Thế vị logarit có trọng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ XUÂN

THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ XUÂN

THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

Thái Nguyên - 2020


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết

quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công
trình nào khác.

Thái Nguyên, ngày 29 tháng 5 năm 2020
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Xuân

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy
hướng dẫn, GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu. Em vô cùng biết ơn sự giúp
đỡ tận tình, quý báu mà Thầy đã dành cho em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý, những tài liệu bổ
ích mà Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của
Thầy về công việc nghiên cứu, em đã hoàn thành luận văn của mình.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Thái Nguyên, trong thời gian qua đã tạo cho chúng em môi trường
học tập hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời động viên, nhắc
nhở giúp chúng em thực hiện tốt công việc làm khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2020
Người thực hiện
Hoàng Thị Xuân

iii

Mục lục
Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.Hàm điều hòa dưới trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.Năng lượng logarit và năng lượng có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

I 2. Thế vị logarit có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.Thế vị có trọng trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

2.2.Bất dẳng thức Bernstein-Walsh và tính chất Bernstein-Markov 21
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

iv


MỞ ĐẦU
Thế vị logarit của một độ đo µ xác định trên tập K ⊂ C được định
nghĩa bởi
Pµ (y) :=

log
K

1

dµ(x).
|x − y|

Thế vị này dùng để xác định năng lượng logarit của µ và từ đó giúp
ta định nghĩa được dung lượng logarit của K. Đây là các khái niệm cổ
điển đã được người ta tìm hiểu từ lâu. Trong một công trình gần đây của
Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky,
người ta đã nghiên cứu các khái niệm thế vị logarit suy rộng, năng lượng
logarit suy rộng cùng các ứng dụng của nó. Sự "suy rộng" ở đây được thể
hiện là sự xuất hiện của hàm trọng ω trong công thức
Pµ,ω (y) :=

log
K

1
dµ(x),
|x − y|ω(x)

với ω > 0 là hàm trọng liên tục xác định trên K.
Mục đích của đề tài là trình bày lại một cách hệ thống các tính chất
của thế vị logarit có trọng, đặc biệt là ứng dụng vào nghiên cứu các bất
đẳng thức Bernstein - Walsh và Bernstein - Markov vào đánh giá chuẩn
các đa thức một biến thông qua hàm cực trị có trọng.
Đề tài trình bày lại một số kết quả cơ bản của bài báo [2] của Thomas
Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky. Nội dung
chính là các tính chất của thế vị logarit có trọng cùng với ứng dụng của
nó vào vấn đề xấp xỉ đa thức và đánh giá độ tăng của đa thức.
1

Chúng tôi dự kiến đạt được một số kết quả về điều kiện đủ để một độ đo
thỏa mãn tính chất Bernstein - Markov và một điều kiện của tập compact
K cùng với một trọng ω trên đó để thế vị logarit có trọng Pµ,ω < ∞ với
một độ đo xác xuất µ nào đó trên K.
Các kết quả này sẽ dùng để đặc trưng tập cực trong C.

2


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
Ta trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị sẽ được dùng về sau.
Những kiến thức này được lấy ra trong tài liệu [1].
1.1.

Hàm điều hòa dưới trên C

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞)
gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập
Xα = {x ∈ X : u(x) < α}
là mở trong X. Hàm v : X → [−∞, +∞) gọi là nửa liên tục dưới trên X
nếu −v là nửa liên tục trên trên X.
Chúng ta có thể dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa
mang tính địa phương sau. Giả sử u : X → (−∞, +∞]. Ta nói hàm u là
nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận Ux0 của x0 trong
X sao cho ∀x ∈ Ux0 ta có:
u(x) < u(x0 ) + ε nếu u(x0 ) = −∞
1

u(x) < − nếu u(x0 ) = −∞.
ε
Hàm u gọi là nửa liên tục trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi x0 ∈ X.
Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau. Giả sử E ⊂ X và u : E → [−∞, +∞)
là hàm trên E. Giả sử x0 ∈ E. Ta định nghĩa
lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }}
x→x0 , x∈E
3


ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy
rằng hàm u : E → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu
lim sup u(x) ≤ u(x0 ).
x→x0

Ta có kết quả sau
Định lý 1.1.2. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô
X và K

X là tập compact. Khi đó u đạt cực đại trên K.

Chứng minh. Các tập {x ∈ X : u(x) < n} với n ≥ 1 tạo nên phủ mở của
K. Do đó có phủ con hữu hạn phủ K. Vậy u bị chặn trên trên K. Giả sử
M = sup{u(x) : x ∈ K}. Khi đó các tập mở {x ∈ X : u(x) < M − n1 }
không thể phủ K. Vậy có x0 ∈ K sao cho u(x0 ) ≥ M −

1
n

với mọi n. Vậy

u(x0 ) = M , và định lý được chứng minh.
Tiếp theo ta cần định lý xấp xỉ sau đối với các hàm nửa liên tục trên.
Định lý 1.1.3. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên và bị chặn trên trên
không gian metric (X, d). Khi đó tồn tại dãy giảm các hàm liên tục Φn :
X → R với
lim Φn (x) = u(x), ∀x ∈ X.

n→∞

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞, +∞)
gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω, u ≡ −∞ trên
bất một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung
bình trên Ω, nghĩa là với mọi w ∈ Ω tồn tại
ta có
1
u(w) ≤
2π

> 0 sao cho mọi o ≤ r <

2π

u(w + reit )dt.
0

Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω).
Sau đây là ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới

4

(1.1)


Mệnh đề 1.1.5. Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là
hàm điều hòa dưới.
Mệnh đề 1.1.6. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω
trong C. Khi đó:
(i) max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω.
(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, nghĩa là nếu u, v ∈
SH(Ω) và α, β > 0 thì αu + βv cũng thuộc SH(Ω).
Bây giờ ta đi đến nguyên lí cực đại của các hàm điều hòa dưới nói rằng
giá trị cực đại của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở chỉ đạt trên biên
của tập mở đó.
Định lý 1.1.7. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn Ω trên
C. Khi đó:

(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trên
Ω.
(ii) Nếu lim supz→ζ u(z) ≤ 0 đối với mọi ζ ∈ ∂Ω thì u ≤ 0 trên Ω.
Kết quả sau cho một điều kiện khi nào một hàm lớp C 2 là điều hòa
dưới.
Định lý 1.1.8. Giả sử u ∈ C 2 (Ω). Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω khi
và chỉ khi

u ≥ 0 trên Ω, ở đó
∂ 2u ∂ 2u
u= 2+ 2
∂x
∂y

là Laplace của u.
Kết quả sau đây rất có lợi khi cần dán hai hàm điều hòa dưới để cho
ta hàm điều hòa dưới.

5


Định lý 1.1.9. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω1 và v là
hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 . Giả thiết
lim sup v(z) ≤ u(ζ), đối với mọi ζ ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 .
z→ζ

Khi đó u˜ xác định trên Ω1 :

 max(u, v) trên Ω
2
u˜ =
u
trên Ω1 \Ω2
là điều hòa dưới trên Ω1 .
Định lý 1.1.10. Giả sử {un } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập
mở Ω trên C và u = limn→∞ un . Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω.
Định lý 1.1.11. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền Ω. Khi đó u
khả tích địa phương trên Ω, nghĩa là với mọi K

Ω ta có

|u|dV < +∞.
K

Hệ quả 1.1.12. Giả sử u là hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ C sao
cho u ≡ −∞ trên Ω. Khi đó tập
E = {z ∈ Ω; u(z) = −∞}
có độ đo Lebesgue bằng 0.
Tiếp sau đây ta có định lý xấp xỉ cơ bản sau. Đó là kết quả nói rằng
với mọi hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C có thể xấp xỉ bởi một dãy
hàm điều hòa dưới trơn. Ta nhắc lại khái niệm tích chập của hai hàm khả
tích địa phương.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử Ω là tập mở của C. với mỗi r > 0 đặt
Ωr = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > r}.
Giả sử u : Ω → [−∞, +∞) là hàm khả tích địa phương trên Ω và giả sử
φ : C → R là hàm khả tích với suppφ ⊂
6

(0, r). Khi đó ta xác định được


tích chập u ∗ φ(z) : Ωr → R theo công thức
u ∗ φ(z) =

u(z − w)φ(w)dV (w) =
C

u(w)φ(z − w)dV (w).
C

Ta có nếu φ là hàm trơn thì u ∗ φ cũng là hàm trơn. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.1.14. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C với
u ≡ −∞. Giả sử χ : Rn → R là hàm cho bởi:


1
2
 ke− 1−||x||
Nếu ||x|| < 1
χ(x) =
0
Nếu ||x|| ≥ 1
ở đó ||x|| =

n
2
i=1 xi ,

(1.2)

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn và k > 0 là hằng số được

chọn sao cho:
χ(x)dV = 1
Rn

ở đó dV là độ đo Lebesgue trên Rn .
Với n = 2, R2

C. Với mỗi r > 0 đặt
χr (z) =

1 z
χ( ) (z ∈ C).

r2 r

Khi đó u ∗ χr là hàm điều hòa dưới trơn trên Ωr và u ∗ χr
r

u trên Ω khi

0.
Ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1.15. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C và D
là miền compact tương đối trong Ω. Khi đó tồn tại dãy hàm điều hòa dưới
{un } trơn trên D giảm tới u trên D.
Định lý 1.1.16. Giả sử f : Ω1 → Ω2 là ánh xạ chỉnh hình giữa hai tập
mở trong C. nếu u là hàm điều hòa dưới trên Ω2 thì u ◦ f là điều hòa dưới
trên Ω1 .
Ta có kết quả sau

7


Định lý 1.1.17. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C
sao cho u = v (tương ứng u ≥ v) hầu khắp nơi trên Ω. Khi đó u = v
(tương ứng u ≥ v) trên Ω.
1.2.

Năng lượng logarit và năng lượng có trọng

Cho µ là độ đo Borel chính quy xác định trên tập compact K ⊂ C. Ta
định nghĩa thế vị của độ đo µ là

log |z − w|dµ(w), z ∈ C.

Iµ (z) :=
K

Tính chất cơ bản của µ được mô tả trong kết quả sau.
Định lý 1.2.1. Hàm số Iµ thỏa mãn các tính chất sau đây:
(a) Iµ là hàm điều hòa dưới trên C;
(b) Iµ là hàm điều hòa trên C\K;
(c) Iµ thỏa mãn ràng buộc về độ tăng sau đây:
Iµ = µ(K) log |z| + O(|z|−1 ) khi |z| → ∞.
Kết quả trên được chứng minh dựa vào các tính chất của hàm điều hòa
dưới đã nói ở phía trước.
Mối liên hệ giữa tập đa cực và thế vị logarit còn được thể hiện trong
kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.2. Cho µ là độ đo Borel chính quy trên tập compact k ⊂ C.
Giả sử I(µ) > −∞. khi đó với mọi tập cực E ⊂ C ta có µ(E) = 0.

8


Chương 2

Thế vị logarit có trọng
Những kiến thức trong chương này được lấy ra trong tài liệu [2] và [3].
2.1.

Thế vị có trọng trên C

Trong phần này, chúng tôi phát biểu và chứng minh các kết quả, kể cả

sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của độ đo năng lượng có trọng tối
thiểu, trong một đơn vị tổng quát. Nhớ lại tập E ⊂ C là tập cực nếu
tồn tại u ≡ −∞ được xác định và điều hòa dưới trên lân cận của E với
E ⊂ {u = −∞}. Chúng ta sử dụng thuật ngữ tính chất đúng hầu khắp
nơi trên tập S ⊂ C nếu nó đúng trên S \P với P là một tập cực. Trong [2],
cho tập compact, không cực K ⊂ C, một hàm giá trị thực Q trên K được
gọi là chấp nhận được nếu Q là nửa liên tục dưới và {z ∈ K : Q(z) < ∞}
là tập không cực. Ta viết Q ∈ A(K) và định nghĩa w(z) := e−Q(z) . Nếu
K là đóng nhưng không bị chặn thì đòi hỏi rằng
lim inf [Q(z) −

|z|→∞,z∈K

1
log(1 + |z|2 )] = ∞.
2

(2.1)

Giả sử K ⊂ C là tập đóng, không cực, và f : K → C là liên tục. Cho K
compact, lớp có trọng chấp nhận được Q trên K thỏa mãn mục đích của
chúng ta; với tập không bị chặn K, chúng ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.1. Ta gọi một hàm nửa liên tục dưới Q trên một tập
đóng, không bị chặn K ⊂ C với {z ∈ K : Q(z) < ∞} không cực f - chấp
9


nhận được với K nếu
ψ(z) := Q(x) −

1
log[(1 + |z|2 )(1 + |f (z)|2 )]
2

thỏa mãn lim|z|→∞,z∈K ψ(z) = ∞.
Suy ra ψ(z) ≥ c = c(Q) > −∞ với mọi z ∈ K; cũng từ 1 + |f (z)|2 ≥ 1,
ta có ψ(z) ≤ Q(z) − 12 log(1 + |z|2 ) vậy nên Q là chấp nhận được trên
nguyên lý thế vị trong [2]. Giả thiết sự phát triển của Q phụ thuộc nhiều
vào f . Ta nói Q là mạnh chấp nhận được trên K nếu tồn tại σ > 0 sao
cho (1 − σ)Q là chấp nhận được trên K.
Ta cũng nhớ lại sự định nghĩa của năng lượng logarit của µ.
I(µ) :=

log
K

trong đó pµ (y) :=

K

K

1
dµ(x)dµ(y)
|x − y|

1
log |x−y|
dµ(x) là thế vị logarit của µ. Cho tập com-

pact K ⊂ C, dung lượng logarit của K là
cap(K) := exp[− inf{I(µ) : µ ∈ M (K)}].

(2.2)

Vấn đề nguyên lý thế vị có trọng chúng ta nghiên cứu là làm giảm thiểu
năng lượng có trọng
EfQ (µ) = E Q (µ) :=

log
K

K

1
dµ(x)dµ(y)
|x − y||f (x) − f (y)|w(x)w(y)
(2.3)

trên µ ∈ M(K), tập độ đo xác suất trên K. do đó w = e−Q . Chú ý rằng
tích phân kép ở (2.3) được xác định và khác −∞. Thật vậy, cho
k(x, y) := − log(|x − y||f (x) − f (y)|w(x)w(y)).
Sử dụng bất đẳng thức |u − v| ≤

1 + |u|2

(2.4)

1 + |v|2 , ta có

log |x − y| + log |f (x) − f (y)|
1
1
1
1
≤
log(1 + |x|2 + log(1 + |y|2 ) + log(1 + |f (x)|2 + log(1 + |f (y)|2 .
2
2
2
2
10


Do đó theo Định nghĩa 2.1.1, ta có
k(x, y) ≥ ψ(x) + ψ(y) ≥ 2c trong K × K,

(2.5)

và tích phân của tích phân kép là bị chặn dưới bởi 2c.
Cho tập Borel E ⊂ C, cap(E) có thể được xác định là exp[−inf I(µ)]
trong đó cận dưới đúng là độ đo Borel sác xuất với giá compact trong E.
Năng lượng logarit có trọng của µ tương ứng với Q là
I Q (µ) :=

log
K

K

1
dµ(x)dµ(y).
|x − y|w(x)w(y)

(2.6)

Từ 1 + |f (x)|2 ≥ 1, tích phân kép ở (2.6) là được xác định và khác −∞.
Khi I(µ) = −∞ hoặc

Qdµ < ∞, ta có thể viết lại I Q (µ) như sau
I Q (µ) = I(µ) + 2

Qdµ.
K

Từ đó ta có
1
dµ(x)dµ(y)
|f (x) − f (y)|
1
log
df∗ µ(a)df∗ µ(b)
|a − b|
f (K)

log

I(f∗ µ) =
K

K

=
f (K)

=

pf∗ µ (b)df∗ µ(b)
f (K)

=

pf∗ µ (f (z))dµ(z).
K

Khi I Q (µ) = +∞ hoặc I(f ∗ µ) = −∞, năng lượng E Q (µ) có thể viết lại
như sau
E Q (µ) = I Q (µ) + I(f∗ µ).
Mệnh đề 2.1.2. Cho K ⊂ C là đóng và cho Q là f - chấp nhận được trên
K. Giả sử tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞. Cho Vw := inf {E Q (µ), µ ∈
M(K)}. Khi đó ta có các khẳng định sau:
1. Vw là hữu hạn.
11


2. Với KM := {z : Q(z) ≤ M }, ta có với M đủ lớn, M < ∞,
Vw = inf{E Q (µ), µ ∈ M (KM )}.
3. Ta có sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của µK,Q giảm đến mức tối
thiểu E Q . độ đo µK,Q có giá compact và năng lượng logarit I(µK,Q ),
I(f∗ µK,Q ) là hữu hạn.

4. Các bất đẳng thức dạng Frostman luôn đúng:
pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z) ≥ Fw q.e. trong K,

(2.7)

pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z) ≤ Fw trong supp(µK,Q ),

(2.8)

trong đó Fw := I(µK,Q ) + I(f∗ µK,Q ) +

Qd(µK,Q = Vw −

Qd(µK,Q .

5. Nếu một độ đo µ ∈ M(K) với giá compact và E Q (µ) < ∞ thỏa mãn
pµ (z) + pf∗ µ (f (z)) + Q(z) ≥ C q.e. trên K,

(2.9)

pµ (z) + pf∗ µ (f (z)) + Q(z) ≤ C trong supp(µ),

(2.10)

với hằng số C, khi đó µ = µK,Q .
Chứng minh. Với (1), ta có Vw < ∞ theo giả thiết. Bất đẳng thức −∞ <
Vw được suy ra từ tích phân kép trong (2.3) là bị chặn dưới bởi 2c.
Chứng minh ý (2). Trước tiên, cho M đủ lớn,
k(x, y) > Vw + 1 nếu (x, y) ∈
/ KM × KM .

Từ đó suy ra E Q (µ) = Vw chỉ tồn tại với độ đo có giá trong KM .
Tiếp theo ta chứng minh (3). Từ (2), có một dãy {µn } ⊂ M(KM ) với
E Q (µn ) → Vw khi n → ∞.
Tập KM là tập compact, do đó theo định lý Helly, ta có một dãy các
độ đo hội tụ yếu tới độ đo xác suất µ có giá trên KM ; và dễ thấy rằng
µ := µK,Q thỏa mãn E Q (µ) = Vw . Với năng lượng logarit của µK,Q , ta có
12


I(µK,Q ) > −∞ vì µK,Q có giá compart. Vì f là liên tục và f∗ µK,Q có giá
của nó trong f (KM ), nên ta cũng có I(f∗ µK,Q ) > −∞. Lại có Q bị chặn
dưới nên ta có thể viết I(µK,Q ) như sau
I(µK,Q ) = Vw − I(f∗ µK,Q ) − 2

QdµK,Q .
K

Vì I(µK,Q ) < ∞ nên I(f∗ µK,Q ) < ∞.
Tính duy nhất được suy ra từ µ → I(µ) là lồi chặt và µ → I(f∗ µ) là
lồi trên tập con hữu hạn của M(K). Để chính xác, cho µ1 và µ2 là hai độ
đo với năng lượng hữu hạn và µ1 (K) = µ2 (K), ta có I(µ1 − µ2 ) ≥ 0 và
I(µ1 − µ2 ) = 0 nếu và chỉ nếu µ1 = µ2 .
Nếu µ
¯ ∈ M(K) là một độ đo khác với giá trị cực tiểu E Q thì theo
chứng minh của (2), ta có µ
¯ ∈ M(KM ). Do đó I(¯
µ), I(f∗ µ
¯) > −∞. Suy
ra I(¯
µ), I(f∗ µ

¯) < ∞. Ta có
1
1
1
1
E Q ( (µK,Q +µ))+I( (µK,Q −µ))+I(f∗ ( (µK,Q −µ)) = [E Q (µK,Q )+E Q (µ)] = Vw .
2
2
2
2
Tổng
1
1
I( (µK,Q − µ)) + I(f∗ ( (µK,Q − µ)) ≥ 0
2
2
là đẳng thức nếu và chỉ nếu µK,Q = µ. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ nhất của (4). Cho µ ∈
M(K) với giá compact và xét độ đo µ
˜ = tµ + (1 − t)µK,Q , t ∈ [0, 1]. Bất
đẳng thức E Q (µK,Q ) ≤ E Q (˜
µ) có thể viết lại như sau
E Q µK,Q ≤ t2 (I(µ) + I(f∗ µ)) + (1 − t)2 (I(µK,Q ) + I(f∗ µK,Q ))
+ 2t(1 − t)(I(µ, µK,Q ) + I(f∗ µ, f∗ µK,Q )) + 2

Qd(tµ + (1 − t)µK,Q ),

trong đó với hai độ đo µ và ν, ta biểu thị I(µ, ν) bởi
I(µ, ν) = −

log |x − y|dµ(x)dν(y).

Vế phải của bất đẳng thức được xác định từ giả thiết rằng µ có giá
compact. Suy ra tất cả các hạng tử trong tổng là lớn hơn −∞. Cho t tiến
13


dần tới 0 ta thu được
Fw = I(µK,Q ) + I(f∗ µK,Q ) +

QdµK,Q

≤ I(µ, µK,Q ) + I(f∗ µ, f∗ µK,Q ) +

Qdµ.

(2.11)

Xuất phát từ sự mâu thuẫn, giả sử rằng tồn tại một tập con compact
không cực K của K sao cho
∀z ∈ K, pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z) < Fw .
Tích phân bất đẳng thức này đối với độ đo xác suất µ có giá trong K,
ta thu được
I(µ, µK,Q ) + I(f∗ µ, f∗ µK,Q ) +

Qdµ < Fw ,

mâu thuẫn với (2.11).
Bất đẳng thức thứ hai của (4) cũng mâu thuẫn. Thật vậy, giả sử
∃x0 ∈ supp(µK,Q ), pµK,Q (x0 ) + pf∗ µK,Q (f (x0 )) + Q(x0 ) > Fw .

Bởi tính nửa liên tục dưới, bất đẳng thức thỏa mãn trong một lân cận
Vx0 của x0 . Hơn nữa, µK,Q (Vx0 ) > 0 vì x0 ∈ supp(µK,Q ). Sử dụng bất đẳng
thứ nhất (2.7) trên supp(µK,Q )\Vx0 và µK,Q (E) = 0 với E là tập cực (Vì
µK,Q có năng lượng logarit hữu hạn I(µK,Q )), ta thu được
Fw =

(pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z))dµK,Q (z)

> Fw µK,Q (Vx0 ) + Fw µK,Q (supp(µK,Q )\Vx0 ) = Fw .
Điều này là mâu thuẫn
Cuối cùng, ta chứng minh (5). Ta viết
µK,Q = µ + (µK,Q − µ).
Khi đó
E Q (µ) ≥ E Q (µK,Q ) = E Q (µ) + I(µK,Q − µ) + I(f∗ (µK,Q − µ)) + 2R
14


với
R :=

− log |x − y|dµ(y) + Q(x)]d(µK,Q − µ)(x)

[
K

K

−

log |f (x) − f (y)|dµ(y)d(µK,Q − µ)(x)

K

K

(pµ (x) + Q(x))d(µK,Q − µ)(x) +

=

pf∗ µ(f (x))d(µK,Q − µ)(x)

K

K

(pµ (x) + pf∗ µ (f (x)) + Q(x))d(µK,Q − µ)(x).

=
K

Chú ý rằng mâu thuẫn ở trên đã được chứng minh. Thật vậy, giả sử
E Q (µ) < ∞ và µ có giá compact, các số E Q (µ), I Q (µ), I(f∗ µ), I(µ),

Qdµ

và I(µ, µK,Q là hữu hạn. Sử dụng bất đẳng thức (2.9) và (2.10), ta suy ra
R≥C

dµK,Q − C
K

dµ = 0.
K

Lại có I(µK,Q − µ) + I(f∗ (µK,Q − µ)) ≥ 0 là đẳng thức nếu và chỉ nếu
µK,Q = µ.
Do đó
E Q (µ) ≥ E Q (µK,Q ) ≥ E Q (µ).
Vậy nên đẳng thức đúng hầu khắp nơi và E Q (µ) = E Q (µK,Q ), từ đó suy
ra µ = µK,Q
Điều kiện tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞ là không hiển nhiên. Ví dụ,
nếu f là hàm hằng, khi đó tất cả các độ đo tầm thường ν có I(f∗ ν) = ∞.
Ta đưa ra một điều kiện đủ trên f đảm bảo giả thiết của Mệnh đề 2.1.2.
Mệnh đề 2.1.3. Nếu f : K → C là liên tục và
Σ :=

z ∈ K : Q(z) < ∞ và

lim inf
(z1 ,z2 )→(z,z)
z1 ,z2 ∈K, z1 =z2

f (z1 ) − f (z2 )
>0
z1 − z2

là không cực, khi đó tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞.
Chứng minh. Cho D := {(z, z) : z ∈ K}. Định nghĩa
φ(z1 , z2 ) :=

f (z1 ) − f (z2 )

;
z1 − z2
15


liên tục trên (K × K)\D. Thác triển φ trên D bởi định nghĩa
φ(z, z) :=

lim inf
(z1 ,z2 )→(z,z)
z1 ,z2 ∈K, z1 =z2

f (z1 ) − f (z2 )
.
z1 − z2

Khi đó φ : K ×K → C là nửa liên tục dưới và ta có thể viết Σ = ∪∞
n=1 Σn
trong đó
Σn := {z ∈ K : Q(z) < n và φ(z, z) > 1/n}.
Đây là một dãy tăng của các tập hợp với mọi n đủ lớn, Σn là không
cực. Cố định n. Vì tính phân cực là tính chất địa phương, theo [2] tồn tại
z ∈ Σn sao cho bất kì lân cận Vz của z, Σn ∩ Vz là không cực.
Hàm φ là nửa liên tục dưới trên K 2 , do đó tồn tại một lân cận Vz của
z sao cho φ(z1 , z2 ) > 1/n trên (Σn ∩ Vz )2 và theo nhận xét ta có Σn ∩ Vz
là không cực. Không phải là cực, Σn ∩ Vz dựa vào một độ đo ν của năng
lượng logarit hữu hạn cũng như năng lượng logarit có trọng hữu hạn vì
Q(z) < n với z ∈ Σn . Ta còn cần chứng minh f∗ ν cũng là năng lượng
logarit hữu hạn. Điều này có được từ
I(f∗ ν) =

1
dν(z1 )dν(z2 )
|f (z1 ) − f (z2 )|
1
log
dν(z1 )dν(z2 ) < ∞.
|z1 − z2 |
Σn ∩Vz

log
Σn ∩Vz

Σn ∩Vz

≤ log n +
Σn ∩Vz

Ta sẽ sử dụng hai trường hợp đặc trưng sau: f là hạn chế trên K của
toàn bộ hàm; và f là hạn chế trên K ⊂ (0, ∞) của chỉnh hình f trên nửa
phải mặt phẳng H := {z ∈ C : Rez > 0 với f (x) > 0, với x > 0}. Những
trường hợp này được đề cập trong hai hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.1.4. Giả sử f là chỉnh hình trên một lân cận của K và tập con
{z ∈ K : f (z) = 0 và Q(z) < ∞} là không cực. Khi đó tồn tại ν ∈ M(K)
với E Q (ν) < ∞.
16


Hệ quả 2.1.5. Cho f : [0, ∞) → R là hàm liên tục khả vi với x > 0 và
cho K ⊂ [0, ∞). Giả sử tập con {z ∈ K : f (z) = 0 và Q(z) < ∞} là

không cực, khi đó tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞.
Ta phát biểu tính xấp xỉ mà ta có thể sử dụng để chứng minh kết quả
độ lệch lớn trong tập không bị chặn. Phần tiếp theo sẽ chứng minh phiên
bản với các tập compact mà chúng ta cần cho nguyên lý độ lệch lớn trong
trường hợp này.
Bổ đề 2.1.6. Cho K là tập đóng và không cực, K là tập con của C và
cho Q là f- chấp nhận được trên K. Cho µ ∈ M(K), tồn tại một dãy tăng
các tập compact Km trong K và một dãy các độ đo µm ∈ M(K) sao cho
1. Các độ đo µm hội tự yếu đến µ khi m → ∞;
2. Năng lượng E Qm (µm ) tiến dần tới E Q (µ) khi m → ∞, trong đó Qm :=
Q|Km .
Chứng minh. Vì độ đo µ có khối lượng hữu hạn nên tồn tại dãy tăng
của tập con compact Km của K với µ(K\Km ) ≤ 1/m. Khi đó các độ đo
µm := µ|Km là tăng và hội tụ yếu tới µ. Kí hiệu k + (x, y) và k − (x, y) là
phần dương và âm của hàm k(x, y) mà được định nghĩa trong (2.4). Khi
m → ∞ ta có
χm (x, y)k + (x, y) ↑ k + (x, y) và χm (x, y)k − (x, y) ↑ k − (x, y),
(µ × µ) – hầu khắp nơi trên K × K, trong đó χm (x, y) là hàm đặc trưng
của Km × Km và ta thừa nhận rằng vế bên tay trái bị triệt tiêu khi
x=y∈
/ Km . Theo tính hội tụ đơn điệu ta suy ra E Qm (µm ) tiến dần tới
E Q (µ) (có thể bằng +∞) khi m → ∞, trong đó năng lượng E Q (µ) được
cho bởi tích phân kép trong (2.3) luôn được xác định vì Q là f - chấp nhận
được. Tập µm := µm /µ(Km ) cho ta điều cần chứng minh.
17


Ta hạn chế K là compact. Cho Q ∈ A(K) và w := e−Q . Chú ý trong
tập compact này, lớp A(K) là phổ dụng. Ở đây ta giả sử f sao cho có
tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞ và ta sẽ rời rạc hóa bài toán có trọng

(2.3). Cho
|V DMkQ (z0 , . . . , zk )| = hàm có trọng Vandermonde bậc k

(2.12)

:= |V DM (z0 , . . . , zk )| exp −k[Q(z0 )+. . .+Q(zk )] |V DM (f (z0 ), . . . , f (zk ))|
trong đó
(zj − zi )

V DM (z0 , . . . , zk ) =
0≤i
và
(δkQ (f ))(K) = δkQ (K) :=

max |V DMkQ (z0 , . . . , zk )|2/k(k+1) .

z0 ,...,zk ∈K

Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ các điểm Fekete có trọng, cho khái niệm
được định nghĩa liên quan đến các hàm có trọng Vandermondes được định
nghĩa trong (2.12).
Định lý 2.1.7. Cho K ⊂ C là tập compact và không cực, và Q ∈ A(K).
Khi đó ta có các khẳng định sau:
1. Nếu {µk =

1
k+1

k

j=0 δzj (k)}

⊂ M(K) hội tụ yếu tới µ ∈ M(K), khi

đó
(k)

(k)

lim sup |V D M (z0 , . . . , zk )|2/k(k+1) ≤ exp(−E Q (µ));

(2.13)

k→∞

2. Ta có
δ Q (K) := lim δkQ (K) = exp(−E Q (µK,Q ));
k→∞

(k)

3. Nếu {zj }j=0,...,k; k=2,3,... ⊂ K và
(k)

(k)

lim |V DMkQ (z0 , . . . , zk )|2/k(k+1) = exp(−E Q (µK,Q ))

k→∞

18

(2.14)


khi đó
1
µk =
k+1

k

δzj (k) → µK,Q hội tự yếu.
j=0

Chứng minh. Để chứng minh (1) thì tương tự như Mệnh đề 3.1 của [3] để
chứng minh ý (1) ta chỉ cần xét với M bất kỳ,
hM (x, y) := min(M, −log|x − y| − log |f (x) − f (y)|)
≤ −log|x − y| − log |f (x) − f (y)| := h(x, y)
và h(x, y) là nửa liên tục dưới nếu f là liên tục. Với (2), tương tự Hệ quả
3.2 của [3], bởi tính không liên tục của
(z0 , . . . , zk ) → |V D MkQ (z0 , . . . , zk )|,
giảm đến mức tối thiểu (k + 1)−bộ với δkQ (K) tồn tại. Cuối cùng (3),
tương tự như Hệ quả 3.3 của [3], sử dụng tính duy nhất của độ đo µK,Q
với mức tối thiểu E Q .
Kết quả cuối cùng của phần này tương tự như trong [2] và sẽ được sử
dụng để chứng minh kết quả độ lệch lớn trong trường hợp compact.
Bổ đề 2.1.8. Cho K ⊂ C là compact và cho µ ∈ M(K) với E Q (µ) < ∞.
khi đó tồn tại một dãy tăng của các tập compact Km ⊂ K, một dãy các
hàm {Qm } ⊂ C(K), và một dãy các độ đo µm ⊂ M(Km ) thỏa mãn

1. Các độ đo µm hội tụ yếu tới µ, khi m → ∞;
2. Các năng lượng I(µm ) tiến dần tới I(µ) khi m → ∞;
3. Các năng lượng I(f∗ µm ) tiến dần tới I(µ) khi m → ∞;
4. Các độ đo µm bằng độ đo cân bằng có trọng µK,Qm .
Chứng minh. Theo định lý liên tục Lusin áp dụng vào K và f (K), dễ
kiểm tra thấy rằng, với mỗi số nguyên m ≥ 1, tồn tại 1 tập con compact
19


Km của K sao cho µ(K\Km ) ≤ 1/m, pµ là liên tục trên Km , và pf∗ µ là
liên tục trên f (Km ), tương ứng chỉ xét hàm trên Km và f (Km ). Chúng
ta có thể giả sử rằng Km là tăng khi m tiến tới vô cùng. Khi đó độ đo
µm := µ|Km là tăng và hội tụ yếu tới µ; giống độ đo f∗ µm := f∗ µ|Km là
tăng và hội tự yếu tới f∗ µ. Như chứng minh Bổ đề 2.1.6, ta có
χm (z, t) log+ |z−t| ↑ log+ |z−t| và χm (z, t) log+ |f (z)−f (t)| ↑ log+ |f (z)−f (t)|,
khi m → ∞, (µ × µ)-hầu khắp nơi trên K × K, trong đó χm (z, t) là một
hàm đặc trưng của Km × Km và ta đồng ý rằng vế bên trái bị triệt tiêu
khi z = t ∈
/ Km . Tương tự hội tụ theo điểm luôn đúng cho phần âm của
hàm log. Do đó, theo tính hội tụ đơn điệu ta có
I(µm ) → I(µ), I(f∗ µm ) → I(f∗ µ), khi m → ∞,
trong đó ta thấy tính compact của K suy ra năng lượng I(µ) và I(f∗ µ)
đã dược định nghĩa. Thật vật, vì theo giả thiết E Q (µ) < ∞, năng lượng
I(µ) và I(f∗ µ) là hữu hạn nhưng nó không được sử dụng ở đây. Tiếp theo
ta định nghĩa µm := µm /µ(Km ) và cho z ∈ K,
Qm (z) := −pµm (z) − pf∗ µm (f (z)).
Ta chỉ ra Qm là liên tục trên Km . Vì pµm và pf∗ µm là nửa liên tục dưới,
nó thỏa mãn để chỉ ra chúng là liên tục trên. Với pµm được suy ra từ
pµ−µm = pµ − pµm là nửa liên tục trên và pµ (z) là liên tục trên Km . Tương
tự, pf∗ µm là nửa liên tục trên vì pf∗ µ − pf∗ µm là nửa liên tục trên và pf∗ µ (z)

là liên tục trên Km .
Ý (4). Từ µm có giá compact với E Qm (µm ) < ∞ (vì E Q (µ) < ∞) và nó
thỏa mãn bất đẳng thức Frostman của Mệnh đề 2.1.2 với K và trọng Qm .
Do đó ta có µm = µK,Qm . Chú ý ta chỉ giả sử E Q (µ) < ∞ để chứng minh
ý (4).
20