Bài giảng Giải tích 12 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Kiểm tra bài cũ:

1. Nêu các công thức tính diện tích hình phẳng ?
Đáp án:
­ CT tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là: b
S

f ( x ) dx

a

­ CT tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm 
số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và các đường thẳng 
x=a, x=b là b
S

f ( x)

g ( x) dx

a

2. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích 
đáy bằng B và chiều cao bằng h?
V=Bh
3. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy 
bằng B và chiều cao bằng h?
V

1
Bh
3


II. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích của vật thể
b

V = S ( x ) dx
a

(1)

S(x)
S(x)

x
O

a

x

b


Ví dụ 
1

Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy
bằng B và chiều cao bằng h.

Giải: 
Chọn trục Ox song song với 
đường cao của khối lăng trụ, còn 
hai đáy nằm trong hai mặt phẳng 
vuông góc với Ox tại x=0 và x=h. 
Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông 
góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo 
thiết diện có diện tích không đổi 
S(x)=B; (0< x 
V

h

S ( x)dx
0

h

Bx
0

h

x

Áp dụng CT (1) ta có:

h

x

Bh
0

O

S(x)=B


2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt 
a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và 
chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.
O

Ta có:
b

V = S ( x ) dx
Xét phép:
x
h
O

S(x)

x

a

x2
V : S � S ( x) � S ( x) = 2 S
h
h
S 2
Sh
� V = 2 x dx =
h 0
3

h

B

A

x


b) Từ công thức và cách tính thể tích khối
chóp, hãy xác định công thức tính thể tích 
khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có 
diện tích hai đáy lần lượt là B, B và chiều cao 
bằng h
Ta có: OM=a; ON=b (aS O
b

V
a

B

x2
B 2 dx
b

(b

V

a ) (a 2
.

3
h
(B
3

B
3
(
b
3b 2
ab
b2
BB '

,

B

a3 )

a
M

b2 )
B' )

B

b

N

x


3. Thể tích khối tròn xoay:
a). Giả sử hình giới hạn bởi các 
đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 
quay quanh trục Ox
Tạo thành một vật thể tròn xoay 
T.
•Thiết diện của vật thể T, với  
mp vuông góc với Ox tại điểm  x, 
là một hình tròn bán kính y = f(x)

Diện tích thiết diện: S(x) =  y2
               
b
2
Thể tích V của vật thể:
V = π y dx
a


Ví dụ2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
2
y
x
hàm số                    các đường thẳng x=1, 
x=2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn 
xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh 
trục hoành.
2

Đáp số

V

x dx
1

Bạn giỏi
quá!

4

y

31
5
O

1 2

x


Ví dụ 3:
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các 
đường y=cosx, y=0, x=0 và x=Π/4. tính 
thể tích của khối tròn xoay tạo thành 
khi quay hình A quanh trục hoành
Đáp số

V

4
0

Đúng rồi!

2

cos xdx

(

2)
8


Ví dụ 4:
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn 
bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng 
thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt 
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có 
hoành độ x (0có hai kích thướ
2 9c là x và  
x2
Đáp số

3

V
0

Bạn giỏi
quá!
2 x 9 x 2 dx


11