CHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾT

Đại số lớp 11 |
CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I

LÝ THUYẾT.

1. Phép thử và biến cố.
a) Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của
nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
b) Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian
mẫu của phép thử đó và ký hiệu là  .
c) Biến cố: là một tập con của không gian mẫu.
+) Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
+) Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.
d) Phép toán trên các biến cố.
* Biến cố đối: Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A .

* Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:
+) Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B .
+) Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B .
+) Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc.
e) Bảng đọc ngôn ngữ biến cố.
Kí hiệu

Ngôn ngữ biến cố

A

A là biến cố

A

A là biến cố không

A

A là biến cố chắc chắn

C  A B

C là biến cố “ A hoặc B ”

C  A B

C là biến cố “ A và B ”

A B  

A và B xung khắc

BA

A và B đối nhau

2. Xác suất của biến cố.
1|


a) Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu  chỉ có một
n  A
số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

là xác suất của biến cố A , kí hiệu
n 
là P  A . Ta có: P  A 

n  A
.
n  

b) Tính chất của xác suất.
* Định lí:
+) P     0 , P    1.
+) 0  P  A  1 , với mọi biến cố A .
+) Nếu A và B xung khắc, thì P  A  B   P  A  P  B  (công thức cộng xác suất).

 

* Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: P A  1  P  A .
c) Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P  A.B   P  A .P  B  (công thức nhân xác suất).

II
=

CÁC DẠNG BÀI TẬP.

I. DẠNG 1: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LIỆT KÊ
1.

Phương pháp

Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu: n   (Thường tìm từ chỗ có từ “Chọn ngẫu nhiên..”
Bước 2: Tìm số phần tử biến cố A : n  A (Thường tìm từ chỗ có từ “Tính xác suất để, sao cho .)
Bước 3:Tính xác suất biến cố A theo công thức : P  A  

n  A

n 

.

 

Lưu ý: 0  P  A  1 và P  A  P A  1 với A là biến cố đối của biến cố A .
2.

Các ví dụ.

Ví dụ 1
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố
sấp xuất hiện hai lần”.

: “Mặt

Lời giải

Ta có không gian mẫu   SS , SN , NS , NN  n    4 .
Biến cố A  SS  n  A  1.

|2

Đại số lớp 11 |
Vậy xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 1
 .
n  4

Ví dụ 2
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố
mặt có số chấm chia hết cho 3”.

: “Xuất hiện

Lời giải

Ta có không gian mẫu   1,2,3,4,5,6  n    6 .
Biến cố A  3,6  n  A  2 .
Vậy xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 2 1
  .
n   6 3

Ví dụ 3
Xét phép thử là gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Gọi
xuất hiện mặt chấm”. Tính xác suất của biến cố .

là biến cố “lần đầu

Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: n()  6.6  36 .
Ta có: N   5;1 , 5;2  , 5;3 , 5;4  , 5;5 , 5;6 
Suy ra số phần tử của biến cố N là n  N   6 .
Khi đó P  N  

nN  6 1

 .
n    36 6

Ví dụ 4
Gieo 3 đồng xu cùng một lúc. Gọi
Tính xác suất của biến cố .

là biến cố “có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Lời giải
Mỗi đồng xu có hai khả năng: ngửa hoặc sấp. Do đó số phần tử của không gian mẫu khi gieo ba
3
đồng xu là n    2  8 .

Ta có biến cố đối của A là A : “Không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa”  “Cả ba đồng xu đều
xuất hiện mặt sấp”.

 

 

Khi đó A   S ; S ; S   n A  1  P  A  1  P A  1 

   1 1  7 .

n A

n 

8

8

3|


Ví dụ 5
Bạn Quân gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố
xuất hiện ít nhất một lần”.

: “Mặt sấp

Lời giải
Ta có không gian mẫu   SS , SN , NS , NN có 4 phần tử. Suy ra n    4 .
Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: SS , SN , NS . Suy ra n  A  3 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 3
 .
n  4

Ví dụ 6
Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc đó
bằng nhau là:
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n    63  216 .
Biến cố A  1;1;1 ,  2;2;2 , 3;3;3 ,  4;4;4  , 5;5;5 , 6;6;6   n  A  6 .
Xác suất của biến cố A là P  A 

n  A
6
1


.
n    216 36

Ví dụ 7
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để hiệu số chấm xuất hiện trên hai con súc
sắc đó bằng 2 là:
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n    6  36 .

Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú

2

Biến cố A  1;3 , 3;1 ,  2;4 ,  4;2 , 3;5 , 5;3 ,  4;6  , 6;4   n  A  8 .
Xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 8 2


 .
n    36 9

Ví dụ 8
Gieo ngẫu nhiên
con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm
xuất hiện trên con xúc sắc bằng ”.
Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: n    6.6  36 .
Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán:

|4


Đại số lớp 11 |
A  1;2 ,  2;1 , 3;2 ,  2;3 , 3;4 ,  4;3 ,  4;5 , 5;4 , 5;6  , 6;5
nên n  A  10 . Vậy P  A  

10 5
 .
36 18

Ví dụ 9
Bạn Quân gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố
“Tổng số chấm ở hai lần gieo là một số chia hết cho 5”.

:

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân
Ta có số phần tử của không gian mẫu là n    6.6  36 .
Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: 1;4 ,  2;3 , 3;2 ,  4;1 ,  4;6  , 5;5 , 6;4 
Suy ra n  A  7 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 7
.

n    36

Ví dụ 10
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 3 lần. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo
đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba là:
Lời giải
Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú
Số phần tử của không gian mẫu là n    63  216 .
Ta cần chọn một bộ hai số chấm ở hai lần gieo đầu tiên sao cho tổng của chúng thuộc đoạn  2;6 .
Khi đó chỉ có một cách chọn cho số chấm ở lần gieo thứ ba.
Những bộ thỏa mãn điều kiện vừa nêu là:
1;1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;5 ,  2;1 ,  2;2 ,  2;3 ,  2;4 , 3;1 , 3, 2 , 3,3 ,  4,1 ,  4, 2 , 5,1
Số phần tử của biến cố A là n  A  15 .
Xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 15
5


.

n    216 72

Ví dụ 11
Gọi

là phép thử “Gieo hai con súc sắc”. Gọi

hiện của hai con súc sắc bằng 8”. Hãy tính

là biến cố “Tổng số chấm trên các mặt xuất
.

Lời giải
5|


Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang
Ta có không gian mẫu    i, i  /1  i, j  6  n    36 .



Biến cố


A   2;6 ,  6;2 , 3;5 , 5;3 ,  4;4  n  A  5 .

Vậy xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 5
.


n    36

Ví dụ 12
Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc
cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại. Xác suất để số lần gieo là 6:
Lời giải
Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú
Ở bài toán này, ta phải hiểu mỗi phần tử trong không gian mẫu không phải đại diện cho một kết quả
gieo đồng xu, mà đại diện cho một chuỗi hành động gieo đồng xu liên tiếp.
Không gian mẫu   N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSSN , SSSSSS  n    7 .
Biến cố A  SSSSSN , SSSSSS  n  A  2 .
Xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 2
 .
n  7

Ví dụ 13
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt
phương trình
có nghiệm là?

chấm. Xác suất để

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai.

Theo đề bài b là số chấm của con súc sắc nên b1,2,3,4,5,6 .
Không gian mẫu:   1, 2,3, 4,5,6 , suy ra: n    6 .

Gọi A là biến cố gieo súc sắc để phương trình trên có nghiệm.

2
Để phương trình x  2bx  4  0 có nghiệm thì   b2  4  0  b  2  b  2 .

Kết hợp b1,2,3,4,5,6 suy ra b2,3, 4,5,6 . Suy ra: A  2,3,4,5,6 hay n  A  5 .
Vậy xác suất của biến cố A là: p  A  

5
.
6

|6


Đại số lớp 11 |
Ví dụ 14
Công ty Strong chọn ngẫu nhiên một tỉnh ở miền Trung Việt Nam (xem hình ảnh bên dưới) để tổ
chức sự kiện ra mắt sản phẩm Toán VDC. Xác xuất để công ty chọn được một tỉnh giáp biển để
tổ chức sự kiện là bao nhiêu?

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân
Từ giả thiết suy ra n    17 .
Các tỉnh giáp biển gồm có: Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị, Thừa Thiên Huế, Đà Nẵng,
Quảng Nam, Quảng Ngãi, Bình Định, Phú Yên, Khánh Hòa, Ninh Thuận và Bình Thuận. Suy ra
n  A  13 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 13

 .
n    17

Ví dụ 15
Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa
được lấy ghi số chẵn.

thẻ được đánh số từ

đến

. Tính xác suất để thẻ

Lời giải
Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu
Không gian mẫu   1, 2,3,..., 20  n    20 .
Biến cố A  2, 4, 6,..., 20  n  A  10 .
Vậy xác suất của biến cố A là P  A  

n  A

n 



10
20



1
2

.

7|


Ví dụ 16
Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa
được lấy ghi số chia hết cho .

thẻ được đánh số từ

đến

. Tính xác suất để thẻ

Lời giải
Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu
Không gian mẫu   1, 2,3,..., 20  n    20 .
Biến cố A  3, 6,9,12,15,18  n  A  6 .
Vậy xác suất của biến cố A là P  A 

n  A

n 



6
20



3
10

.

Ví dụ 17
Một hộp chứa
thẻ được đánh số từ đến
thẻ lấy được ghi số chia hết cho và .

.Lấy ngẫu nhiên

thẻ từ hộp đó. Tính xác suất

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai.
Không gian mẫu:   1, 2,3,...,19, 20 suy ra n    20 .
Gọi A là biến cố lấy được một tấm thẻ ghi số chia hết cho 2 và 3 .
Suy ra: A  6,12,18,24,30 hay n  A  5 .
Do đó xác suất: P  A 

5 1
 .
20 4

Ví dụ 18
Gieo 3 con súc sắc cân đối và đồng chất , kết quả là một bộ thứ tự
số chấm xuất hiện trên mỗi con súc xắc. Tính xác suất để

với

lần lượt là

.

Lời giải
Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Do con súc sắc chỉ có 6 mặt và để ý rằng 3.6  18 là giá trị tối đa của tổng x  y  z. Và 18 không
lớn hơn 16 là bao nhiêu nên ta sẽ sử dụng phương pháp tính phần bù.
Số các bộ thứ tự  x; y; z  với x; y; z là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 6 là

n    63  216.
Xét các bộ thứ tự  x; y; z  có tổng x  y  z  16 . Ta có:
16  5  5  6  5  6  5  6  5  5  6  6  4  6  4  6  4  6  6.
17  5  6  6  6  5  6  6  6  5
18  6  6  6

|8


Đại số lớp 11 |
Như vậy có tổng cộng 10 bộ  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 .
Số bộ  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 là 216  10  206.
Xác suất cần tính là P 

206 103

.
216 108

Ví dụ 19
Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số nốt xuất hiện của
ba con là 9.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang
Mỗi kết quả của phép thử là một bộ ba  a, b, c  , trong đó a, b, c là các số nguyên từ 1 đến 6. Vậy





không gian mẫu là    a, b, c  / a, b, c  ,1  a  6,1  b  6,1  c  6 .
Vì có 6 cách chọn a và có 6 cách chọn b và có 6 cách chọn c nên n    6.6.6  216 .
Các bộ ba  a, b, c  có tổng bằng 9 là :

1, 2,6 và 5 hoán vị của nó
1,3,5 và 5 hoán vị của nó
1, 4, 4 và 2 hoán vị của nó

 2,2,5 và 2 hoán vị của nó
 2,3,4 và 5 hoán vị của nó và 3,3,3 .
Suy ra số kết quả thuận lợi là : 6  6  3  3  6  1  25 . Vậy xác suất cần tính là

25
.

216

Ví dụ 20
Bạn Quân gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần. Tính xác suất của biến cố
chấm ở lần gieo thứ nhất không nhỏ hơn tích số chấm ở lần gieo thứ hai và thứ ba”.

: “Số

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân
Ta có số phần tử của không gian mẫu là n    6.6.6  216 .
Các trường hợp thuận lợi của biến cố A là:

1;1;1 ;
 2;1;1 ,  2;1;2 ,  2;2;1 ;
9|


3;1;1 , 3;1;2 , 3;1;3 , 3;2;1 , 3;3;1 ;
 4;1;1 ,  4;1;2 ,  4;1;3 ,  4;1;4 ,  4;2;1 ,  4;2;2 ,  4;3;1 ,  4;4;1 ;
5;1;1 , 5;1;2 , 5;1;3 , 5;1;4 , 5;1;5 , 5;2;1 ,  5;2;2 , 5;3;1 , 5;4;1 , 5;5;1 ;
 6;1;1 ,  6;1;2 ,  6;1;3 ,  6;1;4 ,  6;1;5 ,  6;1;6 ,  6;2;1 ,  6;2;2 ,  6;2;3 ,  6;3;1 ,
 6;3;2 ,  6;4;1 ,  6;5;1 ,  6;6;1 .
Suy ra n  A  1  3  5  8  10  14  41.
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A
41
.


n    216

Ví dụ 21
Kết quả

của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó

là số chấm

xuất hiện ở lần gieo đầu, là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình
bậc hai
. Tính xác suất để phương trình vô nghiệm.
Lời giải
Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu
Không gian mẫu    b, c  : 1  b, c  6  n     36 .
Biến cố A 

b, c    | b

2



 4c  0

 1,1 , 1, 2  ,..., 1, 6  ,  2, 2  ,...,  2, 6  , 3, 3 , 3, 4  , 3, 5  ,  3, 6 ,  4, 5 ,  4, 6  .

suy ra n  A  6  5  4  2  17 .
Vậy xác suất của biến cố A là P  A  

n  A

n 



6
20



17
36

.

Ví dụ 22
Kết quả

của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó

là số chấm

xuất hiện ở lần gieo đầu, là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình
bậc hai
. Tính xác suất để phương trình có nghiệm kép.
Lời giải
Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu
Không gian mẫu    b, c  : 1  b, c  6  n     36 .
Biến cố A 

b, c    | b

2



 4c  0   2,1 ,  4, 4  .

| 10


Đại số lớp 11 |
Suy ra n  A  2 .
Vậy xác suất của biến cố A là P  A  

n  A

n 



2
1
.

36 18

Ví dụ 23
Năm đoạn thẳng có độ dài

. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong
năm đoạn thẳng trên. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra có thể tạo thành 1 tam giác.

Lời giải
Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
a  b  c

Ba đoạn thẳng với chiều dài a, b, c có thể là 3 cạch của một tam giác khi và chỉ khi  a  c  b .
b  c  a

3
Số phần tử của không gian mẫu là: n  A  C5  10 .

Gọi A là biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác là 3;5;7 , 3;5;9 , 5;7;9 .
Số phần tử của biến cố A là n  A  3 .
Suy ra xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 3
 .
n    10

Ví dụ 24
Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số và chia hết cho . Chọn ngẫu nhiên một số
từ tập . Tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: Conganhmai.
Số chia hết cho 9 có dạng: 9m , với m .
Ta có 1.000.000  9m  9.999.999  111.111  m  1.111.111.
Không gian mẫu:   111.112,111.113,...,1.111.111 hay n    1.000.000 .

Từ các chữ số 0;1; 2;...;9 ta có các bộ gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 là:

 0;2;3;4;5;6;7 ,  0;1;2;4;5;7;8 ,  0;1;2;3;6;7;8 ,  0;1;2;3;5;7;9 ,  0;1;2;4;5;6;9  0;1;2;3;4;8;9 ,
 0;3;4;5;7;8;9 ,  0;2;4;6;7;8;9 ,  0;1;5;6;7;8;9 ,  2;3;4;5;6;7;9 , 1;3;4;5;6;8;9 , 1;2;4;5;7;8;9
, 1;2;3;6;7;8;9 .
11 |


Trường hợp 1: Có 9 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó có số 0 nên từ các bộ số này
lập được: 9  6  6!  38880 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 .
Trường hợp 2: Có 4 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó không có số 0 nên từ các bộ
số này lập được 4  7!  20160 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 .
Gọi A là biến cố cần tìm. Suy ra: n  A  38.880  20.160  59.040 .
Vậy xác suất: P  A 

38880  20160 369

.
1000000
6250

II. DẠNG 2: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH THỨ TỰ
1. Phương pháp.
Để làm bài toán tính xác suất của một biến cố A, trong phép thử T. Chúng ta phải đếm số phần tử
của không gian mẫu và số phần tử của biến cố. Với một số bài toán thì công việc này có khi rất khó
nếu chúng ta không sử dụng đúng phương pháp. Chúng tôi giới thiệu một kĩ thuật để áp dụng :
“Tính xác suất bằng kĩ thuật đánh thứ tự” . Kĩ thuật này áp dụng trong các bài toán có nhiều đối
tượng liên quan với nhau thì chúng ta đánh thứ tự cố định 1 đối tượng. Từ đó việc đếm sẽ trở nên dễ
dàng.
Một số quy tắc đếm được sử dụng : Quy tắc cộng, quy tắc nhân, hóa vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Ví dụ:
Có 3 đồ vật khác nhau. Chia cho 3 bạn học sinh, mỗi bạn một đồ vật. Hỏi có bao nhiêu cách chia?
Bài giải
Ta đánh số 3 vị trí 1, 2, 3. Và 3 bạn học sinh ngồi cố định vào 3 vị trí đó. Bây giờ mỗi cách chia đồ
vật cho 3 bạn học sinh chính là cách đặt 3 đồ vật vào 3 vị trí. Như vậy có 3!  6 cách.
2. Các ví dụ.

Ví dụ 1
Bốn bạn nam và bốn bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào 8 cái ghế xếp thành hàng ngang.
Tính xác suất sao cho nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
Lời giải
Gọi A là biến cố nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
Không gian mẫu là số cách xếp ngẫu nhiên 8 bạn vào 8 cái ghế nên n     8!.
Giả sử các ghế được đánh thứ tự từ 1 đến 8 tính từ trái sang phải.
Trường hợp 1: Nếu các bạn nam ngồi các ghế ghi số lẽ, thì các bạn nữ phải ngồi các ghế ghi số
chẵn. Suy ra có 4! cách xếp các bạn nam và 4! cách xếp các bạn nữ. Vậy có 4!.4! cách xếp.
Trường hợp 2: Nếu các bạn nam ngồi các ghế ghi số chẵn, thì các bạn nữ phải ngồi các ghế ghi
số lẻ. Suy ra có 4! cách xếp các bạn nam và 4! cách xếp các bạn nữ. Vậy có 4!.4! cách xếp.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n  A  2.4!.4!  1152 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 1152 1
.


n  
8!
35

| 12

Đại số lớp 11 |
Ví dụ 2
Một nhóm học sinh gồm
bạn nữ đứng cạnh nhau.

nam và

bạn nữ được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để
Lời giải
Tác giả: Trương Văn Quắng; Fb: OcQuang

Hàng dọc được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 .
Số phần tử của không gian mẫu là n    10! .
Gọi A : '' 5 bạn nữ đứng cạnh nhau " .
Giả sử ghép 5 bạn nữ thành một nhóm có 5! cách ghép.
Coi 5 bạn nữ này là 1 cụm X .
Khi đó bài toán trở thành xếp 5 bạn học sinh nam và X thành một hàng dọc vào 6 vị trí theo hàng
dọc, khi đó số cách xếp là 6!  n  A  5!.6!.
Vậy xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 5!6! 1
.


n    10! 42

Ví dụ 3
Sáu nam sinh và bốn nữ sinh được xếp thành hai dãy, mỗi dãy gồm 5 ghế đối diện nhau. Tính

xác suất sao cho các bạn nam ngồi đối diện nhau.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là n    10! .
Gọi A là biến cố “các bạn nam được sắp ngồi đối diện nhau”.
Số cách chọn 3 trong 5 ghế ở cùng một dãy để sắp các bạn nam là C53 cách, do các bạn nam ngồi
đối diện nhau nên 3 ghế ở hàng ghế đối diện là dành cho các bạn nam, và các ghế ớ các vị trí còn
3
lại là của các bạn nữ. Nên số phần tử của biến cố A là: n  A  C5 .6!.4! .

Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 1
 .
n    21

Ví dụ 4
Có
người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định), Chọn ngẫu
nhiên người trong hàng. Tính xác suất để người được chọn không có người đứng nào
cạnh nhau.
Lời giải
13 |


3
- Số phần tử của không gian mẫu: n    C12  220 .

- Giả sử chọn ba người có số thứ tự trong hàng lần lượt là m , n , p .
m  n  p
n  m  1


Theo giả thiết ta có: 
p  n 1
m, n, p  1; 2;...;12


a  b  c
a  m
b  a  1


- Đặt b  n  1  
c  p  2
c  b  1

1  a  b  c  p  2  10
3
 a , b , c là ba số bất kì trong tập 1;2;3;...;10  có C103 cách chọn hay n  A  C10  120 .

Vậy xác suất là P  A 

n  A 120 6

 .
n    220 11

Ví dụ 5
Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi
cho 6 học sinh trường
và 6 học sinh trường

vào bàn nói trên. Tính xác suất để của biến cố
: “bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau”.
Lời giải
- Số phần tử của không gian mẫu: n    12! .
Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi bằng các số từ 1 đến 6 thuộc một dãy và từ 7 đến 12 thuộc một dãy
1

2

3

12 11 10

4

5

6

9

8

7

Vị trí

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Số cách xếp

12

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Vậy có 12.6.52.42.32.22.1  1036800 cách xếp.
Suy ra xác suất bằng : P  A 

1036800
1

12!
462

Ví dụ 6
Một nhóm
học sinh gồm nam trong đó có Quang, và nữ trong đó có Huyền được xếp
ngẫu nhiên vào

ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa
bạn nữ gần nhau có đúng bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là:

| 14


Đại số lớp 11 |
Lời giải
Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên

Ta có: n    10! .

Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10 .
Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh
số 1 , 4 , 7 , 10 . Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4
hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là 2  2.2  6 .
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là
6.3!.5! .
Gọi A: “ Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.
n  A 12960
1
.
n  A  4!.6! 6.3!.5!  12960  P  A 


n  
10!

280
Vậy xác suất cần tìm là

1
.
280

Ví dụ 7
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm
thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ chia hết cho 10.
Lời giải
10
Chọn 10 tấm thẻ bất kì trong 30 tấm thẻ ta được n     C30 .

Gọi A là biến cố “lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ
chia hết cho 10”
Từ 1 đến 30 có 15 thẻ mang số lẻ, 15 thẻ mang số chẵn trong đó có 3 thẻ chia hết cho 10 là
10;20;30 nên số phần tử của biến cố A là: n  A  C155 .C31.C124 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 99
.

n    667

Ví dụ 8
Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ. Tính xác suất để tích của 2 số
trên 2 tấm thẻ là một số chẵn.
Lời giải
2

Số phần tử của không gian mẫu là n    C9  36 .

Gọi A là biến cố “tích của 2 số trên 2 tấm thẻ lấy ra là một số chẵn”.
Trường hợp 1: Cả hai thẻ lấy ra đều mang số chẵn có C42  6 cách chọn.
15 |


Trường hợp 2: Hai thẻ lấy ra có một thẻ mang số chẵn, một thẻ mang số lẻ có C51.C41  20 cách
chọn.
Số phần tử của biến cố A là: n  A  6  20  26 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 26 13

 .
n    36 18

Ví dụ 9
Cho

. Chọn ngẫu nhiên

số trong tập hợp

. Tính xác suất để trong ba số

được chọn không có hai số liên tiếp.
Lời giải
Không gian mẫu có số phần tử là:   C163  560 (phần tử).
Ta tìm số cách lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau hoặc lấy ra được cả ba số liên tiếp

nhau. Khi đó ta có các trường hợp sau:
TH1: lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau.
- Trong ba số lấy ra có hai số 0,1 hoặc 14,15 khi đó số thứ ba có 13 cách lấy. Do đó trường hợp
này có: 2.13  26 cách lấy.
- Trong ba số lấy ra không có hai số 0,1 hoặc 14,15 khi đó ta có 13 cặp số liên tiếp nhau khác

0,1 và 14,15 , số thứ ba có 12 cách lấy. Do đó trường hợp này có: 13.12  156 cách lấy.
TH 2: lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau. Ta có lấy ba số liên tiếp nhau ta có 14 cách lấy. Do đó
trường hợp này có: 14 cách lấy.
Vậy ta có: 26 156 14  196 cách lấy ra ba số liên tiếp nhau hoặc lấy ra ba số trong đó có hai
số liên tiếp nhau.
Xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp là: P  1 

196 13

.
560 20

Ví dụ 10
Có bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ đến và con tem giống nhau lần
lượt đánh số thứ tự từ đến . Dán con tem đó vào bì thư sao cho không có bì thư nào
không có tem. Tính xác suất để lấy ra được bì thư trong bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều
có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
Lời giải
Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên
Không gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 con tem trên 3 bì thư.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n    3!  6 .
Gọi A là biến cố '' 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó '' . Thế thì
bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Trường hợp này có 1
cách duy nhất.

| 16


Đại số lớp 11 |
Suy ra số phần tử của biến cố A là n  A  1.
Vậy xác suất cần tính P  A 

n  A 1
 .
n   6

Ví dụ 11
Cho tập hợp

. Gọi

là tập hợp các số tự nhiên có

chữ số đôi một khác

nhau được lập thành từ các chữ số của tập . Chọn ngẫu nhiên một số từ , tính xác suất để số
được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Lời giải
Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên
Số phần tử của tập S là A  840.
4
7

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .

1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n    C840  840.

Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ '' .
● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là C42  6 cách.
● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là C32  3 cách.
● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán
vị của 4 phần tử nên có 4! cách.
2
2
Suy ra số phần tử của biến cố X là n  X   C4 .C3 .4!  432.

Vậy xác suất cần tính P  X  

n  X  432 18

 .
n    840 35

Ví dụ 12
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng
trong đó
.

,

Lời giải
Cách 1: Số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd

a1;2;3;4;5;6;7;8;9 suy ra có 9 cách chọn

bcd có 103 cách chọn
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n    9.10  9000 .

Gọi A là biến cố ‘‘số được chọn có dạng abcd , trong đó 1  a  b  c  d  9 ’’
 Số dạng aaaa có 9 số.
 Số dạng aaab có C92 số.
17 |


 Số dạng abbb có C92 số.
 Số dạng aabb có C92 số.
 Số dạng aabc có C93 số.
 Số dạng abbc có C93 số.
 Số dạng abcc có C93 số.
 Số dạng abcd ( a  b  c  d ) có C94 số.
2
3
4
Do đó n  A  9  3.C9  3.C9  C9  495 .

Vậy P  A 

n  A 495

 0.55 .
n    9000

3
Cách 2: Số phần tử của không gian mẫu là n    9.10  9000 .

Từ giả thiết 1  a  b  c  d  9  1  a  b  1  c  1  d  1  9  3  12 .
Số cách chọn a , b , c , d và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất là C124  495 .
Vậy P  A 

n  A 495

 0.55 .
n    9000

Ví dụ 13
Chọn ngẫu nhiên

số nguyên dương trong tập hợp

thứ tự tăng dần từ trái qua phải. Tính xác suất để số
qua phải?

và xếp chúng theo
được chọn và xếp ở vị trí thứ

kể từ trái

Lời giải
6
Ta có n    C10  210 .

Giả sử 6 số được chọn là a1 , a2  3, a3 , a4 , a5 , a6 trong đó a1  a2  3  a3  a4  a5  a6 .
+) Vì a1  3  a1 1;2  a1 có 2 cách chọn.
+) 3  a3  a4  a5  a6  a3 , a4 , a5 , a5 4;5;6;7;8;9;10 . Suy ra có C74 cách chọn ra 4 số và

4
sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải  n  A  2.C7  70 .

Xác xuất cần tính là : P 

70 1
 .
210 3

| 18


Đại số lớp 11 |
Ví dụ 14
Cho sáu thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập
(các thẻ khác nhau ghi các
số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh
của một tam giác có góc tù.
Lời giải
3
Lấy ba thẻ từ 6 thẻ có số cách lấy là C63 , nên số phần tử của không gian mẫu là   C6  20 .

Gọi biến cố A : “rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù”.
Giả sử rút được bộ ba số là  a; b; c  , với a  b  c , do đó 4  c , nên c4;6;8 .
a , b , c là ba cạnh của tam giác ABC , với BC  a , CA  b , AB  c có góc C tù


a 2  b2  c 2
a 2  b 2  c 2
0

cos C 

 a2  b2  c  a  b , với c4;6;8 .


2ab
4  c  a  b
4  c  a  b


+Xét c  4 thì có bộ  a; b    2;3 thỏa mãn.
+Xét c  6 , do a  b  c , 6  c  a  b  2b , nên b  4 và a  3 . Suy ra có bộ  a; b    3;4 thỏa
mãn.
+Xét c  8 , do a  b  c , 8  c  a  b  2b , nên b  6 và a  3 hoặc a  4 . Suy ra có hai bộ
 a; b  3;6 hoặc  a; b   4;6 thỏa mãn.
Suy ra số phần tử của biến cố A là A  4 .
Nên xác suất cần tìm là p 

A
4 1

 .

20 5

Ví dụ 16
Trong một hộp kín đựng 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên ba
tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập
thành một cấp số cộng.
Lời giải

3
Số phần tử của không gian mẫu:   C100 .

Gọi ba số lập thành cấp số cộng lần lượt là: u1 , u 2 , u 3 .
Khi đó u1 , u 3 phải cùng là hai số chẵn hoặc cùng là hai số lẻ.
Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn, 50 số lẻ.
2
+ Trường hợp 1: u1 , u 3 là hai số chẵn, có C50
cách chọn bộ u1; u3 .

19 |


2
+ Trường hợp 2: u1 , u 3 là hai số lẻ, có C50
cách chọn bộ u1; u3 .

Với mỗi cách chọn u1; u3 có duy nhất một cách chọn u 2 để u1 , u 2 , u 3 lập thành cấp số cộng.
2
Suy ra số cách lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là A  2C50 .

Xác suất lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là
P  A 

 A 2C502
1
.
 3 

C100 66

III. DẠNG 3: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG KỸ THUẬT TẠO VÁCH NGĂN
1. Phương pháp
Bài toán 1. Có m chiếc kẹo giống nhau chia cho n em bé sao cho em bé nào cũng có kẹo. Hỏi có
tất cả bao nhiêu cách chia kẹo?
Hay nếu ta gọi xi là số kẹo nhận được của em bé thứ i, i  1, n thì bài toán trên có thể phát biểu lại
dưới dạng như sau: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình x1  x2  ...  xn  m  m, n



?
Lời giải
Xếp m chiếc kẹo thành 1 hàng ngang, giữa chúng có m  1 chỗ trống.
Số cách chia kẹo thỏa mãn điều kiện đề bài chính là số cách đặt n 1 vách ngăn vào giữa m  1 chỗ
trống nói trên.
Vậy số cách chia kẹo là Cmn11 .
Bài toán 2. Có m chiếc kẹo giống nhau chia cho n em bé. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia kẹo?
Hay nếu ta gọi xi là số kẹo nhận được của em bé thứ i, i  1, n thì bài toán trên có thể phát biểu lại
dưới dạng như sau: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1  x2  ...  xn  m

 m, n  ?
Lời giải

Ta có: x1  x2  ...  xn  m   x1  1   x2  1  ...   xn  1  m  n .
Đặt ti  xi  1, i  1, n  ti 

*

 . Nhận thấy với mỗi nghiệm t

i

tương ứng với duy nhất một nghiệm

xi nên bài toán ban đầu trở thành tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:
t1  t2  ...  tn  m  n .
Vậy phương trình có Cmn1n1 nghiệm hay nói cách khác có Cmn1n1 cách chia kẹo.
2. Các ví dụ

Ví dụ 1
Xếp 10 viên bi giống nhau vào 3 hộp khác nhau. Tính xác suất để hộp nào cũng có bi.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Gọi A là biến cố “hộp nào cũng có bi”.
Áp dụng bài toán 1 và bài toán 2 cho trường hợp n  3, m  10 ta có:
2
Số phần tử của không gian mẫu là n    C12  66 .

| 20


Đại số lớp 11 |
2
Số phần tử của biến cố là n  A  C9  36 .

Vậy xác suất của biến cố A là P  A 

n  A 6
 .
n    11

Ví dụ 2
Một nhóm có học sinh nam và học sinh nữ. Nhóm muốn xếp theo hàng ngang để chụp ảnh
kỉ niệm. Tính xác suất để không có bạn nam nào đứng kề nhau.
Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Xếp thứ tự 7 bạn theo hàng ngang có 7! cách  n    7!.
Gọi A là biến cố xếp 7 bạn theo hàng ngang sao cho không có bạn nam nào đứng cạnh nhau.
Xếp thứ tự 3 bạn nữ có 3! cách.

Khi đó các bạn nam đứng ở các vị trí x.
Xếp thứ tự 4 bạn nam vào 4 vị trí x có 4! cách.
Suy ra n  A  3!.4! .
Vậy P  A 

n  A 1
.

n    35

Ví dụ 3
Một nhóm có học sinh nam và học sinh nữ. Nhóm muốn xếp theo hàng ngang để chụp ảnh
kỉ niệm. Tính xác suất để không có bạn nam nào đứng kề nhau.
Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Xếp thứ tự 6 bạn theo hàng ngang có 6! cách  n    6!.
Gọi A là biến cố xếp 6 bạn theo hàng ngang sao cho không có bạn nam nào đứng cạnh nhau.
Xếp thứ tự 3 bạn nữ có 3! cách.

Khi đó các bạn nam đứng ở các vị trí x.

Xếp thứ tự 3 bạn nam vào 4 vị trí x có A43 cách.
3
Suy ra n  A  3!.A4 .

Vậy P  A 

n  A 1
 .
n  5

21 |


Ví dụ 4
Có học sinh lớp
và học sinh lớp
được xếp ngẫu nhiên vào ghế thành một dãy. Tính
xác suất để xếp được học sinh lớp
xen kẽ giữa học sinh lớp .

Lời giải
Tác giả: Đào Hữu Nguyên ; Fb: Đào Hữu Nguyên
Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n    9! .
Gọi A là biến cố '' Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 '' . Ta mô tả khả năng
thuận lợi của biến cố A như sau:
● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách.
● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học sinh lớp 12 (gồm 5 vị
trí giữa 6 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có A73 cách xếp 3 học sinh lớp 12 .
3

Suy ra số phần tử của biến cố A là n  A  6!. A7 .

Vậy xác suất cần tính P  A 

n  A 6!. A73 5

 .
n  
9!
12

Ví dụ 5
Có học sinh lớp , học sinh lớp và học sinh lớp
xác suất để không có bạn nào cùng lớp kề nhau.

muốn đứng theo hàng ngang. Tính

Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Xếp thứ tự 12 bạn theo hàng ngang có 12! cách  n    12! .
Gọi D là biến cố xếp 12 bạn theo hàng ngang sao cho không có bạn nào cùng lớp đứng cạnh nhau.
Xếp thứ tự 6 bạn lớp A có 6! cách.

Khi đó các bạn lớp B , C đứng ở các vị trí x.
TH1: 6 bạn lớp B , C đứng ở 6 vị trí x đầu có 6! cách.
TH2: 6 bạn lớp B , C đứng ở 6 vị trí x sau có 6! cách.
TH3: 6 bạn lớp B , C đứng ở 5 vị trí x giữa  2 bạn (1 bạn lớp B và 1 bạn lớp C ) đứng cùng 1
vị trí x.

Chọn 1 bạn lớp B và 1 bạn lớp C đứng vào 1 vị trí x có 3.3.2!.5 cách.

| 22


Đại số lớp 11 |
Xếp thứ tự 4 bạn lớp B và lớp C còn lại vào 4 vị trí x có 4! cách.
Suy ra trường hợp này có 3.3.2!.5.4! cách.

 n  D  6! 6! 3.3.2!.5.4!  3600 .
Vậy P  A 

n  A
1
.

n    133056

Ví dụ 6
Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ A.
Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang
phải).
Lời giải
Tác giả: Bùi Thị Gấm; Fb: Bùi Gấm
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là abcde.
Ta có n( A)  9.9.8.7.6  27216.
Gọi B là biến cố: “ Chọn được số có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang
phải) từ tập A”
Suy ra n(B)  C95  126.
Vậy P( B) 

27216

1

.
126
216

Ví dụ 7
Từ các số
lập các số tự nhiên có 4 chữ số. Chọn ngẫu nhiên ra một số. Tính xác
suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải).
Lời giải
Tác giả: Bùi Thị Gấm; Fb: Bùi Gấm
Ta có n     A7 .
Gọi A là biến cố: “ Chọn được số có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang
phải)”
Suy ra n( A)  C74 .
4

C74 1
Vậy P( A)  4  .
A7 24

Ví dụ 8
Lập một số tự nhiên có 5 chữ số. Tính xác suất để số đó có chữ số đứng trước không nhỏ hơn
chữ số đứng sau.

23 |


Lời giải

Tác giả: Bùi Thị Gấm; Fb: Bùi Gấm
Ta có   9.10  90000.
4

Gọi A là biến cố: “Chọn được số có chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau”
Gọi số có 5 chữ số là abcde thỏa mãn a  b  c  d  e .
Ta có 9  a  b  c  d  e  0  13  a  4  b  3  c  2  d  1  e  0.
Có C145 cách chọn ra bộ e; d  1; c  2; b  3; a  4.
Suy ra có C145 cách chọn ra bộ e; d ; c; b; a . Trong số C145 cách chọn đó, bỏ bộ 0;1; 2;3; 4;5.
Vậy P ( A) 

C145  1 667

.
90000 3000

Cách 2:
4
Ta có   9.10  90000.

Gọi A là biến cố: “Chọn được số có chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau”
Gọi số có 5 chữ số là abcde thỏa mãn a  b  c  d  e . Có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: a  b  c  d  e có 9 số.
Trường hợp 2: a  b  c  d  e; a  b  c  d  e; a  b  c  d  e; a  b  c  d  e.
Mỗi trường hợp có C102 số.
Trường hợp 3:

a  b  c  d  e; a  b  c  d  e; a  b  c  d  e; a  b  c  d  e;
a  b  c  d  e; a  b  c  d  e.

Mỗi trường hợp có C103 số.
Trường hợp 4: a  b  c  d  e; a  b  c  d  e; a  b  c  d  e; a  b  c  d  e.
Mỗi trường hợp có C104 số.
Trường hợp 5: a  b  c  d  e có C105 số.
Suy ra n( A)  9  4.C102  6.C103  4.C104  C105  2001.
Vậy P( A) 

2001
667

.
90000 30000

Ví dụ 9
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số khác nhau từng đôi một. Lấy ngẫu nhiên một
số từ tập S. Tính xác suất để chọn được số trong đó chữ số đứng liền giữa chữ số và
Lời giải
Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc
6
Ta có n    9.A9  544320 .

| 24


Đại số lớp 11 |
Gọi A là biến cố “Chọn số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau,trong đó chữ số 2 đứng liền giữa chữ
số 1 và 3 ”.
Vì chữ số 3 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321 .
TH1:Số cần lập có bộ ba số 123 .
Nếu bộ ba số đứng đầu thì số có dạng 123abcd .

Chọn bốn số a, b, c, d có A74  840 số.
Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số cần lập có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 .
Chọn số đứng đầu có 6 cách.
Chọn ba số còn lại có A63  120 cách.
 Có 4.6.120  2880 số.

Nên có 840  2880  3720 số.
TH2:Số cần lập có bộ ba số 321.
Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 3720 số.
Vậy P  A 

n  A 3720.2
31


n    544320 2268

Ví dụ 10
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số lập được từ hai chữ số và . Lấy ngẫu
nhiên một số tự tập S. Tính xác suất để chọn được số không có chữ số đứng cạnh nhau?
Lời giải
Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc
8
Ta có n    2 .

Gọi A là biến cố “ Chọn được số không có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau".
TH1: Có 8 chữ số 8 .Có 1 số thỏa mãn đề bài.
TH2: Có 1 chữ số 1 , 7 chữ số 8 .
Có 8 cách xếp chữ số 1 nên có 8 số.
TH3: Có 2 chữ số 1 , 6 chữ số 8 .

Xếp 6 số 8 ta có 1 cách.
Từ 6 số 8 ta có có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1 .
Nên ta có: C72  21 số.
TH4: Có 3 chữ số 1 , 5 chữ số 8 .
Từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1 .
Nên ta có: C63  20 số.
TH5: Có 4 chữ số 1 , 4 chữ số 8 .
25 |