Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

A. PHẦN MỞ ĐẦU
Đặt vấn đề:
1.

Lý do chọn đề tài
Sự phát triển của khoa học - công nghệ ngày nay đòi hỏi nguồn l ực lao
động phải năng động và sáng tạo đáp ứng nền công nghi ệp hóa, hiện
đại hóa của đất nước. Trước sự thách thức, trước nguy cơ tụt hậu trên
con đường phát triển và hội nhập bằng sự cạnh tranh trong n ền kinh
tế tri thức, đòi hỏi phải đổi mới nội dung và PPDH nói chung và trong
môn Toán nói riêng nhằm tạo ra những con người lao động sáng t ạo,
linh hoạt đáp ứng sự phát triển kinh tế xã hội.
Ở trường trung học cơ sở, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho h ọc
sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt đ ộng toán h ọc.
Để rèn kỹ năng đó cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt kiến th ức c ơ
bản như định nghĩa, định lý,... giáo viên cần dạy cho học sinh bi ết vận
dụng các kiến thức đã học vào giải toán. Điều đó giúp cho các em c ủng
cố và nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, ứng
dụng toán học vào thực tiễn cuộc sống. Tổ chức có hiệu quả việc gi ải
bài tập toán học góp phần thực hiện tốt các mục đích dạy học toán
trong nhà trường đồng thời giữ một vai trò quyết định đối với ch ất
lượng dạy học môn Toán.
Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình” ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS là một
dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng c ủa lo ại toán
này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được kết
hợp giữa toán học, lý học và hoá học. Hầu hết các bài toán có d ữ li ệu
giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt m ới tìm đ ược
mối liên quan giữa các đại lượng để lập được ph ương trình ho ặc h ệ
phương trình.
Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp những kinh nghiệm

trong quá trình giảng dạy về dạng toán này, vì thế tôi đã ch ọn chuyên
đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”.

2.

Mục đích nghiên cứu

Đánh giá được thực trạng việc dạy và học dạng toán “Giải bải toán bằng
cách lập phương trình, hệ phương trình” ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9
trong trường THCS trong những năm qua. Từ đó đề ra đưa ra quy trình


thực hiện Giải bài toán bằng cách lập ph ương trình, hệ phương trình, phân
dạng và một số ví dụ minh họa. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát h ơn v ề
dạng toán này, để mỗi học sinh sau khi học xong ch ương trình toán THCS
đều nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng
đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hi ểu cách gi ải
để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nh ạy bén khi tìm l ời
giải bài toán; Tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng t ự tin, không còn
tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập ph ương trình.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù h ợp v ới m ọi đối t ượng h ọc
sinh làm cho học sinh hứng thú khi học môn Toán. Nhằm nâng cao chất
lượng môn Toán 9 và nhất là nâng cao điểm thi vào lớp 10 THPT.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toán Giải bải toán bằng cách lập ph ương trình, h ệ
phương trình ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong tr ường THCS.
4. Thời gian nghiên cứu
Từ tháng 8 năm 2015 đến tháng 2 năm 2017.
5. Địa điểm nghiên cứu: Trường THCS Phú Đa.

6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận dạy học.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm và trao đổi với đồng nghiệp th ực tế
trong quá trình giảng dạy.
- Phương pháp phân tích kết quả nghiên cứu bằng thông kê toán h ọc.

B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở khoa học
I.1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu:
“Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu ” đã
được thể hiện rõ trong quan điểm, đường lối của Đảng và Nhà nước ta,
khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với đất n ước, bởi lẽ giáo d ục
đóng vai trò quyết định đến sự thành công của công cuộc xây d ựng đ ất
nước, xây dựng chủ nghĩa xã hội. Trong những năm gần đây ngành giáo
dục đã và đang tập trung chỉ đạo và th ực hiện đổi m ới ph ương pháp d ạy


học, đổi mới kiểm tra đánh giá trên cơ sở bám sát chuẩn kiến th ức, kỹ
năng của chương trình giáo dục phổ thông tạo ra sự chuy ển bi ến căn b ản
nhằm thúc đẩy đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao ch ất l ượng giáo
dục. Tuy nhiên việc đổi mới còn chưa th ực sự đồng bộ.
Nâng cao chất lượng là một trong những mục tiêu cơ bản của quá
trình dạy học. Định hướng đổi mới PPDH ở trường phổ thông theo luật
Giáo dục là:
- Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo c ủa HS.
- Bồi dưỡng phương pháp tự học.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào th ực tiễn.
- Tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho h ọc sinh.
Căn cứ vào mục tiêu GD cấp THCS đã được mở rộng: “Các kiến th ức kỹ
năng được hình thành và củng cố để tạo ra bốn năng lực ch ủ y ếu sau:

- Năng lực hành động.
- Năng lực thích ứng.
- Năng lực cùng sống và làm việc.
- Năng lực tự khẳng định mình”.
Như vậy dạy học hiện nay phải chú ý đến mục đích là phát huy vai trò
chủ động sáng tạo của HS không chỉ trong lĩnh h ội ki ến th ức mà quan
trọng hơn phải rèn luyện cho các em trở thành con người năng đ ộng sáng
tạo, có năng lực tự học, có khả năng thích ứng nhanh với s ự phát tri ển c ủa
xã hội văn minh, khoa học kỹ thuật công nghệ tiên tiến.
I.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Có thể nói chất lượng môn Toán ở rất nhiều tr ường THCS v ẫn còn
thấp so với yêu cầu chung. Đặc biệt, ở một số trường, chất l ượng còn r ất
thấp, có những lớp trong giờ học toán học sinh như “ngồi nhầm lớp”, mỗi
khi giáo viên đặt câu hỏi thì gần như cả học sinh trong l ớp đều cúi m ặt
xuống vì sợ bị thầy cô gọi phát biểu ý kiến xây dựng bài.
Nguyên nhân:
- Trước hết do các em bị mất gốc kiến thức (do nhiều nguyên nhân) cho
nên các em có tâm lý sợ học Toán.
- Một số em lười học, thiếu sự chuẩn bị dụng cụ học tập dẫn tới không
nắm được các kĩ năng cần thiết trong việc học và v ận d ụng vào vi ệc gi ải
quyết các dạng bài tập toán học.


- Một số em thiếu ý thức tìm tòi, sáng tạo trong học tập, không có s ự ph ấn
đấu vươn lên, có thói quen chờ đợi lười suy nghĩ hay dựa vào giáo viên,
bạn bè hoặc xem lời giải sẵn trong sách giải một cách thụ động.
Đặc thù riêng của dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình” là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực
tế. Vì vậy mà việc chọn ẩn th ường là những đại lượng có liên quan đến
thực tế. Do đó khi giải bài toán học sinh th ường mắc sai lầm là thoát ly

khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác
hết mối quan hệ giằng buộc trong thực tế. Vấn đề tiếp theo là cách s ắp
xếp các bước trong bài giải khi đã đặt xong ẩn số, các em rất lúng túng
không biết đại lượng nào cần biểu thị trước, đại lượng nào bi ểu th ị sau.
Từ những lý do trên dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán này.
Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan
giáo viên chỉ dạy cho học sinh, truyền thụ theo sách giáo khoa mà ch ưa
phân loại dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng
toán; kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu vì th ế trong quá
trình đặt ẩn, tìm mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán nên HS còn
lúng túng trong việc giải dạng toán này.
Điều tra cụ thể:
Trong quá trình giảng dạy với ý thức vừa nghiên c ứu đặc đi ểm tình hình
học tập bộ môn của học sinh, vừa tiến hành rút kinh nghiệm. Ngay từ đ ầu
mỗi năm học chúng tôi đã định hướng cho mình một kế hoạch và ph ương
pháp cụ thể để chủ động điều tra tình hình học tập của học sinh do l ớp
mình phụ trách. Kết quả điều tra cụ thể như sau:
Năm học 2015-2016:
Lớp

TSHS

9A
9B

Giỏi

Khá

T.Bình

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

30

7

23,3

8

26,7

13

43,3

2

6,7

30

0

0

4

13,3

17

56,7

9

30,0

Khối 9 60

7

11,6

12

20,0

30

50,0

11

18,4

Năm học 2016-2017 (KSCL lần 1):
Lớp

TSHS

Giỏi
SL

Khá
%

SL

T.Bình
%

SL

Yếu
%

SL

%


9A

28

7

25,5

7

25,5

12

42,8

2

6,2

9B

27

0

0

2

7,4

13

48,1

12

44,5

Khối 9 55

7

12,7

9

16,3

25

45,5

14

25,5

II. Mô hình nghiên cứu và giải pháp
II.1. Phương pháp nghiên cứu
- Các giai đoạn nghiên cứu và th ực hiện chuyên đề:
Giai đoạn 1: Nghiên cứu lý thuyết, quan sát, kiểm tra đánh giá.
Giai đoạn 2: Biện pháp thực hiện
- Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban
hành về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ ph ương
trình.
- Từ đó muốn giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ ph ương
trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài
toán thành những quan hệ toán học. Do vậy nhiệm vụ của những người
thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập. Vì vậy khi h ướng d ẫn
cho học sinh học về giải dạng toán bằng cách lập PT, hệ PT ph ải d ựa trên
các nguyên tắc sau:
+ Yêu cầu về giải bài toán đó như thế nào.
+ Quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ ph ương trình.
+ Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng
giảm, thêm bớt…)
+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập đ ược PT, h ệ PT
dễ dàng.
- Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là d ựa vào quy t ắc
chung: giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ ph ương trình:
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

+ Chọn ẩn, tìm đơn vị và điều kiện thích hợp cho ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo đại lượng đã bi ết.
+ Dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán để lập PT (hệ PT)
Bước 2: Giải PT hoặc hệ PT
(Chọn cách giải cho phù hợp)


Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời
- Kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn xem có phù h ợp không
rồi trả lời.
II.2. Yêu cầu về giải một bài toán
Yêu cầu 1:
Chọn ẩn phải đầy đủ, rõ ràng theo bài toán (th ường là ch ọn ẩn tr ực ti ếp
nghĩa là bài toán hỏi gì thì ta chọn cái đó làm ẩn). Muốn vậy giáo viên ph ải
cho học sinh đọc hiểu kỹ đề bài, phân tích, suy luận t ừ các d ữ ki ện c ủa bài
toán; cách chọn ẩn phải chính xác, phải phù h ợp v ới bài toán và phù h ợp
với thực tế.
Ví dụ :
Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 giờ 20 phút đầy b ể. N ếu m ở
vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì
được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy b ể.
Giải
Đổi 1h20’ = 80’
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (phút), ( x>80)
Gọi thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là y (phút), ( y>80)
….
* Nhận xét: Với cách chọn ẩn này HS đã sai lầm vì chọn ẩn ch ưa đầy đ ủ,
rõ ràng theo bài toán.
Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán phải có căn cứ chính xác. Điều quan trọng là ph ải bi ết

diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán h ọc,
đặc biệt phải chú ý tới việc thỏa mãn điều kiện nêu trong bài toán. Mu ốn
vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là đi ều ki ện,
đâu là dữ kiện bài toán cho. Quá trình xác định mối quan hệ gi ữa ẩn và các
đại lượng đã biết, chưa biết phải làm n ổi bật đ ược ý ph ải tìm. Nh ờ m ối
tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được ph ương trình,
từ đó mà xác định được hướng giải, xây dựng được lời giải cho bài toán.
Yêu cầu 3:
Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải
trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các b ước sau đ ược suy ra t ừ


các bước trước, nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã
biết trước. Muốn vậy GV cần rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải
xem đã đầy đủ chưa. Kết quả của bài toán đã là đại diện phù h ợp v ới m ọi
cách chưa.
Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán cần trình bày đơn giản, phù h ợp v ới ki ến th ức trình đ ộ
của học sinh, đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được.
Ví dụ :
Hai đội công nhân cùng làm công việc trong 16 ngày thì xong, n ếu đ ội th ứ
nhất làm trong 3 ngày và đội thứ hai làm trong 6 ngày thì đ ược 25 % công
việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công
việc.
* Phân tích tìm lời giải:
Năng suất
Người I

Người II

-

Cả hai người

Thời gian (ngày)

Tổng
việc

số

x

1

3

3.

6

6( - )

16

1

Giải:
Đổi 25 % =
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày), (x>16)

thì một ngày đội I làm được

(công việc )

Trong một ngày cả hai đội làm được

(công việc).

công


Một ngày đội II làm được

-

Ba ngày đội I làm được 3.

(công việc ).

Sáu ngày đội II làm được 6(
Theo bài ta có PT: 3.

+ 6(

(công việc).

- ) (công việc).
- )=

…

* Nhận xét: Với bài toán này thường là nên chọn lập hệ PT thì việc suy
luận và giải hệ PT sẽ đơn giản hơn.
II.3. Phân loại dạng toán: Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT
và tiến trình các hoạt động để HS giải một bài toán
II.3.1. Phân loại dạng toán
Trong chương trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập ph ương trình, h ệ
phương trình có thể phân loại như sau:
1. Loại toán có liên quan đến số học.
2. Loại toán về chuyển động.
3. Loại toán về năng suất lao động.
4. Loại toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng.
5. Loại toán về thêm bớt, tăng giảm.
6. Loại toán có nội dung liên quan đến hình học.
7. Loại toán liên quan đến vật lý, hóa học.
8. Một số bài toán khác.
II.3.2. Tiến trình các hoạt động đề HS giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình:
Để đảm bảo 4 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc gi ải bài toán
bằng cách lập PT, hệ PT thì bài toán có th ể chia thành các hoạt động như
sau:


Hoạt động 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích đề bài toán giúp học sinh hiểu bài
toán cho biết những dữ kiện gì, cần tìm gì.
Hoạt động 2: Xác định bài toán thuộc dạng nào, từ đó xác định hướng phân
tích, tìm lời giải bài toán.
Hoạt động 3:
Chọn ẩn như thế nào cho phù hợp (chọn trực tiếp hay gián tiếp; ch ọn 1 ẩn
hay 2 ẩn), tìm điều kiện cho thỏa mãn; tìm đơn vị cho ẩn.
Dựa vào quan hệ giữa ẩn và các đại lượng chưa biết và đã biết trong bài

toán; dựa vào công thức, tính chất… để lập phương trình cho bài toán.
Hoạt động 4: Giải PT, hệ PT phải vận dụng các kỹ thuật gi ải đã biết đ ể tìm
nghiệm của PT, hệ PT.
Hoạt động 5: Kiểm tra, đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn,
của bài toán xem có phù hợp không.
Hoạt động 6: Trả lời bài toán.
Hoạt động 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho
học sinh khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đ ổi bài
toán thành bài toán mới, ta có thể:
- Thay số liệu khác cho bài toán; Phát biểu bài toán dưới dạng khác.
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác.
- Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển tư duy cho
học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hợp lý nhất…
II.3.3. Một số dạng bài toán và hướng dẫn học sinh giải bài toán
II.3.3.1. Dạng toán liên quan đến số học
Phương pháp giải:
+ Với dạng toán liên quan đến số học ở trên cần cho học sinh hi ểu đ ược
mối quan hệ giữa các số. Đặc biệt giữa các chữ số hàng đơn vị và hàng
chục, hàng trăm… biểu diễn dưới dạng cấu tạo số của nó:
Với a,b,c là các chữ số ta có:
= 10a + b


= 100a + 10b + c
+ Khi đổi chỗ vị trí các chữ số cho nhau thì giá trị của m ỗi ch ữ s ố có s ự
thay đổi tương ứng với vị trí mới.
….
Bài toán 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu
viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn h ơn số đã cho là

360 đơn vị.
* Phân tích tìm lời giải:
Ta đã biết với a,b là các chữ số thì
= 10a + b,

= 100a + 10b + c

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số đã cho thì s ố đó tr ở
thành số có 3 chữ số. Trong đó chữ số hàng chục của số ban đầu tr ở thành
chữ số hàng trăm của số mới còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu tr ở
thành chữ số hàng đơn vị của chữ số mới.
* Lời giải kết luận chưa đúng yêu cầu:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x ( x

)

Thì chữ số hàng chục là 7 – x
….
Theo đầu bài ta có PT:
700 - 99x = 360 + 70 - 9x
ó90x = 270 ó x = 3 ( TMĐK).
Vậy chữ số hàng chục là 7-3 = 4, chữ số hàng đơn v ị là 3.
* Lời giải đúng:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x ( x

)

Thì chữ số hàng chục là 7 – x
Chữ số ban đầu là ( 7 - x)x = 10(7 - x) + x = 70 - 9x
là

Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 chữ số của số đã cho thì số m ới

( 7 - x)0x = 100 ( 7 - x) + 0.10 +x = 700 - 99x


Theo đầu bài ta có PT:
700 - 99x = 360 + 70 - 9x
ó 90x = 270 ó x = 3 ( TMĐK). Nên chữ số hàng chục là 7-3 = 4
Vậy số đã cho là 43.
Bài toán 2:
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì đ ược m ột s ố
lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số m ới tạo thành là 99. Tìm
số đã cho.
* Phân tích tìm lời giải: Ta đã biết với a,b là các chữ số thì
+

= 10a+b

+ Khi đổi vị trí 2 chữ số cho nhau thì vai trò c ủa hai ch ữ s ố sẽ đ ược hoán
đổi cho nhau.
* Lời giải tìm điều kiện cho ẩn chưa đúng:
Gọi chữ số hàng chục là x ( x N; 0 x
Gọi chữ số hàng đơn vị là y ( y N;0
Nên số đã cho là

)
y

)

= 10x + y

…
* Lời giải đúng:
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y ( x,y N*; 0 x,y
Nên số đã cho là

= 10x + y

Khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta sẽ được số mới là
Theo đầu bài ta có hệ PT:

= 10y +x

10y +x - 10x -y = 63

10x +y + 10y +x = 99

)


ó

- 9x +9y = 63

11x + 11y = 99
Giải hệ ta được x = 1; y = 8 (TMĐK)
Vậy số đã cho là 18.
Bài toán 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các ch ữ s ố

của nó bằng 6 và nếu thêm vào số đó 18 đơn v ị thì s ố thu đ ược cũng vi ết
bằng chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại.
* Phân tích tìm lời giải:
Chữ số hàng chục

x

Chữ số hàng đơn vị

y

Số cần tìm
Số mới
* Lời giải tìm điều kiện cho ẩn chưa đúng:
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y, ( x,y N; 0Vì tổng các chữ số của nó bằng 6 nên ta có PT: x+y=6 (1)
Khi thêm vào số đó 18 đơn vị thì thu được số mới là:
Nên ta có PT:
+18 =

ó10x +y +18 = 10y +x ó x-y=-2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT:

x+y=6

x-y=-2
Giải hệ ta được x = 2( TMĐK); y = 4 ( TMĐK)
Vậy số đã cho là 24.
* Sai lầm thường gặp:

- Đặt điều kiện cho ẩn là chữ số không đúng hoặc không đầy đủ.

)


- Không có ghạch trên thể hiện số có 2, 3,… chữ số.
- Không kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra tr ước khi tr ả l ời
bài toán dẫn đến kết luận sai hoặc thiếu hoặc thừa.
Một số bài tập vận dụng
1.

Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai ch ữ số của nó b ằng 11
và
nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta đ ược
số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị.
(Đề thi vào lớp 10 năm học 2013-2014 Vĩnh Phúc).

2.

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ
số hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đ ược
số mới bằng số ban đầu.

3.

Tìm hai số tự nhiên biết tổng là 17 và tổng bình ph ương c ủa hai s ố
đó là 157.

II.3.3.2. Dạng toán chuyển động:
Phương pháp giải:

- Trong các bài toán về chuyển động thường có 3 đại l ượng liên quan là
vận tốc, quãng đường và thời gian đi; Học sinh cần nh ớ và n ắm ch ắc m ối
liên hệ giữa các đại lượng vận tốc, quãng đường và thời gian theo công
thức S=v.t (trong đó: v là vận tốc, S là quãng đường đi được và t là th ời gian
đi).
- Trong bài toán chuyển động có thể chia thành nhiều dạng nh ỏ:
+ Nếu 2 chuyển động ngược chiều thì sau một th ời gian 2 chuy ển đ ộng
gặp nhau ta có s1 + s2 = khoảng cách ban đầu.
+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một th ời gian 2 chuy ển
động gặp nhau ta có: s1 – s2 = khoảng cách ban đầu (s1 >s2)
+ Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì v ận tốc và th ời gian là hai
đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau.
+ Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B r ồi từ B v ề A.
Biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì:
Tổng thời gian =Thời gian đi + Thời gian về


+ Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng n ước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước
Vận tốc xuôi dòng - Vận tốc ngược dòng = 2 l ần vận t ốc dòng n ước.

Bài toán 1:
Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8h sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’. Nh ưng
mỗi giờ ô tô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11h20’ xe
mới đến Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.
* Phân tích tìm lời giải:
Đây là loại toán chuyển động gồm 1 đối tượng chuy ển đ ộng mà quãng
đường đi không đổi còn vận tốc được chia làm hai khả năng:
Ô tô đi với vận tốc dự định (10h30’- 8h = 2h30’)

Ô tô đi với vận tốc thực tế (11h20’- 8h = 3h20’)
Điều kiện Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Dự định

2,5

X

Thực tế

X

Giải:
Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là x (km), (x>0).
Vận tốc mà xe dự kiến đi là:

Vận tốc thực tế là:

=

=

( km/h).

(km/h).

Vì vận tốc thực tế kém vận tốc dự định là 10km/h nên ta có PT:


ó 4x - 3x = 100 ó x = 100 ( T/m đk).
Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Hải phòng là 100(km).
Bài toán 2:
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một th ời gian nh ất
định nào đó. Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên xe ph ải d ừng l ại đ ể
sửa chữa mất 10 phút. Vì vậy để đến B kịp thời gian dự đ ịnh xe ph ải tăng
vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô.
* Phân tích tìm lời giải:
- Thời gian ô tô đi được chia làm 3 giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định.
+ Giai đoạn 2: Ô tô dừng lại để sửa chữa.
+ Giai đoạn 3: Ô tô đi với vận tốc mới.
- Thời gian dự định bằng thời gian thực tế.
Điều kiện

Vận tốc

Dự định

x
x

Thực tế

Thời gian

Quãng đường
120

1

X

x+6

120-x

* Lời giải suy luận chưa đúng dẫn đến lập PT sai:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), (x>0).
Thời gian ô tô đi theo dự định là:

(h).

Sau 1h ô tô đi được 1.x = x (km).
Quãng đường còn lại là: 120 - x (km).
Vận tốc mới của ô tô là x + 6 (km/h).
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là:

(h).


Theo đầu bài ta có PT:

=1+

…

* Lời giải đúng:
Giải:
Đổi 10 phút = h
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), (x>0).
Thời gian ô tô đi theo dự định là:

(h).

Sau 1h ô tô đi được 1.x=x (km).
Quãng đường còn lại là: 120 - x (km).
Vận tốc mới của ô tô là x + 6 (km/h).
Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là:
Theo đầu bài ta có PT:

=1+

(h).

+

ó x2 + 42x - 4320 = 0
Giải PT ta được x1 = 48, x2 = -90 ( loại).
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48km/h.
Bài toán 3:
Một bè gỗ được thả trôi trên một dòng sông. Sau khi thả bè gỗ trôi được 5
giờ 20 phút một xuồng máy cũng xuất phát từ chỗ bè gỗ bắt đ ầu th ả đu ổi
theo bè gỗ. Sau khi xuồng máy đi được 20km thì g ặp bè g ỗ. Tính v ận t ốc
của bè gỗ biết rằng vận tốc của xuồng máy hơn vận tốc c ủa bè g ỗ là
12km/h.
* Phân tích tìm lời giải:

Hai chuyển động cùng trên một quãng đường và cùng chiều
Vận tốc xuôi dòng của xuồng máy = vận tốc th ực + vận tốc dòng n ước


Vận tốc của bè gỗ chính bằng vận tốc dòng nước.
Giải:
Gọi vận tốc của bè gỗ là x (km/h), ( x>0).
thì vận tốc của xuồng máy là x+ 12 (km/h).
Thời gian bè gỗ trôi cho đến khi gặp xuồng máy là:
Thời gian xuồng máy đi cho đến khi đuổi kịp bè gỗ là:
Theo đầu bài ta có PT:

-

(h).
(h).

=

ó x2 + 12x - 45 = 0
Giải PT ta được

x1 = 3 (T/m)
x2 = - 15 ( loại)

Vậy vận tốc của bè gỗ là 3km/h.
* Sai lầm thường gặp:
Ở dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm là khi ch ọn ẩn không đ ầy
đủ và rõ ràng; Khi đặt điều kiện cho ẩn, trong bài toán chuy ển đ ộng trên
dòng nước thì muốn chuyển động ngược dòng được thì vận t ốc ph ải l ớn

hơn vận tốc dòng nước.
* Nhận xét: Với dạng toán chuyển động thông th ường GV nên h ướng d ẫn
HS đọc hiểu đề bài và tóm tắt bằng sơ đồ để giúp HS có cái nhìn tr ực quan
và dễ dàng hơn trong quá trình phân tích tìm lời giải cho bài toán.
Một số bài tập vận dụng
1) Một người đi xe máy từ A đến B trong một th ời gian d ự đ ịnh. N ếu v ận
tốc tăng 14km/h thì đến B sớm hơn 2h, nếu vận tốc giảm 2km/h thì đến B
muộn 1h. Tính quãng đường AB, vận tốc và thời gian dự định.
2) Một Canô xuôi dòng 42km rồi ngược dòng trở lại 20km m ất t ổng c ộng
5h.Tìm vận tốc của Canô khi nước yên lặng, biết vận tốc c ủa dòng ch ảy là
2k/h.
3) Một Ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đ ầu
Ô tô đi với vận tốc đó, Khi còn 60km n ữa thì đ ược m ột n ửa quãng đ ường


AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đ ường còn l ại, do
đó Ô tô đến B sớm hơn dự định 1h. Tính quãng đường AB.
II.3.3.3. Dạng toán về năng suất lao động.
Phương pháp giải:


Với dạng toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao
động
( tăng dân số….) so với mốc ban đầu từ đó lập được PT hoặc hệ PT.



Trong các bài toán về năng suất thường có 3 đại lượng liên quan là
năng suất (sản phẩm làm được trong 1 đơn vị thời gian), th ời gian làm
và tổng số sản phẩm làm được; Học sinh cần nhớ và n ắm chắc mối

liên hệ giữa chúng theo công thức:Tích của năng suất và th ời gian làm
bằng tổng số sản phẩm làm được.
Bài toán 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi
tiết máy. Sang tháng thứ 2 tổ 1 sản xuất vượt mức 15%, tổ 2 sản xuất
được 120%. Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi ti ết máy.
Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi
tiết máy.
* Phân tích tìm lời giải:
- Đã biết năng suất của hai đội trong tháng đầu là 800 chi tiết máy.
Nên nếu biết 1 trong 2 tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ta sẽ
tính được tổ kia.
- Nếu ta chọn ẩn số là năng suất tháng đầu

tính được tổng chi tiết

máy sản xuất trong tháng sau. Từ đó tính được năng suất c ủa từng t ổ
tháng sau để xây dựng phương trình.
* Lời giải suy luận chưa đúng dẫn đến lập PT sai:
Gọi số chi tiết máy của tổ I sản xuất trong tháng đầu là x (chi ti ết
máy), (0trong tháng đầu là 800 – x (chi tiết máy).
Tháng sau tổ I vượt mức 15% nên sản xuất thêm được:
máy),

(chi tiết


tổ II vượt mức 20% nên sản xuất thêm được:

(chi tiết

máy).
Nên ta có PT: x+

+ (800 - x)+

= 945

…
* Lời giải đúng:
Gọi số chi tiết máy của tổ I sản xuất trong tháng đầu là x (chi ti ết
máy), (0trong tháng đầu là 800 – x (chi tiết máy).
Tháng sau tổ I vượt mức 15% nên sản xuất thêm được: x.

(chi tiết

máy),
tổ II vượt mức 20% nên sản xuất thêm được: (800 - x)

(chi tiết

máy).
Vì số chi tiết mà 2 tổ sản xuất thêm được sau là 945 - 800 = 145
Nên ta có PT: x.

+ (800 - x)

= 145

Giải PT ta được x = 300 (TMĐK)
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 300 chi tiết máy,
tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.
Bài toán 2:
Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày ph ải
khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác đ ược
57 tấn than do đó đội đã hoàn thành kế hoạch trước m ột ngày và còn
vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu
tấn than.
* Phân tích tìm lời giải:
Điều kiện
Số than khai thác trong một ngày


Số ngày làm
Tổng số than phải khai thác
Kế hoạch
50

X
Thực tế
57

x+13

Giải:
Gọi số tấn than mà đội phải khai thác theo kế hoạch là x (tấn), (x>0).
Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là

(ngày).

Thực tế đội khai thác được x + 13 ( tấn).
Số ngày mà đội khai thác theo thực tế là

(ngày).

Theo đầu bài ta có PT:
ó (x+ 13)50 = 57x- 2850 ó 50x + 650 = 57x - 2850
ó 7x

= 3500

ó

x = 500 ( T/m).

Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than.
* Sai lầm thường gặp:
- Đặt điều kiện cho ẩn là số người; số sản phẩm là số dương.
- Sai trong suy luận toán học.


- Không kiểm tra nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra tr ước khi tr ả
lời bài toán.
Một số bài tập vận dụng
II.3.3.4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
Phương pháp giải:


Trong bài toán dạng này thường có 3 đại lượng liên quan là năng

suất (công việc làm được trong 1 đơn vị thời gian), th ời gian làm và
tổng số công việc phải làm.



Nếu công việc làm mất x ngày (giờ) thì trong 1 ngày (gi ờ) làm đ ược
(công việc).
Ta coi toàn bộ công việc là 100% = 1.



Bài toán 1:
Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 gi ờ 20 phút đầy b ể. N ếu
mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút
thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể.

* Phân tích tìm lời giải:
Lượng nước chảy được trong 1ph
Thời gian (phút)
Tổng số công việc
Vòi I

x
1


10

Vòi II

y
1
12

Cả hai vòi

80
1

* Lời giải tìm điều kiện cho ẩn chưa đúng:
Gọi x (phút) là thời gian vòi I chảy 1 mình đầy bể ( x>0).
Gọi y (phút) là thời gian vòi II chảy 1 mình đầy bể ( y>0).
…
* Lời giải đúng:
Đổi 1h20’ = 80’
Gọi x (phút) là thời gian vòi I chảy 1 mình đầy bể ( x>80).
Gọi y (phút) là thời gian vòi II chảy 1 mình đầy bể ( y>80).
Trong 1 phút vòi I chảy được
( bể).

( bể); Trong 1 phút vòi II chảy được


Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được
Ta có PT:

(bể).

(1)

Khi mở vòi I trong 10 phút được
Khi mở vòi II trong 12 phút được

Theo đầu bài ta có

(bể).
(bể).

( 2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT:

Giải hệ PT ta được

x = 120

y = 240 ( TMĐK).
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 120 phút đầy bể.
Vòi thứ hai chảy một mình sau 24 phút đầy bể.
Bài toán 2: Hai đội công nhân cùng làm công việc trong 16 ngày thì
xong, nếu đội thứ nhất làm trong ba ngày và đội th ứ hai làm trong 6
ngày thì được 25 % công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong
bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
* Phân tích tìm lời giải:
Năng suất
Thời gian (ngày)


Tổng số công việc
Người I

x
1
3

Người II

y
1
6

Cả hai người

16
1
Giải:
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày), (x>16);
thời gian đội II làm một mình xong công việc là y (ngày), ( y >16).
Một ngày đội I làm được

(công việc).

Một ngày đội II làm được

(công việc).


Trong một ngày cả hai đội làm được
Ta có

(công việc).

(1)

Đội I làm một mình trong 3 ngày làm được
Đội II làm một mình trong 6 ngày làm được

Theo đầu bài ta có PT:

(công việc).
(công việc).

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT:

Giải hệ PT ta được x = 24; y = 48 ( TMĐK)
Vậy đội I làm một mình trong 24 ngày sẽ hoàn thành công vi ệc,
đội II làm một mình trong 48 ngày sẽ hoàn thành công vi ệc.
Bài toán 3
Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và d ự định làm xong
trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội 1 đ ược đi ều
đi làm việc khác, còn đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng
xuất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong ph ần việc còn l ại trong 3,5
ngày. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm
xong công việc nói trên ( với năng suất bình thường).
* Phân tích tìm lời giải:
Năng suất
Thời gian