Bài giảng Lí thuyết Ngôn ngữ hình thức và ôtômat: Chương 3- Nguyễn Thị Minh Huyền

Lí thuyết Ngôn ngữ hình thức và
Ôtômat

Giảng viên: Nguyễn Thị Minh Huyền
Khoa Toán – Cơ – Tin học
Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội


Chương 3

Ngôn ngữ phi ngữ cảnh
Ngôn ngữ phi ngữ cảnh:
Ngôn ngữ ε - tự do
Văn phạm dạng chuẩn Chomsky
Cây dẫn xuất
Điều kiện cần của ngôn ngữ phi ngữ cảnh
Tính đóng của ngôn ngữ phi ngữ cảnh
Ôtômat đẩy xuống

2


Văn phạm/ngôn ngữ ε - tự do
 Định nghĩa:
 ε – quy tắc, quy tắc rỗng: quy tắc có vế phải là từ rỗng
 Văn phạm ε – tự do: Văn phạm phi ngữ cảnh không chứa quy tắc rỗng
 Ngôn ngữ ε – tự do L: tồn tại văn phạm ε – tự do sinh ra L

 Tính chất:
 Mọi văn phạm phi ngữ cảnh G = (, V, , P) đều đưa được về văn
phạm phi ngữ cảnh G’ = (, V’, ’, P’) tương đương với nó sao cho nếu

G’ chứa quy tắc rỗng thì vế trái của nó phải là tiên đề (’  ε).
 Với mọi ngôn ngữ phi ngữ cảnh L, ngôn ngữ L \ {ε} luôn là ngôn ngữ ε
– tự do.
 VD:
S SB | c
A aA | B
B b | 
3


Văn phạm dạng chuẩn Chomsky
 Định nghĩa:

 Văn phạm G = (, V, , P) được gọi là thuộc dạng chuẩn Chomsky nếu
mỗi quy tắc của nó có 1 trong 2 dạng sau:
 A  BC
Aa
với A, B, C  V, a  

 Mọi văn phạm phi ngữ cảnh ε – tự do đều đưa được về dạng
chuẩn Chomsky tương đương với nó
 Thuật toán:

 Loại bỏ quy tắc dạng A  B
 Thay thế tất cả các kí hiệu cơ bản xuất hiện ở vế phải với độ dài >1 bằng
một kí hiệu phụ mới
 Rút ngắn độ dài vế phải xuống không vượt quá 2

 Ví dụ
S bA | aB; A a | aS | bAA | B ; B b | bS | aBB

4


Cây dẫn xuất (1)
 Khái niệm:

 Với mỗi văn phạm phi ngữ cảnh G = (, V, , P), mỗi quy
tắc đều có vế trái là một kí hiệu phụ
 Mỗi dẫn xuất w = [w0, w1, …, wn] với w0 = A  V có thể
biểu diễn dưới dạng cây, gọi là cây dẫn xuất
 Chiều cao của cây T: Số cung trên đường đi dài nhất xuất
phát từ đỉnh gốc đến đỉnh ra (lá), kí hiệu h(T)
 Cây dẫn xuất kết: Cây tương ứng với dẫn xuất [w0, w1, …,
wn] trong đó wn chỉ chứa các kí hiệu cơ bản
 Cây dẫn xuất đầy đủ: Cây dẫn xuất kết [w0, w1, …, wn] với
w0 = 

5


Cây dẫn xuất (2)
 Tính chất:
 Trong cây dẫn xuất kết trong văn phạm dạng chuẩn
Chomsky, các đỉnh không kề với đỉnh ra bao giờ cũng có 2
cung đi ra, các đỉnh kề với đỉnh ra bao giờ cũng có đúng 1
cung đi ra
 Nếu T là cây dẫn xuất trong văn phạm G mà vế phải các
quy tắc đều có độ dài  m thì T có số đỉnh ra  mh(T). G là
dạng chuẩn Chomsky thì mỗi cây dẫn xuất kết có số đỉnh

ra  2h(T)-1
 Nếu văn phạm G có cây dẫn xuất T với h(T) > |V| thì G
cũng có cây dẫn xuất T’ với h(T’)  |V|.

6


Điều kiện cần của ngôn ngữ phi
ngữ cảnh
 Nếu L là ngôn ngữ phi ngữ cảnh thì luôn tồn tại 2 số
nguyên dương l1, l2 sao cho z có |z|  l1 thì z phân
tích được thành 5 từ u, x, w, y, v (z = uvwxy) và:
 |vwx|  l2
 |vx| > 0
  i=0, 1, 2, … zi = uviwxiy  L

 Chứng minh:
Ý tưởng:
 Chọn l1 = 2|V|  h(T) ≥|V| + 1
 l2 = 2|V|

7




y


Điều kiện cần …



Ứng dụng: Khẳng định một số ngôn ngữ không
phải là ngôn ngữ phi ngữ cảnh



{ap | p là số nguyên tố}
{an bn cn |n > 0}


Tính đóng của ngôn ngữ phi ngữ
cảnh
 Lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh đóng với các phép toán hợp, tích
ghép, soi gương, lặp, và lặp cắt
 Chứng minh: Xây dựng các văn phạm phi ngữ cảnh sinh ngôn ngữ hợp,
tích ghép, soi gương, lặp, lặp cắt của các ngôn ngữ phi ngữ cảnh

 Lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh không đóng đối với các phép toán
giao và lấy phần bù
 Chứng minh:
 Phép giao: Giao của {at bt cs} và {ap bq cq} không phải là ngôn ngữ phi ngữ
cảnh
 Phép lấy phần bù: Nếu lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh đóng với phép lấy phần
bù thì cũng đóng với phép giao vì L1  L2 = C(C L1  C L2), mâu thuẫn
với kết luận ở trên.

12

Ôtômat đẩy xuống (1)
 Công cụ nhận biết ngôn ngữ phi ngữ cảnh
 Khái niệm: Ôtômat hữu hạn + bộ nhớ “đẩy xuống” (pushdown
automata - PDA)
Băng vào
(vô hạn)

a

b

b

c

…
B

Bộ ĐK

Bộ nhớ
xếp chồng

A
B

A
13

Ôtômat đẩy xuống (2)
Băng vào
aaabbb

Trạng thái
s0

Bộ nhớ xếp chồng
$

aabbb

s0

Z$

abbb

s0

ZZ$

bbb

s0

ZZZ$

bb

s1

ZZ$

b

s1

Z$

s1

$

s2


Ôtômat đẩy xuống (3)
 Định nghĩa: Ôtômat đẩy xuống không đơn định là bộ
bảy
 M = (S, , V, s0, $, , F)

 S – tập trạng thái, trong đó s0 – trạng thái khởi đầu, F – tập trạng
thái kết của ôtômat
  - bảng chữ cái vào (hữu hạn)
 V – bảng chữ cái ngăn xếp (hữu hạn), trong đó chứa $ – kí hiệu
khởi đầu của ngăn xếp
 Hàm chuyển trạng thái
  : S x V x (  {ε})  2SxV*
 (s’, )  (s, A, a): máy đang ở trạng thái s, ngăn xếp chứa kí hiệu A ở

trên cùng, đọc được kí hiệu a ở băng vào thì chuyển sang trạng thái s’,
xoá kí hiệu A khỏi ngăn xếp, thay vào đó xâu 

15


Ôtômat đẩy xuống (4)
 Hình trạng

 C = (s, )  S x V*

 Hàm chuyển hình trạng

 tM : (S x V*) x (  {ε})  2SxV*
 Cho C = (s, A), a {  ε}

 (s’, )  (s, A, a)  (s’, )  tM(C, a)

 Hàm chuyển mở rộng TM : (S x V*) x *  2SxV*
 (s’, ’)  TM((s, ), a1 a2… an) nếu


s1=s, s2, …, sn  S, 1=, 2, …, n  V* :
(si+1, i+1)  tM((si, i), ai) (1 i n-1), (s’, ’)  tM((sn, n), an)

16


Ôtômat đẩy xuống (5)
 Ngôn ngữ sinh/đoán nhận bởi ôtômat đẩy xuống

 2 cách định nghĩa:
 M chấp nhận từ x khi chuyển đến trạng thái kết
L(M) = {x  * | TM((s0, $), x)  F x V*}
 M chấp nhận từ x khi ngăn xếp rỗng
L(M) = {x  * | TM((s0, $), x)  S x {ε}}

 Khẳng định:
 Nếu M là ôtômat đẩy xuống chấp nhận bằng trạng thái kết
thì từ M có thể xây dựng một ôtômát đẩy xuống M’ chấp
nhận bằng ngăn xếp rỗng sao cho L(M) = L(M’) và ngược
lại
17


Ôtômat đẩy xuống (6)
 Cách xây dựng ():
 Cho M là ôtômát đẩy xuống chấp nhận bằng trạng thái kết.
Xây dựng ôtômát đẩy xuống chấp nhận bằng ngăn xếp
rỗng M’ tương đương với M (L(M) = L(M’))
 M’ = (S’, , V’, s0’, , ’, F’)
 S’ = S  {s0’, s1’}, V’ = V  {}, F’ = {s1’} (F’ thực ra không cần)
 ’ xây dựng dựa trên , bổ sung các quan hệ chuyển sau:
 ’(s0’, , ε) = {(s0, $)}
 ’(s, A, ε) = {(s1’, ε)} với mọi A  V’, s  F
 ’(s1’, A, ε) = {(s1’, ε)} với mọi A  V’

18


Ôtômat đẩy xuống (7)

 Cách xây dựng ():
 Cho M là ôtômát đẩy xuống chấp nhận bằng ngăn xếp
rỗng. Xây dựng ôtômát đẩy xuống chấp nhận bằng trạng
thái kết M’ tương đương với M (L(M) = L(M’))
 M’ = (S’, , V’, s0’, , ’, {sf})
 S’ = S  {s0’sf}, V’ = V  {}
 ’ xây dựng dựa trên , bổ sung các quan hệ chuyển sau:
 ’(s0’, , ε) = {(s0, $)}
 ’(s, , ε) = {(sf , ε)} với mỗi s  S

19


Ôtômat đẩy xuống (8)
 Lớp ngôn ngữ sinh bởi văn phạm phi ngữ cảnh tương
đương với lớp ngôn ngữ sinh bởi ôtômat đẩy xuống
 () Cho văn phạm, xây dựng ôtômat đẩy xuống
tương đương:
 G = (, V, , P)
 M = ({s0, s1, s2}, ,   V  $, s0, $, , {s2})
 (s0, $, ε) = {(s1, $)}
 (s1, A, ε) = {(s1, ) | A    P} với mọi A  V
 (s1, a, a) = {(s1, ε) } với mọi a  
 (s1, $, ε) = {(s2, ε)}

20


Ôtômat đẩy xuống (8)
 () Cho ôtômat đẩy xuống M chấp nhận bằng ngăn

xếp rỗng, XD văn phạm phi ngữ cảnh tương đương
 M = (S, , V, s0, , , F) (có thể bỏ F)
 Xây dựng văn phạm phi ngữ cảnh G = (, VG, , P) trong đó
 Bảng chữ cái phụ VG chứa kí hiệu phụ đặc biệt  là tiên đề và tập các
kí hiệu phụ t.ứ. với các bộ [pAq] trong đó p, q  S, A  V
 Tập quy tắc P gồm các quy tắc sau:
   [s0 p]  p  S
 Giả sử (r0, B1…Bk)  (q, A, a) với a   {ε}, k ≥ 0, khi đó  dãy
trạng thái r1 , …, rk thêm quy tắc [qArk]  a [r0B1r1]… [rk-1Bkrk]

21


Tổng kết
 Giới thiệu các khái niệm cơ bản về ngôn ngữ
hình thức và văn phạm hình thức
 Lớp ngôn ngữ chính quy (ôtômát, biểu thức
chính quy, tính chất đóng, điều kiện cần,
điều kiện cần và đủ)
 Lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh (ôtômát đẩy
xuống, tính chất đóng, điều kiện cần)