Giáo án dạy thêm Toán 8

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 1-2-3: Ôn tập: Nhân đơn,đa thức
A.Mục Tiêu
+ Củng cố kiến thức về các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
+ Học sinh thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức, đa thức với đa thức.
+ Rèn kỹ năng nhân đơn thức, đa thức với đa thức.
B.Chuẩn Bị:giáo án,sgk,sbt,thước thẳng.
C.Tiến trình
Hoạt động của GV&HS
Nội dung
I.Kiểm Tra
Tính (2x-3)(2x-y+1)
II.Bài mới
Bài 1.Thực hiện phép tính:
?Nêu quy tắc nhân đa thức với đa thức
a) (2x- 5)(3x+7)
Học sinh :…..
b) (-3x+2)(4x-5)
- Giáo viên nêu bài toán
c) (a-2b)(2a+b-1)
?Nêu cách làm bài toán
d) (x-2)(x2+3x-1)
Học sinh :……
e)(x+3)(2x2+x-2)
Giải.
-Cho học sinh làm theo nhóm
a) (2x- 5)(3x+7) =6x2+14x-15x-35
=6x2-x-35
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
b) (-3x+2)(4x-5)=-12x2+15x+8x-10

-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
=-12x2+23x-10
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và c) (a-2b)(2a+b-1)=2a2+ab-a-4ab-2b2+2b
nhận xét,bổ sung.
=2a2-3ab-2b2-a+2b
-Giáo viên nhận xét
d) (x-2)(x2+3x-1)=x3+3x2-x-2x2-6x+2
=x3+x2-7x+2
e)(x+3)(2x2+x-2)=2x3+x2-2x+6x2+3x-6
=2x3+7x2+x-6
- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu yêu cầu của bài toán
Học sinh :…
?Để rút gọn biểu thức ta thực hiện các
phép tính nào
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi 2 học sinh lên bảng làm ,mỗi học
sinh làm 1 câu .
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét
- Giáo viên nêu bài toán

Bài 2.Rút gọn rồi tính giá trị của biểu
thức:
a) A=5x(4x2- 2x+1) – 2x(10x2 - 5x - 2)
với x= 15
b) B = 5x(x-4y) - 4y(y -5x)

với x=

1
1
; y= 
5
2

Giải.
a) A = 20x3 – 10x2 + 5x – 20x3 +10x2 +
4x=9x
Thay x=15 � A= 9.15 =135
b) B = 5x2 – 20xy – 4y2 +20xy
= 5x2 - 4y2
2

2

1
 4
  1
  1
B = 5.   4.    1 
5
5
 5 
 2 

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau có
1

?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :Thực hiện phép tính để rút gọn
biểu thức …
-Cho học sinh làm theo nhóm

giá trị không phụ thuộc vào giá trị của
biến số:
a) (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7)
b) (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7

-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
sinh hay gặp.

Giải.
a)(3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7)
= 6x2 – 10x + 33x – 55 – 6x2 – 14x – 9x
– 21 = -76
Vậy biểu thức có giá trị không phụ thuộc
vào giá trị của biến số.
b) (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7
=2x2+3x-10x-15-2x2+6x+x+7=-8
Vậy biểu thức có giá trị không phụ thuộc
vào giá trị của biến số.

- Giáo viên nêu bài toán
? 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau bao
nhiêu
Học sinh : 2 đơn vị
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
sinh hay gặp.
- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
sinh hay gặp.

Bài 4.Tìm 3 số chẵn liên tiếp, biết rằng
tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số
cuối 32 đơn vị.
Giải.
Gọi 3 số chẵn liên tiếp là: x; x+2; x+4
(x+2)(x+4) – x(x+2) = 32
x2 + 6x + 8 – x2 – 2x =32
4x = 32

x=8
Vậy 3 số cần tìm là : 8;10;12
Bài 5.Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết
rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của
hai số cuối 146 đơn vị.
Giải.
Gọi 4 số cần tìm là : x , x+1, x+2 , x+3.
Ta có : (x+3)(x+2)- x(x+1) = 146
x2+5x+6-x2-x=146
4x+6 =146
4x=140
x=35
Vậy 4 số cần tìm là: 35; 36; 37; 38

- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm

Bài 6.Tính :
a) (2x – 3y) (2x + 3y)
b) (1+ 5a) (1+ 5a)
c) (2a + 3b) (2a + 3b)
d) (a+b-c) (a+b+c)
e) (x + y – 1) (x - y - 1)
2


Giải.
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn

a) (2x – 3y) (2x + 3y) = 4x2-9y2
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
b) (1+ 5a) (1+ 5a)=1+10a+25a2
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và c) (2a + 3b) (2a + 3b)=4a2+12ab+9b2
nhận xét,bổ sung.
d) (a+b-c) (a+b+c)=a2+2ab+b2-c2
e) (x + y – 1) (x - y - 1)
=x2-2x+1-y2
Bài 7.Tính :
a) (x+1)(x+2)(x-3)
- Giáo viên nêu bài toán
b) (2x-1)(x+2)(x+3)
?Nêu cách làm bài toán
Giải.
Học sinh :lấy 2 đa thức nhân với nhau rồi a) (x+1)(x+2)(x-3)=(x2+3x+2)(x-3)
lấy kết quả nhân với đa thức còn lại.
=x3-7x-6
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
b) (2x-1)(x+2)(x+3)=(2x-1)(x2+5x+6)
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và =2x3+9x2+7x-6
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
Bài 8.Tìm x ,biết:
sinh hay gặp.
a)(x+1)(x+3)-x(x+2)=7
b) 2x(3x+5)-x(6x-1)=33
- Giáo viên nêu bài toán
Giải .
?Nêu cách làm bài toán
a)(x+1)(x+3)-x(x+2)=7

Học sinh :….
x2+4x+3-x2-2x=7
-Giáo viên hướng dẫn.
2x+3=7
-Gọi 2 học sinh lên bảng làm
x=2
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và b) 2x(3x+5)-x(6x-1)=33
nhận xét,bổ sung.
6x2+10x-6x2+x=33
-Giáo viên nhận xét
11x=33
x=3
III.Củng Cố
-Nhắc lại quy tắc nhân đa thức với đa thức .
-Nhắc lại các dạng toán và cách làm .
IV.Hướng Dẫn
-Ôn lại quy tắc nhân đa thức với đa thức.
-Xem lại các dạng toán đã luyện tập.
BTVN:
*Bài tập 1: Cho các đa thức: f(x) = 3x2 – x + 1 và g(x) = x – 1
a)Tính f(x).g(x)
b)Tìm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] =

5
2

*Bài tập 2: Tìm x, biết:
a) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = 7
b) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44
c) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27

............................................................................

3


Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 4-5-6: Ôn tập: Hình thang, hình thang cân
A. Mục tiêu:
- Củng cố: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhân biết của hình thang, hình thang cân.
-Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác là hình thang, hình thang cân.
- Cần tranh sai lầm: Sau khi chứng minh tứ giác la hình thang, đi chứng minh tiếp hai cạnh
bên bằng nhau.
B. Chuẩn bị:
GV: Hệ thống bài tập, thước.
HS; Kiến thức. Dụng cụ học tập.
C. Tiến trình:
1. ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới.
Hoạt động của GV, HS
Nội dung
GV; Yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa, tính
- Dấu hiệu nhận biết hình thang : Tứ giác có
chất, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình
hai cạnh đối song song là hình thang
thang cân
- Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
HS:
 Hình thang có hai góc kề

GV: ghi dấu hiệu nhận biết ra góc bảng.
một đáy bằng nhau là hình
thang cân.
 Hình thang có hai đường
chéo bằng nhau là hình
thang cân
GV; Cho HS làm bài tập.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Từ điểm O
Bài tập 1
trong tam giác đó kẻ đường thẳng song
A
song với BC cắt cạnh AB ở M , cắt cạnh
AC ở N.
a)Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
O
N
M
b)Tìm điều kiện của ABC để tứ giác
BMNC là hình thang cân?
c) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác
BMNC là hình thang vuông?
B
C
GV; yêu cầu HS ghi giả thiết, kết luận, vẽ
a/ Ta có MN // BC nên BMNC là hình
hình.
thang.
HS; lên bảng.
b/ Để BMNC là hình thang cân thì hai góc ở
GV: gợi ý theo sơ đồ.

đáy bằng nhau, khi đó
a/
BMNC là hình thang
�

MN // BC.
b/ BMNC là hình thang cân
�
�B  �C
�

�B  �C
Hay ABC cân tại A.

c/ Để BMNC là hình thang vuông thì có 1
góc bằng 900
khi đó

�B  900
�C  900

4


ABC cõn

hay ABC vuụng ti B hoc C.

c/ BMNC l hỡnh thang vuụng

B 900
C 900

ABC vuụng

Bi tp 2:
Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB //CD
O l giao im ca AC v BD. Chng
minh rng OA = OB, OC = OD.
GV; yờu cu HS ghi gi thit, kt lun, v
hỡnh.
HS; lờn bng.
GV: gi ý theo s .
OA = OB,

OAB cõn

DBA CAB

DBA CAB


AB Chung, AD= BC, A B
Bài tập 3: Xem hình vẽ giải
thích vì sao các tứ giác đã cho
là hình thang?

A

D

50

50

B

Q

Bi tp 2:
A

B

O

D

C

Ta cú tam giỏc DBA CAB vỡ:
AB Chung, AD= BC, A B
Vy DBA CAB
Khi ú OAB cõn
OA = OB,
M ta cú AC = BD nờn OC = OD.

Bài tập 3
a) Xột t giỏc ABCD. Ta cú :

= 500 ( cp gúc ng v)
AD
nờn AB // CD hay ABCD l hỡnh thang.
b) Xột t giỏc MNPQ. Ta cú :
N
= 1800( cp gúc trong cựng phớa)
P
nờn MN // PQ hay MNPQ l hỡnh thang

C

M

115
P

65
N

GV cho hs bài tập 4: Cho hình vẽ
và Cho AC BD = 0 Sao cho:
0A = 0B ; 0C = 0D. Tứ giác ABCD

Bài tập 4:

5


là hình gì ?.
H/s vẽ hình và ghi gt , kl ?.

-Dự đoán về dạng tứ giác ABCD ?.
-Để c/m 1 tứ giác là hình thang
cân ta phải c/m gì ?.
ACDB là hình thang cần khi
no ?.
- Hãy c/m 2 cạnh đối // .
-GV: Cần thêm điều gì để hình
thang ACDB cân ?.

A

B
1

1

O

1
2

1

1

D

C

*) OAB cân tại O (0A = 0B)

(gt)

0

= 180 O1 ;
Â1 = B
1
2
*) OCD cân tại O (OC = OD )

(gt).

0

O

D
180 O2 Mà : O
C
1
2
1
1
2
, mà Â1 v C
là 2 góc
Â1 = C
1
1

Bi 5:

Cho t giỏc ABCD cú A: B : C : D 1: 2 : 3 : 4 .
a) Tớnh cỏc gúc ca t giỏc.
b) T giỏc ABCD l hỡnh gỡ? Vỡ
sao?

SLT ;
AB // CD . Nên ACBD là
hình thang ,
Và có : AC = BD ( 2 đg chéo
bằng nhau ).
=> ACBD là HTC .
Bi 5:
a/ Cho t giỏc ABCD cú

A 360
720
B

1080
C
1440
D

b/ T giỏc ABCD l hỡnh thang
4. Cng c.
A M, N sao cho
Bi 6: Cho tam giỏc ABC cõn ti A. Trờn cỏc cnh AB, AC ly cỏc im
BM = CN

a) T giỏc BMNC l hỡnh gỡ ? vỡ sao ?

b) Tớnh cỏc gúc ca t giỏc BMNC bit rng A = 400
GV cho HS v hỡnh , ghi GT, KL

M



0


a) ABC cõn ti A B C 180 A

1
2

1
2

N

2

m AB = AC ; BM = CN AM = AN
AMN cõn ti A

B

C

0
=> M 1 N1 180 A
2








Suy ra B M 1 do ú MN // BC
6


�

�

Tứ giác BMNC là hình thang, lại có B  C nên là hình thang cân
�
�
�
�
b) B  C  700 , M 1  N 2  1100
Bài 7: Cho hình thang ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. CMR: ABCD
là hình thang cân nếu OA = OB

Giải:
Xét AOB có :
OA = OB(gt) (*)  ABC cân tại O
 A1 = B1 (1)
�

�

Mà B1  D1 ; nA1=C1( So le trong)

(2)

Từ (1) và (2)=>D1=C1
=> ODC cân tại O => OD=OC(*’)
Từ (*) và (*’)=> AC=BD
Mà ABCD là hình thang

=> ABCD là hình thang cân

GV : yêu cầu HS lên bảng vẽ hình
- HS nêu phương pháp chứng minh ABCD là hình thang cân:
+ Hình thang
+ 2 đường chéo bằng nhau
- Gọi HS trình bày lời giải. Sau đó nhận xét và chữa
BTVN:
�

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AB = BC, AD = DC = AC, A  105 . Tính các góc còn lại của
tứ giác.
...................................................................

0

7


Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 7-8-9: Ôn tập: Hằng đẳng thức đáng nhớ
A.Mục Tiêu
+ Củng cố kiến thức về các hằng đẳng thức: Bình phương một tổng, bình phương một
hiệu, hiệu hai bình phương.
+ Học sinh vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức trên vào giải toán.
+ Biết áp dụng các hằng đẳng thức vào việc tính nhanh, tính nhẩm.
B.Chuẩn Bị:giáo án,sgk,sbt,thước thẳng.
C.Tiến trình:
Hoạt động của GV&HS
Kiến thức trọng tâm
1.Kiểm Tra
Viết các các hằng đẳng thức:
1 học sinh lên bảng làm
Bình phương một tổng, bình phương một -Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
hiệu, hiệu hai bình phương.
nhận xét,bổ sung.
2.Bài mới
Bài 1.Tính:
1
- Giáo viên nêu bài toán
a) (3x+4)2
b) (-2a+ )2
2

?Nêu cách làm bài toán
2
5
c) (7-x)
d) (x +2y)2
Học sinh :……
Giải
-Cho học sinh làm theo nhóm
a) (3x+4)2 =9x2+24x+16
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
1
1
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
b) (-2a+ )2=4x2-2a+
2
4
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
2
2
c) (7-x) =49-14x+x
nhận xét,bổ sung.
d) (x5+2y)2 =x10+4x5y+4y2
-Giáo viên nhận xét
- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và

nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét

Bài 2.Tính:
a) (2x-1,5)2
b) (5-y)2
c) (a-5b)(a+5b)
d) (x- y+1)(x- y-1)
Giải.
a) (2x-1,5)2 = 4x2 - 6x+2,25
b) (5-y)2
=25-10y+y2
c) (a-5b)(a+5b) =a2-25b2
d) (x- y+1)(x- y-1)=(x-y)2-1
=x2-2xy+y2-1

- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……

Bài 3.Tính:
a) (a2- 4)(a2+4)
b) (x3-3y)(x3+3y)
8


-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và

nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
sinh hay gặp.
- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
sinh hay gặp.

- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học
sinh hay gặp.
- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Giáo viên đi kiểm tra ,uốn nắn
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt

-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
- Giáo viên nêu bài toán

c) (a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)
d) (a-b+c)(a+b+c)
e) (x+2-y)(x-2-y)
Giải.
a) (a2- 4)(a2+4)=a4-16
b) (x3-3y)(x3+3y)=x6-9y2
c) (a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=a8-b8
d) (a-b+c)(a+b+c)=a2+2ac+c2 -b2
e) (x+2-y)(x-2-y)=x2-2xy+y2-4
Bài 4.Rút gọn biểu thức:
a) (a-b+c)2+2(a-b+c)(b-c)+(b-c)2
b) (2x-3y+1)2-(x+3y-1)2
c) (3x-4y+7)2+8y(3x-4y+7)+16y2
d) (x-3)2+2(x-3)(x+3)+(x+3)2
Giải
a) (a-b+c)2+2(a-b+c)(b-c)+(b-c)2
=(a-b+c+b-c)2=a2
b) (2x-3y+1)2-(x+3y-1)2
=(2x-3y+1+x+3y-1)(2x-3y+1+-x-3y+1)
=3x(x-6y+2)=3x2-18xy+6x
c) (3x-4y+7)2+8y(3x-4y+7)+16y2
=(3x-4y+7+4y)2=(3x+7)2=9x242x+49
d) (x-3)2+2(x-3)(x+3)+(x+3)2
=(x-3+x+3)2=4x2
Bài 5.Tính:
a) (a+b+c)2

b) (a-b+c)2
c) (a-b-c)2
d) (x-2y+1)2
e) (3x+y-2)2
Giải.
a) (a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
b) (a-b+c)2 =a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
c) (a-b-c)2 =a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc
d) (x-2y+1)2=x2+4y2+1-4xy+2x-4y
e) (3x+y-2)2=9x2+y2+4+6xy-12x-4y
Bài 6.Biết a+b=5 và ab=2.Tính (a-b)2
Giải .
(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4.2=17
Bài 7.Biết a-b=6 và ab=16.Tính a+b
Giải
(a+b)2=(a-b)2+4ab=62+4.16=100
(a+b)2=100 � a+b=10 hoặc a+b=-10
Bài 8.Tính nhanh:
a) 972-32

b) 412+82.59+592
9


?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Gọi học sinh lên bảng làm lần lượt
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét ,nhắc các lỗi học

sinh hay gặp.
- Giáo viên nêu bài toán
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……
-Giáo viên hướng dẫn.
-Gọi 1 học sinh lên bảng làm
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
-Giáo viên nhận xét
-Tươn tự cho học sinh làm bài 10

c) 892-18.89+92
Giải .
a) 972-32 =(97-3)(97+3)=9400
b) 412+82.59+592=(41+59)2=10000
c) 892-18.89+92=(89-9)2=6400
Bài 9.Biết số tự nhiên x chia cho 7 dư
6.CMR:x2 chia cho 7 dư 1
Giải.
x chia cho 7 dư 6 � x=7k+6 , k � N
� x2=(7k+6)2=49k2+84k+36
49M7 , 84M7 , 36 :7 dư 1
� x2:7 dư 1
Bài 10.Biết số tự nhiên x chia cho 9 dư
5.CMR:x2 chia cho 9 dư 7
Giải.
x chia cho 9 dư 5 � x=9k+5, k � N
� x2=(9k+5)2=81k2+90k+25
81M9 , 90M9 , 25 :9 dư 7
� x2:9 dư 7

Bài 11.Cho 2(a2+b2)=(a+b)2
CMR: a=b
Giải.
2(a2+b2)=(a+b)2
� 2(a2+b2)-(a+b)2=0
� (a-b)2=0 � a-b=0 � a=b

III.Củng Cố
-Nhắc lại các dạng toán và cách làm .
IV.Hướng Dẫn
-Xem lại các dạng toán đã luyện tập.
BTVN:
*Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một
hiệu:
a) x2 + 5x +

25
4

b) 16x2 – 8x + 1
c) 4x2 + 12xy + 9y2
d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1
e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + 2
g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + 4
h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2
*Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu:
a) x3 + 3x2 + 3x + 1
b) 27y3 – 9y2 + y -

1

27

10


c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3
d) (x + y)3(x – y)3
Bài 3.Cho a2+b2+1=ab+a+b
CMR: a=b=1
............................................................
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 10-11-12:

Ôn tập: Đường trung bình của tam giác ,của hình thang

A.Mục Tiêu
+Củng định nghĩa và các định lí về đường trung bình của tam giác , hình thang.
+ Biết vận dụng các định lí về đường trung bình của tam giác,hình thang để tính độ dài,
chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song.
+ Rèn cách lập luận trong chứng minh định lí và vận dụng định lí vào giải các bài toán
thực tế.
B.Chuẩn Bị:giáo án,sgk,sbt,thước thẳng,êke.
C.Tiến trình:
Hoạt động của GV&HS
Nội dung
I.Kiểm Tra
1.Nêu định nghĩa đường trung bình của
tam giác , hình thang?
2.Nêu tính chất đường trung bình của tam

giác , hình thang?
II.Bài mới
Bài 1(bài 38sbt trang 64).
-Học sinh đọc bài toán.
Xét  ABC có
A
-Yêu cầu học sinh vẽ hình
EA=EB và
E
?Nêu giả thiết ,kết luận của bài toán
DA=DB nên ED
D
G
Học sinh :…..
là đường trung
K
I
Giáo viên viết trên bảng
bình
C
B
� ED//BC
?Phát hiện các đường trung bình của tam
1
giác trên hình vẽ
và ED= BC
2
Học sinh : DE,IK
Tương tự ta có IK là đường trung bình của
?Nêu cách làm bài toán

1
Học sinh :.
 BGC � IK//BC và IK= BC
2
-Cho học sinh làm theo nhóm
�
Từ ED//BC và IK//BC
ED//IK
-Gọi 1 học sinh lên bảng làm
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và Từ ED= 1 BC và IK= 1 BC � ED=IK
2
2
nhận xét,bổ sung.
Bài 2.(bài 39 sbt trang 64)
-Học sinh đọc bài toán.
Gọi F là trung
A
-Yêu cầu học sinh vẽ hình
điểm của EC
?Nêu giả thiết ,kết luận của bài toán
E

vì
BEC
có
Học sinh :…..
D
F
MB=MC,FC=EF
?Nêu cách làm bài toán

nên MF//BE
B
Học sinh :…..;Giáo viên gợi ý .
C
M
-Cho học sinh làm theo nhóm
11


-Gọi 1 học sinh lên bảng làm
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.
?Tìm cách làm khác
Học sinh :Lấy trung điểm của EB,…
-Học sinh đọc bài toán.
-Yêu cầu học sinh vẽ hình
?Nêu giả thiết ,kết luận của bài toán
Học sinh :…..
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :…..
Giáo viên gợi ý :gọi G là trung điểm của
AB ,cho học sinh suy nghĩ tiếp
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :……..
-Cho học sinh làm theo nhóm

 AMF có AD=DM ,DE//MF nên AE=EF
1
Do AE=EF=FC nên AE= EC
2

Bài 3.Cho VABC .Trên các cạnh AB,AC lấy
1
1
AB;AE= AC.DE cắt
4
2
1
BC tại F.CMR: CF= BC.
2

D,E sao cho AD=

Giải.
Gọi G là
trung điểm
AB

A
D
E

G

F

B

C

Ta có :AG=BG ,AE =CE

-Gọi 1 học sinh lên bảng làm

1
BC
(1)
2
1
1
1
Ta có : AG= AB , AD= AB � DG=
2
4
4

-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.

AB nên DG=DA
Ta có: DG=DA , EA=EG nên DE//CG (2)
Từ (1) và (2) ta có:EG//CF và CG//EF
nên EG=CF (3)

nên EG//BC và EG=

Từ (2) và (3) � CF=

-Học sinh đọc bài toán.
-Yêu cầu học sinh vẽ hình

?Nêu giả thiết ,kết luận của bài toán
Học sinh :…..
Giáo viên viết trên bảng
?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :…..
Gợi ý :Kéo dài BD cắt AC tại F
-Cho học sinh suy nghĩ và nêu hướng
chứng minh.
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Gọi 1 học sinh lên bảng làm
-Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.

1
BC
2

Bài 4. VABC vuông tại A có AB=8; BC=17.
Vẽ vào trong VABC một tam giác vuông cân
DAB có cạnh huyền AB.Gọi E là trung
điểm BC.Tính DE
Giải.
Kéo dài BD
B
17
cắt AC tại F
E

8
1

A

D
C

2
F

Có: AC2=BC2-AB2=172- 82=225 � AC=15
�
 DAB vuông cân tại D nên �
A1 =450 � A
2
0
=45
 ABF có AD là đường phân giác đồng thời
là đường cao nên  ABF cân tại A do đó
FA=AB=8 � FC=AC-FA=15-8=7
 ABF cân tại A do đó đường cao AD
đồng thời là đường trung tuyến � BD=FD
DE là đường trung bình của  BCF nên
12


1
CF=3,5
2
Bài 5.Cho VABC .D là trung điểm của trung

ED=

tuyến AM.Qua D vẽ đường thẳng xy cắt 2
cạnh AB và AC.Gọi A',B',C' lần lượt là hình
chiếu của A,B,C lên xy. CMR:AA'=
-Học sinh đọc bài toán.
-Yêu cầu học sinh vẽ hình
?Nêu giả thiết ,kết luận của bài toán
Học sinh :…..
Giáo viên viết trên bảng

BB'  CC'
2

Giải.
Gọi E là hình chiếu của M trên xy

A

?Nêu cách làm bài toán
Học sinh :…..
-Giáo viên gợi ý :Gọi E là hình chiếu của
M trên xy
-Cho học sinh suy nghĩ và nêu hướng
chứng minh.
-Cho học sinh làm theo nhóm
-Gọi 1 học sinh lên bảng làm
Các học sinh khác cùng làm ,theo dõi và
nhận xét,bổ sung.

C'

B'

A'

D

y

E

x
B

C

M

ta có:BB'//CC'//ME(cùng vuông góc với xy)
nên BB'C'C là hình thang.
Hình thang BB'C'C có MB=MC , ME//CC'
nên EB'=EC'.Vậy ME là đường trung bình
của hình thang BB'C'C � ME=

BB'  CC'
(1)
2

Ta có:  AA'D=  MED(cạnh huyền-góc
nhọn) � AA'=ME (2)
Từ (1) và (2) � AA'=

BB'  CC'
2

III.Củng Cố
-Nhắc lại định nghĩa và các định lí về đường trung bình của tam giác , hình thang .
-Nêu các dạng toán đã làm và cách làm.
IV.Hướng Dẫn
-Ôn lại định nghĩa và các định lí về đường trung bình của tam giác , hình thang.
-Làm lại các bài tập trên(làm cách khác nếu có thể)
BTVN:
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Biết
MN =

AD  BC
CMR tứ giác ABCD là hình thang
2

Bài 2:
Cho  ABC cân ( AB = AC) Phân giác BD & CE . Gọi I là trung điểm của BC; J là trung
điểm của ED; O là giao điểm của BD & CE.
Chứng minh
a) Tứ giác BEDC là hình thang cân
b) BE = ED = DC
c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng
.............................................................................................................
13

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 13-14-15:

Ôn tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

A. Mục tiêu :
- HS nắm được năm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
+ PP đặt nhân tử chung;
+ PP dùng hằng đẳng thức
+ PP nhóm hạng tử;
+ Phối hợp các pp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên
+ Các pp khác (pp thêm bớt, pp tách, pp đặt ẩn phụ ....).
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử
để giải phương trình, tính nhẩm.
B. Chuẩn bị:
GV: hệ thống bào tập.
HS: các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Tiến trình.
Hoạt động của GV, HS
GV cho HS làm bài tập dạng 1: phương
pháp đặt nhân tử chung.
Dạng 1: PP đặt nhân tử chung:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân
tử
a )4 x 3  14 x 2 ;
b)5 y10  15 y 6 ;
c)9 x 2 y 2  15 x 2 y  21xy 2 .
d )15 xy  20 xy  25 xy;
e)9 x(2 y  z )  12 x(2 y  z );

g ) x( x  1)  y (1  x );

GV hướng dẫn HS làm bài.
? Để phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp đặt nhân tử chung ta
phải làm như thế nào?
* HS: đặt những hạng tử giống nhau ra
ngoài dấu ngoặc.
GV gọi HS lên bảng làm bài.
Bài 2: Tìm x:

Nội dung
Dạng 1: PP đặt nhân tử chung:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân
tử
a/ 4x3 - 14x2 = 4x2( x - 7).
b/ 5y10 + 15y6 = 5y6( y4 + 3)
c 9x2y2 + 15x2y - 21xy2
= 3xy( 3xy + 5x - 7y).
d/ 15xy + 20xy - 25xy = 10xy
e/ 9x( 2y - z) - 12x( 2y -z)
= -3x.( 2y - z)
g/ x( x - 1) + y( 1- x) = ( x - 1).( x - y)

Bài 2: Tìm x
a/ x( x - 1) - 2( 1 - x) = 0
( x - 1) ( x + 2) = 0
x - 1 = 0 hoặc x + 2 = 0
14

a ) x( x  1)  2(1  x)  0;
b)2 x( x  2)  (2  x)  0;
2

c)( x  3)3  3  x  0;
d ) x3  x5 .

? Để tìm x ta phải làm như thế nào?
* HS: dùng phương pháp đặt nhân tử
chung sau đó đưa về tích của hai biểu
thức bằng 0.
Yêu cầu HS lên bảng làm bài.

Bài 3: Tính nhẩm:
a. 12,6.124 – 12,6.24;
b. 18,6.45 + 18,6.55;
c. 14.15,2 + 43.30,4
GV gợi ý: Hãy dùng phương pháp đặt
nhân tử chung để nhóm các hạng tử
chung sau đó tính.
HS lên bảng làm bài.
Bài 4:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 2x + 1
b) 2y + 1+ y2
c) 1+3x+3x2+x3
d) x + x4
e) 49 – x2y2
f) (3x - 1)2 – (x+3)2

g) x3 – x/49
GV gợi ý :
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
HS lên bảng làm bài.
Bài 5:
Tìm x biết :
c)4 x 2  49  0;
d ) x 2  36  12 x

GV hướng dẫn:

x=1
hoặc x = - 2
b/ 2x( x - 2) - ( 2 - x)2 = 0
( x - 2) ( 3x - 2) = 0
x - 2 = 0 hoặc 3x - 2 = 0
x =2

hoặc x =

2
3

c/ ( x - 3)3 + ( 3 - x) = 0
( x - 3)(x - 2)( x - 4) = 0
x - 3 = 0 hoặc x - 2 = 0 hoặc x - 4 = 0
x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = 4
d/ x3 = x5.
( 1 - x)( 1 + x).x3 = 0
1 - x = 0 hoặc 1 + x = 0 hoặc x = 0

x = 1 hoặc x = -1 hoặc x = 0
Bài 3: Tính nhẩm:
a/ 12,6.( 124 - 24) = 12,6 . 100 = 1260
b/ 18,6.(45 + 55) = 18,6 . 100 = 1860
c/ 15,2.( 14 + 86) = 15,2 .100 = 1520

Bài 4:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x2 - 2x + 1 =(x - 1)2.
b/ 2y + 1 + y2 = (y + 1)2.
c/ 1 + 3x + 3x2 + x3 = (1 + x)3.
d/ x + x4 = x.(1 + x3)
= x.(x + 1).(1 -x + x2).
e/ 49 - x2.y2 = 72- (xy)2 =(7 -xy).(7 + xy)
f/ (3x - 1)2 - (x+3)2 = (4x + 2).(2x - 4)
= 4(2x +1).(x - 2).
g/ x3 - x/49 = x( x2 - 1/49)
= x.(x - 1/7).(x + 1/7).
Bài 5:
Tìm x biết :
c/ 4x2 - 49 = 0
( 2x + 7).( 2x - 7) = 0
2x + 7 = 0 hoặc 2x - 7 = 0
x = -7/2 hoặc x = 7/2
d/ x2 + 36 = 12x
x2 - 12x + 36 = 0
(x - 6)2 = 0
x-6 =0
x=6
15

? Để tìm x ta phải làm thế nào?
Bài 6
* HS: Phân tích đa thức thành nhân tử Gọi hai số tự nhiên lẻ liên tiếp là 2k + 1
đưa về dạng phương trình tích.
và 2k + 3
GV gọi HS lên bảng.
Theo đề bài ta có:
(2k + 3)2 - (2k + 1)2 =2.(4k + 4)
Bài 6:
= 8(k + 1)
Chứng minh rằng hiệu các bình phương Mà 8(k + 1) chia hết cho 8 nên
của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp chia hết (2k + 3)2 - (2k + 1)2 cũng chia hết cho 8.
cho 8.
Vậy hiệu các bình phương của hai số tự
GV hướng dẫn:
nhiên lẻ liên tiếp chia hết cho 8
? Số tự nhiên lẻ được viết như thế nào?
* HS: 2k + 1
? Hai số lẻ liên tiếp có đặc điểm gì?
* HS: Hơn kém nhau hai đơn vị.
GV gọi HS lên bảng làm
BTVN.
Bài 1: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a. x2- 3x
b. 12x3- 6x2+3x
c.

2 2

x + 5x3 + x2y
5

d. 14x2y-21xy2+28x2y2.

Bài 2 : Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) ;
a. 10x(x-y)-8y(y-x) ;
b. x(x+ y) +4x+4y ;
b. 5x(x-2000) - x + 2000.
Bài tập 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a)3x2y2 + 15x2y – 21xy2
b) 4x(x – 2y) + 12y(2y – x)
c) 4x(x + 1)2 – 5x2(x + 1) – 4(x + 1
...........................................................................................................

16


Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 16-17-18:

Ôn tập: Phân tích đa thức thành nhân tử (tiếp)

A. Mục tiêu :
- HS nắm được năm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
+ PP đặt nhân tử chung;
+ PP dùng hằng đẳng thức
+ PP nhóm hạng tử;

+ Phối hợp các pp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên
+ Các pp khác (pp thêm bớt, pp tách, pp đặt ẩn phụ ....).
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử
để giải phương trình, tính nhẩm.
B. Chuẩn bị:
GV: hệ thống bào tập.
HS: các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
IV. Tiến trình.
1. ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ.
- Yêu cầu HS nhắc lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Làm bài tập về nhà.
3. Tiến trình.
Hoạt động của GV, HS
Nội dung
GV yêu cầu HS làm bài.
Dạng 3:PP nhóm hạng tử:
Dạng 3:PP nhóm hạng tử:
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
nhân tử:
a/ xy + y - 2x -2 =(xy + y) -(2x + 2)
a ) xy  y  2 x  2;
= y(x + 1) - 2(x + 1) =( x + 1).(x - 2)
b) x  x  x  1;
b/ x3 + x2 + x + 1 =( x3 + x2) +( x + 1)
= (x2 + 1)(x + 1)
c) x 3  3 x 2  3x  9;
c/x3 - 3x2 + 3x -9 = (x3 - 3x2 )+ (3x -9)
d ) xy  xz  y 2  yz;

= x2( x - 3) + 3(x -3)
e) xy  1  x  y;
= (x2 + 3)(x -3)
2
f ) x  xy  xz  x  y  z.
d/ xy + xz + y2 + yz = (xy + xz)+(y2 + yz)
GV gợi ý:
= x(y + z) +y(y + z)
? để phân tích đa thức thành nhân tử bằng = (y + z)(x + y)
17


phương pháp nhóm các hạng tử ta phải
làm như thế nào?
*HS: nhóm những hạng tủ có đặc điểm
giống nhau hoặc tao thành hằng đẳng
thức.
GV gọi HS lên bảng làm bài.

e/ xy + 1 + x + y =(xy +x) +(y + 1)
= x( y + 1) + (y + 1)
(x + 1)(y + 1)
f/x2 + xy + xz - x -y -z
= (x2 + xy + xz) +(- x -y -z)
= x( x + y + z) - ( x + y + z)
=( x - 1)( x + y + z)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a/ x2 + 2xy + x + 2y
= (x2 + 2xy) + (x + 2y)
= x( x + 2y) + (x + 2y)
= (x + 1)( x + 2y)
b/ 7x2 - 7xy - 5x + 5y
= (7x2 - 7xy) - (5x - 5y)
= 7x( x - y) - 5(x - y)
= (7x - 5) ( x - y)
c/ x2 - 6x + 9 - 9y2
= (x2 - 6x + 9) - 9y2
=( x - 3)2 - (3y)2
= ( x - 3 + 3y)(x - 3 - 3y)
d/ x3 - 3x2 + 3x - 1 +2(x2 - x)
= (x3 - 3x2+ 3x - 1) +2(x2 - x)
= (x - 1)3 + 2x( x - 1)
= ( x -1)(x2 - 2x + 1 + 2x)
=( x - 1)(x2 + 1).

a ) x  2 xy  x  2 y;
2

b)7 x 2  7 xy  5 x  5 y.
c) x 2  6 x  9  9 y 2 ;
d ) x3  3 x 2  3 x  1  2( x 2  x).

Tương tự bài 1 GV yêu cầu HS lên bảng
làm bài.
HS lên bảng làm bài.
HS dưới lớp làm bài vào vở.

Dạng 4: Phối hợp nhiều phương pháp:
Bài 3:Phân tích đa thức thành nhân tử :

Dạng 4: Phối hợp nhiều phương pháp:
Bài 3:Phân tích đa thức thành nhân tử
c)36  4a 2  20 ab  25b 2 ;
c/ 36 - 4a2 + 20ab - 25b2
d )5a 3  10a 2b  5ab 2  10a  10b
= 62 -(4a2 - 20ab + 25b2)
= 62 -(2a - 5b)2
GV yêu cầu HS làm bài và trình bày các =( 6 + 2a - 5b)(6 - 2a + 5b)
d/ 5a3 - 10a2b + 5ab2 - 10a + 10b
phương pháp đã sử dụng.
= (5a3 - 10a2b + 5ab2 )- (10a - 10b)
- Gọi HS lên bảng làm bài.
= 5a( a2 - 2ab + b2) - 10(a - b)
HS dưới lớp làm bài vào vở.
= 5a(a - b)2 - 10(a - b)
GV yêu cầu HS làm bài tập 2.
= 5(a - b)(a2 - ab - 10)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
a ) x 2  y 2  4 x  4 y;
a/ x2 - y2 - 4x + 4y
b) x 2  y 2  2 x  2 y;
= (x2 - y2 )- (4x - 4y)
3
3
c ) x  y  3 x  3 y;
= (x + y)(x - y) - 4(x -y)

d )( x 2  y 2  xy ) 2  x 2 y 2  y 2 z 2  x 2 z 2 ;
= ( x - y)(x + y - 4)
e)3 x  3 y  x 2  2 xy  y 2 ;
b/ x2 - y2 - 2x - 2y
= (x2 - y2 )- (2x + 2y)
f ) x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  1.
? Có những cách nào để phân tích đa thức = (x + y)(x - y) -2(x +y)
= (x + y)(x - y - 2)
thành nhân tử?
3
3
*HS: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng c/ x - y - 3x + 3y
18


= (x3 - y3 ) - (3x - 3y)
= (x - y)(x2 + xy + y2) - 3(x - y)
= (x - y) (x2 + xy + y2 - 3)
e/ 3x - 3y + x2 - 2xy + y2
= (3x - 3y) + (x2 - 2xy + y2)
= 3(x - y) + (x - y)2
= (x - y)(x - y + 3)
f/ x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y + 1
= (x2 + 2xy + y2 )- (2x + 2y) + 1
= (x + y)2 - 2(x + y) + 1
= (x + y + 1
*Bài tập 5:
*Bài tập 5:
2
2

a) x – y + 2x + 1
a) x2 – y2 + 2x + 1 = (x2 + 2x + 1) – y2 =
b) (x2 + 9)2 – 36x2
(x + 1)2 – y2 = (x + 1 + y)(x + 1 – y)
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
b) (x2 + 9)2 – 36x2 = (x2 + 9 + 6x)(x2 + 9
d) x3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 = (x – 1)3 – y3
– 6x) = (x + 3)2(x – 3)2
e) (x2 – 2x + 1)3 + y6
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x – y)2 –
g) x4y4 – z4
(z – t)2 = (x – y + z – t)(x – y – z + t)
h) – 125a3 + 75a2 – 15a + 1 = (1 – 5a)3
d) x3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 = (x – 1)3 – y3 =
(x – 1 – y)[(x – 1)2 + (x – 1)y + y2]
e) (x2 – 2x + 1)3 + y6 = (x – 1)6 + y6 = [(x
? Có những cách nào để phân tích đa thức – 1)2]3 + (y2)3
thành nhân tử?
= [(x – 1)2 + y2] [(x – 1)4 – (x – 1)2y2 + y4]
*HS: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng g) x4y4 – z4 = (x2y2)2 – (z2)2 = (x2y2 + z2)
thức, nhóm , phối hợp nhiều phương
(x2y2 – z2)
pháp.
= (x2y2 + z2)(xy + z)(xy – z)
- Yêu cầu HS lên bảng làm bài
h) – 125a3 + 75a2 – 15a + 1 = (1 – 5a)3
* Bài tập 6:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
* Bài tập 6:
x4 + 4 = (x2)2 + 22 + 2.x2.2 – 4x2 = (x2 +

Phân tích đa thức thành nhân tử:
2)2 – 4x2
a/ x4 + 4
= (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 +2x)
b/ x4 + 16
GV:
Sử dụng phương pháp thêm bớt cùng
một hạng tử
thức, nhóm , phối hợp nhiều phương
pháp.
- Yêu cầu HS lên bảng làm bài

BTVN: B 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a.8x3+12x2y +6xy2+y3

d. x2 - 2xy + y2 - z2

b. (xy+1)2-(x-y)2

e. x2 -3x + xy - 3y

c. x2 - x - y2 - y
f. 2xy +3z + 6y + xz.
......................................................................................................

19


Ngày soạn:
Ngày dạy:

Tiết 19-20-21:

Ôn tập: Phân tích đa thức thành nhân tử (tiếp)

A. Mục tiêu :
- HS nắm được năm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
+ PP đặt nhân tử chung;
+ PP dùng hằng đẳng thức
+ PP nhóm hạng tử;
+ Phối hợp các pp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên
+ Các pp khác (pp thêm bớt, pp tách, pp đặt ẩn phụ ....).
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử
để giải phương trình, tính nhẩm.
B. Chuẩn bị:
GV: hệ thống bào tập.
HS: các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
IV. Tiến trình.
1. ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ.
- Yêu cầu HS nhắc lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Làm bài tập về nhà.
3. Tiến trình.
Hoạt động của GV, HS
Nội dung
GV yêu cầu HS làm bài.
*Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành
nhân tử: a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3
– 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= [(a + b)3 + c3] – [3ab(a + b) + 3abc] =
GV gợi ý:

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] –
Phối hợp các phương pháp trên
3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [ a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2
GV gọi HS lên bảng làm bài.
– 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
*Ví dụ 2:
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: *Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai)
(sử dụng phương pháp tách 1 hạng tử
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x –
thành nhiều hạng tử)
2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
2
3x – 8x + 4
*Cách 2: (Tách hạng tử thứ nhất)
GV:
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x –
Đa thức trên không chứa nhân tử chung, 2)2 – x2
không có dạng một hằng đẳng thức đáng = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) = (3x – 2)(x –
20


nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng
tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức
có nhiều hạng tử hơn.
GV yêu cầu HS lên bảng làm bài.
HS lên bảng làm bài.
HS dưới lớp làm bài vào vở.

2)
*Nhận xét: Trong cách 1, hạng tử - 8x
được tách thành hai hạng tử - 6x và –
2x .Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 , hệ
số của các hạng tử là 3; - 6; - 2; 4. Các hệ
số thứ hai và thứ tư đều gấp - 2 lần hệ số
liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử
chung x – 2
*Một cách tổng quát: Để phân tích tam
thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân
tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao
b1

*Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành
nhân tử:
4x2 – 4x – 3
GV yêu cầu HS làm bài và trình bày các
phương pháp đã sử dụng.
- Gọi HS lên bảng làm bài.
HS dưới lớp làm bài vào vở.
GV yêu cầu HS làm ví dụ 3 .

c

cho a  b , tức là b1b2 = ac.
2
Trong thực hành ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm tích a.c
-Bước 2: Phân tích tích a.c ra tích của hai
thừa số nguyên tố bằng mọi cách.

-Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng
b.
Trong bài tập trên, đa thức 3x2 – 8x + 4
có a = 3 ; b = -8 ; c = 4 . Tích a.c = 3.4 =
12
Phân tích 12 ra tích của hai thừa số , hai
thừa số này cùng dấu (vì tích của chúng
bằng 12), và cùng âm (để tổng của chúng
bằng – 8)
12 = (-1)(- 12) = (-2)(- 6) = (- 3)(- 4)
Chon hai thừa số tổng bằng - 8 , đó là 2 và - 6 .
*Ví dụ 3:
Cách 1: (tách hạng tử thứ hai)
4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3 = 2x(2x
+ 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x – 3)
Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x –
1)2 – 22 = (2x – 1 + 2)(2x – 1 – 2)
= (2x + 1)(2x – 3)
*Nhận xét:
Qua hai bài tập trên, ta thấy việc tách 1
hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường
nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đo mà
xuất hiện nhân tử chung (cách 1)
-Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương
(cách 2)
Với các đa thức có từ bậc ba trở lên, để
dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ,
người ta thường dùng cách tìm nghiệm

21


*Ví dụ 4: Phân tích các đa thức thành
nhân tử:
a) x2 – 6x + 5
b) x4 + 2x2 – 3
GV:
Đối với mỗi bài ta có thể biến đổi và giải
theo nhiều cách khác nhau:

- Yêu cầu HS lên bảng làm bài

*Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành
nhân tử: (Sử dụng phương pháp thêm
bớt cùng một hạng tử)

của đa thức.
*Ví dụ 4:
*Cách 1: x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 =
x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5)
*Cách 2: x2 – 6x + 5 = x2 – 6x + 9 – 4 =
(x – 3)2 – 22 = (x – 3 – 2)(x – 3 + 2)
= (x – 5)(x – 1)
*Cách 3: x2 – 6x + 5 = x2 – 2x + 1 – 4x +
4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 – 4)
= (x – 1)(x – 5)
*Cách 4: x2 – 6x + 5 = x2 – 1 – 6x + 6 =
(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)(x + 1 –
6)

= (x – 1)(x – 5)
*Cách 5: x2 – 6x + 5 = 3x2 – 6x + 3 – 2x2
+ 2 = 3(x – 1)2 – 2(x2 – 1)
= (x – 1)(3x – 3 – 2x – 2) = (x – 1)(x – 5)
*Cách 6: x2 – 6x + 5 = 5x2 – 10x + 5 –
4x2 + 4x = 5(x – 1)2 – 4x(x – 1)
= (x – 1)(5x – 5 – 4x) = (x – 1)(x – 5)
*Cách 7: x2 – 6x + 5 = 6x2 – 6x – 5x2 + 5
= 6x(x – 1) – 5(x – 1)(x + 1)
= (x – 1)(6x – 5x – 5) = (x – 1)(x – 5)
b) x4 + 2x2 – 3
*Cách 1: x4 + 2x2 – 3 = x4 – x2 + 3x2 – 3 =
x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
*Cách 2: x4 + 2x2 – 3 = x4 + 2x2 + 1 – 4 =
(x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
= (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
*Cách 3: x4 + 2x2 – 3 = x4 + 3x2 – x2 – 3 =
x2(x2 + 3) – (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
*Cách 4: x4 + 2x2 – 3 = x4 – 1 + 2x2 – 2 =
(x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 1 + 2) = (x – 1)(x + 1)(x2 +
3)
*Cách 5: x4 + 2x2 – 3 = x4 – 9 + 2x2 + 6 =
(x2 – 3)(x2 + 3) + 2(x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 3 + 2) = (x2 + 3)(x – 1)(x +
1)
*Cách 6: x4 + 2x2 – 3 = 3x4 – 3 – 2x4 +
2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)

= (x2 – 1)(3x2 + 3 – 2x2) = (x – 1)(x + 1)
(x2 + 3)
*Ví dụ 5
a) x4 + 64 = (x2)2 + 82 + 2.x2.8 – 16x2 =
(x2 + 8)2 – 16x2
22


a) x4 + 64
b) x5 + x4 + 1

= (x2 + 8 – 4x)(x2 + 8 + 4x) = (x2 – 4x +
8)(x2 + 4x + 8)
b) x5 + x4 + 1 = (x5 + x4 + x3) – (x3 – 1) =
? Có những cách nào để phân tích đa thức x3(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)
thành nhân tử?
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)
*HS: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng
thức, nhóm , phối hợp nhiều phương
pháp.
*Ví dụ 6:
- Yêu cầu HS lên bảng làm bài
a) (x2 + 2x)(x2 + 2x + 4) + 3
Đặt x2 + 2x = t
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân Đa thức trên trở thành:
tử: (Sử dụng phương pháp đổi biến)
t(t + 4) + 3 = t2 + 4t + 3 = t2 + t + 3t + 3 =
a) (x2 + 2x)(x2 + 2x + 4) + 3
t(t + 1) + 3(t + 1) = (t + 1)(t + 3)
2

2
2
2
b) (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x
Thay t = x2 + 2x , ta được:
CG:
(x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 3)
Đặt x2 + 2x = t
b) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
Đặt t = x2 + 4x + 8
Đa thức trên trở thành:
t2 + 3x.t + 2x2 = t2 + 2tx + x2 + x2 + xt = (t
+ x)2 + x(x + t) = (t + x)(t + x + x)
= (t + x)(t + 2x)
Thay t = x2 + 4x + 8 , ta được:
(x2 + 4x + 8 + x)(x2 + 4x + 8 + 2x) = (x2 +
5x + 8)(x2 + 6x + 8)
* Ví dụ 7:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân a) x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 –
tử: (Sử dụng phương pháp đổi biến)
x2 + x + 1
a) x5 + x + 1
= (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + (x2 + x +
b) x8 + x4 + 1
1)
GV gợi ý:
= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + (x2 + x
Phối hợp các phương pháp
+ 1)
GV gọi HS lên bảng làm bài.

= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
b) x8 + x4 + 1 = x8 + x4 – x2 + x2 – x + x +
1
= (x8 – x2) + (x4 – x) + x2 + x + 1
= x2(x6 – 1) + x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x4 – x2 + 1)
BTVN: Bài tập 1: Tìm x, biết:
a) x2 – 10x + 16 = 0
b) x2 – 11x – 26 = 0
c) 2x2 + 7x – 4 = 0
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
b) a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2)
c) a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
*Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
23


a) x2 + 7x + 12 ; b) 3x2 – 8x + 5
c) x4 + 5x2 – 6 ; d) x4 – 34x2 + 225
.......................................................................

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 22-23-24:

Ôn tập: HÌNH BÌNH HÀNH

A. Mục tiêu:
- Củng cố : định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

- Rèn kĩ năng chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
B. Chuẩn bị:
- GV: hệ thống bài tập.
- HS: kiến thức về hình bình hành: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết.
C. Tiến trình.
1. ổn định lớp.
2. Kiểm tra bài cũ.
- Yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
*HS: - Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
 Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
3. Bài mới:
Hoạt động của GV, HS
Nội dung
GV cho HS làm bài tập.
Bài 1: Cho tam giác ABC, các trung tuyến
BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là điểm dối Bài 1:
xứng của điểm M qua G. Gọi Q là điểm
B
đối xứng của điểm N qua G.Tứ giác
MNPQ là hình gì? Vì sao ?
P

- Yêu cầu HS ghi giả thiết, kết luận, vẽ
hình.
*HS: lên bảng.
GV hướng dẫn HS cách nhận biết MNPQ

là hình gì.
? Có những cách nào để chứng minh tứ
giác là hình bình hành?
*HS: có 5 dấu hiệu.
? bài tập này ta vận dụng dấu hiệu thứ
mấy?

N
Q
C

M

A

Ta có M và P đối xứng qua G nên GP =
GM.
N và Q đối xứng qua G nên GN = GQ
Mà hai đường chéo PM và QN cắt nhau tại
24


*HS; dấu hiệu của hai đường chéo.
GV gọi HS lên bảng làm bài.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy hai
điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và CD sao
cho AE = CF. Lấy hai điểm M, N theo thứ
tự thuộc BC và AD sao cho CM = AN.
Chứng minh rằng :
a. MENF là hình bình hành.

b. Các đường thẳng AC, BD, MN, EF
đồng quy.
GV yêu cầu HS lên bảng ghi giả thiết, kết
luận
*HS lên bảng.
GV gợi ý:
? Có những cách nào để chứng minh tứ
giác là hình bình hành?
*HS: có 5 dấu hiệu.
? bài tập này ta vận dụng dấu hiệu thứ
mấy?
*HS : dấu hiệu thứ nhất.
GV gọi HS lên bảng làm bài.
Bài 3:Cho hình bình hành ABCD. E,F lần
lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) C/m 3 đường thẳng AC, BD, EF đồng
qui.
c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF
theo thứ tự là M và N. Chứng minh tứ
giác EMFN là hình bình hành.
- Yêu cầu HS lên bảng vẽ hình, ghi giả
thiết, kết luận.
GV gợi ý:
? DEBF là hình gì?
*HS: hình bình hành.
? Có những cách nào để chứng minh một
hình là hình bình hành.
*HS: có 5 dấu hiệu.
GV gọi HS lên bảng làm phần a.

? để chứng minh ba đường thẳng đồng
quy ta chứng minh như thế nào?
*HS: dựa vào tính chất chung của ba
đường.
Yêu cầu HS lên bảng làm bài.
Bài 4: Cho ABC. Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của BC,AC. Gọi H là điểm đối

G nên MNPQ là hình bình hành.(dấu hiệu
thứ 5).
Bài 2:
E

A

B
O

N

M

D

C

F

a/Xét tam giác AEN và CMF ta có
AE = CF, A = C , AN = CM

AEN = CMF(c.g.c)
Hay NE = FM
Tương tự ta chứng minh được EM = NF
Vậy MENF là hình bình hành.
b/ Ta có AC cắt BD tại O, O cách dều E, F.
O cách đều MN nên Các đường thẳng AC,
BD, MN, EF đồng quy.
Bài 3:
A

E
M

B

O

N
D

F

C

a/ Ta có EB// DF và EB = DF = 1/2 AB
do đó DEBF là hình bình hành.
b/ Ta có DEBF là hình bình hành, gọi O là
giao điểm của hai đường chéo, khi đó O là
trung điểm của BD.
Mặt khác ABCD là hình bình hành, hai

đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD nên O là
trung điểm của AC.
Vậy AC, BD và EF đồng quy tại O.
c/ Xét tam giác MOE và NOF ta có O = O
OE = OF, E = F (so le trong)
MOE = NOF (g.c.g)
ME = NF
Mà ME // NF
Vậy EMFN là hình bình hành.
Bài 4
25