Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY

MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH
ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế

Phản biện 1:

GS. TSKH. Nguyễn Minh Trí
Viện Toán học

Phản biện 2:

PGS. TS. Đỗ Đức Thuận
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Phản biện 3:

PGS. TS. Nguyễn Thị Kim Sơn
Trường Đại học Thủ đô Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ .... ngày .... tháng .... năm .....

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Thuật ngữ “phương trình vi phân không địa phương” (nonlocal differential equation) dùng để chỉ những phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của hàm trạng
thái không xác định tại từng điểm mà xác định thông qua một công thức tích phân (gọi
là đạo hàm “có nhớ”). Lớp phương trình không địa phương tiêu biểu sau đây mô tả các
quá trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion)
∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u,

(1)

trong đó u = u(t, x) là hàm trạng thái, k là một hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ là ký
hiệu tích chập Laplace, ∆ là toán tử Laplace theo biến không gian. Lớp phương trình
này được nghiên cứu gần đây trong các công trình của Zacher và các cộng sự (2015,
2016). Đặc biệt, khi
t−α
, 0 < α < 1,

k(t) = g1−α (t) =
Γ(1 − α)

(2)

thì phương trình trên là phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mô
tả quá trình dưới khuếch tán (subdiffusion), là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà
toán học trong hai thập kỷ qua. Phương trình (1) với nhân k được cho bởi (2) chính là
phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo. Có thể thấy phương trình
vi phân phân thứ là mô hình tiêu biểu của phương trình vi phân không địa phương,
hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Các kết quả về tính ổn định Lyapunov cho
nghiệm của phương trình vi phân phân thứ có thể tìm thấy trong các công trình của
R. Agarwal, S. Hristova và D. O’Regan (2016), của N.D. Cong, D.T. Son và H.T. Tuan
(2014), hoăc của tác giả I.M. Stamova (2016) và các tài liệu tham khảo trong đó. Liên
quan đến tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho các hệ vi phân phân thứ, có thể kể
đến các kết quả gần đây trong các công trình của các nhà toán học M.P. Lazarevic và
A.M. Spasic (2009), M. Li và J.R. Wang (2017), Y. Zhang và J.R. Wang (2016). Với
các hệ vi phân phân thứ trong không gian vô hạn chiều, một số kết quả về tính ổn định
tiệm cận yếu đã được thiết lập trong các công trình công bố bởi T. D. Ke và các cộng
sự (2016, 2017).
Năm 2015, các tác giả V. Vergara và R. Zacher đã xem xét các trường hợp khác nhau
của phương trình (1) khi thay nhân k bởi các hàm khả tích, từ đó dẫn đến các mô hình
khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) và ý
nghĩa vật lý của chúng. Những kết quả này gợi ý cho chúng ta những vấn đề nghiên
cứu mới, trong đó đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân không địa phương nửa
tuyến tính tổng quát trong các không gian Banach hoặc Hilbert dạng
d
[k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u),
dt

(3)

với A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, f là một hàm
phi tuyến cho trước. Theo khảo sát của chúng tôi, những kết quả nghiên cứu định tính
1


cho phương trình (3) chưa được biết đến nhiều, các kết quả đã biết chủ yếu thiết lập
cho trường hợp cụ thể khi A là toán tử elliptic mạnh. Những vấn đề cần nghiên cứu đối
với lớp phương trình (3) bao gồm:
• Tính giải được và tính chính quy của nghiệm;
• Sự tồn tại các lớp nghiệm tuần hoàn, nghiệm tiêu hao;
• Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu;
• Tính ổn định/tính hút trong thời gian hữu hạn;
• Bài toán giá trị cuối.

Chú ý rằng ánh xạ nghiệm của (3) nói chung không có tính chất nửa nhóm nên việc
sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm là không khả thi.
Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov cũng rất khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn
định tiệm cận nghiệm do không gian pha (nói chung) là không gian vô hạn chiều và
việc tính đạo hàm có nhớ trên phiếm hàm Lyapunov rất khó thực hiện. Đặc biệt, nếu
trong (3) có sự xuất hiện của trễ thời gian sẽ dẫn đến nhiều khó khăn trong nghiên cứu
tính ổn định của nghiệm. Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm những
cách tiếp cận mới.
Bên cạnh đó, bài toán ngược cho phương trình vi phân không địa phương cũng là
một nội dung mới mẻ và có nhiều khía cạnh lí thú. Trên thực tế, khi mô hình hoá một
bài toán bởi một hệ phương trình tiến hoá, có hai tình huống được xem xét. Tình huống
đầu tiên là ta có thể xác định được các hệ số và dữ kiện ban đầu của hệ phương trình.
Khi đó ta có thể giải hệ hoặc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm bằng
các công cụ giải tích. Bài toán ứng với tình huống này gọi là bài toán thuận (forward

problem). Tình huống thứ hai xảy ra khi ta không xác định được đầy đủ các hệ số trong
phương trình hoặc không đo được dữ kiện ban đầu. Khi đó cùng lúc ta phải xác định
các hệ số hoặc dữ kiện và nghiệm tương ứng của hệ dựa vào những ‘đo đạc’ bổ sung.
Lúc này ta có bài toán ngược (inverse problem). Cần nhấn mạnh rằng, khác với bài
toán thuận, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard,
có độ phức tạp cao và cần có cách tiếp cận phù hợp với từng trường hợp cụ thể. Chính
vì vậy, các phương pháp giải bài toán ngược rất phong phú.
Trong một thập kỷ qua, bài toán ngược đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán xác định ngoại lực trong phương
trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đã được đề cập trong nhiều bài báo, tiêu biểu
là các kết quả của các tác giả F. AL-Musalhi và các cộng sự (2017), K. Sakamoto và
M. Yamamoto (2011), T. Wei và Z. Zhang (2013), ở đó phương pháp khai triển Fourier
được sử dụng. So với trường hợp tuyến tính, bài toán xác định ngoại lực với phương
trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều và các kết quả liên quan còn
ít được biết đến. Năm 2013, Y. Luchko và các cộng sự đã sử dụng nguyên lý cực trị
để giải quyết bài toán xác định ngoại lực cho phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến
tính. Bài toán tương tự được giải quyết trong các công trình của M. Slodicka và K.
Siskova (2016) cũng như của S. Tatar và S. Ulusoy (2017) bằng các phương pháp khác
nhau như phương pháp rời rạc hoá (discretization method) hoặc phương pháp tối ưu
(optimization method). Đối với bài toán không đo được dữ kiện ban đầu, dữ kiện bổ
sung được cho tại thời điểm quan sát t = T dưới dạng u(T ) = g . Ta gọi bài toán này là
bài toán giá trị cuối (final value problem/terminal value problem). Bài toán giá trị cuối
2


hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự bởi những ứng dụng của nó trong xử lý tín
hiệu, xử lý hình ảnh, địa vật lý,...
Để cụ thể hóa từng vấn đề nghiên cứu, trước hết chúng tôi xét hệ sau đây:
d
[k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0,

dt
u(0) = u0 ,

(4)
(5)

ở đây ẩn hàm u nhận giá trị trong không gian Hilbert tách được H , nhân k ∈ L1loc (R+ ),
A là toán tử tuyến tính không bị chặn, và f : H → H là hàm cho trước. Cần lưu ý
rằng, lớp phương trình này đã và đang được sử dụng làm mô hình cho nhiều bài toán
khác nhau có liên quan đến các quá trình có nhớ (điều này có thể tham khảo trong
các công trình của Ph. Clément và J. A. Nohe (1981) hoặc J. Pr¨
uss (1993)). Trong
−α
trường hợp đặc biệt, khi nhân k(t) = g1−α (t) := t /Γ(1 − α), α ∈ (0, 1), thì phương trình
(4) là phương trình vi phân phân thứ với

d
[k ∗ (u − u0 )] là đạo hàm phân thứ Caputo
dt

bậc α, một đối tượng được nghiên cứu rộng rãi. Trong các trường hợp cụ thể, chẳng
hạn như khi H = L2 (Ω), Ω ⊂ RN , và A = −∆ là toán tử Laplace với điều kiên biên
Dirichlet/Neumann, phương trình (4) được dùng để mô tả các hiện tượng khuếch tán
dị thường bao gồm khuếch tán chậm, siêu chậm, điều này đã được V. Vergara và R.
Zacher viết vào năm 2015. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì chưa có nghiên cứu nào
về tính chính quy nghiệm của hệ (4)-(5). Ngoài ra, sự ổn định theo nghĩa Lyapunov cho
(4) ít được biết đến. Đó là động lực cho chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán này.
Trong trường hợp đặc biệt, khi k = g1−α , một số kết quả về tính ổn định được T. D. Ke
và các cộng sự nghiên cứu (2015, 2017). Trong bài báo được công bố năm 2017, Vergara
và Zacher nghiên cứu một mô hình cụ thể của phương trình (4), đó là một phương trình

vi phân đạo hàm riêng nửa tuyến tính không địa phương. Sử dụng nguyên lý cực đại
cho phương trình tuyến tính hóa, các tác giả đã chứng minh sự ổn định tiệm cận của
nghiệm tầm thường cho phương trình này. Điều đáng chú ý là kỹ thuật được Vergara
và Zacher không áp dụng được cho phương trình tổng quát (4). Chúng tôi đặt vấn đề
nghiên cứu tính chính quy và tính ổn định tiệm cận của nghiệm đối với (4) bằng cách
sử dụng một biểu diễn mới của nghiệm cùng bất đẳng thức kiểu Gronwall.
Tiếp theo, chúng tôi xét một hệ phương trình không địa phương với ngoại lực f
không chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ mà còn phụ thuộc vào trạng thái lịch sử,
tức là hệ có trễ thời gian. Sự xuất hiện của trễ trong trường hợp này là một đặc tính
tự nhiên trong nhiều bài toán thực tế của vật lý, hóa học, sinh học... Cụ thể, chúng tôi
xét hệ sau đây: Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn có ∂Ω trơn, xét phương trình
∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω,

(6)

với điều kiện ban đầu
u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω,

(7)

ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , và điều kiện biên Dirichlet
u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω.

(8)

Trong (6), nhân k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f là một hàm cho trước. Ở đó uρ (t, x) =
u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) sao cho −h ≤ t − ρ(t) < t.
3

Chúng tôi sẽ nghiên cứu tính tiêu hao và ổn định cho hệ (6)-(8). Sự xuất hiện của
trễ dẫn đến những khó khăn trong việc nghiên cứu tính ổn định, ví dụ khi thực hiện
các ước lượng tiên nghiệm. Theo như chúng tôi biết, chưa có kết quả nào về tính giải
được cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với (6). Do vậy chúng tôi đặt mục tiêu
tìm các điều kiện thích hợp trên k , ρ và f , đảm bảo:
• Sự tiêu hao của hệ, tức là sự tồn tại của một tập đóng hấp thụ tất cả các nghiệm;
• Sự ổn định tiệm cận của nghiệm trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất;
• Sự ổn định tiệm cận yếu (Định nghĩa 3.1) của nghiệm tầm thường trong trường

hợp không duy nhất nghiệm.
Để thu được những kết quả này, trước tiên, chúng tôi chứng minh một bất đẳng thức
kiểu Halanay mới, đây là kết quả tổng quát cho trường hợp phương trình vi phân phân
thứ đã by D.Wang, A. Xiao và H. Liu công bố năm 2015. Bất đẳng thức này được sử
dụng trong việc nghiên cứu sự tiêu hao và tính ổn định tiệm cận. Để chứng minh tính
ổn định tiệm cận yếu, chúng tôi sử dụng kỹ thuật được phát triển bởi T. D. Ke và các
cộng sự (2016, 2017), dựa trên nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén.
Cuối cùng, trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến bài toán giá trị cuối sau đây:
Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Xét phương trình
k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u), t ∈ (0, T ), x ∈ Ω,

(9)

u(T, x) = g(u)(x), x ∈ Ω,

(10)

u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω.

(11)

với điều kiện cuối

và điều kiện biên Dirichlet

Trong phương trình (9), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f là một hàm cho trước. Ở đây (−∆)γ
là toán tử Laplace phân thứ. Hàm g phụ thuộc u có ý nghĩa thực tế, rằng dữ kiện đo
được tại thời điểm t = T có thể phụ thuộc vào ‘năng lượng’ của hệ. Với hệ (9)-(11), mục
tiêu chính là dưạ vào trạng thái tại thời điểm hiện tại (t = T ), ta xác định các trạng
thái trước đó. Không giống như bài toán giá trị đầu (u(0) = g(u), bài toán thuận), bài
toán giá trị cuối là kiểu bài toán ngược, nói chung phức tạp hơn. Lý do cơ bản là do
hiệu ứng trơn của bài toán thuận, tức là u(t), với t > 0, thuộc không gian chính quy hơn
không gian chứa u(0). Khi đó, t = 0 có thể là điểm kì dị của u nếu giá trị cuối không đủ
chính quy.
Trường hợp k(t) = t−α /Γ(1 − α) và γ = 1, phương trình (9) chính là phương trình dưới
khuếch tán với đạo hàm phân thứ Caputo cấp α. Bài toán giá trị cuối trong trường hợp
này đã được nghiên cứu trong một số công trình công bố gần đây, có thể kể đến các
công trình của N.H. Tuan và cộng sự (2017), của H. Zhang và X. Zhang (2017), với f
và g không phụ thuộc u. Trong các công trình này, bài toán được chứng minh là đặt
không chỉnh theo nghĩa nghiệm là không ổn định đối với dữ kiện cuối, từ đó cần một số
phương pháp chính quy hóa để tìm nghiệm xấp xỉ. Sau đó, bài toán với f , g phụ thuộc
u đã được nghiên cứu bởi N.H. Tuan và cộng sự (2018, 2019), các kết quả thu được
đều dựa vào công thức nghiệm biểu diễn qua hàm Mittag-Leffler. Về phương diện kĩ
thuật, các tác giả đã sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với các ước lượng cho
4


hàm Mittag-Leffler. Đối với bài toán (9)-(11), chúng tôi xem xét bài toán giá trị cuối
trong trường hợp tổng quát hơn, khi k là nhân Sonine, tức tồn tại một hàm khả tích
địa phương l sao cho k ∗ l = 1. Khi đó phương trình (9) chứa các trường hợp riêng như
phương trình khuếch tán chậm, khuếch tán siêu chậm, phương trình phân thứ đa thành

phần, phương trình phân thứ có trọng,... được sử dụng để mô tả các quá trình khuếch
tán có nhớ khác nhau. Lúc này, toán tử nghiệm chưa có biểu diễn tường minh theo các
hàm đặc biệt đã biết. Do vậy, kĩ thuật của chúng tôi là dựa vào lý thuyết hàm hoàn
toàn dương được G. Gripenberg, S.-O. Londen và O. Staffans (1990) phát triển và lý
thuyết giải thức trình bày trong tài liệu tham khảo của Pr¨
uss (1993) kết hợp với nguyên
lý điểm bất động. Cụ thể hơn, sử dụng tính parabolic của phương trình khuếch tán dị
thường, chúng tôi thu được tính chính quy của giải thức và điều này cho phép chúng
tôi giải bài toán trong trường hợp hàm phi tuyến không thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
So sánh với các kết quả đã có cho trường hợp phương trình phân thứ, chúng tôi giải
quyết bài toán tổng quát hơn và đưa ra các điều kiện cụ thể hơn. Đối với bài toán này,
chúng tôi thu được kết quả sau:
• Đưa ra biểu diễn nghiệm nhẹ cho hệ (9)-(11) trong trường hợp tuyến tính bằng

cách sử dụng lý thuyết giải thức;
• Chứng minh sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện về tính chính quy;
• Chứng minh tính giải được cho hệ (9)-(11) trong không gian các hàm có thể gián
đoạn tại t = 0.

Các kết quả thu được của chúng tôi sẽ đóng góp một phần vào sự hoàn thiện của lý
thuyết phương trình vi phân không địa phương.
Từ những phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài luận án là: “Một số vấn đề định tính
đối với lớp phương trình vi phân không địa phương”.

2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án
2.1. Mục đích nghiên cứu: Luận án tập trung vào các tính chất định tính của nghiệm
đối với phương trình (3) và các mô hình liên quan. Mục tiêu chính là thiết lập các điều
kiện đủ cho tính giải được, tính chính quy và tính ổn định/ổn định yếu của nghiệm,
đồng thời xem xét tính giải được của bài toán giá trị cuối.
2.2. Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán với phương trình vi phân không địa

phương không chứa trễ và có chứa trễ.
2.3. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung
sau.
• Nội dung 1: Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm tích phân của phương trình

vi phân không địa phương;
• Nội dung 2: Dáng điệu của nghiệm: tính tiêu hao, tính ổn định tiệm cận và ổn

định tiệm cận yếu;
• Nội dung 3: Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương.

5


3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các công cụ của lý thuyết toán tử, lý thuyết ổn định và lý thuyết điểm
bất động. Ngoài ra, đối với các nội dung cụ thể, chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật
tương ứng:
• Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm nhẹ của phương trình vi phân không địa

phương: sử dụng lý thuyết toán tử, đặc biệt là lý thuyết giải thức cho phương trình
tích phân và lý thuyết điểm bất động.
• Dáng điệu của nghiệm: sử dụng lý thuyết ổn định, phương pháp điểm bất động.
• Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương: sử dụng lý thuyết

hàm hoàn toàn dương, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết giải thức.

4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài liệu tham
khảo, luận án được chia làm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2

chứng minh tính giải được, ổn định và chính quy cho một lớp phương trình vi phân
không địa phương. Chương 3 đưa ra các điều kiện thích hợp để đảm bảo tính tiêu hao,
ổn định tiệm cận của nghiệm trong trường hợp bài toán có nghiệm duy nhất và ổn
định tiệm cận yếu của nghiệm trong trường hợp không duy nhất nghiệm đối với lớp
phương trình khuếch tán dị thường có trễ hữu hạn. Chương 4 với bài toán giá trị cuối
cho phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính, chúng tôi chứng minh tính giải
được trong cả hai trường hợp khi dữ kiện chính quy và không chính quy.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên
cứu định tính cho lớp phương trình vi phân không địa phương, có thể áp dụng cho lớp
phương trình khuếch tán dị thường trong cả hai trường hợp không chứa trễ và có chứa
trễ.

6


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả về tính ổn định của các hệ vi
phân, lý thuyết toán tử tuyến tính, một số nguyên lý điểm bất động, toán tử đạo hàm
không địa phương, phương trình tích phân Volterra vô hướng và toán tử nghiệm của
phương trình vi phân không địa phương trong không gian Hilbert.

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm được sử dụng trong các
chương sau, như là: Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, Lploc (Ω), 1 ≤ p < +∞, C([a, b]; H), AC([a, b]),
Lp (a, b; H), C γ ([a, b]; H), γ ∈ (0, 1). Chúng tôi trình bày Định lý Arzelà-Ascoli Theorem.
Nội dung được thể hiện trong hai mục nhỏ.

1.1.1.

Các không gian hàm quan trọng

1.1.2.

Định lí Arzelà-Ascoli

1.2.

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN

Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định Lyapunov và khái niệm ổn
định yếu.

1.3.

LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến toán
tử tuyến tính đóng, toán tử tự liên hợp và lũy thừa của toán tử. Nội dung gồm các mục:

1.3.1.

Toán tử tuyến tính đóng

1.3.2.

Toán tử tự liên hợp

1.3.3.

Lũy thừa của toán tử

1.4.

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Mục này trình bày nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Schauder và nguyên
lý điểm bất động cho ánh xạ nén. Các nội dung này được trình bày lần lượt trong các
tiểu mục sau:

7


1.4.1.

Nguyên lý ánh xạ co

1.4.2.

Nguyên lý điểm bất động Schauder

1.4.3.

Nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén

1.5. TOÁN TỬ ĐẠO HÀM KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
1.5.1.

Giới thiệu toán tử đạo hàm không địa phương

Trong phần nhỏ này, chúng tôi đưa ra định nghĩa toán tử đạo hàm không địa phương.

1.5.2.

Nhân hoàn toàn đơn điệu và cặp nhân Sonine

Trong tiểu mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm nhân hoàn toàn dương và cặp nhân
Sonine, cũng như nêu giả thiết về hàm nhân được sử dụng trong suốt luận án.
(K) Hàm k ∈ L1loc (R+ ) không âm và không tăng, hơn nữa tồn tại một hàm l ∈
L1loc (R+ ) sao cho k ∗ l = 1 trên (0, ∞).
Nội dung được thể hiện qua các đề mục:

Cặp nhân Sonine
Nhân hoàn toàn đơn điệu
1.5.3. Một số ví dụ điển hình
1.6.

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÔ HƯỚNG

1.6.1. Phương trình Volterra vô hướng
Ở đây chúng tôi giới thiệu các loại phương trình Volterra và đưa ra loại phương trình
Volterra đặc biệt được sử dụng trong các chương sau. Nghiệm của hai phương trình này
lần lượt được kí hiệu bởi s(·, µ) và r(·, µ).

1.6.2. Tính chất nghiệm của phương trình Volterra
Trong mục này, chúng tôi trình bày về tính chất của s(·, µ) và r(·, µ) đề cập ở mục
trên và trình bày bất đẳng thức kiểu Gronwall.

1.7.

TOÁN TỬ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA
PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán:
d
dt [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = g(t), t ∈ (0, T ] với u(0) = u0 , với mỗi g ∈ C([0, T ]; H). Chúng tôi
xây dựng biểu diễn nghiệm cho bài toán.

8


1.7.1.

Biểu diễn nghiệm

Mục này chúng tôi đưa ra biểu diễn nghiệm cho phương trình không địa phương dưới
những giả thiết phù hợp của bài toán. Chúng tôi nêu giả thiết cho toán tử A, như sau:
(A) Toán tử A : D(A) → H xác định trù mật, tự liên hợp và xác định dương với

giải thức compact.
Bằng cách sử dụng các giả thiết về không gian Hilbert H , toán tử A và nhân k , chứng
tôi đưa ra các toán tử S(t) và R(t), từ đó nêu công thức nghiệm cho bài toán.

Định nghĩa nghiệm nhẹ
Tính chất cơ bản của toán tử giải thức
Trường hợp cụ thể
1.7.2.

Tính chính quy của toán tử S(t) và R(t)

Trong mục này, chúng tôi đưa ra tính chính quy của các toán tử giải thức xuất hiện
trong công thức nghiệm. Để có được tính khả vi của họ giải thức, chúng tôi thay thế
(K) bằng giả thiết mạnh hơn.
(K*) Giả thiết (K) được thỏa mãn với l là 2-chính quy và có tính chất θ-quạt với
0 < θ < π.

9


Chương 2
TÍNH CHÍNH QUY VÀ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp các phương trình vi phân không
địa phương trong không gian Hilbert, đây là mô hình tổng quát cho một số phương
trình khuếch tán dị thường. Bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình tích phân với
nhân hoàn toàn dương cùng với kỹ thuật ước lượng cục bộ, chúng tôi thu được một số
kết quả về sự tồn tại, tính chính quy và tính ổn định của nghiệm. Nội dung của chương
này dựa trên bài báo số 1 trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án.

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho H là không gian Hilbert tách được, chúng tôi xét bài toán sau:
d
[k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0,
dt
u(0) = u0 ,

(2.1)
(2.2)

ở đây hàm u nhận giá trị trong H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A là toán tử tuyến tính không bị
chặn, và f : H → H là hàm cho trước. Kí hiệu ‘∗’ được hiểu là tích chập Laplace, tức là
t
(k ∗ v)(t) = 0 k(t − s)v(s)ds.
Dựa vào biểu diễn nghiệm đã thiết lập, chúng tôi sẽ chứng minh nghiệm nhẹ của bài
toán tuyến tính (khi f không phụ thuộc u) cũng chính là nghiệm yếu và nó trở thành
nghiệm mạnh khi f liên tục H¨older. Tiếp theo, chúng tôi tìm các điều kiện đảm bảo sự
tồn tại và liên tục H¨older của nghiệm nhẹ của bài toán nửa tuyến tính.

2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TUYẾN
TÍNH
2.2.1. Tính giải được
Cho trước g ∈ C([0, T ]; H), xét bài toán tuyến tính
d
[k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = g(t), t ∈ (0, T ],
dt
u(0) = u0 .

(2.3)
(2.4)

Khái niệm nghiệm nhẹ của bài toán tuyến tính này đã được trình bày trong Chương
1. Tiếp theo ta định nghĩa nghiệm yếu, nghiệm mạnh cho bài toán (2.3)-(2.4).
Định nghĩa 2.1. Giả sử (A) và (K) được thỏa mãn, g ∈ C([0, T ], H) và u0 ∈ H cho trước.
Hàm u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 1 ) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (2.3)-(2.4)
2
trên [0, T ] nếu và chỉ nếu u(0) = u0 và phương trình (2.3) thỏa mãn trong V− 1 .

2

10


Định nghĩa 2.2. Giả sử (A), (K) được thỏa mãn, g ∈ C([0, T ]; H) và u0 ∈ H cho
trước. Hàm u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; D(A)) được gọi là một nghiệm mạnh của bài toán
(2.3)-(2.4) trên [0, T ] nếu và chỉ nếu u(0) = u0 , và phương trình (2.3) thỏa mãn trong H .
Định lí sau chỉ ra nghiệm nhẹ cũng là nghiệm yếu.
Định lí 2.1. Nếu u là nghiệm nhẹ của bài toán (2.3)-(2.4) thì nó cũng là nghiệm yếu
của bài toán này.
Định lí dưới đây khẳng định tính duy nhất của nghiệm yếu.
Định lí 2.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.3)-(2.4) là duy nhất.

2.2.2.

Tính chính quy nghiệm

Sử dụng các kết quả về tính chính quy của các giải thức S(t) và R(t), ta thu được
tính liên tục H¨older của nghiệm.
Định lí 2.3. Giả sử (A) và (K* ) được thỏa mãn, g trong (2.3) thuộc không gian
C γ ([0, T ]; H), và u là một nghiệm yếu của (2.3)-(2.4). Khi đó u ∈ C([0, T ]; H)∩C γ ([δ, T ]; H)
với mọi 0 < δ < T , và u cũng là một nghiệm mạnh.

2.3. TÍNH GIẢI ĐƯỢC, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO
BÀI TOÁN NỬA TUYẾN TÍNH
2.3.1. Tính giải được
Trước tiên ta định nghĩa nghiệm nhẹ cho bài toán nửa tuyến tính.
Định nghĩa 2.3. Hàm u ∈ C([0, T ]; H) được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (2.1)-(2.2)
trên [0, T ] nếu và chỉ nếu

t

R(t − s)f (u(s))ds,

u(t) = S(t)u0 +
0

với mọi t ∈ [0, T ].
Để giải bài toán ta sử dụng giả thiết sau cho hàm ngoại lực.
(F) Hàm phi tuyến f : H → H có tính chất Lipschitz địa phương, tức là với mỗi
ρ > 0 tồn tại một số không âm κ(ρ) thỏa mãn
f (v1 ) − f (v2 ) ≤ κ(ρ) v1 − v2 , ∀v1 , v2 ∈ Bρ ,

Trong đó Bρ là hình cầu đóng trong H với tâm tại gốc và bán kính ρ.
Trong định lí tiếp theo, chúng tôi chứng minh tính giải được địa phương của bài
toán.
Định lí 2.4. Giả sử (A), (K) và (F) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại số t∗ > 0 sao cho
bài toán (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm nhẹ xác định trên [0, t∗ ]. Hơn nữa, u(t) ∈ V 1 với
2
mọi t ∈ (0, t∗ ].
Bây giờ chúng tôi xét một số trường hợp, trong đó nghiệm tồn tại toàn cục.
11


Định lí 2.5. Cho (A) và (K) được thỏa mãn. Với T > 0 bất kì, nếu hàm phi tuyến
f là Lipschitz toàn cục, tức là, κ(ρ) = κ0 là hằng số, thì bài toán (2.1)-(2.2) có duy
nhất nghiệm nhẹ toàn cục u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 1 ). Nếu thêm điều kiện κ0 < λ1 và
2
1
+

l ∈ L (R ), thì mỗi nghiệm nhẹ của (2.1) là bị chặn toàn cục và ổn định tiệm cận.
Định lí sau đây cho ta kết quả chính của phần này.
Định lí 2.6. Giả sử (A), (K) và (F) được thỏa mãn. Nếu f (0) = 0 và lim sup κ(ρ) = α
ρ→0

với α ∈ [0, λ1 ), thì tồn tại δ > 0 sao cho với điều kiện u0 ≤ δ bài toán (2.1)-(2.2) có
duy nhất nghiệm nhẹ toàn cục u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 1 ).
2

2.3.2.

Tính ổn định nghiệm

Trong phần này chúng tôi chỉ ra tính ổn định của nghiệm tầm thường trong trường
hợp bài toán nửa tuyến tính.
Định lí 2.7. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.6 thỏa mãn. Nếu l ∈ L1 (R+ ), thì nghiệm
tầm thường của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận.
Bây giờ chúng tôi trình bày một kết quả ổn định tuyến tính hóa như là một hệ quả
của Định lí 2.7.
Hệ quả 2.1. Cho (A) và (K) được thỏa mãn. Giả sử hàm phi tuyến f là khả vi liên tục
sao cho f (0) = 0 và A − f (0) xác định dương. Khi đó, nghiệm tầm thường của (2.1) là
ổn định tiệm cận.

2.3.3. Tính liên tục H¨
older của nghiệm nhẹ
Chúng tôi chứng minh tính liên tục H¨older của nghiệm nhẹ của bài toán (2.1)-(2.2).
Định lí 2.8. Giả sử (A), (K*) và (F) được thỏa mãn. Khi đó nghiệm nhẹ của bài toán
(2.1)-(2.2) là liên tục H¨
older trên [δ, T ] với mỗi 0 < δ < T .

2.4.

ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ RN là một miền bị chặn với ∂Ω trơn. Chúng tôi áp dụng kết quả thu được
cho hệ vi phân đạo hàm riêng chứa cặp toán tử vi phân phân thứ theo thời gian sau
đây:
∂tα u(t, x) + µ ∂tβ u(t, x) + (−∆)γ u(t, x) = F

u2 (t, x)dx G(x, u(t, x)),

(2.5)

Ω

với t > 0, x ∈ Ω,
u(t, x) = 0, với t ≥ 0, x ∈ ∂Ω,

(2.6)

u(0, x) = u0 (x), với x ∈ Ω,

(2.7)

ở đó 0 < α < β < 1, µ ≥ 0, γ > 0, ∂tα và ∂tβ lần lượt là đạo hàm phân thứ Caputo bậc α và
β theo t; ∆ là toán tử Laplace với miền xác định D(∆) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Xét H = L2 (Ω)

12

với tích vô hướng (u, v) =

u(x)v(x)dx. Đặt
Ω

(2.8)

k(t) = g1−α (t) + µ g1−β (t),
A = (−∆)γ ,
v 2 (x)dx G(x, v(x)), v ∈ L2 (Ω).

f (v)(x) = F
Ω

Khi đó bài toán (2.5)-(2.7) là một trường hợp cụ thể của (2.1)-(2.2). Dễ thấy, nhân k là
hoàn toàn đơn điệu, tức là (−1)n k (n) (t) ≥ 0 với t ∈ (0, ∞). Do vậy, k thỏa mãn điều kiện
tồn tại nhân l sao cho k ∗ l = 1 trên (0, ∞) và trong trường hợp này, (1 ∗ l)(t) ∼ g1+α (t)
khi t → ∞. Do vậy
s(t, µ) ≤

Gọi λ

1
→ 0 khi t → ∞, với mọi µ > 0.
1 + µ(1 ∗ l)(t)

là giá trị riêng đầu tiên của −∆, nghĩa là λ =

inf

1

{ ∇u

2

: u = 1}. Khi

u∈H0 (Ω)

đó, giá trị riêng đầu tiên λ1 của toán tử A =

(−∆)γ

được cho bởi λ1 = λγ .

Về phần phi tuyến của phương trình (2.5), ta bổ sung các giả thiết sau đây:
(H1) F ∈ C 1 (R) thỏa mãn |F (r)| ≤ a + b|r|ν , trong đó a, b và ν là các số không âm.
(H2) G : Ω × R → R là hàm Carathéodory và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ
hai, tức là
|G(x, y1 ) − G(x, y2 )| ≤ h(x)|y1 − y2 |, ∀x ∈ Ω, y1 , y2 ∈ R,
ở đây h ∈ L∞ (Ω) là một hàm không âm. Hơn nữa, ta giả sử G(x, 0) = 0 với hầu khắp
x ∈ Ω.
Định lí 2.9. Cho các giả thiết (H1) − (H2) và giả sử thêm rằng
1) a h

∞

< θγ λγ nếu ν > 0,

2) (a + b) h

∞

< θγ λγ nếu ν = 0,

ở đó h ∞ = ess supx∈Ω |h(x)|. Khi đó bài toán (2.5)-(2.7) có duy nhất một nghiệm nhẹ.
Hơn nữa, nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận.

13


Chương 3
TÍNH TIÊU HAO VÀ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH
KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CÓ TRỄ HỮU HẠN

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính giải được, tính tiêu hao và tính ổn
định của nghiệm đối với một lớp phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính có
trễ hữu hạn. Sự tồn tại của tập hấp thụ, tính ổn định và ổn định yếu sẽ được chỉ ra
dưới các giả thiết phù hợp của hàm phi tuyến. Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên một
bất đẳng thức kiểu Halanay mới và nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 3 trong Danh mục công trình khoa học
liên quan đến luận án.

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Ta xét bài toán
∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω,

(3.1)

với điều kiện ban đầu
u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω,

(3.2)

trong đó ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , và điều kiện biên
u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω.

(3.3)

Trong phương trình (3.1), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f : R+ × R2 → R là hàm cho trước. Ở
đây uρ (t, x) = u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) sao cho −h ≤ t − ρ(t) < t, và ‘∗’ là ký hiệu tích
t
chập Laplace theo t, tức là, (k ∗ v)(t, x) = 0 k(t − s)v(s, x)ds với v ∈ C(R+ ; L2 (Ω)).
Sự tồn tại nghiệm sẽ được chứng minh trong trường hợp nhân k thỏa mãn điều kiện
(K*) cùng với các giải thiết phù hợp của f . Tính tiêu hao và ổn định của nghiệm được
chứng minh thông qua một bất đẳng thức kiểu Halanay mới.
Ký hiệu S(ϕ) là tập nghiệm của (3.1) ứng với dữ kiện ban đầu ϕ. Gọi ut ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω))
là trạng thái trễ xác định bởi ut (ξ) = u(t − ρ(t)), ξ ∈ [−h, 0]. Sau đây ta sử dụng ký hiệu
· ∞ để chỉ chuẩn sup trong C(J; L2 (Ω)), với J ⊂ R là một đoạn. Khái niệm ổn định
tiệm cận yếu của nghiệm được trình bày trong định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 3.1. Nghiệm u ∈ S(ϕ) được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó thỏa mãn
các điều kiện:
1) ổn định: với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) thỏa mãn
ψ − ϕ ∞ < δ , thì vt − ut ∞ < với mọi v ∈ S(ψ) và t > 0;
2) hút yếu: tồn tại > 0 sao cho với mọi ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) thỏa mãn ψ − ϕ
tồn tại v ∈ S(ψ) thỏa mãn lim vt − ut ∞ = 0.
t→∞

14

∞

< ,


Để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu cho nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3), ta sử
dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén.

3.2. TÍNH GIẢI ĐƯỢC
Định nghĩa 3.2. Hàm u ∈ C([−h, T ]; L2 (Ω)) được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (3.1)(3.3) trên đoạn [−h, T ] nếu u(t) = ϕ(t) với t ∈ [−h, 0] và
t

R(t − τ )f (τ, u(τ ), u(τ − ρ(τ )))dτ với t ∈ [0, T ].

u(t) = S(t)ϕ(0) +
0

Trong phần này chúng tôi sẽ xem xét các điều kiện đủ đảm bảo tính giải được toàn
cục cho hệ (3.1)-(3.3)
Xét u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) và ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ta ký hiệu u[ϕ] là hàm xác định bởi
u[ϕ](t) =

u(t)
ϕ(t)

nếu t > 0,
nếu − h ≤ t ≤ 0.

Đặt

Cϕ = {u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) : u(0) = ϕ(0)},
t

R(t − τ )f (τ, u(τ ), u[ϕ](τ − ρ(τ )))dτ,

Φ(u)(t) = S(t)ϕ(0) +
0

với u ∈ Cϕ , t ≥ 0. Khi đó, u là điểm bất động của Φ nếu và chỉ nếu u[ϕ] là nghiệm nhẹ
của bài toán (3.1)-(3.3). Ta sẽ gọi Φ là toán tử nghiệm.
Định lí 3.1. Giả sử (K*) được thỏa mãn, f là hàm liên tục có tính chất tăng trưởng
trên tuyến tính
f (t, v, w) ≤ β v + κ w + Ψ( v + w ),

(3.4)

với mọi t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), ở đây β ≥ 0, κ > 0, Ψ ∈ C(R+ ; R) sao cho Ψ(r) = o(r) khi
r → 0. Nếu β + κ < λγ1 thì tồn tại một số dương δ sao cho khi ϕ ∞ < δ , bài toán
(3.1)-(3.3) có ít nhất một nghiệm nhẹ. Hơn nữa, nếu f thỏa mãn tính chất Lipschitz
cục bộ, tức là, với mỗi r > 0, tồn tại L(r) > 0 sao cho
f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 ) ≤ L(r)( v1 − v2 + w1 − w2 ),

(3.5)

với mọi t ≥ 0, vi ≤ r, wi ≤ r, i ∈ {1, 2}, thì nghiệm của bài toán là duy nhất.
Trong định lí sau, ta thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm toàn cục nhưng không
cần giả thiết dữ kiện ban đầu nhỏ.
Định lí 3.2. Giả sử giả thiết (K*) được thỏa mãn. Cho f là hàm liên tục có mức tăng
trưởng dưới tuyến tính, tức là
f (t, v, w) ≤ α(t) + β v + κ w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω),

(3.6)

ở đây α ∈ L1loc (R+ ) là một hàm không âm, β và κ là các số không âm. Khi đó, bài toán
(3.1)-(3.3) có ít nhất một nghiệm nhẹ toàn cục.
15


3.3. TÍNH TIÊU HAO, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH YẾU CỦA NGHIỆM
3.3.1.

Bất đẳng thức kiểu Halanay

3.3.2.

Tính tiêu hao

Định lí sau đây phát biểu kết quả về tính tiêu hao của hệ (3.1)-(3.3).
Định lí 3.3. Giả sử f liên tục và thỏa mãn điều kiện
f (t, v, w) ≤ α(t) + β v + κ w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω),

(3.7)

ở đó β và κ là các số không âm sao cho β + κ < λγ1 , α ∈ L1loc (R+ ) là một hàm không âm,
không tăng sao cho r(·, λγ1 − β) ∗ α ∈ BC(R+ ). Nếu l ∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞, thì
t→∞

hệ (3.1)-(3.3) tiêu hao và có tập hấp thụ là hình cầu Bσ với bán kính
λγ1 − β
sup(r(·, λγ1 − β) ∗ α)(t).

σ> γ
λ1 − β − κ R+

3.3.3. Tính ổn định tiệm cận của nghiệm
Định lí 3.4. Giả sử hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 ) ≤ β v1 − v2 + κ w1 − w2 ,

với mọi t ≥ 0, vi , wi ∈ L2 (Ω), i ∈ {1, 2}, ở đó β ≥ 0, κ > 0 sao cho β + κ < λγ1 . Nếu
l ∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞, thì mọi nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3) ổn định tiệm
t→∞

cận.
Định lí sau cho ta tính ổn định tiệm cận nghiệm của (3.1)-(3.3) trong trường hợp f
thỏa mãn các giả thiết của Định lí 3.1.
Định lí 3.5. Giả sử các giả thiết của Định lí 3.1 được thỏa mãn. Nếu l ∈ L1 (R+ ) và
lim (t − ρ(t)) = ∞, thì nghiệm tầm thường của (3.1) ổn định tiệm cận.
t→∞

3.3.4.

Tính ổn định yếu của nghiệm

Trong trường hợp f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz, ta xét tính ổn định tiệm
cận yếu của nghiệm tầm thường của phương trình (3.1). Kĩ thuật ở đây là sử dụng lý
thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén.
Định lí 3.6. Cho f là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện
f (t, v, w) ≤ β(t) v + κ(t) w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω),

(3.8)

với β, κ ∈ L1loc (R+ ) là các hàm không âm. Giả sử l ∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞. Khi
t→∞

đó nghiệm tầm thường của (3.1) là ổn định tiệm cận yếu nếu tồn tại σ ∈ (0, 1) sao cho
σt

r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ = 0,

lim sup

T →∞ t≥T

0
t

r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ < 1.

= sup
t≥0

(3.9)

0

16

(3.10)


3.4. VÍ DỤ

m

µi g1−αi (t) với µi > 0 và 0 < α1 < α2 <

Ta xét một trường hợp cụ thể. Cho k(t) =
i=1

... < αm < 1 (phương trình phân thứ đa thành phần). Khi đó k là hàm hoàn toàn đơn
điệu, và do đó tồn tại nhân liên hợp l. Hơn nữa, biến đổi Laplace của l xác định như
ˆ −1 = m1
sau ˆl(λ) = λ−1 k(λ)
. Từ đó
λαi

µi
i=1

1

(1 ∗ l)(λ) =

∼

m

λαi +1

µi

1

khi λ → 0.
µ1 λα1 +1

i=1

Dựa vào định lí Karamata-Feller Tauberian, ta có (1 ∗ l)(t) ∼
từ đó suy ra l ∈ L1 (R+ ).

tα1
µ1 Γ(α1 +1)

→ ∞ khi t → ∞,

Với hàm phi tuyến, ta xét trường hợp cụ thể
f (t, u, uρ )(x) = F

|u(t, x)|2 dx, u(qt − h, x) ,

t,
Ω

ở đây F : R+ × R+ × R → R là một hàm liên tục, q ∈ (0, 1) cho trước. Khi đó ρ(t) =
(1 − q)t + h và hàm phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào trạng thái lịch sử của hệ mà còn
phụ thuộc vào năng lượng của hệ tại thời điểm t.
Dạng trừu tượng của f như sau
f (t, v, w)(x) = F (t, v 2 , w(x)), với v, w ∈ L2 (Ω).

Giả sử F thỏa mãn điều kiện Lipschitz
|F (t, y1 , z1 ) − F (t, y2 , z2 )| ≤ p|y1 − y2 | + q|z1 − z2 |,

(3.11)

với p ≥ 0, q > 0. Khi đó
f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 ) ≤ p

|Ω|( v1 + v2 ) v1 − v2 + q w1 − w2 ,

ở đây |Ω| là thể tích của Ω. Vậy f thỏa mãn điều kiện Lipschitz cục bộ (3.5) với
L(r) = max{q, 2rp |Ω|}. Hơn nữa, ta có
f (t, v, w) ≤ f (t, 0, 0) + p

|Ω| v

2

+q w .

Sử dụng Định lí 3.3, ta thấy nếu p = 0 và F (·, 0, 0) ∈ BC(R+ ), thì hệ của ta là tiêu hao
khi q < λγ1 . Mặt khác nếu F (t, 0, 0) = 0 và q < λγ1 thì nghiệm tầm thường ổn định tiệm
cận theo Định lí 3.5. Bây giờ ta thay điều kiện (3.11) bằng điều kiện F thỏa mãn
√
|F (t, y, z)| ≤ p(t) y + r(t)|z|,

với p, r ∈ L1loc (R+ ). Khi đó
f (t, v, w) ≤ p(t)

|Ω| v + r(t) w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω).

Áp dụng Định lí 3.6, ta có kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường
khi các điều kiện (3.9)-(3.10) được thỏa mãn với β(t) = p(t) |Ω| và κ(t) = r(t).

17


Chương 4
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ
THƯỜNG NỬA TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi sẽ thiết lập một số điều kiện đủ cho tính giải được
của bài toán giá trị cuối đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng mô tả hiện tượng
khuếch tán dị thường. Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên lý thuyết về các hàm hoàn
toàn dương, lý thuyết giải thức và lý thuyết điểm bất động trên các không gian hàm phù
hợp. Các kết quả thu được mở rộng những kết quả trước đó cho phương trình khuếch
tán phân thứ.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 2 trong Danh mục công trình khoa học
liên quan đến luận án.

4.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Chúng tôi xét hệ sau:
k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u) trong Ω, t ∈ (0, T ),

(4.1)

u(T, ·) = g(u)(·) trong Ω,

(4.2)

u = 0 trên ∂Ω, t ≥ 0.

(4.3)

với điều kiện cuối

và điều kiện biên Dirichlet

Trong phương trình (4.1), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f là một hàm cho trước. Kí hiệu ‘∗’
t
là tích chập Laplace theo biến thời gian t, tức là, (k ∗ v)(t, x) = 0 k(t − s)v(s, x)ds, và
(−∆)γ là toán tử Laplace phân thứ.
Chúng tôi sẽ thiết lập các điều kiện giải được của bài toán trong hai trường hợp.
Trường hợp thứ nhất: f và g nhận giá trị trong các không gian hàm chính quy. Khi đó
nghiệm được xác định trên cả đoạn [0, T ]. Trường hợp thứ hai, khi f và g nhận giá trị
trong các không gian hàm ít chính quy hơn, nghiệm thu được chỉ xác định trên nửa
đoạn (0, T ] (nghiệm kỳ dị tại t = 0). Điều này xảy ra do hiệu ứng trơn của bài toán
thuận, tức là u(t, ·) với t > 0 sẽ chính quy hơn u(0, ·). Để có được kết quả trong trường
hợp thứ hai, chúng tôi sử dụng các nguyên lý điểm bất động trên không gian hàm được
thiết kế phù hợp với giả thiết của bài toán.

4.2.

BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI

4.2.1. Công thức nghiệm của bài toán tuyến tính
Trong phần này ta dùng kí hiệu u(t) thay cho u(t, ·) và xét u như là một hàm xác
định trên [0, T ] và nhận giá trị trong không gian Vβ với β ∈ R nào đó. Kí hiệu A = (−∆)γ
18


với miền xác định D(A) = Vγ . Cho f ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) và g ∈ L2 (Ω), xét bài toán tuyến
tính
(4.4)

(4.5)

k ∗ u (t) + Au(t) = f (t), t ∈ (0, T ],
u(T ) = g.

Gọi {en } là cơ sở trực chuẩn trong L2 (Ω) gồm các hàm riêng của toán tử −∆ với điều
kiện biên Dirichlet thuần nhất và {λn } là dãy giá trị riêng tương ứng. Giả sử
∞

u(t) =

un (t)en .
n=1

Khi đó (4.4) được đưa về phương trình k∗un (t)+λγn un (t) = fn (t), trong đó fn (t) = (f (t), en ).
Phương trình cuối cùng có thể viết lại thành dtd [k ∗ (un − un (0))](t) + λγn un (t) = fn (t), nên
t
ta có un (t) = s(t, λγn )un (0) + 0 r(t − τ, λγn )fn (τ )dτ. Từ đó ta có biểu diễn
∞

∞

s(t, λγn )un (0)en

u(t) =

t

r(t − τ, λγn )fn (τ )dτ en .

+

n=1

n=1

0

Từ điều kiện cuối u(T ) = g ta có gn = (g, en ) = s(T, λγn )un (0) +
ra un (0) =

1
s(T,λγn )

gn −

T
0

T
0

r(T − τ, λγn )fn (τ )dτ, suy

r(T − τ, λγn )fn (τ )dτ . Do vậy ta có biểu diễn nghiệm của bài

toán (4.4)-(4.5):
∞

s(t, λγn )

s(T, λγn )

u(t) =
n=1

∞

T

r(T − τ, λγn )fn (τ )dτ

gn −

en

0

t

r(t − τ, λγn )fn (τ )dτ en

+
0

n=1

T

= S(T )−1 S(t)g − S(T )−1 S(t)

R(T − τ )f (τ )dτ
0

t

(4.6)

R(t − τ )f (τ )dτ.

+
0

Đặt P (t) = S(T )−1 S(t), khi đó
∞

P (t)v =
n=1

4.2.2.

s(t, λγn )
2
γ (v, en )en , v ∈ L (Ω).
s(T, λn )

(4.7)

Tính chất toán tử

Mệnh đề 4.1. Ta có các ước lượng sau:

1) Cho v ∈ L2 (Ω) và t ∈ (0, T ],
k(T )−1
P (t)v ≤
v .
(1 ∗ l)(t)

(4.8)

2) Nếu v ∈ Vγ và t ∈ [0, T ], ta có
−1
P (t)v ≤ (λ−γ
1 + k(T ) ) v

19

Vγ .

(4.9)


4.2.3.

Định nghĩa nghiệm nhẹ

Dựa trên (4.6)-(4.7), ta có định nghĩa nghiệm nhẹ của bài toán (4.1)-(4.3).
Định nghĩa 4.1. Cho f : [0, T ] × L2 (Ω) → L2 (Ω) và g : C((0, T ]; L2 (Ω)) → L2 (Ω). Hàm
u ∈ C((0, T ]; L2 (Ω)) gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (4.1)-(4.3) nếu
T

u(t) = P (t)g(u) − P (t)

t

R(t − τ )f (τ, u(τ ))dτ +
0

R(t − τ )f (τ, u(τ ))dτ.
0

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra các điều kiện cho tính giải được của bài
toán (4.1)-(4.3).

4.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY
Trước tiên chúng ta xét trường hợp cơ bản, khi các hàm f và g là Lipschitz và nhận
giá trị trong Vγ .
Định lí 4.1. Giả sử

(F1) Hàm f : [0, T ] × L2 (Ω) → Vγ là liên tục và tồn tại Lf > 0 sao cho
f (t, v1 ) − f (t, v2 )

Vγ

≤ Lf v1 − v2 , ∀t ∈ [0, T ], v1 , v2 ∈ L2 (Ω).

(G1) Hàm g : C([0, T ]; L2 (Ω)) → Vγ là Lipschitz với hệ số Lg , tức là
g(u1 ) − g(u2 )

trong đó u

∞

= sup

Vγ

≤ Lg u1 − u2

∞,

∀u1 , u2 ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)),

u(t) với u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)).

t∈[0,T ]

Khi đó bài toán (4.1)-(4.3)có duy nhất một nghiệm nhẹ u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)), với điều kiện
−2γ
−γ
−1
:= (λ−γ
1 + k(T ) )(Lg + λ1 Lf ) + λ1 Lf < 1.

(4.10)

Trong định lí tiếp theo, chúng tôi đưa ra các giả thiết để hàm f có thể nhận giá trị
trong không gian L2 (Ω).
Định lí 4.2. Cho g thỏa mãn (G1). Giả sử hàm nhân l là không tăng và f : [0, T ] ×
L2 (Ω) → L2 (Ω) là liên tục, f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ [0, T ] và thỏa mãn
f (t, v1 ) − f (t, v2 ) ≤ Lf (t) v1 − v2 , ∀t ∈ [0, T ], v1 , v2 ∈ L2 (Ω),

(4.11)

trong đó Lf ∈ C([0, T ]) là một hàm không âm sao cho
T
0

l(T − τ )Lf (τ )
(1 ∗ l)(T − τ )

2

(4.12)

dτ < ∞.

Khi đó phương trình (4.1)-(4.3) có duy nhất một nghiệm nhẹ u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)), với
điều kiện (f, g) < 1, trong đó
t

(f, g) =

(λ−γ
1

+ k(T )

−1

r(t − τ, λγ1 )Lf (τ )dτ

)Lg + sup
t∈[0,T ]

0
T

1

+ T 2 k(T )−1
0

20

l(T − τ )Lf (τ )
(1 ∗ l)(T − τ )

1
2

2

dτ

.


Bây giờ chúng tôi xét trường hợp các hàm f và g là không có tính liên tục Lipschitz.
Để giải quyết vấn đề trong trường hợp này, chúng tôi cần đến tính chính quy của các
toán tử S(·) và R(·).
Đặt

T

Φ1 (u)(t) = P (t)g(u) − P (t)

R(T − τ )f (τ, u(τ ))dτ,

(4.13)

0
t

(4.14)

R(t − τ )f (τ, u(τ ))dτ.

Φ2 (u)(t) =
0

Bổ đề 4.1. Cho hàm l ∈ L1loc (R+ ) là hàm tăng trưởng dưới mũ, có tính chất θ-quạt với
0 < θ < π và 3-chính quy. Giả sử f và g thoả mãn:

(F2) Hàm f : [0, T ] × L2 (Ω) → V2γ là liên tục và tồn tại một hàm không giảm Ψf ∈ C(R+ )
sao cho f (t, v

V2γ

≤ Ψf ( v ), ∀t ∈ [0, T ], v ∈ L2 (Ω);

(G2) Hàm g : C([0, T ]; L2 (Ω)) → V2γ là liên tục và tồn tại một hàm không giảm Ψg ∈ C(R+ )
sao cho g(u)

V2γ

≤ Ψg ( u

∞ ),

∀u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)).

Khi đó, các toán tử Φ1 và Φ2 định nghĩa lần lượt bởi (4.13) và (4.14) là compact trên
C([0, T ]; L2 (Ω)).
Định lí 4.3. Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 4.1 được thỏa mãn. Khi đó bài toán
(4.1)-(4.3) có ít nhất một nghiệm nhẹ trong C([0, T ]; L2 (Ω)), khi
−1 −γ
(λ−γ
+
k(T
)
)λ1 lim inf
1
p→∞

4.4.

Ψf (p)
Ψg (p)
−1 −2γ
+ (2λ−γ
+
k(T

)
)λ
lim
inf
< 1.
1
1
p→∞
p
p

(4.15)

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐIỀU KIỆN KHÔNG CHÍNH QUY

Xét không gian hàm
Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) = {u ∈ C((0, T ]; L2 (Ω)) : sup (1 ∗ l)(t) u(t) < ∞}.
t∈(0,T ]

Khi đó Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) là không gian Banach với chuẩn u Cl = supt∈(0,T ] (1 ∗ l)(t) u(t) .
Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu bài toán (4.1)-(4.3) trong không gian Cl ((0, T ]; L2 (Ω)).
Định lí 4.4. Giả sử

(F3) Hàm f : (0, T ] × L2 (Ω) → L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện
f (t, u1 (t)) − f (t, u2 (t)) ≤ Lf (t) u1 − u2

Cl ,

với mọi t ∈ (0, T ], u1 , u2 ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), trong đó Lf ∈ C((0, T ]) là một hàm không
âm.

(G3) Hàm g : Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) → L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
g(u1 ) − g(u2 ) ≤ Lg u1 − u2

trong đó Lg là một số không âm.
21

Cl ,

∀u1 , u2 ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)),


Khi đó, bài toán (4.1)-(4.3) có duy nhất một nghiệm nhẹ trong Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), với điều
kiện
k(T )−1 [Lg + Λ(T )] + sup (1 ∗ l)(t)Λ(t) < 1,
(4.16)
t∈(0,T ]

trong đó
t

r(t − τ, λγ1 )Lf (τ )dτ.

Λ(t) =

(4.17)

0

Phần tiếp theo, ta sẽ giải quyết bài toán trong trường hợp bỏ đi điều kiện Lipschitz

(F3)-(G3).
Bổ đề 4.2. Giả sử hàm l ∈ L1loc (R+ ) là hàm tăng trưởng dưới mũ, có tính chất θ-quạt
với 0 < θ < π và 3-chính quy. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
1) C([0, T ]; L2 (Ω)) ⊂ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)).
2) Nếu B ⊂ Vγ là tập bị chặn, thì tập B = {P (·)v : v ∈ B} là compact tương đối trong
Cl ((0, T ]; L2 (Ω)).
Định lí 4.5. Xét hàm nhân l ∈ L1loc (R+ ) là hàm tăng trưởng dưới mũ, có tính chất
θ-quạt với 0 < θ < π và 3-chính quy. Giả sử rằng

(F4) Hàm f : (0, T ] × L2 (Ω) → Vγ là liên tục và thỏa mãn
f (t, u(t))

Vγ

≤ Lf (t)Ψf ( u

Cl ),

∀t ∈ (0, T ], u ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)),

trong đó Lf ∈ C((0, T ]) là không âm và Ψf ∈ C(R+ ) không giảm.

(G4) Hàm g : Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) → Vγ thỏa mãn
g(u)

Vγ

≤ Ψg ( u

Cl ),

∀u ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)),

trong đó Ψg ∈ C(R+ ) là hàm không giảm.
Khi đó, bài toán (4.1)-(4.3) có ít nhất một nghiệm nhẹ trong Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), nếu điều
kiện sau được thỏa mãn
lim inf
p→∞

Ψg (p)
+
p

Λ(T ) + k(T ) sup (1 ∗ l)(t)Λ(t)

lim inf

t∈(0,T ]

p→∞

Ψf (p)
p

< k(T )λγ1 ,

(4.18)

trong đó Λ định nghĩa bởi (4.17).

4.5.

VÍ DỤ
1 β−1
t
dβ

Cho k(t) =
0

Γ(β)

. Xét bài toán

k ∗ ∂t u − ∂x2 u = H(t) ln(1 + u2 ), t ∈ (0, T ], x ∈ (0, 1),
u(t, 0) = u(t, 1) = 0,
T

u(T, x) =

1

dt
0

(4.19)
(4.20)

K(t, x, y)u(t, y)dy,
0

22

(4.21)


trong đó H và K là các hàm cho trước. Trong trường hợp này, Vγ = V = H 2 (0, 1) ∩
∞

H01 (0, 1).

Chú ý rằng hàm nhân liên kết l(t) =
0

f (t, v)(x) =

H(t) ln(1 + v(x)2 )

với v ∈

L2 (0, 1),

e−pt
dp là không tăng trên (0, ∞). Xét
1+p

khi đó

1

f (t, v1 ) − f (t, v2 )

2

2

|v1 (x) − v2 (x)|2 dx = |H(t)|2 v1 − v2 2 ,

≤ |H(t)|

0

do hàm s → ln(1 + s2 ) có hệ số Lipschitz là 1.
T

Đặt g(u)(x) =

1

K(t, x, y)u(t, y)dy . Ta giả sử

dt
0

0

1) K(t, 0, y) = K(t, 1, y) = 0, với mọi t ∈ [0, T ], y ∈ (0, 1).
2) Hàm x → K(t, x, y) có đạo hàm cấp hai.
Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có
1

g(u1 ) − g(u2 )

2
V

≤T

2

u1 − u2 2∞

∂x K(t, x, ·)

( sup
0

t∈[0,T ]

2

+ sup

∂x2 K(t, x, ·) 2 )dx.

t∈[0,T ]

Do vậy, giả thiết của Định lí 4.2 được thỏa mãn nếu hàm H(t), t ∈ [0, T ] là liên tục
H¨older với bậc δ ∈ ( 21 , 1], H(T ) = 0, H và K là đủ nhỏ theo nghĩa
Lf (t) = |H(t)|, t ∈ [0, T ],

1
2

1

Lg = T

( sup
0

∂x K(t, x, ·)

2

t∈[0,T ]

+ sup

∂x2 K(t, x, ·) 2 )dx

t∈[0,T ]

thỏa mãn điều kiện (f, g) < 1 đã nêu trong Định lí 4.2.

23

,