Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy giải bài tập chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian chương trình hình học nâng cao lớp 11

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LẠI ĐỨC THẮNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI
THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN, QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN CHƯƠNG
TRÌNH HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và phương pháp dạy học
(bộ môn Toán)

Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Hồng Minh

HÀ NỘI – 2012
1


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 3
MỞ ĐẦU 6
CHƢƠNG 1 11
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 11

1.1. Tư duy 11
1.1.1. Khái niệm 11
1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy 11
1.2. Tư duy sáng tạo 13
1.2.1. Khái niệm sáng tạo 13
1.2.2. Khái niệm tư duy sáng tạo 13
1.2.3. Quá trình sáng tạo toán học 15
1.2.4. Một số đặc trưng cơ bản của TDST 16
1.2.5. Vận dụng tư duy biện chứng để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
19
1.2.6. Sử dụng phần mềm Carbri 3D trong dạy học toán để rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh 20

1.3. Dạy học giải bài tập toán học ở trƣờng phổ thông 24
1.3.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học toán 24
1.3.2. Phương pháp giải bài tập toán học 25
1.4. Thực trạng giảng dạy bài tập chƣơng "Vectơ trong không gian,
quan hệ vuông góc trong không gian" chƣơng trình hình học nâng cao
lớp 11 27
1.4.1. Nội dung và mục tiêu dạy học chương quan hệ vuông góc trong
không gian 27
1.4.2. Thực trạng giảng dạy bài tập chương "Vectơ trong không gian,
quan hệ vuông góc trong không gian" chương trình hình học nâng cao
lớp 11 30
1.5. Kết luận chƣơng 1 31

CHƢƠNG 2 32
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG 32
«VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG
KHÔNG GIAN» CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 11
32

4


2.1. Một số dạng bài tập cơ bản chƣơng " vectơ trong không gian,
quan hệ vuông góc trong không gian" hình học 11 32

2.1.1. Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc giữa các đối tượng cơ
bản của hình học không gian 32
2.1.2. Dạng 2: Tính toán 33
2.1.3. Dạng 3: Thiết diện 34
2.2. Một số biện pháp rèn luyện TDST cho học sinh 35
2.2.1. Biện pháp 1: Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh phân tích giả
thiết và yêu cầu của bài toán để từ đó tìm ra nhiều cách giải khác nhau,
đồng thời biết nhận xét, đánh giá để chỉ ra được lời giải hay nhất, sáng tạo
nhất 35
2.2.2. Biện pháp 2: Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh cách nhìn nhận
bài toán, hình vẽ dưới những khía cạnh khác nhau để từ đó đề xuất bài
toán mới từ bài toán đã cho 45

2.2.3. Biện pháp 3: Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh phát hiện
những sai lầm trong lời giải, nguyên nhân và cách khắc phục những sai
lầm đó 54
2.2.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm Carbri 3D
tạo các mô hình trực quan 61
2.2.5. Biện pháp 5: Hướng dẫn và tổ chức cho học sinh tự học, tự nghiên
cứu 66
2.3. Kết luận chƣơng 2 69
CHƢƠNG 3 70
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 70
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm 70
3.1.1. Mục đích thực nghiệm 70

3.1.2. Nội dung thực nghiệm 70
3.2. Tổ chức thực nghiệm 70
3.2.1. Kế hoạch thực nghiệm 70
3.2.2. Giáo án thực nghiệm 72
3.3. Kết quả thực nghiệm 93
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 94
3.4.1. Đánh giá định tính 94
3.4.2. Đánh giá định lượng 95
KẾT LUẬN 96
TÀI LIỆU THAM KHẢO 97
PHỤ LỤC 1 99
PHỤ LỤC 2 99

5


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CNTT

: Công nghệ thông tin

SGK

: Sách giáo khoa

TDST

: Tư duy sáng tạo

THPT

: Trung học phổ thông

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục và
Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất
lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước. Để đáp ứng nhu cầu trên, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung
chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta cần phải đổi mới
phương pháp dạy học. Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng đã khẳng định
“Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo
dục, đào tạo. Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo
hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng

giáo dục lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong
công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”.
Để tạo ra những con người lao động mới có năng lực sáng tạo cần có
những phương pháp dạy học phù để khơi dậy và phát huy được năng lực của
người học. Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục
phổ thông là không ngừng nghiên cứu, cải tiến phương pháp dạy học cho phù
hợp với người học, với điều kiện giảng dạy và học tập. Sư phạm học hiện đại
đề cao nguyên lý học là công việc của từng cá thể, thực chất quá trình tiếp
nhận tri thức phải là quá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể. Vì thế
nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng
cho học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ
các tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy

cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực sáng tạo của bản
thân mình để giải quyết vấn đề mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập
và trong cuộc sống.
Thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn
bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo (TDST). Những

4


học sinh này thường nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy
được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh
hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng

một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện
mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi. Đặc biệt những học sinh khá, giỏi
chưa phát huy được năng lực TDST của bản thân để tìm ra những lời giải có
tính độc đáo, để tổng hợp, phân tích các vấn đề một cách hệ thống, lôgic. Từ
đó dẫn đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt
là các bài toán đòi hỏi phải có sáng tạo trong lời giải như các bài tập hình học
không gian. Hơn nữa chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong
việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc
giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai
thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên
cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực
sáng tạo của mình.

Chương "vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian"
chương trình hình học nâng cao lớp 11 là một nội dung quan trọng của môn
hình học. Nếu hệ thống bài tập được khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn
luyện cho học sinh khả năng phát triển TDST biểu hiện ở các mặt như: khả
năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài
toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán,
xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra bài
toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc.
Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tác giả chọn
đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy giải
bài tập chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian
chương trình hình học nâng cao lớp 11” làm luận văn tốt nghiệp của mình.

5


2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm rèn luyện TDST cho học sinh
trung học phổ thông qua dạy học bài tập chương vectơ trong không gian, quan
hệ vuông góc trong không gian.
3. Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học bài tập chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông
góc trong không gian cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông
(THPT).

4. Mẫu khảo sát
Lớp 11A1, 11A2 trường THPT Giao Thuỷ huyện Giao Thuỷ tỉnh Nam Định.
5. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để rèn luyện TDST cho học sinh khá, giỏi thông qua giảng
dạy chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian
hình học không gian lớp 11?
6. Giả thuyết khoa học
Dạy học bài tập chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong
không gian hình học lớp 11 theo những phương pháp được đưa ra trong luận
văn sẽ rèn luyện được năng lực TDST cho học sinh khá, giỏi.
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu, làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, TDST.

- Nghiên cứu những biểu hiện của TDST của học sinh trung học phổ
thông và sự cần thiết phải rèn luyện TDST cho học sinh phổ thông qua dạy
học bài tập.
- Tìm hiểu thực trạng của dạy và học bài tập chương vectơ trong không
gian, quan hệ vuông góc trong không gian hình học lớp 11.
- Đề xuất các biện pháp cần thiết để rèn luyện TDST cho học sinh qua dạy
bài tập chương vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian.
- Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

6

8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý
học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham
khảo có liên quan tới logic toán học, TDST, các phương pháp tư duy toán
học, các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện TDST toán học cho học
sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều tính TDST.
8.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “Rèn
luyện TDST cho học sinh phổ thông qua dạy giải bài tập chương véc tơ trong
không gian, quan hệ vuông góc trong không gian hình học nâng cao lớp 11”.
8.3. Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm

Thể hiện các biện pháp đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số
lớp đã chọn. Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung và sửa đổi để tăng
thêm tính khả thi của các biện pháp.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn
được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện TDST cho học sinh khá, giỏi thông
qua dạy giải bài tập chương " Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc
trong không gian" chương trình hình học nâng cao lớp 11
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

7


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Khái niệm
Theo từ điển tiếng Việt phổ thông [19]: “Tư duy là giai đoạn cao của
quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự
vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”.
Theo từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam [6]: “Tư duy là sản phẩm cao
nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình

phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý
luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và
bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ
hợp với quy luật của thực tại”.
Theo quan niệm của Tâm lý học [4]: “Tư duy là một quá trình tâm lý
thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác
và tri giác. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối
liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.
1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy
a) Tính có vấn đề
Khi gặp những tình huống mà với hiểu biết đã có, phương pháp hành
động đã biết, chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình

huống có vấn đề”, và có xu hướng cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ
để đi tới cái mới, hay nói cách khác chúng ta phải tư duy.
b) Tính khái quát
Tư duy mang tính khái quát do có khả năng phản ánh những thuộc tính
chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng.
c) Tính độc lập tương đối của tư duy
Trong quá trình sống con người luôn giao tiếp với nhau, do đó tư duy của

8


từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự

tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính
vật chất. Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà
còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội
trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định. Mặc dù
được tạo thành từ kết quả hoạt động thực tiễn nhưng tư duy có tính độc lập
tương đối. Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tư duy còn chịu ảnh hưởng của
những tri thức mà nhân loại đã tích lũy được trước đó. Tư duy cũng chịu ảnh
hưởng, tác động của các lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó. Mặt
khác, tư duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phản ánh
đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con người. Đó
chính là tính độc lập tương đối của tư duy.
d) Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ

Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ.
Kết quả tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ. Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã
gắn liền với ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ. Vì vậy, ngôn
ngữ chính là cái vỏ hình thức của tư duy. Ở thời kỳ sơ khai, tư duy đuợc hình
thành thông qua hoạt động vật chất của con người và từng bước được ghi lại
bằng các ký hiệu từ đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể
đến trừu tượng. Hệ thống các ký hiệu đó thông qua quá trình xã hội hóa và trở
thành ngôn ngữ. Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt
của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ. Ngôn ngữ với tư
cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếp chủ yếu giữa con
người với con người, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất xã hội
cũng như sự xã hội hóa lao động.

e) Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức
Tư duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời là
sự phát triển cấp cao của nhận thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những

9


cảm giác, tri giác và biểu tượng... được phản ánh từ thực tiễn khách quan với
những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách
riêng lẻ. Giai đoạn này được gọi là tư duy cụ thể. Ở giai đoạn sau, với sự hỗ
trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu,
phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào

mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sự việc
để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành
những khái niệm, phạm trù, định luật... Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tư
duy trừu tượng.
1.2. Tƣ duy sáng tạo
1.2.1. Khái niệm sáng tạo
Theo Từ điển tiếng Việt thì sáng tạo là tạo ra giá trị mới về vật chất và
tinh thần. Tìm ra cách giải quyết mới, không bị gò bó hay phụ thuộc vào cái
đã có [19]. Hoặc theo đại từ điển tiếng Việt thì sáng tạo là làm ra cái mới
chưa ai làm, tìm tòi làm tốt hơn mà không bị gò bó [20].
1.2.2. Khái niệm tƣ duy sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về TDST. Theo

A.V.Petrovxki và M.G.Iarosepxki (Từ điển tâm lý học (Nga) MGU.M.1990).
TDST là một trong những dạng tư duy đặc trưng bởi sự tạo ra sản phẩm mới
mang tính chủ quan và bởi những cấu thành mới trong chính hoạt động nhận
thức theo sự tạo ra sản phẩm đó. Những cấu thành mới này đụng chạm đến
các động cơ, mục đích, đánh giá, ý nghĩa. TDST khác với quá trình áp dụng
tri thức và kỹ năng sẵn có (được gọi là tư duy tái tạo).
Theo Vũ Dũng (Từ điển Tâm lý học, trung tâm khoa học xã hội và Nhân
văn quốc gia. Viện tâm lý học. Nhà xuất bản khoa học xã hội, Hà Nội 2000).
TDST là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác
lập các thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó. Các thành
phần mới này có liên quan đến động cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng của

10


chủ thể sáng tạo. TDST được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng
sẵn có.
Theo Nguyễn Bá Kim [9]: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết của TDST, là những đặc điểm về những mặt khác
nhau của TDST. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái
mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có
nghĩa là coi nhẹ cái cũ.
Theo Tôn Thân [17]: TDST là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng
mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiện ở

chỗ "TDST là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có
hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả "TDST là tư duy độc lập và
nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa
trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của
TDST đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó.
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán
[16]: "Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu
họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ
chưa từng biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng
tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng
phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải
và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ

thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung
vừa trình bày.
Như vậy có nhiều quan điểm khác nhau về TDST, nhưng tất cả các quan
điểm đều có một điểm chung cốt lõi là “ TDST là một dạng (hình thức) tư duy
của cá nhân, TDST tạo ra cái mới, cái độc đáo chưa có trước đó.
Lene [10] đã chỉ ra các thuộc tính của TDST là:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.

11


- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm
hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành
một phương thức mới).
- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - Nxb giáo dục - 1977)
Crutexki [3] sử dụng ba vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba
dạng tư duy là tư duy tích cực, tư duy độc lập và tư duy sáng. Theo mối quan
hệ này tư duy độc lập là một phần trong tư duy tích cực và TDST là một phần
trong tư duy độc lập. Nói một cách khác TDST là cái lõi quan trọng trong hệ
thống tư duy mang tính nhận thức.

Tư duy tích cực
Tư duy độc lập

TDST

Hình 1.1
1.2.3. Quá trình sáng tạo toán học
Theo đúng các thang bậc nhận thức, con người chúng ta học và tiếp thu
toán học theo các bước nhớ, hiểu, vận dụng, phân tích, đánh giá và sáng tạo.
Quá trình sáng tạo toán học bao gồm 4 giai đoạn:
- Giai đoạn chuẩn bị: Thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau, huy

động thông tin, suy luận

12


- Giai đoạn ấp ủ: Khi công việc giải quyết vấn đề bị ngừng lại, còn lại các
hoạt động tiềm thức.
- Giai đoạn bừng sáng: Đó là bước nhảy vọt về chất trong tri thức, thường
xuất hiện đột ngột.
- Giai đoạn kiểm chứng: Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng
lôgic.
Ví dụ: Bốn giai đoạn sáng tạo khi giải bài toán: Từ 12 que diêm bằng nhau

hãy xếp thành 6 hình vuông có chiều dài bằng chiều dài của que diêm.
- Giai đoạn chuẩn bị: Học sinh loay hoay xếp các que diêm trên một mặt
phẳng.
- Giai đoạn ấp ủ: Suy nghĩ tìm cách giải quyêt.
- Giai đoạn bừng sáng: Xếp kênh các que diêm trong không gian.
- Giai đoạn kiểm chứng: Xếp thành một hình lập phương.
1.2.4. Một số đặc trưng cơ bản của TDST
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúc của
TDST, có năm đặc trưng cơ bản sau:
- Tính mềm dẻo
- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo

- Tính hoàn thiện
- Tính nhạy cảm vấn đề
1.2.4.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của TDST là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,
vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng
hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy
diễn, tương tự
Tính mềm dẻo của TDST có các đặc trưng sau:

13

- Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
- Dễ dàng thay đổi nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ
góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện
tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo
ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra
bản chất sự vật và điều phán đoán.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến
thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những
kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là

nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của
đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của TDST,
do đó để rèn luyện TDST cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập
mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
1.2.4.2. Tính nhuần nhuyễn
Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng
lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Là khả
năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng
xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra

chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy có các đặc trưng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một

14


vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề
xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.
- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có
một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không

phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
1.2.4.3. Tính độc đáo
Là khả năng tìm kiếm và giải quyết vấn đề bằng phương pháp lạ hoặc duy
nhất. Người ta có thể phát hiện tính độc đáo trong TDST của học sinh thông
qua lời giải của các em khi làm bài tập.
Tính độc đáo của tư duy có các đặc trưng sau:
- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài
liên tưởng như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
1.2.4.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
1.2.4.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó
có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản trên của TDST không tách rời nhau mà trái lại chúng có
quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo)
tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình
huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều
phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc

15


đáo). Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính
chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc
trưng nói trên cùng góp phần tạo nên TDST, đỉnh cao nhất trong các hoạt
động trí tuệ của con người.
Các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói
chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập Toán mà cụ
thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt
động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong

khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. Ở học sinh khá và
giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của TDST. Điều quan trọng là
người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng
và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em.
1.2.5. Vận dụng tư duy biện chứng để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và
nhiệm vụ của người giáo viên là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các
đối tượng và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu
thuẫn và trong sự phát triển.
Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và
định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, đồng thời giúp ta cũng cố lòng tin
khi việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng

rồi sẽ có ngày thành công và hướng tìm đến thành công là cố nhận thức mỗi
khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt.
TDST là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận thức
mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện mới, giải quyết
vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem xét
sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giá trị.
Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ
chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào những

16

hoàn cảnh khác nhau, ...như thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo
được. Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem
xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật
trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ
phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác. Đây là cơ sở để
học sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách
giải khác nhau.
Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho học
sinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó có
thể rèn luyện được TDST cho học sinh.
1.2.6. Sử dụng phần mềm Carbri 3D trong dạy học toán để rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh

1.2.6.1. Giới thiệu về phần mềm
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin
(CNTT), những ứng dụng của tin học đã thâm nhập vào mọi mặt trong đời
sống. Máy tính và các phần mềm dạy học cũng không ngừng phát triển và đã
trở thành công cụ hỗ trợ hiệu quả cho việc dạy và học. Có nhiều các phần
mềm ra đời phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán như: Cabri 2D,
Cabri 3D, Geometer’s Sketchpad, Maple, Derive… Công nghệ Cabri được
khởi đầu trong các phòng nghiên cứu tại Trung tâm Nghiên cứu Khoa học
Quốc gia (CNRS) và tại trường Đại học Joseph Fourier, thành phố Grenoble,
cộng hòa Pháp. Năm 1985, Jean - Marie Laborde, người cha tinh thần của
Cabri, bắt đầu dự án này với mục đích trợ giúp việc dạy và học môn hình học
phẳng. Từ đó việc dựng các hình học trên máy tính điện tử mở ra các triển

vọng mới so với các phép dựng hình truyền thống sử dụng giấy, bút, thước kẻ
và compa. Cùng với sự phát triển của CNTT, Cabri đã phát triển một phiên
bản mới giúp cho việc dạy và học môn hình học không gian, đó là Cabri 3D.

17


Hiện nay Cabri 3D là phần mềm hình học được cho là hiệu quả nhất cho dạy
học hình học không gian.
Phần mềm Cabri 3D có một số đặc điểm sau:
- Cabri cho phép tạo ra những hình ảnh trực quan nhờ khả năng dựng
hình từ các yếu tố cơ sở (điểm, đường thẳng, mặt phẳng….), các đối tượng

này đều có thể dễ dàng thay đổi vị trí sau khi vẽ.
- Cabri có các công cụ dựng các đối tượng mới dựa trên cơ sở đối
tượng đã có (trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của các hình…), các
đối tượng này có đặc điểm là khi thay đổi các yếu tố ban đầu thì chúng
cũng thay đổi nhưng vẫn bảo toàn các thuộc tính đã có, tức là bảo toàn cấu
trúc của các đối tượng.
- Cabri có thể mang lại hiệu quả cao trong dạy học nhờ các hiệu ứng đồ
họa: Sau khi dựng xong một hình, ta có thể thay đổi độ đậm nhạt của các
đường nét để tập trung sự chú ý của học sinh vào một số yếu tố trong hình
vẽ, có thể đổi màu các đối tượng khi dịch chuyển để nhấn mạnh đến đặc
điểm của đối tượng khi dịch chuyển đến vị trị mới; Có thể dịch chuyển
hình vẽ để quan sát hình vẽ ở nhiều góc độ khác nhau, từ đó phát hiện ra

các tính chất của hình vẽ…
- Các chức năng trong soạn thảo văn bản như chép, cắt, dán, xóa…của
Cabri cũng tương tự như trong môi trường Windows (tuy nhiên khi xóa một
đối tượng nào đó trong Cabri thì các đối tượng phụ thuộc vào đối tượng này
cũng mất theo). Phiên bản Cabri năm 2007 còn có chức năng Plug-in cho
phép nhúng các tệp của Cabri vào các quá trình ứng dụng khác như: Word,
PowerPoint, hay các trang web….điều này giúp cho việc sử dụng Cabri trong
dạy học trở lên linh hoạt hơn.
- Cabri có môi trường làm việc thân thiện vì có hệ thống câu lệnh dễ nhớ,
dễ thực hiện dưới dạng bảng chọn (menu), biểu tượng đồ họa. Đặc biệt Cabri
có hệ thống trợ giúp người dùng lựa chọn đối tượng cần thao tác khi đưa con

18


trỏ đến vị trí đối tượng đó. Điều này có nghĩa là Cabri sẽ thể hiện thông báo
khi người sử dụng dịch con trỏ đến các đối tượng. Không những thế, Cabri
còn có khả năng tương tác cao vì các chỉ thị, thao tác của người sử dụng đều
được tác động trực tiếp lên các đối tượng và thể hiện qua giao diện đồ họa
sinh động.
- Cabri có một hệ thống các công cụ để thiết kế các yếu tố “động”: Chức
năng hoạt náo (animation) cho phép một đối tượng có thể di chuyển theo vị
trí ràng buộc, chức năng dựng ảnh của một đối tượng qua các phép biến
hình, chức năng tạo vết (trace on/off) để lại hoặc không để lại vết của một

đối tượng hình học trong khi thay đổi vị trí của chúng. Với chức năng này
Cabri còn có thể hỗ trợ GV trong việc tạo ra hình ảnh liên tục của đối
tượng khi di chuyển.
- Tuy xuất phát điểm ban đầu là phần mềm hỗ trợ hình học nhưng các hỗ
trợ tính toán của Cabri rất phong phú: Đo khoảng cách giữa hai đối tượng, độ
dài của một đoạn thẳng, một cung, chu vi, diện tích một hình, xác định số đo
của một góc, tính hệ số góc của một đường thẳng, hiển thị tọa độ một đối
tượng hay tính toán trực tiếp các số như một máy tính bỏ túi. Sau đó kết quả
của tính toán này lại có thể được tích hợp trở lại trên hình vẽ tùy theo mục
đích khác nhau.
1.2.6.2. Sử dụng phần mềm Cabri 3D để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
Với những đặc điểm có tính ưu việt của phần mềm hỗ trợ dạy học, Cabri

3D có thể được sử dụng làm công cụ để dạy học theo hướng rèn luyện TDST
cho học sinh vì một số lí do sau đây:
Thứ nhất, Cabri 3D đã được thiết kế sẵn các mô hình của các đối tượng
HHKG (như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, đa diện,…); các quan hệ
giữa các đối tượng cơ bản (như quan hệ liên thuộc, quan hệ song song, quan
hệ vuông góc,…); các phép biến đổi hình trong không gian (như phép đối
xứng qua mặt phẳng hay đường thẳng, phép quay quanh một đường thẳng,

19


phép tịnh tiến,…); chức năng tạo vết của điểm, đoạn thẳng giúp phát hiện quỹ

tích hay tính chất; chức năng hiện lại các bước dựng giúp học sinh biết được
các bước dựng của hình không gian cũng được thiết kế sẵn giúp cho việc
dựng hình trở lên đơn giản và nhanh chóng bằng cách kích và rê chuột. Hơn
nữa chức năng tính toán (đo góc, độ dài, diện tích, thể tích,…) cho phép
người sử dụng thực hiện phần lớn các phép tính của một máy tính bỏ túi khoa
học và hiển thị kết quả trên vùng làm việc, do vậy máy tính này làm việc một
cách tương tác hiện thị các kết quả tính toán cập nhật theo sự dịch chuyển của
các điểm hay các đối tượng làm thay đổi các giá trị của một trong các tham số
tính toán, giúp học sinh tránh được các phép tính vụn vặt và làm tăng khả
năng nhìn nhận vấn đề một cách khái quát hơn.
Khác với các phần mềm hình học không gian khác đều xây dựng hình
không gian trong mặt phẳng (màn hình vi tính), phần mềm Cabri 3D xây

dựng hình trong không gian 3 - chiều ảo và trong đó các mô hình giống như
các vật thật ở ngoài đời thường. Do đó, các biểu tượng của hình học không
gian cùng với các mối quan hệ trở lên trực quan sinh động hơn nhiều, giúp
học sinh dễ tưởng tượng hơn. Học sinh cảm thấy như đang làm việc trên
các hình khối thật, có thể nhìn mô hình theo nhiều góc độ chỉ bằng một
thao tác đơn giản là dùng con trỏ chuột để xoay hình theo các hướng. Đồng
thời Cabri 3D cho phép người sử dụng trải một hình đa diện bất kì ra mặt
phẳng, sau đó có thể in hình trải này và sử dụng để tạo hình mẫu thật từ
giấy hoặc bìa các tông.
Thứ hai, Cabri 3D cho phép thiết kế hình ảnh đẹp nhờ chức năng tô màu
các thành phần, điều chỉnh độ dày mỏng của các đường và điểm…Điều này
góp phần làm tăng tính thẩm mĩ cho học sinh khi học hình học không gian .

Thứ ba, Cabri 3D góp phần phát huy tính tích cực trong học tập của học
sinh. Theo các nhà tâm lý học, khi đứng trước một vật thật hay hình ảnh của
chúng học sinh sẽ học tập hứng thú hơn, vận dụng các giác quan trong phân

20


tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, phân biệt tính chất hình
không gian với các tính chất riêng của mô hình…, tăng cường sức chú ý với
các hiện tượng, tính chất của các hình để rút ra các kết luận và kiểm chứng
tính đúng đắn của các kết luận đó. Do đó, giáo viên có thể sử dụng Cabri 3D
để thiết kế bài giảng hình học không gian theo hướng quan điểm thực nghiệm

bằng cách tạo môi trường cho học sinh hoạt động (môi trường Cabri 3D), tạo
tình huống giúp học sinh phát hiện vấn đề nhờ tính “động” và khả năng quan
sát mô hình theo nhiều góc độ của phần mềm này (điều mà phấn trắng, bảng
đen không thể làm được).
Thứ tư, giáo viên có thể khắc phục những sai lầm về mặt nhận thức luận
cho học sinh khi học hình học không gian bằng cách xây dựng các mô hình
phản ví dụ trong môi trường Cabri 3D.
1.3. Dạy học giải bài tập toán học ở trƣờng phổ thông
1.3.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học toán
Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn toán ở trường
phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán.
Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động như nhận

dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp,
những hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt
động trí tuệ phổ biến trong toán học.
Vị trí của bài tập toán học: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động
toán học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ
năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Chức năng của bài tập toán học là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả 3 bình diện: Mục đích, nội dung và
phương pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
- Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán học thể hiện những chức năng
khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích môn toán như:

21


+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là một phương tiện để cài đặt
nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức
đã học ở phần lý thuyết.

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động
để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài toán sẽ góp phần tổ chức tốt cho học
sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động,
sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý
khác nhau. Đối với phương pháp dạy học, cần đảm bảo trình độ xuất phát, gợi
động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra... Đặc biệt đối với
kiểm tra đánh giá, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá
mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triên tư
duy của học sinh, cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
1.3.2. Phương pháp giải bài tập toán học

Theo Polya [12], phương pháp chung cho quá trình tìm tòi lời giải một bài
toán bao gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung bài toán; tìm cách giải; trình bày lời
giải; nghiên cứu sâu lời giải.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để tìm hiểu nội dung bài toán, học sinh cần thực hiện các thao tác: Phát
biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

22


phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; dùng công thức, ký
hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việc diễn tả đề bài.

Qua các bước ở trên ta thấy, việc đánh giá được dữ kiện có thoả mãn
không thừa hay thiếu... đã bước đầu thể hiện TDST. Nếu làm tốt được bước
này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng.
Bước 2: Tìm cách giải
Để tìm được cách giải, học sinh cần thực hiện các hoạt động sau:
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán như
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay
một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng
dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,
toán quỹ tích...

Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan...
Tìm thêm các cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lý nhất.
Thực hiện được các hoạt động ở bước 2, TDST đã được thể hiện ở cấp độ
cao hơn. Chẳng hạn việc liên hệ một bài toán liên quan hay tổng quát... chính
là sự thể hiện TDST.
Bước 3: Trình bày lời giải
Trong quá trình tìm kiếm cách giải, học sinh thường phải áp dụng thao tác
mò mẫm, dự đoán. Do đó, có thể còn có những ý tưởng, những thao tác chưa
trọn vẹn, còn rườm rà, phức tạp, thậm chí sai sót... Như vậy, việc chỉnh sửa
những ý tưởng, thao tác hay suy luận là cần thiết. Không thể đưa nguyên
những lập luận sẵn có vào lời giải.

Hơn nữa, thực tế cho thấy có nhiều học sinh đã hiểu rõ con đường giải bài
toán (do chính họ hay người khác khám phá ra), nhưng lại không thể trình bày

23


một lời giải đúng. Vì vậy, ngoài việc rèn luyện kỹ năng tìm tòi lời giải bài
toán, cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao cho ngắn gọn,
đầy đủ, chặt chẽ, chính xác. Trong bước này cần chú ý sử dụng các ký hiệu,
ngôn ngữ toán học một cách thích hợp và chính xác.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải
Trong quá trình giải toán học sinh cần biết các nội dung của logic hình

thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc với
toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường xuyên.
Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có phần nhìn lại
phương pháp đã sử dụng, dần dần những hiểu biết về logic hình thức sẽ thâm
nhập vào ý thức học sinh. Đây chính là bước nghiên cứu sâu hoạt động lời
giải với 2 nội dung chính:
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Trong quá trình giải toán cũng nên hệ thống hoá các bài toán liên quan
với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa
dạng thông qua các chủ đề và mô hình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát
triển TDST trong quá trình hoạt động và nghiên cứu.

1.4. Thực trạng giảng dạy bài tập chƣơng "Vectơ trong không gian, quan
hệ vuông góc trong không gian" chƣơng trình hình học nâng cao lớp 11
1.4.1. Nội dung và mục tiêu dạy học chương quan hệ vuông góc trong
không gian
MỤC TIÊU CẦN ĐẠT

NỘI DUNG
1. Vectơ trong không Về kiến thức
gian

- Biết quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không

- Vectơ, phép cộng, gian.
phép trừ hai vectơ, - Hiểu được khái niệm và điều kiện đồng phẳng của
nhân vectơ với 1 số; ba vectơ

24