Tính ổn định và ổn định hoá của một số lớp hệ 2 d rời rạc chứa tham số ngẫu nhiên tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

NGUYỄN THỊ LAN HƯƠNG

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HOÁ CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ 2-D RỜI RẠC CHỨA THAM SỐ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2020


Luận án được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Lê Văn Hiện
PGS.TS Ngô Hoàng Long

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS Khuất Văn Ninh
Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Phản biện 3: GS Cung Thế Anh

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 20...

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu định tính các hệ
động lực mô tả bởi các phương trình vi phân. Trải qua lịch sử hơn 100 năm, cho đến
nay, lý thuyết này vẫn đang là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động, được phát triển
ngày càng sâu rộng và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật.
Hệ 2-D nảy sinh trong nhiều mô hình vật lí, kỹ thuật, mà ở đó sự lan truyền
thông tin/trạng thái xảy ra theo hai hướng độc lập. Mô hình hệ 2-D đã được ứng
dụng để mô tả và phân tích tính chất của nhiều lớp hệ trong thực tiễn kỹ thuật như
các hệ trong mạng viễn thông, xử lí ảnh, xử lí và truyền tín hiệu và đặc biệt trong
việc thiết kế các lọc tín hiệu số đa chiều.
Các mô hình ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật thường xuất hiện sai số trong
xử lí số liệu, xấp xỉ tuyến tính, lỗi hoặc mất dữ liệu do truyền tải hay nhiễu từ môi
trường. Các nhiễu này thường được mô tả bởi các quá trình tất định hoặc ngẫu nhiên.
Bên cạnh đó, do cấu trúc của hệ 2-D, việc nghiên cứu định tính các hệ 2-D có chứa
nhiễu ngẫu nhiên trở nên khó khăn và phức tạp hơn nhiều so với các hệ phương trình
vi-sai phân thường tương ứng.
Hơn nữa, các mô hình trong thực tiễn kĩ thuật thường xuất hiện độ trễ thời gian.

Sự xuất hiện của các độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm cũng như ảnh hưởng đến
tính ổn định của hệ, một đặc tính quan trọng có tính phổ dụng của các mô hình ứng
dụng. Vì vậy, chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ứng dụng trong các mô hình điều
khiển các hệ phương trình vi phân có trễ đã và đang là vấn đề nghiên cứu thu hút sự
quan tâm của giới toán học và kỹ sư trong vài thập kỉ gần đây. Nhiều vấn đề mở vẫn
đang được tiếp tục nghiên cứu và phát triển.
Luận án tập trung nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các lớp hệ
2-D với thời gian rời rạc có chứa tham số ngẫu nhiên.

1


2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Điều khiển
ngẫu nhiên

2- ∞

bằng tín hiệu quan sát cho mô hình hệ 2-D mất dữ liệu

Xét hệ 2-D được mô tả bởi mô hình dạng Roesser
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=A

y(i, j) = C

xh (i, j)
xv (i, j)

xh (i, j)
xv (i, j)

+ B1 u(i, j) + B2 w(i, j)

(1)
+ F w(i, j)

trong đó xh (i, j) ∈ Rnh , xv (i, j) ∈ Rnv là các vectơ trạng thái theo phương ngang và
dọc; u(i, j) ∈ Rnu là điều khiển đầu vào, w(i, j) ∈ Rnd là nhiễu ngoại cảnh, y(i, j) ∈ Rno
là vectơ đo được đầu ra và A, B1 , B2 , C, F là các ma trận với số chiều thích hợp. Trong
thực tiễn kĩ thuật, vectơ trạng thái x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j)

∈ Rn (n = nh + nv )

không phải bao giờ cũng đo và lưu trữ được đầy đủ mà có thể chỉ quan sát được một
phần x(i, j), tức là điều khiển phản hồi dạng u(i, j) = Kx(i, j) là không khả dụng.
Chính vì vậy, từ tín hiệu đo được đầu ra, ta thường khuếch đại thành tín hiệu quan
sát và phản hồi dạng u(i, j) = K xˆ(i, j). Trong chương này, chúng tôi thiết kế điều
khiển dựa vào quan sát dạng Luenberger 2-D như sau
xˆh (i + 1, j)
xˆv (i, j + 1)

=A

xˆh (i, j)
xˆv (i, j)

+ L [y(i, j) − yˆ(i, j)]

(2)

yˆ(i, j) = C xˆ(i, j)

trong đó L ∈ Rn×no là ma trận đạt được của hàm quan sát và sẽ được thiết kế. Do
hiện tượng mất dữ liệu ngẫu nhiên, tín hiệu điều khiển thực có dạng
u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j)

(3)

ở đó ξ¯ij là dãy các biến ngẫu nhiên 2-D có phân phối Bernoulli nhận các giá trị {0, 1}
với các xác suất tương ứng
P[ξ¯ij = 1] = E[ξ¯ij ] = ρ
P[ξ¯ij = 0] = 1 − E[ξ¯ij ] = 1 − ρ

2


trong đó ρ là hằng số dương. Tích hợp điều khiển bằng tín hiệu quan sát (2)-(3), hệ
đóng của (1) được viết dưới dạng
Π

η h (i + 1, j)
η v (i, j

= (Ac + ξij Aˆc Πη(i, j) + Bw(i, j)

+ 1)

(4)

x(i, j) = J 0n×nv η(i, j)

trong đó
Ac =

J=

A

ρB1 K

LC A − LC
Inh 0
0

0

0 B1 K

, Aˆc =

0

B2
LF

J

0n×nv

0n×nh

J

,Π =

0 Inv

0

,B =

.

Kí hiệu l2 và l∞ là không gian các dãy với các chuẩn tương ứng w
và w

2
l∞

= supi,j≥0 E

2

w(i, j)

2
l2

=

∞
i,j=0

w(i, j)

2

. Chúng tôi thiết kế các ma trận đạt được K , L sao

cho hệ đóng (4) khi không có nhiễu w là ổn định ngẫu nhiên và với một mức γ > 0 cho
trước, dưới điều kiện ban đầu bằng 0, chuẩn trong l2 -l∞ của ánh xạ vào-ra Σ : w → x
của hệ (4) thoả mãn
Σ

l2 −l∞

sup
0=w(·)∈l2

2.2. Tính ổn định

2- ∞

x l∞
< γ.
w l2

của lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên

Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên EP (energy-topeak) cho lớp hệ 2-D dạng Roesser với trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân
tính trên cả vectơ trạng thái và vectơ đầu ra
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

= Ax(i, j) + Ad xd (i, j) + Bw(i, j)
ˆ
ˆ
+ ξij Ax(i,
j) + Aˆd xd (i, j) + Bw(i,
j)

(5a)

z(i, j) = Cx(i, j) + Dxd (i, j) + F w(i, j)
ˆ
ˆ d (i, j) + Fˆ w(i, j)
+ θij Cx(i,
j) + Dx

(5b)

ở đó xh (i, j) ∈ Rnh là vectơ trạng thái ngang và xv (i, j) ∈ Rnv là vectơ trạng thái
dọc, x(i, j) =

xh (i, j)
xv (i, j)

và xd (i, j) =

xh (i − dh (i), j)
xv (i, j

− dv (j))

, w(i, j) ∈ Rno là nhiễu đầu vào

thuộc không gian l2 , z(i, j) ∈ Rnz là vectơ đo được đầu ra. Trong mô hình (5a)-(5b),
(1)

(2)

(n)

(1)

(2)

(n )

(p)

(q)

ξij = diag{ξij , ξij , . . . , ξij } và θij = diag{θij , θij , . . . , θij z }, ở đó ξij và θij là các
3


nhiễu ngẫu nhiên 2-D độc lập với kì vọng bằng 0 và thoả mãn

(p)
(q) (q)
E[ξij(p) ξkl
] = σp2 δik δjl , E[θij θkl ] = σ
ˆq2 δik δjl

(6)

ở đó σp (p = 1, . . . , n) và σˆq (q = 1, . . . , nz ) là các hằng số dương cho trước, δik là hàm
delta Kronecker. Các đại lượng trễ biến thiên theo hướng dh (i) and dv (j) thoả mãn
dh ≤ dh (i) ≤ dh , dv ≤ dv (j) ≤ dv

(7)

ở đó dh , dh và dv , dv là các số nguyên biểu thị cận trên và cận dưới của trễ theo hai
hướng ngang và dọc. Dựa trên lược đồ phân tích ổn định ở chương 3, chúng tôi đưa
ra các điều kiện LMIs phụ thuộc trễ đảm bảo cho hệ (5a)-(5b) với nhiễu ngẫu nhiên
(6) là ổn định ngẫu nhiên EP.

2.3. Tính ổn định và ổn định hoá của một số lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi
tuyến: Cách tiếp cận bằng Định lí dạng LaSalle
Xét lớp hệ 2-D ngẫu nhiên được mô tả bởi mô hình Roesser sau
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=F

xh (i, j)

(i, j),

xh (0, j) = φ(j),

xv (i, j)

(8a)

, u(i, j), βij

xv (i, 0) = ψ(i)

(8b)

ở đó xh (i, j) ∈ Rnh là vectơ trạng thái ngang và xv (i, j) ∈ Rnv là vectơ trạng thái
dọc, u(i, j) ∈ Rnc là điều khiển đầu vào, và βij là dãy vectơ ngẫu nhiên xác định
trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị trong Rd . Hàm phi tuyến
F : N20 × Rn × Rnc × Rd → Rn là hàm đo được thoả mãn F (., 0, 0, .) = 0 (n = nh + nv )

và φ, ψ là các dãy xác định điều kiện ban đầu của hệ.
Đối với hệ (8), điều khiển phản hồi trạng thái có dạng
xh (i, j)

u(i, j) = u

(9)

xv (i, j)

ở đó u là trường vectơ từ Rn vào Rnc với u(0) = 0. Khi đó, hệ đóng của (8) được viết
lại dưới dạng

xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

= Fu

(i, j),

xh (i, j)
xv (i, j)

(10)

, βij

trong đó
Fu

(i, j),

xh (i, j)
xv (i, j)

, βij

=F

(i, j),
4

xh (i, j)

xv (i, j)

,u

xh (i, j)
xv (i, j)

, βij

.


Trong các hệ (8) và (10), dãy βij được xem như một quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số.
Chúng tôi thiết lập các điều kiện để hệ đóng (10) là ổn định tiệm cận hầu chắc chắn.
Cụ thể, áp dụng các Định lí giới hạn trong lý thuyết martingale, chúng tôi thiết lập
Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên được mô tả bởi mô hình
Roesser. Trường hợp đặc biệt, chúng tôi đưa ra được Định lí kiểu Lyapunov cho sự
hội tụ hầu chắc chắn của quỹ đạo nghiệm. Áp dụng các kết quả đạt được vào bài
toán thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến
và lớp hệ 2-D tuyến tính có chứa các đại lượng không chắc chắn và nhiễu ngẫu nhiên
dạng nhân tính.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đạt được các kết quả chính sau đây
1. Dựa trên lược đồ phân tích ổn định kiểu Lyapunov cho lớp hệ 2-D với thời gian
rời rạc, chúng tôi đưa ra các điều kiện ổn định khả dụng và thiết kế điều khiển
bằng tín hiệu quan sát đảm bảo cho lớp hệ 2-D có nhiễu cảm sinh và nhiễu ngẫu
nhiên dạng nhân tính là

2- ∞

ổn định với một biểu diễn cho trước.

2. Thiết lập lược đồ phân tích tính ổn định cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên có trễ biến
thiên. Từ đó, chúng tôi đưa ra các điều kiện LMIs phụ thuộc trễ để đảm bảo cho
hệ đã cho là ổn định ngẫu nhiên EP.
3. Chứng minh một Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dựa
trên các Định lí hội tụ martingale rời rạc. Như một trường hợp riêng, chúng tôi
đưa ra Định lí kiểu Lyapunov cho sự ổn định tiệm cận hầu chắn chắn của quỹ
đạo nghiệm.
4. Đưa ra điều kiện cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi tối ưu giải bài toán điều
khiển đảm bảo giá trị tối ưu của lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên dựa trên các
kết quả đạt được về Định lí kiểu LaSalle. Từ đó, chúng tôi thiết lập các điều kiện
thiết kế khả dụng cho vấn đề ổn định đảm bảo giá trị tối ưu cho các lớp hệ 2-D
tuyến tính không chắc chắn có nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính.

5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình đã công bố và tài liệu tham
khảo, luận án gồm 4 chương.

5


Chương 1 trình bày các kết quả bổ trợ về giải tích ngẫu nhiên, lý thuyết martingale,
giải tích ma trận, cấc khái niệm cơ bản và kết quả liên quan đến lý thuyết ổn
định Lyapunov cho một số lớp hệ với thời gian rời rạc.
Chương 2 thiết lập điều khiển

2- ∞

bằng tín hiệu quan sát cho lớp hệ 2-D dạng

Roesser. Tín hiệu điều khiển chịu ảnh hưởng của hiện tượng mất dữ liệu ngẫu
nhiên và hệ đóng được biểu diễn bởi lớp hệ 2-D có chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng
nhân tính xuất hiện đồng thời ở vectơ trạng thái và vectơ đầu ra. Cụ thể, áp
dụng một số kĩ thuật trong lược đồ đánh giá của phương pháp hàm Lyapunov,
chúng tôi đưa ra điều kiện phân tích ổn định và thiết kế điều khiển bằng tín hiệu
quan sát dựa trên các bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Chương 3 trình bày vấn đề ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ 2-D dạng Roesser có
trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính. Chúng tôi đưa ra lược đồ
phân tích tính ổn định cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên có trễ. Kết quả này là một mở
rộng của phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii.
Chương 4 thiết lập Định lí kiểu LaSalle ngẫu nhiên cho lớp hệ 2-D phi tuyến chứa
tham số ngẫu nhiên. Áp dụng các kết quả đạt được vào bài toán thiết kế điều
khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dạng Roesser.
Trường hợp riêng, chúng tôi thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp
hệ 2-D tuyến tính không chắc chắn chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính.

6


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về tính ổn định Lyapunov
đối với hệ phương trình sai phân thường, hệ 1-D chứa tham số ngẫu nhiên, sơ lược
về giải tích ngẫu nhiên và một số Bổ đề bổ trợ làm cơ sở cho việc trình bày nội dung
chính của luận án trong các chương sau.

1.1. Biến ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên

1.2. Kì vọng
1.3. Kì vọng có điều kiện
1.4. Martingales
1.5. Lý thuyết ổn định
1.6. Phương pháp hàm Lyapunov
1.7. Lý thuyết Lyapunov đối với hệ 1-D ngẫu nhiên, rời rạc
1.8. Bổ đề phụ trợ

7


Chương 2
ĐIỀU KHIỂN

2- ∞

BẰNG TÍN HIỆU QUAN SÁT CHO MÔ HÌNH HỆ

2-D TUYẾN TÍNH MẤT DỮ LIỆU NGẪU NHIÊN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển

2- ∞

bằng tín hiệu

quan sát cho lớp hệ 2-D tuyến tính dạng Roesser. Tín hiệu điều khiển chịu ảnh hưởng
của nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tích do hiện tượng mất dữ liệu ngẫu nhiên trong
quá trình truyền tải dữ liệu. Bên cạnh đó, do cấu trúc đặc thù của các hệ 2-D, vectơ
trạng thái được đặc trưng bởi hai biến lan truyền thông tin theo hai hướng khác nhau

nên việc thiết để điều khiển gặp nhiều phức tạp và thách thức so với các kết quả đã
có.

2.1. Mô tả mô hình và phân tích sơ bộ
Xét lớp hệ 2-D trong mô hình Roesser sau
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=A

y(i, j) = C

xh (i, j)
xv (i, j)
xh (i, j)
xv (i, j)

+ B1 u(i, j) + B2 w(i, j)

(2.1)
+ F w(i, j)

trong đó xh (i, j) ∈ Rnh là vectơ trạng thái ngang và xv (i, j) ∈ Rnv là vectơ trạng thái
dọc; u(i, j) ∈ Rnu là điều khiển đầu vào, w(i, j) ∈ Rnd là nhiễu ngoại cảnh, y(i, j) ∈ Rno
là vectơ đo được đầu ra và A, B1 , B2 , C, F là các ma trận với số chiều thích hợp.
∈ Rn (n = nh + nv ) là vectơ trạng thái của

Kí hiệu x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j)

hệ (2.1). Trong thực tế, không phải mọi trạng thái đều đo được, tức là vectơ x(i, j)

không có sẵn để thiết kế điều khiển phản hồi dạng u(i, j) = Kx(i, j), ở đó K là ma
trận đạt được cần thiết kế. Khi đó, việc thiết kế điều khiển dựa bằng tín hiệu quan
sát có dạng u(i, j) = K xˆ(i, j), ở đó xˆ(i, j) là vectơ quan sát. Trong chương này, chúng
tôi xét hệ quan sát 2-D dạng Luenberger sau
xˆh (i + 1, j)
xˆv (i, j + 1)

=A

xˆh (i, j)
xˆv (i, j)

+ L [y(i, j) − yˆ(i, j)]

yˆ(i, j) = C xˆ(i, j)

với L ∈ Rn×no là ma trận đạt được của hàm quan sát và sẽ được thiết kế.
8

(2.2)


Các mô hình ứng dụng từ thực tiễn kĩ thuật thường xảy ra hiện tượng mất dữ
liệu ngẫu nhiên. Khi đó, tín hiệu điều khiển thực có dạng
u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j)

(2.3)

trong đó ξ¯ij là dãy các biến ngẫu nhiên 2-D Bernoulli nhận giá trị trong {0, 1} với các
xác suất tương ứng

P[ξ¯ij = 1] = E[ξ¯ij ] = ρ
P[ξ¯ij = 0] = 1 − E[ξ¯ij ] = 1 − ρ
ở đó ρ là một hằng số cho trước.
Đặt η = col{xh , xˆh , xv , xˆv } và ξij = ξ¯ij − ρ. Để thuận tiện, ta kí hiệu σ =

ρ(1 − ρ)

khi đó E[ξij2 ] = σ 2 . Kết hợp với điều khiển bằng tín hiệu quan sát (2.2)-(2.3), hệ đóng
của (2.1) được viết lại dưới dạng
Π

η h (i + 1, j)
η v (i, j

= (Ac + ξij Aˆc Πη(i, j) + Bw(i, j)

+ 1)

(2.4)

x(i, j) = J 0n×nv η(i, j)

ở đó
Ac =

J=

A

ρB1 K

LC A − LC
Inh 0
0

0

0 B1 K

, Aˆc =

B2
LF

0

J

0n×nv

0n×nh

J

,Π =

0 Inv

0

,B =

.

Gọi l2 và l∞ là không gian các dãy với chuẩn tương ứng
∞

w

2
l2

=

w(i, j)

2

và w

2
l∞

i,j=0

= sup E{ w(i, j) 2 }.
i,j≥0

Mục đích chính là thiết kế các ma trận đạt được K , L sao cho hệ đóng (2.4) khi không
có nhiễu ngoại cảnh là ổn định ngẫu nhiên và với một mức γ > 0 cho trước, dưới điều

kiện ban đầu không, chuẩn trong l2 -l∞ của ánh xạ vào-ra Σ : w → x của hệ (2.4) thoả
mãn
Σ

l2 −l∞

sup
0=w(·)∈l2

9

x l∞
< γ.
w l2


2.2. Phân tích ổn định
Vì ma trận Π là khả nghịch, Π−1 = Π nên hệ (2.4) được nhúng vào lớp các hệ
2-D có nhiễu ngẫu nhiên nhân tính sau
η h (i + 1, j)
η v (i, j

η h (i, j)

ˆ
= (A + βij A)

+ 1)

ˆ

z(i, j) = (C + ζij C)

ˆ
+ (B + βij B)w(i,
j)

η v (i, j)
η h (i, j)
η v (i, j)

(2.5)
ˆ
+ (D + ζij D)w(i,
j)

trong đó w biểu thị nhiễu ngoại cảnh thuộc không gian l2 , z(i, j) ∈ Rnz là vectơ đầu ra,
ˆ ∈ Rnz ×nd là các ma trận cho trước.
A, Aˆ ∈ Rn×n , B , Bˆ ∈ Rn×nd , C , Cˆ ∈ Rnz ×n và D, D
(1)

(n)

và ζij = diag ζij(1) , . . . , ζij(nz ) , ở đó βij(p) (p = 1, 2, . . . , n) và

βij = diag βij , . . . , βij
(q)

ζij (q = 1, 2, . . . , nz ) là các biến ngẫu nhiên 2-D độc lập với kì vọng 0 thoả mãn
(q) (q)
(p)

ˆq2 δik δjl
= σp2 δik δjl , E ζij ζkl = σ
E βij(p) βkl

(2.6)

trong đó σp (p = 1, . . . , n) và σˆq (q = 1, . . . , nz ) là các hằng số dương cho trước. δik là
hàm delta Kronecker. Điều kiện ban đầu của (2.5) được xác định bởi
η h (0, j) = φ(j), η v (i, 0) = ψ(i), i, j ∈ N0

(2.7)

trong đó φ(.) và ψ(.) là các dãy cho trước trong l2,E , nghĩa là,
∞

E(φ, ψ)

E φ(k)

2

+ ψ(k)

2

< ∞.

k=0

Hệ (2.5) khi w = 0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu với nghiệm bất kì x(i, j) của

(2.5)-(2.6) thoả mãn
∞

η(i, j)

E

2

< ∞.

(2.8)

i,j=0

Định nghĩa 2.2.1 ( 2 2- ∞

∞

ổn định). Hệ (2.5) với điều kiện ban đầu (2.7) được gọi là

ổn định nếu
sup E z (i, j)z(i, j) < ∞

i,j≥0

với mọi nhiễu w ∈ l2 .
Giả sử hệ (2.5) là

2- ∞

ổn định. Chuẩn trong l∞ của z
1/2

z

l∞

=

sup E

z(i, j)

2

i,j≥0

là giá trị ngưỡng của z . Năng lượng của w ∈ l2 là chuẩn trong l2 của w. Do đó, với
điều kiện bằng 0 (i.e. φ = ψ = 0), đại lượng sup0=w∈l2
hóa năng lượng đầu vào-đầu ra của hệ (2.5).
10

z l∞
w l2

biểu diễn hiệu suất chuyển


Định nghĩa 2.2.2 ( 2 -

∞

ổn định mức γ ). Cho trước γ > 0, hệ (2.5) được gọi là

2- ∞

ổn định mức γ nếu biểu diễn EP không vượt quá γ . Nói cách khác, với điều kiện ban
đầu không, khẳng định sau đúng với mọi nhiễu w ∈ l2
z

l∞

≤γ w

l2 .

Trong phần này, chúng tôi đưa ra các điều kiện để hệ (2.5) khi w = 0 là ổn định
ngẫu nhiên và với γ > 0 cho trước, hệ đã cho là
ra lược đồ phân tích tính ổn định

2- ∞

2- ∞

ổn dịnh mức γ . Định lí sau đưa

của hệ (2.5).

Định lí 2.2.1. Với γ > 0 cho trước, giả sử tồn tại các hàm Vh (η h ), Vv (η v ) và các hằng

số dương c1 , c2 , c3 thoả mãn các điều kiện sau
(i) c1 η

2

≤ V (η) ≤ c2 η 2 , ở đó η = [η h

ηv ]

và V (η) = Vh (η h ) + Vv (η v );

(ii) Sai phân riêng của hàm Vh (η h ) và Vv (η v ) dọc quỹ đạo nghiệm của hệ (2.5) thoả
mãn
E Vh (η h (i + 1, j))|Gij − Vh (η h (i, j))
+ E [Vv (η v (i, j + 1))|Gij ] − Vv (η v (i, j))
≤ w (i, j)w(i, j) − c3 η(i, j) 2 ,

(2.9)

ở đó Gij là σ -đại số sinh bởi {βkl , ζkl } với (k, l) ∈ Ωij được định nghĩa bởi {(k, l) ∈
N20 : k ≤ i, l ≤ j}\{(i, j)};
(iii) Với nhiễu w khác không, khẳng định sau là đúng
E
Khi đó, hệ (2.5) là

2
z(i, j)
γ2

2- ∞

2

− V (η(i, j))|Gij < w (i, j)w(i, j).

ổn định mức γ .

Định lí 2.2.2. Với γ > 0 cho trước, giả sử tồn tại các ma trận đối xứng xác định
+
dương Ph ∈ S+
nh và Pv ∈ Snv thoả mãn các điều kiện LMI sau

Ψ

Ψ11 Ψ12

(2.10)

<0

Ψ12 Ψ22
Λ

−Λ11

Λ12

Λ12

− γ2 I2nz

2

(2.11)

<0

ở đó
Λ11 = diag{P, Ind },

Λ12

C

D
=
, Ψ11 = A P A +
ˆ
Jσˆ Cˆ Jσˆ D
11

n
(p)
(p)
σp2 Aˆ En P En Aˆ − P,
p=1


n

n

σp2 Aˆ

Ψ12 = A P B +

(p) ˆ
(p)
En P En B,

(p)
(p)
σp2 Bˆ En P En Bˆ − Ind

Ψ22 = B P B +
p=1

p=1

Jσˆ = diag{ˆ
σq }, P = diag{Ph , Pv }

và với p = 1, 2, . . . , n, En(p) là ma trận chéo mà chỉ thành phần thứ p bằng 1 còn lại
bằng 0. Khi đó, hệ (2.5) là

2- ∞

ổn định mức γ .

2.3. Thiết kế điều khiển

Trong phần này, chúng tôi trình bày vấn đề thiết kế điều khiển bằng tín hiệu
quan sát u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j), ở đó vectơ quan sát trạng thái xˆ(i, j) được xác định như
trong (2.2) để đảm bảo cho hệ đóng(2.4) là

2- ∞

ổn định và Σ

l2 −l∞

< γ với mức

γ > 0 cho trước.

Định lí 2.3.1. Giả sử ma trận C và phần bù trực giao F ⊥ của F tương ứng đủ hạng
dòng và hạng cột. Khi đó, tồn tại điều khiển bằng tín hiệu quan sát (2.2) để hệ đóng
(2.4) là

2- ∞

ổn định nếu với γ > 0 cho trước, các điều kiện LMIs sau đây thỏa mãn

nu ×n và Z ∈ Rn×n
với X ∈ D+
2
n (nh , nv ), Z1 ∈ R


−X

∗

∗

∗


 0 −(F ⊥ ) F ⊥ ∗


O23
−X
O13
O14

0




<0

∗ 
∗ 

(2.12a)

−X

0

X < γ 2 /2In

(2.12b)

ở đó X = diag{X, X} và
O13 =

AX

ρB1 Z1

Z2

AX − Z2

O14 = 0

, O23 =

B2 F ⊥
0

ρ(1 − ρ)B1 Z1 .

Các ma trận đạt được của điều khiển và hàm quan sát cho bởi
K = Z1 X −1 ,

L = Z2 X −1 C †

ở đó C † = C (CC )−1 là nghịch đảo phải của C .

12

(2.13)


Chương 3
TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN EP CỦA LỚP HỆ 2-D TUYẾN
TÍNH DẠNG ROESSER CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp
hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính trên cả
vectơ trạng thái và vectơ đầu ra. Chúng tôi xây dựng lược đồ dạng tổng quát phân
tích tính ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ này và đưa ra các điều kiện phụ thuộc
độ trễ dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính cho tính ổn định của hệ.

3.1. Mô tả mô hình
Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ và nhiễu ngẫu nhiên sau đây
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

= Ax(i, j) + Ad xd (i, j) + Bw(i, j)
ˆ
ˆ
+ ξij [Ax(i,
j) + Aˆd xd (i, j) + Bw(i,
j)]

(3.1a)

z(i, j) = Cx(i, j) + Dxd (i, j) + F w(i, j)
ˆ
ˆ d (i, j) + Fˆ w(i, j)]
+ θij [Cx(i,
j) + Dx

(3.1b)

ở đó xh (i, j) ∈ Rnh là vectơ trạng thái ngang và xv (i, j) ∈ Rnv là vectơ trạng thái dọc,
x(i, j) =

xh (i, j)
xv (i, j)

và xd (i, j) =

xh (i − dh (i), j)
xv (i, j

, w(i, j) ∈ Rno là nhiễu đầu vào thuộc

− dv (j))
ˆ ∈ Rn×no , C , D,
l2 , z(i, j) ∈ Rnz là vectơ đầu ra, A, Ad , Aˆ, Aˆd ∈ Rn×n (n = nh +nv ), B , B
ˆ ∈ Rnz ×n và F, Fˆ ∈ Rnz ×no là các ma trận cho trước. ξij = diag{ξ (1) , ξ (2) , . . . , ξ (n) }
Cˆ , D
ij

và θij =

(n )
(1) (2)
diag{θij , θij , . . . , θij z },

trong đó

(p)
ξij

and

(q)
θij

ij

ij

là các đại lượng “ồn trắng” 2-D

độc lập có kì vọng 0 và thoả mãn
(q) (q)
(p)
ˆq2 δik δjl
E[ξij(p) ξkl
] = σp2 δik δjl , E[θij θkl ] = σ

(3.2)

ở đó σp (p = 1, . . . , n) và σˆq (q = 1, . . . , nz ) là các hằng số dương cho trước, δik là hàm
delta Kronecker. Các trễ biến thiên dh (i) và dv (j) thoả mãn
dh ≤ dh (i) ≤ dh , dv ≤ dv (j) ≤ dv

13

(3.3)


Điều kiện đầu của hệ (3.1) được xác định
xh (i, j) = φ(i, j), i ∈ Z[−dh , 0], j ∈ N0
xv (i, j) = ψ(i, j), i ∈ N0 , j ∈ Z[−dv , 0]

(3.4)

ở đó φ(i, .), i ∈ Z[−dh , 0], và φ(., j), j ∈ Z[−dv , 0] là các dãy thoả mãn
∞

E(φ, ψ)

E φ(., k)

2

+ ψ(k, .)

2

<∞

(3.5)

k=0

trong đó φ(., k) =

φ(i, k) và ψ(k, .) =

max
i∈Z[−dh ,0]

max

ψ(k, j) .

j∈Z[−dv ,0]

Định nghĩa 3.1.1 (Ổn định ngẫu nhiên). Hệ 2-D có trễ và nhiễu ngẫu nhiên nhân
tính (3.1a)-(3.1b) khi w = 0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu nghiệm x(i, j) của
(3.1a)-(3.1b) với điều kiện ban đầu (3.5) thoả mãn
∞

x (i, j)x(i, j) < ∞.

E

(3.6)

i,j=0

Định nghĩa 3.1.2 (Hiệu suất EP). Cho trước hằng số γ > 0. Ta nói hệ (3.1a)-(3.1b)
có hiệu suất EP mức γ (γ -EP) nếu tồn tại hằng số κ > 0 sao cho khẳng định sau đúng
với mọi nhiễu w
z

2
l∞

< γ2 w

2
l2

+ κE(φ, ψ).

(3.7)

Nhận xét 3.1.1. Kí hiệu Twz là toán tử vào-ra w đến z . Điều kiện (3.7) có thể được
viết lại như sau. Với số dương γ > 0 và điều kiện ban đầu không (tức là φ = ψ = 0),
chuẩn của Twz trong l2 -l∞ thoả mãn
Twz

l2 −l∞

=

sup
0=w(·)∈l2

z l∞

< γ.
w l2

Định nghĩa 3.1.3 (Ổn định ngẫu nhiên EP). Hệ (3.1a)-(3.1b) được gọi là ổn định
ngẫu nhiên EP nếu hai điều kiện sau thoả mãn
(i) Hệ (3.1a)-(3.1b) khi w = 0 là ổn định ngẫu nhiên và;
(ii) Với hằng số γ > 0 cho trước, hệ (3.1a)-(3.1b) có hiệu suất γ -EP.

3.2. Lược đồ phân tích tính ổn định ngẫu nhiên EP
Để thuận tiện, kí hiệu xh (i, j) = {xh (i + k, j) : k ∈ Z[−dh , 0]} và xv (i, j) = {xv (i, j +
l) : l ∈ Z[−dv , 0]} là dãy vectơ trạng thái dọc theo hai hướng. Với hàm η : Z × Z → Rn ,

ta đặt ∂1 η(i, j) = η(i + 1, j) − η(i, j) và ∂2 η(i, j) = η(i, j + 1) − η(i, j).
14


Định lí 3.2.1. Giả sử với γ là số dương cho trước, tồn tại các hàm Vh (i, j)
Vv (i, j)

Vh (xh (i, j)),

Vv (xv (i, j)) và các số dương λ1 , λ2 , λ3 thoả mãn các điều kiện sau

(i) λ1 xh (i, j)

2

≤ Vh (i, j) ≤ λ2 sup−dh ≤k≤0 xh (i + k, j) 2 ,

λ1 xv (i, j)

2

≤ Vv (i, j) ≤ λ2 sup−dv ≤k≤0 xv (i, j + k) 2 .

(ii) Sai phân riêng của các hàm Vh (i, j) và Vv (i, j) dọc quỹ đạo nghiệm của hệ (3.1a)(3.1b) thoả mãn
E Vh (i + 1, j) + Vv (i, j + 1) Fij − V (i, j)
≤ w (i, j)w(i, j) − λ3 x(i, j)

2

(3.8)

ở đó V (i, j) = Vh (i, j) + Vv (i, j) và Fij là σ -đại số sinh bởi {ξkl , θkl }, (k, l) ∈ Ωij =
{(k, l) ∈ N20 : k ≤ i, l ≤ j}\{(i, j)}

(iii) Với nhiễu w khác 0 thì
E

2
z (i, j)z(i, j) − V (i, j) Fij < w (i, j)w(i, j).
γ2

Khi đó, hệ (3.1a)-(3.1b) là ổn định ngẫu nhiên EP.

3.3. Thiết lập điều kiện ổn định ngẫu nhiên EP dạng LMIs
Áp dụng những kết quả của Định lí 3.2.1, chúng tôi thiết lập các điều kiện phụ
thuộc trễ dựa trên các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sao cho hệ 2-D ngẫu nhiên
(3.1a)-(3.1b) là ổn định ngẫu nhiên EP. Chúng tôi đưa ra một số kí hiệu vectơ và ma
trận.

ˆ 1 + Aˆd e3 + Be
ˆ 8
A = Ae1 + Ad e3 + Be8 , Aˆ = Ae
n
(p)
(p)
σp2 Aˆ En P En Aˆ − e1 P e1 − e8 e8

Ξ1 = A P A +
p=1

Ξ2 = e1 Qe1 + e2 Re2 − e2 Qe2 − e4 Re4
n

Ξ3 = A − e1

(p)
(p)
σp2 Aˆ En (I1 W )En Aˆ

(I1 W ) A − e1 +
p=1

Ξ4 =

e1 − e2

diag{W, 3W }

e1 + e2 − 2e5

e1 − e2
e1 + e2 − 2e5

n

Ξ5 = A − e1

(p)
(p)
σp2 Aˆ En (I2 Z)En Aˆ

(I2 Z) A − e1 +
p=1

I1 = diag{d2h Inh , d2v Inv }, I2 = diag{(drh )2 Inh , (drv )2 Inv }
15


[4]

Ih

Ξ6 = Γ

[4]

[4]

[4]

Γ

ΨvY Iv

ΨhX Ih + Iv

Zh = diag{Zh , 3Zh }, Zv = diag{Zv , 3Zv }
Γ1 =

Γ=

e2 − e3
e2 + e3 − 2e6
Γ1
Γ2

e3 − e4

, Γ2 =

, ΨhX =

e3 + e4 − 2e7

Zh

X

X

Zh

, ΨvY =

Zv

Y

Y

Zv

[p]

Ih = Inh 0nh ×nv , Ih = diag{Ih , . . . , Ih }
p blocks
[p]

Iv = 0nv ×nh Inv , Iv = diag{Iv , . . . , Iv } .
p blocks
+
+
D+
n = P = diag{Ph , Pv }, Ph ∈ Snh , Pv ∈ Snv

Định lí 3.3.1. Hệ (3.1a)-(3.1b) là ổn định ngẫu nhiên EP nếu với γ > 0 cho trước
2nh ×2nh , Y ∈ R2nv ×2nv
tồn tại các ma trận P , Q, R, W , Z trong D+
n và ma trận X ∈ R

thoả mãn các điều kiện LMIs sau
3

M

Ξk − Ξ4 + Ξ5 − Ξ6 < 0

(3.9a)

ΨhX ≥ 0, ΨvY ≥ 0

(3.9b)

k=1






−Φ

ˆ Dσˆ
H

H

H

−

ˆ
Dσˆ H

γ2
2



<0


I2nz

(3.9c)

ˆ = Cˆ D
ˆ Fˆ , Dσˆ = diag{ˆ
σq } và Φ = diag{P, R, Ino }.
ở đó H = [C D F ], H

Trường hợp đặc biệt, ta xét lớp hệ 2-D ngẫu nhiên không có trễ sau
xh (i + 1, j)
xv (i, j

+ 1)

ˆ w(i, j)
= A + ξij Aˆ x(i, j) + B + ξij B

z(i, j) = C + θij Cˆ x(i, j) + F + θij Fˆ w(i, j)

(3.10a)
(3.10b)

trong đó các quá trình ngẫu nhiên ξij và θij được mô tả như trong (3.2).
Hệ quả 3.3.1. Hệ (3.10) là ổn định ngẫu nhiên EP nếu với số dương γ > 0 cho
trước, tồn tại ma trận P ∈ D+
n sao cho
Ψ11 Ψ12
Ψ12 Ψ22

< 0,

Λ11

Λ12
2

Λ12 − γ2 I2nz
16

<0

(3.11)


ở đó Λ11 = −diag{P, Ino }, Λ12 =

C

F

Dσˆ Cˆ Dσˆ Fˆ

, và

n
(p)
(p)
σp2 Aˆ En P En Aˆ − P

Ψ11 = A P A +
p=1
n

(p) ˆ
(p)
σp2 Aˆ En P En B

Ψ12 = A P B +
p=1
n

ˆ − Ino .
ˆ En(p) P En(p) B
σp2 B

Ψ22 = B P B +

p=1

17


Chương 4
TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HOÁ CỦA LỚP HỆ 2-D NGẪU
NHIÊN PHI TUYẾN: CÁCH TIẾP CẬN BẰNG ĐỊNH LÍ KIỂU
LASLLE

Trong chương này, chúng tôi chứng minh Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D
phi tuyến ngẫu nhiên dạng Roesser. Các kết quả đó là mở rộng của Định lí ổn định
Lyapunov đảm bảo tính ổn định tiệm cận hầu chắc chắn của nghiệm. Tiếp đó, chúng
tôi trình bày các điều kiện tồn tại điều khiển phản hồi đảm bảo giá trị tối ưu cho
lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến. Trường hợp đặc biệt, đối với lớp hệ 2-D tuyến tính
không chắc chắn chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính, chúng tôi thiết kế điều khiển
phản hồi đảm bảo giá trị dựa trên các điều kiện về bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

4.1. Mô tả mô hình
Xét hệ 2-D ngẫu nhiên được mô tả bởi mô hình Roesser
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

=F

(i, j),

xh (0, j) = φ(j),

xh (i, j)

xv (i, j)

, u(i, j), βij

xv (i, 0) = ψ(i)

(4.1a)
(4.1b)

ở đó xh (i, j) ∈ Rnh and xv (i, j) ∈ Rnv là các vectơ trạng thái, βi j là quá trình ngẫu
nhiên xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị trong Rd ,
F : N20 × Rn × Rd → Rn là hàm đo được sao cho F (., 0, 0, .) = 0, với n = nh + nv và φ(.),
ψ(.) là dãy các điều kiện đầu của hệ (4.1) sao cho tồn tại các số nguyên dương
v

h

và

thoả mãn
φ(j) = 0, j >

h,

ψ(i) = 0, i >

v.

(4.2)

Trong hệ (4.1), điều khiển phản hồi trạng thái (SFC) có dạng
xh (i, j)

u(i, j) = u

(4.3)

xv (i, j)

ở đó u là vectơ từ Rn vào Rnc với u(0) = 0. Khi đó, hệ đóng của (4.1) có dạng
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

= Fu

(i, j),

18

xh (i, j)
xv (i, j)

, βij

(4.4)


trong đó
Fu

(i, j),

xh (i, j)
xv (i, j)

, βij

=F

(i, j),

xh (i, j)
xv (i, j)

,u

xh (i, j)
xv (i, j)

, βij

.

Định nghĩa 4.1.1. Hệ (4.1) được gọi là ổn định hóa hầu chắc chắn nếu tồn tại điều
khiển phản hồi u¯(i, j) dạng (4.3) sao cho hệ đóng của (4.1) là ổn định tiệm cận theo
nghĩa hầu chắc chắn, tức là, với điều kiện ban đầu (4.2), thì
P

lim

i+j→∞

ở đó x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j)

x(i, j) = 0 = 1

∈ Rn là nghiệm của hệ (4.4) và (4.2) tương ứng

với điều khiển phản hồi trạng thái u¯(i, j).

4.2. Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên dạng Roesser
Kí hiệu Jh = [Inh

0], Jv = [0

Inv ] và các hàm thành phần

Fuh ((i, j), x(i, j), βij ) = Jh Fu ((i, j), x(i, j), βij ),
Fuv ((i, j), x(i, j), βij ) = Jv Fu ((i, j), x(i, j), βij ).

Khi đó, phương trình (4.4) có dạng
xh (i + 1, j) = Fuh ((i, j), x(i, j), βij ) và xv (i, j + 1) = Fuv ((i, j), x(i, j), βij )

với vectơ trạng thái x = x(i, j). Với Vh : Rnh → R, xh → Vh (xh ) và Vv : Rnv → R,
xv → Vv (xv ) là các hàm đã cho, sai phân của V (x)

Vh (xh ) + Vv (xv ) dọc theo quỹ đạo

nghiệm x(i, j) của hệ (4.4) được xác định bởi
E Vh (xh (i + 1, j))|Gi+j − Vh (xh (i, j))

∆u V (x(i, j))

+ E [Vv (xv (i, j + 1))|Gi+j ] − Vv (xv (i, j))
= E [V (Fu ((i, j), x(i, j), βij ))|Gi+j ] − V (x(i, j))

(4.5)

trong đó Gi+j là σ -đại số sinh bởi{βkl : (k, l) ∈ Ωi+j−1 } và, với mỗi số nguyên dương κ,
Ωκ = {(k, l) ∈ N20 : k + l ≤ κ}.

Định lí 4.2.1. Giả sử tồn tại các hàm không âm Vh (xh ), Vv (xv ), W (x) và các số thực
ζij ≥ 0 sao cho

∞
i,j=0 ζij

< ∞, Vh (0) = Vv (0) = 0 và sai phân của hàm V (x) =

Vh (xh ) + Vv (xv ) dọc quỹ đạo nghiệm x(i, j) của hệ (4.4) thoả mãn
∆u V (x(i, j)) ≤ ζij − W (x(i, j)),

i, j ≥ 0.

Khi đó, limi+j→∞ V (x(i, j)) tồn tại và hữu hạn hầu chắc chắn (a.s). Hơn nữa,
lim W (x(i, j)) = 0

i+j→∞

19

(a.s).

(4.6)


Hệ quả 4.2.1. Giả sử tồn tại các hàm không âm V, W : Rn → R+ , V (x) = Vh (xh ) +
Vv (xv ), và các số thực không âm {ζij } sao cho V (0) = 0, W (x) liên tục,

∞
i,j=0 ζij

<∞

và
∆u V (x(i, j)) ≤ ζij − W (x(i, j)).

Nếu lim inf

x →∞ V (x)

(4.7)

= ∞ thì với mọi quỹ đạo trạng thái x(i, j) của hệ (4.4) khẳng

định sau là đúng limi+j→∞ d (x(i, j), N (W )) = 0 (a.s), ở đó N (W ) = {x ∈ Rn : W (x) = 0}.

4.3. Điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi
tuyến bằng điều khiển phản hồi trạng thái
4.3.1. Điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến

Áp dụng kết quả thu được về Định lí kiểu LaSalle 2-D vào bài toán thiết kế điều
khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến tổng quát. Cụ thể,
chúng tôi xét ổn định hoá hệ (4.1) và cực tiểu hoá hàm giá
∞

J(φ, ψ, u)

∞

L (xu (i, j), u(i, j))

E

(4.8)

i=0 j=0

ở đó xu (i, j) là nghiệm của hệ (4.1) tương ứng với điều khiển phản hồi u(i, j) và
L : Rn × Rnc → R+ là nhân hàm giá.

Định nghĩa 4.3.1. Hệ (4.1) với hàm giá (4.8) được gọi là ổn định đảm bảo giá trị
nếu tồn tại điều khiển phản hồi trạng thái u¯ = u¯(x) thoả mãn các điều kiện sau
(i) Ổn định hoá: Hệ đóng (4.1) với điều khiển u¯ là ổn định tiệm cận hầu chắc chắn,
tức là, với bất kì nghiệm xu¯ (i, j) của hệ (4.1) thoả mãn
lim xu¯ (i, j) = 0 (a.s).

i+j→∞

(ii) Đảm bảo giá trị: Hàm giá của hệ đóng (4.8) là hữu hạn, nghĩa là
J(φ, ψ, u¯) ≤ J¯ < ∞

với J¯ là một hằng số.
Khi đó, điều khiển phản hồi trạng thái u¯ được gọi là điều khiển đảm bảo giá trị của
hệ (4.1).
¯ là tập tất cả các
Giả sử tồn tại điều khiển đảm bảo giá trị u¯ của hệ (4.1). Gọi U

điều khiển đảm bảo giá trị, tức là
¯ =
U

u¯ = u¯(x) : lim xu¯ (i, j) = 0 (a.s) và J(φ, ψ, u¯) < ∞ .
i+j→∞

20


¯ được gọi là một điều khiển đảm
Định nghĩa 4.3.2. Một điều khiển phản hồi u∗ ∈ U

bảo giá trị tối ưu nếu u∗ là nghiệm hữu hiệu của bài toán cực tiểu minu∈U J(φ, ψ, u),
tức là,
J(φ, ψ, u∗ ) = min J(φ, ψ, u)
u∈U

ở đó U là tập các điều khiển phản hồi.
Định lí 4.3.1. Giả sử rằng
(i) Tồn tại hàm liên tục xác định dương W : Rn → R+ thoả mãn
L(x, u) ≥ W (x),

∀x ∈ Rn , u ∈ Rnc .

(4.9)

(ii) Tồn tại các hàm xác định dương Vh : Rnh → R+ , Vv : Rnv → R+ và điều khiển
phản hồi trạng thái u¯ = u¯(x) sao cho sai phân của hàm V (x) = Vh (xh ) + Vv (xv )
dọc quỹ đạo nghiệm của hệ đóng (4.4) thoả mãn
∆u¯ V (x(i, j)) + L (x(i, j), u¯(i, j)) ≤ 0.

(4.10)

Khi đó, u¯ = u¯(x) là điều khiển đảm bảo giá trị của hệ (4.1). Hơn nữa,
v

h

J(φ, ψ, u¯) ≤ J¯

Vh (φ(j)) +
j=0

Vv (ψ(i)).

(4.11)

i=0

Định lí 4.3.2. Giả sử tồn tại các hàm xác định dương Vh : Rnh → R+ , Vv : Rnv → R+ ,
hàm liên tục xác định dương W : Rn → R+ , số dương ρ và điều khiển phản hồi trạng
thái u∗ = u∗ (x) ∈ U thoả mãn các điều kiện sau

L(x, u) ≥ W (x),

V (x) = Vh (xh ) + Vv (xv ) ≤ ρW (x),

∀x ∈ Rn , u ∈ Rnc

(4.12a)

∆u∗ V (x) + L (x, u∗ (x)) ≤ 0, x ∈ Rn

(4.12b)

∆u V (x) + L (x, u(x)) ≥ 0, ∀u ∈ U, x ∈ Rn .

(4.12c)

Khi đó, u∗ = u∗ (x) là điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu của hệ (4.1). Hơn nữa,
v

h

min J(φ, ψ, u) =
u∈U

Vh (φ(j)) +
j=0

Vv (ψ(i)).

(4.13)

i=0

4.3.2. Điều khiển vững đảm bảo giá trị cho lớp hệ 2-D tuyến tính không chắc
chắn có nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính
Trong phần này, chúng tôi thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ
2-D tuyến tính không chắc chắn, chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính được mô tả
21


bởi mô hình Roesser
xh (i + 1, j)
xv (i, j + 1)

= (A0 + ∆A0 )

xh (i, j)
xv (i, j)

d

+

(As + ∆As )
s=1

+ (B0 + ∆B0 )u(i, j)

xh (i, j)

+ (Bs + ∆Bs ) u(i, j)

xv (i, j)

s
βij

(4.14)

ở đó xh (i, j), xv (i, j) là vectơ trạng thái, u(i, j) ∈ Rnc là điều khiển đầu vào và βijs
(s = 1, 2, . . . , d) là các nhiễu trắng, tức là các biến ngẫu nhiên độc lập, xác định trên
không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) có kì vọng bằng 0 và thoả mãn
E βijk βijl = σ 2 δkl , (k, l = 1, 2 . . . , d)

(4.15)

ở đó δkl là các hàm Delta-Kronecker và σ > 0 là một số cho trước. Trong hệ (4.14),
A0 , B0 , As và Bs (s = 1, 2, . . . , d) là các ma trận cho trước với số chiều thích hợp và
∆A0 , ∆B0 , ∆As , ∆Bs là các đại lượng không chắc chắn có cấu trúc
[∆A0

∆B0 ] = LFij [M0

N0 ]

[∆As

∆Bs ] = LFijs [Ms

Ns ], (s = 1, 2, . . . , d)

ở đó L, M0 , Ms , N0 , Ns là các ma trận đã biết và Fij , Fijs là các ma trận chưa biết sao
cho Fij Fij ≤ I và Fijs Fijs ≤ I . Không mất tính tổng quát, giả sử điều kiện ban đầu
của hệ (4.14) là bất kì và nằm trong tập
Din = xh (0, .) = Zh ϑ1 , xv (., 0) = Zv ϑ2 , ϑ1 ϑ1 ≤ 1, ϑ2 ϑ2 ≤ 1

(4.16)

trong đó Zh , Zv là các ma trận cho trước và ϑ1 , ϑ2 là các vectơ chưa biết. Một ví dụ
điển hình của hàm giá J trong vấn đề LQR (linear quadratic regulator) có dạng sau
L(x, u) = x Qx + u Ru
+
ở đó Q ∈ S+
¯(i, j) = Kx(i, j),
n và R ∈ Snc . Chúng tôi xét điều khiển phản hồi trạng thái u

trong đó K ∈ Rnc ×n là ma trận đạt được. Khi đó, hệ đóng của (4.14) được biểu diễn
dưới dạng
xh (i + 1, j)
xv (i, j

+ 1)

=

Ac0

xh (i, j)
xv (i, j)

d

Acs

+
s=1

xh (i, j)
xv (i, j)

s
βij
,

(4.17)

trong đó Ac0 = A0 +∆A0 +(B0 +∆B0 )K và Acs = As +∆As +(Bs +∆Bs )K (s = 1, 2, . . . , d).
Định lí 4.3.3. Với ma trận K cho trước, giả sử tổn tại các ma trận đối xứng xác định
+
dương Ph ∈ S+
nh và Pv ∈ Snv thoả mãn các điều kiện sau
d

(Ac0 )

(Ph ⊕ Pv ) Ac0

+σ

2

(Acs ) (Ph ⊕ Pv ) Acs − (Ph ⊕ Pv ) + Q + K RK < 0
s=1

22

(4.18)


ở đó Ph ⊕ Pv = diag(Ph , Pv ) biểu thị tổng của Ph và Pv . Khi đó, hệ đóng của hệ (4.17)
là ổn định hoá hầu chắc chắn và hàm giá của hệ đóng J(φ, ψ, u¯) thoả mãn đánh giá
sau
J(φ, ψ, u¯) ≤ J ∗ =

h λmax

Zh Ph Zh +

v λmax

Zv Pv Zv

(4.19)

với mọi điều kiện ban đầu (φ, ψ) ∈ Din .
Đặt P = Ph ⊕ Pv . Điều kiện (4.18) tương đương với điều kiện LMI sau


−X H1


 ∗


 ∗
∗

H2

H3

−Λ

0

0

∗

−In+nc

0

∗

0

− I(d+1)q




<0



(4.20)

trong đó
H1 =

A0 X + B0 Y

1

,

Aβ X + Bβ Y

H2 =

Q2 X

,

1
2

R Y

H3 =

M0 X + N0 Y
Mβ X + Nβ Y

Λ = diag X − LL , Xd − Ld Ld , X = P −1 , Y = KP −1 = KX .
+
Định lí 4.3.4. Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Xh ∈ S+
nh , Xv ∈ Snv ,

ma trận Y ∈ Rnu ×n và số dương

thoả mãn điều kiện LMI (4.20), ở đó X = Xh ⊕ Xv .

Khi đó, hệ (4.14) là ổn định vững đảm bảo giá trị. Điều khiển vững đảm bảo giá trị
u¯(i, j) được xác định bởi u¯(i, j) = Y
J∗ =

h λmax

Xh−1 xh (i, j)
Xv−1 xv (i, j)

Zh Xh−1 Zh +

, và giá trị J ∗ được xác định bởi

v λmax

Zv Xv−1 Zv .

(4.21)

Nhận xét 4.3.1. Thủ tục tối ưu hoá sau được dùng để làm mịn cận trên của hàm
giá J ∗ trong (4.21).

minimize λ1

h

+ λ2

v

s.t.




λ1 > 0, λ2 > 0





LMI (4.20)




−(λ1 Inh ) ⊕ (λ2 Inv ) (Zh ⊕ Zv )




 < 0.




Zh ⊕ Zv
−X

23

(4.22)