Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co cyclic trong không gian g metric và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------



-----------------

ĐÀO QUỲNH ANH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC
TRONG KHÔNG GIAN G −METRIC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

i


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------



-----------------

ĐÀO QUỲNH ANH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC

TRONG KHÔNG GIAN G −METRIC VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Tác giả

Đào Quỳnh Anh

ii


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả
Đào Quỳnh Anh

iii


MỤC LỤC
TRANG BÌA PHỤ

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

LỜI CẢM ƠN

iii

MỤC LỤC

iv

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3
3

1.1. Không gian G - metric
1.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co

5

yếu cyclic trên không gian G - metric
1.3. w - khoảng cách trên không gian G - metric

7

Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO CYCLIC
TRÊN KHÔNG GIAN G - METRIC

8

2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trên không gian

G - metric

8

2.2. Điểm bất động đối với ánh xạ ( y , f ) - co cyclic trên không
gian G - metric

13

2.3. Ứng dụng đối với sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho một
lớp phương trình tích phân phi tuyến

22

2.4. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều
kiện w - khoảng cách

24
3
5

KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

36

iv


MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò rất quan trọng và hữu ích trong toán
học. Nó được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lí thuyết bất đẳng thức
biến phân, lí thuyết tối ưu hóa và lý thuyết xấp xỉ... Khả năng ứng dụng rộng rãi
của lý thuyết điểm bất động trong các lĩnh vực khác nhau dẫn đến một số suy
rộng của không gian metric. Trong số đó, có thể đề cập đến không gian
quasimetric, không gian metric riêng, không gian D-metric và không gian Gmetric. Một trong số những suy rộng thú vị nhất là không gian G-metric được
giới thiệu bởi Mustafa and Sims [12] vào năm 2006, đã thu hút được sự chú ý
của các nhà toán học. Từ đó, một số định lý điểm bất động trong không gian
metric suy rộng đã được nhiều tác giả giới thiệu như: H. Aydi [2], V. Berinde [4],
D. Boyd, J. Wong [6], E. Karapınar [7-10], W. Shatanawi [14],…
Một chủ đề hấp dẫn khác của lý thuyết điểm bất động là khái niệm của ánh
xạ cyclic đã được giới thiệu bởi Krik [11] và các cộng sự vào năm 2003. Từ đó,
điểm bất động của các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co cyclic đã thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Năm 2005, Petrusel
đã chứng minh một số kết quả về điểm tuần hoàn của ánh xạ co cyclic. Kết quả
này là tổng quát hóa kết quả của Kirk. Năm 2010, Pacurar và Rus [13] đã chứng
minh một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trong không
gian metric. Năm 2011, Karapınar [7] đã đạt được kết quả về điểm bất động đối
với ánh xạ f - co yếu cyclic. Năm 2014, N. Bilgili, I. M. Erhan,

E. Karapınar và D. Turkoglu [5] đã đã đạt được kết quả về điểm bất động đối
với ánh xạ co cyclic trong không gian G - metric.
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài “ Định lí điểm bất động

đối với ánh xạ co cyclic trong không gian G-metric và ứng dụng ”.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài

nước quan tâm nghiên cứu.

1


Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3] và [14] gồm
37 trang, gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian G-metric và một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ Cyclic
co Banach và ánh xạ f - co yếu Cyclic mở rộng trong không gian G - metric.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về điểm
bất động đối với ánh xạ f - co cyclic và ánh xạ ( y , f ) - co cyclic và điểm bất
động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w - khoảng cách
trong không gian G - metric.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2


1.1.

Không gian G-metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một tập khác rỗng, hàm G : E 3 ® ¡ G + gọi là một
- metric trên E nếu với " a, b, c, r Î E các điều kiện sau thỏa (G 1) mãn:
G (a, b, c) = 0 nếu a = b = c ,

(G 2) 0 < G (a, a, b) với mọi a, b Î E với a ¹ b,
(G 3) G (a , a , b) £ G (a , b, c) với mọi a, b, c Î E với b ¹

c,

(G 4) G (a, b, c ) = G (a, c, b) = G (b, c, a) = ... ( đối xứng trong cả ba
biến), (G 5) G (a, b, c ) £ G (a, r , r ) + G (r , b, c) (bất đẳng thức hình chữ
nhật).

Khi đó cặp ( E , G ) gọi là một không gian G - metric.
Chú ý rằng mỗi G - metric trên E xác định một metric r G

trên E bởi

rG (a , b) = G (a , b, b) + G (b, a , a) với mọia, b Î E .

(1.1)

Ví dụ 1.1.2. Cho ( E , r ) là một không gian metric.
Hàm G : E 3 ® ¡ + xác định bởi
G (a, b, c ) = m ax{r (a, b), r (b, c ), r (c, a)} ,

(1.2)

với mọi a, b, c Î E , là một G - metric trênE .
Ví dụ 1.1.3. Cho E = [0, + ¥ ) . Hàm G : E 3 ® ¡ + , xác định bởi
G (a, b, c ) = | a - b | + | b - c | + | c -

a|,

(1.3)

với " a, b, c Î E , là một G - metric trên E .
Định nghĩa 1.1.4. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric. Dãy { a n } Ì E
gọi là G - hội tụ đến a Î E nếu
lim n , m ® + ¥ G (a, an , am ) = 0 ,

(1.4)


3


tức là, với e > 0 tùy ý, tồn tại N Î ¥

sao cho G (a , a n ,am ) < e với mọi

n , m ³ N . Ta gọi a là giới hạn của dãy và viết là a n ® a hay lim a n = a.
Mệnh đề 1.1.5. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric. Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(1) { an } là G - hội tụ đến a
(2) G (a n ,a n ,a) ® 0 khi n ® + ¥ ,
(3) G (a n , a , a) ® 0 khi n ® + ¥ ,
(4) G (a n ,a m ,a) ® 0 khi n , m ® + ¥ .
Định nghĩa 1.1.6. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric. Dãy {an } gọi là

dãy G - Cauchy nếu với e > 0 tùy ý, tồn tại N Î
"m,n, ³
l

N , tức là G (a n , a m , al ) ®

Mệnh đề 1.1.7. Cho (

,
X G

¥ : G (a n ,a m ,al ) < e với

khi m , n , ® + ¥ .

0

l

) là một không gian G - metric. Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:
(1) { an } là dãy G - Cauchy
(2) Với mọi e > 0, $ N Î ¥ sao cho G (a n , a m , am ) < e , với " m , n ³ N .
Định nghĩa 1.1.8. Không gian G - metric ( E , G ) gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
G - Cauchy đều hội tụ trong ( E , G ) .
Định nghĩa 1.1.9. Cho ( E , G ) là không gian G - metric. Ánh xạ T : E 3 ® E
gọi là liên tục nếu với ba dãy G - hội tụ bất kỳ {an } ,{bn } và {c n } lần lượt
hội tụ đến a, b, c , thì { T (a n , bn , cn )} là G - hội tụ đến T (a , b, c) .
Định nghĩa 1.1.10. Một G - metric G gọi là đối xứng nếu
G (a , a , b) = G (a , b, b) , " p, q Î E .

Mỗi G - metric G trên E sinh ra một tôpô t G trên E có cơ sở là họ các G hình cầu mở {BG (a, e),a Î E, e > 0}, trong đó
4

B G (a , e ) =

{b Î E , G (a , b, b) < e} với mọi a Î E và e >

0. Tập con A ¹ Æ trong ( E , G ) là G - đóng nếu A = A , trong đó
a Î A Û B G (a , e) Ç A ¹ 0 , với mọi e > 0.
Mệnh đề 1.1.11. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric và A là một tập
con khác rỗng của E . A là đóng nếu với bất kỳ dãy {an } hội tụ đến a , thì

aÎ A.
Năm 2012, Karapınar, Yıldız-Ulus và Erhan [5] đã đạt được một số kết
quả về điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co yếu cyclic
mở rộng trên không gian G - metric. Cụ thể như sau;
1.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co yếu cyclic
trên không gian G - metric
Định nghĩa 1.2.1. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian E .
Một ánh xạ T : A È B ® A È B gọi là cyclic nếu T (A ) Í

B và T (B ) Í A .

Định nghĩa 1.2.2. Cho Fi , i = 1, 2, ..., m là các tập khác rỗng, F = Uim= 1 Fi , và
ánh xạ f : F ® F . U m F gọi là biểu diễn cyclic của F đối với f
nếu
i =1

i

f (F1 ) Ì F2 ,…, f (Fm - 1) Ì Fm , f (Fm ) Ì F1 .

Định lý 1.2.3. [10] Cho
{F }m

( E , G ) là không gian G - metric đầy đủ

Ì E , F j đóng, F ¹ Æ. Đặt F = Èm
j

j j=1

và

F . Cho S : F ® F thỏa mãn
j=1

j

S (Fj ) Í Fj + 1 , j = 1,..., m , Fm + 1 = F1 .
Nếu $ l Î (0,1) :
G (Sa, Sb, Sc ) £ l G (a , b, c)

xảy ra với " a Î Fj và b,c Î Fj + 1 , j = 1,..., m thì S có một điểm bất động duy
nhất trong Çm F .
j=1

j

5

Hệ quả 1.2.4. [10] Cho ( E , G ) là một không gian G metric đầy đủ và
j
m
m
Ì E,F ¹
Æ, F đóng với mọi j . Đặt F = È
F . Cho S : F ® F
{F }
j j=1

j

j=1

j

thỏa mãn
S (Fj ) Í Fj + 1 , j = 1, ..., m, Fm + 1 = F1 .
Nếu $ l Î (0,1) :
G (Sa, Sb, Sb) £ l G (a , b, b)

xảy ra với " a Î Fj , " b Î

Fj + 1 , j = 1,..., m thì S có một điểm bất động duy

nhất trong Çm F .
j=1

j

Định nghĩa 1.2.5. [10] Một ánh xạ S : E ® E trên không gian metric ( E , d)
được gọi là f - co yếu nếu tồn tại một hàm tăng ngặt f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ )
f (0) = 0 sao cho

với

d (Sa, Sb) £ d (a , b) - f (d (a , b)) , với mọi a, b Î E .

Xét tập F các hàm liên tục f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ )

với f (0) = 0 và f (t ) > 0

với t > 0. Ta có định lý điểm bất động sau.
Định lý 1.2.6. [10] Cho ( E , G ) là không gian G - metric đầy đủ và
{F }m

Ì

j j=1

E,F ¹ Æ,F j đóng với mọi j và F = Èm
j

F . Giả sử S : F ® F
j=1

j

thỏa mãn
S (Fj ) Í Fj + 1 , j = 1,..., m , Fm + 1 = F1 .

Giả sử tồn tại hàm f Î F sao cho

G (Sa, Sb, Sc ) £ M (a, b, c ) - f (M (a, b, c)) ,
với mọi a Î Fj và b,c Î Fj + 1, j = 1,..., m , trong đó
M (a,b,c) = max {G(a,b,c),G(a, Sa, Sa),G(b, Sb, Sb),G(c, Sc,Sc)}.
Khi đó S có một điểm bất động duy nhất thuộc Çmj= 1Fj .
1.3. w - khoảng cách trên không gian G - metric
Năm 2010, R. Saadati đã giới thiệu khái niệm w - khoảng cách như sau:
6


Định nghĩa 1.3.1. Cho

là không gian G - metric.

( , )
E G

Hàm

w : E 3 ® [0, ¥ )

gọi là w - khoảng cách trên E nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) w(a, b, c ) £ w(a, r , r ) + w(r , b, c) với mọi a, b, c, r Î E .
ii) với " a, b Î E các hàm w(a, b, .), w(a, ., b) : E ® E

là nửa liên tục dưới.

iii) với mỗi e > 0, $ d > 0: w(a, r , r ) £ d và w(r , b, c) £ d Þ G (a, b, c) £ e .

Định nghĩa 1.3.2. Cho ( E , G ) là không gian G - metric và w là w - khoảng
cách trên E . Khi đó ta nói rằng E là w - bị chặn nếu tồn tại M ³ 0 sao cho w (a
, b, c ) £ M với mọi a, b, c Î E .

Bổ đề 1.3.3. Cho E là không gian metric được trang bị metric G và w là w khoảng cách trên E . Cho { x n }, { yn } là các dãy trong E . { a n }, { bn } là các
dãy trong [0, ¥ ) hội tụ đến 0 và a, b, c, r Î E . Khi đó:
i) Nếu w(b,an ,an ) £ a n và w(an ,b,c) £ bn

với mọi n Î ¥ thì G (b, b, c) < e và

do đó b = c ;
ii) Nếu w(bn ,an ,an ) £ a n và w(an ,bm ,c) £ bn với m > n Î ¥ bất kì thì

G (bn , bm , c) ® 0 và do đó bn ® c ;

iii) Nếu w(an ,am ,al ) £ a n với mọi n , m , l Î ¥ , n £ m £ l thì {an }

là dãy

G - Cauchy;
iv ) Nếu w (a n , r , r ) £ a n với n Î ¥ bất kì thì {an } là dãy G - Cauchy.

CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ
CO CYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN G-METRIC

7


Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số kết quả liên quan đến

hai loại ánh xạ co cyclic trên không gian G - metric. Phần cuối cùng của
chương là kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn
điều kiện w - khoảng cách.
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trên không gian G - metric

Ký hiệu F là tập hợp các hàm f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn:
(f 1 ) f là không giảm;
(f 2 ) $k 0 Î ¥ ,a Î (0,1) và chuỗi hội tụ å k¥= 1 vk , vk ³ 0 sao cho
f k + 1(t ) £ a f k (t ) + v ,
k

với k ³

k0 và t > 0 bất kì . Theo [4], f Î

(i) (f n (t ))

F được gọi là hàm (c ) - so sánh.

® 0 , khi n ® ¥ , với " t > 0 ,

nΥ

(ii) f (t ) < t

với t > 0 bất kỳ,

(iii) f liên tục tại 0,
¥

(iv) chuỗi å

f k (t ) hội tụ với t > 0 bất kỳ.

k=0

Bổ đề 2.1.2. [4] Nếu f Î F , thì hàm s : (0, ¥ ) ® (0, ¥ ) xác định bởi
¥

s (t ) =

å f k (t ), t > 0,

k=0

là không giảm và liên tục tại 0.
Xét dãy lặp {an } xác định bởi an + 1 = San với mọi n ³ 0 .
Ta có kết quả chính của phần này như sau:
Định lý 2.1.3. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric đầy đủ. Cho {F }m
i i=1

m

là một họ khác rỗng các tập con đóng của E , F = È

i=1

ánh xạ sao cho

8

F . Cho S : F ® F là
i


S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m, với Fm + 1 = Fi .
Giả sử $ f Î F sao cho
G (Sa, Sb, Sc ) £ f (G (a, b, c))

(2.1)

với mọi (a, b, c ) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1 , (với i = 1,..., m ).
Khi đó
(I)

S có một điểm bất động duy nhất u Î Çmi= 1Fi ,

(II)

các đánh giá sau xảy ra :

G (a , u, u ) £ s (f n (G (a , a , a ))), n ³ 1,
n

0

1

1

G (an , u, u ) £ s (G (an , an + 1, an + 1)), n ³

1,

(III) với a Î F tùy ý
G (a, u , u ) £ s (G (a, Sa , Sa)) ,
¥

trong đó, s được cho bởi s (t ) =

åf

k

(t ), t > 0 .

k=0

Chứng minh. Lấy a 0 Î F = Èm F . Không mất tính tổng quát, giả sử a
i=1

0

ÎF .

i

i

Lấy dãy lặp {an } xác định bởi an + 1 = San

và bắt đầu từ a0 .

Nếu ak = ak + 1 với k nguyên nào đó, thì {an } là dãy hằng với mọi n ³

k

, nên {an } là dãy Cauchy trong ( E , G ) .
Giả sử an ¹ an + 1 với mọi n ³ 0 . Với " n ³
an Î Fi và a n + 1 Î Fi
n

+1

0 , $in Î {1, 2, ..., m } sao cho

. Do (2.1), ta có

n

G (an + 1, an + 2, an + 2 ) = G (San , San + 1, San + 1 ) £ f (G (an , a n + 1, an + 1)) .
Hàm f

không giảm, nên bằng quy nạp, ta có
G(a ,a
n

,
a

n+1

) £ f n (G(a ,a , a ))

n+1

01

Theo (G5) và (2.2), với p ³ 1

9

1

với mọi n ³ 0 .

(2.2)


G (an ,an + p ,an + p )
£ G ( x n , x n + 1, x n + 1 )
n

£ f (G ( x 0 , x 1, x 1 ))

(2.3)
+ G (a n + 1, a n + 2 , a n + 2 ) + ... + G (a n + p - 1, a n + p , an + p )
n +1
n + p- 1
0

+ f (G (a , a , )) + ... + f
G (a , a , a ) .
a

(

11

Đặt
Sn =

ån f

k

0

11

)

0.

(G (a 0 , a 1, a 1 )), n ³

k=0

Do đó

G (a , a

n

,a
n+p

)£S
n+p

.

-S
n+p-1

(2.4)

n-1

Vì f Î F và G (a 0 ,a 1,a1) > 0 , nên theo Bổ đề 2.1.1, (iv), ta có
¥

å f k (G (a 0 , a 1, a1)) < ¥ ,
k=0

điều này kéo theo $ S > 0 sao cho lim S n = S . Do đó, từ (4), ta có
n®¥

lim G (a n ,a n + p ,an + p ) = 0.
n®¥

Suy ra {an } là dãy Cauchy trong ( E , G ) . Vì ( E , G ) là đầy đủ, nên $ u Î E :

lim
x

n

= u . Ta sẽ chứng minh

0
u Î Çm F . Thật vậy, vì x Î F , nên ta có

i=1

n®¥

i

1

{anp }n ³ 0 Î F1 . Vì F1 đóng và lim a n = u , nên theo Bổ đề 1.1.10, u Î

F1 .

n®¥

Tương tự {a np + 1 }n ³ 0

Ì F2. Vì F2 là đóng, nên từ lim a n

= u ta có u Î F2 . Tiếp

n®¥

m

tục quá trình này, ta thu được u Î Ç

F.

i=1 i

Bây giờ, với n ³ 0 , $
i

n

Î {1, ...m } : a n Î F . Từ u Î Çm F ta có u Î F
i

i=1

n

i

+1

i

n

nên áp dụng (2.1) đối với a = an và b = c = u , ta nhận được
G (a

, Su , Su ) = G
(Sa

n+1

n

, Su , Su ) £ f G
(a

Vì f liên tục tại 0 và lim G (a n , u , u) = 0 , nên

(

n®¥

lim G (a , Su , Su) £ f (0) .
n®¥

n+1

10

, u , u) .
n

)

(2.5)

,


Nhưng, vì f (t ) < t với mọi t > 0 và f

liên tục tại 0, nên f (0) = 0 . Từ bất

đẳng thức trên suy ra an + 1 ® Su khi n ® ¥ . Do tính duy nhất của giới hạn suy
ra Su = u . Vậyu là điểm bất động của S .
Tiếp theo, giả sử v là điểm bất động khác của S , tức là Sv = v . Ta có
v Î Çmi= 1Fi . Giả sử u ¹ v , nên G (u , v, v) > 0 . Khi đó
0 < G (u , v, v ) = G (Su , Sv, Sv ) £ f (G (u , v, v )) < G (u , v, v) ,
mâu thuẫn này suy ra v = u . Vậy u là điểm bất động duy nhất của S . (I) được
chứng minh.
Chứng minh (II): từ (2.3), ta có
n + p- 1

G (a n , a n + p , a n + p ) £
k=n

å

f k (G (a 0 , a 1, a1)) .

Cho p ® ¥ ta nhận được ước lượng (II).
Với n ³ 0 và k ³

G

1, ta có

(a n + k , a n + k + 1, a n + k + 1 ) = G (Sa n + k - 1, Sa n + k , San + k ),

£ f (G (a n + k - 1, a n + k ,an + k ))

và với k ³ 2 , ta có

G (a

, a , a ) = G (Sa , Sa , Sa )

n+k-1n+kn+kn+k-2n+k-1n+k-1

.

Do tính đơn điệu của f , hai bất đẳng thức trên kéo theo
G (a n + k ,a

,
a

n+k+1

) £ f 2(G (a

n+k-2

n+k+1

,a
n+k-1

,
a

n+k-1

)), n ³

0, k ³ 2 .

Bằng quy nạp, ta được
G (a n + k ,a

,
a

n+k+1

n
) £ f k (G (a ,a

n+k+1

,
a

n+1

)), n ³

0, k ³ 0 .

(2.6)

n+1

Nhưng, theo (G5)
G (an , an + p , a n + p ) £ G (a n , a n + 1, a n + 1 ) + ... + G (a n + p - 1, a n + p , an + p ) .

Do đó, từ (2.6), ta có

11


n+p

G a,
a

n+
p

(n

,
a

)

n + p- 1

£

å

f

(

G a ,
a

(n

k=0

,
a

)

n+1

)

.

n+1

ta được

Cho p ® ¥

¥

G
(a

k

n

, u , u ) £ å f k G (a n ,
a
(

k=0

,
a

n+1

n+1

)

) = s (G
(a

n

,
a

n+1

,
a

n+1

)) .

(2.7)

Vậy (II) được chứng minh.
Bây giờ, lấy a Î F . Từ (2.7), với a 0 = an , ta có

(

)

¥

G a,u,u £

å

f k (G (a , Sa , Sa )) = s (G (a , Sa , Sa)) ,

k=0

Vậy ta có (III).
Khái niệm về tính ổn định của điểm bất động đã được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu. Chẳng hạn, Karapinar [8] đã nghiên cứu bài toán ổn định đối
với ánh xạ f co yếu cyclic trên không gian metric đầy đủ.
Ký hiệu F (T ) là tập hợp tất cả các điểm bất động của tự ánh xạ T trên một
tập E ¹ Æ. Ta có:
Định nghĩa 2.1.4. Cho E là một tập khác rỗng. Bài toán điểm bất động của
ánh xạ đã cho T : E ® E được gọi là ổn định nếu F (T ) chỉ có một phần tử
và với dãy { an } bất kỳ trong E , với a Î F (T ) và lim G (a ,T a ,T a ) = 0 kéo
n®¥

n

n

n

theo a = lim a .
n®¥

n

Định lý 2.1.5. Cho T : F ® F được xác định như trong Định lý 2.1.3. Khi đó,

bài toán điểm bất động đối với S là ổn định, nghĩa là nếu {an } Î F , n Î ¥ với
a Î F (T ) và lim G(a , Sa , Sa ) = 0 thì a = lim a .
n®¥

Chứng minh. Lấy

n

n

n®¥

n

{an}Î F,nÎ

n

¥ sao cho lim G (a , Sa , Sa ) = 0 . Áp dụng n
n nn®¥

(III) trong Định lý 2.1.3 với a = an , ta có
G (an ,a,a) £ s(G (an , San , San )) ,

12


Theo Bổ đề 2.1.2, s liên tục tại 0. Cho n ® ¥

trong bất đẳng thức trên, ta có

lim G (a , a , a) = 0,

n®¥

n

nên a = lim a . Do đó bài toán điểm bất động đối với S là ổn định.
n®¥

n

Định lý 2.1.6. Cho S : F ® F là ánh xạ được xác định như trong Định lý 2.1.3
và T : F ® F là ánh xạ sao cho

a ) T có ít nhất một điểm bất động, gọi là z T Î F (T ) ,
b) Tồn tại v > 0 sao cho
G (T a , Sa , Sa ) £ v , với mọi a Î F .

Khi đó G ( z T , z S , z S ) £ s (v) , F (S ) = zS .
Chứng minh. Giả sử z T ¹ zF . Nếu không thì phép chứng minh được hoàn
thành. Ta áp dụng (III) trong Định lý 2.1.3 đối với a = aT ta có
G ( z T , z S , z S ) £ s (G ( z T , Sz T , Sz T )) = s (G ( fz T , Sz T , SzT )) .
Theo Bổ đề 2.1.2, hàm s không giảm. nên theo giả thiết (b) với a = zT , ta có
G (zT , zS , zS ) £ s(v) .
2.2.

W

Điểm bất động đối với ánh xạ ( y , f ) - co cyclic trên không gian G metric

Ký hiệu Y là tập hợp các hàm y : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn
( y 1 ) y là hàm liên tục;
(y 2 ) y là hàm không giảm;
( 3 ) y (t ) = 0 khi và chỉ khi t = 0.
y
Ký hiệu L là tập hợp các hàm f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn:
(f 1 ) f là nửa liên tục dưới;
( f 2 ) f (t ) = 0 khi và chỉ khi t = 0.

13


Định lý 2.2.1. [2] Cho E là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E . Giả
sử tồn tại y , f Î Y sao cho
y (G (Sa, Sb, Sc )) £ y (G (a, b, c )) - f (G (a, b, c)),
với mọi a, b, c Î

E . Khi dó S có một điểm bất động duy nhất.

Mục đích của phần này là mở rộng Định lý 2.2.1 đến một lớp các ánh xạ
( y , f ) - co cyclic. Chú ý rằng ở đây tính chất đơn điệu của hàm y bị bỏ qua và

tính chất liên tục của hàm f được thay thế bởi tính nửa liên tục dưới.
Kết quả chính của phần này là:
Định lý 2.2.2. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric đầy đủ. {F }m

Ì E

i i=1

m

F . S : F ® F là ánh xạ sao cho

, F ¹ Æ, F đóng với " i , F = È
i

i=1

i

i

S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi
Giả sử tồn tại y Î Y và f Î

i = 1,..., m, với Fm + 1 = Fi .

L sao cho

y G(Sa, Sb, Sc) £ y G(a,b,c) - f G(a,b,c)

(

với mọi (a, b, c ) Î Fi ´ F

)

i+1

(

) (

´ Fi + 1 , với i = 1,..., m .

Khi đó S có một điểm bất động duy nhất thuộc Çm

i=1

)

(2.8)

F.
i

Chứng minh. Lấy a 0 Î F1 . Xét dãy lặp Picard { an } , an + 1 = San với mọi n ³

0

.
Nếu với số nguyên k , ak = ak + 1 , do đó { an } là dãy hằng với n ³

k bất

kỳ, thì { an } là dãy Cauchy trong ( E , G ) .
Giả sử an ¹

với " n ³ 0 . Với n ³

a

0 bất kỳ, $ i n Î {1, ..., m } sao cho

n+1

an Î Fi và a n + 1 Î Fi + 1 . Do (2.8), ta có
n

n

y (G (an + 1, an + 2, an + 2 )) = y (G (San , San + 1, San + 1))
£ y (G (an , an + 1, an + 1 )) - f (G (an , an + 1, an + 1))

14

(2.9)


y (G (an , an + 1, an + 1)) .

£
Hàm y không giảm, nên

G (an + 1, an + 2 , an + 2 ) £ G (an , an + 1, an + 1), với " n ³ 0 .

Vì vậy, dãy {G (an , an + 1, an + 1)} không tăng, nên hội tụ đến một số thực r ³
0 . Cho n ® ¥ trong (2.9), sử dụng tính liên tục của y và tính nửa liên tục dưới

của f , ta được
y (r ) £ y (r ) - f (r ) .
Từ đó f (r ) = 0 . Do ( f 2 ) , ta có r = 0

lim G (a n ,a n + 1,an + 1) =

0.

(2.10)

n®¥

Vì G (b, a, a ) £ 2G (a, b, b) với " a, b Î E , nên theo (2.10) ta có
lim G (a n + 1,a n ,an ) =

0

(2.11)

n®¥

Bây giờ, giả sử { an } không là dãy Cauchy. Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.7,
$ e > 0 và các dãy con {ap ( k )} , {an ( k ) } của { an } với n (k ) > p(k ) > k sao cho
(2.12)
G (a ,a ,a ) ³ e.
n(k)

p(k)

p(k)

Hơn nữa tương ứng với p(k ) , có thể chọn n (k ) sao cho nó là số nguyên nhỏ
nhất với n (k ) > p(k ) > k và thỏa mãn (2.12). Khi đó

G (a

,a ) < e

,a
n(k)-1

p(k)

(2.13)

p(k)

Sử dụng (2.13) và điều kiện (G5), ta có

e £ G (a

n(k)

,a

p(k)

< e + G (a

,a

p(k)

) £ G (a

,a
n(k)

n(k)

,a
n(k)-1

,a

n(k)-1

,a

n(k)-1

) + G (a

n(k)-1

)

,a

p(k)

,a

p(k)

)

(2.14)

n(k)-1

Cho k ® ¥ trong (2.14) và sử dụng (2.11), ta được
lim G (a n ( k ) ,a p ( k ) ,ap ( k ) ) = e .
k®¥

Mặt khác, với mọi k , tồn tại j (k ), 0 £ j (k ) £ m , sao cho

15

(2.15)


n (k ) -

p(k ) + j (k ) = 1(m ) .

Khi đó ap ( k ) - j ( k ) (với k đủ lớn, p(k ) > j - k ) và an ( k ) nằm trong các tập hợp
khác nhau được đánh dấu Fi và Fi + 1 với i = 1,..., m . Từ (2.8), ta có
y (G (a n ( k ) + 1, a p ( k ) - j ( k ) + 1, a p ( k ) - j ( k ) + 1 ))= y (G (Sa n ( k ) , Sa p ( k ) - j ( k ) , Sap ( k ) - j ( k ) )).
£

y

(G (a n ( k ) , a

p ( k )- j

, a

(k )

p ( k )- j ( k )

)

)- f (G (a n ( k ) , a p ( k ) - j ( k ) , ap ( k ) - j ( k ) )).

Sử dụng (G5), ta có

G (a

,a
n(k)

,a

£ 2G (a
2G (a

,a

p(k)-j(k)

,a

G (a

p(k)- j(k)

p(k)- j(k)

£

)-

p(k)- j(k)

,a
p(k)- j(k)

p(k)-j(k)+1

,a

, a

n ( k )

p ( k )

, a

p ( k )

)

)
p(k)

p(k)-j(k)+1

) + 2G (a

p(k)-j(k)+1

,a

,a

2

p(k)-j(k)+2

p(k)-j(k)+

a

+ ... + 2G (a p ( k ) - 1,
=2

å

j(k)-1

G (a

,a
p(k)- j(k)+l

£2

G (a
p ( k
khi k ® ¥

,a

)

p(k)

p ( k ) - j ( k )+ l

,a
)- j ( k )+ l

p(k)-1

)

p(k)-j(k)+l+1

j(k)-1

å

,a

)

,a
p ( k )- j ( k )+ l +1

(từ (2.11))

)®0
p ( k ) - j ( k )+ l

l=0

Từ đó và từ (2.15) suy ra
lim G (a , a
n(k)

k®¥

,a

(2.16)

)=e.

p(k)-j(k) p(k)-j(k)

Ta cũng có

G (a

,a
n(k)

G (a

n(k)+1

,a

G (a

p ( k ) - j (k )+ 1

,a
n(k)+1

G (a

p ( k )- j (k )

n(k)

,a

,a

,a

)£
p(k)- j(k)

p(k)- j(k)+1

p ( k ) - j (k )+ 1

,a

p ( k ) - j (k )

G (a

) + G (a

,a

n ( k )

)£
) + G (a

n ( k )+1

p ( k ) - j (k )+ 1

p(k)- j(k)+1

p(k)- j(k)

, a

p ( k )- j (k )

G (a

,a

,a

, a

n ( k )+1

,a

p(k)- j(k)

n ( k )+1

, a

p(k)-j(k)

n ( k )

,a

p(k)-j(k)+1

) +

, a

n ( k )

),

) +

).

p(k)-j(k)+1

Cho k ® ¥ trong hai bất đẳng thức trên và áp dụng (2.10), (2.11) và (2.16), ta
được
16


lim G (a

,a
n(k)+1

,a
p(k)- j(k)+1

(2.17)

) =e.
p(k)- j(k)+1

k®¥

Bây giờ, sử dụng (2.16) và (2.17), ta nhận được
y ( e) £ y ( e) - f ( e) ,
suy ra e = 0 là mâu thuẫn. Vậy { an } là dãy Cauchy trong ( E , G ) .
Vì ( E , G ) là đầy đủ, nên tồn tại u Î E sao cho
lim a n = u .
n®¥

Ta sẽ chỉ ra

m

F . Thật vậy, vì a

uÎ Ç

0

Î F , nên {a }

i=1 i

np n ³ 0

1

Î F . Vì F là
1

1

đóng nên từ lim a n = u suy ra u Î F1 . Tương tự, {a np }n ³ 0 Î F2. Vì F2 là đóng
n®¥
n

nên từ lim a = u suy ra u Î F . Tiếp tục quá trình này, ta được u Î Çm
i=1

2

n®¥

0 bất kỳ, tồn tại i n

Nhớ lại rằng với n ³

F.
i

Î {1, ..., m } sao cho a n Î Fi . Vì
n

+1

m

u Î Ç F , nên u Î F
i=1

i

. Áp dụng (2.8) với a = a

n

và b = c = u , ta được

i
n

y (G (an + 1, Su, Su )) = y (G (San , Su, Su )) £ y (G (a n , u, u )) - f (G (a n , u, u)) .
Cho n ® ¥

trong bất đẳng thức ở trên, ta có

y (G (u , Su , Su)) £ y (0) - f (0) = 0 ,
suy ra y (G (u , Su , Su) = 0 , nên G (u , Su , Su) = 0 . Từ đó suy ra Su = u . Vậy
u là điểm bất động của S .
Bây giờ giả sử v là điểm bất động khác của S , tức là Sv = v . Ta có v Î

Çmi= 1Fi . Lấy a = u và b = c = v trong (2.8), ta được

y (G (u , v, v )) = y (G (Su , Sv, Sv )) £ y (G (u , v, v )) - f (G (u , v, v)) ,
suy ra f (G (u , v, v)) = 0 , hay u = v .

W

Hệ quả 2.2.3. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric đầy đủ. {Fi }im= 1 là một

họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èmi= 1Fi . Giả sử S : F ® F là một

17


ánh xạ sao cho S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi . Giả sử tồn
tại k Î (0, 1) sao cho
G (Sa, Sb, Sc ) £ kG (a , b, c) ,

với mọi (a, b, c ) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1, i = 1,..., m . Khi đó S có điểm bất động
duy nhất thuộc Çmi= 1Fi .
Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả đối với ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện

co kiểu tích phân.
Ký hiệu G là tập hợp các hàm số a : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn các giả thiết
sau:
( G1 ) a là ánh xạ khả tích Lebesgue trên mỗi tập con compact của [0, ¥ ) ,
e

( G2 ) với e > 0 bất kỳ, ta có

a (s )ds > 0 .

ò0

Khi đó, ta có
Định lý 2.2.4. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric đầy đủ. {F }m là một
họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èm

i i=1

i=1

i

F . Giả sử S : F ® F là một

ánh xạ sao cho
S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi .
Giả sử $ a , b Î G sao cho
G ( Sa , Sb, Sc )

ò

G ( a ,b,c )

a (s)ds £

0

với mọi (a, b, c ) Î Fi ´

ò

a (s)ds 0

G ( a ,b, c )

ò

b(s)ds ,

0

F ´ Fi + 1, i = 1,..., m . Khi đó S có một điểm bất động
i+1

duy nhất thuộc Çm

F.

i=1 i

Hệ quả 2.2.5. Cho ( E , G ) là một không gian G - metric đầy đủ. Cho {Fi }im= 1

là họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èmi= 1Fi . Giả sử S : F ® F là
một ánh xạ sao cho

18


S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi .
Giả sử $ a Î G và k Î (0, 1) sao cho

G ( Sa , Sb, Sc )

ò

G ( a ,b,c )

a (s)ds £ k

ò

0

a (s)ds ,
0

với " (a, b, c ) Î F ´ Fi + 1 ´ Fi + 1, i = 1,..., m . Khi đó S có một điểm bất động duy
i

nhất thuộc Ç

m

F.

i=1 i

Chứng minh. Kết quả suy ra bởi lấy b (t ) = (1 - k )a (t ) trong Hệ quả
2.2.4. Ví dụ 2.2.6. Cho E = [0, ¥ ) trang bị G - metric được cho bởi

G (a, b, c ) = max { | a - b |,| b -c |,| c - a | } với " a, b, c Î E .

( E , G ) là G - đầy đủ. Xét F1 = {0,1}, F2 = {1, 4} và F = F1 È F2 . Hiển nhiên
F1 và F2 là các tập con đóng của ( E , G ) . Lấy S : F ® F xác định bởi
S0= 1,S1= 1,S4= 0.

Ta có S ( F ) Í F

và S ( F ) Í F . Lấy y (t ) = t và f (t ) =

2 t . Ta sẽ chứng

3
minh (2.8) xảy ra với mọi (a , b, c ) Î F1 ´ F2 ´ F2 và (a , b, c ) Î F1 ´
1

2

2

1

F1´ F1.

Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Nếu a = 0 và b = c = 1, ta có G (Sa, Sb, Sc) = 0 .
Trường hợp 2. Nếu (a = 0 và b = 1, c = 4 ), (a = 0 và b = 4, c = 1) hoặc (a =
1 và b = c = 4 ), thì ta có
G (Sa , Sb, Sc ) = 1 £ 43 =

1

3G (a , b, c) .

Trường hợp 3. Nếu a = b = c = 1, ta có G (Sa , Sb, Sc) = 0 .
Trường hợp 4. Nếu (a = 1 và b = 1, c = 4 ), (a = 1 và b = 4, c = 1) hoặc (a =
1 và b = c = 4 ), thì

19