bai tap con lac don hay

Chuyên đề iii. Con lắc đơn
A. Lý thuyết.
* Dao động của con lắc đơn nói chung không phải là dao động điều hoà. Khi dao động nhỏ (sin




rad, tức là



10
0
) bỏ qua mọi ma sát và lực cản của môi trờng thì dao động của con lắc đơn là dao động
điều hoà.
* Phơng trình dao động khi biên độ góc

m


10
0
* Phơng trình li độ dài: s = s
m
cos(t + )
* Chú ý: Nếu coi quỹ đạo của con lắc đơn nh là một đoạn thẳng thì phơng trình li độ dài có dạng: x
= Acos (t + ) với A = S
m
=
m
và x = .

* Phơng trình li độ góc: =
m
cos(t + )
s = là li độ dài; s
m
=
m
là biên độ dài; : li độ góc;
m
biên độ góc (hình vẽ).
Chú ý: và
m
phải tính bằng đơn vị rad.
* Tần số góc - chu kì - tần số:
=
g
l

T =


2
= 2
g
l

f =
1 1
2
g

T

=
l
* Vận tốc: ở li độ góc bất kì: v

2
= 2g(cos - cos
m
)
Lu ý: nếu
m


10
0
thì có thể dùng l - cos
m
= 2sin
2
(
2
m

) =
2
2
m

v

max
=
m
gl
= s
m
v

= s' = -s
m
sin(t + )
* Sức căng dây: T

= mg(3cos - 2cos
m
)
Tại VTCB: T
vtcb
= mg(3 2gcos
m
) = T
max

Tại vị trí biên: T
biên
= T
min
= mgcos
m
* Năng lợng dao động:

Động năng: W
đ
=
2
1
mv
2
= mg(cos - cos
m
)
Thế năng: W
t
= mgh

= mg( l - cos)
Cơ năng: W = mgl( l - cos
m
) = W
đmax
= W
tmax
Lu ý: khi
m


10
0
thì có thể dùng l - cos
m
= 2sin

2
(
2
m

) =
2
2
m

W =
2
mgl

2
m
=
2
mg
l
s
2
m
= const.
b. bài tập áp dụng.
Daùng 1. Xác định chu kỳ, tần số của con lắc đơn.
* Phơng pháp.
* Dựa vào điều kiện bài ra thiết lập các hệ thức:
T =

2
= 2
g
l

f =
1 1
2
g
T

=
l
* Thực hiện các thao tác biến đổi toán học để tính chu kỳ, tần số của con lắc.
Baứi taọp aựp duùng.
O
B
s
B
s
max



max
Q
1. Hai con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ là 2s và 2,5s. Tính chu kỳ của con lắc đơn có chiều dài bằng
hiệu chiều dài 2 con lắc trên.
2. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc có chiều dài

1
thực hiện 8 dao động, con lắc có chiều dài
2
l
thực hiện 10 dao động, biết hiệu chiều dài hai con lắc bằng 9cm. Tìm chiều dài mỗi con lắc.
3. Một con lắc đơn có độ dài
1
dao động với chu kỳ T
1
= 0,8s. Một con lắc đơn khác có độ dài
2
dao
động với chu kỳ T
2
= 0,6s. Tính chu kỳ của con lắc đơn có độ dài
1
+
2
.
4. Một con lắc đơn có độ dài , trong khoảng thời gian t thực hiện đợc 6 dao động. Ngời ta giảm bớt độ
dài của nó đi 16cm, cũng trong khoảng thời gian t nh trớc nó thực hiện đợc 10 dao động. Tính chiều dài ban
đầu của con lắc.
5. Tại một nơi có hai con lắc đơn đang dao động với các biên độ nhỏ. Trong cùng một khoảng thời gian,
ngời ta thấy con lắc thứ nhất thực hiện đợc 4 dao động, con lắc thứ hai thực hiện đợc 5 dao động. Tổng chiều dài
của hai con lắc là 164cm. Tính chiều dài của mỗi con lắc.
6. Trong khong thi gian
t

con lc n cú chiu di thc hin c 120 dao ng. Khi di tng
thờm 74,7 cm, cng trong khong thi gian

t

con lc ny thc hin c 60 dao ng. Tớnh chiu di ban u
ca con lc.
7. Trong 2 phỳt con lc n cú chiu di thc hin c 120 dao ng. Nu chiu di ca con lc ch
cũn bng
1
4
chiu di ban u thỡ chu kỡ ca con lc bõy gi l bao nhiờu?
8. Hai con lắc đơn chiều dài
1
,
2
(
1
>
2
) và có chu kì dao động tơng ứng là T
1
; T
2
. Tại nơi có gia tốc
trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài
1
+
2
, dao động chu với kì 1,8s và con
lắc đơn có chiều dài

1
-
2
dao động với chu kì 0,9 (s). Tính T
1
, T
2
,
1
,
2
.
Đ/s: T
1
= 1,42s, T
2
= 1,1s; l
1
= 50,1cm, l
2
= 30,1cm.
9. (ĐHKA-2009). Ti mt ni trờn mt t, mt con lc n dao ng iu hũa. Trong khong thi gian
t, con lc thc hin 60 dao ng ton phn; thay i chiu di con lc mt on 44 cm thỡ cng trong khong
thi gian t y, nú thc hin 50 dao ng ton phn. Tớnh chiu di ban u ca con lc.
10. (CA-2010). Ti mt ni trờn mt t, con lc n cú chiu di ang dao ng iu ho vi chu kỡ
2 s. Khi tng chiu di ca con lc thờm 21 cm thỡ chu kỡ dao ng iu ho ca nú l 2,2 s. Tớnh chiu di ca
con lc.
11. Một con lắc có độ dài bằng
1
dao động với chu kì T

1
= 1,5s. Một con lắc khác có độ dài
2
dao động với chu
kì T
2
= 2s. Tìm chu kì của con lắc có độ dài bằng
1
+
2
;
2
-
1
.
Đ/s: T = 2,5(s); T =
4 2,25 1,75 =
(s).
12. Một học sinh buộc hòn đá vào đầu một sợi dây nhẹ và cho nó dao động. Trong 10 phút nó thực hiện đ ợc 299
dao động. Vì không xác định đợc chính xác độ dài của con lắc này, học sinh đó đã cắt ngắn sợi dây bớt 40cm, rồi cho nó
dao động lại. Trong 10 phút nó thực hiện đợc 386 dao động. Hãy dùng kết quả đó để xác định gia tốc trọng trờng ở nơi làm
thí nghiệm.
Đ/s: g = 9,80m/s
2
.
13. Một con lắc đơn có chiều dài là dao động với chu kì T
0
= 2s.
a. Tính chu kì của con lắc khi chiều dài của dây treo tăng lên 1% chiều dài ban đầu.
b. Nếu tại thời điểm ban đầu hai con lắc trên cùng qua VTCB và chuyển động cùng chiều. Tìm thời gian mà

chúng lặp lại trạng thái trên. Khi đó mỗi con lắc thực hiện bao nhiêu dao động?
Đ/s: 1) T = 2,0099s; 2) T
0
- 201, T 200 dao động.
Daùng 2. Xác định năng lợng dao động của con lắc đơn. Xác định vận tốc của vật, lực căng của dây treo
khi vật đi qua vị trí có li độ góc .
* Phơng pháp.
1. Xác định năng lợng của con lắc đơn.
* Chọn mốc thế năng tại VTCB.
* Động năng: W
đ
=
2
1
2
mv
.
* Thế năng hấp dẫn ở li độ góc : W
t
= mg(1- cos).
* Cơ năng: W = W
đ
+ W
t
.
* Khi con lắc dao động với biên độ góc
max
nhỏ: W
t
= mg(1- cos) =

2
1
2
mg

l
.
* Cơ năng của con lắc đơn: W =
2
max
1
2
mg

l
.
2. Tìm vận tốc của vật khi đi qua li độ góc .
* áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có: Cơ năng tại vị trí biên = cơ năng tại vị trí ta xét.

mg(1- cos) +
2
1
2
mv =
mg(1- cos
max
)


max

2 (cos cos )v g

= l
.
* Ta có:
* Khi vật đi qua VTCB vận tốc có độ lớn cực đại:
max max
2 (1 cos )v g

= l
* Khi vật ở các vị trí biên vận tốc bằng không.
* Với biên độ góc nhỏ:
2 2
max
( )v g

= l
2
max max
v g

= l
.
3. Xác định lực căng dây treo khi con lắc đi qua vị trí có li độ góc .
* áp dụng định luật II Newton:
P T ma+ =
ur ur r
.
* Chiếu lên phơng bán kính ta đợc:
T mgcos = ma

ht
= m
2
v
l
max
(3cos 2cos )T mg

=
.
* Tại VTCB: T = T
max
= mg(3 - 2cos
max
).
* Tại các vị trí biên: T = T
min
= mgcos
max
.
* Khi biên độ góc nhỏ.
*
2 2
max
1
(2 2 3 )
2
T mg

= +

.
* Tại VTCB: T
max
=
2
max
(1 )mg

+
.
* Tại các vị trí biên: T = T
min
= mg(
2
max
1
2


).
Baứi taọp aựp duùng.
1. Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s tại nơi có g = 10m/s
2
. Biên độ góc của dao động là 6
0
. Vận
tốc của con lắc tại vị trí có li độ góc 3
0
có độ lớn là bao nhiêu?
2. Một con lắc đơn có chiều dài = 1m dao động điều hòa ở nơi có g =

2
= 10m/s
2
. Lúc t = 0, con lắc đi
qua vị trí cân bằng theo chiều dơng với vận tốc 0,5m/s. Sau 2,5s vận tốc con lắc có độ lớn bao nhiêu?
3. Một con lắc đơn có khối lợng vật nặng m = 0,1kg. Kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc 30
0
rồi buông
tay. Lấy g =10m/s
2
. Lực căng dây khi đi qua vị trí cao nhất là bao nhiêu?
4. Một con lắc đơn có khối lợng vật nặng m = 200g, dây treo có chiều dài = 100cm. Kéo vật ra khỏi vị
trí cân bằng nột góc = 60
0
rồi buông ra không vận tốc đầu. Lấy g = 10m/s
2
. Năng lợng dao động của vật là bao
nhiêu?
5. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
max
= 6
0
. Con lắc có thế năng bằng 3 lần động
năng tại vị trí có li độ góc bao nhiêu?
6. Con lắc đơn gồm vật nặng khối lợng m = 0,1 (kg), dao động điêu hoà với biên độ góc
0
= 6
0
trong
trọng trờng g =

2
(m/s
2
) thì sức căng của dây treo lớn nhất là bao nhiêu?
7. (ĐHKA-2010). Ti ni cú gia tc trng trng g, mt con lc n dao ng iu hũa vi biờn gúc

0
nh. Ly mc th nng v trớ cõn bng. Khi con lc chuyn ng nhanh dn theo chiu dng n v trớ cú
ng nng bng th nng thỡ li gúc ca con lc bng bao nhiêu?
8. (CĐKA-2009). Ti ni cú gia tc trng trng l 9,8 m/s
2
, mt con lc n dao ng iu hũa vi biờn
gúc 6
0
. Bit khi lng vt nh ca con lc l 90g v chiu di dõy treo l 1m. Chn mc th nng ti VTCB,
c nng ca con lc xp x bng bao nhiờu?
9. Một con lắc đơn khối lợng 200g dao động nhỏ với chu kỳ T = 1s, quỹ đạo coi nh thẳng có chiều dài
4cm. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dơng. Tìm động năng của vật tại thời điểm t =
1
3
s.
10. Một con lắc đơn có chiều dài = 50cm, khối lợng 250g. Tại VTCB ta truyền cho vật nặng vận tốc v
= 1m/s theo phơng ngang, cho g = 10m/s
2
. Tìm lực căng sợi dây khi vật ở vị trí cao nhất.
11. Cho con lắc đơn chiều dài 25cm, khối lợng m = 162g dao động với biên độ
max
= 4
0
ở nơi đó có g =

10m/s
2
, lấy
2
= 10. Xác định góc lệch sao cho tại đó động năng lớn gấp 3 lần thế năng. Tính lực căng của dây
treo con lắc tai đó.
12. Mt con lc n cú chiu di dõy treo l 100cm, kộo con lc lch khi VTCB mt gúc
0
vi cos
0
=
0,892 ri truyn cho nú vn tc v = 30cm/s. Ly g = 10m/s
2
.
a. Tớnh v
max

b. Vt cú khi lng m = 100g. Hóy tớnh lc cng dõy khi dõy treo hp vi phng thng ng gúc vi
cos = 0,9.
13. Mt con lc n cú m = 100g, dao ng vi gúc lch cc i
0
= 30
0
. Ly g = 10m/s
2
. Tớnh lc cng
dõy treo con lc khi qu cu i qua VTCB.
14. Mt con lc n cú khi lng m = 100g, chiu di dao ng vi
1m
=

l
biờn gúc
0
max
45

=
.
Tớnh ng nng v tc ca con lc khi nú i qua v trớ cú gúc lch
0
30

=
, ly g = 10m/s
2
.
15. Mt con lc n cú
1m=l
, dao ng iu hũa ti ni cú g = 10m/s
2
v gúc lch cc i l 9
0
. Chn
mc th ti v trớ cõn bng. Giỏ tr ca vn tc con lc ti v trớ ng nng bng th nng l bao nhiờu ?
16. Mt con lc n gm mt qu cu cú khi lng 500g treo vo mt si dõy mnh, di 60cm. Khi con
lc ang v trớ cõn bng thỡ cung cp cho nú mt nng lng 0,015J, khi ú con lc dao ng iu hũa. Tớnh
biờn dao ng ca con lc. Ly g = 10m/s
2
.
17. Mt con lc n cú m = 200g, g = 9,86 m/s

2
. Dao ng vi phng trỡnh:
0,05 os(2 t- )
6
c rad


=
.
a. Tỡm chiu di v nng lng dao ng ca con lc.
b. Ti t = 0 vt cú li v vn tc bng bao nhiờu?
c. Tớnh vn tc ca con lc khi nú v trớ
max
3


=
d. Tỡm thi gian nh nht (t
min
) con lc i t v trớ cú ng nng cc i n v trớ m W

= 3W
t

Daùng 3. Sự thay đổi chu kỳ dao động của con lắc đơn.
* Phơng pháp.
3.1. Xác định chu kỳ dao động của con lắc đơn ở độ cao h, độ sâu d khi nhiệt độ không đổi.
* Gia tốc trọng trờng ở Mặt Đất: g
0
=

2
M
G
R
. Trong đó G = 6,67.10
-11
N.m
2
/kg
2
là hằng số hấp dẫn; M là
khối lợng Trái Đất; R = 6400km là bán kính Trái Đất.
* Chu kỳ con lắc dao động đúng trên Mặt Đất: T
0
=
0
2
g

l
.
a. Khi đa con lắc lên độ cao h.
* Gia tốc trọng trờng ở độ cao h: g
h
=
0
2
2
( )
(1 )

g
M
G
h
R h
R
=
+
+
.
* Chu kỳ con lắc dao động sai ở độ cao h: T
h
=
2
h
g

l
.
0
(1 )
h
h
T T
R
= +
.
* Khi đa lên cao, chu kỳ dao động của con lắc tăng lên.
b. Khi đa con lắc xuống độ sâu d.
* Gia tốc trọng trờng ở độ sâu d: g

d
=
0
3
( ) (1 )
M d
G R d g
R R
=
.
* Chu kỳ con lắc dao động sai ở độ sâu d: T
d
=
2
d
g

l
.
0
0
(1 )
2
1
d
T
d
T T
R
d

R
= +

;
.
* Khi đa xuống sâu, chu kỳ dao động của con lắc tăng lên, nhng tăng ít hơn khi đa lên cao.
3.2. Xác định chu kỳ dao động của con lắc đơn khi nhiệt độ thay đổi (dây treo con lắc làm bằng kim
loại).
* Khi nhiệt độ thay đổi, chiều dài con lắc đơn biến đổi theo nhiệt độ: =
0
(1 + t).
Trong đó: là hệ số nở dài của kim loại làm dây treo con lắc;
0
là chiều dài dây treo con lắc ở 0
0
C.
* Chu kỳ con lắc dao động đúng ở nhiệt độ t
1
(
0
C): T
1
=
1
2
g

l
.
* Chu kỳ con lắc dao động sai ở nhiệt độ t

2
(
0
C): T
2
=
2
2
g

l
.
1 1
2 2
T
T
=
l
l
. Ta có:
1 0 1
1 1
2 1
2 0 2
2 2
(1 )
1 1
1 ( )
(1 )
1 2

t
t
t t
t
t





= +

+
=

= +
+

l l
l
l l
l
. Vì << 1.
1 1
2 1 2 1 2 1
2
2 1
1 1
1 ( ) [1 ( )]
1

2 2
1 ( )
2
T T
t t T T t t
T
t t


= +

.
* Vậy:
2 1 2 1
1
1 ( )
2
T T t t


= +


.
* Khi nhiệt độ tăng thì chu kỳ dao động tăng lên.
* Khi nhiệt độ giảm thì chu kỳ dao động giảm xuống.
Chú ý:
* Khi đa lên cao mà nhiệt độ thay đổi thì:
2 1 0 2 1
0

1 1
1 ( ) 1 ( )
2 2
h
h
T
h h
t t T T t t
T R R



= +




.
* Khi đa xuống độ sâu d mà nhiệt độ thay đổi thì:
2 1 0 2 1
0
1 1
1 ( ) 1 ( )
2 2 2 2
d
d
T
d d
t t T T t t
T R R

= +




.
3.3. Xác định chu kỳ con lắc đơn khi có thêm ngoại lực không đổi
F
ur
tác dụng vào quả cầu con lắc.
* Chu kỳ của con lắc khi cha chịu tác dụng của ngoại lực không đổi
F
ur
: T
0
=
0
2
g

l
.
* Chu kỳ của con lắc khi chịu tác dụng của ngoại lực không đổi
F
ur
: T =
2

g

l
.
* Khi con lắc chịu thêm tác dụng của ngoại lực
F
ur
, ta coi hợp lực của hai lực
F
ur
và
0 0
P mg=
uur uur
nh là trọng
lực hiệu dụng (trọng lực biểu kiến) tác dụng vào quả cầu con lắc:
P
ur
=
F
ur
+
0
mg
uur
=
mg
ur
.
0

F
g g
m
= +
ur
ur uur
.
* Khi
0
F P
ur uur
:
0
F
g g
m
= +
ta có T < T
0
, chu kỳ dao động của con lắc giảm.