DE ON THI HK2 K11.NC09

ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009
ĐỀ 1
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Cho cấp số nhân (
n
u
) có
4 6
3 5
u u 120
u u 60
+ = −


+ =

.Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân .
Câu II ( 3,0 điểm )
a. Chứng minh rằng dãy số (
n
u
) với
2
n
2
n 1
u
2n
+
=

là một dãy số giảm và bị chặn .
b. Tìm giới hạn sau :
2
x 2
x 5 3
lim
x 2
→
+ −
−
c. Cho hàm số
2
ax 2
f (x)
n 2

≤
=

− >

nÕu x
2x 1 Õu x
.Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục trên
¡
.
Câu III ( 3,0 điểm )
a. Tìm đạo hàm của hàm số
3
y tan x=

.
b. Tính gần đúng giá trị
sin 29
o
.
c. Chứng minh rằng phương trình
2
cos x x−
= 0 có ít nhất một nghiệm .
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và AA’ =
a 2
2
. Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ .
a. Chứng minh rằng : AB
⊥
mp(COO’) .
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi
1
u
là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân .
Áp dụng công thức :
n 1
n 1
u u .q

−
= , ta có :

3 5 3 2
1 1 1
4 6
2 4 2 2
3 5
1 1 1
u .q u .q 120 u .q (1 q ) 120 (1)
u u 120
u u 60
u .q u .q 60 u .q (1 q ) 60 (2)
 
+ = − + = −
+ = −
 

⇔ ⇔
  
+ =

 
+ = + =
 
Lấy (1) chia (2) , ta được :
q 2= −
. Thay
q 2= −
vào (2) :

2
1 1
u .q (1 4) 60 u 3+ = ⇔ =
Vậy cấp số nhân này có
1
u 3, q 2= = −
.
Câu II ( 3,0 điểm )
a. ( 1đ ) Ta có :
n
2
1 1
u
2
2n
= +
. Suy ra :
+
n 1 n
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
u u ( ) ( ) 0, n 1
2 2
2(n 1) 2n 2(n 1) 2n
+
− = + − + = − < ∀ ≥
+ +
. Suy ra (
n
u

) là dãy số giảm .
+ Vì
n
1
u 1
2
< ≤ ∀ ≥ , n 1
nên (
n
u
) là một dãy số bị chặn .
b. (1đ )
2
2 2
2 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 5 3
x 5 9 x 4 x 2 2
lim lim lim lim
x 2 3
(x 2)( x 5 3) (x 2)( x 5 3) x 5 3
→ → → →
+ −
+ − − +
= = = =
−
− + + − + + + +
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 1 -
ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009
c. (1đ) Tập xác định D =

¡
+ Nếu
x 2<
thì
2
f (x) ax=
là hàm số liên tục trên
( ;2)−∞
với
a
∈
¡

+ Nếu
x 2>
thì
f (x) 2x 1= −
là hàm đa thức nên liên tục trên
(2; )+∞

Do đó : hàm số f(x) liên tục trên
¡

⇔
hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2

2
x 2 x 2 x 2 x 2
3
lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 3 4a a

4
+ − + −
→ → → →
⇔ = = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Vậy với
3
a
4
=
hàm số đã cho liên tục
¡
Câu III ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có :
3 3 2
2 2 2
3 3
3. tan x
1 1 1 1 1
y tan x y' .(tan x)' .3tan x. .3tan x.
2 tan x
cos x cos x 2cos x
2 tan x 2 tan x
= ⇒ = = = =
b. (1,0đ) Áp dụng công thức :
o o o
f '(x x) f (x ) f '(x ). x+ ∆ ≈ + ∆

Phân tích :
29 30 1 ( )
6 180

π −π
= − = +
o o o
. Chọn :
o
x , x =
6 180
π −π
= ∆
Đặt f(x) = sinx , ta có :
1 3
f '(x) cosx , f( ) sin , f '( ) cos
6 6 2 6 6 2
π π π π
= = = = =
Suy ra :
1 3
sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) . 0,9954
6 180 6 180 6 6 180 2 2 180
π −π π −π π π −π −π
= + = + ≈ + ≈ + ≈
o
Vậy :
sin 29 0,9954≈
o
c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) =
2
cos x x−
liên tục khi
x 0

≥
.
Ta có : f(0) = 1 , f(
2
π
) =
2
π
−
< 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm .
Câu IV ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có :
∆
ABC đều nân AB
⊥
CO .
Mặt khác :
AB OO'⊥
. Vì OO’ // AA’ và AA’
⊥
(ABC)
Suy ra :
AB (COO ')⊥

b. (2đ)
+ Xác định :
Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB .
Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’) .
Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)]
Ta có :

AB (COO') ( câu 1)
O'B' (COO') (CO'B') (COO')
O'B' (COO')
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Do đó khi kẻ OH
⊥
O’C thì OH
⊥
(CO’B’) ,
H (COO')∈
+ Tính khoảng cách :
Tam giác COO’ vuông tại O . có đường cao là OH nên

2 2 2 2 2 2
2
2
1 1 1 4 2 10
OH OC OO' 3a a 3a
a 30
3a
OH OH
10 10
= + = + =
⇒ = ⇒ =
Vậy : d(AB,CB’) = OH =

a 30
10
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 2 -