Chuyên đề 17 công thức, biến đổi logarit đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT

Chuyên đề 17

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng. Một số bài toán KHÓ

Công thức logarit:
Cho các số a, b  0, a  1 và m, n   . Ta có:
 log a b    a  b

 lg b  log b  log10 b

 ln b  loge b

 loga 1  0

 loga a  1

 log a a n  n

 log a b n  n log a b

 log am bn 

b
 log a    log a b  log a c
c

 a loga b  b
  log c
log a
 a b  c b

 log am b 

1
loga b
m

 loga (bc)  loga b  loga c
 loga b.logb c  loga c ,

 b  1
Câu 1.



log a c
 logb c ,  b  1
log a b

 log a b 

n
log a b
m

1

,  b  1
logb a

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho các số thực a , b thỏa mãn
1
1
1
1

 2020 . Giá trị của biểu thức P 

bằng
logb a log a b
log ab b log ab a
2014 .

A.

2016 .

B.

C. 2018 .
Lời giải

D.

a  b 1

và

2020 .

Chọn B
Do a  b  1 nên log a b  0 , log b a  0 và log b a  log a b .
1
1

 2020
Ta có:
logb a log a b

 logb a  log a b  2020
 log b2 a  log a2 b  2  2020
 logb2 a  log a2 b  2018 (*)
Khi đó, P  log b ab  log a ab  log b a  log b b  log a a  log a b  log b a  log a b
2

Suy ra: P 2   log b a  log a b   log b2 a  log a2 b  2  2018  2  2016  P  2016
Câu 2.

(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ 2019) Tìm số nguyên dương n sao cho
log 2018 2019  2 2 log 2018 2019  32 log 3 2018 2019  ...  n 2 log n 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019
A. n  2021 .

B. n  2019 .

C. n  2020 .
D. n  2018. .
Lời giải

2
2
log 2018 2019  2 log 2018 2019  3 log 3 2018 2019  ...  n 2 log n 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019

 log 2018 2019  23 log 2018 2019  33 log 2018 2019  ...  n3 log 2018 2019  10102.20212 log2018 2019





 1  23  33  ...  n3 log 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019

 1  23  33  ...  n3  10102.20212
Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
2

 1  2  ...  n   10102.20212
2

 n  n  1 
2
2

  1010 .2021
2



n  n  1

 1010.2021
2

 n2  n  2020.2021  0
 n  2020

 n  2021   

Câu 3.


 1 
1
17 
Cho hàm số f ( x)  log 2  x   x 2  x   . Tính T  f 

 2019 


2
4

A. T 

2019
.
2

B. T  2019 .

C. T  2018 .

 2 
f 
 ... 
 2019 

 2018 
f 
 2019 

D. T  1009 .

Lời giải


1
17 
17 
1 
2
Ta có: f (1 x)  log 2 1 x   1 x  1 x    log 2  x 2  x    x  
2
4 
4 
2 





1
17 
17 
1 
f  x   f 1 x   log 2  x   x 2  x    log 2  x 2  x    x  

2
4 
4 
2 



1
17 
17 
1 
 log 2  x   x 2  x   x 2  x    x    log 2 4  2

2
4 
4 
2 

 1 
 2 
 2018 
 T  f 

 f 
 ...  f 
 2019 
 2019 
 2019 
 1 
 f 

 2019 

 2018 
f 

 2019 

 2 
f 

 2019 

 2017 
f 
 ... 
 2019 

 1009 
f 

 2019 

 1010 
f 
 2019 

 1009.2  2018
Câu 4.

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f  n  

log 3 2.log 3 3.log 3 4...log 3 n
9n

với n   và n  2 . Hỏi có bao nhiêu giá trị của n để f  n   a .
A. 2

B. 4

C. 1
Lời giải

D. vô số

Chọn A
f n 

log 3 2.log 3 3.log 3 4...log 3 n 1
 log 39 2.log 39 3.log 39 4...log 39 n
9n
9

Ta có:
1
- Nếu 2  n  38  0  log 39 k  1  f  n   log 39 2.log 39 3.log 39 4...log 39 n  f  38 
9

- Nếu n  39  f  39   f  38  .log 39 39  f  38 
- Nếu n  39  log 39 n  1  f  n   f  39  .log 39  39  1 ...log 39 n  f  39 
Từ đó suy ra Min f  n   f  39   f  38  .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 5.

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho x , y và z là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là
số thực dương sao cho log x w  24 , log y w  40 và log xyz w  12 . Tính log z w .
A. 52 .

B. 60 .

C. 60 .
Lời giải

D. 52 .

Chọn C
1
24
1

.
log y w  40  log w y 
40
Lại do
1
1
1
 12 
 12 
 12
log xyz w  12 
log w  xyz 
log w x  log w y  log w z
log w x  log w y  log w z

log x w  24  log w x 



Câu 6.

1
1
 log z w  60 .
 12  log w z 
1
1
60

 log w z

24 40

Cho f 1  1 , f m  n  f m  f n  mn với mọi m, n  * . Tính giá trị của biểu thức

 f 96  f 69  241
.
T  log 


2


A. T  9 .
B. T  3 .

C. T  10 .
Lời giải

D. T  4 .

Chọn B
Có f 1  1 , f m  n  f m  f n  mn

f 96  f 95 1  f 95  f 1  95  f 95  96  f 94  95  96  ...  f 1  2  ...  95  96
96.97
 4656 .
2
69.70
Tương tự f 69  1  2  ...  68  69 
 2415 .

2
 f 96  f 69 241


  log  4656  2415  241  log1000  3 .
Vậy T  log 





2
2



 f 96  1  2  ...  95  96 

Câu 7.

(Chuyên Lê Quý Dôn Quảng Trị 2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn đồng thời

1
1
1
1



và log 2 ( xyz )  2020 . Tính log 2  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1

log 2 x log 2 y log 2 z 2020
A. 4040 .

B. 1010 .

C. 2020.
Lời giải

D. 2020 2 .

Chọn A
Đặt a  log 2 x; b  log 2 y; c  log 2 z .
1 1 1
1
và a  b  c  2020
  
a b c 2020
 1 1 1
     a  b  c   1   a  b  c  ab  ac  bc   abc
a b c

Ta có

 a 2b  ab2  abc  abc  b 2c  bc 2  a 2 c  ac 2  0
  a  b  b  c  c  a   0
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vì vai trò a , b, c như nhau nên giả sử a  b  0  c  2020  z  2 2020 và xy  1 .

log 2  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1  log 2  z ( x  y  z )  1  yz  zx  1
 log 2  z 2   2 log 2 z  4040
Câu 8.

(Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho ba số thực dương x, y , z theo thứ tự lập thành một cấp số
nhân, đồng thời với mỗi số thực dương a ( a  1) thì log a x, log
thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức P 
A. 60 .

B. 2019 .

a

y, log 3 a z theo thứ tự lập

1959 x 2019 y 60 z
.


y
z
x

C. 4038 .

D.

2019

.
2

Lời giải
Chọn C
Ta có: x, y , z là ba số thực dường, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì y 2  x.z (1) .
Với mỗi số thực a ( a  1), log a x, log

2 log

a

a

y, log 3 a z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì

y  log a x  log 3 a z  4log a y  log a x  3log a z (2) .

Thay (1) vào (2) ta được 2 log a x.z  log a x  3log a z  log a x  log a z  x  z .
Từ (1) ta suy ra y  x  z .
Thay vào giả thiết thì P  1959  2019  60  4038 .
Câu 9.

1
 2x 
(THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hàm số f  x   log 2 
 và hai số thực
2
 1 x 
m , n thuộc khoảng  0;1 sao cho m  n  1 . Tính f  m   f  n  .

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn C

1
 2m  1
 2n 
f  m   f  n   log 2 
  log 2 

2
1 m  2
1 n 


1
 2m 
 2n  

log 2 
  log 2 


2
 1 m 
 1  n 

1
 2m 2n 
 log 2 
.

2
1 m 1 n 
1
4mn


 log 2 
 , vì m  n  1
2
 1  m  n  mn 
1
1
 4mn  1
 log 2 
  log 2 4  .2  1 .
2
2

 mn  2
Câu 10.

(Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Gọi n là số nguyên dương sao cho
1
1
1
1
190
đúng với mọi x dương, x  1 . Tìm giá trị của biểu


 ... 

log 3 x log 32 x log 33 x
log 3n x log 3 x
thức P  2n  3 .
A. P  32 .

B. P  23 .

C. P  43 .
Lời giải

D. P  41 .

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn D

1
1
1
1
190


 ... 

log 3 x log32 x log 33 x
log3n x log 3 x
 log x 3  2 log x 3  3log x 3  ...  n log x 3  190 log x 3
 log x 3 1  2  3  ...  n   190 log x 3
 1  2  3  ...  n  190


n  n  1
2

 190

 n2  n  380  0
 n  19

 n  19 (do n nguyên dương)  P  2n  3  41
 n  20
Câu 11. Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; log a x , log
số cộng, với a là số thực dương khác 1. Giá trị của p 

A. 13.

B. 3.

a

y , log 3 a z lập thành cấp

9 x y 3z
là
 
y z x

C. 12.
Lời giải

D. 10.

Chọn A

x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có xz  y 2 (1).
log a x , log

a

y , log 3 a z lập thành cấp số cộng nên:

log a x  log 3 a z  2log

a

y  log a x  3log a z  4 log a y  xz 3  y 4 (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra x  y  z .
Vậy p 
Câu 12.

9 x y 3z
   9  1  3  13 .
y z x

(Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho f (1)  1; f (m  n)  f ( m )  f ( n)  mn với mọi m, n  N * .
Tính giá trị của biểu thức

 f  2019   f  2009   145 
T  log 

2


A. 3 .
B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn B
Ta có f (2019)  f (2009  10)  f (2009)  f (10)  20090

Do đó f (2019)  f (2009)  145  f (10)  20090  145

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

f (10)  f (9)  f (1)  9
f (9)  f (8)  f (1)  8
...................
f (3)  f (2)  f (1)  2
f (2)  f (1)  f (1)  1

Từ đó cộng vế với vế ta được: f (10)  10. f (1)  1  2  ....  8  9  55.
f (2019)  f (2009)  145 
20090  145  55
Vậy log 
 log
 log10000  4.

2
2



Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên dương n để log n 256 là một số nguyên dương?
A. 2.

B. 3.

C. 4 .
Lời giải

D. 1.

Chọn C

log n 256  8.log n 2 

8
là số nguyên dương
log 2 n

 log 2 n  1; 2; 4;8  n  2; 4;16; 256 .
Vậy có 4 số nguyên dương.
Câu 14. Cho tam giác ABC có BC  a , CA  b , AB  c . Nếu a , b , c theo thứ tự lập thành một cấp số
nhân thì
2

A. ln sin A.ln sin C   ln sin B  .

B. ln sin A.ln sin C  2ln sin B .

C. ln sin A  ln sin C  2ln sin B .

D. ln sin A  ln sin C  ln  2 sin B  .
Lời giải

Chọn C

 a  2 R sin A

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có: b  2 R sin B , với R là bán kính đường tròn ngoại
c  2 R sin C

tiếp tam giác ABC .
Vì a , b , c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có:
2

2

a.c  b 2   2 R sin A  .  2 R sin C    2 R sin B   sin A.sin C   sin B  .

Do 0  sin A , sin B , sin C  180 nên sin A , sin B , sin C  0 .
2
Vì thế ta có thể suy ra ln  sin A.sin C   ln  sin B    ln sin A  ln sin C  2ln sin B .



Câu 15.

(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên
1
1
1
1
A

 ... 


.
log 22018 x log 32018 x
log 20172018 x log 20182018 x
A. A 

1
.
2017

B. A  2018 .

C. A 

-

1
.
2018

2018)

Cho

x  2018! .

D. A  2017 .

Lời giải

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

Tính


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A

1
log 22018 x



1
log 32018 x

2018

 ... 

1
log 20172018 x

2018



1
log 20182018 x

2018

 log x 2  log x 3  ...  log x 2017  log x 20182018
 2018.log x 2  2018.log x 3  ...  2018.log x 2017  2018.log x 2018
 2018.  log x 2  log x 3  ...  log x 2017  log x 2018   2018.log x  2.3.....2017.2018 

Câu 16. ( Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2018) Tìm bộ ba số nguyên dương (a ; b; c) thỏa mãn

log1  log(1  3)  log(1  3  5)  ...  log(1  3  5  ...  19)  2log 5040  a  b log 2  c log 3
A. (2;6; 4) .
B. (1;3; 2) .
C. (2; 4;4) .
D. (2; 4;3) .
Lời giải
Ta có
log1  log(1  3)  log(1  3  5)  ...  log(1  3  5  ...  19)  2log 5040  a  b log 2  c log 3
 log1  log 22  log 32  ...  log102  2 log 5040  a  b log 2  c log 3

 log 1.22.32.102   2 log 5040  a  b log 2  c log 3
2

 log 1.2.3.10   2 log 5040  a  b log 2  c log 3
 2 log 1.2.3.10   2 log 5040  a  b log 2  c log 3
 2  log10! log 7!  a  b log 2  c log 3  2 log  8.9.10   a  b log 2  c log 3

 2  6log 2  4log 3  a  b log 2  c log 3 .
Vậy a  2 , b  6 , c  4 .
Câu 17. (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Tổng S  1  22 log
dưới đây.
A. 10082.20182 .

3

3

B. 10092.20192 .

3

Ta có 1  2  3  ...  n

3

 n  n  1 

4

2

2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2

D. 20192 .

C. 10092.20182 .
Lời giải

2

.

Mặt khác

S  1  22 log

2

2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2  1  22 log 1 2  32 log 1 2  ....  20182 log
22

23

 2018  2018  1 
 1  2 log 2 2  3 log 2 2  ....  2018 log 2 2  1  2  3  ...  2018  

2


2
2
 1009 .2019 .
3

Câu 18.

3

3

3

3

1

2

2 2018

2

3

(ChuyêN KHTN - 2018) Số 2017201820162017 có bao nhiêu chữ số?
A. 147278481.
B. 147278480.
C. 147347190.

D. 147347191.

Lời giải
Số chữ số của một số tự nhiên x là:  log x   1 (  log x  là phần nguyên của log x ).
Vậy số chữ số của số 2017201820162017 là

log 2017201820162017   1  20162017 log  20172018   1  147278481.

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  />

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />