Chuyên đề 21 khối nón đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

KHỐI NÓN

Chuyên đề 21

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI NÓN (CÁC BÀI TOÁN THỰC
TẾ - CỰC TRỊ)
Lý thuyết – phương pháp chung
MẶT NÓN
Các yếu tố mặt nón:
Một số công thức:
Đường cao: h = SO . ( SO

S

l

h
l

A

r

O

cũng được gọi là trục của hình
nón).
Bán kính đáy:

l

r = OA = OB = OM .
B

Diện tích đáy: Sđ =  r 2 .
1
1
Thể tích: V = h.Sđ = h. r 2 .
3
3

(liên tưởng đến thể tích khối chóp).

Đường sinh:

Diện tích xung quanh: S xq =  rl .

l = SA = SB = SM .

M

Hình thành: Quay  vuông Góc ở đỉnh: ASB .
Thiết diện qua trục: SAB cân
SOM quanh trục SO , ta được
tại S.
mặt nón như hình bên
Góc giữa đường sinh và mặt
h = SO
với: 

.
đáy: SAO = SBO = SMO .
r = OM

Câu 1.

Chu vi đáy: p = 2 r .

Diện tích toàn phần:

Stp = S xq + Sđ =  rl +  r 2 .

(Sở Ninh Bình 2020) Cho hai khối nón có chung trục SS  = 3r . Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy
là hình tròn tâm S  bán kính 2r . Khối nón thứ hai có đỉnh S  , đáy là hình tròn tâm S bán kính r .
Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng
A.

4 r 3
.
27

B.

4 r 3
.
9
Lời giải

 r3
.

9

C.

D.

4 r 3
.
3

Chọn C

Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua trục của hai khối nón và lần lượt cắt hai đường tròn ( S , r ) và

( S , 2r ) theo đường kính

AB, CD . Gọi M = SC  S B, N = SD  S A . Phần chung của 2 khối nón

đã cho gồm 2 khối nón chung đáy là hình tròn đường kính MN và đỉnh lần lượt là S , S  .
MN SN
SN
SA
r 1
1
4r
=
=
=
=
=  MN = CD = .

CD SD SN + ND SA + S D 3r 3
3
3
1
2
Gọi I là giao điểm của MN và SS  . Ta có SI = SS  = r , S I = SS  = 2r .
3
3
Do đó thể tích phần chung là

Ta có

1
4r 2 1
4r 2 4 r 3
 MN  1   MN  1
V =  SI . 
+  .2r.
=
.
 +  S I .
 =  .r.
3
9
3
9
9
 2  3
 2  3
2

2

Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 2.

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như
hình vẽ bên) quanh trục DB .

A.

9 a 3 3
.
8

B.

3 a 3 3
.
8

2 a 3 3
.
3
Lời giải
C.

D.

 a3 3
.
12

Chọn B
Thể tích của vật thể tròn xoay gồm hai phần bao gồm thể tích V1 của hình nón tạo bởi tam giác
vuông ABC khi quay quanh cạnh AB và thể tích V2 của hình nón tạo bởi tam giác vuông ADE
khi quay quanh cạnh AD .
*Xét tam giác vuông ABC vuông tại B ta có:
r1 = BC = AC.sin 30o = a ; h1 = AB = AC.sin 60o = a 3

1
1
 3a 3
Vậy ta có V1 =  .r12 .h1 =  .a 2 .a 3 =
.
3
3
3
*Xét tam giác vuông ADE vuông tại D ta có:
r2 = DE = AE.sin 30o =

a 3
a
; h2 = AD = AE.sin 60o =
2
2

1
1  a  a 3  3a 3
Vậy ta có V2 =  .r22 .h2 =  .   .
.
=
3
3 2
2
24
2

Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là V = V1 + V2 =
Câu 3.

 3a 3
3

+

 3a 3
24

=

3 3a 3
.
8

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = a , AC = b , AB = c ,

b  c . Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC , quay cạnh AC , quanh cạnh
AB , ta thu được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Sa , Sb , Sc . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Sb  Sc  Sa .

B. Sb  Sa  Sc .

C. Sc  Sa  Sb .

D. Sa  Sc  Sb .

Lời giải
Chọn A

Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh BC , AH = h .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC ta thu được hình hợp bởi hai hình nón
tròn xoay có chung đáy bán kính bằng h , đường sinh lần lượt là b, c . Do đó Sa =  bh +  ch .
Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC ta thu được hình nón tròn xoay có bán
kính đáy bằng c , đường sinh bằng a , Sb =  ac +  c2 =  c ( a + c ) .
Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB ta thu được hình nón tròn xoay có bán
kính đáy bằng b , đường sinh bằng a , Sc =  ab +  b2 =  b ( a + b ) .

ab  ac
Do b  c nên  2
 Sc  Sb .
2

b  c
bc
c
b
 Sa =  b2 . +  c 2 . .
Ta có h =
a
a
a

c2
b
c
c
 1   b 2   b 2 ; 2  1   c 2   ab .
a
a
a
a
 Sa   b2 +  ab =  b ( a + b ) = Sc . Do đó Sa  Sc .

Tam giác ABC vuông nên

Vậy Sb  Sc  Sa .
Câu 4.

Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC = 120 và AB = 4cm . Tính thể tích khối tròn xoay lớn
nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của tam giác ABC .
16
16

A. 16 3 ( cm 3 ) .
B. 16 ( cm 3 ) .
C.
D.
cm 3 ) .
cm 3 ) .
(
(
3
3
Lời giải
Chọn B

Trường hợp 1: Khối tròn xoay khi quay ABC quanh đường thẳng chứa AB (hoặc AC ) có thể
tích bằng hiệu thể tích của hai khối nón ( N1 ) và ( N 2 ) .

 AK = AC.cos CAK = 4.cos 60 = 2cm

Dựng CK ⊥ BA tại K   BK = BA + AK = 4 + 2 = 6cm
.

CK = AC.sin CAK = 4.sin 60 = 2 3cm
+ ( N1 ) có h1 = BK = 6cm , r1 = CK = 2 3cm .
+ ( N 2 ) có h2 = AK = 2cm , r2 = CK = 2 3cm .

(

)

2

1
1
Do đó V =  .CK 2 . ( BK − AK ) =  . 2 3 . ( 6 − 2 ) = 16 ( cm 3 ) .
3
3
Trường hợp 2: Khối tròn xoay khi quay ABC quanh đường thẳng chứa BC có thể tích bằng

tổng thể tích của hai khối nón ( N3 ) và ( N 4 ) .

 AH = AB.cos BAH = 4.cos 60 = 2cm
Kẻ đường cao AH ( H  BC )  
.
 BH = CH = AB.sin BAH = 4.sin 60 = 2 3cm

( N3 ) và ( N4 ) có

h3 = h4 = BH = CH = 2 3cm , r3 = r4 = HA = 2cm .
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1
1
16
Do đó V = 2.  . AH 2 .BH = 2.  .22.2 3 =
cm 3 ) .
(
3
3

3
Vậy Vmax = 16 ( cm 3 ) .

Câu 5.

(Cụm liên trường Hải Phòng- 2019) Huyền có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Huyền muốn
biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi
dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm
x để thể tích phễu là lớn nhất?

A.

2 6
.
3

B.


.
3


.
2
Lời giải
C.

D.


.
4

Chọn A
Góc x chắn cung AB có độ dài l = R.x .
Từ giả thiết suy ra bán kính của phễu là

r=

Rx
2

và chiều cao của phễu là

2

h=

æRx ö
R
R - çç ÷
=
÷
çè 2 ÷
ø
2
2

4 2 - x 2 .

Khi đó thể tích của phễu là V =

1 2
1 R2 x2 R
 r h = . 2 .
3
3 4 2

4 2 - x 2 =

R3 2
x 4 2 - x 2 .
24 2

Xét hàm số f (x)= x 2 4 2 - x 2 , x Î (0;2 )

f ¢(x) = 2 x 4 - x 2

x3

2

4 2 - x 2

=

2 x (4 2 - x 2 )- x3
4 2 - x 2

=

x (8 2 - 3x 2 )
4 2 - x 2

.

2 6

3
Lập bảng biến thiên, ta có:

Cho f ¢(x ) = 0 Þ x =

Vậy thể tích phễu lớn nhất khi x =

2 6
.
3

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 6.

Một khối nón có thể tích bằng 9a  2 . Tính bán kính R đáy khối nón khi diện tích xung quanh
nhỏ nhất.
3a
3a

A. R = 3a .
B. R = 6 .
C. R = 3 9a .
D. R = 3 .
2
2
Lời giải
Chọn A
Gọi h , l lần lượt là chiều cao và độ dài đường sinh của khối nón.
3

1
27a3 2
729a 6
2
2
2
V =  R 2 .h = 9a3 2  h =

l
=
R
+
h
=
R
+
2.
R4
3

R2
S xq =  .R.l =  R 4 +

729a 6 729a 6
+

R2
R2

3

R4 .

 S xq = 9 a2 . Nên min Sxq = 9 a2 khi R 4 =

Câu 7.

729a 6 729a 6
. 2 .
R2
R

729a 6
 R = 3a .
R2

(HSG Sở Nam Định 2019) Cho hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) song song với nhau và cùng cắt khối
cầu tâm O , bán kính R thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm
của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Tính khoảng cách h giữa hai mặt
phẳng ( P ) , ( Q ) để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất.

A. h = R .

B. h = R 2 .

C. h =

2R 3
.
3

D. 2 R 3 .

Lời giải
Chọn C
Cắt khối cầu tâm O , bán kính R bằng mặt phẳng ( ) đi qua tâm O và vuông góc với hai mặt
phẳng ( P ) , ( Q ) ta được hình như hình vẽ bên dưới.

Trong đó, AB = ( )  ( P ) , CD = ( )  ( Q ) với AB = CD , h = SH = AC = BD , R = OB .
Đường sinh l = SC = SD .
Bán kính của mỗi hình tròn giao tuyến là r =

AB
.
2

Ta có: l 2 = SC 2 = AC 2 + AS 2 = h 2 + r 2 và r 2 = SB 2 = OB 2 − SO 2 = R 2 −

h2
.
4

3h 2
.
4
Mà diện tích xung quanh của khối nón được xét là: S xq =  rl .
Suy ra l 2 = R 2 +

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có S xq đạt giá trị lớn nhất  rl đạt giá trị lớn nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số r 3 và l ta có

(

)

3
3
2R2 3
2
2
2
rl =
.2. r 3 l 
(3r + l ) = 6 .4R = 3 .
6
2 3

1

rl lớn nhất là
Câu 8.

2R2 3
4
2R 3
.
khi và chỉ khi 3r 2 = l 2  h 2 = R 2  h =
3
3
3

(Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho tam giác OAB vuông cân tại O , có OA = 4 . Lấy điểm M
thuộc cạnh AB ( M không trùng với A , B ) và gọi H là hình chiếu của M trên OA . Tìm giá trị
lớn nhất của thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác OMH quanh OA .
128
256
81
64
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
256

81
81
81
Lời giải
Chọn C

Đặt h = OH , 0 < h < 4 .
Khi quay tam giác OMH quanh OA , ta được hình nón đỉnh O chiều cao h bán kính đáy
r = HM .
AH HM
4- h r
Þ
=
= Þ r = 4- h .
Ta có HM // OB nên
AO
4
OB
4
ö
1
1
256
1
1 æ4 - h + 4 - h + 2h ÷
2
V =  r 2 h =  (4 - h) .h =  (4 - h)(4 - h).2h £  çç
=
.
÷

÷
ø
6
3
3
81
6 çè
3
3

Vậy Vmax =
Câu 9.

1 256 256
=
.
.
3 27
81

(THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá
được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có
thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là 6,13m 2 . Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón
lá giống nhau có đường trình vành nón 50 cm , chiều cao 30 cm thì cần khối lượng lá gần nhất với
con số nào dưới đây? (coi mỗi chiếc nón có hình dạng là một hình nón)
A. 50 kg .
B. 76 kg .
C. 48 kg .
D. 38 kg .
Lời giải

Chọn A
Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy R =

50
= 25 ( cm ) = 0, 25 ( m ) và
2

đường cao h = 30 ( cm) = 0,3 ( m) .

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi l là chiều cao của hình nón  l = R 2 + h 2 =

61
( m) .
20

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón lá là S xq =  Rl =  .0, 25.
Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là S = 1000.
Do đó khối lượng lá cần dùng là

61  61
=
( m2 )
20
80

 61

80

=

25 61
m2 )
(
2

S
 50, 03 ( kg ) .
6,13

Câu 10. Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có
chiều cao 2 dm ( mô tả như hình vẽ ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ
hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất
lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm . Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi
chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt phẳng của chất lỏng – lượng
chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0, 01dm ).

A. h  1, 41 dm .

B. h  1,89 dm .

C. h  1,91 dm .

D. h  1, 73 dm .

Lời giải
Chọn C

Gọi bán kính đáy, thể tích (phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm ) của khối nón
lần lượt là r ; V .
Gọi bán kính đáy, thể tích (tính từ đỉnh của khối nón đến mặt phẳng của chất lỏng của ly thứ nhất
sau khi rót sang ly thứ hai ) của khối nón lần lượt là r1 ; V1 .
Gọi bán kính đáy, chiều cao, thể tích (tính từ đỉnh của khối nón đến mặt phẳng của chất lỏng của
ly thứ hai ) của khối nón lần lượt là r2 ; h; V2 .
2
Ta có: Thể tích chất lỏng ban đầu là: V =  r 2 .
3
1
Thể tích chất lỏng còn lại sau khi rót sang ly thứ hai là: V1 =  r12 .
3
r 1
r
1
mà 1 =  r1 =  V1 =  r 2 .
r 2
2
12

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1
1
7
7
Thể tích chất lỏng ly thứ hai là: V2 =  r2 2 h = V − V1   r2 2 h =  r 2  r2 2 h = r 2 .

3
3
12
4
r h
hr
mà 2 =  r2 =
 h3 = 7  h  1,91 dm.
r 2
2
Kết luận: h  1,91 dm.

Câu 11. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50 cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích
toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
A. 10 2 ( cm ) .

B. 50 2 ( cm ) .

D. 25 ( cm ) .

C. 20 ( cm ) .
Lời giải

Ta có diện tích miếng tôn là S =  .2500 ( cm 2 ) .

Diện tích toàn phần của hình nón là: Stp =  R2 +  .R.l .
Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:  R 2 +  .R.l = 2500  R 2 + R.l = 2500 = A  l =

A
−R.

R

Thể tích khối nón là:
2

1
1
1
A

V =  R 2 .h  V =  R 2 . l 2 − R 2  V =  R 2 .  − R  − R 2
3
3
3
R

1
1
A3
A
1
A2

− 2 A  R2 − 
 V =  R 2 . 2 − 2 A  V =  . A2 .R 2 − 2 A.R 4  V =  .
3
8
4
3
3

R


1 A
 V  .
3 2
Câu 12.

A
. Dấu bằng xảy ra khi R =
2

2

A
= 25 , vậy V đạt GTLN khi R = 25 .
4

(Phan Dăng Lưu - Huế - 2018) Cho hình nón ( N ) có đường cao SO = h và bán kính đáy bằng
R , gọi M là điểm trên đoạn SO , đặt OM = x , 0  x  h . ( C ) là thiết diện của mặt phẳng ( P )

vuông góc với trục SO tại M , với hình nón ( N ) . Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là ( C )
lớn nhất.
A.

h
.
2

B.

h 2
.
2

C.

h 3
.
2

D.

h
.
3

Lời giải

Ta có BM là bán kính đường tròn ( C ) .
Do tam giác SBM ∽ SAO nên

R (h − x)
BM SM
AO.SM
=
 BM =
 BM =
.
AO SO

SO
h

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là ( C ) là:
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1
1  R (h − x) 
1 R2
2
V =  BM 2 .OM =  
x
=
 2 (h − x) x .

3
3 
h
3 h

2

1 R2
2
Xét hàm số f ( x ) =  2 ( h − x ) x , ( 0  x  h ) ta có
3 h
1 R2
1 R2

h
Ta có f  ( x ) =  2 ( h − x )( h − 3x ) ; f  ( x ) = 0   2 ( h − x )( h − 3x )  x = .
3 h
3 h
3
Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là ( C ) lớn nhất khi x =
Câu 13.

h
.
3

(THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , ABC
là tam giác vuông tại B . Biết BC = a , AB = a 3 , AD = 3a . Quay các tam giác ABC và ABD
(Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay.
Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
A.

3 3 a 3
.
16

B.

8 3 a 3
.
3

5 3 a 3
.
16
Lời giải
C.

D.

4 3 a 3
.
16

Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA , đáy là đường
tròn bán kính AE = 3 cm. Gọi I = AC  BE , IH ⊥ AB tại H . Phần chung của 2 khối nón khi
quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là
đường tròn bán kính IH .
IC BC 1
=
=  IA = 3IC .
Ta có IBC đồng dạng với IEA 
IA AE 3
AH IH
AI 3
3
3a
=
=
=  IH = BC =
Mặt khác IH //BC 
.

AB BC AC 4
4
4
Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H
1
V1 =  .IH 2 . AH .
3
1
V2 =  .IH 2 .BH .
3



 9a 2

3a 3 3
.
.a 3  V =
 V = V1 + V2  V = .IH . AB  V = .
16
3
3 16
Câu 14. (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho tam giác nhọn ABC , biết rằng khi quay tam giác này
3136
quanh các cạnh AB , BC , CA ta lần lượt được các hình tròn xoay có thể tích là 672 ,

,
5
9408
.Tính diện tích tam giác ABC .
13
A. S = 1979 .
B. S = 364 .
C. S = 84 .
D. S = 96 .
Lời giải
Vì tam giác ABC nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác.
Gọi ha , hb , hc lần lượt là đường cao từ đỉnh A , B , C của tam giác ABC , và a , b , c lần lượt là
2

độ dài các cạnh BC , CA , AB .
Khi đó
1
. .hc 2 .c = 672 .
3
1
3136
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh BC là . .ha 2 .a =
.
3
5
1
9408
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh CA là . .hb 2 .b =
.
3

13
Do đó

+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh AB là

4 S2

4S 2
1 2
c
=
=
672
c
.
h
=
672
3 c

3 c
3.672



2
20S 2
3136
4 S


 1 2 3136
a
.
h
=

=

a
=



a
5
5
3.3136
3
3 a

2
 1 2 9408
4 S

9408
52S 2
b
.
h
=

=
b
=
b

3

13

13
3.9408
3 b

 ( a + b + c )( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) = S 8 .

1 1
1
1 1
1
.
.
 16 S 2 = S 8 . 4 .
.
4
3 9408 28812
3 9408 28812

 S 6 = 16.81.9408.28812  S = 84 .

Câu 15. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao

1
ly là h ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng
4
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ lệ chiều cao của mực nước và
chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A.

4 − 3 63
.
4

3

B.

63
.
4

C.

4 − 63
.
4

D.

3
.
4

Lời giải

1
Giả sử ly có chiều cao h và đáy là đường tròn có bán kính r , nên có thể tích V =  hr 2 .
3
1
Khối nước trong ly có chiều cao bằng
chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có
4
2

h
r
1 h r
1 1
 1
chiều cao bằng
và bán kính đáy thể tích nước bằng .    = .   hr 2  = V .
4
4
3 4 4
64  3
 64
1

63
Do đó thể tích khoảng không bằng V − V = V .
64
64
x h'
r.h '
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ: =  x =
.
r h
h
2

3

3

1
1
 r.h '  1
 h'
2  h'
Suy ra: thể tích khoảng không bằng: h '. x 2 = .h '. . 
 =  hr .   =   .V .
3
3
 h  3
h h
3

3

3
63
h ' 3 63 3 63
63
 h'
 h '  63
 V =  V   =
 =
=
 h' =
h.
64
h
64
4
4
h
 h  64

Nên chiều cao mực nước bằng: h − h ' = h −

3

63
4 − 3 63
h=
h.
4
4

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng

Câu 16.

4 − 3 63
.
4

(Nam Định - 2018) Cho tam giác ABC có A = 120, AB = AC = a . Quay tam giác ABC (bao
gồm cả điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối
tròn xoay đó bằng:
Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A.

 a3
3

.

B.

 a3
4

.

C.

 a3 3
2

.

D.

 a3 3
4

.

Lời giải

Theo định lý cosin ta có: BC = AB2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A = a 3 .
Quay tam giác ABC (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một
khối tròn xoay có thể tích V = V1 − V2 với V1 ,V2 là thể tích khối tròn xoay khi quay tam
giác
vuông BCH và tam giác ACH quay xung quanh với HB ( H là hình chiếu vuông góc của C lên
AB )
Ta tính được CH =

a 3
a
; AH = . Khi đó, ta có:
2
2

2

1
1
1
1 a 3
 a3
V =  .CH 2 .BH −  .CH 2 . AH =  .CH 2 . AB =  . 
 .a =
3
3
3
3  2 
4
Câu 17.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40cm . Người ta cắt
vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N 2 có thể tích
bằng

1
8

thể tích N1 .Tính chiều cao h của hình nón N 2 ?
A. 10cm

B. 20cm

C. 40cm
Lời giải

D. 5cm

Chọn B

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi r1 = BE , h1 = AB lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón N1
Gọi r2 = CD , h = AC lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón N 2
Khi đó thể tích của hai khối nón lần lượt là
1
V1 = r12 h1
3
1
V2 = r22 h
3
Theo đề bài ta có
1 2
r h  2
V2 3 2
r
h 1
=
=  2  . = (1)
V1 1 r 2 h  r1  h1 8
1 1
3
Xét hai tam giác đồng dạng ACD, ABE có:

r
AC CD
h
=
 2 =
AB BE
r1 h1

( 2)
3

h 1
h 1
1
Từ (1) và ( 2) suy ra   =  =  h = h1 = 20
h1 2
2
 h1  8

Câu 18.

(Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho một tấm bìa hình dạng tam giác vuông, biết b và c là độ dài cạnh
tam giác vuông của tấm một khối tròn xoay. Hỏi thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi tấm bìa
bằng bao nhiêu?
A. V =

b2c 2
3 b2 + c2

.

B. V =

 b2c 2
3 b2 + c2

.

C. V =

2 b 2 c 2
3 b2 + c2

.

D. V =

 b2c 2
3 2(b 2 + c 2 )

.

Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi tam giác vuông là ABC , kẻ AH ^ BC , H là chân đường cao.

1
1
1
bc
=
+
Þ AH =
Khi đó
2
2
2
AH
AB
AC
b2 + c 2
Thể tích khối tròn xoay cần tính bằng tổng thể tích 2 khối nón tạo bởi hai tam giác vuông ACH
và ABH khi quay quanh trục BC .
1
Khối nón tạo bởi tam giác vuông ACH khi quay quanh trục BC có thể tích V1 =  CH . AH 2
3
1
Khối nón tạo bởi tam giác vuông ABH khi quay quanh trục BC có thể tích V2 =  BH . AH 2
3
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
1
1
V = V1 + V2 =  CH . AH 2 +  BH . AH 2
3
3
1

1
bc
 b 2c 2
2
2
2
2
=  BC. AH =  b + c .(
) =
3
3
b2 + c2
3 b2 + c2
Câu 19. Một chiếc thùng chứa đầy nước có hình một khối lập phương. Đặt vào trong thùng đó một khối
nón sao cho đỉnh khối nón trùng với tâm một mặt của khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với
các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại
ở trong thùng.

A.


12 − 

.

B.

1
.
11


.
12
Lời giải
C.

D.

11
.
12

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn A
Coi khối lập phương có cạnh 1 . Thể tích khối lập phường là V = 1 .
Từ giả thiết ta suy ra khối nón có chiều cao h = 1 , bán kính đáy r =

1
.
2

Thể tích lượng nước trào ra ngoài là thể tích V1 của khối nón.
1
1 1

Ta có: V1 =  r 2 h =  . .1 = .

3
3 4
12

Thể tích lượng nước còn lại trong thùng là: V2 = V − V1 = 1 −
Do đó:
Câu 20.


12

=

12 − 
.
12

V1

=
.
V2 12 − 

(THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng

1
chiều cao của phễu. Hỏi nếu
3
bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu?
Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm.

nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng

A. 0,501( cm) .

B. 0,302( cm) .

D. 0,188( cm) .

C. 0,216( cm) .

Lời giải
h r
1
1
Gọi h1 là chiều cao của nước ta có h1 = h . Từ hình vẽ ta có: 1 = 1  r1 = r ;
h r
3
3
h2 r2
r
h
h
=  2 =  h2 = r2 .
h
h
r
r2 r

Ta có thể tích của nước trước và sau khi lôn ngược là như nhau:
h1. r12 = h. r 2 − h2 . r2 2

1
h1. r 2
h .r
h r − h1 r
hr − h .r
hr
h
 h2 = 2 −
 h2 =
 h2 =
 h2 = 2 − 2 9
2
2
r
h2
r2
r
 r2
r2
h2
2 2
h
1
1 2
5. .15
h1.
153
h3
1
9

 h2 = 2 − 9 2
 h2 = 2 −
 h23 = 153 − 5. .152  h23 = 3250  h2 = 3 3250 Vậ
1 2
9
h2
h2
h2
h
2 2
h
2

2
1

2

2
1 1

2

2
1 1
2
2

3

y bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng: 0,188( cm) .
Câu 21.

(Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt
như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên
chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới
Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại
thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
1
1
A. 3 7.
B. .
C. 3 5 .
D. .
2
3

Lời giải

Gọi a là bán kính đáy hình nón;
V1 ,V2 lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1
dm;
h, V3 lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình
nón trên bằng 1 dm;
R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi

chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.
R 1
a
Ta có: =  R = .
a 2
2
Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là V2 = 13 .1. ( 12 a ) =
2

Mặt khác:

12

.

r h
ah
= r= .
a 2
2

Do đó thể tích nước hình nón dưới V3 = 13 .h. ( h2 a ) =
2

 a 2 h3

12
Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước V1 = 13 .2. a 2 .
Lại có: V3 = V1 − V2 
Câu 22.

 a2

 a 2 h3
12

= 13 .2. a 2 −

.

 a2
 1 + h3 = 8  h = 3 7.
12

(Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng
cột trang trí hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l = 10 m , bán kính đáy R = 5 m .
Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của SB . Trang trí
một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài
dây đèn điện tử.
A. 15 m.

B. 10 m.

C. 5 3 m .

D. 5 5 m .

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải
• Cắt hình nón theo hai đường sinh SA, SB rồi trải ra ta được hình (H2) như sau:

S
5m
C

10m

A

B

H2

Khi đó, chiều dài dây đèn ngắn nhất là độ dài đoạn thẳng AC trên hình H2.
1
• Chu vi cung tròn AB : C = .2 .5 = 5 .
2
 SAC vuông tại S.
 AC = SA2 + SC 2 = 102 + 55 = 5 5m .

Câu 23. Một cái phểu có dạng hình nón, chiều cao của phểu là 20cm . Người ta đổ một lượng nước vào
phểu sao cho chiều cao của cột nước trong phểu là 10cm . Nếu bịt kím miêng phểu rồi lật ngược
lên chiều cao của cột nước trong phểu gần nhất với giá trị nào sau đây.

A. 1, 07cm .

B. 0,97cm .

D. 0,87cm .

C. 0, 67cm .
Lời giải

Chọn D
Gọi R là bán kính đáy của cái phểu ta có

R
là bán kính của đáy chứa cột nước
2
2

1
1 R
35
2
Ta có thể tích phần nón không chứa nước là V =  ( R ) .20 −    .10 =  R 2 .
3
3 2
6
Khi lật ngược phểu Gọi h chiều cao của cột nước trong phểu.phần thể tích phần nón không chứa

 R ( 20 − h ) 
1
1
3
 ( 20 − h ) R 2 .
nước là V =  ( 20 − h ) 

 =
3
20

 1200
2

1
35
3
3
 ( 20 − h ) R 2 =  R 2  ( 20 − h ) = 7000  h  0,87
1200
6

Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

(

)

Câu 24. Giả sử đồ thị hàm số y = m2 + 1 x 4 − 2mx 2 + m2 + 1 có 3 điểm cực trị là A, B, C mà

xA  xB  xC . Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của

m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây:
C. ( −2;0 ) .

B. ( 2; 4 ) .

A. ( 4;6 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Lời giải
Chọn B

y = 4(m 2 + 1) x3 − 4mx = 4 x (m 2 + 1) x 2 - m 
x = 0
+ y = 0  4 x (m + 1) x - m  = 0  
m
x = 
(m  0)
2

m +1
+ Với m  0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với xA  xB  xC ) là:
2

2

m
m2
m
m2
2
2

;- 2
+ m2 + 1) .
A(−
;- 2
+ m + 1) ; B(0; m + 1) ; C (
2
2
m +1 m +1
m +1 m +1
+ Quay ABC quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
B

r

A

I

C

h

2

1
2
2  m2 
m
2
V = 2. . r 2 h =  BI 2 . IC =   2

.
= 

2
3
3
3  m +1
m +1 3

+ Xét hàm số f ( x) =

Có: f '( x) =
Ta có BBT:
x
0
f ( x)

(m

(m

)

+1

(m

2

)

+1

5

.

m9

m8 (9 - m 2 )
2

m9

6

–

2

)

+1

5

; f ( x) = 0  m = 3 (m  0) .

3
0

+
+

max

f ( x)

0

0

Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3 .
Câu 25. Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với
đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?
A. 170 .
B. 260 .
C. 294 .
D. 208 .
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện là
một parabol.
Xét dây cung bất kỳ chứa đoạn KH như hình vẽ, suy ra tồn tại đường kính AB ⊥ KH , trong tam
giác SAB , KE / / SA, E  SB , Suy ra Parabol nhận KE làm trục như hình vẽ chính là một thiết
diện thỏa yêu cầu bài toán. (Thiết diện này song song với đường sinh SA )

Đặt BK = x (với 0  x  24 ).
Trong tam giác ABH có: HK 2 = BK . AK = x ( 24 − x ) .
Trong tam giác SAB có:

KE BK
BK
5x
.
=
 KE =
.SA  KE =
SA BA
BA
6

Thiết diện thu được là một parabol có diện tích: S =
Ta có: S 2 =

4
KH .KE .
3

16
16
25 x 2 100
10
KH 2 .KE 2 = .x ( 24 − x ) .
=
. ( 24 x3 − x 4 )  S = . 24 x3 − x 4
9

9
36
81
9

Đặt f ( x ) = 24 x3 − x4 , với 0  x  24 .

x = 0
Ta có: f ' ( x ) = 72 x2 − 4 x3 . Suy ra f ' ( x ) = 0  72 x 2 − 4 x3 = 0  
.
 x = 18
Bảng biến thiên:

Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất là:

10
34992  207,8 cm 2
9

Câu 26. Một hình nón tròn xoay có đường sinh 2a . Thể tích lớn nhất của khối nón đó là

16 a 3
.
3 3

16 a 3
.
9 3

8 a 3

4 a 3
.
D.
.
3 3
3 3
Lời giải
Fb: Bi Trần
Gọi hình nón tròn xoay có đường sinh l = 2a có bán kính đáy là R và đường cao là h .
A.

B.

C.

Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1
Thể tích khối nón: V =  R 2 h . Ta có: R 2 + h 2 = 4a 2 .
3

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 4a 2 = R 2 + h 2 =

R2 R2
R 4 h2
+
+ h2  3 3

.
2
2
4

R 4 h 2 64 6
1
16 3 3


a   R2h 
a .
4
27
3
27


2 3
 R2
h=
a
2

=h


3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2
.


 h 2 + R 2 = 4a 2
R = 2 6 a


3

Khi đó Vmax =
Câu 27.

16 3 3
a .
27

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Huyền có một tấm bìa như hình vẽ, Huyền muốn biến
đường tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi
dán OA , OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích
phểu lớn nhất?
A.

2 6

3

B.



C.



D.

2
Lời giải

3


4

Chọn A
O

O

R

R
B

h
A

B;A

Ta có diện tích của hình phểu S xq =

R2 x

xR
2 r
r=
là bán kính của đáy phểu;  x =
R
2
2

1
1
1
V =  r 2 h =  r 2 R 2 − r 2 =  r 4 .R 2 − r 6 là thể tích của phểu
3
3
3

Xét hàm số phụ y = r 4 .R 2 − r 6  y = 4r 3 .R 2 − 6r 5
y = 0  2.R 2 − 3r 2 = 0  r =

6
R
3

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy y max thì V và V max khi r =
Câu 28.

R 6
2 r
2 R 6
2 6
x=
x=
x=
3
R
3R
3

(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột
trang trí hình nón có kích thước như sau: đường sinh l = 10m, bán kính đáy R = 5m. Biết rằng
tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của SB. Trang trí một hệ
thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn
điện tử.
A. 15 m .

B. 10 m .

C. 5 3 m .

D. 5 5 m .

Lời giải

Ta có: SAB cân và SB = AB  SAB đều

Diện tích xung quanh hình nón là S xq = Rl = 50 ( m 2 )

Vẽ ( P ) đi qua C và vuông góc với AB. Mặt phẳng ( P ) cắt hình nón theo thiết diện là một Elip
Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn nhất chính là chiều dài dây cung AC trên Elip.
* Ta dùng phương pháp trải hình ra sẽ thấy ngay như sau

Facebook Nguyễn Vương 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Hình trải dài là một hình quạt với AB là độ dài nửa đường tròn và AB = R. = 5 ( m )
S ABS =

ASB.R12
1
360.25
S = 25 
= 25  ASB =
= 900
2
2
360
.10

Vậy SAC vuông tại S và AC = SA2 + SC 2 = 5 5.

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  />
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />