Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co cyclic trong không gian g metric và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------------

ĐÀO QUỲNH ANH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN
G −METRIC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

i


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------------

ĐÀO QUỲNH ANH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN
G −METRIC VÀ ỨNG DỤNG
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Đào Quỳnh Anh

ii


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả
Đào Quỳnh Anh

iii


MỤC LỤC
TRANG BÌA PHỤ

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

LỜI CẢM ƠN

iii

MỤC LỤC

iv

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1. Không gian G - metric

3

1.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co
yếu cyclic trên không gian G - metric
1.3. w - khoảng cách trên không gian G - metric

5
7

Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO CYCLIC
TRÊN KHÔNG GIAN G - METRIC

8

2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trên không gian

G - metric

8

2.2. Điểm bất động đối với ánh xạ ( y , f ) - co cyclic trên không gian

G - metric

13

2.3. Ứng dụng đối với sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho một lớp
phương trình tích phân phi tuyến

22

2.4. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều
kiện w - khoảng cách

24

KẾT LUẬN

35

TÀI LIỆU THAM KHẢO

36

iv


MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò rất quan trọng và hữu ích trong toán

học. Nó được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lí thuyết bất đẳng thức
biến phân, lí thuyết tối ưu hóa và lý thuyết xấp xỉ... Khả năng ứng dụng rộng
rãi của lý thuyết điểm bất động trong các lĩnh vực khác nhau dẫn đến một số
suy rộng của không gian metric. Trong số đó, có thể đề cập đến không gian
quasimetric, không gian metric riêng, không gian D-metric và không gian Gmetric. Một trong số những suy rộng thú vị nhất là không gian G-metric được
giới thiệu bởi Mustafa and Sims [12] vào năm 2006, đã thu hút được sự chú ý
của các nhà toán học. Từ đó, một số định lý điểm bất động trong không gian
metric suy rộng đã được nhiều tác giả giới thiệu như: H. Aydi [2], V. Berinde
[4], D. Boyd, J. Wong [6], E. Karapınar [7-10], W. Shatanawi [14],…
Một chủ đề hấp dẫn khác của lý thuyết điểm bất động là khái niệm của
ánh xạ cyclic đã được giới thiệu bởi Krik [11] và các cộng sự vào năm 2003.
Từ đó, điểm bất động của các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co cyclic đã thu
hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Năm 2005,
Petrusel đã chứng minh một số kết quả về điểm tuần hoàn của ánh xạ co cyclic.
Kết quả này là tổng quát hóa kết quả của Kirk. Năm 2010, Pacurar và Rus [13]
đã chứng minh một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic
trong không gian metric. Năm 2011, Karapınar [7] đã đạt được kết quả về điểm
bất động đối với ánh xạ f - co yếu cyclic. Năm 2014, N. Bilgili, I. M. Erhan,
E. Karapınar và D. Turkoglu [5] đã đã đạt được kết quả về điểm bất động đối
với ánh xạ co cyclic trong không gian G - metric.
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài “ Định lí điểm bất động
đối với ánh xạ co cyclic trong không gian G-metric và ứng dụng ”.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước quan tâm nghiên cứu.

1


Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3] và [14] gồm 37
trang, gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài

liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian G-metric và một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ Cyclic co
Banach và ánh xạ f - co yếu Cyclic mở rộng trong không gian G - metric.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic và ánh xạ ( y , f ) - co cyclic và
điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w - khoảng
cách trong không gian G - metric.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2


1.1.

Không gian G-metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một tập khác rỗng, hàm G : E 3 ® ¡

+

gọi là một

G - metric trên E nếu với " a, b, c, r Î E các điều kiện sau thỏa mãn:
(G 1) G (a, b, c) = 0 nếu a = b = c ,
(G 2) 0 < G (a, a, b) với mọi a, b Î E với a ¹ b ,

(G 3) G (a, a, b) £ G (a, b, c) với mọi a, b, c Î E với b ¹ c ,
(G 4) G (a, b, c) = G (a, c, b) = G (b, c, a ) = ... ( đối xứng trong cả ba biến),
(G 5) G (a, b, c) £ G (a, r , r ) + G (r , b, c) (bất đẳng thức hình chữ nhật).

Khi đó cặp (E ,G ) gọi là một không gian G - metric.
Chú ý rằng mỗi G - metric trên E xác định một metric r G trên E bởi
r G (a, b) = G (a, b, b) + G (b, a, a ) với mọia, b Î E .

(1.1)

Ví dụ 1.1.2. Cho (E , r ) là một không gian metric.
Hàm G : E 3 ® ¡

+

xác định bởi
G (a, b, c) = m ax{r (a, b), r (b, c), r (c, a )} ,

(1.2)

với mọi a, b, c Î E , là một G - metric trên E .
Ví dụ 1.1.3. Cho E = [0, + ¥ ) . Hàm G : E 3 ® ¡ + , xác định bởi
G (a, b, c) = | a - b | + | b - c | + | c - a | ,

(1.3)

với " a, b, c Î E , là một G - metric trên E .
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric. Dãy {an } Ì E
gọi là G - hội tụ đến a Î E nếu
limn ,m ® + ¥ G (a, an , am ) = 0 ,

3

(1.4)


tức là, với e > 0 tùy ý, tồn tại N Î ¥ sao cho G (a, an , a m ) < e với mọi

n , m ³ N . Ta gọi a là giới hạn của dãy và viết là a n ® a hay lim an = a.
Mệnh đề 1.1.5. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric. Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(1) {an } là G - hội tụ đến a
(2) G (an , an , a ) ® 0 khi n ® + ¥ ,
(3) G (a n , a, a ) ® 0 khi n ® + ¥ ,
(4) G (an , am , a ) ® 0 khi n, m ® + ¥ .
Định nghĩa 1.1.6. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric. Dãy {an } gọi là
dãy G - Cauchy nếu với e > 0 tùy ý, tồn tại N Î ¥ : G (an , am , al ) < e với

" m , n , l ³ N , tức là G (an , am , al ) ® 0 khi m , n , l ® + ¥ .
Mệnh đề 1.1.7. Cho (X ,G ) là một không gian G - metric. Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(1) {an } là dãy G - Cauchy
(2) Với mọi e > 0 , $N Î ¥ sao cho G (an , am , am ) < e , với " m , n ³ N .
Định nghĩa 1.1.8. Không gian G - metric (E ,G ) gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

G - Cauchy đều hội tụ trong (E ,G ) .
Định nghĩa 1.1.9. Cho (E ,G ) là không gian G - metric. Ánh xạ T : E 3 ® E
gọi là liên tục nếu với ba dãy G - hội tụ bất kỳ {a n } , {bn } và {cn } lần lượt hội
tụ đến a, b, c , thì {T (a n , bn , cn )} là G - hội tụ đến T (a, b, c ) .
Định nghĩa 1.1.10. Một G - metric G gọi là đối xứng nếu

G (a, a, b) = G (a, b, b) , " p, q Î E .

Mỗi G - metric G trên E sinh ra một tôpô t G trên E có cơ sở là họ các G hình cầu mở

{B

G

(a, e), a Î E , e > 0}, trong đó
4


{

}

BG (a, e) = b Î E , G (a, b, b) < e với mọi a Î E và e > 0 .

Tập con A ¹ Æ trong (E ,G ) là G - đóng nếu A = A , trong đó
a Î A Û BG (a, e) Ç A ¹ 0 , với mọi e > 0 .

Mệnh đề 1.1.11. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric và A là một tập
con khác rỗng của E . A là đóng nếu với bất kỳ dãy {a n } hội tụ đến a , thì

a Î A.
Năm 2012, Karapınar, Yıldız-Ulus và Erhan [5] đã đạt được một số kết
quả về điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co yếu cyclic
mở rộng trên không gian G - metric. Cụ thể như sau;
1.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co yếu cyclic
trên không gian G - metric

Định nghĩa 1.2.1. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian E .
Một ánh xạ T : A È B ® A È B gọi là cyclic nếu T (A ) Í B và T (B ) Í A .
Định nghĩa 1.2.2. Cho Fi , i = 1, 2,..., m là các tập khác rỗng, F =
ánh xạ f : F ® F .

m

U

i= 1

m

U

i= 1

Fi , và

Fi gọi là biểu diễn cyclic của F đối với f

nếu

f (F1 ) Ì F2 ,…, f (Fm - 1 ) Ì Fm , f (Fm ) Ì F1 .

Định lý 1.2.3. [10] Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và

{Fj }mj = 1 Ì E , F j đóng, Fj ¹ Æ. Đặt F = Èmj= 1Fj . Cho S : F ® F thỏa mãn
S (Fj ) Í Fj + 1 , j = 1,..., m , Fm + 1 = F1 .

Nếu $ l Î (0,1) :
G (Sa, Sb, Sc) £ l G (a, b, c)

xảy ra với " a Î Fj và b, c Î Fj + 1 , j = 1,..., m thì S có một điểm bất động duy
nhất trong Çmj= 1Fj .

5


Hệ quả 1.2.4. [10] Cho (E ,G ) là một không gian G - metric đầy đủ và

{Fj }mj = 1 Ì E , Fj ¹ Æ, F j đóng với mọi j . Đặt F = Èmj= 1Fj . Cho S : F ® F
thỏa mãn
S (Fj ) Í Fj + 1 , j = 1,..., m , Fm + 1 = F1 .

Nếu $ l Î (0,1) :
G (Sa, Sb, Sb) £ l G (a, b, b)

xảy ra với " a Î Fj , " b Î Fj + 1 , j = 1,..., m thì S có một điểm bất động duy
nhất trong Çmj= 1Fj .
Định nghĩa 1.2.5. [10] Một ánh xạ S : E ® E trên không gian metric (E , d )
được gọi là f - co yếu nếu tồn tại một hàm tăng ngặt f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) với
f (0) = 0 sao cho
d (Sa, Sb) £ d (a, b) - f (d (a, b)) , với mọi a, b Î E .

Xét tập F các hàm liên tục f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) với f (0) = 0 và f (t ) > 0
với t > 0 . Ta có định lý điểm bất động sau.
Định lý 1.2.6. [10] Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và

{Fj }mj = 1 Ì E , Fj ¹ Æ, F j đóng với mọi j và F = Èmj= 1Fj . Giả sử S : F ® F

thỏa mãn
S (Fj ) Í Fj + 1 , j = 1,..., m , Fm + 1 = F1 .

Giả sử tồn tại hàm f Î F sao cho

G (Sa, Sb, Sc) £ M (a, b, c) - f (M (a, b, c)) ,
với mọi a Î Fj và b, c Î Fj + 1, j = 1,..., m , trong đó

M (a, b, c) = m ax {G (a, b, c),G (a, Sa, Sa ),G (b, Sb, Sb),G (c, Sc, Sc )}.
Khi đó S có một điểm bất động duy nhất thuộc Çmj= 1Fj .
1.3. w - khoảng cách trên không gian G - metric
Năm 2010, R. Saadati đã giới thiệu khái niệm w - khoảng cách như sau:
6


Định nghĩa 1.3.1. Cho (E ,G )

là không gian G - metric. Hàm

w : E 3 ® [0, ¥ )

gọi là w - khoảng cách trên E nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i ) w(a, b, c) £ w(a, r , r ) + w(r , b, c) với mọi a, b, c, r Î E .
ii ) với " a, b Î E các hàm w(a, b,.), w(a,., b) : E ® E là nửa liên tục dưới.
iii ) với mỗi e > 0, $ d > 0 : w(a, r , r ) £ d và w(r , b, c) £ d Þ G (a, b, c) £ e .

Định nghĩa 1.3.2. Cho (E ,G ) là không gian G - metric và w là w - khoảng
cách trên E . Khi đó ta nói rằng E là w - bị chặn nếu tồn tại M ³ 0 sao cho
w(a, b, c) £ M với mọi a, b, c Î E .

Bổ đề 1.3.3. Cho E là không gian metric được trang bị metric G và w là w khoảng cách trên E . Cho {x n }, {y n } là các dãy trong E . {a n }, {b n } là các
dãy trong [0, ¥ ) hội tụ đến 0 và a, b, c, r Î E . Khi đó:
i ) Nếu w(b, an , an ) £ a n và w(an , b, c ) £ b n với mọi n Î ¥ thì G (b, b, c) < e và

do đó b = c ;
ii ) Nếu w(bn , an , an ) £ a n và w(an , bm , c ) £ b n với m > n Î ¥ bất kì thì

G (bn , bm , c ) ® 0 và do đó bn ® c ;

iii ) Nếu w(an , am , al ) £ a n với mọi n , m , l Î ¥ , n £ m £ l thì {a n } là dãy
G - Cauchy;

iv ) Nếu w(an , r , r ) £ a n với n Î ¥ bất kì thì {a n } là dãy G - Cauchy.

CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ
CO CYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN G-METRIC

7


Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số kết quả liên quan đến
hai loại ánh xạ co cyclic trên không gian G - metric. Phần cuối cùng của
chương là kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn
điều kiện w - khoảng cách.
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trên không gian G - metric
Ký hiệu F là tập hợp các hàm f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn:
(f 1 ) f là không giảm;
(f 2 ) $ k 0 Î ¥ , a Î (0,1) và chuỗi hội tụ
f

å

¥

v , vk ³ 0 sao cho

k= 1 k

(t ) £ af k (t ) + vk ,

k+1

với k ³ k 0 và t > 0 bất kì . Theo [4], f Î F được gọi là hàm (c) - so sánh.
Bổ đề 2.1.1. [4] Cho f Î F . Khi đó:
(i) (f n (t ))n Î ¥ ® 0 , khi n ® ¥ , với " t > 0 ,
(ii) f (t ) < t với t > 0 bất kỳ,
(iii) f liên tục tại 0,
¥

(iv) chuỗi

å

f k (t ) hội tụ với t > 0 bất kỳ.

k= 0

Bổ đề 2.1.2. [4] Nếu f Î F , thì hàm s : (0, ¥ ) ® (0, ¥ ) xác định bởi
¥

s (t ) =

å

f k (t ), t > 0,

k= 0

là không giảm và liên tục tại 0.
Xét dãy lặp {a n } xác định bởi an + 1 = San với mọi n ³ 0 .
Ta có kết quả chính của phần này như sau:
Định lý 2.1.3. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric đầy đủ. Cho {Fi }im= 1
là một họ khác rỗng các tập con đóng của E , F = Èmi= 1Fi . Cho S : F ® F là
ánh xạ sao cho

8


S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi .
Giả sử $ f Î F sao cho
G (Sa, Sb, Sc) £ f (G (a, b, c))

với mọi (a, b, c) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1 , (với i = 1,..., m ).

(2.1)

Khi đó
(I)

S có một điểm bất động duy nhất u Î Çmi= 1Fi ,

(II)

các đánh giá sau xảy ra :

G (an , u, u ) £ s(f n (G (a0, a1, a1))), n ³ 1,
G (an , u, u ) £ s(G (an , an + 1, an + 1)), n ³ 1,
(III) với a Î F tùy ý
G (a, u, u ) £ s(G (a, Sa, Sa )) ,
¥

trong đó, s được cho bởi s (t ) =

å

f k (t ), t > 0 .

k= 0

Chứng minh. Lấy a0 Î F = Èmi= 1Fi . Không mất tính tổng quát, giả sử a 0 Î Fi .
Lấy dãy lặp {a n } xác định bởi an + 1 = San và bắt đầu từ a 0 .
Nếu ak = ak + 1 với k nguyên nào đó, thì {a n } là dãy hằng với mọi n ³ k
, nên {a n } là dãy Cauchy trong (E ,G ) .
Giả sử an ¹ an + 1 với mọi n ³ 0 . Với " n ³ 0 , $ in Î {1, 2,..., m } sao cho

an Î Fi và an + 1 Î Fi
n

n

+1

. Do (2.1), ta có

G (an + 1, an + 2, an + 2 ) = G (San , San + 1, San + 1) £ f (G (an , an + 1, an + 1)) .
Hàm f không giảm, nên bằng quy nạp, ta có
G (an , an + 1, an + 1) £ f n (G (a0, a1, a1)) với mọi n ³ 0 .

Theo (G5) và (2.2), với p ³ 1

9

(2.2)


G (an , an + p , an + p )
£ G (x n , x n + 1, x n + 1 ) + G (an + 1, an + 2, an + 2 ) + ... + G (an + p - 1, an + p , an + p )
£ f n (G (x 0, x 1, x 1 )) + f n + 1(G (a 0, a1, a1)) + ... + f n + p - 1 (G (a 0, a1, a1)).

(2.3)

Đặt
n

å

Sn =

f k (G (a 0, a1, a1 )), n ³ 0 .

k= 0

Do đó
G (an , an + p , an + p ) £ S n + p- 1 - S n - 1 .

(2.4)

Vì f Î F và G (a 0, a1, a1 ) > 0 , nên theo Bổ đề 2.1.1, (iv), ta có
¥

å

f k (G (a 0, a1, a1 )) < ¥ ,

k= 0

điều này kéo theo $S > 0 sao cho lim S n = S . Do đó, từ (4), ta có
n® ¥

lim G (an , an + p , an + p ) = 0 .

n® ¥

Suy ra {a n } là dãy Cauchy trong (E ,G ) . Vì (E ,G ) là đầy đủ, nên $u Î E :

lim x n = u . Ta sẽ chứng minh u Î Çmi= 1Fi . Thật vậy, vì x 0 Î F1 , nên ta có

n® ¥

{anp }n ³ 0 Î F1 . Vì F1 đóng và lim an = u , nên theo Bổ đề 1.1.10, u Î F1 .
n® ¥

Tương tự {anp + 1}n ³ 0 Ì F2 . Vì F2 là đóng, nên từ lim an = u ta có u Î F2 . Tiếp
n® ¥

tục quá trình này, ta thu được u Î Çmi= 1Fi .
Bây giờ, với n ³ 0 , $ in Î {1,...m } : an Î Fi . Từ u Î Çmi= 1Fi ta có u Î Fi
n

n

+1

nên áp dụng (2.1) đối với a = an và b = c = u , ta nhận được

G (an + 1, Su, Su ) = G (San , Su, Su ) £ f (G (an , u, u )).
Vì f liên tục tại 0 và lim G (an , u, u ) = 0 , nên
n® ¥

lim G (an + 1, Su, Su ) £ f (0) .

n® ¥

10

(2.5)

,

Nhưng, vì f (t ) < t với mọi t > 0 và f liên tục tại 0, nên f (0) = 0 . Từ bất
đẳng thức trên suy ra an + 1 ® Su khi n ® ¥ . Do tính duy nhất của giới hạn
suy ra Su = u . Vậy u là điểm bất động của S .
Tiếp theo, giả sử v là điểm bất động khác của S , tức là Sv = v . Ta có

v Î Çmi= 1Fi . Giả sử u ¹ v , nên G (u, v, v ) > 0 . Khi đó
0 < G (u, v, v ) = G (Su, Sv, Sv ) £ f (G (u, v, v )) < G (u, v, v ) ,

mâu thuẫn này suy ra v = u . Vậy u là điểm bất động duy nhất của S . (I) được
chứng minh.
Chứng minh (II): từ (2.3), ta có
n + p- 1

G (an , an + p , an + p ) £

å

f k (G (a 0, a1, a1)) .

k= n

Cho p ® ¥ ta nhận được ước lượng (II).
Với n ³ 0 và k ³ 1 , ta có
G (an + k , an + k + 1, an + k + 1 ) = G (San + k - 1, San + k , San + k )

(

)

£ f G (an + k - 1, an + k , an + k )

,

và với k ³ 2 , ta có
G (an + k - 1, an + k , an + k ) = G (San + k - 2, San + k - 1, San + k - 1)
.
£ f (G (an + k - 2, an + k - 1, an + k - 1 ))

Do tính đơn điệu của f , hai bất đẳng thức trên kéo theo

G (an + k , an + k + 1, an + k + 1) £ f 2(G (an + k - 2, an + k - 1, an + k - 1)), n ³ 0, k ³ 2 .
Bằng quy nạp, ta được

G (an + k , an + k + 1, an + k + 1) £ f k (G (an , an + 1, an + 1)), n ³ 0, k ³ 0 .
Nhưng, theo (G5)
G (an , an + p , an + p ) £ G (an , an + 1, an + 1) + ... + G (an + p- 1, an + p, an + p ) .

Do đó, từ (2.6), ta có

11

(2.6)


n + p- 1

å

G (an , an + p , an + p ) £

f

k

(G (a , a
n

)

, an + 1 ) .

n+1

k= 0

Cho p ® ¥ ta được
¥

G (an , u , u ) £

å

f

k

(G (a , a
n

, a n + 1 )) = s (G (a n , a n + 1, a n + 1)) .

n+1

(2.7)

k= 0

Vậy (II) được chứng minh.
Bây giờ, lấy a Î F . Từ (2.7), với a 0 = a n , ta có
¥

G (a, u , u ) £

å

f k (G (a, Sa, Sa )) = s (G (a, Sa, Sa )) ,

k= 0

Vậy ta có (III).
Khái niệm về tính ổn định của điểm bất động đã được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu. Chẳng hạn, Karapinar [8] đã nghiên cứu bài toán ổn định đối
với ánh xạ f co yếu cyclic trên không gian metric đầy đủ.
Ký hiệu F (T ) là tập hợp tất cả các điểm bất động của tự ánh xạ T trên
một tập E ¹ Æ. Ta có:
Định nghĩa 2.1.4. Cho E là một tập khác rỗng. Bài toán điểm bất động của
ánh xạ đã cho T : E ® E được gọi là ổn định nếu F (T ) chỉ có một phần tử
và với dãy {an } bất kỳ trong E , với a Î F (T ) và lim G (an ,T an ,T an ) = 0 kéo
n® ¥

theo a = lim an .
n® ¥

Định lý 2.1.5. Cho T : F ® F được xác định như trong Định lý 2.1.3. Khi đó,
bài toán điểm bất động đối với S là ổn định, nghĩa là nếu {an } Î F , n Î ¥ với
a Î F (T ) và lim G (an , San , San ) = 0 thì a = lim an .
n® ¥

n® ¥

Chứng minh. Lấy {an } Î F , n Î ¥ sao cho lim G (an , San , San ) = 0 . Áp dụng
n® ¥

(III) trong Định lý 2.1.3 với a = an , ta có
G (an , a, a ) £ s (G (a n , Sa n , Sa n )) ,

12


Theo Bổ đề 2.1.2, s liên tục tại 0. Cho n ® ¥ trong bất đẳng thức trên, ta có

lim G (an , a, a ) = 0 ,

n® ¥

nên a = lim an . Do đó bài toán điểm bất động đối với S là ổn định.
n® ¥

Định lý 2.1.6. Cho S : F ® F là ánh xạ được xác định như trong Định lý 2.1.3

và T : F ® F là ánh xạ sao cho

a ) T có ít nhất một điểm bất động, gọi là zT Î F (T ) ,
b) Tồn tại v > 0 sao cho
G (T a, Sa, Sa ) £ v , với mọi a Î F .

Khi đó G (zT , z S , z S ) £ s (v ) , F (S ) = z S .
Chứng minh. Giả sử zT ¹ z F . Nếu không thì phép chứng minh được hoàn
thành. Ta áp dụng (III) trong Định lý 2.1.3 đối với a = aT ta có
G (zT , z S , z S ) £ s (G (zT , SzT , SzT )) = s (G ( fzT , SzT , SzT )) .

Theo Bổ đề 2.1.2, hàm s không giảm. nên theo giả thiết (b) với a = zT , ta có
G (zT , z S , z S ) £ s (v ) .

2.2.

W

Điểm bất động đối với ánh xạ ( y , f ) - co cyclic trên không gian G metric

Ký hiệu Y là tập hợp các hàm y : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn
( y 1 ) y là hàm liên tục;

( y 2 ) y là hàm không giảm;
( y 3 ) y (t ) = 0 khi và chỉ khi t = 0 .

Ký hiệu L là tập hợp các hàm f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn:
(f 1 ) f là nửa liên tục dưới;
(f 2 ) f (t ) = 0 khi và chỉ khi t = 0 .

13


Định lý 2.2.1. [2] Cho E là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E . Giả
sử tồn tại y , f Î Y sao cho
y (G (Sa, Sb, Sc)) £ y (G (a, b, c)) - f (G (a, b, c)),

với mọi a, b, c Î E . Khi dó S có một điểm bất động duy nhất.
Mục đích của phần này là mở rộng Định lý 2.2.1 đến một lớp các ánh xạ
( y , f ) - co cyclic. Chú ý rằng ở đây tính chất đơn điệu của hàm y bị bỏ qua và

tính chất liên tục của hàm f được thay thế bởi tính nửa liên tục dưới.
Kết quả chính của phần này là:
Định lý 2.2.2. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric đầy đủ. {Fi }mi = 1 Ì E
, Fi ¹ Æ, Fi đóng với " i , F = Èmi= 1Fi . S : F ® F là ánh xạ sao cho

S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi .
Giả sử tồn tại y Î Y và f Î L sao cho

y (G (Sa, Sb, Sc)) £ y (G (a, b, c))- f (G (a, b, c))
với mọi (a, b, c) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1 , với i = 1,..., m .

(2.8)

Khi đó S có một điểm bất động duy nhất thuộc Çmi= 1Fi .
Chứng minh. Lấy a 0 Î F1 . Xét dãy lặp Picard {a n } , an + 1 = San với mọi n ³ 0
.
Nếu với số nguyên k , ak = ak + 1 , do đó {a n } là dãy hằng với n ³ k bất
kỳ, thì {a n } là dãy Cauchy trong (E ,G ) .
Giả sử an ¹ an + 1 với " n ³ 0 . Với n ³ 0 bất kỳ, $ in Î {1,..., m } sao cho

an Î Fi và an + 1 Î Fi
n

n

+1

. Do (2.8), ta có

y (G (an + 1, an + 2, an + 2 )) = y (G (San , San + 1, San + 1))
£ y (G (an , an + 1, an + 1)) - f (G(an , an + 1, an + 1))

14

(2.9)


£

y (G (an , an + 1, an + 1)) .

Hàm y không giảm, nên
G (an + 1, an + 2, an + 2 ) £ G (an , an + 1, an + 1) , với " n ³ 0 .

Vì vậy, dãy {G (an , an + 1, an + 1)} không tăng, nên hội tụ đến một số thực r ³ 0 .
Cho n ® ¥ trong (2.9), sử dụng tính liên tục của y và tính nửa liên tục dưới
của f , ta được
y (r ) £ y (r ) - f (r ) .

Từ đó f (r ) = 0 . Do (f 2 ) , ta có r = 0

lim G (an , an + 1, an + 1) = 0 .

n® ¥

(2.10)

Vì G (b, a, a ) £ 2G (a, b, b) với " a, b Î E , nên theo (2.10) ta có

lim G (an + 1, an , an ) = 0

n® ¥

(2.11)

Bây giờ, giả sử {an } không là dãy Cauchy. Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.7,

$e > 0 và các dãy con {a p(k ) } , {an (k ) } của {an } với n (k ) > p(k ) > k sao cho
G (an (k ), a p(k ), a p(k ) ) ³ e.

(2.12)

Hơn nữa tương ứng với p(k ) , có thể chọn n (k ) sao cho nó là số nguyên nhỏ
nhất với n (k ) > p(k ) > k và thỏa mãn (2.12). Khi đó
G (an (k )- 1, a p(k ), a p(k ) ) < e

(2.13)

Sử dụng (2.13) và điều kiện (G5), ta có

e £ G (an (k ), a p(k ), a p(k ) ) £ G (an (k ), an (k )- 1, an (k )- 1) + G (an (k )- 1, a p(k ), a p(k ) )

(2.14)

< e + G (an (k ), an (k )- 1, an (k )- 1)

Cho k ® ¥ trong (2.14) và sử dụng (2.11), ta được

lim G (an (k ), a p(k ), a p(k ) ) = e .

k® ¥

Mặt khác, với mọi k , tồn tại j (k ), 0 £ j (k ) £ m , sao cho

15

(2.15)


n (k ) - p(k ) + j (k ) = 1(m ) .

Khi đó a p(k )- j (k ) (với k đủ lớn, p(k ) > j - k ) và an (k ) nằm trong các tập hợp
khác nhau được đánh dấu Fi và Fi + 1 với i = 1,..., m . Từ (2.8), ta có

(

)

(

)

y G (an (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1 ) = y G (San (k ), Sa p(k )- j (k ), Sa p(k )- j (k ) ) .

(

) (

)

£ y G (an (k ), a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ) ) - f G (an (k ), a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ) ) .
Sử dụng (G5), ta có

G (an (k ), a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ) ) - G (an (k ), a p(k ), a p(k ) )
£ 2G (a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ), a p(k ) )
£ 2G (a p(k )- j (k ), ap(k )- j (k )+ 1, ap(k )- j (k )+ 1) + 2G (ap(k )- j (k )+ 1, ap(k )- j (k )+ 2, ap(k )- j (k ) + 2 )

+ ... + 2G (a p(k )- 1, a p(k )- 1, a p(k ) )
j ( k )- 1

= 2 å G (a p(k )- j (k )+ l , a p(k )- j (k )+ l + 1, a p(k )- j (k )+ l )
l= 0

j ( k )- 1

£ 2 å G (a p(k )- j (k )+ l , a p(k )- j (k )+ l + 1, a p(k )- j (k )+ l ) ® 0 khi k ® ¥ (từ (2.11))
l= 0

Từ đó và từ (2.15) suy ra

lim G (an (k ), a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ) ) = e .

k® ¥

(2.16)

Ta cũng có

G (an (k ), a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ) ) £ G (an (k ), an (k )+ 1, an (k ) + 1 ) +
G (an (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1 ) + G (a p(k )- j (k )+ 1, a p(k )- j (k ), a p(k )- j ( k ) ) ,
G (an (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1 ) £ G (an (k )+ 1, an (k ), an (k ) ) +
G (an (k ), a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k ) ) + G (a p(k )- j (k ), a p(k )- j (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1 ) .
Cho k ® ¥ trong hai bất đẳng thức trên và áp dụng (2.10), (2.11) và (2.16),
ta được
16


lim G (an (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1, a p(k )- j (k )+ 1 ) = e .

k® ¥

(2.17)

Bây giờ, sử dụng (2.16) và (2.17), ta nhận được
y ( e) £ y ( e) - f ( e) ,

suy ra e = 0 là mâu thuẫn. Vậy {an } là dãy Cauchy trong (E ,G ) .
Vì (E ,G ) là đầy đủ, nên tồn tại u Î E sao cho

lim an = u .

n® ¥

Ta sẽ chỉ ra u Î Çmi= 1Fi . Thật vậy, vì a 0 Î F1 , nên {anp }n ³ 0 Î F1 . Vì F1 là
đóng nên từ lim an = u suy ra u Î F1 . Tương tự, {anp }n ³ 0 Î F2 . Vì F2 là đóng
n® ¥

nên từ lim an = u suy ra u Î F2 . Tiếp tục quá trình này, ta được u Î Çmi= 1Fi .
n® ¥

Nhớ lại rằng với n ³ 0 bất kỳ, tồn tại in Î {1,..., m } sao cho an Î Fi . Vì
n

u Î Çmi= 1Fi , nên u Î Fi

n

+1

. Áp dụng (2.8) với a = an và b = c = u , ta được

y (G (an + 1, Su, Su )) = y (G (San , Su, Su )) £ y (G (an , u, u )) - f (G (an , u, u )) .
Cho n ® ¥ trong bất đẳng thức ở trên, ta có

y (G (u, Su, Su )) £ y (0) - f (0) = 0 ,
suy ra y (G (u, Su, Su ) = 0 , nên G (u, Su, Su ) = 0 . Từ đó suy ra Su = u . Vậy
u là điểm bất động của S .

Bây giờ giả sử v là điểm bất động khác của S , tức là Sv = v . Ta có

v Î Çmi= 1Fi . Lấy a = u và b = c = v trong (2.8), ta được
y (G (u, v, v )) = y (G (Su, Sv, Sv )) £ y (G (u, v, v )) - f (G (u, v, v )) ,
suy ra f (G (u, v, v )) = 0 , hay u = v .

W

Hệ quả 2.2.3. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric đầy đủ. {Fi }im= 1 là một
họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èmi= 1Fi . Giả sử S : F ® F là một

17


ánh xạ sao cho S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi . Giả sử tồn
tại k Î (0,1) sao cho
G (Sa, Sb, Sc) £ kG (a, b, c) ,

với mọi (a, b, c) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1, i = 1,..., m . Khi đó S có điểm bất động duy
nhất thuộc Çmi= 1Fi .
Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả đối với ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện
co kiểu tích phân.
Ký hiệu G là tập hợp các hàm số a : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) thỏa mãn các giả thiết
sau:
( G1 ) a là ánh xạ khả tích Lebesgue trên mỗi tập con compact của [0, ¥ ) ,
( G2 ) với e > 0 bất kỳ, ta có

ò

e

a (s )ds > 0 .

0

Khi đó, ta có
Định lý 2.2.4. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric đầy đủ. {Fi }im= 1 là một
họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èmi= 1Fi . Giả sử S : F ® F là một
ánh xạ sao cho

S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi .
Giả sử $a , b Î G sao cho
G ( Sa ,Sb,Sc )

ò
0

G (a ,b,c )

a (s )ds £

ò

G (a ,b,c )

a (s )ds -

0

ò

b (s )ds ,

0

với mọi (a, b, c) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1, i = 1,..., m . Khi đó S có một điểm bất động
duy nhất thuộc Çmi= 1Fi .
Hệ quả 2.2.5. Cho (E ,G ) là một không gian G - metric đầy đủ. Cho {Fi }im= 1
là họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èmi= 1Fi . Giả sử S : F ® F là
một ánh xạ sao cho

18


S (Fi ) Í Fi + 1 với mọi i = 1,..., m , với Fm + 1 = Fi .
Giả sử $a Î G và k Î (0,1) sao cho
G ( Sa ,Sb,Sc )

ò

G (a ,b,c )

a (s )ds £ k

0

ò

a (s )ds ,

0

với " (a, b, c) Î Fi ´ Fi + 1 ´ Fi + 1, i = 1,..., m . Khi đó S có một điểm bất động duy
nhất thuộc Çmi= 1Fi .
Chứng minh. Kết quả suy ra bởi lấy b (t ) = (1 - k )a (t ) trong Hệ quả 2.2.4.
Ví dụ 2.2.6. Cho E = [0, ¥ ) trang bị G - metric được cho bởi

G (a, b, c) = max { | a - b |,| b - c |,| c - a | } với " a, b, c Î E .
(E ,G ) là G - đầy đủ. Xét F1 = {0,1}, F2 = {1, 4} và F = F1 È F2 . Hiển nhiên
F1 và F2 là các tập con đóng của (E ,G ) . Lấy S : F ® F xác định bởi
S 0 = 1, S 1 = 1, S 4 = 0 .

Ta có S (F1 ) Í F2 và S (F2 ) Í F1 . Lấy y (t ) = t và f (t ) =

2
t . Ta sẽ chứng
3

minh (2.8) xảy ra với mọi (a, b, c ) Î F1 ´ F2 ´ F2 và (a, b, c ) Î F1 ´ F1 ´ F1 .
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Nếu a = 0 và b = c = 1 , ta có G (Sa, Sb, Sc ) = 0 .
Trường hợp 2. Nếu (a = 0 và b = 1, c = 4 ), ( a = 0 và b = 4, c = 1 ) hoặc
( a = 1 và b = c = 4 ), thì ta có
G (Sa, Sb, Sc ) = 1 £

4
1
= G (a, b, c ) .
3
3

Trường hợp 3. Nếu a = b = c = 1 , ta có G (Sa, Sb, Sc ) = 0 .

Trường hợp 4. Nếu (a = 1 và b = 1, c = 4 ), ( a = 1 và b = 4, c = 1 ) hoặc
( a = 1 và b = c = 4 ), thì

19


G (Sa, Sb, Sc ) = 1 =

1
G (a, b, c ) .
3

Trường hợp 5. Nếu (a = 1 và b = 0, c = 1 ), ( a = 1 và b = 1, c = 0 ),
( a = b = c = 1 ) hoặc (a = 1 , b = c = 0 ), thì
G (Sa, Sb, Sc ) = 0 .

Trường hợp 6. Nếu (a = 4 và b = 0, c = 1 ), ( a = 4 và b = 1, c = 0 ) hoặc
( a = 4 và b = c = 0 ), thì
G (Sa, Sb, Sc ) = 1 £

4
1
= G (a, b, c ) .
3
3

Trường hợp 7: Nếu a = 4 và b = c = 1 . Trong trường hợp này, ta có
G (Sa, Sb, Sc ) = 1 =

1

G (a, b, c ) .
3

Do đó, (2.8) xảy ra. Tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn, và

u = 1 là điểm bất dộng duy nhất của S . Ở đây u = 1 Î F1 Ç F2 .
Ví dụ 2.2.7. Cho E = ¡ và G (a, b, c) = | a - b | + | b - c | + | c - a | với mọi
a, b, c Î E . (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ.

Lấy F1 = [ - 1, 0], F2 = [0,1] và F = F1 È F2 = [ - 1,1] . Xét ánh xạ

S : F ® F xác định bởi Sa = -

a
. Chú ý rằng S (F1 ) Í F2 và S (F2 ) Í F1 .
2

F1 và F2 là các tập con đóng của (E ,G ) . Lấy y (t ) = t và f (t ) =

Ta sẽ chỉ ra (2.8) thỏa mãn với " (a, b, c ) Î F1 ´ F2 ´ F2 .
Ta có

G (Sa, Sb, Sc ) =

a b
b c
c a
+ + 2 2
2 2
2 2

và

y (G (Sa, Sb, Sc)) £ y (G (a, b, c)) - f (G (a, b, c)) .

20

t
.
2