8 chuyên đề 8 dao động của con lắc đơn

CHUYÊN ĐỀ
8

DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m , treo ở đầu một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng
kể, dài l .
o Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí dây treo con phương thẳng đứng. Con lắc sẽ đứng yên mãi mãi ở
vị trí này nếu lúc đầu nó đứng yên.
o Kéo nhẹ quả cầu cho dây treo lệch khỏi vị trí cân bằng một góc rồi thả ra, ta thấy con lắc dao động
quanh vị trí cân bằng trong mặt phẳng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật.
1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo về phương diện động lực học
Chọn chiều dương từ trái sang phải, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng O . Khi đó:
o ta có thể xác định được vị trí của vật m dựa vào li độ cong s = OM hoặc li độ góc  = OCM .
o s và  sẽ có giá trị dương khi con lắc lệch khỏi vị trí cân
C
bằng theo chiều dương và ngược lại.
Phương trình động lực học cho chuyển động của vật

T + P = ma
Tn
→ Theo phương chuyển động
−mg sin  = ma = ms (1)
M
Trong trường hợp con lắc dao động với li độ góc nhỏ, ta có
sin    → −mg = ms (2)
O
Từ (1) và (2) → s +  2 s = 0 (*)
Pt

Pn
g
(+)
với  =
P
l
Mô hình dao động điều hòa con lắc đơn
(*) cho ta nghiệm có dạng
s = S0cos (t + 0 ) (3)
với s = l , ta cũng có

 = 0cos (t + 0 ) (4)
→ dao động của con lắc đơn với biên độ nhỏ là một dao động điều hòa.
(3) và (4) là các phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ cong và li độ góc.
2. Dao động điều hòa của con lắc lò xo về phương diện năng lượng

HDedu - Page 1


Cơ năng của con lắc là tổng động năng của vật m và thế năng trọng trường của vật
Động năng
Thế năng



l cos 

h

v

Et = mgl (1 − cos  )

1
Ed = mv 2
2

cos   1 −

2

1
→ Et = mgl 2
2
2

Cơ năng
1
1
E = Ed + Et = mv 2 + mgl 2
2
2
hay
1
1 2
E = mgl 02 = mvmax
2
2
 Chú ý: nếu bỏ qua ma sát thì cơ năng của vật dao động điều hòa là một đại lượng bảo toàn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

Dạng 1: Tần số góc ω, tần số f, chu kì T và tỉ lệ hóa các bài toán liên quan
Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m , dây treo có chiều dài l , dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng
trường g . Tần số góc, chu kì và tần số của con lắc được xác định bằng biểu thức

=

g
1
l
; T = 2
; f =
l
2
g

g
l

Công thức liên hệ giữa tần số góc, chu kì và tần số trong dao động điều hòa
1 2
T= =
f

 Chú ý: Chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc.
 Bài toán tổng quát: Con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài l thay đổi được, dao động điều hòa tại nơi
có gia tốc trọng trường g . Khi l = l1 thì chu kì dao động của con lắc là T1 ; khi l = l2 thì chu kì dao động của
con lắc là T2 . Khi l = l1 + l2 thì chu kì dao động của con lắc là bao nhiêu?
 Phương pháp giải:
Tương tự như phương pháp tỉ lệ hóa trong bài toán liên quan đến chu kì của con lắc lò xo, ta có:
l

l hay l T 2
o T = 2
→T
g
o

l = l1 + l2 → T 2 = T12 + T22

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2012) Tại một vị trí trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài l1 dao động điều hòa
với chu kì T1 ; con lắc đơn có chiều dài l2 (l2  l1 ) dao động điều hòa với chu kì T2 . Cũng tại vị trí đó, con lắc
đơn có chiều dài l1 − l2 dao động điều hòa với chu kì là

HDedu - Page 2


T1T2
.
T1 + T2
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
o l T2.

A.

o

B.

T12 − T22 .

C.

T1T2
.
T1 − T2

D.

T12 + T22 .

l = l1 − l2 → T 2 = T12 − T22 hay T = T12 − T22 .

 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2012) Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một vị trí trên Trái Đất. Chiều
T 1
dài và chu kì dao động của con lắc đơn lần lượt là l1 , l2 và T1 , T2 . Biết 1 = . Hệ thức đúng là
T2 2
l
l
l 1
l 1
A. 1 = 2 .
B. 1 = 4 .
C. 1 = .
D. 1 = .
l2
l2
l2 4
l2 2
 Hướng dẫn: Chọn C.

Ta có:
o l T2
2

o

l1  T1   1  1
=  =  = .
l2  T2   2  4
2

 Ví dụ 3: (Quốc gia – 2009) Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng
thời gian t , con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng
trong khoảng thời gian t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của con lắc là
A. 144 cm.
B. 60 cm.
C. 80 cm.
D. 100 cm.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
t
t t

o T=
→ T2  T1 → chiều dài con lắc được thay đổi theo cách làm tăng thêm
l , với
n1 n2
n
một đoạn 44 cm.
2

o

l + 44  T2   60 
=   =   → l = 100 cm.
l
 T1   50 
2

Dạng 2: Tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn dao động tuần hoàn
 Bài toán tổng quát: Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m và dây treo có chiều dài l , được kích thích
dao động điều hòa với biên độ góc  0 tại nơi có gia tốc trọng trường g . Khi vật nặng của con lắc đi qua vị
trí có li độ góc  thì tốc độ chuyển động của vật và lực căng dây tác dụng vào vật được xác định bằng biểu
thức nào.
 Phương pháp giải:
① Tốc độ của con lắc
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho con lắc tại vị trí biên  =  0 và vị trí có li độ góc  . Ta có
o

 E0 = Etmax = mgl (1 − cos  0 )
1

→ E0 = E → mgl (1 − cos  0 ) = mv 2 + mgl (1 − cos  ) .

1 2
2
 E = mv + mgl (1 − cos  )

2
→ v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) (*).

(*) là phương trình biểu diễn tốc độ của con lắc đơn tại vị trí có li độ góc  .
Từ biểu thức trên, ta thấy rằng:
o khi con lắc đi qua vị trí cân bằng  = 0 → v = vmax = 2 gl (1 − cos  0 ) .

HDedu - Page 3


o khi con lắc đi qua vị trí biên  =  0 → v = vmin = 0 .
② Lực căng của dây
Phương trình động học cho chuyển động của vật
T + P = ma
Theo phương hướng tâm ta thu được phương trình đại số
T − P cos  = man (1)
trong đó an là gia tốc hướng tâm

an =

v2
= 2 g ( cos  − cos  0 ) (2)
l

Từ (1) và (2)

T = mg ( 3cos  − 2cos 0 ) (**)
(**) là phương trình biểu diễn lực căng của dây treo con lắc đơn tại vị trí có li độ góc  .
Từ biểu thức trên ta cũng có thể suy ra rằng:
o khi con lắc đi qua vị trí cân bằng  = 0 → T = Tmax = mg ( 3 − 2 cos  0 ) .
o khi con lắc đi qua vị trí biên  =  0 → T = Tmin = mg cos  0 .
 Ví dụ minh họa:

 Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m được thả không vận tốc đầu từ vị trí có li độ góc 600 . Để
tốc độ của vật bằng một nửa tốc độ cực đại thì li độ góc của con lắc là
A. 51,30 .
B. 26,30 .
C. 12,90 .
D. 40, 7 0 .
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
1
o v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) =
2 gl (1 − cos  0 ) .
2
1 3
o cos  = + cos 0 = 0,625 →  = 51,30 .
4 4
 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc  0 tại nơi có gia
tốc trọng trường là g . Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của  0 là
A. 6, 60 .
B. 3,30 .
C. 5, 60 .
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
Tmax mg ( 3 − 2 cos  0 ) 3 − 2 cos  0
=
=
= 1, 02 →  0 = 6,60 .
o
Tmin
mg cos  0
cos  0

D. 9, 60 .

 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: (Quốc gia – 2016) Tại một nơi có gia tốc trọng trường g , một con lắc đơn có sợi dây dài l đang dao
động điều hòa. Tần số dao động của con lắc là
l
1 l
g
1 g
A. 2
.
B. 2
.
C.
.
D.
.
g
2 g
l
2 l
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
1 g
o f =
.
2 l

HDedu - Page 4


Câu 2: (BXD – 2019) Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T . Nếu tăng khối lượng của con lắc
lên 2 lần thì chu kì của con lắc sẽ
A. giảm 2 lần.
B. tăng 2 lần.
C. không đổi.
D. tăng 4 lần.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Chu kì dao động của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng do đó khi ta thay đổi khối
lượng của vật nặng thì chu kì dao động của con lắc vẫn không đổi.
Câu 3: (BXD – 2019) Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m , dây treo có chiều dài l được kích thích dao
động điều hòa với biên độ  0 tại nơi có gia tốc trọng trường g . Cơ năng dao động của con lắc là
1
A. mgl 0 .
B. mgl (1 + cos  0 ) .
C. mgl 02 .
D. mgl (1 − sin  0 ) .
2
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
1
o E = mgl 02 .
2
Câu 4: (BXD – 2019) Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m , dây treo có chiều dài l được kích thích dao
động điều hòa với biên độ  0 tại nơi có gia tốc trọng trường g . Lực kéo về tác dụng lên vật có độ lớn cực đại
được xác định bằng biểu tức
1
A. mg 0 .

B. mg (1 + cos  0 ) .
C. mg 02 .
D. mg (1 − sin  0 ) .
2
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
o Fkvmax = mg 0 .
Câu 5: (BXD – 2019) Trong dao động của một con lắc đơn, khi đi qua vị trí cân bằng thì lực căng dây tác
dụng lên vật có độ lớn
A. bằng độ lớn của trọng lực tác dụng lên vât.
B. lớn hơn độ lớn của trọng lực tác dụng lên vật.
C. nhỏ hơn độ lớn của trọng lực tác dụng lên vật.
D. bằng độ lớn của nó tại vị trí biên.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Khi đi qua vị trí cân bằng thì lực căng dây có độ lớn cực đại và lớn hơn trọng lực.
Câu 6: (BXD – 2019) Một con lắc đơn đang dao động điều hòa. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì lực căng dây tác dụng lên vật cực tiểu.
B. khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì vận tốc của con lắc bằng 0.
C. khi con lắc ở vị trí biên thì vật tốc của con lắc là cực đại.
D. con lắc sẽ đổi chiều chuyển động tại vị trí căng dây tác dụng lên vật nhỏ nhất.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Con lắc sẽ đổi chiều chuyển động khi vật đi qau vị trí biên → đây là vị trí mà lực căng dây tác dụng lên vật
nhỏ nhất.
Câu 7: (BXD – 2019) Trong thực tế, một trong những ứng dụng quan trọng của con lắc đơn là
A. xác định khối lượng của vật nặng.
B. tìm chiều dài của dây treo.
C. xác định gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc đơn.
D. xác định độ bền của dây treo.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Một trong những ứng dụng của con lắc đơn là xác định gia tốc trọng trường tại nơi treo con lắc.

Câu 8: (BXD – 2019) Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn tỉ lệ với chiều dài dây treo.
B. Chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng.
C. Chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn tỉ lệ nghịch với gia tốc trọng trường.
D. Chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn phụ thuộc vào vị trí Địa Lý nơi đặt con lắc.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn phụ thuộc vào gia tốc trọng trường g → sẽ phụ thuộc vào vị trí
địa lý nơi đặt con lắc.

HDedu - Page 5


Câu 9: (BXD – 2019) Trong dao động của con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m , dây treo có chiều
dài l tại nơi có gia tốc trọng trường g . Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khi dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc  , thế năng dao động của con lắc được xác định bằng biểu thức
A. mgl (1 − sin  ) .
B. mgl (1 + sin  ) .
C. mgl (1 − cos  ) .
D. mgl (1 − sin  ) .
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o Et = mgl (1 − cos  ) .
Câu 10: (BXD – 2019) Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m , dây treo có chiều dài l được kích
thích dao động điều hòa với biên độ  0 tại nơi có gia tốc trọng trường g . Chọn mốc thế năng tại vị trí cân
bằng. Khi dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc  , tốc độ của vật nặng được xác định bằng biểu thức
A. v = gl (1 − sin  ) .
B. v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) .
C. v = 2 gl ( cos  + cos  0 ) .

D.

mgl (1 + sin  ) .

 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
o v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) .
II. Bài tập vận dụng
Câu 1: (BXD – 2019) Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài l = 1 m được kích thích dao động điều hòa
tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 =  2 m/s2. Chu kì dao động của con lắc này là
A. 1 s.
B. 2 s.
C. 3 s.
D. 4 s.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có :
o T = 2

l
= 2
g

(1) = 2
s.
(10 )

Câu 2: (BXD – 2019) Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài l = 1 m được kích thích dao động điều hòa
với biên độ góc  0 = 0, 04 rad. Con lắc dao động trên quỹ đạo dài
A. 1 m.
B. 8 m.
C. 1 cm.

D. 8 cm.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có :
o S0 = l 0 = (1) . ( 0, 04 ) = 4 cm.
o

L = 2 S0 = ( 2 ) . ( 4 ) = 8 cm.

Câu 3: (Quốc gia – 2014) Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0,1 rad; tần số góc 10 rad/s
và pha ban đầu 0,79 rad. Phương trình dao động của con lắc là
A.  = 0,1cos ( 20 t − 0, 79 ) rad.
B.  = 0,1cos ( 20 t + 0, 79 ) rad.
C.  = 0,1cos (10t − 0, 79 ) rad.

D.  = 0,1cos (10t + 0, 79 ) rad.

 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có :
o  =  0 cos (10t + 0, 79 ) rad.
Câu 4: (Quốc gia – 2010) Tại nơi có gia tốc trọng trường g , một con lắc đơn dao động điều hòa với biên
độ góc  0 nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương
đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc  của con lắc bằng



− 0
A. 0 .
B. 0 .
C. − 0 .
D.

.
2
3
2
3
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:

HDedu - Page 6


o  Ed = Et = 

2
0 .
2

o Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương → đi từ biên âm đến vị trí cân bằng →  = −

2
0
2

.
Câu 5: (BXD – 2020) Tại nơi có gia tốc trọng trường g , một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ
góc  0 nhỏ và chu kì T . Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Thời gian để con lắc chuyển động nhanh dần
theo chiều dương từ vị trí có động năng bằng thế năng đến khi con lắc đổi chiều chuyển động lần đầu tiên là
T
T
3T

3T
A. .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
8
7
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:

2
0
 = −
o  1
và  2 =  0
2
v  0
1

3T
.
8
Câu 6: (BXD – 2020) Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T1 = 1 s. Tiến hành thanh đổi chiều dài
o

t =

của con lắc một đoạn l0 = 60 cm thì thấy con lắc dao động với chu kì T2 = 2 s. Chiều dài ban đầu của con lắc
là
A. 30 cm.
B. 40 cm.
C. 60 cm.
D. 20 cm.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
o l T2.

l + 60  2 
=   = 4 → l = 20 cm.
l
1
Câu 7: (Chuyên Phan Bội Châu – 2017) Một con lắc đơn có chiều dài 40 cm, được treo tại nơi có gia tốc
trọng trường bằng 10 m/s2. Bỏ qua lực cản của không khí. Đưa dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc
0,15 rad rồi thả nhẹ. Tốc độ của quả nặng tại vị trí dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0,12 rad
bằng
A. 6 cm/s.
B. 24 cm/s.
C. 18 cm/s.
D. 30 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) = 2. (10 ) . ( 0, 4 )( cos 0,12 − cos 0,15 ) = 18 cm/s.
2

o

Câu 8: (Nguyễn Khuyến – 2018) Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1,69 m, dao động tại nơi có gia tốc
trọng trường g = 9, 61 m/s2. Từ vị trí cân bằng đưa vật đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc
600 rồi thả nhẹ cho con lắc dao động. Tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng là
A. 4,03 m/s.
B. 4,22 m/s.
C. 5,97 m/s.
D. 5,70 m/s.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
o

v = vmax = 2 gl (1 − cos 0 ) = 2. ( 9,61) . (1,69 ) (1 − cos 600 ) = 4,03 m/s.

Câu 9: (Tam Hiệp – 2018) Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2, một con lắc đơn đang dao động
điều hòa với biên độ góc 0 = 70 . Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là m = 95 g và chiều dài dây treo là
l = 1,5 m. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, cơ năng của con lắc có giá trị gần nhất với giá trị nào sau
đây?
A. 10 mJ.
B. 9 J.
C. 10 J.
D. 9 mJ.
 Hướng dẫn: Chọn A.

HDedu - Page 7


Ta có:
o E = mgl (1 − cos  ) = ( 95.10−3 ) . ( 9,8 ) . (1,5 ) (1 − cos 7 0 ) = 10 mJ.
Câu 10: Giữ vật nhỏ của con lắc đơn sao cho sợi dây treo con lắc vẫn thẳng và lệch một góc 600 so với
phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho con lắc dao động. Bỏ qua mọi lực cản. Khi cosin của góc hợp bởi sợi dây

2
và phương thẳng đứng bằng
thì tỉ số giữa lực căng của sợi dây và trọng lực tác dụng lên vật bằng
3
4
3
1
A. 1.
B. .
C. .
D. .
3
4
2
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
T mg ( 3cos  − 2cos  0 )
2
=
= 3cos  − 2cos  0 = 3.   − 2cos 600 = 1 .
o
P
mg
3
Câu 11: Một vật nhỏ được treo vào một sợi dây không giãn, không khối lượng để tạo thành một con lắc đơn
có chiều dài l = 1 m. Vật nặng đang ở vị trí cân bằng thì được kéo đến vị trí mà dây treo làm với phương thẳng
đứng một góc 600 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi lực cản, lấy g = 10 m/s2. Trong quá trình chuyển động, tại vị trí
5
mà dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc  với cos  = thì tốc độ của vật nặng gần bằng
6

A. 2,6 m/s.
B. 6,7 m/s.
C. 1,8 m/s.
D. 2,9 m/s.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

( )

5

v = 2 gl ( cos  − cos 0 ) = 2. (10 ) . (1)  − cos 600  = 2, 6 m/s.
6

Câu 12: Một con lắc đơn dao động tuần hoàn với biên độ góc 0 = 750 chiều dài dây treo con lắc là l = 1 m,
o

lấy g = 9,8 m/s2. Tốc độ của con lắc khi đi qua vị trí có li độ góc  = 350 là
A. 10,98 m/s.
B. 1,82 m/s.
C. 2,28 m/s.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
o

D. 3,31 m/s.

v = 2 gl ( cos  − cos 0 ) = 2. ( 9,8) . (1) ( cos350 − cos 750 ) = 3,31 m/s.

Câu 13: (BXD – 2019) Hai con lắc đơn có chiều dài dây treo và khối lượng vật nặng lần lượt là l1 , m1 và

l2 , m2 . Biết con lắc l1 dao động điều hòa với chu kì T1 = 3 s, con lắc l2 dao động với chu kì T2 = 4 s. Con lắc
có chiều dài l = l1 + l2 và khối lượng m = m1 + m2 sẽ dao động điều hòa với chu kì
A. 1 s.
B. 5 s.
C. 3 s.
D. 4 s.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có
o l T2.
o

l = l1 + l2 thì T 2 = T12 + T22 → T = T12 + T22 =

( 3) + ( 4 )
2

2

= 5 s.

Câu 14: Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có g = 9,8 m/s2. Biết khối lượng của quả nặng m = 500
g, sức căng dây treo khi con lắc ở vị trí biên là 1,96 N. Lực căng dây treo khi con lắc đi qua vị trí cân bằng là
A. 4,9 N.
B. 10,78 N.
C. 2,94 N.
D. 12,74 N.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
Tmin = mg cos  0

o 
→ Tmax = 3mg − 2Tmin = 3. ( 0,5 ) . ( 9,8 ) − 2. (1,96 ) = 10, 78 N.
Tmax = mg ( 3 − 2cos  0 )

HDedu - Page 8


Câu 15: (BXD – 2019) Hai con lắc đơn có chiều dài dây treo và khối lượng vật nặng lần lượt là l1 , m1 và

l2 , m2 . Biết con lắc l1 dao động điều hòa với chu kì T1 = 10 s, con lắc l2 dao động với chu kì T2 = 8 s. Con lắc
có chiều dài l = l1 − l2 và khối lượng m = m1 − m2 , (m1  m2 ) sẽ dao động điều hòa với chu kì
A. 10 s.
B. 5 s.
C. 6 s.
D. 4 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o l T2.
o

l = l1 − l2 thì T 2 = T12 − T22 → T = T12 − T22 =

(10) − (8)
2

2

= 6 s.

Câu 16: Một con lắc đơn có dây treo dài l = 0, 4 m và vật nặng có khối lượng m = 200 g. Lấy g = 10 m/s2

và bỏ qua ma sát. Kéo con lắc để dây treo lệch ra khỏi vị trí cân bằng 600 rồi thả nhẹ. Lúc lực căng dây có độ
lớn là 4 N thì tốc độ của vật là:
A. 2 m/s
B. 2 2 m/s.
C. 5 m/s.
D. 2 m/s.
Hướng dẫn:
+ Lực căng dây tác dụng vào con lắc T = mg ( 3cos  − 2cos  0 ) = 4 N → cos  = 1 .
→ Tốc độ tương ứng của con lắc v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) = 2.10.0, 4 (1 − 0,5 ) = 2 m/s → Đáp án D
Câu 17: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 100 g, dao động điều hòa với chu kì 2 s. Khi vật đi
qua vị trí cân bằng thì lực căng dây có độ lớn 1,0025 N. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, lấy g =  2
m/s2. Cơ năng của vật là
A. 25.10−3 J.
B. 25.10−4 J.
C. 125.10−5 J.
D. 125.10−4 J.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
2

2

T 
2 2 
o l = g
 =    = 1 m.
 2 
 2 
o Tcb = Tmax = 3mg ( 3 − 2 cos  0 ) = 1, 0025 N → cos  = 0,99875 .
o

E = mgl (1 − cos  0 ) = ( 0,1) . (10 ) . (1)(1 − 0,99875 ) = 1, 25.10 −3 J.

Câu 18: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,5 m vật nhỏ có khối lượng m = 200 g. Từ vị trí cân bằng đưa vật
đến vị trí mà dây treo lệch một góc 300 so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ vật. Bỏ qua mọi ma sát, lấy
g = 10 m/s2. Tính động năng của vật khi đi qua vị trí cân bằng
A. 0,525 J.
B. 0,875 J.
C. 0,134 J.
D. 0,013 J.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o

vcb = vmax = 2 gl (1 − cos  0 ) = 2. (10 ) . ( 0,5) (1 − cos300 ) = 1,16 m/s.

1 2
1
Ed = mvmax
= . ( 0, 2 ) . (1,162 ) = 0,134 J.
2
2
Câu 19: (BXD – 2019) Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m vật nhỏ có khối lượng m được kích thích dao
động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Ban đầu đưa vật đến vị trí dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc  = 0, 01 rad rồi thả nhẹ. Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
A. 0,5 m/s.
B. 0,032 m/s.
C. 0,09 m/s.
D. 0,36 m/s.
 Hướng dẫn: Chọn B.

Ta có:
o Ban đầu đưa vật đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc  rồi thả nhẹ → vật sẽ dao
động với biên độ góc  0 = 0,01 rad.
o

o

vcb = vmax = gl 0 =

(10) .(1). ( 0,01) = 0,032 m/s.

Câu 20: (BXD – 2019) Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m vật nhỏ có khối lượng m = 200 g được kích
thích dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Ban đầu đưa vật đến vị trí dây treo hợp

HDedu - Page 9


với phương thẳng đứng một góc  = 0, 01 rad rồi truyền cho vật một vận tốc v = 30 cm/s theo phương vuông
góc với dây treo. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng, cơ năng dao động của con lắc là
A. 4 mJ.
B. 15 mJ.
C. 0,4 mJ.
D. 0,34 mJ.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
(10 ) = 10 rad/s.
g
o 0 =
=
l

(1)
2

 30 
o
(1) + 
 = 2 cm.
10


1
1 g
1
2
 10 
o E = mgl 02 = m S02 = ( 0, 2 ) .   . ( 0, 02 ) = 0, 4 mJ.
2
2 l
2
1
Câu 21: (BXD – 2019) Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m được kích thích dao động điều hòa tại nơi có
gia tốc trọng trường g = 10 =  2 m/s2. Ban đầu đưa vật đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc
2

v 
S0 = s +  0  =
 
2

2

 = 0, 04 rad rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu v0 = 4 30 cm/s theo phương vuông góc với dây treo hướng
ra xa vị trí cân bằng. Kể từ thời điểm ban đầu, quãng đường mà vật đi được cho đến khi nó đổi chiều lần thứ
hai là
A. 20 cm.
B. 10 cm.
C. 15 cm.
D. 25 cm.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
(10 ) = 10 rad/s.
g
o =
=
l
(1)
2

 4 30 
o
( 4 ) + 
 = 8 cm.
 10 
Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương là chiều chuyển động của con lắc. Ban đầu con lắc chuyển
động ra biên âm (đổi chiều lần thứ nhất) sau đó quay ngược trở lại biên dương (đổi chiều lần hai) → tổng
quãng đường là S = 2,5 A = 2,5.8 = 20 cm.
Câu 22: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 43,2 cm, vật có khối lượng m dao động ở nơi có gia tốc
trọng trường g = 10 m/s2. Biết rằng độ lớn của lực căng dây cực đại bằng 4 lần độ lớn lực căng dây cực tiểu.
Tốc độ của vật khi lực căng dây bằng 2 lần lực căng dây cực tiểu
A. 1 m/s.

B. 1,2 m/s.
C. 1,6 m/s.
D. 2 m/s.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
Tmax mg ( 3 − 2 cos  0 ) 3 − 2 cos  0
1
=
=
= 4 → cos  0 = .
o
Tmin
mg cos  0
cos  0
2
2
3cos  − 2 cos  0
T
o
=
= 2 → cos  = .
Tmin
cos  0
3
2

v 
S0 = s +  0  =
 
2

0

2

2

v = 2 gl ( cos  − cos  0 ) = 2. (10 ) . ( 0, 432 )  − 0,5  = 1, 2 m/s.
3

Câu 21: (BXD – 2019) Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m được kích thích dao động điều hòa tại nơi có
gia tốc trọng trường g = 10 =  2 m/s2. Ban đầu đưa vật đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc
 = 0, 02 rad rồi thả nhẹ. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí động năng bằng 3 lần thế năng lần thứ
2020 vào thời điểm
3029
3029
3029
3029
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
2
3
5
4
 Hướng dẫn: Chọn B.

o

HDedu - Page 10


N4

M
− 0

N3

− 12  0

+ 12  0

N1


+ 0

N2

Ta có:
o T = 2

l
= 2
g

(1) = 2
s.
(10 )

Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của con lắc, ta biểu diễn dao
động tương ứng trên đường tròn:
o t = 0 , x = − A → điểm M .
o  =
o

0

được biễu diễn tương ứng bằng các điểm N1 → N 4 trên đường tròn.
2
2020 = 504.4 + 4 → 4 lần đầu tiêu thõa mãn yêu cầu bài toán ứng với chuyển động của vật trên cung
MN 4 .

3000 )
(

3029
T = 504. ( 2 ) +
.( 2) =
→ t = 504T +
s.
0
0
360
360
3

Câu 22: (Quốc Gia – 2020) Một con lắc đơn có chiều dài 81 cm đang dao động điều hòa với biên độ góc
7 0 tại nơi có g = 9,87 m/s2, lấy ( 2 = 9,87) . Chọn t = 0 khi vật nhỏ con lắc đi qua vị trí cân bằng. Quãng
đường vật nhỏ đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 1, 05 s là
A. 21,1 cm
B. 22,7 cm
C. 24,7 cm.
D. 23,1 cm.
 Hướng dẫn: Chọn C.

S

− S0

− S0
1
2

Ta có:

l
o T = 2
= 2
g
o
o
o

s

+ S0

s

(81.10 ) = 1,8 s.
−2

( 9,87 )

 70 
S0 = l 0 = ( 81) . 
  = 9,9 cm.
0
 180 
T T
t = + = 1,05 s.
2 12
S = 2,5S0 = 2,5. ( 9,9 ) = 24,8 cm.

HDedu - Page 11


HDedu - Page 12