Đề cương phép tính vi phân dạng vi phân trong không gian banach

1
Đ
ề c
ương ôn tập được đánh máy chủ yếu dựa trên tài liệu Phép tính vi phân
-D
ạng vi phân
trong không gian Banach (Nguy
ễn Văn Khu
ê
- Lê M
ậu Hải) v
à có kết hợp thêm tài liệu ghi chép
c
ủa các khóa cao học K21, K22 Trường Đại học sư phạm Hà Nội. Hi vọng sẽ giúp
ích đư
ợc cho
các b
ạn học viên trong quá trình học tập và ôn tập chuẩn bị cho kì thi kết thúc chuyên đề

N
ỘI DUNG ÔN TẬP
PHÉP TÍNH VI PHÂN
D
ẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
1. Ánh x
ạ khả vi
, đ
ạo hàm theo hướng
, đ
ạo hàm của hàm hợp
1.1. Ánh x

ạ khả vi
a. Đ
ịnh nghĩa.
Cho
f : F 
,

là t
ập mở trong không gian định chuẩn E và F là không gian
Banach. Ta nói f kh
ả vi tại
0
x 
n
ếu tồn tại
S
L(E, F) sao cho:
 
0 0
f(x h) f(x ) S(h) o h   
(1)
ngh
ĩa là
0, 0, h E : h       
thì
0 0
f(x h) f(x ) S(h) h    
hay
0 0
h 0

f(x h) f(x ) S(h)
lim 0
h

  

(2)
Ánh x
ạ f khả vi tại mọi điểm của

đư
ợc gọi là khả vi trên

.
b. Nh
ận xét
(i)
S
L(E, F) th
ỏa mãn (1) là duy nhất và kí hiệu là
0
f (x )

hay
0
Df(x )
và g
ọi là đạo hàm của f
t
ại

0
x
.
(ii) N
ếu f khả vi tr
ên

thì ta có ánh x
ạ
 
f : E, F
x f (x)

 


L
N
ếu
f

liên t
ục th
ì ta gọi f là khả vi liên tục hay thuộc lớp
1
C
trên

.
(iii) N

ếu f khả vi tại
0
x
thì f liên t
ục tại
0
x
, t
ức là có
0 0
h 0
limf(x h) f(x )

 
.
Th
ật vậy,
h 0
0 0 0 0
f(x h) f(x ) f(x h) f(x ) S(h) S(h) o( h ) S(h) 0

         
2
(iv) Do
0
f (x )


L(E, F), t
ừ (1) suy ra f liên tục tại

0
x
và do
0 0
0
t 0
f(x t.h) f(x )
lim f (x )(h) 0
t

 

 
ta có
0 0
0
t 0
f(x t.h) f (x )
f (x )(h) lim
t

 


c. Ví d
ụ
(i) N
ếu
f : F, f const  
, thì

f 0


trên

.
(ii) Nếu
f S : F

  
, ở đây
S
L(E, F) thì
f (x) S, x

  
. Thật vậy, điều này suy ra từ
f(x h) f(x) f (h) S(x h) S(x) S(h) S(x) S(h) S(x) S(h) 0, h E, x               
Như v
ậy, đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục tại mọi điểm thuộc E chính là ánh xạ tuyến tính
liên t
ục đó.
(iii) Gi
ả sử
f S


v
ới
1 2

S:E E F 
là song tuy
ến tính
liên t
ục.
Ch
ứng minh được
 
 
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
f (x ,x ) (h ,h ) f (x ,x ) S(x ,h ) S(h ,x ) S . h . h o (h ,h )     
nên f khả vi tại
0 0
1 2
(x ,x )
và
0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
f (x ,x )(h ,h ) S(x ,h ) S(h ,x ), (h ,h ) E E

    
T
ổng quát.
N
ếu
1 n
f S , E E

   

là t
ập mở còn
1 n
S (E , ,E ;F) L
thì f kh
ả vi tại mọi
1 n
(x , ,x )
và
1 n 1 n 1 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n
f (x , ,x )(h , ,h ) S(h ,x , ,x ) S(x , ,x ,h ), (h , ,h ) E E


            
1.2. Đ
ạo hàm theo hướng
a. Đ
ịnh nghĩa.
Gi
ả sử

là t
ập mở trong không gian định chuẩn E và F là không gian Banach.
Xét ánh x
ạ
0
f : F, x  
và
h E,h 0 
.

N
ế
u gi
ới hạn
0 0
t 0
f(x t.h) f(x )
lim
t

 
t
ồn tại th
ì nó được gọi là đạo hàm theo hướng h của f tại
0
x
, kí hi
ệu l
à
0
f
(x )
h


. Như v
ậy
0 0
0
t 0

f(x t.h) f (x )
f
(x ) lim
h t

 



-->