Những sai lầm khi giải PT VO TI.doc

CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ
I-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải PT vô tỉ
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
II-CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ:
Ví dụ 1:
Giải pt:
)1(23151 −=−−− xxx
Lời giải sai:(1)
)2(15231 −+−=−⇔ xxx
Bình phương hai vế :x-1 = 5x-1+3x-2+2
)3(21315
2
+− xx
Rút gọn :2-7x = 2
)4(21315
2
+− xx
Bình phương hai vế :4-14x+49x
2
= 4(15x
2
-13x +2)(5)
Rút gọn ;11x
2
-24x +4 = 0
(11x-2)(x-2) = 0
2;
11
2

21
== xx
Phân tích sai lầm :Không chú ý đến ĐK Căn thức có nghĩa
1−x xác định khi x
1≥
.Do đó x =
11
2
Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai (4) và (5) Không tương đương
Mà (4)



+−=−
≥−
⇔
)21315(4)72(
072
22
xxx
x
PT(5) là PT hệ quả của PT (4),nó chỉ tương đương với (4) với ĐK 2-7x
0
≥
.Do đó x= 2
cũng không phải là nghiệm của (1).
Cách giải đúng :
Cách 1:Giải xong thử lại
Cách 2:Đặt ĐK căn thức xác định. x

1≥
,x
7
2
≤
.Do đó khi giảixong KL phương trình vô
nghiệm.
Cách 3:Chứng minh Vế trái số âm .Còn vế phải không âm.KL phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải PT(x+3) 01 =−x
Lơì giải sai:Ta có :(x+3) 01 =−x






=
−=
⇔
=−
=+
⇔
1
3
01
03
x
x
x
x

Nhận xét :Rõ ràng x=-3 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ :








=
=
≥
⇔=
0
0
0
0
B
A
B
BA
Ví du 3:Giaûi PT:
24
+=+
xx
Lôøi giaûi sai:
24
+=+
xx




=+
−≥
⇔






++=+
−≥
⇔
+=+
≥+
⇔
0)3(
4
444
4
)2(4
04
22
xx
x
xxx
x
xx

x
1



−=
=
⇔








−=
=
−≥
⇔
3
0
3
0
4
x
x
x
x
x

Nhận xét :Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ :



=
≥
⇔=
2
0
BA
A
BA
Ví dụ 4:Giải PT:
1
2
52
=
−
+
x
x
Lời giải sai:
1
2
52
=
−
+
x

x



−=
≥
⇔



−=+
≥−
⇔−=+⇔=
−
+
⇔
7
2
252
02
2521
2
52
x
x
xx
x
xx
x
x

Vậy PT trên vô nghiệm.
Nhận xét :PT đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ :







>≥
<≤
−
−
=
0;0 BkhiA
B
B
A
B
A
A
0B0;A khi
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi
0;0
<≤
BA
Nên mấtmột
nghiệmx=-7
Ví dụ 5:GiảiPT:

16432142
−+−=−+−
xxxx
Lời giải sai: Ta có :
16432142
−+−=−+−
xxxx



−=−
≥−
⇔−=−⇔−+−=−+−⇔
321
01
321)4(432142
xx
x
xxxxxx



=
≥
⇔
2
1
x
x
;Vậy PT có nghiệm x= 2

Nhận xét :Ta thấy x=2 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ :



=
≥
⇔+=+
CB
A
CABA
0
Ví dụ 6:Giải PT:
)3(2)2()1(
−=−+−
xxxxxx
Lời giải sai:Ta có
)3(2)2()1(
−=−+−
xxxxxx
3.22.1.
−=−+−⇔
xxxxxx
3221
−=−+−⇔
xxx
;Căn thức có nghóa
3
≥⇔
x

Khi đó ta có :
3221
32
31
−>−+−⇒



−>−
−>−
xxx
xx
xx
.Do đó PT vô nghiệm.
Nhận xét :Có thể thấy ngay x = 0 là một nghiệm của PT.Việc chia hai vế cho
x
đã
làm mât nghiệm này
Ghi nhớ:



≤≤−−
≥≥
=
0;0.
.
.
BkhiABA
BA

BA
0B0;A khi
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp
0
=
x
,và xét trường hợp x<0.
II-MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
2
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình
phương hai vế của PT.
Ví du 1ï:Giải PT:2+
xx
=−
12
(1)
Giải:ĐK:x
2
1
≥
(2)
PT(1)
)3(212
−=−⇔
xx
;ĐK:
2
≥
x

(3)
056)5()2(12
22
=+−⇔−=−⇔
xxxx
Giải x
1
=1 không thõa mãn (4);x
2
= 5thoã mãn cả (2)và (4).Vậy PT có nghiệm x = 5
Ví dụ 2:Giải PT:
)1(121
=−−+
xx
Giải:ĐK:x
2
≥
(2) . PT(1)
)3(211
−+=+⇔
xx
.Hai vế của (3) không âm bình phương
hai vế :x+1= 1+x-2+2
2
−
x

31212222
=⇔=−⇔=−⇔−=⇔
xxxx

,thõa mãn ĐK
(2) .Vậy PT có nghiệm x = 3.
2-Phương pháp:Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Ví dụ: Giải PT:
844
2
=++−
xxx
(1) .
5 x luậnKết
nghiệm vô PT8,x2x- 2thìx Nếu
xét. đang khoảngThuộc
5,x8x2-x 2thìx NếuGiải(1)
=
=++<
=⇔=+≥=+−⇔=+−⇔
828)2(
2
xxxx
3-Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ:Giải pT:x
2
-
42
2
=−
x
Giải:ĐK:
2
2

≥
x
;PT đã cho có dạng:
0222
22
=−−−−
xx
Đặt :
loại)t Giảit dạng có PT
1
2
(1;20202
2
2
−===−−≥=−
tttx
Với t = 2 Thì
6622
22
±=⇔=⇔=−
xxx
Kết luận:x =
6
±
4-Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ:
Giải PT:
312
3
=++−
xx

;
Giải:ĐK:x
)1(1
−≥
Đặt
zxyx
=+=−
1,2
3
;Khi đó x-2= y
3
;x+1 = z
2
Ta có HPT sau:





≥
=−
=+
)4(0
)3(3
)2(3
32
z
yz
zy
;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;Giải tìm x = 3(Thoã

mãn)
Kết luận:x= 3
5-Phương pháp BĐT:
a)Chứng tỏ tập giá trò của hai vế là rời nhau:
Ví dụ:Giải PT:
)1(23151
−=−−−
xxx
ĐK:x
1
≥
;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Do đó
nghiệm vô PT .vậy âm không phảivế âm sốmột (1)là trái Vế
⇒−<−
151 xx
b)Sử dụng tính đối nghòch hai vế:
3
Ví dụ: Giải PT:
222
2414105763 xxxxxx
−−=+++++
Giải:Vế trái của PT:
5949)1(54)1(3
22
=+≥+++++
xx
Vế phải của PT:5-(x+1)
2

5
≤
Vậy hai vế của PT bằng 5
1
−=⇔
x
KL:x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ :Giải PT:
)1(312
3
=++−
xx
Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 Thì
2.1,12
3
>+>−
xx
.Nên vế trái của (1) >3
Với -1
21;13
<+<<≤
xx
3
2-x Thì
.Nên vế trái của (1)<3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng :
Ví dụ:Giải PT:

)1(2
14
14
=
−
+
−
x
x
x
x
Giải ;ĐK:x >
4
1
Áp dụng BĐT
2
≥+
a
b
b
a
Với a>0,b>0 .Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi
a=b
Do đó (1)
32)
4
1
(0141414
22
±=⇔>=+−⇔−=⇔−=⇔

xDoxxxxxxx
Thõa mãn (2)
6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
Ví dụ: Giải PT:
)1(
5
3
2314
+
=−−+
x
xx
ĐK:
3
2
≥
x
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
)2314(
5
3
3
−++
+
=+⇔
xx
x
x
( )
( )

03523140523143
>+=−++⇔=−−+++⇔
xdoxxxxx
(2)
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT.
III- LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải PT:
)1(24
2
−=−
xx
;HD:ĐK:x
2
≥
Bình phương hai vế giải x = 2
Bài 2:Giải PT:
2
4
1
2
1
=++++
xxx
(1);HD:Đặt t=
4
1
0
4
1
2

−=⇒≥+
txx
(1)
2
2
1
2
=






+⇔
t
Giải t =
22
2
1
2
−=⇔−
x
Bài 3:GiảiPT:
)1(
1
1
x
xx
=++

; HD:ĐK:x >0 Biến đổi(1)
⇔
…
3
1
3
1
1
=⇔





=
≤
⇔
x
x
x
Bài 4:Giải PT:
4
341)
121)
11)
=++−
=+−−
−=+
xxc
xxb

xxa
;
HD:Dùng Phương pháp bình phương hai vế
Kết quả:câu a x=3;b)x=
2
51
−−
;c)x =0;x=3
Bài 5:Giải PT:
x
x
xx
+=
−
−+
3
1
32
2
(1);HD:ĐK:



>⇔
≥+−
>
1
0)3)(1(
1
x

xx
x
(1)
xx
+=+⇔⇔
33...
Bình phương hai vế giải kết quả x=-3;x=-2(KTM)PT vô
nghiệm.
Bài 6:Giải các PT sau:
3
53
14
5);121)
2
=
−+
−
−−−=−
x
x
xbxxa
;HD câu a)PT Vô nghiệm;câu b)PT có vô số
nghiệm x
5
≥
Bài 7:Giải PT:a)
533
−=−
xx
;b)

725
=−+
xx
Câu: a) Biến đổi Tương đương





=+−
≥
022299
3
5
2
xx
x
Câu: b)Tương tự
Bài 8 :Giải PT:3x
2
+2x =
xxx
−++
12
2
(1);HD:Biến đổi (1)
01233
22
=−+−+
xxxx

Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ:
0
2
≥=+
txx
Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1;t=
3
1
−
Thay giải tìm x
Bài 9:Giải :
5168143);34412)
22
=−−++−++=+−++−
xxxxbxxxxa
HD:Biến đổi về PT chứa dấu giá trò tuyệt đối
Câu:a)
12
≤≤−
x
; Câu b)
101
≤≤
x
Bài 10:Giải PT:x
2
+4x +5 = 2
32
+
x

(1);HD ĐK: x
3
2
−
≥
;Biến đổi (1)
( )
( )
( )
( )



=−+
=+
⇔=−+++⇔
0132
01
01321
2
2
2
2
x
x
xx
Bài 11:Giải các PT:
122);2344)
1252)44)42)
22

22
−=+−+=+−
−−=+−−=−−=−
xxxexxxd
xxxxcxxbxxa
Câu a,b,,d,e;Dùng phép biến đổi



=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA
Câu c:Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 12:GiảiPT:
)1(11642)
)1(2414105763)
2
222
+−=−+−
−−=+++++
xxxxb
xxxxxxa
Dùng BĐT:
5