Tổng hợp tài liệu bài tập và lý thuyết - Vật lý 12 đầy đủ

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA (Phần 1)
1. DAO ĐỘNG CƠ
Dao động cơ là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng.
Vị trí cân bằng là vị trí của vật khi đứng yên.
Dao động tuần hoàn là dao động cơ mà sau những khoảng thời gian bằng nhau (gọi là
chu kì) vật có vị trí và chiều chuyển động như cũ.

2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Dao động điều hòa: là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) của
thời gian.

Phương trình dao động điều hòa

x  Acos  t   
Trong đó:
x là li độ dao động (cm, m)
A là biên độ dao động, A > 0 (cm, m)

 t   là pha của dao động tại thời điểm t (rad)
 là pha ở thời điểm ban đầu t = 0 (rad)

3. CHU KÌ, TẦN SỐ, TẦN SỐ GÓC CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Chu kì
Thời gian thực hiện một dao động toàn phần gọi là chu kì của dao động điều hòa.
Kí hiệu: T
Đơn vị: giây (s)


Tần số
Số dao động toàn phần thực hiện trong một đơn vị thời gian được gọi là tần số của
dao động điều hòa.

Kí hiệu: f
Đơn vị: héc (Hz)
Tần số góc
Tốc độ góc của chuyển động tròn đều là tần số góc  của dao động điều hòa. Đơn vị
của tần số góc là rad/ s.
Hệ thức giữa chu kì, tần số, tần số góc:

=

2
= 2f
T

Ví dụ 1
Một vật thực hiện dao động điều hòa với chu kì 5 s. Tìm tần số và tần số góc của
vật dao động.
Ví dụ 2
Một vật thực hiện được n = 20 dao động toàn phần trong thời gian t = 40 s. Tính
chu kì, tần số và tần số góc của vật.
Ví dụ 3



Một vật dao động điều hòa có phương trình x  3 sin  4 t 



a. Xác định biên độ, pha ban đầu của dao động.
b. Tính li độ x ở thời điểm t 

1
s.
6

Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao
động điều hòa
Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng
luôn luôn có thể coi là hình chiếu của một điểm M
chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn
thẳng đó.


 cm
2 


Ví dụ
Một chuyển động tròn đều có bán kính R = 4 cm, tốc độ góc là   5 rad / s
a. Hình chiếu của chuyển động tròn đều lên phương đường kính dao động điều hòa
với quỹ đạo là bao nhiêu?
b. Tính chu kì và tần số dao động điều hòa của hình chiếu nói trên.

4. VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Vận tốc

v  x '  A sin(t  )

hay




v  A cos  t    
2


Vận tốc biến đổi điều hòa và sớm pha hơn li độ một góc


.
2

Vận tốc cực đại (tốc độ cực đại) vmax  A ở VTCB
v = 0 ở vị trí biên
Công thức liên hệ giữa biên độ, li độ và vận tốc: A2  x 2 

v2
2

Vận tốc ở li độ x: v   A2  x2
Tốc độ trung bình: v 

s
t

Tốc độ trung bình trong một chu kỳ dao động: v 

4A
T

Ví dụ



Một vật dao động điều hòa có phương trình x  2 cos  4 t 




 cm . Viết
2 

phương trình vận tốc và xác định độ lớn cực đại của vận tốc.
Gia tốc

a  2 Acos(t  )  2 x

hay

a  2 Acos  t     


Gia tốc biến đổi điều hoà sớm pha hơn vận tốc một góc


và ngược pha so với li
2

độ.
Gia tốc tỉ lệ với li độ và luôn trái dấu với li độ.
Vectơ gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng, tức đổi chiều khi qua VTCB.

Gia tốc cực đại: amax  2 A ở vị trí biên
a = 0 ở VTCB

A2 

a2 v2

4 2

Li đô, vận tốc, gia tốc biến thiên điều hòa với cùng tần số (cùng chu kì).
Ví dụ 1



Một vật dao động điều hòa có phương trình x  2 cos  5t 




 cm . Viết
6 

phương trình gia tốc và xác định độ lớn cực đại của gia tốc.
Ví dụ 2
Một vật dao động điều hòa có chu kì là 2 s, quỹ đạo dao động là
d = 6 cm. Tại thời điểm ban đầu (t = 0) vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương.
a. Lập phương trình dao động của vật.
b. Tính gia tốc của vật vào thời điểm t = 1/3 s.

5. ĐỒ THỊ CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Đồ thị của li độ, vận tốc, gia tốc theo thời gian là một đường hình sin, nên dao động điều
hòa gọi là dao động hình sin.

Sau một chu kì, đồ thị lập lại như cũ.


DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA (Phần 2)
I. DẠNG 1: TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Phương pháp
Li độ:

x = Acos  t +   trong đó A, ,  là những hằng số.
Vận tốc

v = x '  t  = -A sin  t +  
v biến thiên sớm pha


so với x.
2

Ở biên: v = 0; ở vtcb: v = vmax = A.
Gia tốc

a = x"  t  = - 2 x (a ngược pha với x).

a và Fhp luôn hướng về vị trí cân bằng O.
Bài tập 1.1
Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(t) (cm).

a. Tìm li độ và gia tốc của vật lúc t = 1/4 s
b. Tìm vận tốc lúc vật có li độ x = 1,5 cm
c. Tìm những thời điểm vật có li độ x = - 1 cm theo chiều dương trục Ox.
Bài tập 1.2
Khi một vật dao động điều hoà đi qua các vị trí có li độ 3 cm và 4 cm thì nó có vận tốc
tương ứng là 80 cm/ s và 60 cm/ s. Tính biên độ dao động của vật.


II. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THỜI GIAN VẬT ĐI TỪ LI ĐỘ X1 ĐẾN X2
Xác định pha ban đầu 

Bài tập 2.1
Một vật nhỏ dao động điều hoà trên trục toạ độ Ox với phương trình li độ:
x = 4cos(t) (cm), t tính bằng giây. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ
a. thời điểm ban đầu đến vị trí có li độ x = + 2 cm.
b. x = + 4 cm đến vị trí có li độ x = - 2 cm.
Bài tập 2.2
Một vật dao động điều hoà có phương trình li độ: x = 10cos(4t) (cm), t tính bằng
giây. Vào thời điểm t1 nào đó vật đang chuyển động nhanh dần qua vị trí có li độ
x1 = 6 cm. Hỏi vào thời điểm t2 = t1 + 1/8 (s) thì vật đang chuyển động qua vị trí nào,
với vận tốc và gia tốc bằng bao nhiêu và đang chuyển động chậm dần hay nhanh dần?


III. DẠNG 3: TÌM SỐ LẦN VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ X TỪ THỜI ĐIỂM t1 ĐẾN
THỜI ĐIỂM t2
Trước hết phân tích

t2 - t1 = n.T + Dt

(nếu phân tích được)

Thì sau n.T vật qua x = x0 là 2.n.T lần.
Sau đó tìm trong thời gian Dt vật qua x = x0 mấy lần (có thể dùng trường hợp hai
sau đây hoặc suy luận).
Số lần qua x = x0 là tổng các số lần trên.
Chú ý: Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên một lần còn các vị trí
khác hai lần.

Bài tập 3
Một

chất

điểm

dao

động

cơ

điều

hoà

với

phương

trình



x = 4 cos 10t +   cm t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu
4

a. trong giây đầu tiên thì chất điểm đi qua vị trí cân bằng được mấy lần?
b. sau 0,5 s đầu tiên vật qua x = - 2 cm mấy lần?

li

độ


CON LẮC LÒ XO (Phần 1)
1. CON LẮC LÒ XO
Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò xo có độ cứng k. Vật
m có thể trượt trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Khi được kích thích, con lắc lò xo
sẽ dao động điều hòa.

2. KHẢO SÁT CON LẮC LÒ XO VỀ MẶT ĐỘNG LỰC HỌC
Phương trình li độ (hay phương trình dao động) của con lắc lò xo

x  Acos  t   
Phương trình vận tốc

v  Asin  t   
Phương trình gia tốc

a  2 Acos  t   

Tần số góc. Chu kì. Tần số
Tần số:



k
m

Chu kỳ: T  2

Tần số: f 

m
k

1 k
2 m

Đơn vị: k (N/ m); m (kg)

Lực kéo về

F  kx  ma luôn hướng về vị trí cân bằng.


Ví dụ 1
Con

lắc

lò

xo

nằm

ngang

dao

động

điều

hòa

có

phương

trình



x  5 cos 10t    cm .
4

a. Tính khối lượng quả nặng m biết độ cứng k của lò xo là 100 N/ m.
Cho 2 = 10.
b. Tính độ lớn lực đàn hồi khi vật có li độ x = - 2,5 cm.

Ví dụ 2
Gắn vật nhỏ khối lượng m1 vào một lò xo nhẹ có độ cứng k thì chu kì dao động riêng
của con lắc này là T1 = 0,3 s. Thay vật nhỏ có khối lượng m1 bằng vật nhỏ có khối
lượng m2 thì chu kì dao động riêng của con lắc này là T2 = 0,4 s. Khi gắn cả hai vật m1
và m2 vào lò xo thì chu kì dao động riêng của con lắc này bằng bao nhiêu?
Ví dụ 3
Một vật nhỏ được treo vào một lò xo nhẹ. Khi vật ở trạng thái cân bằng thì lò xo dãn
đoạn 10 cm. Đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ theo phương thẳng đứng rồi
thả nhẹ, vật dao động điều hoà. Tính chu kì dao động của vật. Lấy gia tốc rơi tự do
g = 10 m/ s2.

3. KHẢO SÁT CON LẮC LÒ XO VỀ MẶT NĂNG LƯỢNG

W  Wđ  Wt

hay

W

1
1
m2 A2  kA2  const
2
2

Trong dao động điều hoà, nếu bỏ qua ma sát, cơ năng không đổi và tỉ lệ với bình phương
biên độ dao động.
Động năng: Wđ 
Thế năng: Wt 

1
mv2
2

1 2
kx
2

Đơn vị: v (m/s) ; A, x (m) ; W (J)


Hay

Wđ 

1
m2 A2 sin2 (t  )  W sin2 (t  )
2

(1)

Wt 

1 2
kA cos2 (t  )  Wcos2 (t  )
2

(2)

Khi vật dao động điều hoà thì động năng và thế năng biến đổi điều hoà theo thời

gian với tần số góc  '  2 , chu kỳ T ' 

T
, tần số f '  2f . Động năng và thế năng
2

chuyển hoá qua lại lẫn nhau.

(Dùng công thức lượng giác hạ bậc biểu thức (1) và (2) ở trên ta có kết quả).


CON LẮC LÒ XO (Phần 2)
I. DẠNG 1: LỰC ĐÀN HỒI VÀ CHIỀU DÀI CỦA CON LẮC LÒ XO
Con lắc lò xo nằm ngang

lmax = l0 + A

Fmax = kA

lmin = l0 - A

Fmin = 0

Lực đàn hồi ở li độ x: F = k x
Con lắc lò xo thẳng đứng

lCB = l0 + l

Fmax = k(l + A)

lmax = lCB + A

 0  A  l
Fmin = 
k(l - A)  A  l

lmin = lCB - A

Lực đàn hồi ở li độ x: F = k l' , l’ là độ biến dạng lò xo ở li độ x.

Bài tập 1.1
Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên l0 = 20 cm, độ cứng
k = 100 N/ m và viên bi nhỏ có khối lượng m = 100 g thực hiện dao động điều hoà
trên mặt phẳng ngang nhẵn. Biết quỹ đạo dao động là 8 cm. Vị trí cân bằng là gốc
tọa độ.
a. Tính chu kì dao động của con lắc lò xo.
b. Tìm chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo khi dao động.
c. Tính độ lớn cực tiểu và cực đại của lực đàn hồi của lò xo trong quá trình vật dao
động.
d. Khi lò xo có chiều dài 18 cm thì lực đàn hồi có độ lớn bao nhiêu?
e. Tính lực đàn hồi khi vật có li độ x = - 3 cm.
Bài tập 1.2
Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên l0 = 20 cm, có độ cứng k = 100 N/ m, một đầu
gắn vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, đầu còn lại được treo vào một giá cố định.
Đưa vật theo phương thẳng đứng ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ.
Bỏ qua sức cản không khí, vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là 40 cm/ s.
Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/ s2.
a. Tính chiều dài lò xo khi vật ở vị trí cao nhất và thấp nhất.

b. Tính độ lớn cực tiểu và cực đại của lực đàn hồi của lò xo trong quá trình vật
dao động.
c. Tính độ lớn lực đàn hồi của lò xo khi vật qua vị trí mà lò xo có chiều dài bằng
24 cm.

II. DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
Lập phương trình dao động là tìm A, ,  rồi thay vào phương trình x = Acos(t + )
Tìm 

=

k
=
m

g 2
=
l
T

Tìm A

A = x2 +

v2 lmax - lmin vmax
=
=
2
2


Chú ý:
Nếu kéo (hay nén) lò xo một đoạn x rồi thả nhẹ thì A = |x|. Nhưng sau khi kéo (hay
nén) lò xo một đoạn x rồi cung cấp cho vật một vận tốc ban đầu thì A không phải là x.
Tìm 

 x = A cos(t + )
 v = -A sin(t + )

Phương trình li độ và vận tốc 
Lúc t = 0

 x = A cos  = x 0
x
 cos = 0

A
 v = -A sin  = v0
Nếu v > 0 chọn  < 0, nếu v < 0 chọn  > 0.

Bài tập 2.1
Một lò xo nhẹ có độ cứng k = 40 N/ m, chiều dài tự nhiên l0 = 20 cm, một đầu gắn
viên bi nhỏ có khối lượng m = 400 g, đầu còn lại treo vào một điểm cố định. Viên
bi ở vị trí cân bằng. Dùng búa gõ vào viên bi, truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng
20 cm/ s hướng thẳng đứng lên trên. Viên bi dao động điều hoà theo phương
thẳng đứng. Chọn trục toạ độ Ox có gốc O trùng với vị trí cân bằng của viên bi, có
phương thẳng đứng và chiều dương hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc viên bi có
được vận tốc ban đầu.

a. Viết phương trình dao động của viên bi.
b. Tìm tỉ số giữa thế năng và động năng lúc li độ x = 1,5 cm.
c. Lúc vật có li độ x = 1 cm thì động năng bằng bao nhiêu lần cơ năng?
Bài tập 2.2
Một lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/ m, chiều dài tự nhiên l0 = 25 cm, một đầu
gắn viên bi nhỏ có khối lượng m = 250 g, đầu còn lại treo vào một điểm cố định.
Viên bi ở vị trí cân bằng. Đưa viên bi theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo
không biến dạng rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu có độ lớn v = 50 3 cm/ s
hướng thẳng đứng lên trên. Viên bi dao động điều hoà theo phương thẳng đứng.
Chọn trục toạ độ Ox có gốc O trùng với vị trí cân bằng của viên bi, có phương
thẳng đứng và chiều dương hướng xuống dưới. Chọn gốc thời gian là lúc viên bi có
được vận tốc ban đầu. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/ s2.
a. Viết phương trình dao động của viên bi.
b. Tìm thời gian viên bi đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo không biến dạng.
c. Tìm vận tốc khi động năng bằng thế năng.


CON LẮC ĐƠN (Phần 1)
1. MÔ TẢ CON LẮC ĐƠN
Con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượmg m, treo ở đầu một sợi dây có chiều dài l, không
dãn, khối lượng không đáng kể.

Vị trí của vật m ở thời điểm t xác định bởi:
Li độ góc:  (rad)
Li độ cong: s (m)

=

s
l

Vị trí cân bằng là vị trí dây treo thẳng đứng.

2. KHẢO SÁT CON LẮC ĐƠN VỀ MẶT ĐỘNG LỰC HỌC
Dao động của con lắc đơn với biên độ nhỏ là dao động điều hòa.

a = -2 s


Chú ý
Nếu biên độ góc lớn hơn 100 thì dao động của con lắc đơn được xem là dao động
tuần hoàn chứ không phải dao động điều hòa.
Nếu bỏ qua ma sát thì dao động của con lắc lò xo là hoàn toàn điều hòa, nhưng
con lắc đơn chỉ là một dao động điều hòa gần đúng.
Phƣơng trình dao động và các giá trị đặc biệt
Phương trình li độ cong và phương trình li độ góc

s = s0 cos  t +  
 = 0cos  t +  
Phương trình vận tốc

v = s' = -s0 sin  t +  
Hệ thức liên hệ giữa li độ, vận tốc, tần số góc

v2
s =s + 2

2
0

2

Các giá trị đặc biệt
Ở vị trí cân bằng v max = s0 =

g
0l = 0 gl
l

Ở vị trí biên v min = 0
Vận tốc lực căng dây
Trong trường hợp tổng quát, nghĩa là con lắc đơn dao động tuần hoàn hoặc dao
động điều hoà, thì vận tốc của vật nặng có thể được xác định bằng công thức

v2 = 2gl(cos - cos0 )
Lực căng dây treo trong quá trình dao động được xác định bởi công thức

T = mg(3cos - 2cos0 )
Ở vị trí biên Tmin = mgcos0  mg
Ở vị trí cân bằng Tmax = mg(3 - 2cos0 )  mg


Tần số góc. Chu kì. Tần số

g
l

Tần số góc  =

Chu kì T = 2

Tần số f =

l
g

1 g
2 l

3. KHẢO SÁT CON LẮC ĐƠN VỀ MẶT NĂNG LƢỢNG
Động năng
Biểu thức động năng của quả nặng m

Wđ =

1
mv2
2

Biểu thức của vận tốc

v = s' = -s0 sin  t +  
Biểu thức động năng

Wđ =

1
m2 s20 sin2  t +  
2

Thế năng
Biểu thức thế năng của quả nặng m

Wt =

1
m 2 s2
2

Biểu thức li độ cung

s = s0cos  t +  
Biểu thức thế năng

Wt =

1
m2 s20cos2  t +  
2

Cơ năng

W = Wđ + Wt =

1
mgl02
2


Trong trường hợp tổng quát, nghĩa là con lắc đơn dao động tuần hoàn hoặc dao động

điều hoà, thì thế năng Wt (gốc thế năng được chọn tại vị trí cân bằng của vật nặng)
và động năng Wđ của con lắc lần lượt được xác định bằng các công thức sau:

Wt = mgl(1- cos)

Wđ = mgl(1- cos0 )

4. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1
Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m treo ở nơi có gia tốc trọng trường
g = 9,8 m/ s2.
a. Tính chu kì con lắc đơn tại địa điểm này.
b. Nếu tăng chiều dài con lắc đơn lên bốn lần thì chu kì con lắc là bao nhiêu?
Bài tập 2
Hai con lắc đơn ở cùng một địa điểm. Con lắc đơn A có chiều dài l1 dao động với
chu kì T1 = 1,6 s, con lắc đơn B có chiều dài l2 dao động với chu kì T2 = 1,2 s. Hỏi
con lắc đơn C có chiều dài bằng tổng hoặc hiệu hai chiều dài l1 và l2 thì dao động
với chu kì là bao nhiêu? (giả sử l1 > l2 )
Bài tập 3
Một con lắc đơn có độ dài l = 64 cm dao động điều hoà tại nơi có gia tốc trọng
trường g = 9,86 m/ s2 (coi bằng g = 2 m/ s2) với biên độ cong s0 = 5 cm, khối
lượng quả nặng là m = 10 g.
a. Tính vận tốc của vật nặng của con lắc đơn tại vị trí có li độ cong bằng 3 cm.
b. Tính cơ năng của con lắc khi dao động.


CON LẮC ĐƠN (Phần 2)
I. DẠNG 1: CHU KÌ CON LẮC ĐƠN THAY ĐỔI THEO NHIỆT ĐỘ
Chu kì con lắc đơn

T = 2

l
g

Công thức về sự nở dài

l = l0 (1+ t) = l0 1+ (t - t 0 )
Công thức gần đúng

(1+ )n  1+ n   1
Từ hai công thức trên ta thấy chu kì con lắc đơn phụ thuộc nhiệt độ.

Bài tập 1.1
Ở nhiệt độ 00 C, tại nơi có gia tốc rơi tự do g = 9,81 m/ s2, một con lắc đơn đếm
giây có chu kì dao động điều hoà là T0 = 2,0000 s. Dây treo con lắc làm bằng chất
có hệ số nở dài là  = 12.10-6 K-1.
a. Tính độ dài l0 của con lắc đơn đó ở 00 C.
b. Khi nhiệt độ tại đó lên đến 250 C thì chu kì dao động điều hoà của con lắc đơn là
bao nhiêu?
Bài tập 1.2
Tại một nơi xác định trên Trái Đất, hỏi khi nhiệt độ tăng từ t1 = 200 C lên đến
t2 = 300 C thì chu kì dao động điều hoà của một con lắc đơn sẽ tăng hay giảm bao
nhiêu % so với lúc đầu? Cho biết dây treo vật nặng của con lắc làm bằng chất có
hệ số nở dài là  = 17.10-6 K-1.

II. DẠNG 2: CHU KÌ CON LẮC ĐƠN THAY ĐỔI THEO ĐỘ CAO
Chu kì con lắc đơn

T = 2

l
g


Gia tốc trọng trường ở độ cao h

gh =

GM
(R + h)2

G  6,67.10-11 N.m2 / kg2 ; R  6370 km; M  6.1024 kg
Từ hai công thức trên ta thấy chu kì con lắc đơn phụ thuộc độ cao.

Bài tập 2.1
Từ mặt biển, một con lắc đơn được đưa lên độ cao h = 960 m thì chu kì dao động
điều hoà của con lắc đơn sẽ tăng thêm hay giảm bớt bao nhiêu phần trăm so với
lúc đầu? Coi nhiệt độ tại vị trí đầu và vị trí sau là bằng nhau. Lấy bán kính Trái Đất
bằng R = 6400 km.
Bài tập 2.2
Từ độ cao ngang mực nước biển, một con lắc đơn được đưa lên độ cao h = 0,25R
(R là bán kính Trái Đất) thì cần phải tăng thêm hay giảm bớt độ dài của con lắc
đơn một lượng bằng bao nhiêu % chiều dài lúc đầu để chu kì dao động của nó là
không đổi? Coi nhiệt độ tại vị trí đầu và vị trí sau là như nhau.

III. SỰ NHANH CHẬM CỦA ĐỒNG HỒ QUẢ LẮC
Bước 1: Lập biểu thức chu kì T1 của con lắc đồng hồ khi chạy đúng.
Bước 2: Lập biểu thức chu kì T2 của con lắc đồng hồ khi chạy sai.
Bước 3: Lập tỉ số

T2
T1

Nếu

T2
 1 thì đồng hồ chạy chậm.
T1

Nếu

T2
 1 thì đồng hồ chạy nhanh.
T1

Bước 4: Sau thời gian t, đồng hồ chạy sai một lượng

t = T

T

 2 -1 
T1 T1


Bài tập 3.1
Một đồng hồ vận hành bằng con lắc đơn. Ở ngang mực nước biển, đồng hồ chạy
đúng. Hỏi khi đem đồng hồ lên một ngọn núi cao 320 m so với mực nước biển thì
sau một ngày đêm đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Lấy bán kính trái

đất bằng R = 6400 km. Độ dài của con lắc coi như không đổi.
Bài tập 3.2
Một đồng hồ vận hành bằng con lắc đơn. Ở nhiệt độ 200 C thì đồng hồ chạy đúng.
Hỏi khi nhiệt độ tại đó là 300 C thì sau một giờ đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm
bao nhiêu? Biết dây treo con lắc làm bằng chất có hệ số nở dài vì nhiệt là
 = 17.10-6 K-1.
Bài tập 3.3
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng ở thành phố Hồ Chí Minh. Dây treo quả lắc đồng hồ
được làm bằng chất có hệ số nở dài  = 12.10-6 K-1. Gia tốc trọng trường tại thành
phố Hồ Chí Minh là g1 = 9,7867 m/ s2.
a. Khi đưa đồng hồ ra Hà Nội thì mỗi ngày đêm đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm
bao nhiêu? Biết nhiệt độ ở Hà Nội vào những ngày đó thấp hơn ở thành phố Hồ Chí
Minh khoảng 100 C. Gia tốc trọng trường tại Hà Nội là g2 = 9,7872 m/ s2.
b. Để đồng hồ chạy đúng ở Hà Nội thì cần phải tăng thêm hay giảm bớt độ dài của
con lắc đơn bao nhiêu % so với độ dài khi còn ở thành phố Hồ Chí Minh?


DAO ĐỘNG TẮT DẦN. DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC
1. DAO ĐỘNG TỰ DO
Hệ dao động là hệ gồm vật dao động và vật tác dụng lực kéo về vị trí cân bằng lên vật
dao động.
Con lắc lò xo là một hệ dao động.
Con lắc đơn (hoặc con lắc vật lí) cùng với Trái Đất là hệ dao động.
Dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực gọi là dao động tự do hay
dao động riêng.
Mọi dao động tự do của một hệ dao động đều có cùng một tần số góc xác định gọi là
tần số góc riêng của vật hay hệ ấy.
Hệ Con lắc lò xo có tần số góc riêng là

k

m

0 =

1 k
;
2 m

T0 = 2

m
k

1 g
;
2 l

T0 = 2

l
g

 f0 =

Hệ con lắc đơn có tần số góc riêng là

0 =

g
l

 f0 =

Tần số riêng chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của hệ con lắc. Đối với con lắc lò xo
f0  m, k. Đối với con lắc đơn tại vị trí xác định (g = const) f0  l.

2. DAO ĐỘNG TẮT DẦN
Dao động tắt dần có biên độ giảm dần theo thời gian.
Nguyên nhân gây tắt dần là do lực cản của môi trường.
Biên độ dao động giảm dần nên cơ năng cũng giảm dần.
Khi ma sát nhớt rất lớn: vật không dao động.
Khi ma sát nhớt lớn: vật qua VTCB một lần rồi dừng.
Ma sát càng lớn sự tắt dần xảy ra càng nhanh.
Dao động tắt dần không là dao động điều hòa.
Các thiết bị đóng cửa tự động hay giảm xóc ôtô,…là những ứng dụng của dao động
tắt dần.


3. DAO ĐỘNG DUY TRÌ
Để dao động không tắt dần (biên độ dao động không thay đổi), cứ sau mỗi chu kỳ, vật
dao động được cung cấp một phần năng lượng đúng bằng phần năng lượng đã tiêu hao
do ma sát. Dao động của vật khi đó được gọi là dao động duy trì.
Dao động duy trì dao động với tần số riêng của hệ.
Dao động của con lắc đồng hồ là dao động duy trì. Dây cót đồng hồ hay pin là nguồn
cung cấp năng lượng.

4. DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC. SỰ CỘNG HƢỞNG CƠ HỌC
Để dao động không tắt dần (biên độ dao động không thay đổi), người ta tác dụng vào hệ
dao động một ngoại lực cưỡng bức tuần hoàn. Khi ấy dao động của hệ được gọi là dao
động cưỡng bức.

1. Đặc điểm
Dao động cưỡng bức có tần số (chu kỳ) bằng tần số (chu kỳ) của lực cưỡng bức.
Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưỡng bức và độ
chênh lệch giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ dao
động, nghĩa là f  f 0  0 thì biên độ dao động cưỡng bức càng lớn.

Cả hai dao động duy trì và cưỡng bức đều xem là dao động điều hòa.
2. Hiện tƣợng cộng hƣởng cơ học
Hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần số f của lực
cưỡng bức tiến đến bằng tần số riêng f0 của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng
hưởng.
Điều kiện để có cộng hưởng là f = f0
Khi các hệ dao động như toà nhà, cầu, khung xe… chịu tác dụng của các lực cưỡng
bức mạnh, có tần số bằng tần số dao động riêng của hệ. Hiện tượng cộng hưởng xảy
ra, làm các hệ ấy dao động mạnh có thể gãy hoặc đổ. Người ta cần phải cẩn thận để
tránh hiện tượng này.
Hiện tượng cộng hưởng lại là có lợi như khi xảy ra ở hộp đàn của đàn ghita, viôlon,…

5. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1
Một con lắc lò xo dao động tắt dần. Cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ của nó giảm 0,8 %.
Hỏi năng lượng dao động của con lắc bị mất đi sau mỗi dao động toàn phần là bao
nhiêu %?


Bài tập 2
Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ khối lượng m và lò xo khối lượng không đáng kể
có độ cứng 80 N/ m. Con lắc dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần
hoàn có tần số f. Biết biên độ của ngoại lực tuần hoàn không đổi. Khi thay đổi f thì

biên độ dao động của viên bi thay đổi và khi f = 4 Hz thì biên độ dao động của
viên bi đạt cực đại. Tính khối lượng của viên bi.
Bài tập 3
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 20 N/ m. Vật
nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát
trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí cân bằng kéo vật ra một đoạn 10 cm
rồi thả nhẹ, con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Lấy
g = 10 m/ s2.
a. Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kì.
b. Tính quãng đường vật đi được cho đến lúc dừng hẳn.
c. Tính số dao động toàn phần thực hiện được từ lúc đầu cho đến khi dừng hẳn.


TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. ĐỘ LỆCH PHA CỦA HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

x1 = A1 cos  t + 1  1 ;

 = 1 - 2

x2 = A2 cos  t + 2   2 

hay

 = 2 - 1

Khi 1  2 dao động (1) sớm pha hơn dao động (2) và ngược lại.

Khi  = 2n

n  0,  1,  2,...

hai dao động cùng pha.

Khi  =  2n + 1 

n  0,  1,  2,...

hai dao động ngược pha.


2

n  0,  1,  2,...

hai dao động vuông pha.

Khi  =  2n + 1

Ví dụ 1
x1 = 2cos(2t + ) (cm)

x 3 = 4cos(2t) (cm)



x 2 = 6cos  2t +  (cm)
2


x 4 = 0,5cos(2t + ) (cm)

Ví dụ 2

x = Acos(t + )



v = -A sin(t + ) = Acos  t +  + 
2




v = -A sin(t + ) = Acos  t +  + 
2

Ví dụ 3
Biểu diễn các dao động điều hòa sau bằng vectơ quay

x1 = A1cos(t)


x 2 = A 2 cos  t + 
2

2 

x 3 = A 3cos  t +
3 





x 4 = A 4 cos  t - 
6

3 

x 5 = A 5 cos  t 4 



2. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BẰNG VECTƠ QUAY
Phương trình dao động x  A cos  t   có thể

+

được biểu diễn bằng một vectơ quay OM được vẽ
ở thời điểm ban đầu. Vectơ quay OM có:

Gốc tại gốc toạ độ của trục Ox.

φ
O

x

Độ dài bằng biên độ dao động, OM = A.

Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu  . Chiều dương là chiều dương của đường
tròn lượng giác.

3. TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x1  A1 cos  t  1  và x 2  A2 cos  t  2  là một dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số với hai dao động thành phần. Phương trình dao động tổng hợp
x = Acos(t + ) , trong đó:

Biên độ A của dao động tổng hợp được xác định bởi:

A = A12 + A22 + 2A1A2 cos(2 - 1)
Pha ban đầu  của dao động tổng hợp được xác định bởi:

tan  =

A1 sin 1 + A2 sin 2
A1 cos 1 + A2 cos 2

Biên độ A phụ thuộc A1, A2 và   1  2 (hay   2  1 )