CHUYÊN đề BIỂU THỨC đại số

1

CHUYÊN ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A.
1.

LÝ THUYẾT
Khái niệm biểu thức đại số

Trong toán học, vật lí,… ta thường gặp các biểu thức mà trong đó ngoài các số,
các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại
diện cho các số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.
a+b
2
Ví dụ: Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng của hai số a và b là:

Biểu thức đại số biểu thị lập phương của tổng hai số a và b là:
2.

( a + b)

3

Gía trị của một biểu thức đại số

Tính giá trị của biểu thức đại số:
- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong
dấu ngoặc).
- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực
hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân, chia sau đó là phép cộng trừ).
1

y=
2 3
x y + xy
2
x =1
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức
tại
và
Giải

Thay

x =1

y=
và
3

1
2

vào biểu thức

1 5
1
1 . ÷ + 1. =
2 8
2
2

3.

Đơn thức

x 2 y3 + xy

, ta có:


2

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa
các số và các biến.
3
− x 2 y ( −7x )
4
Ví dụ: 1;
; 2xy;…
4.

Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến
đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần còn
lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.
Bậc của đơn thức:
• Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có
trong đơn thức đó.
• Số thực khác 0 là đơn thức bậc không
• Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.

Nhân hai đơn thức: Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân
các phần biến với nhau.
1
5
1
 1 5
− x 3 y2 xy3 =  − . ÷( x 3 x ) ( y 2 y3 ) = − x 4 y5
5
4
4
 5 4
Ví dụ: Thu gọn đơn thức

−
-

Hệ số:

1
4
x 4 y5

5.

Phần biến:
Bậc của đơn thức: 9
Đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng.

5 2
1
x y; − x 2 y; 2
x y; 5x 2 y
3
2
Ví dụ: Các đơn thức
là các đơn thức đồng dạng.
6.

Cộng, trừ đơn thức đồng dạng


3

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau
và giữ nguyên phần biến.
25xy 2 + 55xy 2 + 75xy 2 − 35xy 2
Ví dụ: Tính
Giải
25xy 2 + 55xy 2 + 75xy 2 − 35xy 2
= ( 25 + 55 + 75 − 35 ) xy 2
= 120xy 2
7.

Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một
hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là đa thức.
x 3 − 3; xyz − ax 2 + by a ( 3xy + 7x )

Ví dụ:
;
là các đơn thức.
8.

Thu gọn đa thức

-

Đưa đa thức về dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng).
Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;
Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm

Ví dụ: Thu gọn đa thức

1
1
1
P = x 2 y + xy 2 − xy + xy 2 − 5xy − x 2 y
3
2
3
Giải

1
1
1
P = x 2 y + xy 2 − xy + xy 2 − 5xy − x 2 y
3
2

3
1
1
1
 

=  x 2 y − x 2 y ÷+  xy 2 + xy 2 ÷+ ( − xy − 5xy )
3
2
3
 

3
= xy 2 − 6xy
2


4

9.

Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa
thức đó.
Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.
Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.
x 6 − 2y5 + x 4 y5 + 1
Ví dụ: Đa thức
có bậc là 9.

Đa thức

3 2
xy − 6xy
2

có bậc là 3.

10.

Cộng, trừ đa thức

-

Để cộng (hay trừ) hai đơn thức, ta làm như sau:
Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;
Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc);
Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Ví dụ: Tính

( 2,4x

2

+ 1,7y 2 + 2xy ) − ( 0,4x 2 − 1,3y 2 + xy )
Giải

( 2, 4x

2

+ 1,7y 2 + 2xy ) − ( 0,4x 2 − 1,3y 2 + xy )

= 2,4x 2 + 1,7y 2 + 2xy − 0,4x 2 + 1,3y 2 − xy

= ( 2,4x 2 − 0,4x 2 ) + ( 1,7y 2 + 1,3y 2 ) + ( 2xy − xy )
= 2x 2 + 3y 2 + xy
11.

Đa thức một biến
Đa thức một biến:
• Là tổng của những đơn thức của cùng một biến
• Mỗi số được coi là một đa thức một biến


5

Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn
nhất của biến trong đa thức đó.
3x 5 + x 3 − 3x 2 + 1
Ví dụ: Đa thức
là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là: 5
•

12.

Sắp xếp đa thức:

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp
xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.
• Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó.
• Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

Ví dụ: Cho đa thức

P(x) = 2 + 5x 2 − 3x 3 + 4x 2 − 2x − x 3 + 6x 5

. Thu gon và sắp xếp đa thức

P(x)
Giải:
P(x) = 2 + 5x 2 − 3x 3 + 4x 2 − 2x − x 3 + 6x 5

= 6x 5 + ( −3x 2 − x 3 ) + ( 5x 2 + 4x 2 ) − 2x + 2
= 6x 5 − 4x 3 + 9x 2 − 2x + 2
13.

Hệ số

Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất của
biến gọi là hệ số cao nhất.
6x 5 − x 3 + 6x 2 − 2x + 2
Ví dụ: Các hệ số của đa thức
là: 6; - 1; 6; - 2; 2
Hệ số tự do là: 2
Hệ số cao nhất là: 6
14.

Cộng, trừ đa thức một biến


6

Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”
Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng)
của biến. rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt
các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).
P(x) = x 5 − 2x 4 + x 2 − x + 1
Ví dụ: Cho hai đa thức
-

Q(x) = 6 − 2x + 3x 3 + x 4 − 3x 5
Tính P(x) – Q(x)?
Giải
P(x) − Q(x) = ( x 5 − 2x 4 + x 2 − x + 1) − ( 6 − 2x + 3x 3 + x 4 − 3x 5 )
= x 5 − 2x 4 + x 2 − x + 1 − 6 + 2x − 3x 3 − x 4 + 3x 5
= 4x 5 − 3x 4 − 3x 3 + x 2 + x − 5.
15.

Nghiệm của đa thức một biến

x = a,
Nếu tại
đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một
nghiệm của đa thức đó.
P(y) = 2y + 6
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức

Giải

Từ

6
2y + 6 = 0 ⇒ 2y = −6 ⇒ y = − = −3
2

Vậy nghiệm của đa thức

P(y)

là – 3.


7

B.

BÀI TẬP

Bài toán 1: Viết các biểu thức đại số biểu thị
9. Lũy thừa bậc n của tổng hai số a và b
10. Khối lượng M của một vật có thể tích V
2. Tổng các lập phương của hai số a và b
và khối lượng riêng D.
11. Diện tích S của tam giác có cạnh a và
3. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp
đường cao h tương ứng.
12. Thể tích V của một hình lập phương có

4. Tổng của hai số nguyên liên tiếp
cạnh a.
5. Tổng các bình phương của hai số
13. Thương của hai số nguyên trong đó một
nguyên lẻ liên tiếp
số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2
6. Tổng của hai số hữu tỉ nghịch đảo của
14. Hiệu của a và lập phương của b
nhau
7. Tích của ba số nguyên liên tiếp
15.Hiệu các lập phương của a và b
8. Tổng các bình phương của hai số lẻ
16.Lập phương của hiệu a và b.
bất kì
Bài toán 2: Nam mua 10 quyển vở mỗi quyển giá x đồng và hai bút bi, mỗi chiếc giá y đồng.
1.

Nửa hiệu của hai số a và b

Hỏi Nam phải trả tất cả bao nhiêu tiền?
Bài toán 3: Tính giá trị của biểu thức

1.

2.

3.
4.

x 3 + 2x 2 − 3

4x 2 y − 5

2 ( y 2 − 1)

tại

tại

x = 2; x = −1

x ( x 2 − y ) ( x 3 − 2y 2 ) ( x 4 − 3y3 ) ( x 5 − 4y 4 )

6.
x = 2; y = −2

x = −3; y = 2

tại

3x + x ( x − 3)

7.

y=2
8.
tại

x = −1

3x y + 6x y + 3xy

3

2

3x 2 + 2x − 1

2

tại
3x − 3xy + 2y 2

2

tại
1
x =
3

2

9.

tại

1
x = ; y = −3
2

x = 1; y = 3

tại


8

2 ( y 2 − 4x )

x = −1; y = 2

2x − 3x + 5
tại
10.
tại
Bài toán 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
5.

1.
2.
3.
4.

( x − 3,5 )

2

( 2x − 3)

4

(x

2

2

2

( x − 3)

x − 100 + ( x − y ) + 100
2

+1
6.

x + 20 + ( x + y ) − 3
4

−2
7.

− 9) + y − 3 − 1
2

1
x = ; y =1
2

8.

+ ( y − 1) + 5
2

9.

x − 3 + x 2 + y2 + 1
5.

10.

( x − y)

6

+ 47 − x + 33

( x − 6)

2

+ 2018

( x + 5)

2

+ ( y − 9 ) + 2017
2

Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

1.

2−x

2

2.

10 − ( y 2 − 25 )

4

(

− x− 3

3.

)

2

+1

− x+ 5 +2
4.

Bài toán 6: Thu gọn các đơn thức sau

1.
2.

3.

4.

5.

4
2ab. a 2 b 4 .7abc
3

a 3b3.a 2 b 2c
2 3  1  2
a b. − ab ÷.a b
3
 2 
1
1
−2 a 3c 2 ac 2 6abc
3
7

( −1,5ab2 ) 14 bca 2b

6.

 1


3abxy. − ax 2 yz ÷.( −3abx 3 yz 3 )
 5


p 2qq 3p 4
7.
8.

2
1
2
2
pq
4p
q
(
)
(
)
22

3ak 2 ( −2kx 3 ) k 3
2y3y 2dy3d 2 y 2

9.

( 2x ) ( −3y ) ( −5xz )
2 2

10.

3

3


9

Bài toán 7: Cho các đơn thức sau, với a, b là hằng số, x, y, z là biến số

13x ( −2xy
a)
b)
c)

2

)(

1 2 2 1
3 2
ax
y
−
abx
y ÷

xy z ; 2
 3


3 3

)

Thu gọn các đơn thức trên
Xác định hệ số của mỗi đơn thức
Xác định bậc của đơn thức.

Bài toán 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:
1.

2
3 1
− x 3 y; − xy 2 ;5x 2 y; −1;6xy 2 ;2x 3 y; ; x 2 y
3
4 2

2xy;9y 2 ;2y;5xy;4xyp
2.

3.

1
1
9a; −9;9a 2 b; − ab; a
9a;9;92a;
2
2

4.

5.

7
5x 2 ;3ax; −2x 2 ;0,5x; − x 3
2

3
3x 2 yz 2 ; −2x 2 y 2 x;6x 2 yz 2 ;17 x 2 yz 2 ;1,3x 2 yz 2
4
6.

7yz; −5yz;6abcz;0,5yz; 2y; 3yz

Bài toán 9: Thu gọn các đơn thức đồng dạng

1.

2.
3.

−3x 2 − 0,5x 2 + 2,5x 2
3
 1
  5

− x 3 y +  − x 3 y ÷−  − x 3 y ÷
4
 2
  8


1
1
1
4ab. ac − 2aca − 9a 2 . b + 10a 2 . c + a 2 b − a 2 bc
3
2
5
4.

5.

15x 4 + 7x 4 + ( −20x 2 ) x 2
1
2ab − 2bc.c + ab + c 2 b − 4cb 2 + 2cb.b
2

(a là hằng số)


10

6.

23x 3 y3 + 17x 3 y3 + ( −50x 3 ) y3
2

7.

2 3 1 4

2
2  2 2
 ac ÷ .c − a ( c.c ) + ac c − ac
5
3
4
3 

Bài toán 10: Viết đơn thức

bằng

2 n 2
x y
5

3x n +3 y m−2

dưới dạng tích của hai đơn thức trong đó một đơn thức

.

Bài toán 11: Chứng minh các đẳng thức sau:
2

1.
2.

5

 − a 5 . ( − a ) 5  +  − a 2 . ( −a ) 2  = 0

 


( −1)

n

.a n + k = ( −a ) .a k
n

Bài toán 12: Tính

( −3x y − 2xy
2

1.

6x + 9xy − y − ( 5x + 2xy )
2

2.
3.

( 2,4x

4.

2

2

7.

x 2 − 7xy + 8y 2 + ( 3xy − 4y 2 )

( 25x y − 13xy

2

6.

2

+ 1,7y2 + 2xy ) − ( 0,4x 2 − 1,3y2 + xy )

2

5.

+ 6 ) + ( − x 2 y + 5xy 2 − 1)

2

+ y ) − ( 11x y − 2y
3

2

3

)

8.
9.

( 3x

2

− 2xy + y 2 ) + ( x 2 − xy + 2y 2 ) − ( 4x 2 − y 2 )

(x

2

+ y 2 − 2xy ) − ( x 2 + y 2 + 2xy ) + ( 4xy − 1)

(x

2

+ y 2 − 2xy 2 ) − ( 6x 2 − 3xy 2 )

5xy + x 2 − 7y 2 + ( 2xy − 4y 2 )

10.

−2x 3 + xy 2 + 3x − ( 3x 3 − xy 2 + 4x )

11

Bài toán 13: Tìm đa thức M sao cho tổng của M và đa thức

x 2 + 3x 2 y − 5xy 2 − 7xy − 2

là một

đa thức bậc 0.

Bài toán 14: Nếu
A.

9

2x + y + 1 = 6

thì

B. 10

Bài toán 15: Cho hai đa thức

4x + 2y − 1

bằng:

C. 11

P = 5x 2 + 6xy − y 2

D. 12

và

Q = 2y 2 − 2x 2 − 6xy

E. 13

. Chứng minh rằng

không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức P và Q cùng có giá trị âm.
Bài toán 16: Sắp xếp các hạng tử của các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến và tìm bậc
của đa thức:

1.
2.
3.
4.
5.

1 − 6x 7 + 5x 4 − 2 + 13x 5 − 8x 7
4x 5 + 3x − 2x 2 − x 5 + 4x 2 − 8
2 − 9x 2 + 4x 5 − 3x 3 + x − 4x 5
3x 2 − 2x + 7 + 2x − 3x 2 − 6
−3x 2 + 5x 6

Bài toán 17: Tính hiệu

1.
2.
3.

f ( x) − g( x)

rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

f ( x ) = x 5 − 3x 4 + x 2 − 5; g ( x ) = 2x 4 + 7x 3 − x 2 + 6
f ( x ) = 5x 4 + 4x 3 − 3x 2 + 2x − 1; g ( x ) = − x 4 + 2x 3 − 3x 2 + 4x + 5
f ( x ) = 3x 6 − 5x 4 + 2x 2 − 7; g ( x ) = 8x 6 + 7x 4 − x 2 + 11


12

4.
5.

f ( x ) = x 2 + x + 1; g ( x ) = 4 − 2x 3 + x 4 + 7x 5
f ( x ) = x 4 − 4x 2 + 6x 3 + 2x − 1; g ( x ) = 3 + x

Bài toán 18: Cho hai đa thức

f ( x ) = 8 − x 5 + 4x − 2x 3 + x 2 − 7x 4
g ( x ) = x 5 − 8 + 3x 2 + 7x 4 + 2x 3 − 3x

a)
b)
c)

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến;
h( x) = f ( x) + g( x)
p( x) = f ( x) − g ( x)
Tính tổng
và hiệu
;
Tìm nghiệm của đa thức h(x).

Bài toán 19: Cho hai đa thức

P(x) = 2x 3 − 3x + x 5 − 4x 3 + 4x − x 5 + x 2 − 2

Q(x) = x 3 − 2x 2 + 3x + 1 + 2x 2

a.
b.
c.

Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến;
P( x ) + Q( x ) ; P( x) − Q( x)
Tính
;
M(x) = P ( x ) + Q ( x ) .
Gọi
Tìm bậc của M(x).

Bài toán 20: Cho hai đa thức

P ( x ) = −6x 5 − 4x 4 + 3x 2 − 2x

Q(x) = 2x 5 − 4x 4 − 2x 3 + 2x 2 − x − 3


13

P( x ) + Q( x ) ;

a)

Tính

b)

Tính
;
M(x ) =  P ( x ) − Q ( x ) .
M(−1)
Gọi
Tính
.

c)

P( x) − Q( x)

P(x) = 2 ( x − 3) + 5
2

Bài toán 21: Cho đa thức

. Chứng minh rằng đa thức P(x) không có

nghiệm.
Bài toán 22:

a)
b)
c)

Chứng tỏ

x = −5

là nghiệm của đa thức
g ( x ) = x 2 − 4x + 3
x =3
Chứng tỏ
là nghiệm của đa thức
M ( x ) = ( x − 1) ( x + 3)
Tìm nghiệm của đa thức

Bài toán 23: Tìm một nghiêm của đa thức:

1.

2.
3.

f ( x ) = x 2 + 6x + 5

P(x) = 2x 3 + 4x 2 − 5x − 1
2
3
4
13
Q(x) = x 3 + x 2 + x − 2
3
4
5
60

R(x) = 4x 3 + 6x 2 + 9x + 7


14