Khối đa diện và thể tích khối đa diện – lư sĩ pháp (2021)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.44 MB, 67 trang )
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong
HÌNH HOÏC 12
CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN
VÀ
THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN
LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên
soạn cuốn bài tập Hình Học 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và
Đào tạo quy định.
Bài tập Hình học 12 gồm 2 phần
Phần 1. Phần tự luận
Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết và bài tập có hướng dẫn
giải ở từng bài học. Với mong muốn mong các em nắm được
phương pháp giải bài tập trước khi chuyển sang giải Toán trắc
nghiệm.
Phần 2. Phần trắc nghiệm
Ở phần này tôi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng
làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần
thiết trong quá trình làm bài trắc nghiệm.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất
mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các
em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355 334 679 – 0916 620 899
Email:
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong – Bình Thuận
MỤC LỤC
Ôn tập kiến thức hình học không gian .............................. 1 – 5
Khối đa diện và thể tích khối đa diện ............................... 6 – 8
Bài tập tự luận .................................................................... 9 – 37
Trắc nghiệm........................................................................ 38 – 53
Câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi Tốt nghiệp THPT ........ 54 – 63
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
CHUYÊN ĐỀ
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. QUAN HỆ SONG SONG
1. Hai đường thẳng song song
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng
phẳng và không có điểm chung.
b) Tính chất
Định lí. (về giao tuyến ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba
giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy
hoặc đôi một song song với nhau.
a, b ( )
a / /b
a b =
( ) ( ) ( )
a, b, c ñoàng qui
( ) ( ) = a
a / / b / / c
( ) ( ) = b
( ) ( ) = c
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai
đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có)
cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với
một trong hai đường thẳng đó.
( ) ( )
( ) ( ) = d (neáu coù) d / / a / / b
d a ( d b)
a ( ), b ( )
a / / b
Định lí. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
a b
a/ / b
a / / c, b / / c
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm chung.
b) Các tính chất
Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( ) và d
song song với đường thẳng d’ nằm trong ( ) thì d song song với ( ) .
Định lí 2. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) . Nếu mặt
phẳng ( ) chứa d và cắt ( ) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d:
d / /( ) d ( ) = O
d ( )
d / / d ' d / /( )
d ' ( )
d / /( )
( ) d
d / /d '
( ) ( ) = d '
Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng
nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một
( ) / / d
đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với
( ) / / d
d / /d '
đường thẳng đó.
( ) ( ) = d '
Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
3. Hai mặt phẳng song song
a) Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
( ) / /( ) ( ) ( ) = O
b) Các tính chất
Định lí. Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và
a ( ), b ( )
a, b cùng song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( ) .
ab = M
( ) / /( )
a / /( ), b / /( )
Chuyên đề 1. Khối đa diện
1
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
Hệ quả. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ
ba thì song song với nhau.
( ) ( )
( ) / /( ) ( ) / /( )
( ) / /( )
Định lí. Cho hai mặt phẳng song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng
này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
( ) / /( )
( ) ( ) = a a / / b
( ) ( ) = b
4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
➢ Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong
hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)
➢ Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
➢ Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d ( ) , ta chứng minh d không nằm trong ( ) và song song với một đường thẳng d nào
đó nằm trong ( ) .
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong
mặt phẳng kia.
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 0
a ⊥ b ( a, b ) = 900
b) Tính chất
➢ Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a ⊥ b u.v = 0 .
b c
a⊥b
➢
a ⊥ c
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng ( ) nếu d vuông góc với mọi đường
thẳng a nằm trong mặt phẳng ( ) .
d ⊥ ( ) d ⊥ a, a ( )
b) Tính chất
➢ Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
a, b ( ), a b = O
d ⊥ ( )
d
⊥
a
,
d
⊥
b
a / / b
( ) ( )
( ) ⊥ b
( ) / / ( )
( ) ⊥ a
( ) ⊥ a,( ) ⊥ a
a b
a / /( )
b⊥a
a / /b
a
⊥
b
(
⊥
),
(
b
⊥
)
(
)
a ( )
( ) / /( )
a ⊥ ( )
a / / ( )
a ⊥ ( )
a ⊥ b,( ) ⊥ b
➢ Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng đó.
➢ Định lí ba đường vuông góc
Chuyên đề 1. Khối đa diện
2
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
I Love Math
GV. Lư Sĩ Pháp
Cho a ⊥ ( P ), b (P ) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a b ⊥ a
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc hai mặt phẳng đó là góc
(
)
vuông.
( ) ⊥ ( ) ( ),( ) = 900
b) Tính chất
➢ Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc
( ) a
( ) ⊥ ( )
với mặt kia.
a ⊥ ( )
o
o
( ) ⊥ ( ),( ) ( ) = c
a ⊥ ( )
a ( ), a ⊥ c
( ) ⊥ ( )
a ( )
A ( )
a A, a ⊥ ( )
o
( ) ( ) = d
d ⊥ ( )
( ) ⊥ ( )
( ) ⊥ ( )
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
a '/ / a
(a; b) = (a '; b ') . Lưu ý: 00 (a; b) 900
b
'/
/
b
b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
( )
➢ Nếu d ⊥ ( P ) thì ( d ,( )) = ( d , d ' ) với d là hình chiếu của d trên ( ) .
Lưu ý: 0 ( d ,( )) 90
➢ Nếu d ⊥ ( ) thì d ,( ) = 900 .
0
0
c) Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
a ⊥ ( )
( ),( ) = ( a, b )
vuông góc với hai mặt phẳng.
b
⊥
(
)
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
➢ Khi hai mặt phẳng ( ) và ( ) cắt nhau theo một giao tuyến là , để tính góc giữa chúng, ta chỉ
việc xét một mặt phẳng ( ) vuông góc với , lần lượt cắt ( ) và ( ) theo các giao tuyến a, b.
Lúc đó góc ( ( ) , ( ) ) = (a, b)
(
)
( ) ( ) =
( ) ⊥
Nghĩa là:
( ( ),( ) ) = (a, b)
( ) ( ) = a
( ) ( ) = b
a ( ), a ⊥ c
➢ Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng :
( ),( ) = ( a, b )
b ( ), b ⊥ c
(
(
)
)
Lưu ý: 00 ( ),( ) 900
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H trong ( ) , S là diện tích của hình chiếu H của H
(
)
trên ( ) , = ( ),( ) . Khi đó:
2. Khoảng cách
Chuyên đề 1. Khối đa diện
S ' = S.cos
3
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
I Love Math
GV. Lư Sĩ Pháp
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó
đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên
đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
➢ Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
➢ Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song
với đường thẳng thứ nhất.
➢ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường
thẳng kia.
Phụ lục khoảng cách
I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (P), kí hiệu d ( E , ( P))
E
P
1. Mặt phẳng (P) không chứa đường cao SH
Bước 1. Dựng d ( H ,( P))
. Xác định giáo tuyến = (P) (Ñaùy)
. Từ điểm H kẻ HM ⊥ và nối SM .
. Kẻ HK ⊥ SM
Suy ra: d ( H ,( P)) = HK
S
K
M
H
P
Đáy
E
Bước 2. Tính d ( E ,( P)) thông qua HK bằng kĩ thuật đổi điểm
Trường hợp 1. EH || ( P)
Trường hợp 2. EH ( P) = I
E
H
H
E
I
P
K
P
K
d ( E , ( P)) IE
IE
=
d ( E , ( P)) =
.d ( H , ( P))
d ( H , ( P )) IH
IH
Ta có: d ( E,( P)) = HK
2. Mặt phẳng (P) chứa đường cao SH
S
P
Xác định giao tuyến = (P) (Ñaùy)
Kẻ EK ⊥ . Suy ra d ( E,( P)) = EK
H
E
K
Đáy
II. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau 1 , 2 . Phương pháp tính d (1 , 2 )
Gọi (P) chứa 2
Chuyên đề 1. Khối đa diện
4
Thể tích khối đa diện_0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp
Toán 12
I Love Math
Trường hợp 1. 1 ⊥ (P) tại M . Từ M , dựng MN ⊥ 2 tại
N . Suy ra: d (1 , 2 ) = MN
Lưu ý: (P) : có sẵn hình.
MN : Đoạn vuông góc chung của 1 , 2
Δ1
Δ2
M
N
P
Trường hợp 2. 1 || (P)
Δ1
E
d (1 , 2 ) = d (1 ,(P)) = d (E,(P))
Lưu ý: (P) : có sẵn hình hoặc không có sẵn, phải dựng mặt
phẳng (P)
Δ2
P
IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1. Hệ thức lượng trong tam giác:
a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
AB 2 + AC 2 = BC 2
AB 2 = BC .BH
AC 2 = BC.CH
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
AB = BC.sin C = BC.cos B
AB = AC.tan C = AC.cot B
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn
ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
• Định lí cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B ; c 2 = a2 + b2 − 2ac cos C
a
b
c
=
=
= 2R
• Định lí sin:
sin A sin B sin C
• Công thức độ dài trung tuyến:
b2 + c2 a2
c2 + a2 b2
a2 + b2 c2
ma2 =
− ; mb2 =
− ; mc2 =
−
2
4
2
4
2
4
2. Các công thức tính diện tích:
a) Tam giác:
1
1
1
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C
2
2
2
2
2
2
abc
S = p ( p − a )( p − b )( p − c )
S=
S = pr ;
4R
a2 3
a 3 ABC vuông tại A: S = 1 . AB. AC = 1 .BC. AH
ABC đều, cạnh a: S =
, đường cao AH =
2
2
4
2
2
b) Hình vuông:
S=a
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b
(a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy cao = AB.AD.sinBAD
1
S = AB. AD.sinBAD = AC.BD
e) Hình thoi:
2
1
S = ( a + b ) .h
f) Hình thang:
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD
2
Chuyên đề 1. Khối đa diện
5
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
I Love Math
GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH
§1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
I. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện(gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh
chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự
được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: Phần bên trong và phần bên ngoài
II. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kẻ cả hình đa diện đó
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm
ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện tương ứng với khối đa diện ấy được
gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.
Mỗi khối đa diện được hoàn toàn xác định theo hình đa diện tương ứng với nó và đảo lại.
III. Hai hình bằng nhau
1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M xác định duy nhất được gọi là phép
biến hình trong không gian.
Phép biền hình trong không gian được gọi phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
tùy ý.
Phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng.
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện (H ) thành đa diện (H ) , biến đỉnh, cạnh, mặt của (H ) thành đỉnh, cạnh,
mặt tương ứng của (H ) .
2. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Nếu một khối đa diện (H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1 ) , ( H 2 ) sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) không có điểm
trong nào chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) , hay có
thể lắp ghép được hai khối ( H1 ) và ( H 2 ) với nhau để được khối đa diện ( H ) .
Chuyên đề 1. Khối đa diện
6
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
§2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
I. Khối đa diện lồi
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H).
khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
II. Khối đa diện đều
1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
a. Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b. Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại p; q .
2. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện loại p; q có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì p.M = q.D = 2C hoặc theo Euler: D + M = 2 + C
Khối đa diện
Tứ diện đều
Loại
{3;3}
Số đỉnh
4
Số cạnh
6
Số mặt
4
Lập phương
Bát diện đều
{4;3}
{3; 4}
8
6
12
12
6
8
Mười hai mặt đều
{5;3}
20
30
12
Hai mươi mặt đều
{3;5}
12
30
20
Chuyên đề 1. Khối đa diện
7
Thể tích
2 3
V=
a
12
V = a3
2 3
V=
a
3
15 + 7 5 3
V=
a
4
15 + 5 5 3
V=
a
12
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
I Love Math
GV. Lư Sĩ Pháp
§3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = a.b.c , với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối lập phương: V = a3 , với a cạnh của hình lập phương
1
3. Thể tích của khối chóp: V = Sñaùy .h , với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3
4. Thể tích của khối lăng trụ: V = Sñaùy .h , với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
5. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức
• Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
• Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sauđó,
cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện
mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B ' trên Oy; C , C ' trên Oz ,ta
đều có:
VOABC
OA OB OC
=
.
.
VOA ' B ' C ' OA ' OB ' OC '
Chuyên đề 1. Khối đa diện
8
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Biết BAC = 1200 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
HDGiải
Ta có:
❖ SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ AB, SA ⊥ AC
S
SA chung
❖ Xét hai tam giác vuông SAB và SAC, có:
SB = SC
SAB = SAC AB = AC
❖ Áp dụng định lí côsin trong tam giác cân BAC, có:
a
a2 = BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB.AC cos BAC
(
)
= 2 AB 2 1 − cos120 0 = 3 AB 2 AB =
a
a 3
3
A
C
120°
2
a
a 3
a 6
❖ Tam giác vuông SAB có: SA = SB − AB = a −
=
3
3
2
❖ Diện tích: SABC =
❖ Thể tích: VS . ABC
2
2
B
1
1
a2 3
AB. AC sin BAC = AB 2 sin120 0 =
2
2
12
1
1 a 6 a 2 3 a3 2
= SA.SABC = .
.
=
3
3 3
12
36
Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
theo a.
HDGiải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
❖ ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD tại O
( SBD ) ( ABCD ) = BD
BD ⊥ ( SAC )( doBD ⊥ SC , BD ⊥ SA )
❖
( SAC ) ( SBD ) = SO
( SAC ) ( ABCD ) = AC
(
)
(
S
)
60°
( SBD ) , ( ABCD ) = SO, AC = SOA = 600
❖ Tam giác vuông SAO, có: SA = OA.tan SOA =
a
A
a
O
AC
a 2
a 6
tan 60 0 =
. 3=
2
2
2
B
C
❖ Diện tích: SABCD = a2
1
1 a 6 2 a3 6
.a =
❖ Thể tích: VS . ABCD = SA.SABCD = .
3
3 2
6
Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a
.Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 450 . Tính thể tích
của khối chóp S.ABCD theo a.
HDGiải
Chuyên đề 1. Khối đa diện
9
Thể tích khối đa diện_0916620899
D
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
Ta có:
❖ SA ⊥ ( ABCD ) AC là hình chiếu của SC trên ( ABCD )
S
(
) (
)
Nên SC, ( ABCD ) = SC, AC = SCA = 450
3a
A
a
B
45°
D
C
a
❖ Tam giác ACD vuông cân tại D nên AC = a 2
❖ Tam giác SAC vuông cân tại A nên SA = a 2
1
1
❖ Diện tích: SABCD = ( AB + DC ) . AD = ( 3a + a ) a = 2a 2
2
2
1
1
2a3 2
2
❖ Thể tích: VS . ABCD = SA.SABCD = .a 2.2a =
3
3
3
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Góc
giữa đường thẳng A ' B với mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a.
HDGiải
A'
C'
(
) (
)
Nên A ' B, ( ABC ) = A ' B, AB = A ' BA = 600
B'
A
C
a
Ta có:
❖ AA ' ⊥ ( ABC ) AB là hình chiếu của A’B trên ( ABC )
a
60°
❖ Tam giác vuông A ' AB , có: AA ' = AB tan A ' BA = a tan 600 = a 3
1
a2
❖ Diện tích: SABC = AB.BC =
2
2
a 2 a3 3
=
2
2
Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD
❖ Thể tích: VABC . A ' B 'C ' = AA '.SABC = a 3.
B
theo a.
HDGiải
Ta có:
❖ AD ⊥ ( SAB )( do AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ) SA là hình chiếu của SD
S
(
a
A
B
a
D
) (
)
trên ( SAB ) . Nên SD, ( SAB ) = SD, SA = DSA = 300
30°
C
❖ Tam giác vuông SAD , có: SA = AD cot DSA = a cot 300 = a 3
❖ Diện tích: SABCD = a2
❖ Thể tích: VS . ABCD
1
1
a3 3
2
= SA.SABCD = .a 3.a =
3
3
3
Bài 6. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và SC = 2a 5 . Hình chiếu vuông
của S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm M của AB. Góc giữa đường thẳng SC và ( ABC ) bằng 60 0 .
Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a.
HDGiải
SM ⊥ ( ABC )
Ta có: ❖
MC là hình chiếu của SC trên ( ABC )
SM
ABC
=
C
( )
(
)
Suy ra: SC, ( ABC ) = ( SC, MC ) = SCM = 600
Chuyên đề 1. Khối đa diện
10
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
x
S
❖ Tam giác SMC vuông tại M, có: SM = SC.sin 60 = a 15 ,
0
MC = SC.cos600 = a 5
❖ Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC AM =
AC
2
2a 5
❖ Xét tam giác vuông MAC, ta có:
2
AC
2
AC + AM = MC AC +
= 5a AC = 2a
2
1
❖ Diện tích SABC = AC 2 = 2a 2 .
2
2
2
2
A
M
2
B
60°
C
1
2a3 15
Vậy thể tích: VS . ABC = .SM .SABC =
3
3
Bài 7. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC = a 3 , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SC và ( ABC ) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a.
HDGiải
1
a2 3
AB.BC =
2
2
❖ SA ⊥ ( ABC ) nên AC là hình chiếu của SC lên ( ABC ) .
S
Ta có: ❖ ABC vuông tại B S ABC =
Do đó góc giữa SC và ( ABC ) là SCA = 600
60°
C
A
❖ ABC vuông tại B AC = AB2 + BC 2 = 2a
❖ SAC vuông tại A SA = AC.tan 600 = 2a 3
1
B
❖ Thể tích khối chóp S. ABC là: VS . ABC = SA.SABC = a3
3
Bài 8. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy;
góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) bằng 30 0 . Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a
a 3
a
HDGiải
( ABC ) ( SBC ) = BC
Gọi I là trung điểm BC. Ta có: ❖ AI ( ABC ) , AI ⊥ BC
SI ( SBC ) , SI ⊥ BC
S
Do đó, góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) là SIA = 300
A
C
30°
a
I
a
B
a 3
a2 3
❖ ABC đều cạnh a SABC =
và AI =
2
4
a
❖ SAI vuông tại A SA = AI .tan 30 0 =
2
1
a3 3
❖ Thể tích khối chóp S. ABC là: VS . ABC = SA.S ABC =
3
24
Bài 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; biết AB = BC = a ,
AD = 2a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với đáy, góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 60 0
. Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a.
HDGiải
Chuyên đề 1. Khối đa diện
11
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
I Love Math
( SAB ) ( SAC ) = SA
Ta có: ❖ ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) SA ⊥ ( ABCD )
( SAC ) ⊥ ( ABCD )
AC là hình chiếu của SC lên ( ABCD ) .
S
2a
D
A
a
Do đó, góc giữa SC và ( ABCD ) là SCA = 600
❖ ABC vuông cân tại B AC = AB 2 = a 2
60°
❖ SAC vuông tại A SA = AC.tan 600 = a 6
❖ ABCD là hình thang vuông tại A và B
( BC + AD ) AB = 3a2
SABCD =
2
2
C
a
B
GV. Lư Sĩ Pháp
1
a3 6
❖ Thể tích khối chóp S. ABCD là: VS . ABCD = SA.SABCD =
3
2
Bài 10. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Gọi I là trung điểm
AC , tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; biết góc giữa SB và mặt
phẳng đáy bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a.
HDGiải
S
( SAC ) ⊥ ( ABC )
Ta có: ❖ ( SAC ) ( ABC ) = AC SI ⊥ ( ABC )
SI ( SAC ) , SI ⊥ AC
A
C
I
45°
a
BI là hình chiếu của SB lên ( ABC ) . Do đó, góc giữa SB và ( ABC ) là SBI = 450
❖ ABC vuông cân tại B AC = AB 2 = a 2 và BI =
AC a 2
=
2
2
B
a 2
2
1
a2
= AB 2 =
2
2
❖ SBI vuông tại I SI = BI .tan 450 =
❖ ABC vuông cân tại B SABC
1
a3 2
❖ Thể tích khối chóp S. ABC là: VS . ABC = SI .SABC =
3
12
Bài 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A / B / C / , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , ACA/ = 600 ,
A / C = 2 a . Tính thể tích khối lăng trụ ABC . A / B / C / theo a.
HDGiải
/
❖
Tam
giác
ACA
vuông tại A
A'
C'
AA/ = A/ C.sin 600 = a 3
❖ Tam giác ACA/ vuông tại A AC = A / C .cos 60 0 = a
B'
2a
a 2
2
2
1
a
❖ Diện tích tam giác ABC: SABC = AB.BC =
2
4
❖ Tam giác ABC vuông cân tại B AB = BC =
60°
A
C
a
B
Chuyên đề 1. Khối đa diện
❖ Thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ là: VABC . A ' B 'C ' = AA '.SABC =
12
a3 3
4
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
Bài 12. Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a . Biết hình chiếu vuông góc
của A trên mp(ABC) là trung điểm của BC và góc giữa cạnh bên với đáy là 600
a) Tính thể tích lăng trụ ABC.ABC theo a.
b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( ACCA ')
HDGiải
a) Tính thể tích lăng trụ ABC.ABC theo a.
❖ Gọi H là trung điểm của BC AH ⊥ ( ABC ) Góc giữa cạnh bên với đáy bằng góc AAH bằng 600
❖ Tam giác ABC đều cạnh a SABC =
a2 3
;
4
❖ Tam giác AA’H vuông ở H tan( AAH ) =
AH = AH .tan( AAH )
AH =
a 3
2
A'H
AH
A'
B'
a 3
3a
3=
2
2
C'
3a a 2 3 3a3 3
=
❖Vậy thể tích VABC . A ' B 'C ' = AH .SABC = .
2
4
8
b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( ACCA ')
❖ Kẻ HK vuông góc AC tại K A ' K ⊥ AC
Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( ACCA ') là = AKH
❖ Tính được HK =
A
a 3
a 39
AK =
4
4
a
60°
B
H
K
KH
13
cos =
=
AK
13
a
C
Bài 13. Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60o.
Tính thể tích của khối hình chóp đều theo a.
HDGiải
❖ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vì hình chóp S.ABCD
S
là hình chop đều nên SO ⊥ ( ABCD)
Do đó hình chiếu của đường thẳng SD trên mp(ABCD) là OD
(
)
SD, ( ABCD ) = ( SD, DO ) = SDO = 600
a
A
O
B
60°
a
C
D
1
1
❖ Thể tích: VS . ABCD = SO.SABCD = SO. AB 2
3
3
Mà AB = a và SO = OD.tan 60o =
VS . ABCD
a 6
. Suy ra:
2
1
a3 6
2
= AB .SO =
3
6
Bài 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC
vuông tại A AC = b, C = 600. Đường chéo BC tạo với ( AACC) một góc là 300.
a) Tính AC
b) Tính VABC.ABC
HDGiải
a) Tính AC
❖ BA ⊥ AC (ABC vuông tại A) và BA ⊥ AA (Tính chất của hình lăng trụ đứng) BA ⊥ ( AACC)
Chuyên đề 1. Khối đa diện
13
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
AC là hình chiếu của BC trên ( AACC)
BC A = ( BC ,( AAC C ) ) = 30o
❖ BA ⊥ ( AACC) BA ⊥ AC ABC vuông tại A
C
AC = AB.cot BCA
B
60°
mà ABC vuông tại A AB = AC . tan C = b
b
3
A
AC = b 3. 3 = 3b
b) Tính VABC.ABC
❖ VABC.ABC
=
30°
= S ABC .CC
1
1
AB. AC. AC 2 − AC 2 = b. 3b. 9b 2 − b 2 = b3 6
2
2
B'
C'
A'
Bài 15. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a , CD = a ;
góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng
( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
HDGiải
Ta có
( SBI ) ⊥ ( ABCD )
❖ ( SCI ) ⊥ ( ABCD ) SI ⊥ ( ABCD ) . Kẻ IK ⊥ BC , ( K BC ) BC ⊥ ( SKI ) .
( SBI ) ( SCI ) = SI
( SBC ) ( ADBC ) = BC
BC ⊥ ( SKI )
❖
( SBC ) , ( ABCD ) = SK , KI = SKI = 600
( SKI ) ( SBC ) = SK
SKI ( ABCD) = KI
)
(
1
S
❖ Diện tích hình thang: S ABCD = ( AB + CD ) . AD = 3a 2
2
1
1
❖ SABI + SABI = IA. AB + ID.DC
2
2
2
2
a
3a
3a 2
S IBC =
= a2 +
=
2
2
2
(
) (
❖ BC =
( AB − CD )
❖ S IBC =
1
3a 2
2S
3a 5
IK .BC =
IK = IBC =
2
2
BC
5
2
)
B
I
60°
2a
K
D
❖ SIK vuông tại I, có: SI = IK tan SKI =
2a
A
+ AD 2 = a 5
a
C
3a 15
5
1
1 3a 15
3a3 15
❖ Thể tích khối chóp S. ABCD : VS . ABCD = SI .S ABCD = .
.3a 2 =
3
3
5
5
Chuyên đề 1. Khối đa diện
14
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
Bài 16. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a ,góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng
( ABC ) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt
phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a
HDGiải
Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có:
❖ B ' G ⊥ ( ABC ) B ' BG = 600
❖ BGB ' có: B ' G = BB 'sin B ' BG =
a 3
,
2
A'
B'
a
3a
BD =
2
4
C'
AB 3
AB
AB
❖ Tam giác ABC có: BC =
, AC =
CD =
2
2
4
60°
❖ Tam giác vuông BCD có:
B
60° A
2
2
2
G
9a
3 AB
AB
3a 13
D
BD 2 = BC 2 + CD 2
=
+
AB =
16
4
16
13
C
3a 13
9a 2 3
AC =
SACB =
26
104
1
9a 3
❖ Thể tích khối tứ diện: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S ABC =
3
208
Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C .
a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) theo a
BG = BB '.cos B ' BG =
HDGiải
a) Hạ IH ⊥ AC ( H AC ) IH ⊥ ( ABC ) ; IH là đường cao của tứ diện IABC
Ta có:
❖ IH / / AA '
2
IH
CI
4a
2
=
= IH = AA ' =
3
AA ' CA ' 3
3
❖ AC = A ' C 2 − A ' A2 = a 5, BC = AC 2 − AB 2 = 2a
1
❖ Diên tích tam giác ABC: SABC = AB.BC = a 2
2
1
4a 3
❖ Thể tích khối tứ diện IABC: VIABC = IH .S ABC =
3
9
b) Ta có:
❖ BC ⊥ AB, BC ⊥ AA ' BC ⊥ ( ABB ' A ')
A'
❖ ( IBC ) ⊥ ( ABB ' A ') ; ( IBC ) ( ABB ' A ') = A ' B ,
M
I
2a
hạ AK ⊥ A ' B( K A ' B) (1)
❖ Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC (2)
3a
C'
B'
K
Từ (1) và (2) suy ra: AK ⊥ ( IBC )
C
H
A
a
B
❖ Khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC) là AK và AK =
Chuyên đề 1. Khối đa diện
15
2SAA ' B
=
A' B
AA '. AB
A ' A + AB
2
2
=
2a 5
5
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
Bài 18. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD.
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP.
b) Tính theo a thể tích khối chóp tứ diện AMNP.
HDGiải
MN / / CD(/ / AB)
a) Ta có: Tam giác SCD cân nên SP ⊥ CD
❖
MN ⊥ SP
SP ⊥ CD
b) Gọi O là tâm của đáy ABCD
S
Ta có:
a 6
❖ SO = SA2 − OA2 =
M
2
a 2
❖ Thể tích khối tứ diện AMNP:
N
3
1
1
1 1
a
6
A
D
VAMNP = VABSP = VS . ABCD = . SO. AB 2 =
4
8
8 3
48
a
P
O
B
C
Bài 19. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và
SH = a 3 .
a) Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
HDGiải
a) Tính thể tích khối chóp S.CDMN
Ta có:
❖ SH = a 3
1
1
a 2 a 2 5a 2
❖ SCDMN = S ABCD − S AMN − S BCM = AB 2 − AM . AN − BC.BM = a 2 − − =
2
2
8
4
8
3
1
5a 3
Vậy: VS .CDMN = SH .SCDMN =
3
24
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Ta có:
❖ ADM = DCN ADM = DCN DM ⊥ CN và
SH ⊥ DM . Suy ra: DM ⊥ ( SHC ) DM ⊥ SC
S
❖ Hạ HK ⊥ SC ( K SC ) , suy ra HK là đoạn vuông góc
chung của DM và SC
❖ Do đó: d ( DM , SC ) = HK
a 3
N
A
K
D
a
H
CD 2 2a 5
SH .HC
2a 57
, HK =
=
=
M
CN
5
19
SH 2 + HC 2
2a 57
B
Vậy: d ( DM , SC ) =
19
Bài 20. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và
❖ HC =
( ABC ) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm của tam giác
A ' BC .
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a.
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Chuyên đề 1. Khối đa diện
16
Thể tích khối đa diện_0916620899
C
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
HDGiải
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a.
Gọi D là trung điểm của BC, Ta có:
❖ Tam giác ABC đều nên AD ⊥ BC BC ⊥ A ' D (Định lí ba đường vuông góc).
( A ' BC ) ( ABC ) = BC
❖ Như vậy: A ' D ( A ' BC ) , A ' D ⊥ BC ( A ' BC ) , ( ABC ) = A ' D, AD = A ' DA = 600
AD ( ABC ) , AD ⊥ BC
3a
a2 3
❖ AA ' = AD tan A ' DA = , SABC =
.
2
4
3a3 3
❖ Do đó: VABC . A ' B 'C ' = AA '.SABC =
8
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
A'
❖ Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra GH / / AA ' GH ⊥ ( ABC )
) (
(
)
C'
❖ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là
B'
giao điểm của GH với đường trung trực của AG trong
G
mp(AGH).
E
❖ Gọi E là trung điểm AG, ta có
C
A
H
GE.GA GA2
60°
=
Bán kính: R = GI =
D
GH
2GH
I
AA ' a
a 3
7a 2
2
2
2
B
GH =
= ; AH =
; GA = GH + AH =
3
3
3
12
7a 2 2 7a
. =
Do đó: R =
12 a 12
Bài 21. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông
AC
góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) là H thuộc đoạn AC, AH =
. Gọi CM là đường cao của tam
4
giác SAC.
a) Chứng minh M là trung điểm của SA
b) Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
HDGiải
a) Chứng minh M là trung điểm của SA
Ta có:
❖ Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a, nên AC = a 2
3a 2
AC a 2
❖ AH =
và HC =
=
4
4
4
a 14
❖ SH ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ AC , SH = SA2 − AH 2 =
4
❖ Trong tam giác SCH có SC = SH 2 + HC 2 = a 2 = AC
Do đó tam giác SAC cân tại C. Suy ra M là trung điểm SA
b) Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
❖ CM là đường trung tuyến thuộc cạnh SA của tam giác SAC
1
nên SSCM = S AMC S SCM = S SCA
2
1
❖ VBSCM = VBSAC mà VBSAC = VSABC và VBSCM = VSBCM
2
Chuyên đề 1. Khối đa diện
17
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
1
nên VSBCM = VSABC
2
1
1 1
a 14 a3 14
❖ VSABC = SH .SABC = . a 2 .
=
3
3 2
4
24
3
1
a 14
Vậy: VSBCM = VSABC =
2
48
S
a
M
a
A
B
H
C
D
Bài 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA = SB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính thể tích khối chóp
S. ABCD theo a.
HDGiải
Gọi I là trung điểm AB. Ta có:
❖ SA = SB SI ⊥ AB
❖ ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) và ( SAB ) ( ABCD ) = AB nên
SI ⊥ ( ABCD )
(
)
❖ SC, ( ABCD ) = SCI = 450 tam giác SCI vuông cân tại I.
Do đó: SI = IC = IB 2 + BC 2 =
a 5
2
1
a3 5
❖ Thể tích khối chóp S. ABCD : VS . ABCD = SI .S ABCD =
3
6
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng
( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM
và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600
a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
HDGiải
a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Ta có:
( SAB ) ⊥ ( ABC )
SA ⊥ ( ABC ) . Suy ra SA là chiều cao của hình chóp S.BCMN
❖ ( SAC ) ⊥ ( ABC )
( SAB ) ( SAC ) = SA
SA ⊥ ( ABC )
❖
BC ⊥ SB . Suy ra: SBA là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )
BC ⊥ AB
❖ SBA = 600 SA = AB tan SBA = 2a 3
❖ Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N MN / / BC và N là trung điểm của AC
Suy ra: SBA là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )
❖ SBA = 600 SA = AB tan SBA = 2a 3
❖ Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N MN / / BC và N là trung điểm của AC
1
❖ Tứ giác BCMN là hình thang vuông, có hai đáy BC = 2a, MN = BC = a ; chiều cao BM = a
2
Chuyên đề 1. Khối đa diện
18
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
Do đó: S BCMN =
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
1
3a 2
( BC + MN ) .BM =
2
2
1
❖ Thể tích khối chóp S.BCMN: VS .BCMN = SA.S BCMN = a 3 3
3
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB.
❖ Hạ AD ⊥ ( D ) , ND / / AB AB / / ( SDN )
S
❖ d ( AB, SN ) = d ( AB, ( SDN ) ) = d ( A, ( SDN ) )
❖ ( SAD ) ⊥ ( SDN ) ( SA ⊥ ND, ND ⊥ AD) và ( SAD ) ( SAN ) = SD .
Δ
Hạ AH ⊥ SD( H SD) AH ⊥ ( SDN )
H
D
❖ Tam giác SAD vuông tại A, có AH ⊥ SD và AD = MN = a
SA. AD
2a 39
Vậy: d ( AB, SN ) = AH =
=
13
SA2 + AD2
N
C
A
2a
M
2a
60°
B
Bài 24. Cho hình lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình
chiếu vuông của điểm A1 trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt
phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD ) bằng 600 .
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a
b) Tính khoảng cách từ điểm B1 đền mặt phẳng ( A1BD ) theo a.
HDGiải
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:
❖ A1O ⊥ ( ABCD ) A1O là chiều cao của hình lăng trụ
Gọi E là trung điểm của AD
A O ⊥ ( ABCD )
❖ 1
A1 E ⊥ AD
OE ⊥ AD
Suy ra A1EO là góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD ) A1 EO = 600
AB
a 3
tan A1OE =
2
2
2
= AB. AD = a 3
❖ A1O = OE tan A1OE =
❖ Diện tích đáy: S ABCD
❖ Thể tích: VABCD. A1B1C1D1 = A1O.S ABCD =
3a 3
2
B1
b) Tính khoảng cách từ điểm B1 đền mặt phẳng
( A1BD ) theo a. Ta có:
C1
D1
A1
❖ B1C / / A1D B1C / / ( A1BD )
d ( B1 , ( A1BD ) ) = d ( C , ( A1BD ) )
❖ ( CDB ) ⊥ ( A1BD ) và ( CBD ) ( A1 BD ) = BD .
Hạ CH ⊥ BD( H BD) CH ⊥ ( A1BD )
B
❖ Tam giác BCD vuông tại C, có CH ⊥ BD và
CD = a, BC = a 3
60°O
A
a 3
Vậy: d ( B1 , ( A1BD ) ) = CH =
=
2
CD2 + CB 2
CD.CB
Chuyên đề 1. Khối đa diện
C
a
19
a 3
E
H
D
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
Bài 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a ; mặt phẳng ( SBC )
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết SB = 2a 3 và SBC = 300
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) theo a.
HDGiải
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Ta có:
❖ ( SBC ) ( ABC ) = BC , ( ABC ) ⊥ ( SBC ) ;
Hạ SH ⊥ BC SH ⊥ ( ABC ) SH là chiều cao của hình chóp.
1
❖ SH = SB sin SBC = 2a 3. = a 3
2
1
1
❖ Diên tích: SABC = BA.BC = .3a.4a = 6a 2
2
2
1
1
❖ Thể tích: VS . ABC = SH .S ABC = .a 3.6a 2 = 2a 3 3
3
3
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) theo
S
a.
Gọi D, K lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh AC và SD.
Ta có: HD ⊥ AC ( D AC ) , HK ⊥ SD ( K SD )
2a 3
SH ⊥ AC
AC ⊥ ( SHD ) AC ⊥ HK
❖
HD ⊥ AC
Suy ra: HK ⊥ ( SAC ) HK = d ( H , ( SAC ) )
K
B
30°
4a
C
H
D
3
= 3a BC = 4 HC
2
d ( B, ( SAC ) ) = 4.d ( H , ( SAC ) ) = 4 HK
❖ BH = SB cos SBC = 2a 3.
3a
A
❖ Tam giác ABC vuông tại B, có AC = BA2 + BC 2 = 5a
HC = BC − BH = 4a − 3a = a .
❖ CBA CDH DH =
BA.HC 3a
=
AC
5
❖ Tam giác SHD vuông tại H, có HK =
SH .HD
SH + HD
2
2
=
3a 7
14
Vậy: d ( B, ( SAC ) ) = 4 HK =
6a 7
7
Bài 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a . SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 300 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a
HDGiải
Ta có:
( SBC ) ( ABC ) = BC
( SAB ) ⊥ BC ( BC ⊥ AB, BC ⊥ SA)
( ( ABC ) , ( ABC ) ) = SB, AB = SBA = 300
❖
( SAB ) ( SBC ) = SB
SAB ABC = AB
) (
)
(
(
Chuyên đề 1. Khối đa diện
20
)
Thể tích khối đa diện_0916620899
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
I Love Math
S
❖ Tam giác ABC vuông cân tại B, có BC = AB = a
❖ Tam giác SAB vuông tại A, có SA = AB tan 300 =
M
1
1 1
1
a3 3
❖ Thể tích: VS . ABM = VS . ABC = . SA.SABC = SA. AB.BC =
2
2 3
6
36
C
A
a 3
3
30°
a
B
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng ( ABC ) là điểm H thuôc cạnh AB sao cho HA = 2 HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
( ABC ) bằng 600 . Tính theo a
a) Thể tích khối chóp S. ABC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
HDGiải
a) Thể tích khối chóp S. ABC
Ta có:
❖ SH ⊥ ( ABC ) HC là hình chiếu của SC lên ( ABC ) ( SC , ( ABC ) ) = ( SC , HC ) = SCH = 600
❖ SH là chiều cao của hình chóp.
❖ Gọi D là trung điểm của cạnh AB CD ⊥ AB BD =
Do đó: HD = BD − BH =
1
a
a
a 3
; CD =
; AH = 2 BH BH = BA =
3
2
3
2
a a a
− = .
2 3 6
a 7
3
a 21
❖ Tam giác SHC vuông tại H, có: SH = HC tan 600 =
3
2
a 3
❖ Diện tích tam giác đều ABC: S ABC =
4
1
1 a 21 a 2 3 a 3 7
❖ Thể tích: VS . ABC = SH .SABC = .
.
=
3
3 3
4
12
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
Qua A, kẻ Ax // BC. Gọi N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc
của H trên Ax và SN. Ta có
BC / / AN
❖
BC / / ( SAN )
AN ( SAN )
❖ Tam giác CHD vuông tại D, có: HC = HD 2 + CD 2 =
(
d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) hay = d ( C , ( SAN ) )
S
K
)
3
3
❖ BA = HA d ( B, ( SAN ) ) = d ( H , ( SAN ) )
2
2
❖ Ax ⊥ HN , Ax ⊥ SH Ax ⊥ ( SHN ) Ax ⊥ HK
❖ Vậy: HK ⊥ SN , HK ⊥ AN HK ⊥ ( SAN )
a 60°
A
N
C
a
D
x
a
H
B
d ( H , ( SAN ) ) = HK .
2a
a 3
. Tam giác AHN vuông tại N, có HAN = ABC = 600 HN = AH sin 600 =
3
3
SH .HN
a 42
❖ Tam giác SHN vuông tại H, có: HK =
=
12
SH 2 + HN 2
❖ AH =
Chuyên đề 1. Khối đa diện
21
Thể tích khối đa diện_0916620899
