Đề thi giữa kì môn toán cao cấp A3

HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ
MÔN: TOÁN CAO CẤP A 3 (ðHTC)
Thời gian: 30 phút
(Các ñề khác giải tương tự)
Câu 1. Cho hàm số
2 x 2
f(x,y) y e x xy 1= − + + , kết quả vi phân cấp một
df(0, 1)−
là:
A. – 2dy;
B. 2dx + 2dy;
C. 6dx + 4dy; D. 2dx – 4dy.
HD.

/ 2 x /
x x
/ x /
y y
f y e 2x y f (0; 1) 0
f 2ye x f (0; 1) 2
 
= − + − =
 
⇒ ⇒
 
= + − = −
 
 
A.

Câu 2.

Cho hàm s
ố

3 2 2
z x x y y= − + , k
ế
t qu
ả
vi phân c
ấ
p hai d
2
z(1,–1) là:
A. 12dx
2
– 8dxdy + 2dy
2
; B. –12dx
2
+ 8dxdy + 2dy
2
;
C. 8dx
2
– 4dxdy + 2dy
2
; D. –8dx
2
+ 4dxdy + 2dy
2

.
HD.

2 2
2 2
// //
x x
/ 2
x
// //
xy xy
/ 2
y
// //
y y
z 6x 2y z (1; 1) 8
z 3x 2xy
z 2x z (1; 1) 2
z x 2y
z 2 z (1; 1) 2
 
= − − =
 

= −
  
⇒ = − ⇒ − = − ⇒
  
= − +


 

= − =
 
 
C.

Câu 3.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
3
+ 2y
3
– 3x
2
– 3x – 10y. Kh
ẳ
ng
ñị
nh nào sau
ñ
ây là
ñ

úng ?

A. z có 4 ñiểm dừng;
B. z có 3
ñ
i
ể
m d
ừ
ng;
C. z có 2
ñ
i
ể
m d
ừ
ng; D. z có 1
ñ
i
ể
m d
ừ
ng.
HD.

/ 2
x
/ 2
y
z 3x 6x 3 0

z 6y 10 0

= − − =

⇒

= − =


A.

Câu 4.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

3 2
f(x,y) x 3y 6y 3= − − − v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ

n x – y = 1.

Kh
ẳ
ng
ñị
nh nào sau
ñ
ây là
ñ
úng ?
A. f(x,y)
ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(2; 1);
B. f(x,y) ñạt cực ñại tại ñiểm M(0;–1);

C. f(x,y)
ñạ
t c
ự

c ti
ể
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(0;–1); D. f(x,y) không có c
ự
c tr
ị
.
HD.

3 2 / 2
x y 1 y x 1 f x 3x f 3x 6x 0 x 0,x 2− = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − = ⇔ = = .
L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên, ta th
ấ
y f
ñạ
t c
ự
c

ñạ
i t
ạ
i x = 0. Suy ra M(0;–1).
ð
áp án B.

Câu 5.
Xác
ñị
nh c
ậ
n c
ủ
a tích phân
D
I f(x, y)dxdy=
∫∫
, trong
ñ
ó D là mi
ề
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ

ng
2
y x= −
và
y x=
ta có k
ế
t qu
ả
là:

A.
2
0 x
1 x
I dx f(x, y)dy
−
−
=
∫ ∫
;
B.
2
0 x
1
x
I dx f(x, y)dy
−
−
=

∫ ∫
;
C.
2
1 x
0
x
I dx f(x, y)dy
−
=
∫ ∫
; D.
2
1 x
0 x
I dx f(x, y)dy
−
=
∫ ∫
.
HD.
Vẽ miền D (xem hình), ta có:
{ }
2
D 1 x 0, x y x= − ≤ ≤ ≤ ≤ − ⇒ A.


Câu 6.

ðổ

i bi
ế
n trong t
ọ
a
ñộ
c
ự
c c
ủ
a tích phân
2 2
D
I (x y )dxdy= +
∫∫
, trong
ñ
ó D là mi
ề
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
các
ñườ
ng
2 2

x (y 2) 4+ − =
và
2 2
x (y 1) 1+ − =
ta có k
ế
t qu
ả
là:
A.
4 cos
3
0 2 cos
I d r dr
π ϕ
ϕ
= ϕ
∫ ∫
; B.
2
2
0 1
I d r dr
π
= ϕ
∫ ∫
;
C.
2 sin
3

0 sin
I d r dr
π ϕ
ϕ
= ϕ
∫ ∫
;
D.
4 sin
3
0 2 sin
I d r dr
π ϕ
ϕ
= ϕ
∫ ∫
.

HD.

ðặ
t
2 2 2
x rcos
J r, x y r
y rsin
= ϕ

⇒ = + =


= ϕ

.
Th
ế
x, y vào ph
ươ
ng trình hai
ñườ
ng tròn:
1
2
r 2sin
r 4sin
= ϕ


= ϕ

.

V
ẽ
mi
ề
n D (xem hình), ta có:
D 0 , 2sin r 4sin
2
π
 

= ≤ ϕ ≤ ϕ ≤ ≤ ϕ ⇒
 
 
D.


Câu 7.

ðổ
i bi
ế
n t
ổ
ng quát c
ủ
a tích phân
D
I f(x, y)dxdy=
∫∫
b
ằ
ng cách
ñặ
t
u x y= +
,
v x y= −

trong
ñ

ó D là mi
ề
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
1 x y 2≤ + ≤
và
0 x y 3≤ − ≤
ta có k
ế
t qu
ả
là:
A.
2 3
1 0
1 u v u v
I du f ; dv
2 2 2
 
+ −


= −






 
∫ ∫
;
B.
2 3
1 0
1 u v u v
I du f ; dv
2 2 2
 
+ −


=





 
∫ ∫
;

C.
2 3
1 0
u v u v

I 2 du f ; dv
2 2
 
+ −


=





 
∫ ∫
; D.
2 3
1 0
u v u v
I 2 du f ; dv
2 2
 
+ −


= −






 
∫ ∫
;
HD.

/ /
u v
/ /
u v
u v
x
u x y
x x
1 1
2
J J
v x y u v
2 2
y y
y
2
+

=

= +


⇒ ⇒ = = − ⇒ =
 

= − −


=


;
{ }
uv
D 1 u 2,0 v 3= ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒
B.

Câu 8. Giá trị của tích phân
V
I 4 xydxdydz=
∫∫∫
, trong ñó miền V [0;1] [0;2] [1;2]= × × , là:
A.
I 8= ; B. I 6= ; C. I 4= ; D. I 2= ;
HD.
1 2 2
0 0 1
I 2xdx 2ydy dz
   
= ⇒
   
   
∫ ∫ ∫
C.
Câu 9.

Tích phân
2 2
V
I cos x y dxdydz= +
∫∫∫
, trong
ñ
ó V gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
2 2
z 4 x y= − −
và
z 0=

có bi
ể
u di
ễ
n sang t
ọ
a
ñộ
tr
ụ
là:

A.
2
2 2 4 r
0 0 0
I d cos rdr dz
π −
= ϕ
∫ ∫ ∫
;
B.
2
2 2 4 r
0 0 0
I d r cos rdr dz
π −
= ϕ
∫ ∫ ∫
;

C.
2
2 2 0
0 0
4 r
I d r cos rdr dz
π
−
= ϕ
∫ ∫ ∫
; D.

2
2 2 0
0 0
4 r
I d cos rdr dz
π
−
= ϕ
∫ ∫ ∫
.
HD.

ðặ
t
2 2 2
x rcos
y rsin J r, x y r
z z
= ϕ


= ϕ ⇒ = + =


=

. Chi
ế
u V lên Oxy ta
ñượ

c
2 2
0 r 2
D: x y 4
0 2
≤ ≤

+ ≤ ⇒

≤ ϕ ≤ π

.
Th
ế
x, y vào ph
ươ
ng trình
2 2 2
z 4 x y 0 z 4 r B= − − ⇒ ≤ ≤ − ⇒
.


Câu 10.
Tích phân
V
I f(x, y, z)dxdydz=
∫∫∫
, trong
ñ
ó

2 2 2
V : x y z 2z+ + ≤
có bi
ể
u di
ễ
n sang
t
ọ
a
ñộ
c
ầ
u là:
A.
2 2 cos
2
0 0 0
I d sin d r .f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
π π θ
= ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ
∫ ∫ ∫
;
B.
2 2 sin
2
0 0 0
I d sin d r .f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
π π θ
= ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ

∫ ∫ ∫
;
C.
2 2 cos
2
2
0 0 0
I d sin d r .f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
π
π θ
= ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ
∫ ∫ ∫
;
D.
2 2 sin
2
2
0 0 0
I d sin d r .f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
π
π θ
= ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ
∫ ∫ ∫
.
HD.

Biên c
ủ
a V là m
ặ

t c
ầ
u
2 2 2
(S) : x y z 2z 0+ + − = ⇒
(S)
ti
ế
p xúc Oxy t
ạ
i O.

ðặ
t
2
x rcos sin
y rsin sin J r sin , 0
2
z rcos
= ϕ θ

π

= ϕ θ ⇒ = θ ≤ θ ≤


= θ

.

Th
ế
x, y, z vào ph
ươ
ng trình (S):
r 2cos 0 r 2cos= θ ⇒ ≤ ≤ θ
.

Chi
ế
u V lên Oxy, ta
ñượ
c
2 2
D : x y 1 0 2+ ≤ ⇒ ≤ ϕ ≤ π ⇒ C.


----------H
ế
t----------