TÀI LIỆU THAM KHẢO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (245.68 KB, 17 trang )
CHUN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
1. Sử dụng phương pháp biến đổi: biến đổi tương đương, phân tích thành phương trình dạng
tích, nhân chia biểu thức liên hợp…
Ví dụ 1. (Trích đề thi ĐH Khới A - 2004) Giải bất phương trình:
2( x 2 16)
x 3
x 3
7 x
.
x 3
Lời giải
ĐK: x 4
2( x 2 16) x 3 7 x
Bpt
x 5
x 10
10 34 x 5
x 2 16 0
10 2 x 0
2
2( x 16) 10 2 x
10 2 x 0
2
2( x 16) (10 2 x) 2
34
2
VT(*) < 0 (do x ) nên (*) vơ nghiệm
3
Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau: ( x 2 3 x) 2 x 2 3x 2 0 (2)
Lời giải
Ta xét hai trường hợp:
x 2
TH 1: 2 x 3 x 2 0
, khi đó bpt ln đúng.
x 1
2
2
2
2 x 3 x 2 0
TH 2: BPT
2
x
3
x
0
1
1
x ; 2;
2
x ; 3; .
2
x ;0 3;
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: T ( ;
1
] {2} [3; ) .
2
x 2 xy 2 y 2 y 2 2 x (1)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
.
(2)
y x y 1 x 2.
Lời giải
(3)
x y
2
2
2
ĐK: x y 1 0. (1) x y xy y 2 y 2 x 0 ( x y )( x 2 y 2) 0
x 2 2 y (4)
Từ (3) & (2) ta có x=y=1.
x 2 2 y
Từ (4) & (2) ta có
y 3 3 y 2 y
y 0; x 2
y 1 ; x 8 .
3
3
8 1
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm x; y 1;1 ; x; y 2; 0 ; x; y ; .
3 3
2 xy
2
2
x y x y 1 (1)
Ví dụ 4. (Trích Báo TH&TT) Giải hệ phương trình:
x y x2 y
(2)
Lời giải
ĐK: x y 0.
2
2
Ta có (1) x 2 xy y
2 xy
x y 1
2 xy 1 ( x y ) 2 1 2 xy.
0
x y
xy
(3)
x 1 y
2
2
x y x y 0 (4)
x y
Vì x y 0 nên phương trình (4) vô nghiệm.
y 0; x 1
2
Từ (3) và (2) ta có y 3 y 0
.
y 3; x 2
2 xy
( x y 1) x y 1
0
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm x; y 1;0 ; x; y 2;3 .
1
(1)
3 x (1 x y ) 2
Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG QG 1996) Giải hệ phương trình:
7 y (1 1 ) 4 2 (2)
x y
Lời giải
ĐK x 0; y 0.
Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 không thõa mãn hệ.
Với x >0, y >0 ta có
1
2
1
2 2
1
1
x y
3x
3x
7y
1
1
8
( nhân vế với vế)
x y 3x 7 y
1 1 4 2
1 1 2 2
x y
x y
7y
3x
7y
21xy (7 y 24 x)( x y) 24 x 2 38 xy 7 y 2 0 y 6 x (vì x, y dương).
Thay vào phương trình (1) ta được
Từ đó suy ra x và y.
1
2 1
1
2
1
.
1 0
7
.
7x
3 x
x
21
3
4
Bài tập tương tự:
4
1 2
x
4
1 2
y
4
x y
2
x y
( Trích đề thi HSG Cần Thơ – 2012)
x y
1
x y
Ví dụ 6. Giải bất phương trình: 2 x3 (1 2 x 3x 2 ). 2 x 1 .
Lời giải
y 0
Đặt y 2 x 1 2
, ta được bất phương trình
y 2 x 1
2 x 3 y 2 3 x 2 . y 2 x 3 3 x 2 y y 3 0 (2)
*TH1: Xét y = 0 khi đó x
1
1
thay vào BPT thỏa mãn x là nghiệm
2
2
3
2
2
x
x
x x
*TH2: Xét y > 0 khi đó BPT (2) 2 3 1 0 2 1 1 0
y
y
y y
x 1
y 2 x
y 2
suy ra
x 0
1
2 x 0
2
x
1
0
.
2 x 1 2 x
x 0
1 5
0 x 4
2 x 1 4 x 2
1 1 5
Vậy tập nghiệm của BPT là S = ;
.
2
2
3
2
2 x x 2 x y y
x, y .
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 2
x
12
x
12
y
3
3
y
2
x
1
Lời giải
ĐK: x 0; y 0 .
2
2
2
Phương trình (1) x 2 x 1 y 2 x 1 x y 2 x 1 0 x y
(Vì 2 x 2 1 0, x ).
Thế vào phương trình (2) ta có
x 2 12 x 12 x 3 3 x 2 x 1
Đặt a 2 x 1, a 1 , ta có phương trình
x2 3 2 x 1
2
3 x 2 x 1
2
2
2
2
x 2 3a 2 3x a x 3a 9 x 6ax a
a x
2
2
x 2 3a 2 9 x 2 6ax a 2 8 x 6ax 2a 0
a 4 x L
x 1 2
x 3 2 2
Khi a x , ta có x 2 x 1 x 2 x 1 0
x 1 2 L
y 3 2 2 . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 3 2 2;3 2 2 .
Bài tập luyện tập:
Bài 1. Giải phương trình: 10 x 2 3x 1 1 6 x x 2 1 ( Đề thi HSG Lạng Sơn 2012)
Bài 2. Giải bất phương trình: x 3 3 x 2 2
Bài 3. Giải bất phương trình
x 2
3
6 x 0 ( Đề thi HSG Nghệ An 2012)
6( x 2 3 x 1) x 4 x 2 1 0
2
2
3
Bài 4. Giải phương trình: 4 2 x 1 3 x 2 x 2 x 1 2 x 5 x .
Bài 5. Giải phương trình: 2 x 2 x 6 5 x3 8
Bài 6. Giải phương trình 2 x 2 5 2 x 1 x 2 .
x 3 2 y 2 x 2 y 2 xy 1
Bài 7. Giải hệ phương trình:
2
3
2 x 2 y 1 3 y 14 x 2 2
y
2
x x y 3 x y
Bài 8. Giải hệ phương trình:
2 x 2 y 2 3 2 x 1 11
Bài 9. Giải phương trình:
Bài 10. Giải phương trình:
x 7 10 x x 2 2 x 66 0
3x 1 5 x 4 3x 2 x 3
Bài 11. Giải phương trình: x 1
1 3
x x 2 8 x 2 3 x 3 20
2
x y 1 1 4 x y 2 3 x y
Bài 12. Giải hệ phương trình:
3
2 x y
2
Hướng dẫn giải
Bài 6.
Phương trình đã cho 2 x 2 5 6 2 x 1 2 x 2 4
2
x2 4
2
x 5 3
2
x 2
( x 2)( x 2)
x 1 1
x 2
2( x 2)
2
x 2 (1)
2
x 5 3
x 1 1
Ta có phương trình (1)
2
x 2 1
x 1 1
0 nên (1) vô nghiệm.
x2 5 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 2; 2 .
Bài 7. ĐK x 2 2 y 1 0
Từ (1) ta có x=y hoặc x2 = 2y (Loại)
2
x = y, thay vào phương trình ta có: 2 x 2 2 x 1 3 x 3 14 x 2
2 x 2 2 x 1 3 x 3 14 x 2 0
2 x2 2x 1 1
0
2
3 3
x 14 x 2 x 2
3 x2 2 x 1
3
x
3
14
2
x 1 2
x 2 2 x 1 0
.
x 1 2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 1 2;1 2 ; 1
2;1
2 .
x 2 x y 3 x y y 1
Bài 8. Hệ đã cho tương đương với
2
2
2 x y 3 2 x 1 11 2
Từ (1) suy ra y 0 , vì nếu y<0 thì x-y>0, do đó VT(1) > VP( 1)
1
x2 x y
x2 x y
3
x y 1
x 2 x y y 0
x y 1
3
2
x y 3 x y 1
x2 x y y2
x2 x y y
0
x2 x y
x y
0 x y 1 0
x y 1
2
3 x y 2 3 x y 1
x x y y
Thế y x 1 vào phương trình (2) ta được:
2
4 x 3 4 x 2 3 2 x 1 11 2 x 1 3 2 x 1 10 0
3
2
Đặt t 2 x 1, t 0 , ta có t 4 3t 10 0 t 2 t 2t 4t 5 0 t 2
Khi đó
5
3
5 3
y . Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ; .
2
2
2 2
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
2 x 1 2 x
x 2 y 2 xy 1 4 y
(1)
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
2
2
y ( x y ) 2 x 7 y 2 (2)
Lời giải:
Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ.
x2 1
y x y 4
Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được:
2
( x y ) 2 2 x 1 7
y
a x y
a b 4
Đặt
x 2 1 ta có 2
a 2b 7
b y
Từ đây ta tìm được x và y.
b 4 a
2
a 2(4 a) 7
b 4 a
2
a 2a -15 0
a 5, b 9
a 3, b 1 .
5
2
3
2
x y x y xy xy 4
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
x 4 y 2 xy (1 2 x ) 5
4
Lời giải:
5
2
2
x y xy ( x y ) xy 4
Hệ đã cho tương đương với
( x 2 y )2 xy 5
4
x 2 y a
Đặt
, ta được hệ mới
xy b
5
a ab b 4
a 2 b 5
4
5
2
b 4 a
a 5 a a 3 5 a 2 5
4
4
4
a
5
3
2
a a 4 0
a 0; b 4
5
2
a 1 ; b 3
b a
4
2
2
Từ đó ta tìm được x, y.
Ví dụ 3. (Đề thi HSG Vĩnh Long 2012) Giải phương trình: 4 x 2 x 1 1 5 x 4 x 2 2 x3 x 4
Lời giải:
Đặt t x 2 x 1, t
3
. Khi đó phương trình trở thành:
2
4t t 4 7t 2 5 t 4 6t 2 9 t 2 4t 4 0
2
2
t 2 3 t 2 0 t 2 t 1 t 2 t 5 0 (*)
t 2 t 1 0
(*) 2
t t 5 0
Với t
3
1 5
thì t 2 t 1 0 có một nghiệm là t
2
2
Với t
3
1 21
thì t 2 t 5 0 có một nghiệm là t
2
2
2
1 5
1 5
2
Khi t
thì x 2 x 1
2 x 2 x 1
2
2
x
1
5 0
3 2 5 hoặc
1 3 2 5 .
x
2
2
2
1 21
1 21
2
Khi t
thì x 2 x 1
2 x 2 x 9 21 0
2
2
x
1 19 2 21 hoặc
1 19 2 21 .
x
2
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1 19 2 21 ; x 1 19 2 21 .
2
2
Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau
1
1
2
2
2
x 2 1 y x y 4 y 0
x y x 2 y 2 5
x y xy ( x y 4) 0
1)
2) 2
. 3) 2
( x y )( x y ) 4 xy
x x y 2 x 2 0
xy 1 2 x 2 y 2 2
2
2
2
4 x 4 xy 4 y 51 x y 3 0
4)
2 x 7 x y 1 0
x 2 y 2 2 y 2 16 11xy
5) 2
2
2
x 2 y 12 y 3xy
3.Phương pháp hàm số.
Phương pháp hàm số là một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình. Muốn làm tốt phương pháp này ngồi việc nắm chắc các kĩ thuật sử dụng
hàm số còn cần phải chú ý những sai lầm thường gặp trong phương pháp này. Khi giải các bài toán này
thường sử dụng một trong các tính chất sau:
Cho K là một khoảng ( hoặc là nửa khoảng, hoặc là đoạn)
Tính chất 1: Cho hàm số y f x liên tục trên K, nếu hàm số y f x ln đồng biến hoặc ln
nghịch biến trên K thì phương trình f x c (c là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên K.
Tính chất 2: Cho hàm số y f x ; y g x liên tục trên K, nếu hàm số y f x luôn đồng biến trên
K, y g x luôn nghịch biến trên K thì phương trình f x g x có nhiều nhất một nghiệm trên K.
Tính chất 3: Cho hàm số y f x liên tục trên K, nếu hàm số y f x luôn đồng biến hoặc luôn
nghịch biến trên K thì với u , v K ta có f u f v u v .
Tính chất 4: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên K, nếu phương trình f ' x 0 có nhiều
nhất n nghiệm trên K thì phương trình f x 0 có nhiều nhất n+1 nghiệm trên K.
Tính chất 5: Cho hàm số y f x liên tục trên K, nếu hàm số y f x luôn đồng biến trên K thì với
u , v K ta có f u f v u v .
Ví dụ 1. (Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) Giải phương trình:
2 x 2
3
x 5 2 2 x 5 3 x 1 ( x ) .
Lời giải
5
Điều kiện xác định: x .
2
Phương trình đã cho tương đương:
3x 1
3x 1
3
3 x 5 2 2x 5
x 5 2 2x 5
0
2x 4
2x 4
3x 1
5
f ( x) 3 x 5 2 2 x 5
Đặt
với x thuộc ;
2x 4
2
1
2
10
f '( x)
0 với x 5
2
2
3
2
x
5
2x 4
3 x 5
2
5
hàm số f ( x) đồng biến trên ; .
2
phương trình f ( x ) 0 có tối đa một nghiệm
Ta có f (3) 0
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3
Nhận xét: Ngồi việc nắm rõ tính chất 1, để giải được bài tập trên cần phải lựu chọn đúng hàm số cần
khảo sát. Ta xét tiếp bài tập sau:
Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) Giải phương trình:
3x 2 x 2 x.3x 1
x .
Lời giải
x 0
3x 1
TH1: 3 2 x 2 x.3 1 (3 1)(1 2 x) 0
1
2 x 1 x
2
2x 1
1
x
x
x
0( x ) (1)
TH2: 3 2 x 2 x.3 1 3
2x 1
2
2 x 1
1 1
x
, x ; ;
Xét hàm số f x 3
2x 1
2 2
4
1
f ' x 3x ln 3
0, x .
2
2
2 x 1
x
x
x
1 1
Suy ra, f x đồng biến trên từng khoảng ; ; ;
2 2
1 1
Nên trên mỗi khoảng ; ; ; PT (1) có nhiều nhất một nghiệm
2 2
Mà f 1 f 1 0 . Suy ra, (1) có 2 nghiệm x 1 .
1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 1; 0; ;1
2
Nhận xét: Nếu khơng nắm chắc các tính chất cơ bản học sinh rất hay mắc sai lầm là:
1 1
khi khẳng định được f x đồng biến trên từng khoảng ; ; ; vội vàng kết luận phương trình
2 2
1 1
có nhiều nhất một nghiêm trên ; ; .
2 2
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử Đại học tỉnh Bắc Ninh 2013- 2014) Giải hệ phương trình:
xy 2 x 2 1 1 3 y 2 9 3 y
x, y .
2
3
3
3 x 1 x y xy 5 4 x 3 x y 7 x 0
Lời giải:
ĐK: x 2 y xy 5
2
Xét phương trình (1) 3 y 2 9 3 y 3 y 3 y 0, y ; y
2
2
Mà x y xy 5 y x x 5 y 0 .
x 2 1 x 0, x; y x 0
2
3
3
3
Khi đó ta có: x x 1 x 1
y
y
y
2
1a
2
Xét hàm số f t t t 2 1 t , t 0; f ' t t 1
t2
t 2 1
1 0, t 0;
Hàm số f t đồng biến trên 0; .
3
3
3
Do đó phương trình 1a f x f x y .
y
x
y
3
Thay y vào phương trình (2) ta có
x
3x 1
3x 2 4 x 3 9 x 2 7 x 0 3x 1
3 x 1
3x 2 x 4 x 3 12 x 2 8 x
x 2 3x 2
3x 1
4 x 3 12 x 2 8 x x 2 3 x 2 x
0
3x 2 x
3x 2 x
3x 1
2
x 1
0, x )
x 2 3 x 2 0
( Vì x
3
3x 2 x
x 2
3
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;3 ; 2; .
2
Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 3x(2 9 x 2 3) (4 x 2)(1 1 x x 2 ) 0 1
Lời giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
3x(2 (3 x) 2 3) (2 x 1)(2 [ (2 x 1) 2 ] 3
2
Xét hàm số f t t (2 t 3),
t ;
f ' (t ) 2 t 2 3
t2
t2 3
0
hàm số f t luôn đồng biến
Do đó (1) f 3x f 2 x 1 3x 2 x 1 x
1
.
5
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T ; .
5
Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải hệ phương trình:
x log 2 x log 2 2 x y.2 x
.
2
2
log
x
6
log
y
1
x
log
x
3
y
3
0
2
2
2
Lời giải:
ĐK: x 0; y 1
x
Phương trình 1 x log 2 x log 2 2 y 1 x log 2 x x log 2 y 1 x y 1
2
Thế vào (2) ta có 2 log 2 x 6 log 2 x x log 2 x 3x 0
log 2 x 3 0 3
log 2 x 3 2 log 2 x x 0
2log 2 x x 0 4
Giải (4), xét f x 2 log 2 x x x 0 f ' x
2
1
x ln 2
2
.
ln 2
Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm.
Mà f 2 f 4 0 4 có hai nghiệm x 2; x 4
f ' x 0 x
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm x; y : 8;7 ; 2;1 ; 4;3
Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau
5
2 x 6
2x 1
1) x3 3 x 2 4 x 2 3 x 2 3 x 1
2)3 3 2 x
3) 2 x 3 10 x 2 17 x 8 2 x 2 3 5 x x3
4) x 2 15 3x 2 x 2 8
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
5)
4 x y 1 8 x 4 x 2 4 x 3 x 1
x3 y 3 3 2 x 2 y 2 3 5 x 2 y 6 0
6)
3 3 x 2 2 y 4 3
7)
3
x 1 2
1
2 x 1 3 x 2
8)2 x 2 x
1 3 9 1
1
8
8x2 x
x 3 4 y 2 1 2 x 2 1 x 6
10)
2
2
2
x y 2 2 4 y 1 x x 1
6
3
2
2
x y 2 x 9 y 33 29 y
9)
2x 3 x y
4. Phương pháp đánh giá.
3 x 5 x 2 1 y x 2 3x y 6
, x, y . (x; y R).
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
2
4
y
2
y
1
y
3
x
4
Lời giải
■ Điều kiện : y 2 2 y 1 0
3x 5 ( x 2 1) y ( x 2
1) 3x 5 y
y 3 x 5
3x 5 y ( x 2 1 y ) 0
2
y x 1
Với y = 3x - 5 thay vào (2) ta được
4
y 2 2 y 1 1 0 vô nghiệm
Với y x 2 1 thay vào (2) ta được
4
2 x 4 x 2 3 x 3 (*)
Điệu kiện 4 2 x 4 2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1.1.1. 4 2 x 4
5 x4
4
5 x4
Từ (3) ta có: x 3 x 3
x 4 4 x 2 12 x 7 0
4
2
2
x 1 x 2 x 7 0 x 1
2
Thử lại x = 1 thỏa mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm là (1; 0)
2
2
2
2 3
x x y x 2 x y
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
.
76 x 2 20 y 2 2 3 4 x 8 x 1
Lời giải:
Điều kiện: x y 2
Pt x x y 2 x 3 2
2 3
x x 2 x y 2
2
x
x y 0
2 x y x
x y 2 0
x y 2 x x x y 2 2 x y 2 0
x x y 2 y 2 x x 2
2
Khi đó pt (2) trở thành: 96 x 20 x 2 3 4 x 8 x 1
3
2
8 x 1
2
8x
8x 1
1
2
3 4 x 8 x 1
3
Sử dụng BĐT Cô si cho 3 số ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình x
1
8
1 7 1 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ;
; ;
.
8 8 8 8
x 12 y y (12 x 2 ) 12
Ví dụ 3. (Đề thi Đại học khối A – năm 2014) Giải hệ phương trình 3
x 8 x 1 2 y 2
Lời giải:
Ta có x 12 y (12 x 2 ) y
Dấu “=” xảy ra
x
12 y 2
12 y
y
Khi đó (1) tương đương với (3)
x 0
(3) 2
2
2
x y 144 12 x 12 y x y
Thế (4) vào (2) ta có
x
2
12 x 2 12 y y 12
x y (12 y )(12 x 2 ) (3)
x 0
x 0
2
2
12 y 144 12 x
y 12 x (4)
(2) x3 8 x 1 2 10 x 2 x 3 8 x 1 2 10 x 2 0
x 3 8 x 3 2 1 10 x 2 0
x 3 x 2 3 x 1 2.
x 3 x 2 3 x 1 2.
9 x2
1 (10 x 2 )
1 10 x 2
0
2( x 3)
0 x 3 x 2 3x 1
0
1 10 x 2
1 10 x 2
x 3
2
x 3x 1 2( x 3) 0
1 10 x 2
x 3 y 3
x 3
Vậy
y 3
5. Một số bài tập khác.
2
Bài 1. Giải phương trình 2 x 15 x 34 3 3 4 x 8 1 .
Lời giải:
Ta có 2 x 2 15 x 34 0 3 3 4 x 8 0 x 2
Cách 1:(Liên hợp thành phần)
1 2 x 2 15 x 28 3 3 4 x 8 2 x 4 2 x 7
x 4
2x 7
12
3
4 x 8
2
12 x 4
3
4 x 8
2
2 3 4x 8 4
0 *
3
2 4x 8 4
+ Nếu x 4 VT * 0 phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu x 4 VT * 0 phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu x 4 . Thỏa mãn phương trình (*)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 4 .
Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn)
1 2 x 2 16 x 32 3 3 4 x 8 x 2
2
x 4 x 14
2 x 4
2
2
9 3 4 x 8 3 3 4 x 8 x 2 x 2
2
0
x 4
x 14
2
0 *
2
2
9 3 4 x 8 3 3 4 x 8 x 2 x 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 4 .
Cách 3:(Phương pháp đánh giá)
Ta có: 3 3 4 x 8 .8.8 4 x 8
3
4 x 8 x 2
( Theo bất đẳng thức Cơ si)
2
Do đó 2 x 2 15 x 34 x 2 2 x 4 0 x 4 . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 4 .
Bài 2. (Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)
x 3 x 2 y x 2 x y 1
.
Giải hệ phương trình 3
2
3
2
x 9 y 6 x 3 y 15 3 6 x 2
Lời giải:
1
x3 x 2 y x 2 x y 1 x 2 x y x y x 2 1 x y x 2 1 x 2 1 x y 1 0 (vì
x 2 1 0, x )
Thế vào phương trình (2) ta có x3 9 x 2 6 x 6 3 3 6 x 2 2
x 1
3
3 x 1 6 x 2 2 3 3 6 x 2 2 3
3
2
Xét hàm số f t t 3t f ' t 3t 3 0 t f t đồng biến trên .
Phương trình (3) f x 1 f
3
6x2 2 x 1 3 6x2 2 .
3
3
3
3
x 3 9 x 2 3 x 3 0 x 1 2 x 1 . x 1 2 x 1 x 3
2
2 1
y 3
.
21
21
3 2 1
2
x
;
y
;3
3
Vậy hệ phương trình có nghiệm
.
2 1 2 1
2
2
2
x 5 x y x y x y
Bài 3. Giải hệ phương trình:
3
4
2
y 9 x 6 x 1 0
.
Lời giải:
1 5 x3 xy x 2 y
x 2 y 0 4 x 3 x x 2 y 2
x2 y
3
0
x 0
2x x2 y
2 ( Vì x =y =0 không là nghiệm của hệ )
y 3 x
Thế vào pt (2) ta có y 3 y 2 2 y 1 0 (*)
Ta giải phương trình (*) trên tập .
Thật vậy: xét y 2; 2 , Đặt y 2sin t , t ; ,
2 2
Pt(*) trở thành: 8sin 3 t 4sin 2 t 2sin t 1 0
4sin t 1 2sin 2 t 1 4sin 2 t 4sin t.cos 2t 4 cos 2 t 3
sin 4t cos3t ( Do cos t 0 không là nghiệm của pt)
k 2
t
14
7
sin 4t sin 3t
k
2
t k 2
2
5
3
5 3
; 2sin
Vì t ; t ; ;
y 2 sin ; 2sin
14
14
14
2 2
14 14 14
Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt(*) có 3 nghiệm như trên
2sin
14
y 2sin x
14
3
Kết hợp với điều kiện y 0 ta có
3
2sin
5
14
y 2sin
x
14
3
Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.
Bài 4. (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)
2 x 2 13 x 17 y 3 y 1
2
4 x 26 x 42 2
.
2 x 13 x 19
6
Giải hệ phương trình:
y 1
x 1
x 1 ( y 1)
Lời giải:
4 x 2 26 x 42 0
7
3 x
2
ĐK: y 1 0
x 1 0
y 1
17
7
2
2 x 2 13x 19 2, x 3;
Ta có 4 x 26 x 42 0,
8
2
4 x 2 26 x 42
2 x 2 13x 17
2
4 x 2 26 x 42 1
2
2
2
2 x 13x 19
2 x 13 x 19
Do đó, y 3 y 1 12
3
y 1 2 y 1 12 0
y 1 2 y 3
ln x 1 ln y 1
x 1
y 1
ln a
, a 0;
Xét hàm số g a
a
1 ln a
g ' a 2 , g ' a 0 a e
a
ln 2
ln 2
5
; y 1 4 g y 1 g 4
Do x 1 2; g x 1 g 2
2
2
2
Từ đó suy ra x 3, y 3
Thử lại x 3, y 3 thỏa mãn hệ phương trình.
Với y 3 ta có 2
3x 4 3 y 4 x 3 x 2 y 0
x, y .
Bài 5: Giải hệ phương trình
3
2
x 3 y 1 8 3 x
Lời giải:
4
8
4
x ; y .
3
3
3
3
3
4 4
Nhận xét: x; y ; không là nghiệm của hệ. Do đó x hoặc y
4
4
3 3
ĐK
3 x y
3
x 2 x y 0 x y
x 2 0
3x 4 3 y 4
3x 4 3 y 4
x
y
Thay
vào phương trình (2) ta có.
1
x3 3x 1 8 3x 2 x3 2 x 1 2 x
, Vì 1
3
x 2 0,
3x 4 3 y 4
4
2
8 3x 2 0 x x 1 x 1
2 x 8 3x 2
0
4
Ta có x 1
x 1
2
2 x
8 3x 2
x 2 x 6 x 1 8 3 x 2
2 x 8 3x2
2 x 1 8 3 x 8 3 x 3
2
2
2 2 x 8 3x 2
x 1 8 3x2
2
3
2 2 x 8 3x 2
0 , với
4
8
x
3
3
1 5
x
2
2
Do đó ta có x x 1 0
1 5
x
2
1 5 1 5 1 5 1 5
;
;
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y
;
.
2 2
2
2
x3 3x 2 2 y 3 3 y 2
x, y .
Bài 6: Giải hệ phương trình
14 x 2 y 48 5 x x 3
Lời giải:
ĐK x 3; y 0; 14 x 2 y 48 0 .
Ta có: x x 3 x 3 x 3 2
x 3 1
x 3 2 0
x 3 1 x 4
Mà 14 x 2 y 48 0 2 y 14 x 48 8 y 4
1 x 1
3
3 x 1
3
y 3 3 y 3
3
2
Xét hàm số f t t 3t , t 1; f ' t 3t 3 0 t 1;
f t đồng biến trên 1;
Khi đó phương trình 1 f x 1 f
y 3 x 1 y 3
Thế vào phương trình (2) ta có
2 x 2 18 x 44 5 x x 3
2
2 x 5 2 x 3 x 5 x 3
2
x 5
x 3 0 x 5 x 3 x 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 7;33 . .
7. Một số bài tập tham khảo
Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1 3
x x 2 8 x 2 3 x 3 20
1) x 1
2
2) 4( x 1) 2 (2 x 10)(1
3 2x )2
2
3) 4 x 2 1 x 2 x 2 4 40.
4) x 2 4 x 1 x 7 ( Trích đề thi HSG Đắc Lắc 2013)
2
5) x 8 x 3 x 1 22 x 7 0 (Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
6) ( x 4) 2 6 x3 3 x 13
7) x 3
8)
2 3
1 x
5 x
x 2 1 x2
x 3 1
5 x x 3
2
y2 2
2 x 2
y x
x
9)
2
3
y 1 2 x 1 1
10)
5 x 1 3 9 x 2 x 2 3 x 1
11)
( x 2)(2 x 1) 3 x 6 4
1 x
12) 1
2
x 1
( x 6)(2 x 1) 3 x 2
5
6x
x 2 3 x y 2 y x 6 1
14) 2
x 2 y x 1 y 3 2
2
2
x y xy 2 y 2 xy x 1
13) 2
2
x 8 y xy 1 0
2 x 2 3 y y 2 8 x 1 0
15)
x x 8 y y 3 13 0
12 x 3 y 4 xy 16
16)
4 x 5 y 5 6
( x y ) 2 x y x 2
17) 2
2
4
2
4 y x 3 y y x
x x 1 ( y 2) y xy
18)
( x y 2) x 1 xy
x 2 2 x 6 y 1
19) 2
2
x xy y 7
20) x 2 1 5 x 2 x 2 4
2
2 y 3 ( x 2 2013)(5 x) x
21) 2 log x 2 log ( x y 2) log (3 y 3)
2
1
2
4
xy 2 y x 2 2
22) 2
( Trích đề thi HSG Nam Định 2013)
2
2
y 2 x 1 x 2 x 3 2 x 4 x
3
3
23) 3x x 2 ( x3 3x 1)32 x x 34 x 1 (Trích đề thi HSG Ninh Bình 2012)
xy y x
2
xy y 2 1 x
24)
(Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
x 2 y y 1 6 y 1
x
1 2x x y
2
25) 3 x 3 y 2 x y
( Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Hà Nội)
2 2 x y 2 x 6 y
26) ( x 2)
2 x 2 4 x 6 2 x 1 2 x 2 6 x 7
(Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Kon Tum 2013)
x y 1 y 1 x
27)
2x2 9 x 6
2
y 1
4 x 18 x 20 2
2x 9x 8
(Trích đề thi chọn đội tuyển QG – TP HCM 2013)
x 2 xy x 3 0
28)
2
2
x 1 3 y 1 2 xy x y 2 y 0
x 3 xy 2 2 y 3 0
29) 3 4
2
2
x x 4 4 y 3 y
