Lý 12 bài tập dao động điều hòa

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG CƠ

CHUYÊN ĐỀ
1

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các khái niệm cơ bản của dao động
Dao động cơ học được định nghĩa là chuyển động của một vật qua lại quanh một vị trí đặc biệt gọi là vị trí
cân bằng.
 Kể tên các dao động mà em biết?
 Hướng dẫn:
o Dao động của xích đu, khi đó vị trí cân bằng là vị trí thấp nhất trên quỹ đạo chuyển động của xích
đu.
o Dao động của hệ vật tạo bởi lò xo nằm ngang và vật nặng, khi đó vị trí cân bằng là vị trí mà lò xo
không biến dạng.

Dao động hệ lò xo – vật

Dao động của xích đu

 So với các chuyển động cơ như thẳng đều, thẳng biến đổi đều dao động cơ có một đặc điểm khác biệt
đáng chú ý là gì?
 Hướng dẫn:
Tính lặp đi lặp lại của chuyển động.
Dao động của một vật có thể là tuần hoàn hoặc không tuần hoàn. Dao động là tuần hoàn nếu sau những
khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kì T ) thì vật trở lại vị trí cũ, theo hướng cũ.
Một trường hợp đặc biệt của dao động tuần hoàn là dao động điều hòa, dao động mà li độ của vật được
biểu diễn dưới dạng hàm cos hoặc sin theo thời gian.
II. Phương trình của dao động điều hòa
M

N
M, N được gọi là vị trí biên.
O là vị trí cân bằng.

N

M
Biên độ

Biên độ

−A

+A

O

x

Mô hình một dao động điều hòa đơn giản

Phương trình

x = A cos (t + 0 )
được gọi là phương trình của dao động điều hòa.
Trong phương trình này, ta gọi:
o A là biên độ của dao động. Nó là độ lệch cực đại của vật so với vị trí cân bằng. Do đó biên độ dao
động luôn là một số dương.
o (t + 0 ) là pha của dao động tại thời điểm t , đơn vị của pha là rad.
→ Với một biên độ đã cho thì pha là đại lượng giúp ta xác định vị trí, chiều chuyển động của vật tại thời

điểm t .
o  là tần số góc của dao động, đơn vị của tần số góc là rad/s.
HDedu - Page 1


III. Chu kì. Tần số của dao động điều hòa
Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để để vật thực hiện được một dao động toàn phần.
Đơn vị của chu kì là giây.
Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây. Đơn vị của tần
số là một trên giây, gọi là Héc – Hz.
Mối liên hệ giữa chu kì T , tần số f và tần số góc  của vật dao động điều hòa:

T=

1 2
2
= 2 f
=
hay  =
T
f


Chú ý: Nếu trong khoảng thời gian t vật thực hiện được n dao động toàn phần thì
t
o chu kì dao động của vật là T =
.
n
o tần số dao động của vật là f =

n
.
t

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Xác định các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa dựa vào phương trình dao động
 Phương pháp giải:
Từ phương trình của dao động x = A cos (t + 0 ) , ta có:
o A là biên độ của dao động.
o  là tần số góc của dao động.
o  = t + 0 là pha của dao động tại thời điểm t .
khi t = 0 ta có  = 0 là pha ban đầu của dao động.

 Chú ý: Quy đổi lượng giác
trong một số trường hợp:


sin ( ) = cos   − 
2

− cos ( ) = cos (   )

 Ví dụ minh họa:



 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2015) Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = 5cos  t +  cm. Pha ban
2

đầu của dao động là



3
A.  .
B. .
C. .
D.
.
2
4
2
 Hướng dẫn: Chọn B.
Pha ban đầu của dao động 0 =



2

.

 Ví dụ 2: (BXD – 2020) Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = 5sin (t ) cm. Pha ban đầu của dao
động là
A.  .

B. −


2

.

C.


.
4

D.

3
.
2

 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
o




x = 5sin (t ) = 5cos  t −  → 0 = − .
2
2


 Ví dụ 3: (BXD – 2019) Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = −5cos (t ) cm. Biên độ dao động
của vật này là
A. –5 cm.
 Hướng dẫn: Chọn B.

B. 5 cm.

C. 2,5 cm.

D. –2,5 cm.

HDedu - Page 2


Biên độ dao động của chất điểm là A = 5 cm.
 Ví dụ 4: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = A cos ( 2 t −  ) ( t tính
bằng s). Thời gian để chất điểm này thực hiện được 5 dao động toàn phần là
A. 2 s.
B. 2,5 s.
C. 5 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Từ phương trình dao động, ta có
2
2
o  = 2 rad/s → T =
=
= 1 s.
 ( 2 )

D. 4 s.

o thời gian để chất điểm thực hiện được 5 dao động toàn phần là t = 5T = 5. (1) = 5 s.

Dạng 2: Sự tương tự giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
 Phương pháp giải:

Xét một chất điểm M chuyển động đều trên quỹ đạo là một đường tròn bán kính R với tốc độ góc  theo
chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).
Mt
t

 Chú ý: Phương trình chuyển động
tròn đều của một chất điểm
 − 0 
 = 0 + t hay t =
=

M t =0

0

O

xM



x



Trong đó:
o  0 là tọa độ góc ban đầu.
o  là tốc độ góc của chuyển
động.

Sự tương tự giữa dao động điều hòa
và chuyển động tròn đều

Chọn trục Ox trùng với một đường kính của hình tròn và gốc trùng với tâm O của đường tròn như hình
vẽ.
→ Tại thời điểm t bất kì hình chiếu của chất điểm lên trục Ox được biểu diễn bằng phương trình
xM = Rcos ( ) .
Giả sử rằng, tại t = 0 , góc hợp bởi Ox và bán kính là  0 →  = 0 + t .
→ xM = R cos (t + 0 ) , nếu ta đặt A = R thì xM = A cos (t + 0 ) .

Vậy ta có thể xem dao động điều hòa là hình chiếu của của một chất điểm chuyển động tròn đều lên
phương đường kính.
Dựa vào sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta có bảng thể hiện sự tương tự của
các đại lượng tròn dao động điều hòa và các đại lượng tròn chuyển động tròn đều như sau:
Dao động điều hòa
+ Biên độ dao động A .
+ Tần số góc  .
+ Tốc độ cực đại vmax =  A .

Chuyển động tròn đều
+ Bán kính quỹ đạo R .
+ Tốc độ góc  .
+ Tốc độ dài v =  R .

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2016) Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính 10
cm với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ
cực đại là
A. 15 cm/s.
B. 50 cm/s.

C. 250 cm/s.
D. 25 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn B.
HDedu - Page 3


Ta có :
o Hình chiếu của chất điểm này là một dao động điều hòa.
o tốc độ cực đại vmax =  A = ( 5 ) . (10 ) = 50 cm/s.
 Ví dụ 2: (BXD – 2019) Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính R = 10
cm theo ngược chiều kim đồng hồ. Tại t = 0 chất điểm ở vị trí M , đến thời
N
điểm t = 0, 25 s ngắn nhất chất điểm đi qua vị trí N như hình vẽ. Hình chiếu
của chất điểm lên trục Ox có tốc độ cực đại là
M
A.  cm/s.
x
O
B. 15 cm/s.
C. 20 cm/s.
D. 25 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:



−0
 2
o =
=

= 2 rad/s.
t
0, 25
→ Hình chiếu của chất điểm lên Ox là một dao động điều hòa → Tốc độ cực đại của hình chiếu
vmax =  A = 2 .10 = 20 cm/s.
 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Chọn phát biểu đúng. Dao động điều hòa là
A. những chuyển động có trạng thái chuyển động lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau.
B. những chuyển động có giới hạn trong không gian lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân bằng.
C. dao động tuần hoàn mà phương trình chuyển động của nó được biểu diễn bằng hàm cos theo thời gian.
D. dao động có biên độ phụ thuộc vào tần số của dao động.
Hướng dẫn:
+ Dao động điều hòa là dao động tuần hoàn mà phương trình chuyển động của nó được biểu diễn bằng
hàm cos theo thời gian → Đáp án C
Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa thực hiện được n dao động trong khoảng thời gian t . Chu kì
dao động của chất điểm này là
t
t
n
A. t .
B.
.
C.
.
D. 2
.
n
t
n

Hướng dẫn:
t
+ Chu kì dao động của chất điểm T =
→ Đáp án B
n
Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa thực hiện được n dao động trong khoảng thời gian t . Thời
gian giữa hai lần chất điểm này đổi chiều chuyển động là
t
n
t
A. t .
B.
.
C.
.
D. 2
.
t
n
2n
Hướng dẫn:
T t
+ Thời gian giữa hai lần chất điểm đổi chiều chuyển động t = =
→ Đáp án B
2 2n
Câu 4: Một vật chuyển động tròn đều với tốc độ góc  và tốc độ dài v thì hình chiếu của nó lên phương
bán kính dao động điều hòa với biên độ
v2
v


A. A = r .
B. A = .
C. A = .
D. A = .


v
Hướng dẫn:

HDedu - Page 4


t
→ Đáp án B
n
Câu 5: (Quốc gia – 2015) Một chất điểm dao động theo phương trình x = 6 cos (t ) cm. Dao động của
chất điểm có biên độ là:
A. 2 cm.
B. 6 cm.
C. 3 cm.
D. 12 cm.
Hướng dẫn:
+ So sánh với biểu thức li độ trong dao động điều hòa x = A cos (t +  ) cm → A = 6 cm → Đáp án B
Câu 6: Phương trình nào sau đây biểu diễn một dao động điều hòa
A. x = A cos (t +  ) .
B. x = At cos (t +  ) .
C. x = A cos (t 2 +  ) . D. x = At 2 cos (t +  ) .
+ Chu kì dao động của chất điểm T =

Hướng dẫn:

+ Phương trình x = A cos (t +  ) biểu diễn một dao động điều hòa → Đáp án A
Câu 7: Trong dao động điều hòa của một vật, tần số f của dao động là
A. thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần.
B. số dao động mà vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian.
C. khoảng thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí biên.
D. số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong mỗi chu kì.
Hướng dẫn:
+ Trong dao động điều hòa, tần số là số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong một đơn vị thời
gian → Đáp án B
Câu 8: Một chất điểm chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn với đường kính là d . Hình chiếu của chất
điểm này lên phương đường kính dao động điều hòa với biên độ
d
d
A. 2d .
B. d .
C. .
D. .
2
4
Hướng dẫn:
d
+ Hình chiếu của chất điểm lên phương bán kính sẽ dao động với biên độ A = R = → Đáp án C
2
Câu 9: Biểu thức nào sau đây thể hiện đúng mối liên hệ giữa tần số góc  và tần số f của một vật dao
động điều hòa
2

A. f = 2 .
B.  =
.

C.  = 2 f .
D. f = .
f

Hướng dẫn:
+ Mối liên hệ giữa tần số góc và tần số trong dao động điều hòa  = 2 f → Đáp án C
Câu 10: (BXD – 2019) Trong dao động cơ của một chất điểm. Kết luận nào sau đây là sai?
A. dao động điều hòa là một dao động tuần hoàn.
B. dao động tuần hoàn luôn luôn là một dao động điều hòa.
C. khoảng thời gian nhỏ nhất để vật lặp lại trạng thái dao động như cũ là một chu kì.
D. trong một giây sẽ có f (tần số) dao động toàn phần được thực hiện.
Hướng dẫn:
+ Dao động điều hoàn là một dao động tuần hoàn, tuy nhiên dao động tuần hoàn chưa hẳn là một dao động
điều hòa → B sai → Đáp án B
II. Bài tập vận dụng



Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 5cos  2 t +  cm, t được tính bằng giây.
3

Chu kì dao động của chất điểm này là
A. 1 s.
B. 2 s.
C. 3 s.
D. 4 s.
Hướng dẫn:
2 2
+ Từ phương trình dao động, ta có  = 2 rad/s → chu kì của dao động T =
=

= 1s → Đáp án A
 2
Câu 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm, trong quá trình dao động vật đổi
chiều chuyển động tại hai điểm M và N trên quỹ đạo. Chiều dài đoạn MN là
HDedu - Page 5


A. 5 cm.
B. 10 cm.
C. 3 cm.
D. 6 cm.
Hướng dẫn:
+ M và N là hai biên của vật dao động → MN = 2 A = 2.5 = 10 cm → Đáp án B


Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos  2 t −  cm, t được tính bằng giây.
3

1
Li độ dao động của chất điểm này tại thời điểm t = s là
3
A. 5 cm.
B. 10 cm.
C. 2 cm.
D. 1 cm.
Hướng dẫn:

1

+ Từ phương trình dao động x = 4 cos  2 t −  cm, thay t = s ta được x = 2 cm → Đáp án C

3
3

Câu 5: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn. Gọi H là hình chiếu của M
trên một đường kính của đường tròn này. Cứ sau những khoảng thời gian bằng nhau và bằng 0,3 s, H và M
lại gặp nhau. Chu kì dao động điều hòa của H là
A. 0,15 s.
B. 0,1 s.
C. 0,6 s.
D. 0,75 s.
Hướng dẫn:
+ M sẽ trùng với H tương ứng với các vị trí biên của dao động điều hòa, khoảng thời gian giữa hai lần
T
liên tiếp t = = 0,3 s → T = 0, 6 s → Đáp án C
2
Câu 6: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình được cho bởi x = −5cos (t ) cm, t
được tính bằng giây. Pha ban đầu của dao động này là


A. 0.
B. .
C. − .
D.  .
2
2
Hướng dẫn:
+ Với x = −5cos (t ) ta quy đổi x = 5cos (t +  ) → 0 =  → Đáp án D
Câu 7: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn tâm O bán kính R = 4 cm.
Trong khoảng thời gian t = 1 s bán kính OM quét được một góc  = 900 . Hình chiếu của M lên phương
đường kính dao động điều hòa với tốc độ cực đại là


3
A.
cm/s.
B. 2 cm/s.
C.
cm/s.
D.  cm/s.
2
2
Hướng dẫn:



+ Tốc độ góc của chuyển động tròn  =
biên độ A = R = 4 cm.
→ Tốc độ cực đại vmax =  A =

 2 
= = rad/s. Hình chiếu của M sẽ dao động điều hòa với
t
1 2



.4 = 2 cm/s → Đáp án B
2
Câu 8: Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo tròn với bán kính R và tốc độ dài là v . Hình chiếu
của chất điểm này lên trục đi qua tâm quỹ đạo dao động với chu kì
v

v
2 v
2 R
A. .
B.
.
C.
.
D. 2
.
R
R
R
v
Hướng dẫn:
v
+ Hình chiếu của chất điểm lên phương bán kính dao động với tốc độ góc  =
→ chu kì dao động của
R
R
hình chiếu là T = 2
→ Đáp án C
v
Câu 9: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn tâm O bán kính R và tốc độ
dài v = 10 cm/s. Biết rằng trong khoảng thời gian t =



s bán kính OM quét được một góc tương ứng
2

 = 2 . Hình chiều của M lên phương đường kính dao động điều hòa với biên độ bằng
HDedu - Page 6


A. 3 cm.
Hướng dẫn:

B. 2 cm.

C. 2,5 cm.

D. 10 cm.

 2
=
= 4 rad/s. Hình chiếu của M sẽ dao động điều hòa với

t
2
v 10
tốc độ cực đại bằng tốc độ dài của chuyển động tròn → biên độ A = = = 2,5 cm → Đáp án C
 4
Câu 10: Một vật dao động điều hòa trong khoảng thời gian t = 5 s vật thực hiện được 4 dao động toàn
phần. Chu kì dao động của vật này là
A. 5 s.
B. 4 s.
C. 0,8 s.
D. 1,25 s.
Hướng dẫn:
t 5

+ Chu kì dao động điều hòa của vật T =
= = 1, 25 s → Đáp án D
n 4
Câu 11: Một chất điểm dao động điều hòa trên quỹ đạo MN = 20 cm, với M và N là hai điểm biên của
quỹ đạo. Quan sát dao động thì thấy, tại điểm điểm t1 chất điểm ở vị trí M , đến thời điểm t2 = t1 + 1 s gần
nhất chất điểm đi đến vị trí N . Tốc độ cực đại của dao động là
A. 10 cm/s.
B. 5 cm/s.
C. 20 cm/s.
D. 15 cm/s.
Hướng dẫn:
T
+ Thời gian để chất điểm chuyển động giữa hai vị trí biên là t = t2 − t1 = = 1 s → T = 2 s.
2
2 MN 2 20
→ Tốc độ cực đại của dao động vmax =  A =
=
= 10 cm/s → Đáp án A
T 2
2 2
Câu 12: (BXD – 2019) Hai chất điểm A và B chuyển động tròn đều với cùng tốc độ góc  = 10 rad/s
trên quỹ đạo bán kính R = 10 cm như hình vẽ. Hình chiếu H của trung điểm AB lên
A
H
phương bán kính quỹ đạo dao động điều hòa với tốc độ cực đại là
A. 100 cm/s.
B
60
B. 50 3 cm/s.
+ Tốc độ góc của chuyển động tròn  =

0

C. 50 2 cm/s.
D. 50 cm/s.

O

Hướng dẫn:
+ Hình chiếu của H lên phương bán kính quỹ đạo dao động với tần số góc  = 10 rad/s và biên độ
A = R cos 300 = 5 3 cm.
→ Tốc độ cực đại của dao động vmax =  A = 10.5 3 = 50 3 cm/s → Đáp án B



Câu 13: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O với phương trình x = 5cos  2 t −  cm, t
2

được tính bằng giây. Tính thừ thời điểm t = 0 , thời điểm gần nhất để vật lặp lại trạng thái dao động tương tự
như thời điểm t = 0 là
A. 1 s.
B. 2 s.
C. 3 s.
D. 4 s.
Hướng dẫn:
+ Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại được định nghĩa là một chu kì T = 1 s.
→ Đáp án A
Câu 14: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính R = 2 cm. Gọi H
là hình chiếu của M trên một đường kính của đường tròn này. Tại thời điểm t = 0 ta thấy hai điểm này gặp
nhau, đến thời điểm t = 1 s ngay sau đó khoảng cách giữa chúng là lớn nhất. Tốc độ dài của chuyển động

tròn là

3
A. 2 cm/s.
B.
cm/s.
C.  cm/s.
D.
cm/s.
2
2
Hướng dẫn:
HDedu - Page 7


+ Khoảng cách từ thời điểm hai điểm này gặp nhau đến khi chúng xa nhau nhất là t =

T
= 1 s → T = 4 s.
4

2
2
= 2.
=  cm/s → Đáp án C
T
4


Câu 15: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2 cos  2 t −  cm, t được tính

3

bằng giây. Không tính thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ x = +1 cm lần đầu tiên vào thời điểm
1
1
A. 1 s.
B.
s.
C. s.
D. 4 s.
2
3
Hướng dẫn:
 

2

t
−
= + 2 k





 
3 3
+ Ta có x = 2 cos  2 t −  = 1 cm → cos  2 t −  = cos   → 
.
3

3


3
 2 t −  = −  + 2k

3
3
 1
t = +k
1
→  3
s → với k = 0 thì t = s → Đáp án C

3
t = k
→ Tốc độ dài của chuyển động tròn v = R = R



Câu 16: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos  2 t +  cm, t được tính
4

bằng giây. Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên vào thời điểm
1
1
1
1
A. s.
B.

s.
C. s.
D.
s.
8
2
3
4
Hướng dẫn:
Vị trí cân bằng là vị trí có li độ x = 0 .
 

2 t + = + 2k





 
4 2
+ Ta có x = 4 cos  2 t +  = 0 cm → cos  2 t +  = cos   → 
.


4
4


2
 2 t + = − + 2k


4
2
 1
t = 8 + k
1
→ 
s → với k = 0 thì t = s → Đáp án A
8
t = − 1 + k

8


Câu 17: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos   t +  cm, t được tính
2

bằng giây. Vật đi qua vị trí biên âm lần đầu tiên vời thời điểm
1
1
A. s.
B.
s.
C. 2 s.
D. 1 s.
8
2
Hướng dẫn:
Vị trí biên âm là vị trí có li độ x = − A .




t
+
=  + 2 k





2
+ Ta có x = A cos   t +  = − A cm → cos   t +  = cos ( ) → 
.
2
2


 t +  = − + 2k

2
 1
t = 2 + 2k
1
→ 
s → với k = 0 thì t = s → Đáp án B
2
t = − 3 + 2k

2

HDedu - Page 8


Câu 18: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa trên quỹ đạo AB = 10 cm, với A và B là hai
điểm biên của quỹ đạo. Quan sát dao động thì thấy, tại điểm điểm t1 chất điểm ở vị trí M , đến thời điểm
t2 = t1 + 1 s gần nhất chất điểm đi đến vị trí B . Nếu chuyển động thêm 1 s nữa thì tổng quãng đường mà chất
điểm này đi được kể từ thời điểm t1 là
A. 10 cm.
B. 20 cm.
C. 30 cm.
D. 40 cm.
Hướng dẫn:
+ Dễ thấy khoảng thời gian 1 s tương ứng với nửa chu kì, sau khoảng thời gian 2 s kể từ t1 chất điểm sẽ
quay về M → tổng quãng đường là S = 2 AB = 20 cm → Đáp án B
Câu 19: (BXD – 2019) Chất điểm A chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính R . Gọi A là hình
chiếu của A trên một đường kính của đường tròn này. Tại thời điểm t = 0 ta thấy hai điểm này gặp nhau,
đến thời điểm t  = 1 s ngay sau đó khoảng cách giữa chúng bằng một nửa bán kính. Chu kì dao động điều hòa
của A là
A. 3 s.
B. 6 s.
C. 4 s.
D. 12 s.
Hướng dẫn:
+ Tại thời điểm t = 0 dao động A đang ở vị trí biên, đến thời điểm t  ta có
At 
( AA)t 1
R
0



=
arcsin
=
→
→
.

=
30
AA =
R
2
2


+ Tốc độ góc của chuyển động tròn  =
→ Chu kì dao động T =

2








= 6 = rad/s.
t 1 6

At

A A

= 12 s → Đáp án D

Câu 20: (BXD – 2019) Hai chất điểm M và N chuyển động tròn đều với cùng tốc độ góc trên quỹ đạo
bán kính R = 10 cm như hình vẽ. Gọi M  và N  lần lượt là hình chiếu của M
M
và N lên phương Ox như hình vẽ. Tại thời điểm t1 ta thấy M  trùng với N  ,
(+)
đến thời điểm t2 = t1 + 0,5 s gần nhất thì khoảng cách giữa M  và N  là lớn nhất.
M  N
Tốc độ cực đại của M  là
x
O
A. 10 cm/s.
B. 20 cm/s.
C. 5 cm/s.
D. 10 2 cm/s.
N
Hướng dẫn:
+ Dễ thấy rằng M  trùng với N  khi MN vuông góc với Ox , khoảng cách giữa M  và N  lớn nhất khi
MN song song với Ox .
T
→ Khoảng thời gian giữa hai thời điểm trên tương ứng t = = 0,5 s → T = 2 s →  =  rad/s.
4

+ Tốc độ cực đại của M là vmax =  A = 10 cm/s → Đáp án A
 BÀI TẬP VỀ NHÀ 

Câu 1: Một vật dao động điều hòa quanh điểm O , trong quá trình dao động A và B là hai vị trí mà vật
đổi chiều chuyển động. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật này đi từ A đến B được định nghĩa là
A. một chu kì.
B. nửa chu kì.
C. hai chu kì.
D. một phần tư chu kì.
Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos (10 t ) cm, t được tính bằng giây.
Tần số góc của dao động là
A.  rad/s.
B. 2 rad/s.

C. 10 rad/s.
D. 5 rad/s.


Câu 3: Cho một dao động điều hòa x = 6 cos  2 t −  cm, t được tính bằng giây. Pha của dao động tại
3

thời điểm t = 1 s là


5
5
A. − .
B. .
C.
.
D. −
.
3

3
3
3

HDedu - Page 9




Câu 4: Cho một dao động điều hòa x = 6sin  2 t −  cm, t được tính bằng giây. Pha của dao động tại
6

thời điểm t = 0 s là
2

5
5
A. −
.
B. − .
C.
.
D. −
.
3
6
3
3
Câu 5: Cho một dao động điều hòa x = 6sin ( 2 + 4t ) cm, t được tính bằng giây. Chu kì của dao động này
là



2
.
B.  .
C. .
D. .
2
3
3
Câu 6: Cho hai chất điểm M , N chuyển động tròn đều, cùng chiều trên một đường tròn tâm O , bán kính
R = 10 cm với cùng tốc độ dài là 1 m/s. Biết góc MON bằng 300 . Gọi K là trung điểm MN , hình chiếu
của K xuống một đường kính đường tròn dao động với tốc độ cực đại gần nhất giá trị nào sau đây?
A. 30,8 cm/s.
B. 86,6 cm/s.
C. 61,5 cm/s. D.
100
cm/s.
Câu 7: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn, bán kính R = 10 cm, chu kì
T = 6 s. Gọi M  là hình chiếu của M lên một đường kính. Tại thời điểm t1 khoảng cách MM  là lớn nhất,
đến thời điểm t2 + t gần nhất MM  = 5 cm. Giá trị của t là
A. 1 s.
B. 3 s.
C. 6 s.
D. 0,5 s.
Câu 8: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn, bán kính R = 10 cm. Gọi
M  là hình chiếu của M lên một đường kính. Tại thời điểm t1 khoảng cách MM  là nhỏ nhất, đến thời
điểm t2 + 1 s gần nhất MM  = 5 cm. Thời điểm t3 ngay sau đó MM  = 5 cm là
A. 1 s.

B. 3 s.
C. 6 s.
D. 5 s.
Câu 9: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn, bán kính R , chu kì T . Gọi
M  là hình chiếu của M lên một đường kính. Trong quá trình chuyển động, ta nhận thấy rằng cứ sau mỗi
khoảng thời gian t liên tiếp thì khoảng cách MM  = d với 0  d  R . Giá trị của t là
T
T
T
A. T .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
Câu 10: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn, bán kính R . Gọi M  là
hình chiếu của M lên một đường kính. Tại thời điểm t1 khoảng cách MM  là nhỏ nhất, đến thời điểm t2 + 1
A.

s gần nhất MM  =
A. 1 s.

3
R cm. Thời điểm t3 ngay sau đó MM  = 0 là
2
B. 3 s.
C. 6 s.

1–B

6–D

BẢNG ĐÁP ÁN
2–C
3–C
4–B
7–A
8–D
9–D

D. 2 s.
5–C
10 – D

HDedu - Page 10


CHUYÊN ĐỀ

VẬN TỐC VÀ GIA TỐC
TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

2

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Vận tốc v của một vật dao động điều hòa
Ta có:
o vận tốc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động.
o vận tốc của vật dao động được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian
dx

hay v = x
v=
dt
Vậy



v = x = − A sin (t + 0 ) =  A cos  t + 0 + 
2



hay v = vmax cos  t + 0 +  với vmax =  A
2

Vận tốc sẽ có giá trị dương khi vật chuyển động theo chiều dương của trục Ox , có giá trị âm khi vật
chuyển động theo chiều ngược lại.
− A

A
−A

O

+A

−A

x

O

+A

x

Vật chuyển động theo chiều âm

Vật chuyển động theo chiều dương

Từ biểu thức của vận tốc ta thấy rằng:
o vận tốc cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vmax =  A .
o vận tốc cực tiểu khi vật đi qua vị trí cân bằng
theo chiều âm vmax = − A .
o vận tốc bằng 0 khi vật đi qua vị trí biên.
 Chú ý:
o Tốc độ được hiểu là độ lớn của vận tốc. Tốc độ sẽ cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng (không quan
tâm đến chiều).
o Vận tốc đổi dấu, tương ứng với vật đổi chiều chuyển động tại vị trí biên.
II. Gia tốc a của một vật dao động điều hòa
Ta có:
o gia tốc là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến đổi nhanh hay chậm của vận tốc.
o gia tốc của vật dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của li độ hay bằng
đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc.
a = v hay a = x
Vậy
a = x = − 2 x =  2 A cos (t + 0 +  )
hay a = amax cos (t + 0 +  ) hoặc a = − 2 x với amax =  2 A
→ Gia tốc luôn ngược dấu với li độ và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ. Từ biểu thức trên ta thấy rằng:

1


Vị trí gia tốc đổi chiều

−A

a0

a0
x0

O

+A

x

x0

Giản đồ gia tốc – li độ

o gia tốc cực đại khi vật đi qua vị trí biên âm amax =  2 A .
o gia tốc cực tiểu khi vật đi qua vị trí biên dương amin = − 2 A .
o gia tốc bằng 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Hệ thức độc lập thời gian li độ – vận tốc
 Phương pháp giải:
Ta có:
2

x
x
→ cos 2 (t +  ) =   (1).
A
 A

o

x = A cos (t +  ) → cos (t +  ) =

o

v = x = − A sin (t +  ) → sin (t +  ) = −

2

v
 v 
→ sin 2 (t +  ) = 
 (2).
A
A

Từ (1) và (2)
2

2

x  v 

  +
 = 1 (*)
 A   A
Hệ thức (*) được gọi là hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc. Từ (*), ta cũng thu được
v
A = x2 +  
 

2

và v 2 =  2 ( A2 − x 2 ) hay  2 =

  v 2 
v2
2
2
và
x
=
A
1 − 
 
A2 − x 2
   A  

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2012) Một vật dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5 cm
thì nó có tốc độ là 25 cm/s. Biên độ giao động của vật là
A. 5,24 cm.
B. 5 2 cm.

C. 5 3 cm.
D. 10 cm.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
2

o

v
A = x +  =
 
2

2

25
( 5) +   = 5 2 cm.
 5 
2



 Ví dụ 2: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  2t +  cm, t
3

được tính bằng giây. Tại thời điểm chất điểm có tốc độ 10 cm/s thì nó cách vị trí cân bằng một đoạn
A. 5 cm.
B. 5 2 cm.
C. 5 3 cm.
D. 10 cm.

 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
2

o

2

 v 
 10 
x = A 1− 
 = (10 ) 1 − 
 = 5 3 cm.
 A 
 2.10 

 Ví dụ 3: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos ( 2t ) cm, t được
tính bằng giây. Tại thời điểm chất điểm cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm thì nó có tốc độ bằng
2


A. 5 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o

C. 10 3 cm/s.

B. 10 2 cm/s.

v =  A2 − x2 = ( 2 )

(10) − (5)
2

2

D. 20 cm/s.

= 10 3 cm.

Dạng 2: Hệ thức độc lập thời gian vận tốc – gia tốc
 Phương pháp giải:
Ta có:
2

v
 v 
→ sin 2 (t +  ) = 
 (1).
A
A

o

v = x = − A sin (t +  ) → sin (t +  ) = −

o

a = x = − 2 A cos (t +  ) → cos (t +  ) = −

2

 a 
→ cos 2 (t +  ) =  2  (2).
2
 A
 A

a

Từ (1) và (2)
2

2

 v   a 
 v   a 

 +  2  = 1 hay  v  +  a  = 1 (**)
 A    A 
 max   max 
Hệ thức (**) được gọi là hệ thức độc lập thời gian giữa vận tốc và gia tốc. Từ (**), ta cũng thu được
2

2

v  a 
A =   + 2 
   

2

2

và v = v
2

2
max

  a 2 
  v 2 
2
2
1 − 
  và a = amax 1 − 
 
  amax  
  vmax  

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2009) Một vật dao động điều hòa có phương trình x = A cos (t +  ) . Gọi v và a
lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là
v2 a2
v2 a2
v2 a2
A. 4 + 2 = A2 .
B. 2 + 2 = A2 .
C. 2 + 4 = A2 .













D.

2
v

2

+

a2



4

= A2 .

 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
2
2
v2 a2
 v   a 
o 
hay
+ 4 = A2 .
+
=
1
  2 
2

A

A



 

 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí
cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là
40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.

 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
o vc.bang = v max =  A = 20 cm/s.
2

2

2

2

1  a 
 v   a 
 v 
o 
 + 2
 = 1 →  = 4 rad/s.
 +  2  = 1→ 
A   A
A   A
Thay vào biểu thức đầu tiên → A = 5 cm.

 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox . Kết luận nào sau đây là sai?
A. Vận tốc của vật cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng.
3


B. Vận tốc của vật bằng 0 tại vị trí vật đổi chiều chuyển động.

C. Gia tốc của vật cực đại tại vị trí vật có li độ cực tiểu.
D. Gia tốc của vật bằng 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
Câu 2: (BXD – 2019) Trong dao động điều hòa, vật đang chuyển động từ vị trí biên dương về vị trí cân
bằng thì:
A. vận tốc của vật âm.
B. vận tốc của vật dương.
C. gia tốc của vật dương.
D. li độ của vật âm.
Câu 3: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa khi đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương đến khi đi
qua vị trí cân bằng theo chiều âm lần đầu tiên thì gia tốc của vật sẽ
A. luôn tăng.
B. luôn giảm.
C. tăng rồi lại giảm.
D. giảm rồi lại tăng.
Câu 4: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa, tại thời điểm t1 vận tốc của vật là cực đại, đến thời điểm
t2 gần nhất gia tốc của vật là cực tiểu. Trong khoảng thời gian này chuyển động của vật là
A. nhanh dần đều.
B. chậm dần đều.
C. nhanh dần.
D. chậm dần.
Câu 5: Một vật dao động điều hòa khi chuyển động từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí biên lần
đầu thì
A. vận tốc của vật sẽ giảm.
B. li độ của vật sẽ giảm.
C. gia tốc của vật sẽ tăng.
D. tốc độ của vật sẽ tăng.
Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa, khi chất điểm này đi từ vị trí cân bằng theo chiều âm đến vị trí
cân bằng theo chiều dương gần nhất thì
A. vận tốc của vật luôn giảm.
B. vận tốc của vật luôn tăng.

C. vận tốc của vật tăng rồi giảm.
D. vận tốc của vật giảm rồi tăng.
Câu 7: Trong quá trình dao động điều hòa của một vật, gia tốc của vật này có giá trị cực đại khi vật đi qua
vị trí
A. cân bằng theo chiều dương.
B. biên âm.
C. cân bằng theo chiều âm.
D. biên dương.
Câu 8: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật cực đại thì
A. vận tốc của vật sẽ cực tiểu.
B. gia tốc của vật sẽ cực tiểu.
C. gia tốc của vật sẽ cực đại.
D. vận tốc của vật sẽ cực đại.
Câu 9: Trong quá trình dao động điều hòa của một vật, gia tốc của vật luôn
A. hướng về vị trí biên âm.
B. hướng về vị trí biên dương.
C. hướng về vị trí cân bằng.
D. hướng ra xa vị trí cân bằng.
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng MN , biết tại M và N vật đổi chiều
chuyển động. Tốc độ của vật này sẽ cực đại khi nó đi qua
A. điểm M .
B. điểm N .
C. trung điểm của MN .
D. không đủ cơ sở để xác định.
II. Bài tập vận dụng
Câu 1: Vật dao động điều hòa sẽ đổi chiều chuyển động khi
A. vận tốc của vật cực đại.
B. gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại.
C. vật đi qua vị trí cân bằng.
D. vật đi qua vị trí biên.

Câu 2: Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi
A. cùng pha với li độ.

B. sớm pha

C. ngược pha với li độ.

D. trễ pha


so với li độ.
2


so với li độ.
2

Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình li độ và vận tốc được cho lần lượt là
x = A cos t và v =  A cos (t +  ) . Giá trị của  là


.
2



.
D.  .
2
Câu 4: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Gọi x và v lần lượt

là li độ và vận tốc của chất điểm này tại cùng một thời điểm. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. 0.

B.

C. −

4


A.

2

x
B.   + v 2 = 1 .
 A

v
= A.
x

 x   vT 
C.   + 
 = 1.
 A   2 A 

D.

x1

2
=−
.
x2
T

Câu 5: Một vật dao động điều hòa biên độ A và tần số góc  . Tại thời điểm vật có tốc độ v =

3
 A thì
2

vật có li độ x là
A. x =  A .

B. x = 

1
A.
2

C. x = 

2
A.
2

D. x = 

3

A.
2



Câu 6: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 10 cos   t +  cm, t được tính bằng giây.
2

2
Lấy  = 10 . Gia tốc cực đại của vật trong quá trình dao động là
A. 10 cm/s2.
B. 20 cm/s2.
C. 100 cm/s2.
D. 50 cm/s2.
Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa khi đi qua vị trí biên âm thì
A. vận tốc cực tiểu.
B. vận tốc cực đại.
C. gia tốc cực tiểu.
D. gia tốc cực đại
Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = A cos t . Vận tốc cực tiểu của chất điểm
trong quá trình dao động là
A
A. 0.
B.  A .
C. − A .
D.
.
2
Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox . Biết vận tốc của chất điểm
này khi đi qua vị trí cân bằng là v0 và gia tốc của chất điểm này khi đi qua vị trí biên là a0 . Tần số góc của

dao động được xác định bởi biểu thức
a02
v02
v0
a0
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2v0
2a0
a0
v0
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình
x = 5sin ( t −  ) cm ( t được tính bằng s). Tốc độ cực đại của chất điểm này là
A. 5 cm/s.
B. 5 cm/s.
C. 4 cm/s.
D. 20 cm/s.
Câu 11: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình vận tốc được cho bởi biểu thức
v = 10 cos ( t +  ) cm/s ( t được tính bằng s). Phương trình li độ của dao động này là



A. x = 10 cos   t +  cm.
2


C. x =  cos ( t +  ) cm.



B. x = 10 cos   t −  cm.
2

D. x =  cos ( t −  ) cm.

Câu 12: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình


x = 5sin   t −  cm ( t được tính bằng s). Phương trình vận tốc của dao động này là
2



A. v = 5 cos   t −  cm/s.
B. v = 5 cos ( t ) cm/s.
2



C. v = 5 cos ( t −  ) cm/s.
D. v = 10 cos   t −  cm/s.
2

Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình




thì vận tốc của chất điểm là
x = 5cos   t −  cm ( t được tính bằng s). Khi pha của dao động là
3
2

A. 5 cm/s.
B. −2,5 2 cm/s.
C. −2,5 3 cm/s.
D. 2,5 cm/s.
Câu 14: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình



thì tỉ số giữa vận tốc và vận tốc cực đại của chất điểm là
x = 10cos  2t −  cm. Khi pha của dao động là
4
4

1
2
3
3
A. .
B. −
.
C.
.
D. −

.
2
2
2
2
5




Câu 15: Gia tốc của một chất điểm dao động điều hòa được cho bởi phương trình a = 100cos   t + 
2

2
2
cm/s ( t được tính bằng s). Lấy   10 . Phương trình li độ của chất điểm là




A. x = 10 cos   t +  cm.
B. x = 10 cos   t −  cm.
2
2


3 
3 



C. x = 10 cos   t −
D. x = 10 cos   t +
 cm.
 cm.
2 
2 


Câu 16: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình


x = 2cos  4t +  cm ( t được tính bằng s). Gia tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí có li độ x = −2 cm là
2

2
A. 16 cm/s .
B. 24 cm/s2.
C. 32 cm/s2.
D. 12 cm/s2.
Câu 17: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương trình
2
x = 2cos ( 4t ) cm. Khi pha của dao động là
thì tỉ số giữa gia tốc và gia tốc cực đại của chất điểm là
3
1
2
3
3
A. .
B. −

.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 18: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox khi gia tốc của vật bằng
một nửa gia tốc cực đại và vật chuyển động theo chiều dương thì tỉ số giữa vận tốc và vận tốc cực đại là
1
2
3
3
A. .
B. −
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 19: Một vật dao động điều hòa, tại thời điểm t khi vật đi qua vị trí có li độ x = 2 cm thì gia tốc của
vật tương ứng là a = −8 cm/s2. Tần số góc dao động của vật là
A. 2 rad/s.
B. 8 rad/s.

C. 1 rad/s.
D. 5 rad/s.
Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 2 s. Biết rằng khi chất điểm đi qua
vị trí có li độ x = 3 cm thì vận tốc của chất điểm là 3 3 cm/s. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 4 cm.
B. 8 cm.
C. 6 cm.
D. 5 cm.
Câu 21: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của
nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao
động của chất điểm là
A. 4 cm.
B. 8 cm.
C. 10 cm.
D. 5 cm.
Câu 22: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật là x1 = −1 cm thì vận tốc của vật là v1 = 5 3 cm/s,
khi li độ của vật là x2 = 2 cm thì vận tốc của vật là v2 = 5 2 cm/s. Biên độ dao động của vật là
A. 2 cm.
B. 3 cm.
C. 4 cm.
D. 5 cm.
Câu 23: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox , tại các thời điểm t1 , t2 vận tốc và gia tốc của vật
tương ứng có giá trị là v1 = 10 3 cm/s, a1 = −1 m/s2, v2 = −10 cm/s và a2 = − 3 m/s2 . Li độ x2 ở thời
điểm t2 là:
1
A. 3 cm.
B. 3 cm.
C. 1 cm.
D.
cm.

3
Câu 24: Một chất điểm dao động điều hòa: Tại thời điểm t1 có li độ 3 cm thì tốc độ là 60 3 cm/s. Tại thời
điểm t2 có li độ 3 2 cm thì tốc độ 60 2 cm/s. Tại thời điểm t3 có li độ 3 3 cm thì tốc độ là
A. 60 cm/s.

B. 30 3 cm/s.

C. 30 cm/s.

6

D. 30 2 cm/s.


CHUYÊN ĐỀ

NÂNG CAO
GIẢI TOÁN ĐỘ LỆCH PHA

NC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hai dao động điều hòa a = A cos (t + 0 a ) và b = B cos (t + 0 a ) .
a

b

Độ lệch pha giữa hai dao động tại cùng một thời điểm t được xác định bằng biểu thức:
 =  a − b
 Chú ý:

o độ lệch pha giữa hai dao động phụ thuộc vào thời gian.
o độ lệch pha giữa hai dao động tại cùng một thời điểm đúng bằng hiệu hai pha ban đầu mà không
phụ thuộc vào thời gian.
1. Hai đại lượng dao động cùng pha
a cùng pha với b , khi
 a −  b = 2 k
Ta có:
o cos a = cos b .

a A cos (a ) A
a b
=
= hay = .
b A cos (b ) B
A B
→ Tổng quát hóa, với hai đại lượng cùng pha ta luôn có hệ thức:
a b
=
A B
Kể tên các đại lượng dao động cùng pha trong dao động điều hòa?
2. Hai đại lượng dao động ngược pha
a ngược pha với b , khi

o

a − b = ( 2k + 1) 
Ta có:
o cos a = − cos b .

a A cos (a )

A
a
b
=
= − hay = − .
b A cos (b )
B
A
B
→ Tổng quát hóa, với hai đại lượng ngược pha ta luôn có hệ thức:
a
b
=−
A
B
Kể tên các đại lượng dao động ngược pha trong dao động điều hòa?
3. Hai đại lượng dao động vuông pha
a vuông pha với b , khi

a − b = ( 2k + 1)
2

o


a = A cos ( A ) = A sin (b )
cos a = sin b . Ta có 
.

b = B cos (b )

a

2
2
sin (b ) = A
a b
→ 
→ sin 2 (b ) + cos 2 (b ) =   +   = 1 .
 A  B 
cos ( ) = b
A

B
→ Tổng quát hóa, với hai đại lượng ngược pha ta luôn có hệ thức:
1

HDedu - Page 1


2

a b
  +  =1
 A  B 
Kể tên các đại lượng dao động vuông pha trong dao động điều hòa?
 Ví dụ minh họa:



 Ví dụ 1: (BXD – 2020) Cho hai dao động điều hòa x1 = A1 cos (t ) và x2 = A2 cos  t +  . Hệ thức

2

nào sau đây là đúng?
x
x
A. 1 = 2 .
A1 A2
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
o x1 ⊥ x2 .
2

o

2

2

2

2

x  x 
D.  1  +  2  = 1 .
 A1   A2 

x  x 
C.  1  =  2  .
 A1   A2 

x
x
B. 1 = − 2 .
A1
A2

2

 x1   x2 
  +   =1.
 A1   A2 

 2 
 Ví dụ 2: (BXD – 2020) Mộ chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = A cos 
t  . Tại thời
 T 
T
điểm t1 vật có li độ x1 , đến thời điểm t2 = t1 + vật có li độ x2 . Hệ thức nào sau đây là đúng?
4
2
2
2
2
2
A. x1 + x2 = A .
B. x1 − x2 = A .
C. x12 = x22 = A .
D. x1 + x2 = A .
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

T  
o t2 − t1 =  ( t2 − t1 ) =    = .
4 2
2

o

2

 x1   x2 
2
2
2
  +   = 1 hay x1 + x2 = A .
 A  A

 Ví dụ 3: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 4 s. Tại thời điểm
t1 chất điểm đi qua vị trí có li độ x1 = 3 cm. Thời điểm t2 = t1 + 1 s chất điểm có tốc độ bằng
A. 2 cm/s.
B. 2 cm.
C. 3 cm/s.
D. 1,5 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
o

(v − x )t

1

o

=



2

→ (v )t − ( x )t =
1

x1
v
 2
= − 2 → v2 =  x1 = 
A
A
 4

1



2

+



2

= .


 . ( 3) = 1,5 cm/s.


 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Câu 1: Cho hai dao động điều hòa ngược pha nhau với phương trình lần lượt là x1 = A1cos (t + 1 ) và
x2 = A2 cos (t + 2 ) . Hiệu 1 −  2 được biểu diễn bằng

A. 1 − 2 = 2k , với k = 0, 1, 2... .

B. 1 − 2 = ( 2k + 1)  , với k = 0, 1, 2... .

C. 1 − 2 = k , với k = 0, 1, 2... .

D. 1 − 2 = ( 2k + 1)

2


2

, với k = 0, 1, 2... .

HDedu - Page 2


Câu 2: Cho hai dao động điều hòa vuông pha nhau với phương trình lần lượt là x1 = A1cos (t + 1 ) và

x2 = A2 cos (t + 2 ) . Hiệu 1 −  2 được biểu diễn bằng

A. 1 − 2 = 2k , với k = 0, 1, 2... .

B. 1 − 2 = ( 2k + 1)  , với k = 0, 1, 2... .

C. 1 − 2 = k , với k = 0, 1, 2... .

D. 1 − 2 = ( 2k + 1)



, với k = 0, 1, 2... .
2
Câu 3: (BXD – 2019) Cho hai dao động điều hòa x1 và x2 , tại mọi thời điểm ta luôn có hệ thức liên hệ
2

 x1 
2
  + x2 = 1. Hai dao động này
5
A. cùng pha nhau.
B. vuông pha nhau.
C. ngược pha nhau.
D. có độ lệch pha bất kì.
Câu 4: (BXD – 2019) Cho hai dao động điều hòa x1 và x2 , tại mọi thời điểm ta luôn có hệ thức liên hệ

x12 + x22 = 16 cm2. Kết luận nào sau đây là sai?
A. Hai dao động này vuông pha nhau.
C. Hai dao động này ngược pha nhau.

B. Hai dao động này cùng biên độ.
D. Biên độ của dao động x1 là A1 = 4 cm.

Câu 5: (BXD – 2019) Cho hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1 = 4 cos (t ) cm và



x2 = 6 cos  t +  cm. Tại thời điểm t , x1 = 4 cm thì giá trị của x2 là
2

A. 0 cm.
B. 6 cm.
C. 2 cm.

D. –4 cm.






Câu 6: Cho hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1 = A cos  t +  và x2 = 2 A cos  t − 
2
2


. Biểu thức nào dưới đây là đúng?
x
x

x 1
x
1
A. 1 = −1 .
B. 1 = − .
C. 1 = .
D. 1 = −2 .
x2
x2 2
x2
2
x2
Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với chu kì T , có li độ x , vận tốc v , gia tốc a . Ở thời
điểm t1 thì các giá trị đó là x1 , v1 , a1 ; thời điểm t2 thì các giá trị đó là x2 , v2 , a2 . Nếu hai thời điểm này
T
thỏa t2 − t1 = m , với m là số nguyên dương lẻ, thì điều nào sau đây sai?
4
2
2
2
2
A. x1 + x2 = A2 .
B. v12 + v22 = vmax
.
C. x1 x2 = A2 .
D. a12 + a22 = amax
.
Câu 8: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với tần số góc  và biên độ A , gọi x và v lần
lượt là li độ của chất điểm tại thời điểm t1 và vận tốc của chất điểm tại thời điểm t2 = t1 +


. Hệ thức đúng
2

là
2

2

2

2

v
v
x  v 
 x  v
A.   + 
C. =  .
D. 
 = 1 . B. = − .
 +  =1 .
x
x
 A A
A   
Câu 9: (BXD – 2019) Cho hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1 = A cos t và





x2 = A cos  t +  . Tại thời điểm t1 dao động thứ nhất có li độ x1 = a , đến thời điểm t2 = t1 +
dao
4
4

động thứ hai có li độ x2 = b . Biểu thức nào sau đây là đúng?
b
A. ab = A2 .
B. a 2 + b2 = A2 .
C. a 2 − b2 = A2 .
D. =  .
a
Câu 10: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T = 1 s. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1 = 3 cm,
tại thời điểm t2 = t1 + 0, 25 s vật có tốc độ
A. 8 cm/s.
B. 4 cm/s.
C. 2 cm/s.
D. 6 cm/s.

3

HDedu - Page 3


CHUYÊN ĐỀ
3

VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
TRONG BÀI TOÁN THỜI GIAN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Sử dụng sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta biểu diễn dao động của một vật tại
(+)
các thời điểm t1 và t2 lần lượt tương ứng với các vị trí M 1 và M 2 trên đường
M
tròn. Khi đó thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí x1 và x2 được xác định bằng
biểu thức:
 (rad )  (rad )
 0
t =
=
T=
T với M1OM 2 = 

2
3600

1

M2



− A x2

x1

x
+A

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Xác định thời gian để vật đi qua một li độ cho trước từ thời điểm ban đầu
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A và  là
các hằng số dương. Kể từ thời điểm ban đầu t0 = 0 . Xác định thời gian để vật đi qua vị trí có li độ xD kể từ
thời điểm ban đầu.
 Phương pháp giải:
Ta có thể giải quyết dạng toán trên theo các bước sau
Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của vật và biểu diễn tương
v0
ứng trên đường tròn bằng điểm M .
M
o nếu biết  0 → 0 = xOM .
chiều dương của góc là cùng chiều kim đồng hồ.
0
o nếu biết x0 = xt =0 và v0 thì
+A
−A
x
O
x
M
+ v  0 thì
thuộc nửa trên của đường tròn.
0
+ v  0 thì M thuộc nửa dưới của đường tròn.

v0

Bước 2: Xác định vị trí xD và biểu diễn tương ứng trên

đường tròn bằng điểm N .

N

M

0

−A

xD

O

x0

+A
x

Bước 3: Xác định thời gian để vật đi qua vị trí xD
t =

 (rad )

 (rad )
 0
=
T=
T
2

3600


Với  là góc mà bán kính quét được giữa hai vị trí x0 và
xD ;  là tần số góc của dao động điều hòa.

N

M


−A

xD

O

x0

+A
x

HDedu - Page 1


 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa qaunh vị trí cân bằng O trên trục Ox với


phương trình x = 4 cos  2 t −  cm, t được tính bằng giây. Kể từ thời điểm t = 0 , thời điểm vật đi qua vị trí

3

cân bằng lần đầu tiên là
A. 0,42 s.
B. 0,14 s.
C. 0,67 s.
D. 0,25 s.
 Hướng dẫn: Chọn A.
N



−4

+2

O

+4
x

M

Biểu diễn dao động của chất điểm tương ứng trên đường tròn.
o
o
o

t = 0 thì 0 = −



→ điểm M thuộc nửa dưới của đường tròn.
3
xcb = 0 → điểm N trên đường tròn.

1500 )
(

5
T=
. (1) = s.
MON = 150 → t =
0
0
360
360
12
0

 2 
 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos 
t  ( x tính
 3 
bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6031 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.

N1



−4
−2

O

M
x

N2

Ta có:

2
= 3 s.
  2 


 3 
Biễu diễn dao động của vật trên đường tròn:
o t0 = 0 , ta có 0 = 0 → điểm M trùng với biên dương.
o x = −2 cm → N1 (chuyển động theo chiều âm) và N 2 (chuyển động theo chiều dương) trên đường
tròn.
o T=

2

=

HDedu - Page 2


o nhận thấy trong mỗi chu kì, chất điểm đi qua vị trí x = −2 cm hai lần → ta tách 2011 = 2.1005 + 1 ;
chất điểm mất 1005 chu kì để đi qua vị trí x = −2 cm 2010 lần, ta chỉ cần tính thêm thời gian để chất
điểm này đi qua vị trí x = −2 cm lần đầu tiên.
 1200 

= 1005. ( 3) + 
= 3016 s.
→ t = 1005T +
0 

 120 
Dạng 2: Thời gian để vật đi giữa hai vị trí có li độ cho trước
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A và  là
các hằng số dương. Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí có li độ x1 , đến thời điểm t2 = t1 + t vật đi qua vị trí có
li độ x2 . Xác định khoảng thời gian t .
 Phương pháp giải:
N

M


−A

x2

x1

+A
x

Một cách tương tự, ta cũng có thể giải quyết bài toán trên theo các bước sau:
o Bước 1: Biểu diễn tương ứng trên đường tròn vị trí vật có li độ x1 .
o Bước 2: Biểu diễn tương ứng trên đường tròn vị trí vật có li độ x2 .
o Bước 3: Xác định thời gian để vật đi qua vị trí hai vị trí x1 và x2
t =

 (rad )

 (rad )
 0
=
T=
T
2
3600


Với  là góc mà bán kính quét được giữa hai vị trí x1 và x2 ;  là tần số góc của dao động điều
hòa.
 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2 s, khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ
A 3
A
theo chiều dương là
x1 = − đến vị trí có li độ x2 = +

2
2
A. 0,25 s.
B. 0,15 s.
C. 0,5 s.
D. 0,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.

HDedu - Page 3


−A

− A

+

1
2

3
2

+A
x

A



N
M

Biểu diễn dao động của trên đường tròn.
o vật chuyển động theo chiều dương → vị trí có li độ x1 , x2 tương ứng với nửa dưới của đường tròn.
o

o

 = arc sin

x1
x
+ arc sin 2 .
A
A


 3 
1
 arc sin   + arc sin 

2


 2  

t =
T=
( 2 ) = 0,5 s.

3600
3600

 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 6 s, khoảng thời gian ngắn để vật đi từ vị trí có li độ
A 3
A
là
x1 = đến vị trí có li độ x2 = +
2
2
A. 0,25 s.
B. 0,15 s.
C. 0,5 s.
D. 0,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.

−A

+ 12 A +

3
2

A +A
x



N
M

Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn.
o t = tmin → x1 , x2 tương ứng với nửa dưới của đường tròn.
o
o

 3
x1
x
1
0
− arc cos 2 = arc cos   − arc cos 
 = 30
A
A
2
 2 
300 )
(

t =
T=
( 6 ) = 0,5 s.
3600
3600
 = arc cos

 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = A cos (t ) . Kể từ thời điểm ban đầu t = 0 ,

thời gian để chất điểm đi qua vị trí vận tốc cực đại lần đầu là

HDedu - Page 4


3

.
D. t =
.

2
3
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T . Thời gian ngắn nhất để vật đi giữa hai vị trí biên là
T
T
3T
A. T .
B. .
C. .
D.
.
2
3
2
Câu 3: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Cứ sau mỗi khoảng thời gian liên tiếp bằng
T
nhau t = vật lại đi qua vị trí có li độ
4
A

2
3
A.
A.
A. x = A .
B. x = .
C. x = 
D. x = 
2
2
2
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ
A
A
x1 = + đến vị trí có li độ x2 = − theo chiều âm là
2
2
T
T
T
A. T .
B. .
C. .
D. .
2
3
6
Câu 5: Một vật dao động điều hòa với chu kì T . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận tốc cực đại đến
vị trí vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai là
T

T
T
3T
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
3
6
4
Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận
tốc cực đại đến vị trí gia tốc cực đại lần đầu tiên là
T
T
T
3T
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
3
6
4
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa
3
A là

hai vị trí có li độ x = +
2
T
T
T
3T
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
3
6
4
Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Trong một chu kì, khoảng thời gian lớn nhất
A
để vật đi giữa hai vị trí x = là
2
T
T
3T
2T
A.
.
B. .
C.
.
D. .
2

6
4
3
Câu 9: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa vị
trí có li độ cực đại đến vị trí gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại lần đầu tiên là
T
T
3T
2T
A.
.
B. .
C.
.
D. .
2
3
4
3
3
A
Câu 10: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí x1 = +
2
T
theo chiều âm, đến thời điểm t2 = t1 + vật đi qua vị trí có li độ
4
2
3
A
A

A.
A.
A. x2 = + .
B. x2 = − .
C. x2 = −
D. x2 = +
2
2
2
2
A. t =

2

.

B. t =


.


C. t =

II. Bài tập vận dụng



Câu 1: Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 8cos   t −  cm, t được tính bằng giây.
6


Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên tại thời điểm

HDedu - Page 5


2
s.
3


Câu 2: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 10 cos   t −  cm, t được
3

tính bằng giây. Vật đi qua vị trí biên lần đầu tiên tại thời điểm
1
1
2
A. 0,5 s.
B. s.
C. s.
D.
s.
6
3
3


Câu 3: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình li độ x = 10 cos   t −  cm, t được
3


tính bằng giây. Vật đi qua vị trí có tốc độ cực tiểu lần thứ hai vào thời điểm
1
1
2
7
A. s.
B. s.
C. s.
D.
s.
6
3
3
3


Câu 4: (BXD – 2020) Cho một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc v = 4 cos   t +  cm/s,
3

t được tính bằng giây. Vật đổi chiều chuyển động lần đầu tiên vào thời điểm
13
1
2
7
A. s.
B.
s.
C. s.
D.

s.
6
3
3
3


Câu 5: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos  2 t −  cm, t được tính
6

bằng giây và A là hằng số dương. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai vào thời
điểm
7
5
1
3
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
12
12
12
4
A
Câu 6: Một vật dao động điều hòa có chu kì T . Nếu chọn mốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí x0 = theo

2
chiều dương thì trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật có giá trị cực đại ở thời điểm
T
11T
5T
3T
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
12
12
8


Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm, t được tính
3

bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc cực đại lần đầu tiên vào thời điểm
7
2
1
3
A.
s.

B.
s.
C.
s.
D.
s.
12
3
12
4


Câu 8: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc v = 10 cos  2 t −  cm, t
3

được tính bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ x = 2,5 cm theo chiều dương lần đầu
tiên vào thời điểm
A. 0,5 s.
B. 0,125 s.
C. 0,15 s.
D. 0,25 s.
2 

Câu 9: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 10 cos 10 t −
 cm. Thời điểm đầu tiên (sau
3 

thời điểm t = 0 ) vật lặp lại vị trí ban đầu là
2
17

1
A. 0,5 s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
15
15
15
Câu 10: Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T . Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
A 2
A 3
x1 = −
đến li độ x2 =
là
2
2
A. 0,5 s.

B.

1
s.
6

C.

1

s.
3

D.

HDedu - Page 6