TL boi duong HSG toan 7

BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 7
A.ĐẠI SỐ
1. Bài tập về tính chất của tỷ lệ thức
Bài 1: Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y+z−x z+x− y x+ y−z
=
=
x
y
z
 x 
y  z 
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
y 
z  x 

Giải

Với 3 số x ,y , z khác 0
và

y+z−x z+x− y x+ y−z
=
=
x
y
z
y+z
z+x
x+ y
−1 =

−1 =
−1
⇒
x
y
z
y+z z+x x+ y
=
=
⇒
x
y
z

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

y + z z + x x + y 2( x + y + z )
=
=
=
= 2 với x + y + z ≠ 0
x
y
z
x+ y+z

Do đó :
 x 
y  z  y + z z + x x + y
B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷= x . y . z = 2 .2 .2 = 8

y 
z  x 


Bài 2 Cho a, b, c là 3 số khác 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn:
Tính giá trị biểu thức P =

a
b
c
=
=
b+ c c + a a+ b

b+ c c + a a+ b
+
+
a
b
c

Giải
Ta có

⇒

a
b
c
a+ b + c

1
=
=
=
=
b + c c + a a + b 2.(a + b + c) 2

b + c c + a a+ b
=
=
=2
a
b
c
b + c c + a a+ b
⇒P=
+
+
= 2+ 2+ 2 = 6
a
b
c

Bài 3
Một tam giác có chu vi là 63 cm và ba cạnh của nó tỉ lệ với 5; 7; 9. Tính độ dài
ba cạnh của tam giác.

1

Giải
Gọi x,y,z là ba cạnh của tam giác (x,y,z >0; tính bằng cm)
Theo đề bài, ta có:
x y z
= = và x + y + z = 63
5 7 9
x y z
x + y + z 63
=
Suy ra: = = =
=3
5 7 9
5 + 7 + 9 21

 x = 5 .3 = 15
 y = 7 . 3= 21
 z = 9 3 = 27
Trả lời: Ba cạnh của tam giác là 15 cm, 21 cm, 27 cm.
Bài 4
Một hộp đựng ba loại bi khác nhau. Số lượng loại bi màu xanh, bi màu vàng và
bi màu đỏ tỷ lệ với các số 5,7,9. Tính số bi mỗi loại, biết số bi màu xanh ít hơn số bi
màu vàng là 4 viên
Giải
- Gọi số bi màu xanh, vàng, đỏ lần lượt là x, y, z (viên)
x y z
= = và y − x = 4
5 7 9
x y z y−x 4
= =2
Từ đó = = =

5 7 9 7−5 2
tìm được x = 10; y = 14; z = 18.
⇒

- KL: Có 10 viên xanh; 14 viên đỏ; 18 viên vàng

Bài 5 Tìm các số a,b,c biết
a b c
= =
và a+b-c=15
2 3 4

Giải
a
2

b c
= Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
3 4
a b c a + b − c 15
= = =
=
2 3 4 3+ 4−5 2
⇒ a=15; b=22,5;c=30

Từ =

Bài 6 Tìm a, b, c biết
a b c
= = và a+2b-3c= -20

2 3 4

Giải
a
2

b
3

Từ = =

c
a 2b 3c a + 2b − 3c −20
⇒ =
=
=
=
=5.
4
2 6 12 2 + 6 − 12
−4

⇒ a=10; b=15; c=20
2


Bài tập 1.Tính x,y,z biết
x
y
z

=
=
= x + y + z (1)
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3

HD
1
1
Từ (1) ⇒ x+y+z= ⇒ y+z= -x (2)
2
2
x
1
Lại từ y + z + 1 = 2 ⇒ y+z=2x-1 (3)
1
5
−5
Từ (2) và (3) ⇒ x= . Tưng tự tính được y= ; z=
2
6
6
a b
b c
2.1.Tìm ba số a,b,c biết = (1); = (2) và a+b-c=8
2 3
5 7

HD

Từ (1) và (2) ⇒

a
b
c
a +b−c
8
= =
=
= =2
10 15 21 10 + 15 − 21 4

⇒ a=20;b=30;c=42

2.2Tìm ba số a,b,c biết

a 7
b 1
= (1) , = (2) và a-b+c=55
c 5
c 5

HD
a 7
a c
b c
Từ = (1) ⇒ = (*); Từ (2) ⇒ = (**)
c 5
7 5
1 5
a b c a − b + c 55

=
=5
Từ (*) và (**) ⇒ = = =
7 1 5 7 − 1 + 5 11
⇒ a=35; b=5; c=25

Bài 7 Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng nếu

a c
=
b d

thì

2a + 7b 2c + 7 d
=
2a − 7b 2c − 7 d

Giải

a
b

Từ =

c
⇒
d

a
b
2a
7b
2a +7b
2a −7b
= =
=
=
=
c
d
2c
7d
2c +7d
2c −7d
2a +7b
2c +7d
⇒
=
2a −7b
2c −7 d

BTTT Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng nếu

a c
=
b d

thì

2a + 5b 2c + 5d
=
2a − 5b 2c − 5d

Bải 8
cho

a c
a
c
a
c
= chứng minh rằng
=
=
;
;...
b d
a +b c + d a −b c −d

Giải

Từ

a c
a b a+b
a
c

⇒
= ⇒ = =
=
b d
c d c+d
a+b c+d

3


2. Bài tập về dãy số
Bài 1 Tính tổng
a) S= 1+3+5+...+97+99
=(1+99)+(3+97)+(5+95)+...+(49+51) ,có 25 nhóm
=100.25=2500
b) S=1-2-3+4+5-6-7+8+...+2009-2010-2011+2012+2013
=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(2009-2010-2011+2012)+2013
=2013
1
3

Bài 2 Cho M= +

( có 53 nhóm)

1 1
1
1
+ 3 + ... + 99 (1) Chứng minh rằng M< .
2

2
3
3
3

Giải
1
3

1 1
1
+ 3 + ... + 98
2
3
3
3
1
1
1
1
1
⇒ 3M-M=1- 99 ⇒ 2M=1- 99 ⇒ M= −
⇒ M<
99
2 2.3
2
3
3
1 1 1
1

3
BTTT Cho C = 1 + + 2 + 3 + ... + 2012 (1). Chứng minh rằng C <
3 3 3
3
2

Từ (1) ⇒ 3M=1+ +

Giải
1 1 1
1
+ 3 + ... + 2011 )
2
3 3 3
3
1
1
3
1
3
3
⇒ 3C=3+C- 2012 ⇒ 2C=3- 2012 ⇒ C= − 2012 < ⇒ C < .
3
3
2 2.3
2
2
1
1
1

1
<
Bài 4 Chứng minh rằng A= 2 2 + 2 2 + ... + 2
1 +2 2 +3
9 + 102 2

Từ (1) ⇒ 3C=3+(1+ +

Giải

1
1
1
11
1 
= 2
< 2
=  −
Nhận xét 2
÷
2
a + (a + 1)
2a + 2a + 1 2a + 2a 2  a a + 1 
1 1 1 1 1
1 1  1
1 1 1 1
Do đó A<  − + − + ... + − ÷ = 1 − ÷ = − <
2 1 2 2 3
9 10  2  10  2 20 2
1

⇒ A< .
2

BTTT
1

1

1

1

Chứng minh rằng M= 12 + 22 + 22 + 32 + ... + n 2 + n + 1 2 < 2
(
)
1 3 5 99
1
<
.
2 4 6 100 10
1
1
1
1
Bài 6 Tính tổng S= + + + ... +
1.2 2.3 3.4
99.100

Bài 5 Chứng minh rằng: A= . . ....

1 
 1 1 1
 1
S= 1 − ÷+  − ÷+ ...  −
÷
 2  2 3
 99 100 
=1-

1
99
=
100 100
4





2 
2 
2  
2 
÷ 1 −
÷ 1 −
÷... 1 −
÷
2.3  3.4  4.5   9.10 
2
n 2 + n − 2 ( n − 1) ( n + 2 )

1
−
=
=
Nhận xét: n n + 1
n ( n + 1)
(
) n ( n + 1)
1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11 1 11 11
.
Do đó P= . . . . . .
= . =
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 3 9 27
2 
2 
2  
2 

÷
BTTT Tính P= 1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 −
 2.3  3.4  4.5   n ( n + 1) ÷


Tính P= 1 −

Bài 7

Nhận xét: 1 −

2

n 2 + n − 2 ( n − 1) ( n + 2 )
=
=
n ( n + 1)
n ( n + 1)
n ( n + 1)

1.4 2.5 3.6

Do đó P= 2.3 . 3.4 . 4.5 ...

( n − 1) ( n + 2 )
n ( n + 1)

1 n+2 n+2
= −
=
.
3
n
3n

ĐỀ THI THỬ SỐ 1
Câu 1
1.Tìm số nguyên a sao cho 3 chia hết cho (a-2)
2.Tìm số nguyên x sao cho x − 3 = 2
Câu 2
x 2 y 3z
=
=

(1) và x-y=15.
2 3
4
x y x− y
= 15
HD: Từ (1) ⇒ = =
4 3 4−3
⇒ x=60; y=45; z= 40

1.Tìm x,y,z biết

a
b

c
d

2. Cho = . Chứng minh rằng

2a + 5b 2c + 5d
=
2a − 5b 2c − 5d

Câu 3
1. Rút gọn biểu thức (2x-3y)(4x2+6xy+9y2)
2. Tính giá trị của biểu thức 6x2-(2x+1)(3x-2)-4 tại x=3.
Câu 4
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài đỉnh A và D cắt
nhau ở K; Các đường phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở L. Biết KL=25cm. Tính
chu vi của hình thang.

Câu 5
Tìm các số nguyên x,y sao cho 5x+2y=3xy-3 (1)
Từ (1) ⇒ 3xy-2y-5x=3
9xy-6y-15x=9
(9xy-6y)-(15x-10)=19
(3x-2y)(3y-5)=19
3 x − 2 = 19
3 x − 2 = 1
⇒ a) 
hoặc 
;
3 y − 5 = 1
3 y − 5 = 19

3x − 2 = −19

b) 
 3 y − 5 = −1

5

3 x − 2 = −1
3 y − 5 = −19

hoặc 