Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

 
 

NGUYỄN THỊ HIỀN

 
 
 

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

 
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

 
 

HÀ NỘI - 2014
 


 

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

 
 

NGUYỄN THỊ HIỀN

 
 

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

 
 
 

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn
 
 

 
 
 
 

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
 
Trong  quá  trình  làm  luận  văn  “Rèn  luyện  kỹ  năng  giải  phương  trình  lượng 
giác cho học sinh trung học phổ thông” em đã nhận được sự giúp đỡ chia sẻ tận tình 
từ thầy cô, gia đình và bạn bè.  
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Phó giáo sư, Tiến sĩ 
Nguyễn Thành Văn đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn. Thầy 
đã hướng dẫn và góp ý rất nhiều để luận văn của em được hoàn thiện hơn. 
Kết quả của luận văn cũng gắn liền với sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các 
thầy cô giáo trong trường Đại học Giáo Dục trong suốt quá trình học tập. Ban giám 
hiệu, các thầy giáo, cô giáo cũng như các em học sinh trường Trung học phổ thông 
Vân Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn.  Trong quá trình 
học tập và làm luận văn, em cũng nhận được sự giúp đỡ, động viên từ gia đình, bạn 
bè, đồng nghiệp và tập thể lớp Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán K8. 
Em xin bày tỏ lòng biết ơn về tất cả những sự giúp đỡ quý báu đó. 
Tuy đã cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng luận văn không thể tránh 
khỏi những thiếu sót và hạn chế, kính mong quý thầy cô và các bạn đọc giả góp ý. 
  
Hà Nội, tháng 11 năm 2014 
Tác giả 
 
 

Nguyễn Thị Hiền 

i 


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ..............................................................................................................i
Mục lục...................................................................................................................ii
Danh mục các bảng .............................................................................................. iv
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4
1.1. Dạy học giải bài tập toán .................................................................................. 4 
1.1.1. Mục đích ........................................................................................................ 4 
1.1.2.  Vai  trò ........................................................................................................... 4 
1.1.3. Ý nghĩa .......................................................................................................... 5 
1.2. Kỹ năng và kỹ năng giải toán ............................................................................ 6 
1.2.1. Quan niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán ....................................................... 6 
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng ................................................................................... 6 
1.2.3. Điều kiện để có kỹ năng ................................................................................. 8 
1.2.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán .................................................................. 8 
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ........................................... 8 
1.3.1. Mục tiêu dạy môn toán .................................................................................. 8 
1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông .......... 9 
1.4. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ........................................... 9 
1.4.1. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập 
của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luện kỹ năng ........................ 9 
1.4.2. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh ........................ 10 
1.4.3. Quy trình hình thành kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh ..... 11 
1.5.  Thực  trạng dạy  và  học  phương  trình  lượng  giác  ở  trường    trung  học  phổ 
thông ..................................................................................................................... 11 

1.5.1. Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông ........ 11 
1.5.2. Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông ........ 12 
Kết luận chương 1 ................................................................................................. 14 
CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .................................... 15
2.1. Cấu trúc nội dung phần phương trình lượng giác ............................................ 15 

ii 


2.1.1. Mục tiêu chung ............................................................................................ 15 
2.1.2. Cấu trúc nội dung ........................................................................................ 16 
2.2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác .............................................. 16 
2.2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................... 16 
2.2.2. Sử dụng các công thức lượng giác để giải phương trình lượng giác .............. 37 
2.2.3. Phương pháp đưa về dạng tích ..................................................................... 44 
2.2.4. Phương pháp đánh giá.................................................................................. 49 
2.2.5. Một số bài toán giải phương trình lượng giác khác....................................... 55 
2.3. Một số giáo án minh họa ................................................................................. 57 
2.3.1. Giáo án 1 ..................................................................................................... 58 
2.3.2. Giáo án 2 ..................................................................................................... 67 
2.3.3. Giáo án 3 ..................................................................................................... 73 
Kết luận chương 2 ................................................................................................. 81 
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 82
3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................. 82 
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................. 82 
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................................. 82 
3.2. Nội dung thực nghiệm .................................................................................... 82 
3.3. Tổ chức thực nghiệm ...................................................................................... 82 
3.3.1. Kế hoạch ...................................................................................................... 82 

3.3.2. Tiến hành thực nghiệm sư phạm .................................................................. 83 
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm ......................................................................... 83 
3.4.1. Kết quả thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 83 
3.4.2. Xử lý kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................. 84 
3.4.3. Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm ....................................................... 86 
Kết luận chương 3 ................................................................................................. 88 
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...................................................................... 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 91
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 92

iii 


DANH MỤC CÁC BẢNG
   
Bảng 3.1. Kết quả ba bài kiểm tra ......................................................................... 84 
Bảng 3.2. Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm ĐC và TN (Bài kiểm tra thứ 
nhất) ...................................................................................................................... 85 
Bảng 3.3. Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm ĐC và TN  (Bài kiểm tra thứ 
hai) ........................................................................................................................ 85 
Bảng 3.4. Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm ĐC và TN  (Bài kiểm tra thứ 
ba) ......................................................................................................................... 85 
Bảng 3.5. Bảng tổng hợp đại lượng kiểm định của các bài kiểm tra ....................... 86 
 
 
 
 

iv 

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nền kinh tế thế kỷ 21 cùng với sự bùng nổ của tri thức, sự bùng nổ của 
khoa học công nghệ thì việc đổi mới Giáo dục là một điểu tất yếu. Và để nâng cao 
chất lượng nguồn nhân lực, đổi mới toàn diện và phát triển nhanh giáo dục và đào 
tạo Đảng ta đã đặt ra mục tiêu phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu. Phát triển 
con người Việt Nam toàn diện với tư cách là động lực của sự nghiệp xây dựng xã 
hội mới đồng thời là mục tiêu của chủ nghĩa xã hội. Đó là “con người phát triển cao 
về trí tuệ, cường tráng về thể chất, phong phú về tinh thần, trong sáng về đạo đức”. 
Vì vậy đổi mới trong Giáo dục phù hợp với mục tiêu trên chính là đổi mới nội dung, 
chương trình và không thể không đổi mới phương pháp học như thế nào và dạy như 
thế nào? 
Trong các môn học ở bậc trung học phổ thông, môn toán có vai trò quan trọng 
trong việc phát triển trí tuệ cho học sinh, cung cấp cho các em kiến thức cơ bản, cần 
thiết để học tập các môn học khác và giải quyết một số bài toán thực tiễn. Kỹ năng 
giải toán có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì không có kỹ năng thì không thể 
phát triển được tư duy và lối thoát cho bài toán. Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải 
toán cho học sinh là một yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. 
Phương  trình  là  mảng  kiến  thức  cơ  bản,  quan  trọng  và  xuyên  suốt  trong 
chương trình Toán phổ thông, trong đó có phương trình lượng giác. Các bài toán 
về phương trình lượng giác thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh đại học, 
cao  đẳng  và  các  kì  thi  học  sinh  giỏi.  Để  giải  được  thành  thạo  các  phương  trình 
lượng  giác  không  những  các  em  phải  nắm  vững  các  phương  trình  lượng giác  cơ 
bản  mà  còn  phải  biết  nhận  dạng,  vận  dụng  linh  hoạt  các  phương  pháp  giải  cho 
từng phương trình lượng giác. Vì vậy bên cạnh yếu tố quan trọng để giải phương 
trình lượng giác là khả năng sáng tạo bẩm sinh của các em thì việc giáo viên hệ 
thống các dạng bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng  giải phương trình lượng giác cho 
học sinh là rất cần thiết. 
Từ những lý do nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và 

học nội dung phương trình lượng giác, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là “Rèn 
luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh trung học phổ thông”. 

1 


2. Mục đích nghiên cứu
Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng 
giác  cho  chọ  sinh  trên  cơ  sở  trình  bày  các  phương  pháp  giải  phương  trình  lượng 
giác nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nhiệm vụ 1. Nghiên cứu lý luận về dạy học giải bài tập toán, kỹ năng giải toán. 
- Nhiệm vụ 2. Nghiên cứu thực trạng dạy và học giải phương trình lượng giác 
ở  trường  trung học  phổ thông,  cấu  trúc  nội  dung  chương  trình  phần  phương  trình 
lượng giác. 
- Nhiệm vụ 3. Xây dựng các bài tập và giáo án nhằm rèn luyện kỹ năng giải 
phương trình lượng giác cho học sinh. 
- Nhiệm vụ 4. Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu 
quả của đề tài. 
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Là  quá  trình  dạy  học  giải  phương  trình  lượng  giác  ở  trường  trung  học  phổ 
thông. 
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Là  các  biện pháp  sư  phạm  nhằm  rèn  luyện  kỹ  năng  giải phương trình  lượng 
giác của học sinh. 
5. Phạm vi nghiên cứu
- Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 11 năm học 2013-2014 trường THPT Vân Nội – 
Đông Anh – Hà Nội. 
-  Phạm  vi  về  thời  gian:  Từ  tháng  1/2014  đến  12/2014  và  kinh  nghiệm  thực 

giảng ở trường trung học phổ thông Vân Nội – Đông Anh – Hà Nội. 
- Phạm vi về nội dung: Các phương pháp giải phương trình lượng giác và ví dụ. 
6. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác cho chọ sinh 
trung học phổ thông? 
7. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu  hệ  thống  được  các kỹ  năng  nhận  dạng  và  giải một  số loại  phương  trình 

2 


lượng giác, lựa chọn được các ví dụ, các bài tập và có biện pháp rèn luyện kỹ năng 
giải phương trình lượng giác thì sẽ giúp các em học sinh học tốt nội dung phương 
trình lượng giác và tạo được hứng thú để học môn toán. 
8. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài
8.1. Ý nghĩa lý luận
Cung cấp một cách hệ thống và rõ ràng cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. 
8.2. Ý nghĩa thực tiễn
Những phương pháp giải phương trình lượng giác đưa ra trong đề tài giúp rèn 
luyện được kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh. 
9. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận và phân tích tổng hợp: Thực hiện nhiệm vụ 1, 3. Đọc sách, 
tham khảo tài liệu, các bài báo, bài nghiên cứu trước để tìm hiểu về kỹ năng giải toán, 
về dạy học giải bài tập toán. Đồng thời tìm hiểu các biện pháp được đề xuất để rèn 
luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh. 
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Thực hiện nhiệm vụ 2,3. Sử dụng phiếu 
điều tra về tình hình dạy và học phương trình lượng giác. Phỏng vấn trực tiếp giáo 
viên và học sinh về các biện pháp rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác. 
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực hiện nhiệm vụ 4. Soạn và dạy thực 
nghiệm một số giáo án về giải phương trình lượng giác, sau đó phát phiếu điều tra 

lấy thông tin phản hồi từ người học để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được trình bày trong 3 chương 
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 
Chương 2. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh 
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 
 
 

3 


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học giải bài tập toán
Ở  truờng  phổ  thông,  dạy  toán  là  dạy  hoạt  động  toán  học.  Đối với  học  sinh 
có  thể  xem  giải  toán  là  hình  thức  chủ  yếu  của  hoạt  động  toán học.  Các  bài  tập 
toán ở trừơng phổ  thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế 
được  trong việc  giúp  học  sinh  nắm vững  tri  thức,  phát triển tư duy, hình thành kỹ 
năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài  tập toán  là điều 
kiện  để  thực  hiện  tốt  các  nhiệm  vụ  dạy  học  toán  ở  trường  phổ  thông.  Vì  vậy,  tổ 
chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất 
lượng dạy học toán.
1.1.1. Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: 
Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến 
những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản  thân, 
thành  công  cụ  để  nhận  thức  và  hành  động  đúng  đắn  trong  các  lĩnh vực hoạt động 
cũng như trong học tập hiện nay và sau này. 
Làm  cho  học  sinh  nắm  được  một  cách  chính  xác,  vững  chắc và  có  hệ  thống 

những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực 
tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào 
đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. 
1.1.2. Vai trò
Ở  trường  phổ  thông,  dạy  toán  là  dạy  hoạt  động  toán  học.  Đối với  học  sinh 
có  thể  xem  giải  toán  là  hình  thức  chủ  yếu  của  hoạt  động  toán học.  Các  bài  tập 
toán ở trừơng phổ  thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế 
được  trong việc  giúp  học  sinh  nắm vững  tri  thức,  phát triển tư duy, hình thành kỹ 
năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài  tập toán  là điều 
kiện  để  thực  hiện  tốt  các  nhiệm  vụ  dạy  học  toán  ở  trường  phổ  thông.  Vì  vậy,  tổ 
chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất 
lượng dạy học toán. 

4 


Toán  học  có  vai  trò  lớn  trong  đời  sống,  trong  khoa  học  và công nghệ hiện 
đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học  khác,  giúp  học 
sinh  hoạt  động  có  hiệu  quả  trong  mọi  lĩnh  vực.  Các-Mác nói  “Một  khoa học  chỉ 
thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học”. 
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: 
phân  tích,  tổng  hợp,  so  sánh,  đặc  biệt  hóa,  khái  quát  hóa...Rèn  luyện  những 
phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ 
luật, khoa học, sáng tạo.... 
1.1.3. Ý nghĩa
Ở  trường  phổ  thông  giải  bài  tập  toán  là  hình  thức  tốt  nhất  để  củng  cố,  hệ 
thống  hóa  kiến  thức  và  rèn  luyện  kỹ  năng,  là  một  hình  thức  vận  dụng  kiến thức 
đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới,  là hình  thức 
tốt  nhất  để  giáo  viên  kiểm  tra  về  năng  lực,  về  mức  độ  tiếp  thu  và khả năng vận 
dụng kiến thức đã học. Việc giải bài  tập  toán  có  tác  dụng  lớn trong  việc gây  hứng 

thú  học  tập  cho  học  sinh  nhằm  phát  triển  trí  tuệ  và  góp  phần  giáo  dục,  rèn 
luyện  con người học sinh về nhiều mặt. 
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa 
đựng  một  cách  tường  minh  hay  ẩn  tàng  những  chức  năng  khác  nhau. Các chức 
năng đó là: 
-  Chức  năng  dạy  học:  Bài  tập  toán  nhằm  hình  thành  củng  cố  cho  học  sinh 
những tri thức, kỹ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. 
-  Chức  năng  giáo  dục:  Bài  tập  toán  nhằm  hình  thành  cho  học  sinh  thế giới 
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin và phẩm chất đạo 
đức của người lao động mới. 
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học 
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê  hình thành những phẩm chất của 
tư duy khoa học. 
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, 
đánh  giá  khả  năng  độc  lập  học  toán,  khả  năng  tiếp  thu,  vận  dụng  kiến thức và 
trình độ phát triển của học sinh. 
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc 

5 


khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết 
sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm 
vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình. 
Việc  giải  một  bài  toán  cụ  thể  không  những  nhằm  một  dụng  ý  đơn  nhất nào 
đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên. 
1.2. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.2.1. Quan niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán
Khái niệm “kỹ năng” được sử dụng nhiều trong môn toán cũng như trong đời 
sống. Vậy kỹ năng là gì? 

Theo  [12]  “Kỹ năng  là  năng  lực  sử  dụng  các  dữ  kiện,  các  tri  thức  hay  các 
khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất 
của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”. 
Theo [12] “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn”. 
Trong đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt việc gì. 
Theo [9] “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết 
có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như 
toàn bộ các thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. 
Theo  [8]  “Trong  toán  học  kỹ năng  là  khả  năng  giải  bài  toán,  thực  hiện  các 
chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. 
Từ  những  quan  niệm trên  về  kỹ năng  tôi  cho  rằng:  Kỹ năng  giải  toán  là khả 
năng  vận  dụng  những  kiến  thức  trong  nội  dung  môn  toán  bao  gồm:  Định  nghĩa, 
khái  niệm,  định  lý,  thuật  giải,  phương  pháp  và  kiến  thức  một  số  môn  học  khác 
cũng như kiến thức thực tế để giải quyết những bài toán. 
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến 
thức  làm  cơ  sở  cho  việc  hiểu  biết,  luyện  tập  từng  thao  tác  riêng  rẽ  cho đến  khi 
thực  hiện  được  hành  động  theo  đúng  mục  đích,  yêu  cầu… Do  kiến thức là cơ sở 
của  kỹ năng  cho  nên  tùy theo  kiến  thức học  sinh  cần  nắm được mà có những yêu 
cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng. 
Kỹ  năng  chỉ  được  hình  thành  thông  qua  quá  trình  tư  duy  để  giải  quyết  các 
nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến 

6 


đổi,  phân  tích  đối  tượng  để  tách  ra  các  khía  cạnh  và  những  thuộc  tính mới. Quá 
trình  tư  duy  diễn  ra  nhờ  các  thao  tác  phân  tích,  tổng  hợp  trừu  tượng hóa  và  khái 
quát  hóa  cho  tới  khi  hình  thành  được  mô  hình  về  một  mặt  nào  đó  của đối  tượng 
mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. 

Con đường hình thành kỹ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số 
như: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn luyện kỹ năng, mức độ tích cực, chủ 
động của học sinh. Có hai con đường để hình thành kỹ năng cho học sinh dó là: 
-  Truyền thụ  cho  học sinh  những tri  thức cần thiết,  rồi  sau đó  đề  ra  cho học 
sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó. Từ đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách 
giải,  bằng  những  con đường  thử  nghiệm đúng đắn  hoặc  sai  lầm  (Thử các  phương 
pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương 
ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. 
- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được 
đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán 
cụ thể. 
Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm 
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin 
chứa đựng trong bài toán. 
Khi hình thành kỹ năng cho học sinh cần tiến hành: 
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm 
và mối quan hệ giữa chúng. 
-  Giúp  cho  học  sinh  hình  thành  một  mô  hình  khái  quát  để  giải  các  bài  toán 
cùng loại. 
-  Xác  lập  được  mối  liên  quan  giữa  bài  toán  mô  hình  khái  quát  và  kiến  thức 
tương ứng. 
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn 
trong sự vận dụng kiến  thức  phụ  thuộc  ở  khả  năng  nhận  dạng  kiểu nhiệm vụ, 
dạng bài  tập  tức  là  tìm  kiếm  phát  hiện  những thuộc  tính  và  quan  hệ vốn có trong 
nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định. 
Sự hình thành kỹ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây: 
- Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ 

7 

bởi những yếu tố phụ làm chênh lệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành 
kỹ năng. 
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng. Vì thế tạo 
tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh trong việc hình thành kỹ năng. 
- Có khả năng khái quát hóa đối tượng một cách toàn thể.  
1.2.3. Điều kiện để có kỹ năng
Muốn có kỹ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải: 
-  Có  kiến  thức  để  hiểu  được  mục  đích  của  hành  động,  biết  được  điều  kiện, 
cách thức để đến kết quả, để thực hiện hành động. 
- Tiến hành hành động đối với yêu cầu đã đề ra. 
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra. 
- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau. 
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua 
thời gian đủ dài. 
1.2.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải bài tập toán có thể chia thành ba mức độ: 
- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành 
các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác 
công thức, kí hiệu,… giải được những bài tập tương tự như bài mẫu. 
- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác các bài 
toán theo cách giải đã biết. 
-  Mềm  dẻo,  linh  hoạt,  sáng  tạo:  Tìm  ra  được  những  cách  giải  ngắn  gọn, 
chuyển hóa vấn đề khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo. 
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
1.3.1. Mục tiêu dạy môn toán
Mục tiêu dạy môn học toán nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung: 
“Mục tiêu  giáo dục  phổ  thông  là  giúp  học  sinh  phát triển  toàn  diện  về  đạo 
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, 
tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người việt nam XHCN, xây 

dựng tư cách và trách nhiệm công dân. Chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc 
đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc” (Theo luật giáo dục 

8 


Việt Nam (chỉnh sửa và bổ xung năm 2005)). Cụ thể hóa mục tiêu này ta có mục 
tiêu dạy học môn toán là: 
-  Trang bị cho  học  sinh  những  tri  thức,  kỹ năng,  phương  pháp  toán  học  phổ 
thông, cơ bản, thiết thực. 
- Phát triển trí tuệ cho học sinh. 
-  Rèn  luyện  kỹ  năng  ứng  dụng  toán  học  trong  nghiên  cứu  khoa  học  và  thực 
tiễn cho học sinh. 
- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh. 
-  Bảo  đảm  tính  phổ  cập,  đồng  thời  phát  hiện  và  bồi  dưỡng  các  học  sinh  có 
năng khiếu toán học. 
Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết, hỗ trợ, 
bổ sung cho nhau. Trong các mục tiêu trên, mục tiêu phát triển trí tuệ cho học sinh 
được đặt lên hàng đầu. 

1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông
Việc rèn luyện kỹ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau: 
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong 
chương trình. 
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ. Cụ thể là phát triển: 
+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. 
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian. 
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa… 
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo. 
1.4. Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Để rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh cần có các biện pháp đồng 
bộ bao gồm các hoạt động sau: 
1.4.1. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập
của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luện kỹ năng
Tổ chức các hoạt động nhằm mục đích giúp học sinh nắm một cách vững chắc 
và có hệ thống các kiến thức qui định trong chương trình. Căn cứ vào chương trình, 
sách giáo viên mà mỗi thầy cô giáo cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức và 
kỹ năng để trang bị cho học sinh. 

9 


Để tổ chức được các hoạt động học tập mà ở đó học sinh chủ động, tích cực 
thì giáo viên cần: 
- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và 
mục tiêu dạy học. 
- Có sự giao lưu giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên với học sinh. 
-  Điều  chỉnh  hoạt  động  học  tập:  Giúp  đỡ  học  sinh  vượt  qua  khó  khăn  bằng 
cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản hơn, đặt một số câu hỏi 
có tính chất gợi ý, cung cấp cho học sinh một số tri thức phương pháp và nói chung 
là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ. 
- Giúp học sinh xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, 
đưa ra những nhận xét cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách sâu sắc và đầy 
đủ hơn. 
Ngoài ra để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì giáo viên cần: 
- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải ở bài tập mẫu, cho các em làm bài tập tương 
tự nhằm giúp các em rèn luyện kỹ năng. 
- Xác định hệ thống bài tập toán học chủ yếu để học sinh rèn luyện kỹ năng 
giải các bài tập cơ bản, bài tập nâng cao. 
-Xây dựng sơ đồ định hướng khái quát, các thuật toán giải mỗi dạng bài tập. 

- Sử dụng hệ thống bài tập sau mỗi bài, mỗi chương để giúp học sinh luyện tập 
theo mẫu, không theo mẫu, tìm nhiều lời giải cho một bài tập 
1.4.2. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh
Giáo  viên  cần  rèn  luyện  cho  học  sinh  giải  toán  theo  qui  trình  bốn  bước  của 
Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theo quy trình này. 
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán 
- Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán. 
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, cái chứng minh. 
-Có thể dùng công thức, kí hiệu,hình vẽ để hỗ trợ cho việcdiễn tả đềbài. 
Bước 2: Tìm cách giải 
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tiên đoán. Biến 
đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với 
những  tri  thức  đã  biết,  liên  hệ  bài  toán  cần  giải  với  một  bài  toán  tương  tự,  một 
trường hợp riêng, một trường hợp tổng quát,… 

10 


- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bước thực hiện. 
- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách hợp lí nhất. 
Bước 3: Trình bày lời giải 
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương 
trình gồmcác bướctheo một trình tự thích hợp vàthực hiện các bướcđó. 
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải 
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải. 
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng haylật ngược vấn đề. 

1.4.3. Quy trình hình thành kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh
Theo tôi quy trình hình thành kỹ năng giải phương trình lượng giác  cho học 
sinh gồm ba bước sau: 

Bước 1: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có 
phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho học sinh những điểm 
cần thiết. 
Bước 2: Học sinh tự rèn luyện kỹ năng giải toán theo hệ thống bài toán có chủ 
định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó  khăn, thiếu sót cho 
học sinh. 
Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn. 
1.5. Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường trung học phổ
thông

1.5.1. Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông
Trong  quá  trình  giảng  dạy  của  mình  với  những  kinh  nghiệm  và  trao  đổi  với 
giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó trong chương trình 
toán học trung học phổ thông. Mặc dù sách giáo khoa mới đã có nhiều giảm tải về 
nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt phần lượng giác học sinh vẫn 
gặp nhiều khó khăn do: 
Học lý thuyết: 
- Công thức lượng giác khá nhiều nên học sinh hay quên và dễ bị nhầm lẫn. 
-  Nội  dung  công  thức  lượng  giác  ở  cuối  chương  trình  lớp  10  nhưng  giải 
phương  trình  lượng  giác  lại  nằm  ở  đầu  chương  trình  lớp  11.  Do  quá  trình  học  bị 
ngắt quãng nên học sinh dễ bị quên kiến thức và phải ôn lại nhiều. 

11 


-  Mặc dù nắm vững các công thức lượng giác nhưng việc áp dụng công thức 
nào là phù hợp với bài toán thì học sinh phải làm rất nhiều bài tập để vận dụng linh 
hoạt các công thức đã học. 
Khi làm bài tập: 
- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác có sự khác nhau so với đại số 

nên phần lớn học sinh gặp khó khăn khi bắt đầu học và làm quen, do đó nếu không 
nắm vững và còn bỡ ngỡ với nội dung này các em sẽ dễ chán nản và lười học. 
- Giải  phương  trình  lượng  giác  là  lĩnh  vực  mới,  khác  nhiều  so  với  việc  giải 
phương trình thông thường các em được học ở lớp 10 nên học sinh thường khó diễn 
đạt và trình bày lời giải, nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện. 
- Khi làm bài tập, học sinh thường vận dụng một cách  máy móc theo những 
dạng phương trình lượng giác cơ bản thường gặp nên khi gặp những dạng bài toán 
không phải dạng quen thuộc các em thường khó giải quyết được. 
- Để nắm được các phương pháp giải phương trình lượng giác một cách vững 
chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lượng ở lớp 11 
dành chho phần này chỉ 17 tiết nên việc học sinh mở rộng tư duy linh hoạt đối với 
dạng bài toán khác là khá khó. Do đó, để học sinh làm tốt các bài tập lượng giác khi 
đi thi đại học thì giáo viên cần có phương pháp, chiến lược giảng dạy tốt. 
- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình giảng 
dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh. 

1.5.2. Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông
Để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán lượng giác thì giáo viên 
và  học  sinh  đều  phải  bỏ  rất  nhiều  thời  gian  và  công  sức.  Giáo  viên  cần  có  kinh 
nghiệm  giảng  dạy  cũng  như  chuyên  môn  vững  vàng  để  có  phương  pháp  dạy  phù 
hợp với từng nội dung trong phần lượng giác.  Học sinh phải dành nhiều thời gian, 
có sự nỗ lực và có hứng thú, say mê mới học tốt được phần này. 
Từ  kinh  nghiệm  giảng  dạy  của  bản  thân  và  ý  kiến  đóng  góp  của  nhiều  giáo 
viên, học sinh tôi thấy rằng: 
- Muốn giải được phương trình lượng giác trước tiên học sinh phải nắm vững 
các công thức lượng giác. Để củng cố kiến thức và giúp học sinh nắm vững, không 
bị quên và nhớ lầm các công thức lượng giác, giáo viên nên yêu cầu học sinh chứng 

12 

minh các công thức lượng giác. 
- Các  dạng  bài  tập  ở  phần  này  rất  phong  phú  và  đa dạng  nên giáo viên  phải 
dành nhiều thời gian chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành các dạng bài tập, các 
phương pháp giải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. 
- Thời  gian  chữa  bài  tập  không  nhiều  nhưng  giáo  viên  vẫn  phải  đưa  ra  hệ 
thống bài tập theo phương pháp giải cụ thể để học sinh nắm vững cách giải phương 
trình lượng giác. Đồng thời, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm hiểu thêm để học 
tốt phần này. 
Theo tôi, một bài giảng của nhà giáo có trình độ và lương tâm, trong mỗi tiết 
học  phải  mang  lại  cho  người  học  một  khối  lượng  kiến  thức  hoàn  chỉnh  kèm  theo 
phương pháp và tài liệu tra cứu mà tự học sinh có thể không có được. Như vậy có 
thể  tiết  kiệm  được  thời  gian  giảng  dạy  trên  lớp  và  tạo  điều  kiện  cho  học  sinh  tự 
nghiên cứu, trau dồi kiến thức bằng vốn thời gian tự học ở nhà. 
 

13 


Kết luận chương 1
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học của nước ta hiện nay là “Hoạt động 
hóa  người  học”  nhằm  mục  đích  nâng  cao  hiệu  quả  giáo  dục  và  đào  tạo.  Với  nội 
dung  đã  trình  bày  ở  chương  1:  Dạy  học  phương  pháp  tìm  lời  giải  bài  toán,  bồi 
dưỡng năng lực giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ta thấy dạy học 
giải bài tập toán cho học sinh trung học phổ thông là rèn luyện khả năng tìm lời giải 
bài toán theo bốn bước của Pôlya. Trong thực tế hiện nay, kỹ năng giải toán của học 
sinh trung học phổ thông còn nhiều hạn chế. Để góp phần khắc phục tình trạng đó, 
trong chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ đưa ra một số phương pháp giải phương 
trình  lượng  giác  và  các  giáo  án  mẫu  nhằm  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  phương  trình 
lượng giác cho học sinh trung học phổ thông. 

14 


Chương 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC
SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1. Cấu trúc nội dung phần phương trình lượng giác
2.1.1. Mục tiêu chung
 Kiến thức 
- Biết được các phương trình lượng giác cơ bản và công thức nghiệm. 
- Biết  được  dạng  và  cách  giải  một  số  phương  trình  lượng  giác  thường  gặp: 
bậc  nhất,  bậc  hai  đối  với  một  hàm  số  lượng  giác,  bậc  nhất  đối  với  sinx  và  cosx, 
thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. 
- Nhận dạng và biết được một số phương pháp giải phương trình lượng giác. 
 Kỹ năng 
- Giải  được  phương  trình  lượng  giác  cơ  bản  và  một  số  phương  trình  lượng 
giác thường gặp. 
- Nhận  dạng  và  biến  đổi  được  môt  số  phương  trình  lượng  giác  về  phương 
trình lượng giác thường gặp. 
- Vận dụng thành thạo, linh hoạt các phương pháp giải phương trình lượng 
giác. 
 Thái độ 
- Rèn khả năng tư duy logic, tư duy thuật toán tính nhạy bén, sáng tạo. 
- Giáo dục cho học sinh tính tự giác, tích cực, độc lập và chủ động phát hiện 
cũng như lĩnh hội kiến thức. 

15 

2.1.2. Cấu trúc nội dung
STT 

Nội dung 

Lý thuyết  Bài tập 

Tổng 

1 

Hàm số lượng giác 

3 

1 

4 

2 

Phương trình lượng giác cơ bản 

3 

2 

5 

3 

Phương trình lượng giác thường gặp 

4 

2 

6 

1 

1 

2 

1 

1 

2 

1 

1 

2 

Phương pháp đánh giá 

1 

1 

2 

Phương pháp khác 

 

1 

1 

 

1 

1 

14 

11 

25 

Chuyên

4 

Phương pháp đặt ẩn phụ 

đề phương

Phương pháp sử dụng 

trình

công thức lượng giác 

lượng giác  Phương pháp đưa về 

 

 

5 

Kiểm tra 

6 

Tổng 

dạng tích 

2.2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác
2.2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ thường gặp trong lượng giác và đại số. Giải phương 
trình bằng phương pháp này rất có hiệu quả vì nó chuyển từ một phương trình khó 

giải về một phương trình cơ bản dễ giải hơn.  
Khi sử dụng phương pháp này ta thường thực hiện các bước sau: 
Bước 1. Biến đổi phương trình để có thể đặt ẩn phụ. 
Bước 2. Đặt  t  h( x)  với  h( x) là biểu thức có trong phương trình. 
Bước 3. Dựa vào tập xác định của x để tìm điều kiện cho t . 
Bước 4. Biến đổi đưa phương trình ẩn x về phương trình theo ẩn t. 
   

Giải phương trình tìm nghiệm t rồi suy ra x. 

Bước 5. Kết luận số nghiệm của phương trình. 
2.2.1.1. Đặt ẩn phụ đưa phương trình về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác
1
a. Phép đặt ẩn phụ t  sin x cos x  sin 2 x.
2

16 


Ví dụ 1. Giải phương trình 
   

sin 4 x  cos 4 x
1

.    
sin 2 x
 tan x  cot x 

 

 

 

(1) 

Lời giải 
sin x  0

Điều kiện   cos x  0  sin 2 x  0.  
sin 2 x  0

sin 4 x  cos 4 x 1
 sin 2 x  
sin 2 x
2

     

 

 (1)  

   

 

    sin 4 x  cos 4 x  sin 2 2 x  

1
2

2

Đặt  t  sin x cos x,(t  0)  sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x   2 sin 2 x.cos 2 x  
     

 

 

 

2
       1  2t .  

 

(1)    1  2t 2  2t 2  t 2  1  (thỏa mãn điều kiện). 
4



Với  t  1    sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k , k  Z.  
2
2
4
Với  t   1     sin 2 x  1  2 x  
2


2

 k 2  x  

Kết luận phương trình có  các nghiệm là x 


4

 k , k  Z.  





 k , x    k  k  Z .
4
4

 Nhận  xét.  Phương  pháp  giải  phương  trình  trên  là  phép  đặt  ẩn  phụ  để  đưa 
phương trình về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là sin2x.  
1
Khi đặt    t  sin x cos x  sin 2 x một số biểu thức được tính qua t: 
2
2
2
2
    cos 2 x  1  sin 2 x  1  4t .   

2
2
    cos 4 x  1  2 sin x  1  8t .  

3
3
    sin 6 x  3sin 2 x  4 sin 2 x  6t  32t .   

tan x  cot x 

   
 
 

sin x cos x
1
1


 .
cos x sin x sin x cos x t   
2









sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin 2 x cos 2 x  1  2t 2 .
3



 



sin 6 x  cos 6 x  sin 2 x  cos 2 x  3sin 2 x cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  1  3t 2 .

17 

 


 



   
 



2

sin 8 x  cos8 x  sin 4 x  cos 4 x  2 sin 4 x cos 4 x  (1  2t 2 ) 2  2t 4

 

2

 

4

 1  4t  2t .  







sin10 x  cos10 x  sin 2 x  cos2 x sin 8 x  cos8 x  sin 2 x cos8 x  sin 8 x cos 2 x

   

 

 

8
8
2
2
6
6

    sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  

 1  4t 2  2t 4  t 2 (1  3t 2 )
2

4

   
 
    1  5t  5t .
 
 Vậy giáo viên cần chú ý cho học sinh khi gặp một phương trình lượng giác chứa 
1
2

các biểu thức trên thì ta có thể giải phương trình bằng cách đặt  t  s inx.cos x  sin 2 x
rồi biểu diễn các biểu thức qua t để đưa phương trình về ẩn t, giải phương trình ẩn t 
và tìm nghiệm của phương trình. Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 2. Giải phương trình    
   

 

 

   sin 6 x  cos 6 x  cos 4 x.   

 

 

 

(2) 

Lời giải 
Đặt   t  sin x cos x  
 





3



 sin 6 x  cos 6 x  sin 2 x  cos 2 x  3sin 2 x cos 2 x sin 2 x  cos 2 x

   

 

 

2

     1  3t  

cos 4 x  1  2 sin 2 2 x  1  8t 2 .  

2
2
Khi đó    (2)  1  3t  1  8t     

   

2
    t  0  t  0.   

Suy ra  sin 2 x  0  2 x  k  x 

k
, k  Z.  
2

Kết luận phương trình có nghiệm là x 

k
 k  Z .
2

Ví dụ 3. Giải phương trình   
    

 

 

2(sin6 x  cos6 x)  sin x cos x
 0.    

2  2sin x

18 

 

 

 (3) 


 
Lời giải 


 x  4  n 2
2

 Điều kiện   s inx 
 
2
 x  3  m2 .

4

Đặt  t  sin x cos x    sin 6 x  cos 6 x  1  3t 2 .  
Với điều kiện trên 
(3)  2(sin 6 x  cos6 x)  sin x cos x  0

    


t 
 2(1  3t 2 )  t  0  6t 2  t  2  0  
t 


1
2
2
.
3  



Với    t  1  thì   sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k , k  Z.  
2
2
4
Với  t   2  thì   sin 2 x  
3

4
 (loại).   
3

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

 

x

5
 k 2 (k  )
4
 

Nhận xét: Khi giải phương trình trên học sinh thường quên đặt điều kiện hoặc 
nếu có đặt điều kiện thì hay lúng túng trong việc đối chiếu nghiệm với điều kiện để 
loại nghiệm ngoại lai. Trong bài toán trên, công thức nghiệm và điều kiện biểu diễn 
được trên đường tròn lượng giác và có ít điểm cuối. Vì vậy mà phương pháp loại 
nghiệm  ngoại  lai  của  những  dạng  bài  toán  này  là  biểu  diễn  điểm  cuối  của  cung 
lượng giác (bao gồm nghiệm và điều kiện) trên đường tròn lượng giác và loại những 
điểm cuối của nghiệm trùng với điều kiện. 
Với điều kiện bài toán ta xác đinh được hai điểm M, N trên đường tròn lượng 
giác. Nghiệm x 


 k; k  xác  định  được  hai  điểm  cuối  trên  đường  tròn  lượng 
4

giác là K, H. Ta thấy rằng điểm K trùng với M nên họ nghiệm  x 

19 


 k2; k   bị 
4