Đồ thị dao động cơ

ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG CƠ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Đồ thị dao động cơ
Xét phương trình dao động x  Acos(t  ) , chọn góc thời gian và chiều dương trục tọa độ thích hợp sao cho φ = 0. Lập
bảng biến thiên của li độ x theo thời gian và đồ thị biểu diễn x theo t như sau:

t
0

ωt
0


2


3
2
2



2

3
2
2

x
A
0

A
0
Đồ thị biểu diễn li độ x  Acos(t  ) với φ =0

A

2. Đồ thị và sự so sánh pha của các dao động điều hòa: x, v, a.
Vẽ đồ thị của dao động x  Acos(t  ) trong trường hợp φ = 0.
t
0

T
4
T
2
3T
4
T

x
A

v
0

a
A2

0

A

0

A

0

A2

0

A

0

A

0

A2

x
A
O

-A
v

T
4

T
2

3T
4

T

Aω

O

O

-A

+ Nhận thấy a và x luôn ngược pha nhau (trái dấu nhau).
3. Đồ thị x, v và a dao động điều hòa vẽ chung trên một hệ trục tọa độ
Vẽ đồ thị trong trường hợp φ = 0.
x
A

v
0

a
A2

T
4
T
2
3T
4
T

0

A

0

A

0

A2

0

A

0

A

0

A2

t

-A
a
A2
2

t
0

t

4. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa
a. Sự bảo toàn cơ năng

t

Nhận xét:
+ Nếu dịch chuyển đồ thị v về phía
chiều dương của trục Ot một đoạn thì
đồ thị của v và x cùng pha nhau.
Nghĩa là, v nhanh pha hơn x một góc


T
hay về thời gian là .
2

4

+ Nếu dịch chuyển đồ thị a về phía
chiều dương của trục Ot một đoạn thì
đồ thị của a và v cùng pha nhau.
Nghĩa là, a nhanh pha hơn v một góc


T
hay về thời gian là .
2
4


Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới lực thế (trọng lực và lực đàn hồi, …) và không có ma sát nên cơ năng của nó
được bảo toàn. Vậy cơ năng của vật dao động được bảo toàn.
b. Biểu thức thế năng
Xét con lắc lò xo. Tại thời điểm bất kỳ vật có li độ x  Acos(t  ) và thế năng của con lắc lò xo có dạng:

1
1
E t  kx 2  kA 2 cos 2 (t  )
2
2
1
 m2 A 2 cos 2 (t  )
2
Ta có đồ thị Et trong trường hợp φ = 0.

c. Biểu thức động năng

Ở thời điểm t bất kì vật có vận tốc v  Asin(t  ) và có động năng

1 2 1
mv  mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ)
2
2
Ta có đồ thị Wñ trong trường hợp φ = 0.
Wñ =

d. Biểu thức cơ năng
Cơ năng tại thời điểm t:

1
W = Wñ + Wt  m2 A 2
2
Ta có đồ thị Wñ và Et vẽ trên cùng một hệ trục.
5. Phương pháp xác định phương trình từ đồ thị
a. Xác định biên độ
Nếu tại VTCB, x = 0, thì:
+ x  x max  A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được A).
+ v  vmax  A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được v max ).
+ a  a max  2 A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được a max ).
b. Xác định pha ban đầu φ
Nếu là hàm cos thì dùng các công thức:

cos  

x0
v
a

, cos v  0 , cos a  0 .
A
v max
a max

c. Xác định chu kì T (Suy ra tần số f hoặc tần số góc ω):
Nhận dạng thời điểm trạng thái lặp lại, hay chu kì T là khoảng thời gian giữa hai điểm cùng pha gần nhất. Rồi suy ra tần số
f (hoặc tần số góc ω).
Dựa vào thời gian ghi trên đồ thị và pha ban đầu, vẽ lại đường tròn Fresnel để xác định góc quét tương ứng với thời gian
sau đó áp dụng công thức tìm ω:  


.
t

Lưu ý:
- Các đồ thị dao động điều hòa của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên điều hòa theo hàm số sin và cos với chu kì T.
- Các đồ thị đồng năng và thế năng biến thiên tuần hoàn theo hàm số sin và cos với chu kì

T
.
2

⋇ Vận dụng giải các bài tập về đồ thị, chúng ta quan sát đồ thị tìm ra các đại lượng dựa quy luật sau:
+ Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục tung (tìm biên độ A, ωA hoặc 2 A ).
+ Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian, hoặc dựa vào khoảng thời gian gần nhất cùng pha để vật nhận
giá trị nào đó.
+ Tại thời điểm t thì x = ?, v = ?, a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ và chu kì T. Suy ra tần số góc ω.
+ Dựa vào đường tròn và vận dụng các công thức của dao động tìm các đại lượng và các yếu tố cần tìm.
Xác định chu kì T, rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω): Thường căn cứ vào số liệu trên trục thời gian.

- Trang | 2-


x
x
A
A

T
2

0

t
3T T
4

T
4

0

A

T
4

t
T

A

t = 0; x0= A; =0

t = 0; x0 = 0; v0 > 0;  = -π/2

x

x

A
A 3
2

0

3T
4

T
2

7T
12

A
A 2
2

t

T
12

5T
8

0

13T
12

t

T
8

9T
8

A

A

t = 0; x0  A 2 ;  = - π/4
2

t = 0; x0  A 3 ;  = - π/6
2

x
A

A

A
2

0

2T
3

t

T
6

5T
6

0

7T
6

T T/3
12

A

2
A



A

t = 0; x0  A ;  = - π/3
2

t
4T
3

t = 0; x0= -A/2; v0 > 0;  = - 2π/3

A

7T
8

0


A 2
2

T 3T/8
8

t
11T
8

A

t = 0; x0= - A 2 ; v0 > 0;  = - 3π/4
2

(Mô hình mối liên hệ giá trị của các đại lượng x, v, a, F tại các điểm đặc biệt:
x = 0; x = - A; x = A)

a max  2 A

a max  2 A

Fmax  kA

Fmax  kA
v min  0
Vận tốc đổi
chiều khi
qua biên.
Gia tốc có
giá trị cực
đại.

v min  0
A

O

A

v max  A

Vận tốc đổi
chiều khi
qua biên.
Gia tốc có
giá trị cực
tiểu.

Fmin  0
a min  0

A va F đổi chiều khi qua VTCB

- Trang | 3-


B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho đồ thị của một dao động điều hòa.
a. Tính biên độ, tần số góc, chu kỳ, tần số.
b. Tính pha ban đầu của dao động.
c. Viết phương trình dao động.
d. Phương trình vận tốc.
e. Phương trình gia tốc.
f. Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng
lại bằng thế năng.

x(cm)
10
5

11
12

1
6

t(s)
nhau và bằng bao nhiêu thì động năng

Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị ta có: A = 10cm. Tại thời điểm t = 0; x = 5cm; x đang tăng:
x = Acosφ => cos φ 

x 1
π
 => φ   .
A 2
3

Vận dụng mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:
Ta nhận xét vì x đang tăng nên ta chọn φ  

π
3

Thời gian đi từ vậy thời gian đi từ x = 5 đến x = 10 là: t 
Vậy: ω  2π;f  1Hz
b. Theo câu a ta có: φ  

T 1
 s  T  1s .
6 6

•

5

10

π

3

x

π
.
3

π
)cm.
3
π
d. Phương trình vận tốc: v = x ' = 20π sin( 2π t  )cm/s.
3

π
e. Phương trình gia tốc: a = 40π 2 cos( 2π t  ) cm/s2.
3
c. Phương trình dao động: x = 10cos( 2π t 

α


f. Động năng bằng thế năng tại các vị trí:
W = Wđ + Wt = 2Wt

A
2

π
2

A
2

1
1
A
 kA 2  2 kx 2  x  
2
2
2
T 1
A
A

Thời gian để vật đi từ x1 
đến x 2  
là: t   s  0, 25s .
4 4
2
2
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời dao động điều hòa cùng phương, li độ x1 và x2 phụ thuộc vào thời gian như hình vẽ.
Phương trình dao động tổng hợp là
x(cm)


A. x  2cos  2ft   cm

3

2 

B. x  2cos  2ft 
 cm
3 

5 

C. x  2cos  2ft 
 cm
6 



D. x  2cos  2ft   cm

6


3

1
0

Phương trình dao động tổng hợp ở dạng phức:

x1

-1

 3
Hướng dẫn giải:




 x1  3 cos  2ft   cm
2
Từ đồ thị ta có: 

 x  cos  2ft    cm
 2

x2

0,1 0,15

t(ms)



2
2 

x  3  1  2
 x  2cos  2ft   cm
2
3
3 

Chọn đáp án B




Câu 3: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  4cos  2t 


 cm. Đồ thị tọa độ - thời gian của vật là hình nào
2

dưới đây?
x(cm)

x(cm)

4
A.

4
0,5

1

t(s)
1,5

t(s)

B.

-4

1

3

-4
x(cm)

x(cm)

4

4
0,5

C.

2

1

t(s)
1,5

D.

-4

1
2

t(s)
3

-4
Hướng dẫn giải:

Khi t = 0, vật đang đi qua VTCB theo chiều dương.
Chu kì dao động: T 

2
 1s . Biên độ: A = 4 cm.

Chọn đáp án A

Câu 4: Cho hai dao động điều hoà, có li độ x1 và x2 như hình vẽ. Tổng tốc độ
của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là:
A. 140π cm/s.
B. 100π cm/s.
C. 200π cm/s.
D. 280π cm/s.
Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Chu kỳ dao động T = 0,1s. Tần số góc = 20π rad/s.




 x1  8cos  20t   cm
2
Phương trình dao động của hai vật: 

 x  6 cos  20t    cm
 2
Hai dao động vuông pha nhau nên vận tốc của hai vật cũng vuông pha nhau:




 v1  160 cos  20t   cm/s
2


 v  120 cos  2t    cm/s
 2

Khi đó:v = v1 + v2 = 200πcos(20πt + ) cm/s. Suy ra: vmax = 200π cm/s.
Cách giải 2: Ta có: T  1.101  0,1s   

2
 20π rad/s .
T



 cm
2

Dao động 2 đang ở vị trí biên âm và đang tăng nên: x 2  6cos  20t    cm
Dao động 1 đang ở vị trí cân bằng và có li độ đang tăng: x1  8cos  20t 

Nhận xét 2 dao động vuông pha nên:

A12  A12  A22  10cm  v12max  A12  200π cm/s.

Chọn đáp án C


Câu 5 (QG – 2015): Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm
2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời
điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5.
A. 4s.
B. 3,25s.
C. 3,75.
D. 3,5s.
Hướng dẫn giải:

v2max 4 2


rad/s
A
6
3
T
2 2
Chu kì chất điểm 2: T2 

.3  3s . Chu kì chất điểm 1: T1  2  1,5s
2
2 2
Cách giải 1: Ta có: 2 


 4  
 x1  6 cos  3 t  2  cm



Phương trình dao động của hai chất điểm: 
 x  6 cos  2 t    cm


 2
2
 3

Hai chất điểm có cùng li độ khi:

 4  
 2   4  2 
x1  x 2  cos  t    cos  t   
t 
t   k2
2
2
3
2 3
2
 3
 3
Có hai họ nghiệm t1  3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3….
Và t 2  k 2  0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…
Các thời điểm x1  x 2 :
Lần gặp nhau
Thời điểm t(s)

Lúc đầu
0

1
0,5

2
1,5

3

2,5

4
3

5
3,5

6
4,5
Chọn đáp án D

Cách giải 2: Từ hình vẽ ta có: T2  2T1  1  22

2

 1,5s
v2max 4 2
4
T1 
1
Mặt khác: 2 


rad/s  1 
rad/s  
A
6
3
3

T  3s
 2
Từ hình vẽ, lần thứ 5 (không kể thời điểm t = 0):
2, 25T1  t  2,5T2  3,375s  t  3,75s .
Chọn đáp án D
Cách giải 3:
Tốc độ cực đại của chất điểm 2: v2

max

 2 A2  2 .6  4  2 

Từ hình vẽ ta có: T2  2T1  1  22 

2
rad/s .
3

4
rad/s
3


 4  
 x1  6 cos  3 t  2  cm



Phương trình dao động của hai chất điểm: 
 x  6 cos  2 t    cm



 2
2
 3
Hai chất điểm có cùng li độ khi:

 4  
 2   4  2 
x1  x 2  cos  t    cos  t   
t 
t   k2
2
2
3
2 3
2
 3
 3
Có hai họ nghiệm t1  3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3….
Và t 2  k 2  0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…Các thời điểm x1  x 2 :
Lần
1
2
3

4

5

6

7

…


t1  3k1
t 2  k 2  0,5

3s
0,5s

1,5s

2,5s

3.5s

4,5s

5,5s

Vậy, hai chất điểm gặp nhau lần thứ 5 ở thời điểm t = 3,5s.
Chọn đáp án D
Câu 6: Một vật có khối lượng m =100g, đồng thời thực hiện hai dao
động điều hòa được mô tả bởi đồ thị hình vẽ. Lực hồi phục cực đại tác
dụng lên vật có giá trị là:
A. 10N
B. 8N

C. 6N
D. 4N
Hướng dẫn giải:
T
2
2
Từ đồ thị ta có:  5.10 s  T  20.102 s   
 10π rad/s .
4
T
Phương trình dao động của vật có đồ thị x - t (1) và vật có đồ thị x - t (2)
là:
 x1  8cos10 cm




 x 2  6 cos 10t  2  cm



Vì x1 vuông pha x2 nên ta có dao động tổng hợp có biên độ:

A  A12  A22  82  62  10cm  0,1m.
Lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật là: Fhoàiphuïc  m2 A2  0,1.(10)2 (0,1)2  10N.
Chọn đáp án A
Câu 7: Có hai dao động điều hòa (1) và (2) được biểu diễn bằng hai đồ thị
như hình vẽ. Đường nét đứt là của dao động (1) và đường nét liền của dao
động (2). Hãy xác định độ lệch pha giữa dao động (2) với dao động (1) và
chu kì của hai dao động.

A.


và 1s
2

B.


và 1s
3

C.


và 0,5s
6

D. 


và 2s
3

Hướng dẫn giải:
Lúc t = 0 dao động (1) đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên: 1  


.
2

Lúc t = 0 dao động (2) đang đi qua vị trí x 0  2,5 3cm theo chiều dương nên:

2,5 3  5cos 2  cos 2 

3

 2   .
2
6

Độ lệch pha của hai dao động:   2  1  
Chu kì:

  
  .
6 2 3

T
 0,5s  T  1s.
2
Chọn đáp án B

Câu 8: Cho ba vật dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt
x1  A1 cos  t  1  ; x 2  A2 cos  t  2  và x3  A3 cos  t  3  . Biết 3 dao động
cùng phương và A1 = 3A3; φ3 – φ1  π . Gọi x12  x1  x 2 là dao động tổng hợp của
dao động thứ nhất và dao động thứ hai; x 23  x 2  x 3 là dao động tổng hợp của dao
động thứ hai và dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ
hai dao động tổng hợp trên là như hình vẽ. Giá trị của A2 gần giá trị nào nhất sau
đây?

A. 4,36 cm
B. 4,87 cm
C. 4,18 cm
D. 6,93 cm
Hướng dẫn giải:
Từ đồ thị ta có: T = 2s và x12 trễ hơn x23 một góc

π
5 1 1
(vì   )
3
6 2 3

x(cm)
8
4
0
-4
-8

t(s)

1/2 5/6

3/2

x23

x12




 x12  8cos  t  6 



Phương trình của x12 và x23 là: 
 x  4cos  t   


 23
2

2
4
2
1
3
Ngoài ra: x12  x 23  2x 2  x13  2x 2  x1  x 2  x12  x 2  x12  x 23
3
3
3
4
4
(Vì x1 ngược pha với x3 và A1 > A3) Bấm máy tính ta được A2  19  4,36 cm.
Chọn đáp án B
Câu 9 (QG – 2016): Cho hai vật dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song với trục
ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường thẳng vuông góc với ox tại O. Trong hệ trục

vuông góc xov, đường (1) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1,
đường (2) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các
lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối
lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là
1
1
A.
B. 3
C. 27
D.
27
3

v
(1)
x

O
(2)

Hướng dẫn giải:
Cách giải 1: Nhìn vào đồ thị ta thấy: A2 = 3A1

A 2  v1max  A11
 A2

 1  22
2 A1
A1  v2max  A 22

(1)

Theo giả thiết

m2 12 A1
k1A1  k 2 A 2  m1 A1  m2 A 2 
 .
m1 22 A 2
2
1

2
2

(2)

3

m A 
Từ (1) và (2), ta thu được: 2   1   27.
m1  A 2 
Chọn đáp án C
Cách giải 2:

 x1max  A1
(1)

x

A


3A
2max
2

Từ đồ thị ta có: 
1
 v1max  3v max  A11  3  A11 
(1)

9


 v
A 22
2
 2max  v max  A 22

(2)

Mặc khác:

F1hpmax  F2hp max
(1)


(2)

m2 12 A1
 m1 A1  m2 A 2 


m1 22 A 2
2
1

2
2

m2
1
 92.  27.
m1
3
Chọn đáp án C