) với thời gian GPS,
6.2.5.2 Cấu trúc file dữ liệu,

84
86

88

6.2.5.3 Tính hiệu thời gian tương đối giữa thời gian PRS và
UTC(VMI),
89
6.2.5.4 Đ ánh giá sai số của phương pháp so sánh thời gian GPS
Common-View,
92
6.2.5.5 Kết quả thực nghiệm,
94

KẾT LUẬN

98

TÀI LIỆU TH A M K H Ả O

99

PHỤ LỤC A : TÍN H N Ả N G KỸ THUẬT c ơ BẢN CỦA HP5071A

101

PHỤ LỤC B : TÍN H N Ă N G KỸ THUẬT c ơ BẢN CỦ A TTR6

103

PHỤ LỤC c : K H U Ô N DẠNG s ố LIỆU CỦA TT R6

104

PHỤ LỤC D : K Ế T q u ả S Ử L Ý s ố LIỆU TH Á N G 4,5,6,7 N Ă M 2002

105


3

CÁC C H Ữ VIẾT TẮT

UTC

: coordinated universal time

SI

: le système international d ’ unites

CGPM

: la conference générale des poids et mesures

GPS

: global positioning system

CCDS

: comité consultatif pour la definition de la seconde

CCTF

: comité consultatif de temps et des frequences

CCIR

: comité consultatif international des radiocommunications

CIPM

: comité international des poids et mesures

BIH

: bureau international de l'Heure

TAI

: temps atomique international

IAU

: international astronomical union

VMI

: Vietnam metrology institute

USNO

: United State naval observatory, Washington,

PTN

: phòng thí nghiệm

USA

REFGPS : hiệu giữa thời gian chuẩn quốc gia vàthời gian GPS
PLL

: phase locked loop

PPS

: pulse per second

SA

: selective availability


4

LÒI MỞ ĐẦU

Khi nehiẽn cứu về mọi vấn đé trong lý thuyết thông tin so chúnu ta thưòìiíi íỉiá
thiết

toàn ho hệ thông thòng tin đều đã được đồng bộ một cách hoàn hao. Tuy

nhiên. mặc dù đồng bộ luòn là vân đề sống còn của một hệ thống thông tin, nhất là
với thông tin số thì việc đạt được sự đồng bộ không phải mạc định mà phải được
thực hiện bằng những phương pháp, thiết bị nhất định. Chúng ta biết rărm tần số
cua máy thu và của tín hiệu phát phải gần nhau ở một mức nào đó, cho nén ngay từ
thời kỳ đầu cúa kỷ nguyên thông tin, nhu cầu đồng bộ tần số đã phái có, mặc dù
còn rất thó sư.
Ngày nay hầu như mọi thông tin đều được số hoá trước khi được truyền đi để
tăng tốc độ và độ tin cậy. Mọi tham số của tín hiệu đều được tận dụng dê phục vụ
cho mục đích mang thông tin và tăng độ tin cậy, giảm tỉ lệ lỗi bít. Với các máy thu
giai điểu ché kết hợp thì pha sóng mang của bộ dao động tại chỗ phái được dồng
hộ chính xác với pha sóng mang của tín hiệu thu: ta có đồng bộ pha sóng mang.
Chúng ta cũng đã biết rằng các xung ký hiệu phái đựoc lấy mẫu tại những thời
điếm chính xác với chu kỳ cua ký hiệu : ta có đồng bộ ký hiệu. Các xung ký hiệu
luôn dược truyền di theo các khung, do đó việc xác định thời điếm bãi dấu và két
thúc cua khung cũng phái đựơc biết chính xác : ta có đồng bộ khung.
Để truycn da kênh nhát thiết phải có sự phân hợp kênh. Sự phân hợp kênh có
thế theo tần sô (FDM ) hoặc theo thời gian (TDM). Do vậy, tầm quan trọng của
việc đồng bộ nói chung và đồng bộ thời gian nói riêng ngày càng trớ nên quan
trọng hơn. Để mạng truyền thông hoạt động hoàn hảo, các phần tử trong mạng phải
dược đồng bộ với nhau(đồng bộ tương đối). Đặc biệt trong các trường hợp cần có
thời gian thực(ngày nay đã trở nên rất phổ biến), ví dụ như việc truyền âm
thanlKvoice) hoặc hình ảnh (video) qua mạng chuyển mạch gói. Khi đó, thời gian
cúa các nút mạng viễn thõng không những phải được đồng hộ với nhau, mà còn

phái dược đổng hộ với thời gian thế giới (UTC)(đồng bộ tuyệt đối).
Nội dung luận văn này sẽ dề cập đến các khía cạnh tổng quát nhất của vấn dể
dỏIIụ bộ nói chung. Mỗi phương pháp điều chế, mã hoá dữ liệu thông tin lại có


những đặc thù riêng và do vậy chúng sẽ có các phương thức đồng bộ đặc biệt. Với
nội dung của một luận văn cao học không thể đề cập cụ thể hết mọi khía cạnh chi
tiết của vấn đề đổng bộ, ớ đày tác giả chỉ xin đi sâu vào một khía cạnh nhỏ của
việc đồng bộ trong k ế hoạch đồng bộ nói chung, đó là việc đồng bộ thời gian chính
xác cho các nút mạng viễn thông từ chuẩn thời gian quốc gia[ƯTC(VMI)). Nếu
chúng ta có thời gian chính xác cũng có nghĩa là có tần số chính xác, nếu chúng ta
biết được sai số thời gian(sai số tần số ) cũng có nghĩa là sẽ có được thời gian và
tần số chính xác nhờ việc điều chỉnh tần số và dịch pha thời gian.


6

CH Ư Ơ N G 1. XẢY I)ỰN(; TIÊU CHUAN ƯỚC LƯƠNG t h a m s ố
TÍN HIÊU VÀ XẢY DỰN(Ỉ PLL

1.1 X à y d ụ n g tiéu c h u ẩ n ước lượ ng tham sỏ tín hiệu
1.1.1 Tiêu c h u á n ước lượng th a m so
Với giá thiết tín hiệu khi truyền qua kênh sẽ bị giữ chậm và bị cộng thèm nhiễu
Gauss, tín hiệu thu được có thể được biểu diễn như sau :
r(t) = s(t - T) + Ii(t)
ờ đày
s(t) = R e [ s l( t) ej2l^r'

( 1- 1)

r là thời gian giữ chậm và 5,(7) là tín hiệu thông thấp tương đương. Từ đó, tín hiệu
thu có thể được biểu diễn theo tín hiệu tương đương thông thấp như sau :
( 1- 2 )

ớ đây ệ= - 2 ĩĩ/.r là pha của sóng m ang do độ giữ chậm r g â y ra.
Theo công thức này ta thấy rằng chỉ cần ước lượng một tham số của tín hiệu,
đó là độ giữ chậm r t ừ đó có thể tính được ệ với f ( và r đ ã biết. Tuy nhiên có hai
nguyên nhàn làm điều đó không the thực hiện được. Thứ nhất là do sóng mang
dược tạo bởi bộ dao động tại chỗ ứ máy thu sử dựng cho giải điều chế là không
đồng bộ về pha với sóng m ang được tạo ra ở máy phát. Thứ hai là vì hai bộ dao
động ở máy phát và máy (hu đều bị trôi(chậm) theo thời gian và có thể theo hướng
ngược nhau. Kết quả là pha sóng mang thu được không chỉ phụ thuộc vào thời gian
giữ chậm r. Hơn nữa độ chính xác đồng bộ thời gian phục vụ cho mục đích giải
diều chê tín hiệu thu được lại phụ thuộc vào khoảng thời gian ký hiệu T. Thông
thường lỗi mắc phải khi ước lượng r phải khá nhỏ so với T. Ví dụ ±1% của T là đủ
cho một số trường hợp thực tế. Tuy nhiên độ chính xác như thế không đủ cho việc
ước lượng pha sóng mang, ngay cả trong trường hợp ệ chí phụ thuộc r m à thôi. Đó
là vì sóng mang f ( thường là khá lớn nên một lỗi nhỏ của r cũng có thế gây ra lỗi
pha rất lớn. Do vậy chúng ta sẽ phải ước lượng cả hai tham sô ĩ và ộ đê giải điều


7

chẽ và tách sóng tín hiệu thu dược. Chúng ta có the bieu đicn tín hiệu thu dược Iiliư

rỤ)=s{l;ệ, T) + /;(/)

(1-3)

(V đâv ộ và r biểu diễn các tham số tín hiệu được ước lượng. Để đơn gián các ký

hiệu, chúng ta viết Vị/ là ký hiệu cho véc tơ tham sô ( ộ, t \, vì thế s{t;ậ, T) được viết
lại thành sỤ:\ụ).
Có hai tiêu chuẩn cơ bản được sử dụng rộng rãi cho việc ước lượng tham sò
của tín hiệu : tiêu chuẩn gần giống nhất (M axim um -Likelihood : ML) và tiêu
chuẩn cực đại xác suất hậu nghiệm (M aximum a Posteriori Probability : MAP).
Với tiêu chu ẩn M A P , véc tơ tham số tín hiệu xụ được xem là ngẫu nhiên và được
đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất tiên nghiệm p(\ự). Với tiêu chuẩn M AP véc tơ
tham số Vị/ được xem là tất định nhưng chưa biết.
Bằng việc khai triển trực chuẩn /-(/) băng hệ hàm trực chuẩn {/„(/)}, chúng ta
có thể biểu diễn r(t) bởi véc tơ các hệ số [/•, r2 ... r n]=r. Hàm mật độ xác suất có
diều kiện của các biến ngẫu nhiên [/-, I'2 ... r,J có thể được biểu diễn n h ư /; ( 1'|V|/).
Khi đó ước lượng ML của Vị/ là giá trị làm cực đại hàm mật độ xác suất /Xr|vịí), còn
ước lượng M A P của Vị/ là giá trị làm cực đai hàm mật độ xác suất hậu nghiệm
p(r\\ụ)p(\ịf)

(1-4)
p(r)

Nếu k hông có thông tin gì vé véc tơ tham số \ị/, chúng ta có thể giả thiết răng
p{\ụ) là hằng số trên toàn dải giá trị của tham số. Trong trường hợp đó, giá trị của VỊ/
làm cực đại /?(r|vịí) cũng sẽ làm cực đại p{\ụ|r), do đó các ước lượng M L và M AP là
giống nhau.
Từ nay ch ú n g ta sẽ chấp nhận tiêu chuẩn M L khi ước lượng các tham số ệ và
ĩ . điều đó cũ ng có nahĩa là chúng ta xem chúng là tất định nhưng chưa biết.
Khi ước lượng M L tham số tín hiệu, máy thu phải quan sát và trích ra các giá trị từ
tín hiệu thu được qua một khoảng thời gian T ữ >T gọi là khoảng thời gian quan sát.


8

1.1.2 H à m g ần g iố n g n h ấ t
C húns ta sẽ phát triển một hệ thức tưưng đương thời gian liên tục của cực đai của
/>(r|v|/).
Do nhiễu n(l) là Gauss, trắng, cộng, trung bình không, hàm mật độ xác suất có
diều kiện /?(rIVỊ/) có thế được biếu diễn như sau
ex p L y k z ^ M
tì
2or2

V2 "

(1-5)

ớ đày
'•„= ị m

. m

Ti)

( 1- 6 )

A'„(\|/)= Ịs(t;\ụ)fn(t)clt
'/<>
ớ đây 7,) là khoảng tích phân khi khai triển /-(/) và s(t;\ụ).
Biến ở sô mũ có thể được biểu diễn theo các số hạng của dạng sóng tín hiệu /•(/) và
,v(/;vự) bằng cách thay thế (1-6) vào (1-5), ta có :

T T ± l r . - * ' W Ì = -rỊ- jĩ'-(0 -s(r,\ụ)Ỵdt
2ơ

(1-7)

N n iị

Bây giờ thì việc làm cực đại /?(r|vị/) theo Vị/ là tương đương với việc làm cực đại
hàm gần giống nhất

ị-± J r(,)-s (,^ ỉd ị

( 1- 8 )

Từ nay trở đi, chúng ta sẽ xem xét việc ước lượng tham số trên quan điểm làm cực
đại A { \ ụ ) .


1.2 Xay d ự n g P L L
1.2.1 X â y d ự n g P L L tuyến tính
1.2.1.1 H à m truyền
Bó loc

H ìn h 1.1 Sơ đồ khối vòng khoá pha cơ bản

Trái tim của

tất cả các mạch đồng bộ pha là một PLL. Sơ đồ khối cơ bản của

PLL được m ô tả trên hình 1.1. Một PLL có các thành

phần chủ yêu : một bộ tách

sóng pha, một bộ lọc và một bộ dao động được điều khiển bằng điện áp bên ngoài.
Bộ lọc làm cho PLL chỉ đáp ứng với các thay đổi của tín hiệu m à không đáp ứng
với nhiều tạp máy thu. Trong sơ đồ khối hình 1.1 bộ tách sóng pha được mó tá như
một bộ nhân, hộ lọc được mô tả bới đáp ứng xung ị'Ụ) cùng với biến đổi Fourier
/•’(co) của nó.
Việc khoá pha đạt được bằng việc đưa điện áp tỉ lệ với sự sai khác pha e{t)
giữa tín hiệu thu được, /•(/), và tín hiệu từ đầu ra của v c o , x(t), đến đầu vào v c o ,

Ta hãy xem xét tín hiệu vào chuẩn hóa có dạng :
/•(/) = cos[újự + ậ(t)]

(1-9)

ờ đây a\i là tần số sóng mang danh định và ệ (t) là pha thay đổi chậm.
Cũng như vậy, ta xem xét tín hiệu ra của v c o chuẩn hoá có dạng :
\ ( t ) = 2 sin[íy„/ + ệ { t )]

( 1- 1 0 )


10

Việc nhân các tín hiệu này sẽ tao ra một tín hiệu lỗi tại đầu ra của bộ tách sóng pha
có dạng :
c(t) = x(í) r(í) = 2sin[fư„/ + ộ{t) ] cos[cư„/ + <ỷ(t)]
= sin [0 (O - ộ{t)] + s in [ 2 a y + (Ịịt) + ệ{t )]

(1-11)

Giả thiết rằng bộ lọc là LPF thì số hạng thứ hai trong phương trình (1-11) sẽ bị loại
trừ. Bộ lọc sẽ cung cấp tín hiệu lỗi là hàm số của sự sai khác pha giữa tín hiệu vào
[phương trình (1-9)] và tín hiệu ra của v c o [phương trình(l-lO )], đó chính là tín
hiệu lỗi mà chúng ta cần. Tần số ra của v c o chính là vi phân theo thời gian của
biến số của hàm sin trong phương trinh (1-10). Nếu chúng ta giả thiết rằng Cúị, là
tần số không điều khiển của VCO( tần số ra khi điện áp đầu vào điều khiển bằng
không) thì có thể biểu diễn sai khác tần số đầu ra của v c o so với co0 như vi phân
theo thời gian của số hạng pha ệ { t ) . Tần số ra của v c o là hàm tuyến tính của điện
áp vào. Do điện áp vào bằng không tạo ra tần số ra sẽ tỉ lệ với giá trị của điện áp vào }’(/) :
Aco(t)=~- [ ậ( t)] = K0y(t)
dt

= K 0eỤ)*fỤ)
= K(m ) -

(1-12)

ớ đây A ù ị t) là sai lệch tần số, ký hiệu * biểu diễn toán tử nhân chập, và khi góc
lệch nhỏ thì e{t) = s i n [ $ 0 - ậ (t) ] ~ ệ(t) - ộ{t)ở\iợc sử dụng ở dòng cuối cùng của
phương trình (1-12). Giả thiết góc sai lệch nhỏ là đúng khi lỗi pha đầu ra là nhỏ(
vòng gần với trạng thái khoá pha) và cũng có nghĩa là PLL làm việc bình thường.
Hệ số Kịt là hệ số khuyếch đại của v c o . /(/) là đáp ứng xung của bộ lọc. Phương
trình vi phân tuyến tính theo ệ(t) này ( xấp xỉ cho góc sai lệch nhỏ) được xem như
phương trình tuyến tính của vòng điều khiển.
Xem xét biến đổi Fourrier của phương trình (1-12) :
j(ủ ỏ{ c ủ) = K {ị[0((ú) - d>(co)]F(a>)

(1-13)

11

ớ dây các hàm dùng chữ in của co là biến đổi Fourrier cứa các hàm chữ thường của
/ trong phương trình( 1-12). Tức là, 0 ( co) <-» (Ịịí), \ì\(b{( 0 ) <-» ộ ( t ) .
Sáp xếp lại phương trình (1-13) ta se có :

0(a)

Ị a + K„F(a)

= //(« -)

(1-14)

H{co) được xem như hàm truyền vòng kín của PLL và nó rất hữu ích trong việc đặc
trưng cho đáp ứng quá độ của PLL. Bậc của một PLL được xác định như bậc của
số hạng có bậc cao nhất theo jcủ trong mầu sô' của ìỉ(củ). Phương trình (1-14) chỉ ra
rằng nó luôn có bậc cao hơn bộ lọc một bậc. Đó là vì khi F(co) được biểu diễn ở
dạng giải tích F{co) = N{co)/D{(ú) còn H(co) được biểu diễn như đa thức của JCO thì
sẽ xuất hiện số hạng jcúD(cò) có j(ú có bậc cao hơn một bậc so với số hạng bậc cao
nhất của D ( cú) đứng một mình. Bậc của PLL là rất quan trọng cho việc xác định
trang thái đáp ứng ốn định của vòng đối với tín hiệu vào ổn định.

1.2.1.2 Lỗi ở trạng thái ổn định và các đặc trưng củ a bộ lọc :
Sắp xếp lai phương trình (1-14) ta nhận được biểu diễn biến đổi Fourrier của lỗi

pha :
E(( 0 ) = F { e ( t ) \
= 0{(O)~Ò((O)

= [\ -H((o)ịp(co)
=

(1-15)
j(ù + K0F(co)

Phương trình (1-15) có thể được sử dụng cùng với định lý về giá trị cuối cùng của
biến đổi Fourier để xác định lỗi đáp ứng ở trạng thái ổn định của vòng đối với mọi
sự thay đổi có thể có của các tham số đầu vào. Lỗi ở trạng thái ổn định là lỗi còn
tổn tai sau khi tất cả các quá trình quá độ đã kết thúc và cung cấp một số đo định
lượng về khả nâng của vòng đối với các dạng thay đổi của đầu vào. Định lý về giá
trị cuối cùng phát biểu như sau :


12

( 1- 1 6 )

Tổ hợp phương trình (1-15) và phương trình (1-16) ta có :
( 1- 1 7 )

1.2.1.3 P L L bậc ỉ
Xem xét sự đáp ứng ở trạng thái ổn định của một vòng đối với một bước nhảy pha
ở đầu vào của vòng.
Giả thiết rằng PLL lúc đầu đang được khoá pha, một bước nhảy phữ.AỘ sẽ kéo
nó ra khỏi trạng khoá. Tuy nhiên sau khi nhảy bậc, pha đầu vào trở nên ổn định.
Biến đổi Fourier bước nhảy pha là
0(co) = F[Aệ.u{t)}
Aệ
JOJ

ở đây A ệ là độ lớn của bước nhẩy và u(t) là hàm bước đơn vị
í1

nếu í > 0

“ ( , H n 0 nếu / < n0
[
ịô{ĩ)ảĩ
ở đây

ỗ

(

t

)

là hàm đi rắc. Từ các phương trình (1-17) và (1-18) ta có :
lim e(í) -

với giả thiết F(0) í- 0; Như vậy cuối cùng là vòng sẽ phát hiện ra bất kỳ một bước
nhẩy pha nào xuất hiện tại đầu vào nếu bộ lọc vòng có đáp ứng một chiều DC khác
không. Điều đó có nghĩa là với một bộ lọc vòng

bất kỳ có tính chất

Fựù)=N((ù)/D((ù) và N{ co)^0, PLL sẽ có xu hướng tự động khôi phục khoá pha nếu
đầu vào có lượng dịch pha bằng hằng số. Đó rõ ràng là một đặc tính tốt của vòng.

13

1 . 2 . 1 . 4 I’ L L b ậ c 2

Xem xét sự đáp ứng ớ trạng thái ổn định cùa một vòng đối với một bước nhảy tần
số ờ đầu vào của vòng.
Một bước nhảy tần số có thế giống như hiệu ứng dịch tần Dopier do sự chuyến
động tương đối giữa máy phát và máy thu. Như vậy, đây là một ví dụ quan trọng
cho các hệ thống có các thiết bị đầu cuối di động. Do pha là tích phân của tần số,
pha đầu vào sẽ thay đổi tuyến tính như một hàm của thời gian khi đầu vào có độ
lệch tần bằng hằng số. Biến đổi Fourier của đặc trưng pha sẽ là biến đổi Fourier
của tích phân của đặc trưng tần số. Do đặc trưng tần số là một bước nhảy, biến đổi
của tích phân là m ột biến đổi của hàm dưới dấu tích phân chia cho ýco :
0(ũ)) = - ^ j
(j O))

(1-19)

ờ đây Aco là độ lớn của bước nhẩy tần số, thay thế (1-19) vào (1-17) ta có :
lim e(t) = lim
í—

------------ A(j co + K ịị F ( ( ủ )

A (l)

=

Lỗi từ kết

quả trên phụ thuộc nhiều vào các tính chất của bộ lọc vòng nhiều hơn là

phụ thuộc

vào đáp ứng một chiều khác không. Nếu bộ lọc
Fapựo)= \

là all-pass thì :
(1-21)
F, (co) =

Hoăc LPF :
ị Cú + co Ị

Hoặc trễ trước(Lead-Lag):
Củ,

FÁ<0) =

7

2

(1-23)

v ú)2 J ị co 4- Cớị

Phương trình (1-20) cho thấy rằng vòng sẽ bám pha đầu vào có dạng răng cưa với

lỗi ở trạng thái ổn định là hằng số mà độ lớn của lỗi này sẽ phụ thuộc vào hệ số Ku
và độ lớn của bước tần số. Sử dụng bất kỳ Fup(co), F lp(cò) hoặc F u(cư) ta đều có :
I ■_

, ,

A

lim e( t ) = —

I-yta

(1-20)

Kf )F{0 )

cú

f( n

Lưu ý rằng tích số của một vài bộ lọc với các đặc tính lọc có dạng các phương trình
(1-21), (1 -22), (1-23) đều cho kết quả này. Lỗi ở trạng thái ổn định này được gọi là

( ì -22)


14

lỗi tốc dó, lỗi này sẽ luôn tồn tại không liên quan đến bậc của bộ lọc, trừ khi mẫu
s ố cúa ỉ-\(ủ) có chứa JG) như m ộ t hệ s ố (ft>|=0 ở mẫu s ố của phương trình (1 -2 2), (1-

23) với sự chuẩn hoá lại một cách phù hợp ờ tử số). Việc có ị (ú như một hệ số của
IX (ủ) ờ mẫu số tương đương với việc có bộ tích phân hoàn hảo trong bộ lọc vòng.
Dĩ nhiên là không thế có được bộ tích phân hoàn hảo nhưng ta có thể xây dựng ở
dạng gần đúng bằng mạch tích phân tích cực hoặc mạch số. Như vậy nếu hệ thống
thiết k ế yêu cầu bám dịch tần Dopler với lỗi ở trạng thái ổn định bằng không thì bộ
lọc vòng nhất thiết phải chứa một bộ tích phân gần hoàn hảo. Lưu ý rằng thậm chí
khi lỗi tốc độ khác không, tần số vẫn được bám. Có những ứng dụng m à việc bám
để có lỗi pha bằng không là không quan trọng. Ví dụ như tín hiệu không kết hợp sử
dụng khi điều c h ế FSK. Với các tín hiệu không kết hợp, vẫn cần phải bám tần số
nhưng giá trị tuyệt đối của pha là không quan trọng.

1.2.1.5 P L L bậc 3
Xem xét trạng thái ổn định của một vòng khi tần số ở đầu vào thay đổi tuyến tính
theo thời gian.
Điều này tương ứng với việc thay đổi nhẩy bậc của vi phân theo thời gian của
tần sỏ vào. Điều này cũng tương tự như thay đổi tốc độ Dopler mà nó có thể tạo ra
khi có gia tốc giữa một vệ tinh hoặc inột máy bay so với máy thu ớ mặt đất. Trong
trường hợp này biên đổi F ourier của đặc trưng pha sẽ là :
0(O)) = - 4 ^ Ĩ

(1-24)

(\CJ)

ở đây Acú là độ lớn của tốc độ thay đổi tần số, phương trinh (1 -17) trớ thành :
,•

/X

I■

A(0/j(0

A co

j í ử + K„ F{ c ơ )

jcủK h F { 0 )

lim e{t) = l i m ------—— ----- = l i m --------——

^

(1-25)

Nêu vòng có lỗi tốc độ khác không, tức là nếu vế phải của phương trình (1-20)
không bằng không, (1-25) cho thấy rằng lỗi pha ở trạng thái ổn định do sự thay đổi
tần số tuyến tính là không bị giới hạn. Điều đó nói lên rằng một PLL với bộ lọc
vòng đặc trưng bởi phương trình (1-21), (1-23) sẽ không có khả năng bám tần số
thay đối tuyến tính. Để có thê bám tần sô thay đổi tuyến tính thì mẫu sô của biến


15

dổi Fourier của bộ lọc vòng, D{oj), phái cỏ j (0 như một hệ số. Từ phương trình (12ỹi) có thế thấy rằng một bộ lọc với hàm truyền có dạng F{(o)=N((o)/j(oD{oj) sẽ cho
phép PLL bám tần số thav đổi tuyến tính với lỏi pha là hăng số. Điéu đó có nghĩa
là để bám một tín hiệu có độ dịch tán Dopler thay dổi tuyến tính(gia tốc tưưng đối
băng hằng số) m áv thu phải có PLL bậc hai hoặc cao hơn. Đế bám tần số thay đổi
tuyến tính với lỏi pha bàng không, bộ lọc vòng nhất thiết phải có hàm truyền có

Ụco)2 như một hệ số ớ mẫu số, F{co)=N{(o)/{jcú)2D 2{(ù). Điều đó nghĩa là PLL phải
có bậc ba hoặc cao hơn. Những phương tiện hàng không yêu cầu phải bám pha một
cách chính xác ngay cả trong những điều kiện khắc nghiệt sẽ yêu cầu PLL bậc ba
hoặc cao hơn.
Trong thực tế, hầu hết các PLL được thiết k ế bậc hai. Đ ó là vì vòng bậc hai có
thê được ch ế tạo đê có thể ổn định vỏ điều kiện( tức là vòng sẽ luôn cố gắng bám
tín hiệu đầu vào bất chấp tín hiệu đầu vào đó như thế nào). Các vòng bậc hai sẽ
phát hiện ra hiệu ứng dịch bước tần số( dịch tần Doppler), và chúng cũng dễ dàng
được phân tích do các kết quả ở dạng gần đúng nhận được cho vòng bậc một có thê
sử dụng xấp xỉ khi xem xét chất lượng vòng bậc hai. Các vòng bậc ba được sử
dung cho các mục đích đặc biệt( ví du như các m áy thu định vị GPS) nhưng chất
lượng của các vòng bậc ba rất khó xác định, hơn nữa các vòng bậc ba và cao hơn là
các vòng ổn (lịnh có điều kiện. Do vậy trong việc thiết k ế hệ thống thông tin, nếu
việc phát hiện tín hiệu yêu cầu các vòng bậc cao cho giải điều chê kết hợp thì giải
điều chế không kết hợp sẽ được thay thế.

1.2.1.6 C h á t lư ợ n g P L L k h i có nh iễ u tạp
Việc phân tích trạng thái ổn định cho đến nay vẫn giả thiết rằng tín hiệu vào là tinh
khiết không có nhiễu tạp. Nhưng cũng như mọi phần khác của hệ thống thông tin,
chúng ta phải tính đến hiệu ứng của nhiễu tạp.
Xem xét tín hiệu đầu vào chuẩn hoá ớ phương trình (1-9) và hình võ 2.1. Với
sự hiện diện của nhiễu tạp Gauss cộng băng hẹp chuẩn hoá, //(/), biểu thức của tín
hiệu đầu vào sẽ trở thành :
/ ' ( / ) = c o s ( c ư j + ộ ) + /2(0

(1-26)


16

hiện tại, chúng ta xem xét độ lệch pha đáu vào, ộ, là một hằng sỏ. Quá trình nhicu
tạp, //(/), được giả thiết là quá trình Gauss báng hẹp trung bình không, có thế khai
triển thành các thành phần trực giao xung quanh sóng mang :
n(i) - /?t(/)cosứjự + /ỉs(f)sinúV

(1-27)

ớ đây /;,(/) và n ị t ) là các quá trình ngẫu nhiên Gauss trung bình khóng và độc lập
thống ké với nhau. Bây giờ tín hiệu đầu ra của bộ tách sóng pha có thể được biểu
diễn như saufxem phương trình (1-1 1)]:
eỤ) = xịt) /■(/) = sin (^ - ị ) + /ỉc(/)co s^ + nsự ) s in ^
+ Số hạng có tần số nhân đôi

(1-28)

Như trước kia, các thành phần tần số gấp hai lần tần số sóng mang được giả thiết bị
loại trừ bởi bộ lọc. Ký hiệu các thành phần thứ hai và thứ ba của phương trình (128) như sau :
/;'(/) = /7c(/)cos ộ + /ỉs(/)sin ^

(1-29)

chúng ta dễ dàng thấy rằng phương sai của n \ t ) và phương sai của /;(/) là giống
nhau và chúng ta ký hiệu phương sai này là ơ l .
Xcm xét hàm tự tương quan của n \ t ) :
R( í ị ,í 2) = E { «'(/,) n'Ụ2)}
= E {/ ự / | ) « c(í2) }COS2 Ộ + E { /ỉs(/, ) nsụ 2) }s i n 2 ị +

+ [ E {nc(tị)ns(t2)} + E{ rts(/,)rtt(/2)}] s i n ^ COS^

(1-30)

ờ đây E { .} là ký hiệu của kỳ vọng. Các số hạng liên hợp ở vế phải của phương
trình (1-30) bằng không vì chúng có trung bình không và độc lập với nhau. Với giả
thiết vẽ điều kiện dừng mớ rộng, chúng ta có :
R( r) = R J r)cos2ị + /?s( r)sin2ị

(1-31)

ờ đày r = /ị - í 2- Biên đổi Fourier của R( r) chính là mật độ phố công suất cùa /?'(/):


17

Cỉ(co) = F( R{ t))
= Gc(/ư)cos2ộ + Gs(co) sin2^

(1-32)

ớ đây Gcvà Gs là các biến đổi Fourierr của Rc và /thấy rằng phổ G tvà G s chính là các phiên bản phổ của quá trinh nhiễu tạp

gốc /1 ( 0

dã bị dịch đi. Do đó,
Gc(ft>) = Gs(íư) = G„(<xh(úo) + G„(ítH-&>())
ỏ' đày

là mật độ phổ của quá trình nhiễu tạp băng thông gốc n(t). Phương

trình (1-32) có thể viết lại như sau :

G(co) = Gn(ứ>ũ)0) + G^co+cơịị)

(1 -3 3 )

Cho trường hợp đặc biệt nhiễu tạp trắng, ta có Gn{có) = N J 2, ở đây N {] là mật độ
phổ một phía của nhiễu tạp trắng. Như thế cho trường hợp đặc biệt này, từ phương
trình (1-33) ta có :
G(co) = N {)

(1-34)

Giá trị ớ trên cho thấy rằng với việc làm gần đúng ở góc nhỏ, mật độ phổ pha của
pha của v c o , Gịn có liên hệ với mật độ phổ của quá trình nhiễu tạp thông qua hàm
truyền của vòng [phương trình (1 -14)] :
Gịcứ) = G (co)\H(co)\2

(1 -35)

ơ đây G(( 0 ) được cho trong phương trình (1 -3 3 ) và H(co) được định nghĩa trong
phương trình( 1-14). Phương sai của pha đầu ra khi đó sẽ là :
1 °0
Ớị = —— [gìco ^H ^ co)^ á(ú
2n J

( 1 - 3 6)

-0 0

với trường hợp đạc biệt của nhiễu tạp trắng :

ơl

N
=

00

2n J

( 1- 3 7 )

-0 0

V -L o /tìO


18

Tích phán trong phương trình (1-37) (được chuẩn hoá theo tán số tự nhiên) dược
íiọi là dỏ rông bãng hai phía của vòng, w Ị. Đỏ rộng bâng một phía cùa vòng là li ị .
Định nchĩa của các số hang này là :
W, = 2B, = - - ị\ỉlUo)\2áco
2K J

H/.

(1-38)

— 'fj

Như \’ậv, nếu quá trình nhiễu tạp là trắng và việc xấp KÍ với góc nhỏ là đúngtnói
cách khác, vòng đang bám được pha của tín hiệu vào), phương sai pha sẽ là :
ơ ị = 2 N 0BL

(1-39)

Phương sai pha là số đo định lượng jitter - wander ở đầu ra v c o do nhiễu tạp ở
đầu vào. Phương trình (1 -3 9 ) và (1 -1 5 ) nói lên một vấn đề cần được xem xét một
cách hài hoà trong lý thuyết thông tin. Rõ ràng là, với một mức nhiễu tạp đã cho,
nếu chúng ta m uốn crị nhỏ, điều đó cũng có nghĩa là độ rộng băng B ị cũng phải
nhỏ và từ (1-38) cũng có nghĩa là H(co) hẹp. Nhưng ta cũng thấy lừ phương trình
(1-15) rằng nếu băng thông hiệu dụng của H{(ủ) bị làm hẹp đi thì cũng đồng thời là
giám khả nãng bám sự thay đổi pha của tín hiệu đến, 0(co) . Như thế việc thiết kế
vòng phải hài hoà giữa việc đáp ứng với nhiễu tạp và đáp ứng với pha của tín hiệu
đầu vào mong muốn. Sựcân nhắc của người thiết
đáp ứng hợp lý

kê là ớ chỗ phải

thiết kê vòng

với các thay đổi của tín hiệu đầu vào trong khi lạikhông được đáp

ứng với các thay đổi biểu kiến mà thông thường là sự tác động của quá trình nhiễu

1.2.2 X à y d ự n g P L L p h i tuyến
1.2.2.1 Q uá trinh đ ỏ n g bộ
Từ trước tới nay chúng ta vẫn sử dụng mô hình PLL tuyến tính như mó tả trên hình
1.2. Mỗ hình này sử dụng cho góc nhỏ và có thế xấp xỉ :

sin { ộ - ị )~ ệ - ệ

(1-40)


10

Hình 1.2 Mô hình PLL tuyên tính

và điều đó là chính xác khi vòng đang “khoá” và thực hiện như ý đồ thiết kế(tức là
với các iỗi pha nhỏ). Nhưng rõ ràng là các điều kiện này chỉ là một phần của bức
tranh thực tế. Một sự phân tích hoàn hảo chất lượng của PLL phải áp dụng được
ngay cả khi m à phương trình (1-40) không còn chính xác nữa. Khi xấp xỉ với góc
nhỏ không còn chính xác nữa mô hình tương đương trình bày trên hình 1. 3.
Từ các phương trình (1-12), (1-28) và (1-29) và hình vẽ 1.3, mô hình có thê
dược mò tả bởi phương trình vi phân :
--- [ 0 ( 0 ] = Ấ y ( 0 * s i n [ $ 0 - ị ụ ) j + / ( / ) * n \ t )
dt

n\t)

Hình 1.3 M ô hình P L L phi tu y ế n

(1-41)


20

Mặc dù có sự cố gáne của nhiều nhà nghiên cứu, trong nhiéu nám phương trình
vẫn kliònụ có được lời ụiái tổng quát. Tuy Iihicn. V iterbir 16] dã đưa ra lời giái gần

đúng cho một trường hợp dặc biệt quan trọng.
Xem xét trường hợp khi (fịt), pha đầu vào như hàm của thời gian, là một hằn ti
số ệ. Chúng ta có thế định nghĩa một biến pha mới :
/?(/) = [ộ -ỘỤ)] modulo 2rc

(1-42)

Do ệ là hãng số, phương trình (1-41) có thể viết lại như sau :
ị-\p ụ ) ] =
ch
Do ở phương trình (1-43), /3(1)

+/{t)*n'(t)

(1-43)

là một hàm của quá trình ngẫu nhiên nên n \ t ) ,

/?(/) cũng sẽ là một quá trình ngẫu nhiên. Bởi vì /3{t) được định nghĩa là modulo
của 27T, có thể chứng minh được rằng p ụ ) là dừng trong giới hạn khi tất cả các
hiệu ứng quá độ đã kết thúc(nghĩa là ệ bằng hằng số). V iterbi[ 16] đã xác định rằng
cho PLL bậc m ột[bộ lọc bị ngắn mạch, hoặc lương đương là f(ỉ) = ỔỤ) 1, hàm mật
độ xác xuất cứa p

sẽ có dạng :
(1-44)

ở đây p = \ Ị ơ ị [xem phương trình (1-39)1 là tí số SN đã chuẩn hoá(nãng lượng tín
hiệu bằng đơn vị), ỈẬp) là hàm Bessel cải biên cấp không loại một, được đánh giá tại
p. Phương sai pha, modulo 271, bây giờ có thể dược tính từ phương trình (1-44). Giá

trị kết quả của phương sai pha sẽ chính xác cho các vòng bậc một, và cũng rất hữu
ích để tính gần đúng khi đánh giá sự hoạt động của các vòng bậc hai[16J. Nó cũng
cho thấy dạng chính xác của các vòng bậc cao dưới định nghĩa cải biên của p\ 19].

1.2.2.2 T h ò i gian trượt c hu kỳ lần đầu tiên
Sự thay đổi của biến sô pha có thể có giá trị thực bất kỳ modulo 2ĩi và làm này sinh
vấn đề trượt chu kỳ của vòng. Một lần trượt chu kỳ xảy ra khi độ lớn của lỗi pha


21

\ệ - ệ ( l ) \ vượt quá 27t radian. Điêu nàV làm cho giá trị của Ị3 [phương trinh (1-42)]
thay đối đột ngột từ 2 71 đến gần 0. Điéu này có the xem như mất bám tức thời và
một lần bám lại xảy ra ngay tức thì. Thông kê trượt vòng là một tham sỏ quan
trong đánh giá chất lượng, như phương sai pha của PLL, đặc biệt khi tỉ số S/N của
vòng thấp làm sự trượt chu kỳ xảy ra thường xuyên.
Bằng việc sử lý kết quà phân bỏ pha, Viterbi[16] đã đưa ra biểu thức cho thời
gian trung bình của lần trượt chu kv đầu tiên, T m, bất đầu từ thời gian bất kỳ nào

( 1 _45)

srplpp}

J

2 Bl

với p lớn biểu thức này có thể được tính gần đúng như sau :
7’

n exp(2p )

(1-46)

45,
Khi hàm mật độ xác suất tính theo phương trình (1 -4 4 ), là đúng, các kết quả này
được tính cho vòng bậc một, nhưng chúng cũng là sự gần đúng rất hữư ích cho việc
khảo sát hoạt động của các vòng bậc hai, và cung cấp một giới hạn trên để đánh
giá chất lượng của vòng bậc hai khi tỉ sô S/N của vòng là lớn và trung binh. Hơn
nữa. mô phỏng trên máy tính và các phép đo thử trong phòng thí n gh iệ m [ 17] đã chỉ
ra răng thời gian giữa các lần trượt chu kỳ, T, có phân bố mũ:
p(T)

- exp

T

Đ ó chính là xác suất mà một vòng sẽ bị trượt chu kỳ trong khoảng thời gian
đấu từ lỗi pha bằng không.

1-47)
bắt


22

CH Ư Ơ N G 2. ĐỐN(Ỉ BỔ S Ó N G M A N í ỉ

2.1 ư ớ c lượng p h a sóng m a n g

Có hai cách để đồng bộ sóng mang tại máy thu. Một là kết hợp một tín hiệu điều
khiến có đặc trưng đặc biệt, thông thường ỉà về tần số, cho phép máy thu sử dụng
nó đế đồng bộ dao động tại chỗ của mình

VỚI

tần số sóng mang và pha của tín hiệu

thu được. Khi thành phần tần số sóng mang khống điều chế được phát cùng với tín
hiệu m ang thông tin, máy thu sử dụng PLL để thu nhận và bám thành phần sóng
m an s này. PLL được thiết kế có độ rộng băng thông hẹp để không ảnh hưởng đáng
ké đến sự có mặt của các thành phần tần số mang thông tin.
Cách thứ hai khả thi hơn, đó Là lấy giá trị ước lượng pha sóng mang trực tiếp
từ tín hiệu điều chế. Cách này có un điểm nổi trội là toàn bộ công suất phát đều để
mang thông tin. Trong khi khôi phục sóng mang, chúng ta sẽ tập trung vào cách
thứ hai, tức là chúng ta giả thiết rằng tín hiệu phát được khử sóng mang.
Đê nhân mạnh tầm quan trọng của việc ước lượng pha một cách chính xác, chúng
la xem xét hiệu ứng lỗi pha sóng mang khi giải điều chế tín hiệu lưỡng biên khử
sóng mang(DSB/SC). Chúng ta giả thiết tín hiệu điều ch ế biên độ có dạng :
sự) = AỤ)cos((o{)t + ộ)

(2-1)

Chúng ta giải điểu chè tín hiệu bằng cách nhân s(t) với sóng m ang đối chiếu
r(/)= co s(ứ V + ệ )

(2-2)

la nhận dược
1

c(t)sịt)

=

—

1
A(t)cosịộ-ệ )

+

-

A ( t ) COS( 2 ũ ) ()t + ệ + ộ )

Khi đưa tích số c(t)sỤ) qua bộ lọc thông thấp, thành phần tần sô' gấp hai lần tần số
sóng mang sẽ bị loại trừ và tạo ra tín hiệu mang thông tin :
y( t) = - A ( t ) c o s ( ệ - ệ )
Ta thấy ràng lỗi pha ệ - ệ

(2-3)

làm giảm mức điện áp tín hiệu theo hệ số c o s i ệ - ệ )

làm giám công suất tín hiệu theo hệ số c o s 2( ệ - ệ ) . Với điều ch ế biên độ, một lỗi


23

pha 10° sẽ làm mất mát công suất tín hiệu 0,13 đB và lỗi pha 30° sẽ làm mất mát

cỏn Sỉ

suất

1,25 đB.

Hiệu ứng lỗi pha sóng m a n ” ở QAM và PSK cơ số M còn nghiêm trọng hơn. Các
tín hiệu Ọ A M và M-PSK được biểu diễn như sau :
s(t) = A(t)cos{coj + ộ) - B(t)sm(co{ịr + ộ)

(2-4)

Tín hiệu này được giái điều chê bởi hai sóng mang vuông pha :
cf.(0 = cos ( a y + 0)

(2-5)

cs{t) = - s i n ( c ư 0/ + ộ)
Nhàn sự) với

C'.( 0

rồi lọc thông thấp sẽ tạo ra thành phần đồng pha :
V, (t) = —A(t)cos(ệ - ệ) - - B ( t ) s m { ộ - ệ )

( 2- 6 )

Tương tự, nhân sỤ) VỚI cs(t) rồi lọc thông thấp sẽ tạo ra thành phần vuông pha :
(2-7)
Các biếu thức (2-6) và (2-7) chỉ rõ rằng lỗi pha trong quá trình giải điều chế QAM

và M-PSK gây ảnh hưởng nghiêm trọng hơn khi giải điều chế tín hiệu PAM.
Không những công suất của thành phần tín hiệu m ong muốn bị suy giảm theo hệ
số

COS1 {ộ

-

ệ )

, mà còn có nhiễu chéo giữa các thành phần đồng pha và vuông

pha. Do các mức công suất trung bình của A(t) và B(t) là như nhau, một lỗi pha nhỏ
cũng có thể gây nên sự suy giảm lớn về chất lượng. Do đó, độ chính xác về pha cho
Ọ AM và M-PSK cần cao hơn nhiều DSB/SC PAM.

2.2 ư ớ c lư ợng p h a s ó n g m a n g M L
Đầu tiên chúng ta sẽ tính giá trị ước lượng pha sóng mang làm cực đại hàm gần
giống nhất. Để đơn giản và cũng không mất tính tổng quát, ta đặt r=(). Hàm được
làm cực đại là hàm gần giống nhất (1-8). Với 0 th a y th ế cho Vịí hàm này trớ thành

(2 - 8 )


24

Ta thây rằn Sỉ số hạng đầu ticn của số mũ không liên quan đến ộ. Số hạng thứ ha
chứa tích phân s2{í;ệ) là một hằng số và bằng nãng lượng tín hiệu trong toàn bộ
khoảng thời gian quan sát 7 0 cho ệ bất kỳ. Chí có số hạng thứ hai là có thành phần
tương quan chéo giữa tín hiệu thu được r(t) và tín hiệu s(t\ộ) và phụ thuộc vào ộ.

Do đó hàm gần giống nhất A(ộ) có thế được biểu diễn như sau :

( 2-9)

ớ đây

c là một hằng số độc lập với ệ.

Ước lượng M L ệ Ml là giá trị của ộ làm cực đại

A ( ộ ) và đồng thời cũng làm cực

đại logarit của A ( ệ ) , tức là hàm gần giống nhất Logarit
( 2- 10)

Lưu ý rằng trong định nghĩa A/ (ộ ) chúng ta đã bỏ qua hằng số lnC.
Xét một ví dụ xác định pha sóng mang tối ưu. Chúng ta truyền một tín hiệu
không điều chế /lcos 0J{]I. Tín hiệu thu được là
rự)=Ac os( co() t+ ậ)+n(t)
ờ đây ệ là pha cần tìm. Chúng ta tìm giá trị của ộ, ký hiệu là ệ stL, sao cho nó cực
đại hàm

Điều kiên cần để hàm cực đại là

Điều kiện này có nghĩa là
(2-11)

hoặc tương đương :