ĐỀ TÀI VỀ BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN TUYẾN TÍNH CHỈ SỐ 2

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌ C K H O A HỌC T ự N H IÊN

T Ê N D Ề T À I:

VỀ BÀI TO Á N BIÊN N H IỀ U ĐIEM c h o p h ư ơ n g
T R ÌN H SAI P H Â N SUY B IE N TU Y Ê N t í n h c h ỉ
SỐ 2

M Ả S Ố : Q T -0 9 - 0 4
C H Ủ T R Ì D Ề T À I:

TS. LÊ C Ô N G LỢl
C Á C C Á N B ộ T H A M G IA :
T hS . Vũ C ông B ằng

OA! H Ọ C Q U O C G IA HA NỌl
?UNG TÂM THÒNG T!N THƯ VIỀN

OTỊ AQỆ,

HÀ N Ộ I - 2010


M ục lục
M ục lục

1

1

BÁO CÁO TÓM T Ắ T .......................................................................................

2

2

A B STRAC T..................................................................................................................

5

3

4

PHẦN CHÍNH CỬA BÁO C Á O ................................................................. ...

7

3.1

Giới t h i ệ u ...................................................................................................

7

3.2

Các kết quả chính....................................................................................

8

3.3

Két l u ậ n ......................................................................................................

11

3.4

Tai liệu tham k h ả o ....................................................................................

11

PIỈỰ L Ụ C ............................................................................................................

13

1


1

BÁO CÁO T Ó M TẮT

a. Tên đề tài:

về

bài toán biên nhiều điểm cho phương trìn h phương
trìn h sai phân su y biến tuyến tín h chỉ số 2

M ã số: Q T - 0 9 - 0 4

b. Chủ trì đề tài: TS. Lẽ Công Lợi
c. Các cán bộ tham gia: ThS. Vũ Công Bằng
d. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
- M ụ c t i ê u : Lý

thuyết định tính v ề phương trình vi phân và phương trình

sai phân suy biến dã thu hút sự qủan tâm của nhiều người nghiển cứu lý
thuyết và ứng dụng trong thời quan vừa qua, như Gear, Petzold, Campbell,
Reinbold. Griepentrog, Marz, Kunkel, Mehrmann, Lubich, Hairer, Balla. Bojarincev, Chistyakov, Dai. Bondarenko và Rutkas v.v. Từ cuối những năm
của thập kỷ 90, một. nhóm nghiên cứu về phương trình vi phân đại số và
phương trình sai phân suy biến đã được hình thành tại Khoa Toán-Cơ-Tin
học. Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Dại học Quốc gia, Hà Nội. Bước
đầu, nhóm này đã nhận dược một số kết quả có ý nghĩa khoa học, đã có
khoảng 25 bài báo khoa học của nhóm đã được công bố ở nhiều tạp chí Quốc
tế chuyên ngành có uy tín. Cùng với việc đạt được một số kết quả khoa học,
bên cạnh đó nhóm nghiên cứu cũng góp phần đào tạo các Cử nhân, Thạc
sỹ, và Tiến sỹ cho Khoa Toán-Cơ-Tin học trong thời gian qua.
Sau khi nhận được rnột số kết quả về phương trình sai phân suy biến
tuyến tín.] và phi tuyến cho t rường hợp chỉ số 1, bước đầu chúng tôi đã. nhận
được những kết quả. khá thú vị về phương trình sai phân suy biến tuyến tính
chỉ số 2, đó là tính giải được cũng như công thức nghiệm tường minh cho
bài toán giá trị ban đầu của phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ
số 2. Dể ‘iếp tục phát triển các kết quả về phương trình sai phân suy biến
tuyến tím chỉ số 2, đề tài này tập trung vào nghiên cứu bài toán biên nhiều
điểm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số 2.
- N ộ i dung: Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm các phần chính

I.

BÁO CÁO TÓ M TẮ T

3

au:
1. Dưa 1'a điều kiện cần và đủ đio tính giải được duy nhất nghiệm của bài
toán biên nhiều điềm cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ
số 2 cho cả hai trường hợp phương trình sai phân suy biến tuyến tính
chỉ số 2 là
— ô-tô-nôin;
- không' ô-tô-nôm.
2. Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho tính giải được của bài toán trong
cả hai trường hợp.
3. Dưa ra các công thức nghiệm tường minh cho bài toán trong cả hai
trường hợp.
4. X â y clựng một số ví dụ minh họa.
. Các kết quả đạt được
M ộ t b à i báo kh o a học đã gửi đăng
1. L.

c.

Loi. On m ultipoint boundary value problems fo r index-2 linear

singular difference equations. 25 pages.

. T ìn h hình kinh phí của đề tài

Kinh phí 25 triệu đồng đã chi vào các mục như sail:
1. Vật tư văn phòng: ‘2.000.000 đồng
2. Thông till liên lạc: 2.000.000 đồng
3. Hội nghị: 5.000.000 (lồng
4. Thuê mướn: 14.000.000 (tồng
5. C hi phí nghiệp vụ chuyên môn: 2.000.000 đồng


KHO A Q U Ả N LÝ

CHỦ THÌ DỀ TÀI

Khoa Toán-Cơ-Tin học

TRƯ ỜNG DẠI HỌC KHO A HỌC T ự NHIÊN

m ó MIỀU TSiiỏNG


5

2. A B S T R A C T

2

A B ST R A C T

a. Project’s title:

On multipoint boundary value problems for linear index-2 singular

difference equations
Code: QT-09-04
b. Project’s supervisor: Dr. Le Cong Loi
c. Project’s members: Vu Cong Bang
cl. Objective and content of the project:
This project deals with a careful analysis of index-2 linear singular differ­
ence equations with both constant and varying coefficients cases, multipoint
boundary value problems for these equations are considered. In paticular, we
establish necessary and sufficient conditions for the solvability of multipoint
boundary value problems. Further, a general solution formula is explicitly
constructed.
The main objective of the research are as follows.
1. Proposing necessary and sufficient conditions for the unique solvabil­
ity of multipoint boundary value problems for index-2 linear singular
difference equations with both autonomous and non-autonomous cases.
2. Establishing necessary and sufficient conditions for the solvability of
multipoint boundary value problems for index-2 linear singular differ­
ence equations with both autonomous and non-autonomous cases.
3. Proposing explicit general solution formulae for both two problems.
4. Presenting some illustrative examples.
e. Main results of the project:
Publications:


6

1. L. C. Loi, On multipoint boundary value problems for index-2 linear
singular difference equations, 25 pages (to submit).

3.

PHẤN CHÍNH; CÙA BÀO CẢO

3

7

P H Ầ N C H ÍN H CỦA BÁO CÁO

V Ề BÀI TO ÁN B IÊN NHIỀU DIEM

c h o p h ư ơ n g t r ìn h s a i p h ả n

SƯY BIẾN T U Y Ế N TÍN H CH Ỉ s ố 2
3 .1

G iớ i thiệu

Phương trình sai phân ẩn hay còn gọi là phượng trình sai phân suy biến
dạng

fn(xn+ i,x n) = 0,
o

n > 0,

(1)

/»

ở đây ker — -(y, x) suy biến, xuất hiên rất nliiều lĩnh VƯC như mô hình kinh
dy
tế đa thành phần Leontief, mô lành phát triển dân số Leslie, các bài toán

điều khiển tối ưu rời rạc, v.v. Hơn nữa phương trình sai phân suy biến (1)
và phương trình vi phân đại số
= 0,

í€ J := [ío ,T ]

(2)

với ker

x) suy biến, đươc nhiều nhà nghiên cứu lý thu vết và ứng dung
dy
..
của phương trình vi phân quan tâm trong thời gian gần đây, có những mối

liên hệ với nhau, chẳng hạn nếu rời rạc (2) bởi lược đồ sai phân Euler hiện
thì ta cũng nhận được phương trình sai phân suy biến (xem [2]).
Nhiềukết quả chophương trình sai phân suy biến tuyến tính
-^n^n+l — B rix nTL ^ 0,
trong đó

(3)

A n, Dv € R mxm, (],, e E ,r' và rank A n = r (1 < r < rn —1) với mọi

n > 0 đã công bố (xem [2-8]). Khái niệm chỉ số của chùm ma trận dã được

đưa ra để giải bài toán (3) cho trường hợp ô-tô-nôm. cụ thể là tính giải được
của bài toán giá trị ban đầu cho bài toán này đã được nghiên cứu tương đối
thấu đáo trong nhiều bài báo và tài liệu chuyên khảo (xem [4-6]). Theo sự
hiểu biết của chủng tôi, í.hì hài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai
phân suy biến tuyến tính có chỉ số lớn hơn 1 ngay cả trong trường hợp hệ
số hằng vẫn chưa được nhắc đến. Trong trường hợp các hệ số của (3) biến


8

thiên, khái niệm chỉ số 1 của (3) cũng đã được: giới thiệu trong [2. 8], hơn
nữa tính giải dược của bài toán giá trị bail đầu cũng như bài toán toán biên
nhiều điểm cho phương trình chỉ số 1 cũng đã dược xét đến trong [2. 3, 8).
Dặc biệt mới gần đây, khái niệm chỉ số 2 của (3) dã được dưa ra t.rong [7],
và dựa vào khái niệm này, điều kiện giải được và công thức nghiệm tường
minh của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phân suy biến tuyến
tính chỉ số 2 đã được thiết lập (xem [7]). Chúng t.a biết rằng, nhiều kết quả
cho trường hợp chỉ số 1 có thể phát triển cho trường hợp chỉ số 2, tuy nhiên
chúng ta sẽ gặp phải nhiều khó khăn (xem [7]).
Mục tiêu và nội dung chính của đề tài là nghiên cứu bài toán biên nhiều
điểm cho phương trình sai phân suy hiến tuyến tính chỉ số 2 rho cả hai
trường hợp các hệ số của phương trình sai phân là hằng và biến thiên. Một
trong công cụ chính để giải quyết bài toán này là dựa vào khái niệm chỉ số k
của của chùm ma trận {.4, B} và chỉ số 2 của phương trình sai phân suy biến
tuyến tính (3). Trong trường hợp các hệ số là hằng, áp dụng các kỹ thuật
như trong [4-6], chúng ta có thể giải phương trình sai phân suy biến chỉ số
k bất kỳ rồi thế vào điều kiện biên để tìm ra điồu kiện cần và đủ cho tính

giải được cho bài toán biên nhiều điểm, và xây dựng công thức tìm nghiệm
tường minh của bài toán. Chúng ta cũng biết rằng nhiều kết quả của trường
hợp hệ số hằng không thể chuyển ngay sang cho trường hợp hệ số biến thiên
được (xem [2, 3, 7, 8]). Vì vậy đối với trường hợp các hệ số biến thiên, hướng
liếp cận để giải bài toán biên nhiều điểm phải sử (lụng những kỹ thuật hoàn
toàn khác trong trường hợp hệ số hằng. Dựa vào kết quả của [7] và phát
triển một số kỹ thuật trong [3, 8] chúng tôi nhận được các điều kiện cần và
đủ cho tính giải dược cũng như công thức nghiệm cho bài toán biên nhiều
điểm.
3.2

C ác kết quả chính

Do kỹ thuật áp dụng cho phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số
2 trong trường hợp hệ số biến thiên dựa vào khái niệm chỉ số 2 của phương


9

3. PHẦN CHÍNH CỦA BÁO CẢO

trình và các phép chiếu nên các phát biểu, cũng như các cống thức đưa ra
đều phụ thuộc vào các phép chiếu này. Kết quả quan trọng đạt được trong
đề tài là chúng tôi đã chứng minh được các phát biểu về tính giải được và
công thức nghiệm không phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu này. Còn
trong trường hợp hệ số hằng, thì chúng tôi sử dụng một mẹo nhỏ là tách
phương trình sai phân suy biến tuyến tính chỉ số k thành hai phường trình
sai phân thường tiến và lùi.
T r ư ờ n g liỢp h ệ s ố h ằ n g

Xét bài toán biên nhiều điểm
Axi+I = B xị + qu

và

i = 0 ,..., N - 1,

(4)

N

(5)
trong đó giả thiết chỉ số của cặp ma trận {.4. B } lớn hơn 1 và N là số nguyên
dương đủ lớn. G iả sử A €

c

sao cho det(XA-\-B) Ỷ 0; đặt Ầ \ :=

è \ := (A.4 + B ) ~ l B, ậi — (XA + B )~ [qr và ký hiệu Ầ ỵ ,

A,

là các ma trận

nghịch (lảo suy rộng Drazin của Ầ \ và Ồ\ tương ứng. Trong phần này chúng
tôi nhận được các kết quả sau:
• Dưa ra công thức nghiệm của (4) phụ thuộc vào các ma trận À \, Ả ị \
Ba, ồ ? , véc tơ

ậi =

(À.4

+ B)

1(ị, và hai véc tơ tùy ý Xo và X/V- Tuy

nhiên, dựa vào các kết quả trong [4-6]. ta có thể khẳng định công thức
nghiệm này không phụ thuộc vào À.
• Phát biểu điều kiện cần và đủ để bài toán (4) và (5) giải được duy nhất,
các điều kiện này được phát biểu trong không gian R 2w.

cầnvà đủ đổ bài toán (4) và(5) giải được(bài toán
cóvôsốnghiệm), cácđiều kiện này đượcxét trong cáckhông gian R 2™
vàR 9. ởđây q là một sốnguyên dương xácđịnh nhỏ hơn 771.

• Phát, biểu điều kiện


• Dưa ra công thức tìm nghiệm tổng quát tường minh (khi bài toán giải
dược) của bài toán (4) và (5).
T rư ờ n g h ợ p h ệ số b iế n th iê n

Trong mục này chúng tôi xét bài toán
Ạ/X m = BiXi + Ịi,

va

i = 0 , . . N - 1,

N
y, CiXi=7 .

(6 )

(7)

ỏ đây giả thiết là (6) có chỉ số 2. Kỹ thuật dể giải quyết, bài toán này là
chúng tôi sử dụng các phcp chiếu (hai lần chiếu) để phân tích (G) thành một
phương trình sai phân thường và hai ràng buộc dại số. Tương tự như trong
trường hợp hệ số hằng, trong phần này chúng tôi lần lượt sẽ giải quyết các
vấn đề sau.
• Dưa ra công thức nghiệm của (6) phụ thuộc, vào các ma trận Ai, Bj.
các ma trận chiếu, các véc tơ (j, và hai véc tơ tùy ý Xo và X \. Tuy nhiên
ở đây không còn giống như trong trường

liỢ p

hệ số hằng, ta nhận thấy

công thức này lại phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu.
• Phát biểu điều kiện cần và đủ để bài t.oán (6) và (7) giải được duy nhất,
các điều kiện này được phát biểu trong không gian R 2m.
• Phát biểu điều kiện cần và đủ để bài toán (6) và (7) giải được (bài toán
có vô số nghiệm), các điều kiện này được xét trong các không gian R 2m
và R q. ở đây q

là

một số nguyên dương xác định nhỏ hơn ra.

• Dưa ra công thức tìm nghiệm tổng quát tường minh (khi bài toán giải
được) của bài toán (6) và (7).
Các phát biểu về tính giải được cũng như tính duy nhất nghiệm, và công
thức nghiệm cho bài toán (6) và (7) phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu.


3. P H Ầ N CHÍNH CỦA B Á O CÁO

11

Tuy nhiên, chúng tôi đã chứng minh được rằng các kết quả này không phụ
thuộc vào việc chọn các phép chiếu, dãy là những khó khăn và cũng là những
kết quả chính của đề tài.
Phần cuối của đề tài chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết
quả ]ý thuyết vừa nhận được.
3.3

K ế t luận

Dề tài đã nhận được kết. quả về hài toán biên nhiều điểm cho phương
trình sai phân suy biến tuyến tính hệ số hằng với chỉ số bất kỳ và phát triển
các kết quả của bài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân suy biến
tuyến tính chỉ số 1 sang trường hợp chỉ số 2, theo chúng tôi các kết quả đạt
được ở đây là có ý nghĩa vì sự mở rộng này là không tầm thường. Một số
bài toán liên quan tới kết quả đạt được của đề tài cần xem xét giải quyết
trong thời gian tới là xét bài toán phương trình sai phân suy biến trên tập
số nguyên và bài toán điều khiển tối ưu suy biến rời rạc.
3.4

Tài liệu th a m k h ảo

[1] R. P. Agarwal, On multipoint boundary value Problems for diserete
equations, J. Math. Anal. A p p l, 96 (1983), pp. 520-534.
[2] P. K. Anh, N. H. Du, and L.

c.

Loi, Singular difference equations: an

overview, Vietnam. J. Math., 35 (4) (2007), pp. 339-372.
[3] P. K. Anh and L. C. Loi, On multipoint boundary-value Problems for
linear implicit non-autonomous systems of difference equations, Viet­
nam, J. Math., 29 (3) (2001), pp. 281-286.

[4] S. L. Campbell, Singular Systems of Differential Equations , Pitman Ad­
vanced Publishing Program, 1980.
[5] S. L. Campbell. Singular Systems of Differential Equations //, Pitman
Advanced Publishing Program, 1982.


[6] L. S. Campbell and D. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transfor­
mations, Dover Publications, 1991.

[7] N. H. Du, L. C. Loi, T. K. Duy and V. T. Viet, On index-2 linear implicit
difference equations, 2008, 23 pages, (submited to Linear Algebra Appl.)
[8] L.C. Loi, N.H. Du. and P.K. Anh, On linear implicit non-autonomous
systems of difference equations, J. Difference Equ. A ppl, 8 (12) (2002),
pp. 1085-1105.

1. PHỤ LỤ C

4

13

P H Ụ LỤC
C Á C BÀ I BẢO VÀ BÁO CÁO HỘI TH Ả O
B ÌA LUẬN VĂN VÀ KHÓ A LUẬN


O N M U L T IP O IN T B O U N D A R Y V A L U E P R O B L E M S F O R IN D E X -2
L IN E A R S IN G U L A R D IF F E R E N C E E Q U A T IO N S

LE CONG LOI
A b s t r a c t . On the background of a careful analysis of index -2 linear singular dif­
ference equations w ith both constant and varying coefficients cases, m ultipoint boundary
value problem s for these equations are considered. We establish necessary and sufficient
conditions for the solvability o f m ultipoint boundary value problems. Further, a general
solution form ula is exp licitly constructed.
K e y w o r d s . Index. M atrix pencil. Linear singular difference equations, M ultipoint
boundary value problem s.
A M S s u b j e c t c l a s s i f i c a t i o n s . 39A05, 39A10, 15A06.

1. I n t r o d u c t io n
In recent years, there has been considerable interest in studying linear singular difference
equations (L SD E s) of the form

:=: BnXn •+■(Jrii

TJ, > 0,

(LI)

where A n) Bn E R mXTn, qn 6 R m are given and rankA t1 = r (1 < r < m — 1) for all n > 0
(see [2-8] and references therein). T he index notion of a m atrix pencil was introduced to
investigate Eq. (1.1) w ith con stan t coefficients. Further, the solvability of initial value
problems (IV P s) has been studied thoroughly [4-6]. However, as far as we know the
q uantitative questions such as th e existence, uniqueness, etc. of m ultipoint boundary
value problem s (M P B V P s) for (1.1) with con stan t coefficients have not been discussed. In
the varying coefficients case, th e in d ex-1 concept of Eq. (1.1) was also introduced in [2,8]
and the solvability of I V P s as well as M P B V P s for index - 1 LSDEs has been considered
in [2,3,8]. Later on, the index-2 notion of Eq. (1.1) has been proposed, and basing on
this index-2 notion, th e condition of solvability as well as the solution formula of IV P s for
index-2 LSD E (1.1) have been established in [7]. As discussed in [7], many valid results
for index - 1 case can b e exten ded to index -2 case, however, the extension m eets with some
difficulties.
T he m ain goal of th is paper is stu d yin g M P B V P s for index-2 LSDE (1.1) in both
constant and varying coefficients cases. T he ind ex-2 of a matrix pencil and index-2 of Eq.
(1.1) turn to b e the keystone in the analysis of M PB V Ps. For index-2 LSDEs with constant
coefficients, sim ilarly as in [4—6], one can solve Eq. (1.1) by means of index of a matrix
pencil and Drazin inverse. It is well known that many results for constant coefficients
LSD Es cannot b e directly generalized to varying coefficients LSDEs (ref. [2 ,3 ,7 , 8]). Thus,
in the varying coefficients case, our approach to LSDEs is based on index-2 notion of Eq.
(1.1) and projections. We shall develop som e techniques of index-1 LSDEs in [3,8] for
index-2 LSDEs.

LE CONG LG I

2

T he paper is organized as follows. In Section 2 we recall som e definitions and prelimi­
nary results, as well as give som e simple results concerning index -2 LSDE (1.1). Necessary
and sufficient condit ions for the solvability and a general formula solution of M P B V P s for
index-2 LSDE (1.1) will be established in Section 3. T he paper is accom plished with som e
illustrative exam ples in the final Section 4.

2.

P r e l im in a r ie s

We start this section by recalling the Drazin inverse of a matrix and the index notion of
a matrix pencil, which have been studied in [4,6]. Firstly, if M € Rmxm, the index of M ,
denoted by in d (M ), is the least non-negative integer v such that kerM v = kerM ,/+1. It
is worth noting th at the following theorem plays an important role to stu d y autonom ous
LSDEs.
[4] Suppose that M € R rnxm, in d (A /) = v and ran k A /l' = t . Then there,
exists a nonsingular matrix S G Rmx™ such that

T h e o r e m 2 . 1.

" = s (o

n

) 5"

<2 i >

where W is a nonsingular t x t matrix and N is a nilpotent (m — t) x (m —t) matrix with
v=ind(N).
If M € R mxm is given in the form (2.1), then the Drazin inverse of A/, denoted by
M ° , is defined by

M° =

S( V

o ) s " ’-

It is easy to verify that

M M ° = M°M,

M dM M d - M°,

M k+1M D = M k for k > In d (M )

and the Drazin inverse is unique.
In w hat follows we consider /1 ,13 € RTnxm and always assum e that the matrix pencil
(A, B) to be regular, i.e., there exists a scalar A 6 C such that XA 4- B is nonsingular and
let A x := (XA + B )" M , 5 * := (A/1 + B ) ~ l B, f x := (XA 4- B ) ~ l f for / € R m. Observe
that B \ = I - XAx. hence A \ and B \ commute.
T h e o r e m 2 . 2 . [4] Suppose that the matrix pencil ( A, B) is regular and f 6 R™. Then
fo r all a , /3 € C fo r which (o'.4 -f B ) " 1 and (/?A 4- Z?)“ 1 exist, the following statements
hold
(i) in d (.40 ) = ind(y4;i),

(ii) A aA*> = A p A $ ,
(iii) A g B a = A ^ B n and B*>A0 = B%AP,
(iv) A*>fa = A j j f , and B » f „ = B ° f 0 .
If (.4,23) is regular and dct(A.4 -1- B) ^ 0, then in d ^ * ) is called the index of the
pencil ( A, B) , denoted by in d (.4 ,B ), this means that in d (.4 ,B ) := ind(yl,\). Theorem 2.2
guarantees th at the definition of the index of the matrix pencil does not depend on the
chosen value A.
N ext, to study the index-2 LSDE (1.1) with variable coefficients, we start with som e
basic definitions for non-autonom ous LSDEs (see ¡2. 3, 7, 8]). Let Qu be any projection


MULTIPOINT BOUNDARY VAU1-; PROBLEMS

3

onto k('ivtn and T„ £ G L (R m) for all 77 > 0 such th a t 7r»|j-r r J is an isom orphism from
k(T/ln onto kerj4n_ i, here wc p u t .4 - 1 := ,4o- Denote again by Tn the m atrix induced by
th e o perator Tn.
L e m m a 2 .3 .

[7] The matrix Gn := A n + B nTnQn is nonsinqular if and only if

ker/ln_i n sn = {()},
where Sn := {z € Rm : B nz € imj4n }.
[7] T he L S D E ( 1. 1) is said to be of index- 1 if

D e fin itio n 2 .4 .

(i) ranki4n = r,
(ii) ker A n - ị DS r , = { 0 }.

Now we suppose that the m atrices Gn are singular for all n > 0, i.e., Eq. (1.1) is
o f higher index. P u t p n := / — Q rJ for all n > 0 and .4+ denotes the M oore-Penrose
generalized inverse of A n.
[7] The follovnng relation

L e m m a 2 .5 .

(Tn + TnPnA+ B nTnQn )iserGn = ker A n..ị n 5 „
is valid.
It is worth noting th at the m atrices (Tn -f TuPnA+ B nTnQn) are nonsingular for all n > 0,
consequently, we com e to the following corollary.
C o r o lla r y 2 .6 .
L e m m a 2 .7 .

[7] rankG u = d im (k er.4n_i

n5„),

Vn > 0.

[7] Let Qn, Qn be two projections onto k er/ln and Tnj Tn € G L (R m)

such that TT1|j^er^ , Tn |^er 4

are two isomorphisms between kcrylr, and ker.4n_ i . Put

Gn := A n -f B nTnQn, Gn := An + B nTnQn and
s hn := {z e R TO : BnPn^ z € im G'n} %s ,.„ := {z 6 R m : BnPn^ z € im Gn}.

Then , there hold the following relations

c,„ = G„(Pn + T~lTuQn), Vn > 0,

(2.2)

kerỡn n SUn+i = (P„ + T~lT„Qn)(kcrG„ n 5i.n+i), Vn > 0.

(2.3)

Remark that th e identity (2.3) ensures that the following definition does not depend on the
choice of the projections onto kcrAn and the isomorphisms between k er/i7l and k e r /in - 1.
For definiteness, we put
1 := Go.

D e fin itio n 2 .8 . [7] T he LSD.E ( 1 .1 ) is said to be of index- 2 if th e following conditions
(i) dim.(kerj4n_ i n su) = m — s,
(ii) k e r ỡ „ _ i n 5 x ,„ = { 0 }

I < s < m — 1,

hold for all n > 0.
From Corollary 2.6, we get that raiikGn docs not depend on th e choice of the projec­
tions onto keryln and the isom orphism s between ker^4n and kerAn_ i , hence we can suppose
that rankc?n = 5 , 1 < 6* < in - 1. Here, Qi n denotes a projection onto kerGn and let
T '] n b e a nonsingular operator with the restriction T\ nlke r r is an isomorphism between
ker Gn and kerGn_ i. We also denote again by T] n the matrix induced by the operator

T ltn.

LE CONG LOI

L e m m a 2 .9 .

[7 The matrix G ]J}

G u -f BnPu_ \ T\ nQ\,n is nonsingular if and only if

kerGn_ ] n S\Jt = {()}.
Moreover, if G \M is nonsingular then

is a projection from R m onto kcrG n_ i (dong S\,n .
From now on* we p ut P \ u := I — Q iin and Pi „ := / - Q \%n.

[7] Suppose that the LSDE (1.1) is of mdex-2 a n d G i,n := Gn + B riP n - \T \uQ \ n .
Then there hold the follouring relations

L e m m a 2 . 10 .

(2.4)
(2.5)
Let Qn, Q n be tw o projections onto ker.4n and Tny Tu € G L (R m) such that 3nri|jn lker 4

arc two isom orPhism s between ker-4n and kcr/4n_ j.

Suppose th at the LSDE

( 1. 1) is of index- 2 , we den ote Q\ u and Q l n by projections onto kerGn along S i fn+i and
onto kerGn along S i,n+ ii respectively. We also introduce operators T \tU T\,n € GL(Rm )

whose restriction 7VnlkerC- (resp. ^i,n|^er^

) is an isomorphism between kerG„ and

kerGn_ i (resp. kerG„ and kerG n_ i) . P u t G liTI := Gu + B nP n -iT itnQ i%n. A similar result
of the relation (2.2) can be established for index-2 LSDEs, namely, we obtain the following
lemma.
L e m m a 2 . 11 . Let the L S D E (1.1) be o f index-2. Then the identity
G],n — G l(n

Pn + T - l Tr,Q„ + T Z ' Q n - i P n - i T ^ Q ^
+ ^ ( P n —1 + T~}l f n-lQn-l)Tlx„Qln

- Ql,„)

(2.6)

is valid for each n > 0 .

(2.7)

( 2 .8 )

(2.9)


MU LTIPOIN T BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Furt her, since jTn_?,7:; ,_iQ „ _i = Qn-.iT~}1 f„ -\Q n- i, we get,

BnPn- l ThnQl,nT ^ { P n^ +

= B„P„. i

f

,

(2.10)

Finally, com bining the relation (2.2) with Eqs. (2 .7 )-(2 .l0 ), we com e to Eq. (2.6), as it
wras to b e proved.
□
W e will give a direct proof o f the following fact, which is easily followed from Lemma
2 . 11 .
C o r o lla r y 2 . 12 . Suppose that the L S D E (1.1)

is of index-2. Then the matrix

Pn + T ~ lf nQ„ + T ~ lQn. iP„-,7\,n§ liB + T-,\{Pn ^ + T ~ '1Tn...\Qn

- Qhn

is nonsingular. Moreover,
(Pn+ Tn 'T nQn+Tn lQ„ - \ P n ~ i f ;i,nQ 1>n+ T ,i ^ (P n_iH'7n7,_!iTn_ iQ n-.i)T itnQx,n“ Q i,n)

= p „ + f - 1rng n+ f - 1Qn_1pn_1T1,nQi,n+ T ^ (p n_1+ f-J 1rn_i Qn_1)r 1,n(3i,„-Qi,„.
(2 .11)

Proof. For th e sake of clarity of th e presentation, we put.

z n := pn+ r - 1rnQn+ f - 1g n_1pn_Ir 1,nQ1,n+ f ^ ( p l_1+f-_11rn. 1Qn_1)r 1,nQ1,n- § 1,n
and

Yn ■= P n + r “ 1f nQ n + T rr 'Q n - l P , . - l T i inQ l n +T£;TJ(P n _ l + r - _ 1]f n_ l Q „ - l ) i ;j 1,13 li„-< 9l,„.
Firstly, we have

PnZ n = P j l,n + P n f ^ ( P n - l + T n 2 ir B- , g „ . , ) T lin5 i ,„ .

(2.12)

Using th e relations T ~ l TnQn = Q nT ^ T nQn and f ~ xQ,>-\ = Qnf ~ ]Qn- i , we get.

T ^ lTnQnZn = Qn + T~ 1Q n - l P n - l 7 ' l , n Q ] , n

(P„_, + f-_1i rn_1Qn_1)T1,„($!,„ - T~lf nQn^ n. (2.13)

+

Since Q iinQn = 0, r ~ i j T n_ iQ „ _ i =

(pn_! + r - _ \f„ - 1Qn-i)(Pn-i + r-_11r„_ii?n_1) = /
and
+ r - _ 11Tn_ 1Q n - i ) r 1,„ g i,„ = § 1,nf ^ ( p l- 1+ r n-_1, r „ _ 1Q n- 1)T 1.nQ 1,ni ( 2 . 14)
it im plies that

T ^ Q n- ,P n- ^ ' J } ynZn = T - l Q n^ P n^ T hnQ hnt

(2.15)

7,7.1 (p „ _ ! + T ^ f n^ Q n- X) f , , nQ l n Z n = Q hn

(2.16)

and

—Ql,nZn

=

—QljiPin ~

jt ( ^ n - 1 +

^ r, _ \ ^ n - 1 Q n - 1) ^1 ,n Q l ,n + < 2 l.n Q l,n *


6

LE CONG LOI

A p p lyin g th e last relation and Eqs. (2.12)-(2.13) and (2.15)-(2.16), we obtain

YnZn = PnP l ,n
+ ' Q l . n O l tn

~ Q l (r» P n 4* Qn +

+(^n +

Q \%
n + Tn 1 Qn~] Pri-\T\^,Q\

1TnQn — Q l tn ) 7 \ ?J ( P „ - l

+Tn\

T n _] Q

„ -f

Tn ]Qn-]P n - l ^ l . n Q

lji

n_\ )T\JXQ\ ,n ~ Tn ]TnQuQ\jr
(2.17)

Since QnQn = Qn and Q \,nQn = 0 . it gives

Pr\Pl.n “ Q ljiPin + Qn + Ql,n = / “ Ql,n + QnQl.n*
Prom Eq. ( 2 . 2 ), we get Q ln = (P r, +

(218)

l r n Q n)Q 1%n, hence

Q l.nQ i.n = Ql,n-

(2.19)

N oting th a t Q n- i Q n - i = Q n -i and Q n - iQ n - i = Q n -i. we com e to the relation

= 0.

(2.20)

O n the other hand, using Eq. (2.2) once more we find th at Q i,n = (P n + l ^ 1Tn Q n)Q i%n.
C om bining th e last equation w ith Eq. (2.14) we have

{Pn + T -'T n Q n - Q i,n) f £ ( P n- i + T ~ l}Tn_ 1Q n_J)T ,,nQ

i - 0.

( 2 .21 )

From Eqs. (2.17)-(2.21), it follows th at

YnZn =

^ “ 0 ],n +

Q n Q \ %n + Q\,n

Tn ^ n Q

“

n Q l.n

/ + (Pn + T ^ T „ Q n - l) Q hn + Q „ { I - T ~ l f nQ n ) Q l
=

= I + Qn (T~lTnQn = I,

/ ) § ! , „ + Q r ,( / -

which leads to Eq. (2.11). T hus, th e proof of Corollary 2.12 is com plete.

3.

□

M u l t ip o in t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s

3.1. C o n s t a n t c o e ffic ie n ts c a s e . We shall consider the L SD Es w ith constant, coefficients

Azi+ i = B x i + <7t,

i = 0, N - 1,

(3.1)

together w ith the boundary con d itions
N

^ C iX ,: = 7,

( 3 .2 )

¿=0
w here A ,B ,C r
than one.

e Rm*m, qi, 7 6 Rrn are given and suppose th a t v := in d (A , B ) is greater

We su p p ose that A € C such th at det(A>4 + Z?) ^ 0. M ultiply Eq. (3.1) by (A .4+ S )“ 1
from the left to obtain

A\Xi+ 1 = Bxxi + .ft,

z = 0, jV —1,


MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS

where qt := (AA + B) lql for all i = Q,N — 1. According to T heorem 2.1 th ere exists a
nonsingular m atrix T G R mxrn such th a t
r ' M> = ( o

T - ' B , T . [ ' - aXC

“) '

(3.3)

w here C G Rrx r is nonsingular w ith r := rank/4^ and U G
js nilpotent of
th e order v. Letting x x = Ty, and fi = T ~ l qx, then we can rew rite Eq. (3.1) as

e

:

)

®

.-•») ( # . > ( ? ) ■

w'here y\l \
G R r , y\2\
G Rm -r . Note th a t when v = 1 then U = 0 and in this
case we easily obtain solutions of th e above difference equation. T he problem of solving
(3.1). (3.2) is not difficult, hence, it is om itted here due to lack of space. In th is paper
we consider th e case v > 2, i.e., U
0. However, it is easy to see th a t these results are
still valid for th e case v — 1 . Since U has only the eigenvalue 0, it yields th a t / — XU is
nonsingular. Besides, noting th a t C is a nonsingular m atrix, we find th a t all solutions of
Eq. (3.1) are given by
= ( A f B t f A f A x x o + (Bx A \ ) N i(I - A ? A x)xN + £

{A ° B x)lA%qM

1=0

~ [I — AXA\)

(Bx A \ ) 1B x qi+i,

r = 0JV, (3.4)

1=0

where

= (A>1 + B ) ~ }qt (? = 0, N - 1), 3?o, %n £ R m are a rb itra ry vectors. Here it is

-l

assum ed th a t J2 = 0.

1=0

Notice th a t th e form ula (3.4) has also been established in [4]. F u rth er, applying
Theorem 2.2 we see th a t th e solution form ula (3.4) is independent of th e chosen value A.

Remark 3.1. An im portant special case is when A is nonsingular. To stu d y M PB V P (3.1),
(3.2), instead of (3.4), we usually use the following solution form ula
x, = (A~l BYx o +

*= M f,

/=0
where xo € Rm is an arb itra ry vector. In another im p o rtan t special case, when B is
invertible. T he solution to (3.1) is given by
N - i - l

Xi = ( B - 'A f - 'm H -

£

( B - l A)lB - \ + u

t = 0T^,

1=0
where
G R m is an a rb itrary vector. These results were discussed in th e theory of
boundary value problems for ordinary difference equations, we refer th e reader to [l] for
m ore details. T he purpose of this paper is to study the M P B V P (3.1), (3.2) in th e case,
where A and B are both singular. Clearly, (3.4) is a generalization of th e above formulae
in Rem ark 3.1.
Let

(i = 0, N ) be the fundam ental solution of Eq. (3.1), i.e.,
A X i+ i = B X i ,

i = 0. N - 1.


LE CONG LOl

It, is dear that

A\ = (Aj>Bx)*Af>Ax + { B ° A x f " ( I - A » A x )y

i = 0, N.

P u t A,(I) := (> 4 fS A) ' A f A x, X j 2) := ( B ° A xf - l( I - A ° A x ) (i = OJV), D x = £ C , x \ ' \
i- 0

D2 = £ CxX f ] and 7 * := 7 - £ C^z,, where
i= 0

t= 0

Zi :=

- ( / - A ° A X) £

(A ?

{ B ? A x) 1B ? q i+h

i = OJV.

In w hat follows, we shall deal with the (m x 2m ) matrix ( D i , ^ ) with columns of Dj and
D 2 and the ( 2m x 2m ) matrix

R •=

° - ^

From Theorem 2.1 it follows th at the matrices (D ^ D o ) and R do not depend on the
chosen value A.
T h e o r e m 3 .2 . Suppose that the matrix pencil (A, B) is regular and \nd(A, B) > 2. Then
the M P B V P (3.1) and (3.2) has a unique solution if and only if
ker ( D u D 2) = ker R

(3.5)

and it can be represented as
x i = XifVCD
' i* +, Xv(2)
r 'C + *i>
where (£r\ CT)T — (-Dj ^ 2)^ 7 *
sense of (D\, Di).

(-Di-, •D2)4’

i = 0, AT,

(3.6)

the generalized, inverse in Moore-Penrose's

Proof. Due to our construction, the relation
ker ft C k er(D 1? D 2)
is valid.
Assum e that the M PB V P (3.1), (3.2) is uniquely solvable. Let ( x j , x ^ ) 7 € k er(D j, D 2 )
then

Djx 0 + i?2^Ar = 0.
P u ttin g x* := X ^ ’Xq -f x f J)x/v (i = 0,JV), we find th at {x*}£L 0 is a solution of the
hom ogeneous M PB V P (3.1), (3.2) with qt = 0, (i = 0, N - 1)
and 7 = 0 . Since the
hom ogeneous M PB V P (3.1) and (3.2) has only a trivial solution, it follows x* = 0 for all
i = 0 , . . . , N. In particular, we have Xq = 0 and x*v = 0, hence,

.4 ? A xx 0 + ( B ? A xf ( J - A ° A x) xN - 0

(3.7)

( A ° B x f A ? A xx 0 + ( / - A ? A x)xN = 0.

(3.8)

and
From Eq. (3.3) and the facts th at
aD

_ t (C- 1 0\

{ 0

o )J

!

bd

'

_ t ((I-^C )d
0

- 1 V

0

\

( I - X U ) - 1) 1

!

'


MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS

it f o l l o w s t h a t

A?AX = T ^

°)r -\

=

(} j

t ~\

(3.9)

and

( I _ ° u r w ) T - ‘.

A f B , = r ( C “ '<'0- AC> “ ) r - ‘ ,

(3.10)
N ext, applying form ulae (3.9), (3.10) and p u ttin g (y£n .y(02) )T := T - 1xo, ( y $ ,y {y

)l :=

T _1xn w ith y^1', y'^ € Rr , wc can reduce the equalities (3.7), (3.8) to
iP o ’ - O ,

{ ( {I - X U ) - W ) Ny V = 0

i ( C - 1( / - A C ) ) JVy f , = 0,
a n d U 2) = 0,

respectively. T hus, we obtain

fo=TG,

xo = T ( T l ,

x„

=T

w here £ G R Tn“ r a n d rj G Kr arc arb itrary vectors, or xq €kcr(Ax A\) and xjv G kcr (I A XA\), hence (x ^ .x ^ ) 7 G ker/?. This means th a t the inclusion
ker(D i,Z>2) C k e r R
m ust be true, and consequently, (3.5) holds.
Conversely, let (3.5) be valid. Then for each qx G Rm {i = 0, Ar - 1) ajid 7 G Rm a
solution of th e M PB V P (3.1), (3.2) is determ ined by (3.4) and

D jxo + D2x n = 7* •
Let qt - 0 for all i = 0 , . . . , TV — 1 and 7 = 0, then xo and xpj satisfy the following
equality

DiXq4- D2XN= 0.

Therefore, we have (x^.xj ^ ) 1 G ker(D i, D 2) = ker R. Now (3.4) ensures th a t th e homoge­
neous M PB V P (3.1), (3.2) has only a trivial solution.
According to the formula (3.4), any solution of (3.1) can be expressed as (3.6) where
C€
rdie constant vectors. T his solution satisfies the boundary condition (3.2) if and
only if
D ,i + Z>2( = 7*
which means th a t (£,T,i,l )f = (jD]1 Z?2-)*f 7 *- Thus the unique solution of (3.1), (3.2) has
the representation (3.6). Theorem 3.2 is proved.
□
It is easy to see th a t dim (kcr/2) = m. Denote p := d im ( k e r ( D i, D2)). We now
consider a case, when (3.5) does not hold, i.e., p > m and the problem (3.1), (3.2) has
either no solution or an infinite num ber of solutions. Let q := d im (k e r(D i, D2)T). We
denote by {u’f}™] and {u’iJJLj certain bases of ker R and k e r ( D i,Let W G Rqxm be a row m atrix whose rows are vectors Wi (2 = l,g ). Using th e fact
th a t k e r R C k e r ( D i, D 2), we can extend {w?}£Li to a basis
of kev(Di, D2). Let
v? G Rm be th e first and th e second groups of com ponents of
i.e., w® — (u® , t;t° )7 ,
(z = 1 ,p). We construct the colum n m atrices

:= X ^ U + (i = 0,7V), where

10

LE CONG LOl

U :=
V := (ifn+i, •. • ,1$) G R™ *^ "'K To represent solutions of the
M PV B P (3.1), (3.2) we introduce a linear op erato r C acting in R w|( ^ + i)t defined by

N

T

C(x%,... ,x j/ ) r := (^(Axi - B x0) r , . . . , { A x N - B x N- i ) Ty( Y ^ C iX ,)T^ .
i-0

k e r£ = { ((^ q a )7*,. . . , ($ no )t )T : a G R?i“ m }.

L e m m a 3 .3 .

Proof. W e suppose th a t x = ( x j , . . . , xjy)T G { (($ o a )7\ . . . , ($wa)r )T : a G Rp~m },
i.e., there exists a vector a G Rp~m such th a t x% = $ ,a , i = 0, N. T his leads to xt =
xf^lS a + x j 2 ^Va. From Eqs. (3.9) and (3.10), by simple com putations we find
A X t(l \ = B X j1} an d A x £ [ = B X t(2\

i = (IN - 1 .

Using th e above equations, we have

Lx

:=

{(Ax\ - Bxq )7 , . . . , (A x * - B x n - i )T ) 7

=

((M X < n - B X ^ ) U a f , . . . , {(AX'" - B X ^ _ ,)lla )T) T

+ ({(A X \2) - BX™ )Va)T ........ ((AX™ - S X ^ V a ) 7' ) ' '
=

0.

TV

D enote Tx := JZ C\X\ = D\Ua+ DoVa. Since U and V are column m atrices whose columns

i=0
are u?, t»,0 and ( u ^ t / f 7 )r G fcer(i?i, JD2) (i = 711 + l^p)» it gives th a t DiZY -f D^V = 0,
which im m ediately follows Fx = 0. T hus, we o b tain Cx = 0, which m eans th a t
{ ((< M )T, . . . , ($jva)T)T : a £ Rp~m } C k e r£ .
Conversely, assum e th a t x = ( x q ---- - x ^ y 6 kor£, i.e,

f Ax{+\ = B xu
N
£ C to = 0 .

i = 0, N - 1,

1=0

Due to th e form ula (3.4), x, =

+ X t(2^( (7 = 0,7V), where vectors

€ R m satisfy

the relation
= 0, hence we have ( ( T - ( T)r G k e r( D j, D?). Since
,v1
£r )T
(k = 1 , p) is th e basis of ker(£>i, /> 2), th ere exists a sequence {aa- }7a!_ j such th a t (£r , CtT)[ =
¿ ockiuf , v f )T, hence £ = £
1. — 1
I— 1
fc=]
fc=l
m

Xi

= ¿ a * ( A ' , (1 )u g + A 'ti 2 )t?°) +

k—1

and C = £

Thus,

ib—11
p

^

O fc ^ ^ u JI

+

A ,(2 \> £ ) ,

i = 0 ,...,N .

/c~m-f 1

O bserving th a t (w*7* » ^ 7 )7 ^ k e r/i, i.e., A%Axu{l = 0 and ( / - Ax A\)v® = 0 for all

k = 1 , . . . , m, we find

= 0 and x j 2 ^v% = 0 for all k = 1, m , i = 0,JV. Thus,

/c=m+l

A
‘=m+1


11

MULTIPOINT BOUNDARY VALUK PROBLEMS

T aking a := (o m+1, . . . ,a p)T € W'~"\ wc get x, - X ^ U a + x f V a (r = 0 ,:JV), i.e.,
x, = <i>,« for all ? = 0 , N where a €
a G I ' ' - " 1}, i.e.,

T hus, we obtain x £ { ((«I'd«)7 , . . . , {$ncl )j ) 7 :

k cr£ C { ((V i ) T, • • •, (* N o )T) r : a €

T he proof of Lem m a 3.3 is complete.

□

T h e o r e m 3.4. Let the matrix pencil (A,B) be regular and ind(A , B) > 2.
problem (3.1), (3/2) is solvable if and only if

W Y =0.

Then, the
(3.11)

Moreover, a general solution of (3.1). (3.2) has the following form
x i = X,(1)f + X , (2)<;+ * + * ,« ,

i = (IN ,

whew a £ R ;'~m is an arbitrary vector and (£y , ( y ) 7 = (D\,
generalized inverse in Moore-Penrose's sense of ( D j, Do).

(3.12)

with (£)],£?2)+ is the

Proof T he problem (3.1), (3.2) is solvable if and only if ( qq \ . . .
€ im £ , i.e.,
there exists x = ( x Q , . . . , x £ ) r 6 RTni7V+1) satisfying £ x = (q \ ___ ,g jv -ji 1 T )T• Equiv­
alently,there exist
vectors € Rm such th a t x, = X \ 1 *£ + A^2^ __ + ^ (i = 0, ;V) and
N

£ CiXt = 7 . T hus, the system (3.1), (3.2) possesses a solution if and only if t here ex-

i-O

ist vectors £ ,( € Rm such th a t D\£ 4= 7 *. Using th e fact th a t \m(D\, D2 ) =
(k e r(D i,
we come to th e conclusion th a t th e M PB V P (3.1), (3.2) is solvable if and
only if 7 * £ (k er(D j, D 2) r )1 . Thus, th e problem (3.1), (3.2) possesses a solution if and
only if (3.11) is valid.
Finally, thanks to Lem m a 3.3 and th e form ula (3.4), to show th a t (3.12) is a general
solution form ula of the problem (3.1), (3.2) wc only need to prove th a t Xi is given by
x, =
+ X^C +
(i = 0, N) w ith UTX Ty = (Dl,D 2 )+7 \ is a p a rticu la r solution
of th e above m entioned problem. T hus, Theorem 3.4 is proved.
□
Theorem 3.9 and Theorem 3.13 ensure th e following corollary.
C o r o lla r y 3.5 . (Frodholm a lte rn a tiv e ) Suppose that the matrix pencil ( A . B ) is regular,
in d (i4 ,B ) > 2 and let p := d im (k e r(D j, D 2) ) . Then
1 / Either p = m and the M P B V P (3.1). (3.2) isuniquely solvable for any data ft

(? = 0, TV — 1 ) and 7 ;
2 / Or p > rn and the M P B V P (3.1). (3.2) is solvable if and only if the condition
(3.11) is valid.

Moreover, there holds the solution formula (3.12).
3.2. V a ry in g c o e ffic ie n ts c a se . In this subsection, wc shall deal with th e M P B V P s for
th e non-autonom ous LSDEs as follows

AiXi+i

=

BiX{ + ft,

i =Q.N — 1 ,

(3.13)

N

Y , CiX. = 7,
*—0

(3.14)

where Au Bi,Ct € R mxm, f t , 7 € Rm are given and suppose th a t th e LSDE (3.13) is of
index-2 in the sense th a t there hold th e following relations