Sự suy giảm trong l2 của nghiệm yếu cho phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

HOÀNG THÀNH

SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU
CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

HOÀNG THÀNH

SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU
CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. Đào Quang Khải

THÁI NGUYÊN - 2020

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng
bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đào Quang Khải. Các nội
dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố
dưới bất kỳ hình thức nào trước đây.
Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác giả khác
đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào
tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020
Tác giả

Hoàng Thành

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn

TS. Đào Quang Khải

i


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận
được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, TS. Đào Quang Khải.

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn
này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận văn có thể có
những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây
dựng của các thầy cô, và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020
Tác giả

Hoàng Thành

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iv

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian các hàm cơ bản và hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

không gian hàm cơ bản D(Ω) và không gian hàm suy rộng
D (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3

Không gian hàm cơ bản E(Ω) và không gian hàm suy rộng
có giá compact E (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4

5

8

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) và không gian các
hàm tăng chậm S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Tích chập giữa các hàm trong Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . 13

1.2.2

Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản . . . . . . . . . 14

1.3

Phép biến đổi Fourier trong S(Rn ) và S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1

Không gian Sobolev cấp nguyên không âm . . . . . . . . . . 17

1.4.2

Không gian Sobolev cấp thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3

Không gian Sobolev thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
iii


1.5

Một số khái niệm cơ bản về phương trình Navier-Stokes . . . . . . . 20
1.5.1

Phương trình Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2

Nghiệm yếu đều của phương trình Navier-Stokes . . . . . . . 22

1.5.3

Nghiệm mềm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Sự suy giảm trong L2 theo thời gian của nghiệm yếu cho phương
trình Navier-Stokes

27

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Những lập luận hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Sự suy giảm của Nghiệm Leray-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

48

iv


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu phương trình Navier-Stokes là rất quan trọng vì nó là
phương trình cơ bản nhất của cơ học chất lỏng dùng để mô tả chuyển động của
chất lỏng và chất khí. Chúng có thể sử dụng để nghiên cứu thời tiết, thiết kế hình
dáng động học của máy bay, ô tô, nghiên cứu chuyển động của máu, phân tích ô
nhiễm, dự báo thời tiết, dòng chảy của đại dương và nhiều vấn đề trong khoa học

khác. Phương trình Navier-Stokes cũng nhận được sự quan tâm rất lớn về mặt
toán học thuần tuý, chúng có vai trò đặc biệt quan trọng trong sự phát triển của
lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Mặc dù lý thuyết phương trình
đạo hàm riêng đã trải qua sự phát triển to lớn trong thế kỷ 20 nhưng một số vấn
đề cơ bản của phương trình Navier-Stokes vẫn chưa được giải quyết, đó là sự tồn
tại và duy nhất của nghiệm cũng như dáng điệu của nghiệm. Cụ thể là cho giá trị
ở thời điểm ban đầu trơn thì phương trình Navier-Stokes có tiếp tục trơn và duy
nhất theo tất cả thời gian về sau không, câu hỏi này được nêu ra vào năm 1934
bởi J. Leray và vẫn chưa có câu trả lời khẳng định cũng như phủ định. Tính duy
nhất của nghiệm yếu bài toán vấn còn là một câu hỏi mở.
2. Nội dung đề tài
Mục đích của đề tài là nghiên cứu dáng điệu của nghiệm của bài toán
Cauchy cho phương trình Navier-Stokes không nén được trong không gian ba

1


chiều



 ut = ∆u − u · ∇u − ∇p + f
∇·u=0



 u(x, 0) = u (x)
0
trong đó f được giả thiết là tiến tới 0 khi t → ∞.

Luận văn này sẽ trình bày một vài kết quả nghiên cứu về sự suy giảm của
nghiệm yếu Leray-Hopf trong L2 theo thời gian khi thời gian tiến ra vô cùng, dựa
trên bài báo của Maria Elena Schonbek [2].

2


Luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Cụ
thể là:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Sự suy giảm trong L2 của nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Các mục 1.1, 1.2 và 1.3 chương này chúng tôi tham khảo tài liệu [1], còn
các mục 1.4 và 1.5 chúng tôi tham khảo các tài liệu [3] và [5].

1.1

Không gian các hàm cơ bản và hàm suy rộng

1.1.1

Một số ký hiệu
Cho Ω là một tập mở trong Rn ta định nghĩa như sau:
C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k},
C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)| supp u là tập compact},

k
∞
∞
k
C ∞ (Ω) = ∩∞
k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω),

trong đó supp u = {x ∈ Ω|u(x) = 0}.
Ký hiệu: Lp (Ω) = {u : Ω → C|u đo được,

Ω

|u(x)|p dx < ∞} với 1 ≤ p < ∞ và

L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess sup |u(x)| < ∞}
x∈Ω

trong đó
ess sup |u(x)| = inf{K > 0 |{x ∈ Ω||u(x)| > K}| = 0}.

Ký hiệu Lploc (Ω) = {u : Ω → C u ∈ Lp (K) với mọi tập compact K ⊆ Ω} trong đó
1 ≤ p < ∞.
4


Ký hiệu Dα = Dα1 Dα2 . . . Dαn , trong đó α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn và
α

Dj j =

∂ αj
α , j = 1, 2, . . . , n.
∂xj j

Cho x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn thì ký hiệu |x| =

1.1.2

x21 + x22 + . . . + x2n .

không gian hàm cơ bản D(Ω) và không gian hàm suy rộng
D (Ω)

Định nghĩa 1.1. Không gian D(Ω) là không gian C0∞ (Ω) cùng với sự hội tụ trong
∞
D(Ω) được định nghĩa như sau: một dãy {ϕi }∞
i=1 trong C0 (Ω) được gọi là hội tụ đến

ϕ ∈ C0∞ (Ω) khi và chỉ khi có một tập compact K ⊆ Ω thỏa mãn supp ϕi ⊆ K, i ∈ N

và lim sup |Dα ϕi − Dα ϕ| = 0, ∀α ∈ Nn . Khi đó ta viết ϕ = D− lim ϕi .
i→∞ x∈Ω

i→∞

Một số tính chất.
1. Khái niệm hội tụ này xác định một tôpô tương thích với cấu trúc tuyến tính
trên D(Ω) nghĩa là nếu
D− lim ϕi = ϕ, D− lim ψi = ψ, lim αi = α
i→∞

i→∞

i→∞

trong đó {αi }∞
i=1 ⊆ R, α ∈ R thì
D− lim (ϕi + ψi ) = ϕ + ψ, D− lim αi ϕi = αϕ.
i→∞

i→∞

Đạo hàm Dα là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên D(Ω) nghĩa là:
Dα ϕ ∈ D(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω), Dα (rϕ + νψ) = rDα (ϕ) + νDα (ψ), ∀r, ν ∈ C và ϕ, ψ ∈ D(Ω),
D− lim Dα ϕi = 0 nếu D− lim ϕi = 0.
i→∞

i→∞

∞
2. Dãy {ϕi }∞
i=1 ⊆ C0 (Ω) được gọi là một dãy Cauchy trong D(Ω) nếu có một tập

compact K ⊂ Ω thỏa mãn
supp ϕi ⊂ K, ∀i ∈ N và

lim sup |Dα ϕi (x) − Dα ϕj (x)| = 0, ∀α ∈ Nn .

i,j→∞

3. Không gian D(Ω) là không gian đủ tức là mọi dãy Cauchy trong D(Ω) đều hội
tụ.
4. Một phiếm hàm f : D(Ω) → C gọi là tuyến tính liên tục trên D(Ω) nếu:
5


(i) f tuyến tính nghĩa là f (αϕ + βψ) = αf (ϕ) + βf (ψ), ∀α, β ∈ C và ϕ, ψ ∈ D(Ω),
(ii) f liên tục trên D(Ω) nghĩa là lim f (ϕi ) = f (ϕ), ∀ {ϕi }∞
i=1 ⊆ D(Ω) và D− lim ϕi =
i→∞

i→∞

ϕ

Định nghĩa 1.2. Không gian các hàm suy rộng D (Ω) là tập hợp tất cả các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω).
Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên ϕ ∈ D ta ký hiệu là f, ϕ . D (Ω) là một
không gian vector với phép cộng và nhân như sau:
(i) Cho f, g ∈ D (Ω) thì f + g được định nghĩa như sau:
f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω),

(ii) Cho α ∈ C và f ∈ D (Ω) thì αf được định nghĩa như sau:
αf, ϕ = α f, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω),

với định nghĩa như trên có thể kiểm tra f + g ∈ D (Ω) và αf ∈ D (Ω).
Ví dụ 1.3. Với mỗi hàm f ∈ L1loc (Ω) được coi như một hàm suy rộng như sau:
f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).

f, ϕ =

Ω

Ví dụ 1.4. Hàm Dirac
δ, ϕ = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D(Ω).

Định nghĩa 1.5. Cho f ∈ D (Ω), α ∈ Nn . Đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy
rộng f trong Ω là một phiếm hàm trên Ω được xác định như sau
Dα f : ϕ → (−1)α f, Dα ϕ , ϕ ∈ D(Ω)

trong đó |α| = α1 + α2 + . . . + αn với α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn .
Với mỗi α ∈ Nn thì Dα f ∈ D (Ω) và Dα là một ánh xạ tuyến tính trên D (Ω)
nghĩa là
6


(i) Dα f ∈ D (Ω), ∀f ∈ D (Ω),
(ii) Dα (λf + γg) = λDα f + γDα g, ∀λ, γ ∈ C; f, g ∈ D (Ω).
Ví dụ 1.6. Hàm Heaviside

θ(t) =




1

nếu t > 0




0

nếu t ≤ 0

có đạo hàm suy rộng Dθ = δ.
Ví dụ 1.7. Hàm E(x) = (2π)−1 ln x nếu x ∈ R2 /{O} với n ≥ 3 thì
E(x) = −

1
x
(n − 2)Cn

2−n

, x ∈ Rn /{O},

trong đó O = (0, 0, . . . , 0), Cn là diện tích mặt cầu đơn vị trong Rn và x =
x21 + x22 + . . . + x2n với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Khi đó ∆E = δ trong D (Rn ), ∆ =
D12 + D22 + . . . + Dn2 .
∞
Định nghĩa 1.8. Cho {fi }∞
i=1 ⊆ D (Ω), f ∈ D (Ω). Ta nói dãy {fi }i=1 hội tụ đến f

trong D (Ω) nếu
lim fi , ϕ = f, g , ∀ϕ ∈ D(Ω),

i→∞

Một số tính chất.
1. Tôpô xác định bởi định nghĩa hội tụ trên là tương thích với cấu trúc tuyến tính

trong D (Ω) nghĩa là
(i) Nếu D− lim fi = f và D− lim gi = g thì
i→∞

i→∞

D− lim (fi + gi ) = f + g.
i→∞

(ii) D− lim fi = f và lim αi = α trong đó {αi } ⊂ R thì D− lim αi fi = αf.
i→∞

i→∞

i→∞

2. Đạo hàm suy rộng Dα là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên D (Ω) nghĩa là
7


(i) Dα (λf + βg) = λDα f + βDα g, ∀λ, β ∈ C; f, g ∈ D (Ω).
(ii) Nếu D− lim fi = f thì D− lim Dα fi = Dα f
i→∞

i→∞

3. Dãy {fi }∞
i=1 ⊆ D (Ω) gọi là dãy Cauchy trong D (Ω) nếu với mọi ϕ ∈ D(Ω) dãy
{ fi , ϕ }∞
i=1 là một dãy Cauchy trong C.

4. D (Ω) là một không gian đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong D (Ω) đều hội tụ.

1.1.3

Không gian hàm cơ bản E(Ω) và không gian hàm suy rộng
có giá compact E (Ω)

Định nghĩa 1.9. Không gian E(Ω) bao gồm các hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω), dãy {ϕi }∞
i=1 ⊂
C ∞ (Ω) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ C ∞ (Ω) trong E(Ω) nếu
lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Nn , K

i→∞ x∈K

Ω.

Khi đó ta ký hiệu là E− lim ϕi = ϕ.
i→∞

Một số tính chất.
1. Định nghĩa hội tụ trên trong E(Ω) xác định một cấu trúc tôpô tương thích với
cấu trúc tuyến tính của nó nghĩa là
(i) Nếu E− lim ϕi = ϕ và E− lim ψi = ψ thì
i→∞

i→∞

E− lim (ϕi + ψi ) = ϕ + ψ.
i→∞

(ii) Nếu E− lim ϕi = ϕ và {ri }∞
i=1 ⊆ C, lim ri = r thì
i→∞

i→∞

E− lim ri ϕi = rϕ.
i→∞

2. Tập C0∞ (Ω) là trù mật trong E(Ω) và ta có phép nhúng D(Ω) → E(Ω).
3. Dãy {ϕi }∞
i=1 ⊂ E(Ω) gọi dãy Cauchy trong E(Ω) nếu
lim sup |Dα ϕi (x) − Dα ϕj (x)| = 0, ∀α ∈ Nn , K

i,j→∞ x∈K

8

Ω.


E(Ω) là một không gian đủ tức là mọi dãy Cauchy trong E(Ω) đều hội tụ.

Một hàm suy rộng f = 0 tại x ∈ Ω nghĩa là mọi lân cận mở V của x đều tồn tại
một hàm ϕ ∈ C0∞ (V ) sao cho f, ϕ = 0. Từ đó ta có thể định nghĩa giá của một
hàm suy rộng như sau.
Định nghĩa 1.10. Cho f ∈ D (Ω). Giá của hàm suy rộng f được định nghĩa như
sau
supp f = {x ∈ Ω|f = 0 tại x}.

Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu là E (Ω).
Ví dụ 1.11. supp δ = {0}, supp θ = [0, ∞).
Định lý sau thiết lập một song ánh giữa các hàm suy rộng có giá compact
E (Ω) và không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E(Ω).

Định lý 1.12. Cho hàm suy rộng có giá compact f ∈ D (Ω). Khi đó ta có thể thác
triển duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E(Ω). Ngược lại mỗi
phiếm hàm tuyến tính trên E(Ω) đều có hạn chế lên E(Ω) và một hàm suy rộng có
giá compact.
∞
Định nghĩa 1.13. Cho dãy {fi }∞
i=1 ⊆ E (Ω) và f ∈ E (Ω). Dãy {fi }i=1 được gọi hội

tụ tới f trong E (Ω) nếu có một tập compact K ⊂ Ω thỏa mãn supp fi ⊂ K, ∀i ∈ N
và D− lim fi = f khi đó ta viết E− lim fi = f.
i→∞

i→∞

Một số tính chất.
1. Khái niệm hội tụ trong E (Ω) được định nghĩa trên tương thích với cấu trúc
tuyến tính nghĩa là
(i) Nếu E− lim fi = f và E− lim gi = g thì
i→∞

i→∞

E− lim (fi + gi ) = f + g.
i→∞

9


(ii) Nếu E− lim fi = f và {λi }∞
i=1 ⊆ C, lim λi = λ thì
i→∞

i→∞

E− lim λi fi = λf.
i→∞

2. Dãy {fi }∞
i=1 ⊆ E (Ω) gọi là dãy Cauchy trong E (Ω) nếu có một tập compact
K ⊂ Ω thỏa mãn supp fj ⊂ K, ∀i ∈ N và {fi }∞
i=1 là dãy Cauchy trong D (Ω).

3. Không gian E (Ω) là một không gian đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong E (Ω)
đều hội tụ.
4. Nếu E− lim fi = f thì D− lim fi = f. Do đó phép nhúng E (Ω) → D (Ω) là liên
i→∞

i→∞

tục.

1.1.4

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) và không gian các

hàm tăng chậm S (Rn )

Định nghĩa 1.14. Không gian S(Rn ) được định nghĩa như sau
S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) sup |xα Dβ ϕ(x)| < ∞, ∀α, β ∈ Nn }.
x∈Rn

n
n
n
Dãy {ϕi }∞
i=1 ⊂ S(R ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R ) trong S(R ) nếu

lim sup |xα Dβ (ϕi − ϕ)| = 0, ∀α, β ∈ Nn .

i→∞ x∈Rn

Khi đó ta viết S− lim ϕi = ϕ.
i→∞

Một số tính chất.
1. Hội tụ trong S(Rn ) được định nghĩa xác định một tôpô tương thích với cấu
trúc tuyến tính trên S(Rn ) nghĩa là
(i) Nếu S− lim ϕi = ϕ và S− lim ψi = ψ thì
i→∞

i→∞

S− lim (ϕi + ψi ) = ϕ + ψ.
i→∞

(ii) Nếu S− lim ϕi = ϕ và {λi }∞
i=1 ⊆ C, lim λi = λ thì
i→∞

i→∞

S− lim λi ϕi = λϕ.
i→∞

10


2. Nếu S− lim ϕi = ϕ thì E− lim ϕi = ϕ. Do đó ta có phép nhúng liên tục S(Rn ) →
i→∞

i→∞

E(Rn ).

3. Nếu D− lim ϕi = ϕ thì S− lim ϕi = ϕ. Do đó ta có phép nhúng liên tục D(Rn ) →
i→∞

i→∞

S(Rn ).
2

2

Ví dụ 1.15. Hàm e−|x| ∈ S(Rn ) nhưng e−|x| ∈

/ C0∞ (Rn ).
Ví dụ 1.16. Cho hàm

p(x) =

đặt pi (x) =


1


e −|x|2 −1

nếu |x| < 1



0

nếu |x| ≥ 1,

p(x − i)
thì pi ∈ C0∞ (Rn ) và S− lim pi = 0 nhưng không tồn tại giới
i→∞
(1 + |x|2 )i

hạn D− lim pi .
i→∞

n

n
4. Dãy {ϕi }∞
i=1 ⊂ S(R ) gọi dãy Cauchy trong S(R ) nếu

lim sup |xα Dβ (ϕi − ϕj )| = 0, ∀α, β ∈ Nn .

i,j→∞

Khi đó không gian S(Rn ) là một không gian đủ nghĩa là mọi dãy Cauchy trong
S(Rn ) đều hội tụ.

Định nghĩa 1.17. Hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) được gọi là hàm suy rộng tăng chậm
nếu tồn tại một số tự nhiên m và số dương c thỏa mãn
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

| f, g | ≤ c sup (1 + |x|2 )m
x∈Rn

|α|≤m

Không gian các hàm S (Rn ) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng tăng chậm.
Một số tính chất.
1. Không gian các hàm tăng chậm S (Rn ) là một không gian vector nghĩa là nó
đóng với các phép toán tuyến tính.
2. Cho ví dụ sau:
11


Ví dụ 1.18. Cho f ∈ L1loc (Rn ) sao cho

Rn

|f (x)|
dx < +∞,
(1 + |x|)N

với N > 0 nào đó thì nó tương ứng với hàm tăng chậm. Do đó f ∈ Lp (Rn ) với
1 ≤ p ≤ ∞ tương ứng với một hàm tăng chậm.

Định lý sau cho ta đặc trưng của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn )
Định lý 1.19. Cho một hàm suy rộng tăng chậm f ∈ S (Rn ). Khi đó f có thể
thác triển duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn ). Ngược
lại mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn ) đều có thu hẹp trên D(Rn ) là
một hàm suy rộng tăng chậm.
n
n
Định nghĩa 1.20. Dãy {fi }∞
i=1 ⊂ S (R ) được gọi là hội tụ đến f ∈ S (R ) nếu

tồn tại một số tự nhiên m và số dương c thỏa mãn
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ),

| f, g | ≤ c sup (1 + |x|2 )m
x∈Rn

|α|≤m

n
và dãy {fi }∞
i=1 hội tụ trong D (R ) đến f .

Một số tính chất.
1. Khái niệm hội tụ trên trong S (Rn ) xác định một cấu trúc tôpô tương thích
với cấu trúc tuyến tính, nghĩa là
(i) Nếu S− lim fi = f và S− lim gi = g thì
i→∞

i→∞

S− lim (fi + gi ) = f + g.
i→∞

(ii) Nếu S− lim fi = f và {λi }∞
i=1 ⊆ R với lim λi = λ thì
i→∞

i→∞

S− lim λi fi = λf.
i→∞

12


n
n
∞
2. Dãy {fi }∞
i=1 ⊆ S (R ) gọi là dãy Cauchy trong S (R ) nếu {fi }i=1 là một dãy

Cauchy trong D (Rn ) và tồn tại một số tự nhiên m và số dương c thỏa mãn
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

| f, g | ≤ c sup (1 + |x|2 )m
x∈Rn

|α|≤m

Không gian S (Rn ) là một không gian đủ, nghĩa là mọi dãy Cauchy trong S (Rn )
đều hội tụ.

1.2
1.2.1

Tích chập
Tích chập giữa các hàm trong Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ ∞
Nếu f, g ∈ C0∞ (Rn ) ta định nghĩa tích chập của f và g là
f ∗g =

f (y)g(x − y)dy và f ∗ g ∈ C0∞ (Rn ).

f (x − y)g(y)dy =
Rn

Rn

Ta có bất đẳng thức Young
f ∗g

Lr

≤ f

Lp

g

Lq ,

trong đó f, g ∈ C0∞ (Rn ), 1 ≤ r, p, q ≤ ∞ thỏa mãn 1r + 1 = p1 + 1q , vì C0∞ (Rn ) trù mật
trong Lp (Rn ) với 1 ≤ p < ∞ bất đẳng thức Young cũng thỏa mãn cho f ∈ Lp (Rn )
và g ∈ Lq (Rn ).
Định lý 1.21. Phép chập là một ánh xạ song tuyến tính từ
(i) D(Rn ) × D(Rn ) vào D(Rn ).
(ii) D(Rn ) × E(Rn ) vào E(Rn ) và từ E(Rn ) × D(Rn ) vào E(Rn ).
(iii) S(Rn ) × S(Rn ) vào S(Rn ).
Khi cố định một biến thì nó liên tục với biến còn lại. Hơn nữa ta có
Dα (ϕ ∗ ψ) = Dα (ϕ) ∗ ψ = ϕ ∗ (Dα ψ), với ϕ ∈ C0α (Rn ), ψ ∈ E(Rn ) hoặc ϕ, ψ ∈ S(Rn ).
13


1.2.2

Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản

Định nghĩa 1.22. Cho ϕ ∈ X, f ∈ X , trong đó X là một trong các không gian
D(Rn ), E(Rn ), S(R). Tích chập của hàm suy rộng f với hàm ϕ được xác định như

sau
f ∗ g : x → (f ∗ ϕ)(x) = f, ϕx , trong đó ϕx (y) = ϕ(x − y)

Định lý 1.23. Tích chập là một song ánh tuyến tính từ
(i) D(Rn ) × D(Rn ) vào E(Rn ).
(ii) E (Rn ) × E(Rn ) vào E(Rn ).
(iii) E (Rn ) × D(Rn ) vào D(Rn ).
(iv) S (Rn ) × S(Rn ) vào E(Rn ).
(v) E (Rn ) × S(Rn ) vào S(Rn ).
Hơn nữa nếu cố định một biến thì nó sẽ liên tục theo biến còn lại. Cuối cùng,
nếu ϕ ∈ X, f ∈ X , trong đó X là một trong các không gian D(Rn ), E(Rn ), S(R) thì
Dα (f ∗ g) = (Dα f ) ∗ g = f ∗ (Dα g).

Định lý 1.24. Cho ϕ, ψ ∈ D(Rn ), f ∈ D (Rn ) hay ϕ ∈ E(Rn ), ψ ∈ D(Rn ), f ∈ E (Rn )
hoặc ϕ, ψ ∈ S(Rn ), f ∈ S (Rn ). Khi đó
(f ∗ ϕ) ∗ ψ = f ∗ (ϕ ∗ ψ) = f ∗ (ψ ∗ ϕ) = (f ∗ ψ) ∗ ϕ.

1.3

Phép biến đổi Fourier trong S(Rn) và S (Rn)

Định nghĩa 1.25. Cho ϕ ∈ S(Rn ). Biến đổi Fourier của hàm ϕ, ký hiệu là Fϕ
được định nghĩa như sau
n

e−i x,ξ ϕ(x)dx,

Fϕ(ξ) = (2π)− 2

Rn

14

trong đó f, ξ =

n
j=1 xj ξj

và phép biến đổi Fourier ngược của hàm ϕ, ký hiệu là

F −1 ϕ được xác định bởi
n

F −1 ϕ(ξ) = (2π)− 2

ei x,ξ ϕ(x)dx.
Rn

Định lý 1.26. Biến đổi Fourier của hàm S(Rn ) có một số tính chất sau
(i) Cho ϕ ∈ S(Rn ). Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S(Rn ) và
Dα Fϕ(ξ) = (−i)|α| F(xα ϕ(x))(ξ),
Dα F −1 ϕ(ξ) = (−i)|α| F −1 (xα ϕ(x))(ξ),
ξ α Fϕ(ξ) = (−i)|α| F(Dα ϕ(x))(ξ),
ξ α F −1 ϕ(ξ) = (−i)|α| F −1 (Dα ϕ(x))(ξ).

(ii) Phép biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược F −1 là ánh xạ tuyến tính
liên tục trên v và thỏa mãn
FF −1 ϕ = F −1 Fϕ = ϕ, ∀ϕ ∈ S(Rn ).

(iii) Với mọi ϕ, ψ ∈ S(Rn ) ta có
Fϕ(x)ψ(x)dx =

Rn

ϕ(x)Fψ(x)dx,
Rn

|ϕ(x)|2 dx =
Rn

|Fϕ(ξ)|2 dx.
Rn

Như vậy biến đổi Fourier là một đẳng cự theo tô pô L2 (Rn ) do đó có thể thác
triển phép biến đổi Fourier thành một đẳng cấu tuyến tính, đẳng cự trong
L2 (Rn ) và tự liên hợp.

15


(iv) Cho ϕ, ψ ∈ S(Rn ), khi đó ta có
n

F(ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π) 2 Fϕ(ξ)Fψ(ξ),
n

(2π) 2 F(ϕ(x)ψ(x))(ξ) = Fϕ(ξ) ∗ Fψ(ξ),
n

F −1 (ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π) 2 F −1 ϕ(ξ)F −1 ψ(ξ),
n

(2π) 2 F −1 (ϕ(x)ψ(x))(ξ) = F −1 ϕ(ξ) ∗ F −1 ψ(ξ).

(v) Cho ϕ ∈ S(Rn ), h ∈ Rn , t ∈ R, t = 0 khi đó ta có
Fϕ(ξ − h) = F(eihx ϕ(x))(ξ),
F(ϕ(x − h))(ξ) = e−ihξ Fϕ(ξ),
ξ
F(ϕ(tx))(ξ) = |t|−n Fϕ( ).
t

Định nghĩa 1.27. Cho f ∈ S(Rn ). Biến đổi Fourier của hàm tăng chậm suy rộng
f , ký hiệu là Ff được xác định như sau
Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S(Rn ),

và biến đổi Fourier ngược, ký hiệu là F −1 f được xác định bởi
F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S(Rn ).

Lưu ý là do biến đổi Fourier F và biến đối Fourier ngược của nó F −1 của nó là
liên tục trên S(Rn ) nên các phiếm hàm ϕ → f, Fϕ và ϕ → f, F −1 ϕ liên tục
trên S(Rn ) với mỗi f ∈ S (Rn ), tương tự như Định lý 1.26, biến đổi Fourier của
hàm suy rộng tăng chậm có một số tính chất sau
(i) Dα (Ff ) = (−i)|α| F(xα f ), ξ α (Ff ) = (−1)|α| F(Dα f ), ∀f ∈ S (Rn ).
(ii) Dα (F −1 f ) = i|α| F −1 (xα f ), ξ α (F −1 f ) = i|α| F −1 (Dα f ), ∀f ∈ S (Rn ).
(iii) FF −1 f = F −1 Ff = f, ∀f ∈ S (Rn ).
16


n

(iv) F(f ∗ ϕ) = (2π) 2 Ff Fϕ, với f ∈ S (Rn ), ϕ ∈ S(Rn ).
n

(v) F −1 (f ∗ ϕ) = (2π) 2 F −1 f F −1 ϕ, với f ∈ S (Rn ), ϕ ∈ S(Rn ).
n

n

(vi) Ff ∗ Fϕ = (2π) 2 F(f ϕ), F −1 f ∗ F −1 ϕ = (2π) 2 F −1 (f ϕ), f ∈ S (Rn ), ϕ ∈ S(Rn ).
n

n

Ví dụ 1.28. Fδ = (2π)− 2 , F1 = (2π) 2 δ.

1.4

Không gian Sobolev

1.4.1

Không gian Sobolev cấp nguyên không âm

Định nghĩa 1.29. Cho m là số tự nhiên và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian Sobolev
W m (Ω) là không gian bao gồm các hàm f ∈ Lp (Ω) mà các đạo hàm suy rộng của

nó Dα f ∈ Lp (Ω) với mọi α ∈ Nn thỏa mãn |α| ≤ m, trên W m,p (Ω) ta sử dụng chuẩn
sau

 p1



f

W m,p (Ω)

Dα f

=

p

Lp (Ω)

.

|α|≤m

Không gian Sobolev

W0m,p (Ω)

là bao đóng của C0∞ (Ω) trong W m,p (Ω).

Một số tính chất.
1. ·

W m,p (Ω)

(i) f

là một chuẩn trên W m,p (Ω), nghĩa là nó thỏa mãn 3 tiên đề về chuẩn

W m,p (Ω)

≥ 0, ∀f ∈ W m,p (Ω) và f

W m,p (Ω)

= 0 khi và chỉ khi f = 0, (tính chất

xác định dương),
(ii) λf

W m,p (Ω)

(iii) f + g

= |λ| f

W m,p (Ω)

≤ f

W m,p (Ω) , ∀f

W m,p (Ω)

∈ W m,p (Ω), λ ∈ C, (tính thuần nhất),

+ g

W m,p (Ω) .

(bất đẳng thức tam giác).

2. Trong trường hợp p = 2 thì ta ký hiệu W m (Ω) = W m,2 (Ω), và W m (Ω) là một
không gian Hilber với tích vô hướng sau
f, g

m

Dα f (x)Dα g(x)dx,

=
|α|≤m Ω

tức là ,

m

thỏa mãn các tính chất sau
17


(i) f, f

≥ 0, ∀f ∈ W m (Ω) và f, f

m

m

= 0 khi và chỉ khi f = 0 (tính xác định

dương).
(ii) f, g

m

= g, f

m , ∀f, g

(iii) α1 f1 + α2 f2 , g

m

∈ W m (Ω) (tính phản đối xứng).

= α1 f 1 , g

m

+ α2 f2 , g

m,∀

α1 , α2 ∈ C; f1 , f2 , g ∈ W m (Ω)

(tuyến tính theo biến thứ nhất).
3. Không gian W m (Ω) là một không gian Banach, tức là một không gian định

chuẩn đủ.

1.4.2

Không gian Sobolev cấp thực
s

Trên S(Rn ) ta định nghĩa toán tử (I − ∆) 2 f như sau
s
((I − ∆)s f )∧ (ξ) = (1 + |ξ|2 ) 2 fˆ(ξ),

trong đó s ∈ R và

∧

là ký hiệu của phép biến đổi Fourier.

s
Ta có nếu f ∈ S(Rn ) thì fˆ ∈ S(Rn ) do đó (1 + |ξ|2 ) 2 fˆ(ξ) ∈ S(Rn ) thành thử
s

((I − ∆)s f )∧ (ξ) ∈ S(Rn ) do đó (I − ∆) 2 là một đẳng cấu tuyến tính trên S(Rn ) với
s

ánh xạ ngược (I − ∆)− 2 .
Định nghĩa 1.30. Với s ∈ R, không gian Sobolev Hps (Rn ) là bao đầy của tập
S(Rn ) theo chuẩn sau
s

f

Hps

= (I − ∆) 2 f

Lp

.

Một số tính chất.
1. f

Hps

(i) f

là một chuẩn, nghĩa là nó thỏa mãn các tính chất sau

Hps

≥ 0, ∀f ∈ Hps và f

Hps

= 0 khi và chỉ khi f = 0 (tính chất xác định

dương),
(ii) λf

Hps

(iii) f + g

= |λ| f
Hps

≤ f

Hps , ∀f

Hps

∈ Hps , λ ∈ C (tính thuần nhất),

+ g

Hps

(bất đẳng thức tam giác).
18


2. Khi cấp của Hps (Rn ) là số nguyên không âm (s = m ∈ N) thì hai chuẩn f
và f

Hps

W m,p (Ω)

là tương đương và ta có W m,p (Ω) = Hps .

3. Khi p = 2 thì không gian H s := H2s là không gian Hibert và ta có
 21


f

s

H2s

= (I − ∆) 2 f

Lp

=

(1 + |ξ|2 )s |fˆ(ξ)|2 dξ  .

Rn

H s là không gian Hilbert với tích vô hướng sau
f, g

Hs

g (ξ)dξ.
(1 + |ξ|2 )s fˆ(ξ)ˆ

=

Rn

ta có thể kiểm tra nó thỏa mãn ba tính chất sau
(i) f, f
(ii) f, g

Hs

≥ 0, ∀f ∈ H s và f, f
= g, f

Hs

H s , ∀f, g

(iii) α1 f1 + α2 f2 , g

Hs

Hs

= 0 khi và chỉ khi f = 0 (tính xác định dương),

∈ H s (tính phản đối xứng),

= α1 f 1 , g

H s +α2

f2 , g

Hs

, ∀α1 , α2 ∈ C; f1 , f2 , g ∈ H s (tuyến

tính theo biến thứ nhất).
4. Với mỗi s ∈ R, 1 < s < ∞, đối ngẫu của Hps là Hp−s trong đó p là số liên hợp
với p,

1
p

+

1
p

= 1 . Điều này có nghĩa là với mỗi f ∈ (Hps ) (s ≥ 0) đều có một

phần tử v ∈ Hp−s sao cho f (u) = v, u , ∀u ∈ S(Rn ) và thỏa mãn v

Hp−s

= f

(Hps )

.

Ngược lại mỗi phần tử v ∈ Hp−s thì phiếm hàm biến u ∈ S(Rn ) thành v, u là liên

tục với chuẩn trong Hps .
5. Với s >

1
p

thì ánh xạ vết γ biến u(x , xn ) thanhf u(x , 0) (ở đây x = (x1 , x2 , . . . , xn ) =

(x , xn ) với x = (x1 , x2 , . . . , xn−1 )) là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ Hps (Rn ) vào
s− p1

Hp

(Rn−1 ).

1.4.3

Không gian Sobolev thuần nhất
Cho 1 < p < ∞ và s ∈ R, ta định nghĩa không gian Sobolev thuần nhất H˙ ps

là bao đóng của tập
S0 = {f ∈ S(Rn ) 0 ∈ supp fˆ}
19