Đặc trưng đại số và vấn đề chính qui hoá toán tử kì dị với dịch chuyển và liên hợp phức trong không gian banach luận án PTS vật lý62 44 01 01

30'DiiI HOC Vi TRUNG HOC GHUYEÏÏ NG^iîSP
Tn-iW- j j i hçc 1*on^, h(?n Hançl

^l^ujln vSn M(lu

V-^-f/^
D.TC TRl^G D j î SÔ V" XrtlT DE CRIÏÏR :UT
HOÎ TOUT TL^KTf DI Vdl D | C H CIIOYEÎT VA
LÎÊÎT RÔT VWC TROm KHÇHG GI.UT-B.^F.ACH
iÇLu^n ^n pho t i ^ n s i T o a n - l j )

Ha noi 1982


McP du

Tron^ l y t h u y ^ t va ap dying, r a t nniốu b ? i t o a n cuo V^t
l y t o a n , cuo co' hỗc va kv t h u ^ t du'ỗ'c dõn ve C3C phiPc^n^^ t r l n h
t i c h phõn ky dj. vd'i dj-ch chuyộn m
[5]
Lcằp c ' c
phu'o'ns t r l r h nhiT v ^ , d l n naj diPỗ'c n(^hien cim tu'o'n-:: d ộ i ho an
chinh ve mgt d^nh t ợ n h , Gy t b e l a da tlrn duằỗ^c c ' c t i ờ u . cbuan
Noether va c h l se eu:: chuns f ^ 3
. Cac k ộ t qug ny t h w n :
0:^3 t r ờ n nhỷ^n:^ phep b i e n d ố i k i ố u t u y ộ n t i n h '^ờ &v?3 cac
phiợ'-^'rii^ t r i n h d? cho VG lo'p hỗ phu'o'nf;^ t r i n h co cõu t r u c dc^n
g i õ n ho'n (khụnc chu'a d}.ch c h u j ờ n ) . D\^'B t r ờ n c ' c phTjPcm phap ,
ngy thu'ụ'ng khụn^ t i m di:?ỗ'c t o a n tu' c h i n h quy d o i vo'i phu'oằng
t r i n h d i cho nỗt cgch hu'VL h i ỗ u . ^ i vP^y, b a i t o a n c h ợ n h qi::y
hoa t o a n tu? t ợ c h phõn ky dj. chu'a c'i.ch chuyộn va l i e n hỗ^p phiợc

t r o n ^ tru'o'ng :-ỗằp t o n g g u a t , dộn nay vi>xi chJa d^j^ỗ'c :-^iai q u y ộ t .
U'.ỗt v i t r w n c hỗ*p r i e n ; ; r e d^ du'gằc x ộ t tronf^ C l 3 l - C l 5 ] .
Trons^ C163 da cho raỗt phiTo'ng phap c h m h quy -k^* v^ ^ ô * *e^-ố^.
k i ờ u Gốrlenan - Vela^a C l 3 - T ợ j t u y n h i ờ n , mĐt b i e n thu'c
tu'oằng minh cua t o a n tu: c h i n h quy vờn chu'a dira r a . '^An de chxn^
quy hoa v* b:L t o a n xac j.nh b i ờ u thi'ù*c ciia t o a n tu' c h ợ n h quy
co -nầt y ngaùa l y t h u y ờ t v? t b / c t i e n quan tri)nr^. Tru'o^c h e t ,
no cho phep t x n t i ờ u chuõn Noether va chu'nợ^ minh cac dj.nh l y
Koether tifcn^ u'ng ve c h i s e , IMoõi r a , nho' c h m h cuy hoa raa t a
co t h ờ ^ i a i gl.n dun.^^ cac lo^) ph'fo'ti^ t r i n h chit'g dj-ch chuyờn va
l i e n hỗ^ phit*c dgn^ tonp^ q u a t . Tronj^ con^ t r i n h n y , chunr: t o i
dg c h i ra nầt l o g t cac phiPo'nÊ^ phap c h m h quy hoa khac nhau
d o i vdằi If^ t o a n tif t i c h phõn ky dj. chu'a dợ-ch chuyờn va l i e n
hỗ^ phu'c t|io,r"^3n d i e u fciỗn Cgrleman ton^; q u a t , !T.:~;oi r a , da
t i m du?ỗ)*c mỗt SO dgc trirn^; d^ji s S cua lo*p t o a n ttf kf? t r e n .
Tri.t*o'ng hỗ^p r i ờ n ^ , da chu'ng minh du^c rSng mpi t o a n tu' nhu? v^y,
d i u I s nhi?ng t o a n tir dgng d a i se t r ờ n


- 4 -

càc t i ê u chuêû Noether cuag uh\^ c h i so cui* lû>p t o a s t u
chûa nhôm hûm h^n cac d i c h chuyêii va l i e n h<^ phiic ( 1 2 ,
ch. IV).
M ^ d i c h cùa chi?o>ng I I l à nhàm t h i e t Igip CdC
d|[c tnfug d^i se cua t o a n t u t u y e n t i r : h vc;i paàii tu' d a i
s e . Trong d o , dZ dUa ra k h a i iai^m J(Eo da thuc d^c tru»ag
t\?a ahM d3 t h u c dgc tru'ag cua ma trgL&. l^hb k h a i ^liêm bo
dàc tnrni^ «êft t r ê * éSt ahung vành t u y é û t i a h g i a o hoaa
( d a i se g i a o hoan) da g i a i qujilt dutfc b a i t o a » c h i a h quy

wà tia*! tuc^ng d^tfag Noether cua n h i l u lo»p t o a n t u . % o à i
?ra, trorig § 3 c u n chuo»ng ^^^7 co^^ "^^ c|lp to'i t i ê u chuâa
lîioether simh bô^i mçt di-iah t h u c cac à o a a t u vo?i phàn t u
d o i àçi»p t o a g q u a t . Mot v à i triPc^ng hç^) r i ê n g da duç»c
chung t o i x e t dén tru^OJc do t r o n g C 3 1 l '
Toaa b§ chUo»i:g I I I dàah cho v i ^ c xây dtfag cac
t i ê u chuân kh^j nghj.ch va xây dy'og t o a n t u c h m h quy d o i
vo'i mçt da thUc chua t o a a t u d a i se va hàu d^ii s o . Gaa i
l u u y r â û ^ , CiC b a i toafi lo;3i này di^ duvc x é t troiag mçt
lOiiit c^c côiit^ t r i n h cua Przworska - Holewicz 13. (xem fô]
[7] va t r i c h dân trorig d o ) , oong dac diêm c h i n h t r o n g cac
côiig t r l f î h kê t r ê n l à da g i a t h i é t t i a h b a t b i e n cûa iiç
30 ( t r o a g da thUc) d o i viyi t o à a t û d # i so da c h o . 0 d â y ;
cac g i a t h i é t do duç'c chung t o i t h a y bô'i nhirïig gxa t h i é t
yeu ho»» (xem s 1 , c h . I I I ) va cujag nh^Ja dUv'c cac b i ê u
thu-c ttfoPag miah cua t o a a t u c h i n h quy.
tài^ u
TroJig chUo^ng IV, chu: g t o i dành cho v i ^ c ap
dïiiig c j c k e t qua ishân duç?c t r o a g c ' c chuo'ng I - I I I cho
ahu^iag 1 ^ toaffl tïff cy t h ê khac nhau. Ghvir-g t o i x i n t|im
l i $ t kê dUQ^i dây ahur.g k e t qua dl^ t h u duç'c t r o n g chUo'ng
jftay ma chu«g t o i xem l à mo'i so vo'i nhûag k é t quij d^ nh^H


% . ^ -

duỗ?c truoằc do Cua thiốu t ' i c g l a .
-%uv

(^^ cac ù^ao

trợ),

1) Doi vo'i moi t o a a t u t i c h phõn k l dj. vo'i
di.ch c h u y i a v*d l + ^ ' h ' p ù p h u c , dốu tốjK tgii mỗt toaii t\V
t i c h phõa ky dj. ( t r ờ n cuag mĐt khụằs g i a n Banach) tud'ng
dUo'Bg vd'i jao ( t h e o nghia N o e t h e r ) . Luu y r<|ng, t]?u'0'c dõy
nguo'i t a rno^i c a i d\?a^ duo^3 t o a a t ỷ l o a i ny t r o a g Ic^ hĐ
A toam t ỷ t i c h phõn ky dJ. (xem [ 4 l ) . (myc c)
11).
2) Xõy d^ag cac dởc t r u ằ g
t i c h phõn ky d i v ỷ i d i c h chuyờa, v ỷ i
ahõa hụn. t j p . Gy t h ờ l a õ.a dung duvc
t r u n g cỷa chỷis^g t r ờ a ahỷng vnh khc

d a i so cuô t o a n t u
nuõ^ l ụ g a r i t va
cc bo da tnỷc d|i.c
ahau (Đ 2 va i ^ ) .

5) ^õy dùPa^ cac b i ờ u t h ỷ c tucfag miah euằ cc
t o a tu' chijoh quy va t h i ộ t l ờ p niội l i e a hỗ dc?a g i a a giUa
chỷag v6ằi cc t o a a t u da cho (Đ 2 va i 3 ) .
4) xc d i a h cc t i ờ u chuõa Noether va ch^ se
cỷa Qiờt d i a h t h ỷ c coc t o ^ t u Cauchy t r ờ n b i S a doag
(ayc b
il).
5) xc d i a h cc t i ờ u chp.õa Noether va c h i se
cua lo^) t o a t u v ỷ i ahom huu h f a cc d i c h chuyờa va l i ờ a
hỗfp phỷc ( i 2 )

cc k ộ t qua t r o a g cụiag t r l a h a i y da duỗ?c t r l a h
by t r o a g xởmiaar khoa hỗc :
1) "Phuc^ng p h i p v|it l y t o a "

cỷa Viga Toa

hpc,
2) " PhUtfag trlrdh v õ t l y t o a * cỷa cc


- >

-

trUG^ag Dai hçc Toag hyp va Dai hçc -^àch khoa (do cac pho
g i a o su Nguyori thûa liçï» va Nguyên d l n h T r i chû t r i ) .
^
3) " Phuo^^g t r l a h dao hàm r i ê a g " cûa
î c ^ a j i ç c (do t i c a s i Tràn duc Vâa chû t r i ) .

Viçii

4) " G i a i t i c h p h i tuyén " cûa truo'jag Dai hoc
Toag hc?p Ha a ô i va dâ bào cào t a i càc h ç i nghi khoa hçc :i
1) Dai hçc Toag hç>p Hà a ç i : nâm 1977 , 1978 ,
1979 , 1981.
^^^

2) Viêa Toàïï hçc : aSm 1980 , ISB^^A^BZ.
î*^t s ô k e t qua co» h^ti da duç»c thông bao t r o n g

- r32].

W^

;>i|r:>';vl


7 -

Ghuo'aK I

Ly t h u y ộ t Noether cỷa mot i c p t o a t u tuyen t i n h vcPi cc
4 i c h chuyờn c h i s o .

i 1 . Dieu k i ờ a I^oetner cua mot l 6 ^ t o a n t ỷ
tuyộn t L i h vd'i mot d i c h chuyờxi c h i s e .
Ky h i ờ u , d l n h OKhia vm cac t m h chlit co'
bar^ CUJ toafi t u Noether troaR khụn^ ^ia^i Banach.
Gia su P l mot khụng g i g a Banach. Ơ.y n i ỗ u
Ê(B) , d(B) l n l u ỗ t l cc d^i so B^nach cc t o a n
t u t u y ộ n t i a h gio'i a ỗ i va idờa& h a i p h i a CQC t o n t u
hon t o a l i ờ a t y c t c dyng t r o n g ậ . Ta l u ụ n l u ụ a g i
t h i ộ t mien xc d i ^ h cua cc t o a t ỷ t r o n g iC (B) , p (B)
l a ca khụng g i a a â. Ky h i ỗ u lỷằp tuciag ducPng s i n h boằ! .
pha t ỷ A e-^Cft) troÊig d a i se thuo'ag r-ùfC6)] =-^ỗ*)/^<^*^'

li

U>

Bimh aRhia 1.1 : Gi su A C . Nộu t o ai
t f i tois t ỷ R t. -^Ce;
sao cho R:\ = I + D (/^E = I + D)
t r o a g do I l dỷằa v i cỷ^ d a i so iC(â) ; D e ;; C6; t h l
toja t u E duỗ^c g ỗ i l c h i a h quy t r i ( p h i ) cỷa t o ^ t ỷ
i . Neu R dốag tho^iiụ l c h i a h quy t r i va p h i cỷa A t h l
g ỗ i S l toa'n t ỷ , c h i a h quy h a i p h i a .
' . . j te-;.^ filnh mik l y 1>1 TSl . Ton t ỷ A Ê .2(6^ co
c h i n h quy t r i ( p h i ) khi va c h i k h i Icfp tuvj^ngt^rl ] kh


- e %.^. *

aghich tri (phi) trong fi^(ằ) J
..>i;,

/

Gac khong giaỷ doi ugõu cua \B va toan tu
liờa hdug'c ky higu ln lug^ bỷi ^*
va /^l*.
-^ '

Diah a^hla 1.2 [4] . 1) Ton tỷ A ÊitCB)
duỗằc gỗi'l glai chuõa Hausdoff (gỗi tõt l gii chuõn)
aộu phuo'ng trlah khụmg thun nhõt : Axs-f
; x f C &

giai duỗằc khi va chi khi f trtfc giao vo^i ker A *
ằ *ol
chicacb khc : u(f)9 0 ỷag voằ! mỗi u ộ i^^^-A*
'2) Toa tỷ A ^ ^ ( 6 )
duỗ'c ^ỗi l toa tỷ
Noether aộu cc dieu kiỗ^ii sau day ỷxtỗ^ tho^ maa.:
a)

ô
^
A la
toatu giai chuõn
ML

b)

re

(* s '^'m kễA, A

<

; o^

X dui^ kiK A

^
3) Khi A la toan tu Noether thi kxf^u '^j^'^^*
se duVc gỗi l chi so cua toa tu A va ky hi$u :

ằi ..
Truoằmg hỗằp riờng, khi
^' dU^c gỗi l ton tu -i:redholm.

1i*%A A r 0

thi ~^ se

Kj higu J(JB) l tõp h;)'p cc ton tỷ Noether
trong ^iiib)
Trong cac phõn sau, ta se su dvitug cc *
tinh chit sau ^ cỷj cc ton tỷ i^oether (^cem cngng h^a

1%] hQõc re] :
Tinh chat 1 : Nộu A Ê PCờ) va

D^C

'^'^^'^- ^'^iâh chat

2 :

De A là toàn tû Noether, dieu

kiçn QQM va dû là m$t trong càc dilu kiça s«u dây duçic thôa
man x-^ ,

1) S éiilé% co chinh quy ca hai phia .
2) To.a t f i càc tuaa tû 8.^ g ^ X/C*)

Tiah chat 3 :

Già su

A £ ^(§j

^^^ ^^<^*

co **«4î càc

chifîLh quy t r à i va phai tucfr^g ûng là E^ va S^ . Khi do

'^^^
vi " y *

Tiah chat » : N|U A.g £ J * i ^

thl

'V* t î*^*-^

?inh ciiât 5 : Neu k khs nghich thl A là toàa tu
Fredholm.

*•

•

bi Tiêu chuân Noether cûa toàn tu tuyéa tinh vo^i mot

dich chuyén
chuyéj chi se.
Gi i su

- :.
A: é cif ;.IB) ; J " I Z - Î » - - - ! n

-, * ^ '

Li -, jf = ^,a*wif A

.t|ci i

'

•

. Ky hi^u

-,

•'•* ^^*^ toan t u dang sau :
^:i? £j^,.
Kffi


.- 10 ^

•troag ^
éf >^i>*-- > tn

d ô i mçt cua phuo'eg t r i n h

^

Nhên x e t rang

I s nhûng nghiçm khàc i.hau -cûag,
i " ^ - 1 • Kiii do cKort

U

.t: 1^; \ i=<3j i > - '

Ky higu <f^-s c-ii a.>^.-, >v^
la bç n so ty
ahiêa dàu tien sâp theo thû ty? tâag dan va già su :
(Ti^^
h ,

•

(r(«),6"a)>- iCLy^))

•

£là mçt h^vàa v i n i o do cua

€^-

Diah nghia 1.3 : Biéa d o i (^ duç'c g ç i l à

d i c h chuy^u cûa
t^
néu no thoa man cac d i e u ki|î^ sau

1) ^ ^ j ) « J t l j p

f,A,,-. i n - 1

2) rcO = i
Nhan xét ris*'', néu dinh nghia 6' ^(>C€
va


dào cûa

thl

e^^

)

là bien doi m^^ich

r (^ r6"'£^s-6^"*r£^ = ^,v)

^^

Già su a<>aj,.,,j û^
là ahûag phàn tû khà

aghich tûy y trong ^^ig) va KAyH^,^^-, Ry,
1^^
lUg^ là ahûag phàa tu aghich dào cua chûng.
Ky hiêu

M s

\\ M^s. j) '*'

là ma trgn


- 11 —

vuôag

Axo*

M

» *romg do :
R;

Ôî. A

(LZ)

n

Nhân xét r i n g , khi do M ^ ^L^'^)

(vûi t*'^
là t i c h
De càc cûa nte>Sijâ£khong giafi tB).
Û*ûg vûi càc toàn tu L^, L/-• ^ M
trong 4l«C')'
( 1 . 2 ) , ta xét càc phucng t r i n h tuyén t i n h sau dây :

M I -r F

VC?1

troag do

\

^ v *

t

s.i.

(*1> •*)»~) K ) «
^

I " *'*•

/


- 12 -

lâti trâa M duç»c gçi la ma trâ.^ tuc^ag ûag sinh bûi
toàa tû Irf^ . oàc toàa tu L:
duç»c gçi là nhûng toàn
tu kem theo cua L .
Dinh ly 1.2 : PhUO»ng trinh (1.3) giai du^c
(co aghiçm) trong IB khi va chi khi phuo'ng trinh (1.5)
giai duç»c trong *B^.
Chung minh
( fi ^
Gia su phutfng trinh (1.3) giai dug^c va {
mçt aghiêm nào do cua (1.3) • Khi do

la

yi

Tù dây suy ra

2 - L îft- A

..K"" ^i"^ ^ ^ i i ; v= •.-«i-.^x.

Vêy vécto»
<i> =(lfi«f>fliif^-, Q „ f ^
se là asWçm
Dieu nay chUng to phUû'ng t n a h (1.5) giai duç?c.

cûa (1.5

Nguç'c lai, già su ^^3 i^+o tiî— > ^Tv)
1^
aghiçm cua phUo^ng trinh (1.5). Ta se chûng minh (1.3)
co aghi|m trong (B.
Truccc hét, bâng càch kiên tra trg?c tiép, ta
co thê chi ra rang càc véctc sau âê^ cung se là aghi|m ^
cûa (1.5) :

• - *A \\» Ui,' ^.%\M. >-' ^> U.,i-;.,1
j[x lu,...,-a


- 1Î -

.^ --.

Ta se kiêm aghiêm^chSn^ hai;' dlàr v&i ^'f*-. 'càc
Vectc^ con lai , kiêm tra hoàn toàn tuo'ng t^.
TÛ già thiét

^^

là nghiçm cûa (1.5) , suy

ra :

i<.»;

Ip làn luç»t Û^R*., Û^Rj^—J Qi*vào

hai vé cua càc dâng thûc thû nhât, thû hai, ••• , cuoi
cuag cua (1.7) ta nh^a dUç'c cac dâng thUc sau :

^i\*'
«
Thay doi thu ty? cac
doag
trong (1.8) (theo
hoan vj. vông quaah) se co :


^4 -

SSp xép lai thû t\f càc so hang trong tûag doag
cûa (1.1') theo thû t\;? tâng dàn cûi chi so dûng duûi chû
R , ta co :

TÛ dây suy ra vectc? ^
aghi^m cûa (1.5)*

trong (1.5) là

Nhân xét ring vécto» f-± f ^|)V ^% '"t j ' ^ ^
cuag là aghiçm cua phuo^ag trlah (1.5)« TÛ (X.6) , de
diag tinh duç^c càc tça dç cua 4*':

^i=* «.( V(.. ^.%- h\, i'V)-- v%) Vv^O
0

- 15 -

TÛ già thiét doi vûi bien déi C
1»3) ta qjiy ra- : ^^^

(dinh nghia

troag do

Dieu này chûag to <|^ xàc diah theo (1.10) là
aghi^ii cûa phuo'ng t r i n h ( 1 . 3 ) • Diah ly duo»c chûag miah.
"'
Bê dé 1,1 : Già su v2i, Oi»-, 5^ € ^ . ^ )
là «Ini^ag phàn t û kha aghich tûy y . Ky hiçu :
B ; ^ -1 f- C*o*-i>--» 4 0 ^ ^'^

sao cho 3 i ^ i è

Jr .«*•

âèf ^4^r t^ (3^^^ .^ <= j , j , . . . , w ^ • ^-c na,» .»><.-

Khi do : 1) B? la nhûag khôiag gign con cua iJts'
2) »^= < ( $ < ^ - . ®tô^.
^ ^'

,ir,

(Ml)

QhUffigrmiah

Két luân 1) « ^ là hiên nhiêa. De chûng minh
( 1 . 1 1 ) , tn^ûq h é t , ta nh^n xét rang, mçi vecto»

dàu co thê phân t i c h thành tong


- 1 16

troag ùo

CO daag :

V '^iiKjit*"^ *i„

làn luçl: là càc phàa tû nghich dào cûa

.^•. . Thlit vâyi ûag vo'i moi tça dç k co dinh
(k ="i,2,...,n) ta dèu co :

ta co thê Viét (1.15) duûi d^ng :


-

T/

-

- ie -

V - W/oio i
Dieu uuy chûag t o

^

^

à^ ^ - 1 i A r - ) W .

De k é t t h û c chûag miah, t a càa kiêm t r a
duy nhât cûa b i S u d i ê a ( 1 . 1 2 ) .

tinh

Già sif

Khi do,c4ag'tho»i co càc dâng t h û c sau di.Bj :

s^a?

^Tly

^ i û j j r É,^(5,^'.

^1 É^=i

^ à Qjj

•^* •/•4/ — > >v.

ÙM)

khà n g h i c h , nên t û ( 1 . 1 4 ) suy ra 4^=:
|
0
13

Vây co thê v i o t ( 1 . 1 4 ) duûi di^iag :

Do

(S^ (^*c=4,Jl,*.. l ' K - l ^

Vê7

khà a g h i c h aên

^ =:

«^ (^ e'J - j 0 j

Bo dé dug?c chûag minh.
Hê quâ 1.1 :
^


- 18 -

troag do

d :t 1,2,...,a ;

iBjj

dUç'c dinh nghia trong Bo dl 1.1.

Bo de 1.2 : 1) Cac khong gian con ©*• "i i-^i4,-"'»»i
bat biéa doi vûi toàn tû i^i, troag do U^ là càc không
giaA coa cûa iB*'^ duç^c dinh nghïa trong bô de 1.1, M là
toàn tû (1.2).

2) Toàn tû Mj - '^Uj
(Ô = 1,2,...,3a) la toàn tu Noether khi va chi khi toàn tû
itl
(xàc dinh theo (1.1)) là toàn tû Tt»4>ii>t Noether.
Trong truo'ng hçï> tinh Noether dUç'c thoa man thl chûng co
chi so bàng ahau :

1A Mj r :i»Ji LGhuag minh

1) &iâ su

^ , CM.,a^i, ...,Û^4J

Khi do co thè viêt :

*

^ '
;

•>= «^ V>i+s,A^-,^^^„,..., ûj,-.^^^i. a. k i •


- -19 -

T dõy suy ra tiah bõt bien cua khụng gian ^^
dốit vỷi
toa tỷ M. Hoa toa tuỗ'ng ti^, dl dng kiờm tra tiah bõt
biộa cỷj cc khụng giaa $ ^ .^ A -I,:?,,.., >n-J.
^^^
vỷi M.
2) Tiộp theo, ta ky hi$u Q, L, R l cc toa tỷ tc
dving trong ^"^ , xc dinh bcci ccraatr^a duỷng chộo
sau dõy :

Khi do co t:.ờ viõt (1.15) duỷi dang :
ô

De thõy rlag
{2R.- R - r ^ ^ if Cằ*"). Vgy aờa,
tu (1*16) ta suy ra i^^ô va L dong thci l nhỷng toa^: tu
Noether hogc khụmg Noether (tiah chat 5 ằ i 1 t a).
.^ợj^ong truỷng ùnfp chuag l nhu^ag ton tu Noether thl :

(tiah chat 4 , i 1 , a)
Bang nhỷng t i a h ton v lõp luõn hoằ ton tuc^ng

ttf, ta 3~e co

:},^ M^-.^ ^ , ; L^. . ^-.- < , i , . . . , ^ - l .
Bo dl dUỗ'c chỷng miah.


- 20 -

Hờ gu 1.2 : Toợợn tu lA (xc dinn bỷi ma trõn
(1.2)) l ton tỷ Noetner khi va chi khi cc ton tỷ
L#ợ C P *'^ằ"'>'^)
(3C3C dinh bo'i (1.0) - (i,l)) dốag
thci l ahỷag ton tu Noether. Troag truỷng hỗ^) chuixg l
ahỷag toan tu Noether thi
>v

Chuap: minh
Theo hg qui 1.1 t h l

"^^
U ^ kôwM= ^-^
Chuyờn qua cc t o n t u l i e n hỗù> troxig cc khụag g i a n d o i

Võy ( 1 . 1 7 ) l dUỗ'c suy ra trtfc t i ộ p t ỷ k ộ t lu0n
2) cỷa bo dộ 1 . 2 .
Dng t h ỷ c ( 1 . 1 7 ) cho t a mội l i ờ a h^ c h a t chờ. giỷa
t o a t ỷ tUoằag ỷng M cỷa L t r o n g IB^ vs cc t o a t u kốm
theo
Uj > 3 = Il i> " ' J -yv , Soag mue d i c h c h i a h ỷ ờj 1*

aghiờn cuu t i ờ u chuõn Noether va c h i so cua t o a n t u
L (=_ L^) va phUO'iig t r l a h ( 1 . 3 ) . Nham m\ic d i c h a y ,
a g o a i v i g c khao s t t o a t u M va phucng t r l a h ( 1 . 5 ) > t a
coa p h a i a g h i ờ a cỷu c h i t i ộ t cc t o n t u U/ j 4-* ằ,4^"v**^'i
va cac moi l i ờ a h$ g i ỷ j chung.
Gi^, su
thiợc ( 1 . 2 ) .
Ky h i ỗ u :

h = l\ M.Ml

dUỗ'c cho bo'i cụag


- 21 -

(khi d6

AT^Ce)

trong d»i aé ^Ci")

Ky hiêu

{K,^i:;^--hir-,y^]

là tâH cûu t-âp hvp

theo môdua d 6lû) ^

3C[^^

, ^J(©) , JÎ^CIB)

làn

luçt là nhûag tâp hçï> sau dây :

Nhâmxitriag J^^08)c: J^'^(iB)

vi jî;((e7

khôag t r o n g , châag haa, ^i2_^^ Û^y j ^n) ^ ^T''-*)-, »<,.-r.
• ï'

Dinh l y 1.5 :

Gia su j là a§t chi se co dj-iah mào

Khi do cac toan tu L va L. dêeg tho»! co ho|[c
khôag co tiiBh l\foether. Trong tru'O'ns hgï> co t i a h Noether
thl

^ A L p = ^n«l bp.
••tiêis»*!^-^


22

Ohuag miah

TÙ ( 1 . 2 0 ) t a suy r a toE t p i t o a a t û K€if •(B)ol]lif
Khi d é , t h e o dj.Bh ûghia

^^ (^lE.)

va

l'^tlô) ( ( 1 . 1 8 ) -

( 1 . 1 9 ) ) , t a suy ra ce t h ê b i ê u d i l a K duô-i h a i daag
sau ûêj :

3o sàah t ç a dç cuoi cûng cua h a i vecttf t r ê n ,

ta

duç»c :

M^t kh^c, vl K^^^M
Viiy tû (1.21) ta ce

^«« X.fi.^finK.-tO. ^éJ^f^

k<:^ = *<,+0,,^ D^-J?ni> é:J06).

(R^ là phàa tû nghich dào cûa Q^). Thay già tri cua K^
vào biêu diêa thû nhât cûa K va so sàah vûi CiC tça dç
tUû?ng Uag troag bieu diea thu hai, tj suy ra :

SU dung càc dàng thûc này, de dang ahân duVc :

- 23 -

Thât vçiy, t a co :
*V

A

'yv

K=l

TÛ ( 1 . 1 2 ) suy ra L va L. dong t h û i l à nhung t o a n
t u Noether hogc không Noether ( t m n c h a t 1 - 5
§ 1, a.)
va t r o n g t r u û n g hç^) Noether t h i c h i so cua chueg bâng nha'
Diah l y dUo^c chung minh.
Hê Quà 1.3 : Neu d i e u k i g n ( 1 . 2 0 ) dUç'c t h ô a laan
v û i mçi c h i se 3 , -x 4 i én-l
t h l càc t o à n t û Lj ;.
f-0)i-,»-- y ' ^ - i
dong t h û i co hogic không co t m h Noether
Khi chûng l à ahûng t o à n t u Noether t h l

ChûnK minh. Ap d^ng d i n h l y 1.3 t a dug^c
0-KKet hçï> v û i dâag t h û c ( 1 . 1 7 ) t a suy ra
(1.23).
^

i 2. vé mot ^
Goknberi:^ - K r u p n i c .

mû rQ:'K cûa dar^^ traie ma t r â n


-

24 -

Nốm 1973, cc t c g i Gokhberg va Khupnic [92.,:
da aờu Thi phUỷ'ng php ởim^ chung d l kho s t lỷp t o n IT
t u y ộ n t i a h djing

A s A^^^^W ', ^^^X

(-2-^)

Nỗi dung c h i a h cua phuo'ng php ny duỗ'c mụ t a
bo'i mỗt dõag t h ỷ c ma t r õ n cc t o n t ỷ . T do cho t h a y
dUỗ'c moi l i e n hỗ m^t t h i e t g i ỷ a ma tr^ia tuoằug ỷng cỷa K
t r o a g iB^ va ma t r õ n dx^buù^ c h ộ o : ^^^^ ^ k:^^ k^j->k:
l
(xem ahõa x ộ t 2 . 1 o' c u o i mue n y ) .
Trong mv-c n%j t:i se c h i rs^ r-ing : giỷa cc t o n
iợỷ U; (^'- ^rf-^r-iH) va ^^ d dUỗ'c x ộ t t r o n g Đ 1 , b cỷa
chuo'ag a y , cung co moi l i ờ h hĐ tuceng t y . oau mj^ t;j
con cho ahỷag mo' rỗng t i ộ p cc k e t qua t h u dUỗ'c ỷ dởj"
t r o n g nhuag t r u ỷ n g hỗ^ tong qut ho'n ( k h i co n h i l u d i c h

chuyờn t r o n g phUo'ng t r i n h ) . (xem ah^n x ộ t o' c u o i I 3
chucng n y ) .


vuụng

Ky higu R , Q , M^ l a n lUỗ't l nhỷng ma t r ^ n
a x a
co dgiag s a u dõy :

\ r^n

i=

(3

r^^

c.-?-

c \ ỗv c^

Q-i)

**

\

^.^'Sm, i^^r-)b.^vv.

U3^.


- 25 -

Ky hipu ma tr^E do'E vj. - ^ | T J , . . . >X l - 5.

%-Ji)

Bè de 2.1 : Ciiâ su li. , R , i , U^ , J l à a lug-t
l*3\î sah'-'ufs F:a t r â n diïçcc cho trong (1.2) , (2.2) - ( 2 . 4 ) .
Khi do 00 cac dâng thUc sau dây :

2)

K.MÛ=. M.

ChU«g m i a h

1) Bât

T r aR = \il-aC.

.

Nhâa xet r i n g , càc phàn tu
t û thuçc
^(\li\
•

,

T^.

»

Su dyng dâng thuc so' câp sau d^

.

J

.^^;;

:

|n ^k ^.0 rV'J = S)

ta cô thé ahâa dUç'c câc hê tiiûc :
t

là nhûng toaa


26

Hoan toan tuo'ag ty?, ta de dgag thu dUç'c cac hg
thuc :

troag do

Sï^
7
Vay

2)

là simbôa Kronecker.

(jR^TvJ.

. 3uy ra

a R = 8(3 = ^ 5 .

fiât

-, R=IIR...-I|.

Khi do co thê viêt :

. *
su d\ing ky hiçu (1.1) , ta cô' thê» vièt

V^j-'^'^iBât
•

'^