Lý 12 dao động cơ sóng cơ

CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Dao động cơ
- Dao động cơ học nói chung là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp lại nhiều lần quanh một vị
trí cân bằng xác định.
Ví dụ chiếc thuyền nhấp nhô tại chỗ neo, dây đàn guitar rung động, màng trống rung động,…là những ví
dụ về dao động mà ta thường gặp trong đời sống hằng ngày.
- Quan sát chuyển động của các vật ấy, ta thấy chúng đều chuyển động qua lại quanh một vị trí đặc biệt
gọi là vị trí cân bằng. Đó thường là vị trí của vật khi đứng yên. Chuyển động như vậy là dao động cơ.
2. Dao động tuần hoàn
- Dao động cơ của một vật có thể là tuần hoàn hoặc không tuần hoàn. Nếu sau những khoảng thời gian
bằng nhau, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ thì dao động của vật đó là tuần hoàn. Con lắc đồng hồ thì
dao động tuần hoàn, trong khi chiếc thuyền thì dao động không tuần hoàn.
Như vậy: Dao động tuần hoàn là dao động cơ mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, vật trở lại vị trí
cũ theo hướng cũ (nói ngược lại, cứ sau những khoảng thời gian như nhau thì vật nhận lại vị trí và vận tốc
cũ).
- Dao động tuần hoàn có thể có mức độ phức tạp khác nhau tùy theo vật hay hệ vật dao động. Dao động
tuần hoàn đơn giản nhất và dao động điều hòa.
3. Dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côssin (hay sin) theo thời gian.
Phương trình x  A cos  t    được gọi là phương trình dao động điều hòa.
Trong phương trình này, người ta gọi:
+) A là biên độ dao động. Nó là độ lệch cực đại của vật. Vì thế biên độ dao động là một số dương. Điểm
P dao động qua lại giữa hai vị trí biên P1 (có x = A) và P2 (có x =  A).

Như vậy quỹ đạo dao động điều hòa là một đoạn thẳng dài   2A .

+)  t    là pha của dao động tại thời điểm t, đơn vị của nó là radian (rad).
+)  là pha ban đầu của dao động, đơn vị radian (rad).
+) ω là tần số góc của dao động điều hòa, đơn vị (rad/s)

+) Chu kí T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần, đơn vị giây
(s).
+) Tần số f của dao động điều hòa là số dao động thực hiện được trong một giây; đơn vị héc (Hz).
+) Liên hệ giữa ω, T và f 

2
 2f .
T

Chú ý: Các đại lượng biên độ A và pha ban đầu φ phụ thuộc vào kích thích ban đầu làm cho hệ dao động,
còn tần số góc ω (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ dao động.
Khi phương trình dao động điều hòa không ở dạng chuẩn x  A cos  t    A  0  ta phải đổi nó về
dạng chuẩn của nó.
Phương trình dạng sin ta đổi sang phương trình dạng cosin bớt pha đi


:
2



x  A sin  t   A cos  t   .
2


Ngược lại phương trình dạng cosin sang sin thêm pha một lượng


:

2



x  A cos  t   A sin  t   .
2


Khử dấu âm bằng cách cho pha thêm hoặc bớt một lượng π:

x  A sin  t     A sin  t      .


Ví dụ: Vật dao động điều hòa x  5cos  2t    cm  ta phải đổi nó về dạng chuẩn là:
3


2 



x  5cos  2t      5cos  2 
  cm  .
3
3 




4. Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa

* Vận tốc: Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:


v  x '    A sin   t      A cos   t     .
2


Nhận xét: Vận tốc biến thiên điều hòa cùng tần số, nhưng sớm pha π/2 so với li độ và có một số điểm
đáng lưu ý như sau:
+) Vận tốc có thể dương hoặc có thể âm (âm khi vật chuyển động ngược chiều dương trục Ox).
Giá trị vận tốc đạt cực đại v max  A khi qua VTCB theo chiều dương.
Giá trị vận tốc đạt cực tiểu v min  A khi qua VTCB theo chiều âm.
+) Tốc độ là độ lớn của vận tốc (tốc độ bằng trị tuyệt đối của vận tốc) nên tốc độ luôn dương.
Tốc độ đạt cực tiểu v min  0 khi ngang qua vị trí biên.
Tốc độ đạt cực đại v max  A khi ngang qua VTCB.


+) Tại vị trí biên (±A), vận tốc bằng 0, vật đổi chiều chuyển động.
* Gia tốc: Gia tốc và đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc hai của li độ) theo thời gian:

a  x ''  v '  2 A cos   t     2 x  2 A cos   t      .
Nhận xét: Gia tốc của vật biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ, sớm pha


so với
2

vận tốc.
+) Giá trị gia tốc đạt cực tiểu a min  2 A khi x = A (ở biên dương).
Giá trị gia tốc đạt cực đại a max  2 A khi x =  A (ở biên âm).

+) Độ lớn gia tốc đạt cực tiểu bằng 0 khi vật qua VTCB.
Độ lớn gia tốc đạt cực đại bằng ω2A khi vật đến biên.
+) Véc tơ gia tốc luôn hướng về VTCB.


+) Vật chuyển động chậm dần ( v và a ngược chiều) ứng với quá trình từ VTCB ra biên.


Vật chuyển động nhanh dần ( v và a cùng chiều) ứng với quá trình từ biên về VTCB. Trong 1 chu kì,
v và a cùng dấu trong khoảng T/2.
(Chỉ là chậm dần hoặc nhanh dần; không phải là chậm dần đều hay nhanh dần đều).
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng dài   20 cm . Biên độ dao động của vật
là:
A. A = 10 cm.

B. A = –10 cm.

C. A = 20 cm.

D. A = –20 cm.

Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2016] Một chất điểm dao động có phương trình

x  10 cos 15t    (x tính bằng cm; t tính bằng giây). Chất điểm này dao động với tần số góc là
A. 20 rad / s.

B. 10 rad / s.

C. 5 rad / s.

D. 15 rad / s.

Ví dụ 3: [Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015] Một vật nhỏ dao động với x  5cos  t  0,5  cm.
Pha ban đầu của dao động là:
A. π.

B. 0,5π.

C. 0,25π.

D. 1,5π.

Ví dụ 4: [Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015] Một chất điểm dao động có phương trình


x  6 cos t  cm  . Dao động của chất điểm có biên độ là:
A. 2 cm.

B. 6 cm.

C. 3 cm.

D. 12 cm.

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox, đại lượng không phụ thuộc vào thời gian là:
A. Tốc độ của vật.

B. Gia tốc của vật.

C. Biên độ dao động của vật.

D. Li độ của vật.

Ví dụ 6: [Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2014] Một chất điểm dao động có phương trình

x  6 cos  t  (x tính bằng cm; t tính bằng giây). Phát biểu nào sau đây là đúng.
A. Chu kì dao động là 0,5s.
B. Tốc độ cực đại của chất điểm là 18,8 cm / s.
C. Gia tốc của chất điểm có độ lớn cực đại là 113 cm / s2 .
D. Tần số của dao động là 2 Hz.

 2

Ví dụ 7: Một dao động điều hòa có phương trình là x  A cos  .t     T  0  . Đại lượng T được gọi là:
 T


A. Tần số của dao động.

B. Tần số góc của dao động.

C. Chu kỳ của dao động.

D. Pha ban đầu của dao động.



Ví dụ 8: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  4 cos  4t    cm  (t tính bằng giây). Tốc độ cực
2



đại của vật là:
A. 4π cm / s.

B. 16π cm / s.

C. 64π cm / s.

D. 16 cm / s.

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa phải mất thời gian ngắn nhất là 0,5s để đi từ điểm có vận tốc bằng 0
đén điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng 0. Biết khoảng cách giữa hai điểm đố là 12cm. Khẳng định nào sau
đây sai.
A. Chu kì dao động của vật là T = 1s.

B. Biên độ dao động của vật là A = 6cm.


C. Tần số góc của vât là ω = π rad / s.

D. Tần số của dao động là f = 1 Hz.



Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa có phương trình là x  4 cos  5t   (cm). Khẳng định nào sau đây
3


là sai.


B. Pha ban đầu của vật là  .
3

A. Biên độ dao động của vật là A = 4cm.
C. Pha ở thời điểm t của dao động là 5t 


.
3

D. Chu kì dao động là T = 2,5s.

Ví dụ 11: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình:


x  10 cos  4t   cm. Khẳng định nào sau đây là đúng.
4


A. Biên độ dao động của vât bằng –10cm.
C. Pha dao động ban đầu của vật bằng


.
4


B. Pha dao động ban đầu của vật bằng  .
4

D. Pha dao động ban đầu của vật bằng

3
.
4



Ví dụ 12: Một vật dao động có phương trình là x  8cos  2t   (cm). Khẳng định nào sau đây là đúng.
2



.
2

A. Biên độ dao động của vật là A =  8cm.

B. Pha ban đầu của dao động là


C. Pha ban đầu của dao động là  .
2

D. Chu kì của dao động là T = 1s.


Ví dụ 13: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo có chiều dài là   8cm . Biết rằng trong khoảng thời
gian là 1 phút vật thực hiện được 15 dao động toàn phần. Tính biên độ và tần số của dao động.

A. A  8cm;f  0, 25 Hz .

B. A  4 cm;f  4 Hz .

C. A  8cm;f  4 Hz .

D. A  4 cm;f  0, 25 Hz .

Ví dụ 14: Một vật dao động điều hòa, trong quá trình dao động tốc độ cực đại của vật là v max  10  cm / s 
và gia tốc cực đại a max  40  cm / s 2  . Biên độ và tần số của dao động lần lượt là
A. A  2,5cm;f  4 Hz . B. A  2,5cm;f 

2
Hz .


C. A  5cm;f 

2
Hz .


D. A  5cm;f  2 Hz .

Ví dụ 15: [Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017]. Một vật dao động điều hòa trên trục Ox quanh vị trí
cân bằng O. Vecto gia tốc của vật.
A. có độ lớn tỷ lệ thuận với độ lớn vận tốc của vật.

B. có độ lớn tỷ lệ nghịch với độ lớn li độ của vật.

C. luôn hướng về vị trí cân bằng.

D. luôn hướng ra xa vị trí cân bằng.

Ví dụ 16: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 10 cm. Biết rằng
vật thực hiện được 20 dao động thành phần trong 5s. Tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là
A. v max  40 cm / s .

B. v max  20 cm / s .

C. v max  10 cm / s .

D. v max  40 cm / s .


2 

Ví dụ 17: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x  4 cos  4t    cm  . Vận
3 


tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t 

1
 s  lần lượt là:
3

A. v  8 3 cm / s; a  322 cm / s 2 .

B. v  8 cm / s; a  322 3 cm / s 2 .

C. v  8 3 cm / s; a  322 cm / s 2 .

D. v  8 cm / s; a  322 3 cm / s 2 .

Ví dụ 18: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, biết vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là v max
và gia tốc cực đại của vật là a max . Biết độ dao động và tần số góc của vật lần lượt là:
A. A 

a 2max
a
;   max .
v max
v max

B. A 

v 2max
a
;   max .
a max
v max

C. A 

v 2max
v
;   max .
a max
a max

D. A 

a 2max
v
;   max .
v max
a max

Ví dụ 19: [Trích đề thi đại học năm 2012]. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Vecto gia tốc
của chất điểm có:
A. Độ lớn cực tiểu khi đi qua vị trí cân bằng, luôn cùng chiều với vecto vận tốc.
B. Độ lớn không đổi, chiều luôn hướng về vị trí cân bằng.
C. Độ lớn cực đại ở biên, chiều luôn hướng ra biên.
D. Độ lớn tỷ lệ với độ lớn của li độ, chiều luôn hướng về vị trí cân bằng.

Ví dụ 20: [Trích đề thi THPT Quốc Gia năm 2015]. Hai dao động có phương trình lần lượt là

x1  5cos  2t  0, 75  cm  và x 2  10 cos  2t  0,5  cm  . Độ lệch pha của hai dao động này có độ lớn


là
A. 0,25π.

B. 1,25π.

C. 0,50π.

D. 0,75π.

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox, xung quanh vị trí cân bằng O. Gia tốc của vật phụ thuộc
vào li độ x theo phương trình: a  4002 x  cm / s 2  . Số dao động toàn phần vật thực hiện được trong mỗi
giây là
A. 5.

B. 10.

C. 40.

D. 20.

Ví dụ 22: [Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên 2017]. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với


phương trình li độ là x  5cos  4t    cm  (t tính bằng s). Kết luận nào sau đây không đúng?
2


A. Tốc độ cực đại của vật là 20π cm / s.
B. Lúc t = 0, vật qua vị trí cân bằng O, ngược chiều dương của trục Ox.
C. Vật thực hiện 2 dao động toàn phần trong 1s.
D. Chiều dài quỹ đạo của vật là   20cm .

Ví dụ 23: [Chuyên ĐH Vinh 2017]. Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại v max . Chu
kỳ dao động của vật là:
A.

A
.
v max

B.

v max
.
A

C.

v max
.
2A

D.

2A
.
v max

Ví dụ 24: [Chuyên ĐH Vinh 2017]. Trong dao động điều hòa, khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái
dao động của vật lặp lại như cũ được gọi là


A. tần số của góc dao động.

B. pha ban đầu của dao động.

C. tần số dao động.

D. chu kỳ dao động.



Ví dụ 25: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  10 cos  5t   cm . Xác định li độ, vận tốc của
3


vật tại thời điểm t 

1
s.
15

A. x  5cm , v  25  cm / s  .

B. x  5cm , v  25  cm / s  .

C. x  5cm , v  25 3  cm / s  .

D. x  5cm , v  25 3  cm / s  .



Ví dụ 26: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  10 cos  2t   cm . Xác định gia tốc của vật tại
6


thời điểm t 

1

 s  , lấy 2  10 .
4

A. a  200  cm / s 2  .

B. a  200  cm / s 2  .

C. a  100  cm / s 2  .

D. a  100  cm / s 2  .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Pha của dao động được dùng để xác định
A. biên độ dao động.

B. trạng thái dao động.

C. tần số dao động.

D. chu kỳ dao động.

Câu 2: Trong một dao động điều hòa đại lượng nào sau đây của dao động không phụ thuộc bào điều kiện
ban đầu?
A. Biên độ dao động.

B. Tần số dao động.

C. Pha ban đầu.

D. Cơ năng toàn phần.

Câu 3: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox, trong khoảng thời gian 1 phút 30 giây vật thực hiện được
180 doa động. Khi đó chu kỳ và tần số động của vật lần lượt là
A. T = 0,5 (s) và f = 2 Hz.

B. T = 2 (s) và f = 0,5 Hz.

C. T = 1/120 (s) và f = 120 Hz.

D. T = 2 (s) và f = 5 Hz.

Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  6 cos  4t  cm. Tần số dao động của vật là
A. f = 6 Hz.

B. f = 4 Hz.

C. f = 2 Hz.

D. f = 0,5 Hz.

Câu 5: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  2 cos  2t   / 6  cm. Li độ của vật tại thời điểm
t = 0,25 (s) là
A. 1 cm.

B. 1,5 cm.

C. 0,5 cm.

D.  1 cm.

Câu 6: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  3cos  t   / 2  cm, pha dao động tại thời điểm
t = 1 (s) là
A. π (rad).

B. 2π (rad).

C. 1,5π (rad).

D. 0,5π (rad).

Câu 7: Một vật nhỏ dao động điều hòa với li độ x  10 cos  t   / 6  (x tính bằng cm, t tính bằng s). Lấy

2  10 . Gia tốc của vật có độ lớn cực đại là
A. 100 cm / s 2 .

B. 100 cm / s 2 .

C. 10 cm / s 2 .

D. 10 cm / s 2 .

Câu 8: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2 Hz. Chu kì dao động của vật này là
A. 1,5s.

B. 1s.

C. 0,5s.

D.

2s .

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa dọc trục Ox với phương trình x  10 cos 2t (cm). Quãng đường
đi được của chất điểm trong một chu kỳ dao động là
A. 10cm.

B. 30cm.

C. 40cm.

D. 20cm.

Câu 10: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  A cos  t    . Tốc độ cực đại của chất điểm
trong quá trình dao động bằng
A. v max  A 2  .

B. v max  A .

C. v max  A .

D. v max  A2 .

Câu 11: Một vật dao động điều hòa chu kỳ T. Gọi v max và a max tương ứng là vận tốc cực đại và gia tốc
cực đại của vật. Hệ thức liên hệ đúng giữa v max và a max là
A. a max 

v max
.
T

B. a max 

2v max
.
T

C. a max 

v max
.
2T

D. a max  

2v max
.
T

Câu 12: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  2 cos  2t   / 6  cm. Lấy 2  10 , gia tốc của
vật tại thời điểm t  0, 25  s  là
A. 40cm / s 2 .

B. 40cm / s 2 .

C. 40cm / s 2 .

D.  cm / s 2 .

Câu 13: Chất điểm dao động điều hòa với phương trình x  6 cos 10t  3 / 2  . Li độ của chất điểm khi

pha dao động bằng 2π/3 là
A. x = 30 cm.

B. x = 32 cm.

C. x =  3 cm.

D. x =  40 cm.


Câu 14: Chất điểm dao động điều hòa có phương trình x  5cos  2t   / 6  . Vận tốc của vật khi có li độ
x = 3 cm là
A. v = 25,12 cm/s.

B. v = ±25,12 cm/s.

C. v = ±12,56 cm/s.

D. v = 12,56 cm/s.

Câu 15: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  5cos  2t   / 6  cm. Lấy 2  10 . Gia tốc của
vật khi có li độ x = 3 là
A. a  12 m / s 2 .

B. a  120 cm / s 2 .

C. a  1, 20 cm / s 2 .

D. a  12 cm / s 2 .

Câu 16: Vận tốc trong dao động điều hòa có độ lớn cực đại khi
A. li độ có độ lớn cực đại.

B. gia tốc cực đại.

C. li độ bằng 0.

D. li độ bằng biên độ.

Câu 17: Một chất điểm dao động điều hòa trên quỹ đạo MN = 30 cm, biên độ dao động của vật là
A. A = 30 cm.

B. A = 15 cm.

C. A =  15 cm.

D. A = 7,5 cm.

Câu 18: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  A cos  t    , tại thời điểm t = 0 thì li độ x = A.
Pha ban đầu của dao động là
A. 0 (rad).

B. π/4 (rad)

C. π/2 (rad).

D. π (rad).

Câu 19: Dao động điều hòa có vận tốc cực đại là v max  8 cm / s và gia tốc cực đại a max  162 cm / s 2 thì
tần số góc của dao động là

A. π (rad/s).

B. 2π (rad/s).

C. π/2 (rad/s).

D. 4π (rad/s).

Câu 20: Dao động điều hòa có vận tốc cực đại là v max  8 cm / s và gia tốc cực đại a max  162 cm / s 2 thì
biên độ của dao động là
A. 3 cm.

B. 4 cm.

C. 5 cm.

D. 8 cm.

Câu 21: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x  20 cos  2t  cm. Gia tốc của chất điểm tại
li độ x = 10 cm là
A. a  4 m / s 2 .

B. a  2 m / s 2 .

C. a  9,8 m / s 2 .

D. a  10 m / s 2 .

Câu 22: Biểu thức nào sau đây là biểu thức tính gia tốc của một vật dao động điều hòa?
A. a  4x .

B. a  4x 2 .

C. a  4x 2 .

D. a  4x .

Câu 23: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình x  4 cos  t   / 4  cm thì
A. chu kỳ dao động là 4 (s).

B. Chiều dài quỹ đạo là 4 cm.

C. lúc t = 0 chất điểm chuyển động theo chiều âm.

D. tốc độ khi qua vị trí cân bằng là 4 cm/s.

Câu 24: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  4 cos  20t   / 6  cm. Chọn phát biểu đúng?
A. Tại t = 0, li độ của vật là 2 cm.

B. Tại t = 1/20 (s), li độ của vật là 2 cm.

C. Tại t = 0, tốc độ của vật là 80 cm/s.

D. Tại t = 1/20 (s), tốc độ của vật là 125,6 cm/s.

Câu 25: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình x  4 cos  t   / 4  cm. Tại thời điểm t = 1
(s), tính chất chuyển động của vật là


A. nhanh dần theo chiều dương.

B. chậm dần theo chiều dương.

C. nhanh dần theo chiều âm.

D. chậm dần theo chiều âm.

Câu 26: Trên trục Ox một chất điểm dao động điều hòa có phương trình x  5cos  2t   / 2  cm. Tại
thời điểm t = 1/6 (s), chất điểm có chuyển động.
A. nhanh dần theo chiều dương.

B. chậm dần theo chiều dương.

C. nhanh dần ngược chiều dương.

D. chậm dần ngược chiều dương.

Câu 27: Một vật dao động điều hòa phải mất 0,25s để đi từ điểm có tốc độ bằng không tới điểm tiếp theo
cũng như vậy. Khoảng cách giữa hai điểm là 36cm. Biên độ và tần số của dao động này là
A. A = 36cm và f = 2Hz.

B. A = 18cm và f = 2Hz.

C. A = 36cm và f = 1Hz.

D. A = 18cm và f = 4Hz.


CHỦ ĐỀ 2: HỆ THỨC ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

■ Xét hai dao động cùng pha x và y, có phương trình:
x
 cos  t   
 x  A cos  t     A
x y
A


  x  y  x  Cy  C  0  .

A B
B
 x  Bcos  t     y  cos  t  


 B

+) Tại mọi thời điểm x và y luôn cùng dấu.
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ có hệ số góc dương (C).
VD:

+) Fhp  ma : Fhp và a là 2 dao động điều hòa cùng pha với nhau
+) p  mv : p và v là 2 dao động điều hòa cùng pha với nhau...

■ Xét hai dao động ngược pha x và y, có phương trình:
 x
 A  cos  t   
 x  A cos  t   
x
y






A
B
 y  Bcos  t       Bcos  t     y  cos t  


 B
x

A
y  x  Cy  C  0 
B

+) Tại mọi thời điểm x, y luôn trái dấu.
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một đoạn thẳng có hệ số góc âm (-C).

VD:

+) a  2 x : a và x là 2 dao động điều hòa ngược pha với nhau.
+) Fhp  kx : Fhp , x là 2 dao động điều hòa ngược pha nhau...

■ Xét hai dao động vuông pha x và y, có phương trình:


 x
 cos  t   

2
2
 x  A cos  t   
 A
 x y

     1

A B
 y  Bcos  t     / 2   Bsin  t     y   sin t  


 B

+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một Elip.
VD:

 2
v2
2
2
2
A
x


x
v

  


2
+)  x, v  vuông pha:    
 1 
 A   A 
 v   A 2  x 2

2

2

 v   a 
+)  v, a  vuông pha: 
 
 1
 v max   a max 

Chú ý: Sử dụng mối quan hệ độc lập thời gian của hai đại lượng dao động điều hòa vuông pha:
2

+) Nếu

x
y
 0     1  y   B : tức, một đại lượng đang ở vtcb thì đại lượng kia đang ở biên
A
B

+) Nếu

x
1
y
3
  
.
A
2
B
2

+) Nếu

x
1
y
1

 
A
B
2
2.

Ví dụ minh họa: Tính tần số góc của một vật dao động điều hoà. Biết
a) tại thời điểm t1 , vật có li độ x1 và vận tốc là v1 , tại thời điểm t 2 vật có li độ là x 2  x1  x 2  và vận
tốc là v 2 .
b) tại thời điểm t1 vật có vận tốc là x1 và gia tốc là a1, tại thời điểm t 2 vật có vận tốc là v 2 và gia tốc là

a2 .

Lời giải:
2
2
 
x  v 
a) Do x  v suy ra    
  1.
 A   A 

  x1  2  v1  2
   
 1
v12
v 22
v12  v 22
 A   A 
2
2
2
2
Theo đề bài ta có 

x


x


A




1
2
2
2
2
2
x 22  x12
 x 2   v 2 
 A    A   1

  




v12  v 22

x 22  x12

v 22  v12
. Đặc biệt khi
x12  x 22

 v2  0  x 2  A
v
   max .

A

 v1  v max  x1  0

 v12 a12
2
   2  4  A
a 22  a12
2




b) Do v  a   2
2
2
2
v

v
v
a
1
2
 2  2  A2
 2 4


a12  a 22

v 22  v12

a 22  a12
.
v12  v 22

 v  0  a 2  a max
a
a 22  a12
   max .
. Đặc biệt khi  2
2
2
v max
v1  v 2
 v1  v max  a1  0

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì T = 2 s và biên độ A =10 cm. Tốc
độ của vật khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 6 cm là:
A. 8 cm/s.

B. 6 cm/s.

C. 8 cm/s.

D. 10 cm/s.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với tần số góc là 4 rad / s. Biết rằng khi vật đi qua điểm có li độ -8 cm
thì nó có tốc độ là 8 cm / s. Biên độ dao động của vật là:
A. A  16cm.

B. A  8 2cm.

C. A  4 5cm.

D. A  4 3cm.

Ví dụ 3: [Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017], Một vật dao động điều hoà với biên độ 20 cm. Khi li độ là
10 cm thì vận tốc của vật là 20 3 cm/s. . Chu kì dao động của vật là:
A. 0,1 s.

B. 0,5 s.

C. 1 s.

D. 5 s.

Ví dụ 4: : [Trích đề thi đại học năm 2009] Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình

x  A cos  t    . . Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là:
A.

v2 a 2
 2  A2.
4
 

B.

v2 a 2
 2  A2.

2
 

C.

v2 a 2
 4  A2.
2
 

D.

2 a 2
 4  A2.
2
v



Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1 cm , và có vận tốc v1 = 30 cm / s.
Đến thời điểm t 2 vật có li độ x2 = 3 cm và có vận tốc v 2 = 10 cm / s. Hãy xác định biên độ, tần số góc của
vật.
A. A  10 cm; = 10 rad/s.

B. A  10 cm; = 10 rad/s.

C. A  10 cm; =  rad/s.

D. A  10 cm; = 10 rad/s.

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 và có vận tốc v1 . Đến thời điểm t2 vật
có li độ x 2  x1  x 2  ) và có vận tốc v 2 . Chu kì dao động của vật là
x12  x 22
.
A. T  2 2
v1  v 22

C. T  2

v12  v 22
.
x12  x 22

x12  x 22
.
B. T  2 2
v 2  v12

D. T  2

v 22  v12
.
x12  x 22

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox , ở thời điểm t1 , vật có li độ x1 , và có vận tốc


v1 . Đến thời điểm t2 vật có li độ x 2  x1  x 2  và có vận tốc v 2 . Biên độ dao động của vật
A. A 

v 22 x12  v12 x 22
.
v 22  v12

B. A 

v12 x 22  v 22 x12
.
v 22  v12

C. A 

v12 x12  v 22 x 22
.
v 22  v12

D. A 

v 22 x 22  v12 x12
.
v 22  v12

Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox, tại thời điểm t1 vật có li độ là x1 =3 cm và vận tốc
là v1  6 3 cm/s , tại thời điểm t2 vật có li độ là x 2  3 2cm và vận tốc là v 2  6 2cm / s . Tốc độ lớn
nhất của vật trong quá trình dao động là:
A. v max  12cm / s.

B. v max  18cm / s.

C. v max  24cm / s.

D. v max  9cm / s.

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà khi vật có li độ x  4 3 cm thì vận tốc của vật là v  8cm/s và gia tốc
là 162 3 cm/s 2 . Chu kì và biên độ của dao động lần lượt là
A. T  1s;A  10cm.

B. T  2s;A  8cm.

C. T  1s;A  8cm.

D. T  1s;A  6cm.

Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm có tốc độ là v1 thì gia tốc của
nó là a1. Khi chất điểm có tốc độ là v 2  v 2  v1  thì gia tốc của nó là a2. Tần số góc của chất điểm là
A.  

a 22  a12
v12  v 22

B.  

a 22  a12
v12  v 22

C.  

a 22  a12
v 22  v12

D.  

v 22  v12
a12  a 22


Ví dụ 11: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc
độ của nó là 20 cm / s. Khi chất điểm có tốc độ 16 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là 24 cm / s2. Biên độ
dao động của chất điểm là
A. A = 20 cm.

B. A = 8 cm.

C. A = 16 cm.

D. A = 10 cm.

Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm ở vị trí biên thì gia tốc của nó
là 36 cm/s 2 . . Khi chất điểm cách vị trí cân bằng một khoảng 3 cm thì tốc độ của nó là 3 7cm / s. . Biên độ
dao động của vật là.
A. A  6 cm.

B. A  6 7 cm.

C. A  4 cm.

D. A  8 cm.

Ví dụ 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên một quỹ đạo là đoạn thẳng dài   16 cm . Tại một thời
điểm nào đó vận tốc của vật lần lượt là 40cm/s và 4 3 m/s 2 . Chu kì dao động của vật là:

A. T 


s
10

B. T 


s
5

C. T 


s
20

D. T 

3
s
10


Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc
độ của nó là 4 cm / s. Biết rằng khi chất điểm có tốc độ là 2 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là

8 3cm / s 2 . . Biên độ dao động của chất điểm là.
A. 2 cm.

B. 4 cm.

C. 1 cm.

D. 2 3 cm.

Ví dụ 15: :[ Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017]. Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là v max
tần số góc  thì khi đi qua vị trí có li độ x1 sẽ có vận tốc v1 thoã mãn:
A. v12  2 x12  v 2max .

B. v12  2 x12  v 2max .

C. v12  v 2max  2 x12 .

D. v12  v 2max 

2 x12 .
2

x 2 v2

 4 , trong đó x (cm), v
Ví dụ 16: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ v, x dạng
4 16

(cm/s). Biên độ và tần số góc dao động của vật là
A. 2 cm; 2 rad/s.

B. 4 cm; 2 rad/s.

C. 4 cm; 4 rad/s.

D. 2 cm; 4 rad/s.

Ví dụ 17: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ và chu kỳ lần lượt là T1 và T2  2T1 . Khi chúng
có cùng ly độ thì tỉ số độ lớn vận tốc là
A.

v1
2

v2
2

B.

v1
2
v2

C.

v1 1

v2 2

D.

v1

 2
v2


Ví dụ 18: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, với gia
tốc cực đại là 320 cm / s2. Khi chất điểm đi qua vị trí gia tốc có độ lớn 160 cm / s2 thì tốc độ của nó là

40 3cm/s . Biên độ dao động của chất điểm là:
A. 20 cm.

B. 8 cm.

C. 10 cm.

D. 16 cm.

Ví dụ 19: [Trích đề thi thử sở GD&ĐT Vĩnh Phúc 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn
thẳng dài 20 cm. Ở vị trí mà li độ của chất điểm là 5 cm thì nó có tốc độ 5 3cm / s . Dao động của chất
điểm có chu kì là:
A. 1 s.

B. 2 s.

C. 0,2 s.

D. 1,5 s.

Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm. Khi độ dời là 5 cm vật có tốc độ

v  10 3  cm / s  . Lấy 2  10 . Chu kì dao động của vật là

A. T = 0,5 (s).

B. T = 1 (s).

C. T = 1,5 (s).

D. T = 2 (s).

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm và chu kì T = 2(s). Lấy 2  10 . Tại thời điểm
vật có tốc độ v  2,5  cm / s  thì độ lớn gia tốc của vật là
A. a  25  cm / s 2 

B. a  25 2  cm / s 2 

C. a  25 3  cm / s 2 

D. a  50  cm / s 2 


Ví dụ 22: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2Hz. Khi pha dao động tại thời điểm t bằng


thì gia
3

tốc của chất điểm là a  8m / s 2 . Lấy 2  10 . Tốc độ của vật của vật khi đi qua li độ x  2,5 2  cm 
A. 20  cm / s  .

B. 20 3  cm / s  .

C. 20 5  cm / s  .

D. 20 10  cm / s  .

Ví dụ 23: Một vật dao động điều hòa có phương trình x  A cos  t    cm  . Tại thời điểm t1 vật có li độ
x = 5cm, vận tốc v  10 3  cm / s  . Tại thời điểm t2 vật có li độ x  5 2  cm  và vận tốc

v  10 2  cm / s  . Biên độ dao động của vật là?
A. 5 cm

B. 10 cm

C. 15 cm

D. 20 cm

Ví dụ 24: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là




x1  A1 cos  t   cm ; x 2  A 2 cos  t   cm. Tại thời điểm t1 chất diểm thứ nhất có li độ 5 cm thì
2
2



chất điểm thứ hai có li độ 3 3cm . Tại thời điểm t 2 chất điểm thứ nhất có li độ -2cm thì chất điểm thứ hai
có li độ là

A. 1, 2 3cm

B. 1, 2 3cm

C. 1, 6 3cm

D. 1, 6 3cm

Ví dụ 25: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là:

x1  A1 cos  t  1  , x 2  A 2 cos  t  2  . . Cho biết 4x12  x 22  25cm 2 . Khi chất điểm thứ nhất có li độ là
x1  2 cm. thì tốc độ của chất điểm thứ nhất là 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là
A. 12 cm/s.

B. 6 cm/s.

C. 16 cm/s.

D. 8 cm/s.

Ví dụ 26: Cho 2 vật dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1  A1 cos  40t  1  cm và

x 2  A 2 cos  40t  2  cm. . Biết vận tốc của vật thứ hai và li độ vật thứ nhất tại mọi thời điểm liên hệ với
nhau bởi công thức v 2  20x1 , trong đó v có đơn vị cm/s, x có đơn vị cm. Khi li độ của vật thứ nhất là 5
cm thì li độ của vật thứ hai là 2,5 3cm . Tổng biên độ của 2 vật A1  A 2 là
A. 15 cm

B. 12,5 cm

C. 13,5 cm

D. 25 cm


Ví dụ 27: Đồ thị biểu diễn liên hệ giữa vận tốc và li độ của một vật dao động điều hòa được cho như hình
vẽ bên. Gia tốc cực đại của vật dao động điều hòa bằng
A. 500 cm/s 2

B. 750 cm/s 2

C. 1500 cm/s 2

D. 1000 cm/s 2

Ví dụ 28: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox. Cho ba điểm M, I, N trên Ox với I là trung
điểm của đoạn MN. Gia tổc của chất điểm khi ngang qua vị trí M và I lần lượt là 20 cm/s2 và 10 cm/s2. Gia
tốc chuyển động của chất điểm lúc ngang qua vị trí N là
A. 15 cm/s 2

B. 30 cm/s 2

C. 5 cm/s 2

D. 0 cm/s 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc vật ở li độ  2  cm  ) thì có vận tốc

 2  cm / s  và gia tốc 2 2  cm / s 2  . Tốc độ cực đại của vật là

A. 2cm / s.
Câu 2: Một

B. 20rad / s.

C. 2cm / s.

D. 2 2cm / s

chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi li độ

x   A / 2. tốc độ của vật bằng
A. v max .

B. v max / 2

C.

3v max / 2

D. v max / 2


Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi tốc độ của vật
bằng nửa tốc độ cực đại thì li độ thỏa mãn
A. x  A / 4.

B. x  A / 2

C. x  A 3 / 2

D. x  A / 2

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi tốc độ của vật
bằng v max / 2 thì li độ thỏa mãn
A. x  A / 4.

B. x  A / 2

C. x  2A 2 / 3

D. x  A / 2

Câu 5: Một vật dao động điều hòa, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng có độ 20  cm / s  và gia tốc
cực đại của vật là 2002  cm / s 2  Tính biên độ dao động
A. 2 cm

B. 10 cm

C. 20 cm

D. 4 cm

Câu 6: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng dài 4 cm. Khi ở cách vị trí cân bằng lcm,vật có
tốc độ 31,4 cm/s. Chu kỳ dao động của vật là
A. T  1, 25  s  .

B. T  0,77  s  .

C. T  0,63  s  .

D. T  0,35  s  .

Câu 7: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm. Khi nó có li độ là 2 cm thì vận tốc là 1 m/s. Tần số
dao động là:
A. f  1Hz

B. f  1, 2Hz

C. f  3Hz

D. f  4,6Hz

Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T  2  s  , biên độ A  4cm. Tại thời điểm t vật có li độ tốc
độ v  2 cm/s. thì vật cách VTCB một khoảng là
A. 3, 24 cm/s.
Câu 9: Một

B. 3,64 cm/s.

C. 2,00 cm/s.

D. 3, 46cm/s

vật dao động điều hòa trong nửa chu kì đi được quãng đường 10cm. Khi vật có li độ

3cm thì có vận tốc 16cm / s. . Chu kì dao động của vật là
A. 0,5 s.
Câu 10: Một

B. 1,6 s.

C. 1s

D. 2s

vật dao động điều hòa trên trụcOx, xung quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ. Gia tốc

của vật phụ thuộc vào li độ x theo phương trình a  4002 x. Số dao động toàn phần vật thực hiện được
trong mỗi giây là
A. 20

B. 10

C. 40

D. 5

Câu 11: Một vật dao động điều hòa, khi vật có li độ 3 cm thì tốc độ của nó là 15 3cm / s , và khi vật có li
độ 3 2 cm thì tốc độ 15 2cm / s . Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
A. 20  cm / s  .

B. 25  cm / s  .

C. 50  cm / s  .

D. 30  cm / s  .

Câu 12: Một dao động điều hòa khi có li độ 5 3cm thì vận tốc v1  4 3  cm / s  khi có li độ

x 2  2 2  cm  thì có vận tốc v 2  4 2  cm / s  . Biên độ và tần số dao động của vật là
A. 8cm và 2Hz

B. 4 cm và 1Hz

C. 4 2cm và 2 Hz

D. 4 2cm và 1 Hz


Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ
của nó là 20cm / s . Khi chất điểm có tốc độ là 10cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn 40 3cm / s 2 . Biên độ
dao động của chất điểm là
A. 5 cm
Câu 14: Một

B. 4 cm

C. 10 cm

D. 8 cm

vật dao động điều hòa với chu kỳ tần số f = 2 Hz. Tại thời điểm t vật có li độ x = 4 cm và tốc

độ
v = 8cm / s thì quỹ đạo chuyển động của vật có độ dài là (lấy gần đúng)
A. 4,94 cm.

B. 4,47 cm.

C. 7,68 cm.

D. 8,94cm

Câu 15: Một vật dao động điều hoà có vận tốc cực đại là v max  16cm / s và gia tốc cực đại
a max  82cm / s 2 thì chu kỳ dao động của vật là

A. T = 2s.
Câu 16: Một

B. T = 4s

C. T = 0,5s

D. T =8s.

vật daođộng điều hòa với chu kỳ T   / 5  s  , khi vật có ly độ x = 2 cm thì vận tốc

tương ứng là 20 3cm / s , biên độ dao động của vật có trị số
A. A =5 cm.

B. A = 4 3 cm.

C. A = 2 3 cm.

D. A =4 cm.

Câu 17: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 3,14 (s). Xác định pha dao động của vật khi nó qua vị
trí x = 2 cm với vận tốc v = 0,04 m/s ?
A. 0rad.

B.  / 4 rad.

C.  / 6 rad.

D.  / 3 rad.

Câu 18: Một vật dao động điều hoà khi qua VTCB có tốc độ 8 cm/s . Khi vật qua vị trí biên có độ lớn
gia tốc là 82 cm/s 2 . Độ dài quỹ đạo chuyển động của vật là
A. 16 cm

B. 4 cm

C. 8 cm

D. 32 cm

Câu 19: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại là v max . Khi li độ x  

A
tốc
3

độ của vật bằng
A. v max

B.

2v max 2
3

C.

3v max
.
2

D.

v max
2

Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là v max . Khi tốc độ của vật
bằng một phần ba tốc độ cực đại thì li độ thỏa mãn
A. x  A / 4.

B. x  A / 2.

C. x  2A 2 / 3.

Câu 21: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ a, v dạng

D. x  A / 2.

v2
a2

 1 trong đó v
360 1, 44

 cm / s  ,a  m / s 2  . Biên độ dao động của vật
A. 2 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 2 2 cm

Câu 22: Một vật dao động điều hoà với biên độ A quanh vị trí cân bằng O. Khi vật qua vị trí M có li độ

x1 và tốc độ v1 . Khi qua vị trí N có li độ x 2 và tốc độ v 2 . Biên độ A là