TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
NGUYÊN HÀM
Chuyên đề 25
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f ( x) u ' ( x) f ( x) h( x)
Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u ( x) f ( x) u ( x) f ( x) [u ( x) f ( x)]
Do dó u ( x) f ( x) u ( x ) f ( x) h( x) [u ( x) f ( x)] h( x)
Suy ra u ( x) f ( x) h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f ( x ) f ( x) h( x)
Phương pháp:
Nhân hai vế vói e x ta durọc e x f ( x) e x f ( x) e x h( x) e x f ( x) e x h( x)
Suy ra e x f ( x) e x h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f ( x) f ( x) h( x)
Phương pháp:
Nhân hai vế vói e x ta durọc e x f ( x) e x f ( x) e x h( x) e x f ( x) e x h( x)
Suy ra e x f ( x) e x h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f ( x) p ( x) f ( x) h( x)
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)
Phương pháp:
p ( x ) dx
Nhân hai vế với e
ta được
f ( x) e
p ( x ) dx
p ( x) e
Suy ra f ( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
e
f ( x) h( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
f ( x) e
p ( x ) dx
h( x) e p ( x ) dx
h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f ( x) p ( x) f ( x) 0
Phương pháp:
f ( x)
f ( x)
Chia hai vế với f ( x) ta đựơc
p ( x) 0
p ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x) dx p( x)dx ln | f ( x) | p( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Suy ra
Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f ( x) p( x) [ f ( x)]n 0
Phương pháp:
f ( x)
f ( x)
Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được
p
(
x
)
0
p( x)
[ f ( x)]n
[ f ( x)]n
f ( x)
[ f ( x)] n 1
Suy ra
dx p ( x)dx
p ( x)dx
[ f ( x)]n
n 1
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x)
Câu 1.
(Mã 103 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2
2
1
và f x 4 x 3 f x với mọi
25
x . Giá trị của f 1 bằng
A.
391
400
B.
1
40
C.
41
400
D.
1
10
Lời giải
Chọn D
1
1
3
3
x4 C
4
x
4 x
2
f
x
f
x
f x
1
1
1
Do f 2 , nên ta có C 9 . Do đó f x 4
f 1 .
25
x 9
10
2
Ta có f x 4 x 3 f x
Câu 2.
f x
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x đồng biến và có đạo hàm
liên tục trên thỏa mãn
nào sau đây?
A. 12;13 .
f x
2
f x .e x , x và f 0 2 . Khi đó f 2 thuộc khoảng
B. 9;10 .
D. 13;14 .
C. 11;12 .
Lời giải
Chọn B
Vì hàm số y f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đồng thời f 0 2 nên f x 0
và f x 0 với mọi x 0; .
2
Từ giả thiết f x f x .e x , x suy ra f x
Do đó,
x
2
f x .e , x 0; .
f x
1 x
e 2 , x 0; .
2 f x 2
x
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được
f x e 2 C , x 0; với C là hằng số nào đó.
Kết hợp với f 0 2 , ta được C 2 1 .
2
Từ đó, tính được f 2 e 2 1 9,81 .
Câu 3.
(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
f 2
f x x3 f 2 x x . Giá trị của f 1 bằng
2
A. .
3
1
B. .
2
C. 1.
3
D. .
4
Lời giải
Chọn C
Ta có f x x3 f 2 x
f x
f x
1
x4
3
3
x
dx
x
dx
C .
f 2 x
f 2 x
f x 4
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
4
19
và
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
4
19 16
3
4
Mà f 2 C C . Suy ra f x 4
.
19
4
4
4
x 3
Vậy f 1 1 .
Câu 4.
(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1;0 thỏa mãn
điều kiện: f 1 2 ln 2 và x. x 1 . f x f x x 2 x . Biết f 2 a b.ln 3 ( a , b ).
Giá trị 2 a 2 b2 là
A.
27
.
4
3
.
4
Lời giải
B. 9 .
C.
D.
9
.
2
Chọn B
2
Chia cả hai vế của biểu thức x. x 1 . f x f x x 2 x cho x 1 ta có
x
1
x
x
x
. f x
f
x
.
f
x
.
2
x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
Vậy
x
x
1
x
. f x
. f x dx
dx 1
dx x ln x 1 C .
x 1
x 1
x 1
x 1
Do f 1 2 ln 2 nên ta có
Khi đó f x
1
. f 1 1 ln 2 C ln 2 1 ln 2 C C 1 .
2
x 1
x ln x 1 1 .
x
Vậy ta có f 2
3
3
3 3
3
3
2 ln 3 1 1 ln 3 ln 3 a , b .
2
2
2 2
2
2
3 2 3 2
2
2
Suy ra 2 a b 2 9 .
2 2
Câu 5.
(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 0, x 0 và có đạo hàm
1
f x liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn f x 2 x 1 f 2 x , x 0 và f 1 . Giá
2
trị của biểu thức f 1 f 2 ... f 2020 bằng
A.
2020
.
2021
B.
2015
.
2019
2019
.
2020
C.
D.
2016
.
2021
Lời giải
Chọn A
Ta có:
f x 2 x 1 f 2 x
Mà f 1
f x
f
2
x
2x 1
f x
f
2
x
dx 2 x 1 dx
1
x2 x C .
f x
1
1
1
1
C 0 f x 2
.
2
x x x 1 x
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
f
f
f
f
Câu 6.
1
1
2
1 1
2
3 2
1 1
3
4 3
1
2020
f 1 f 2 .... f 2020 1
1
2020
.
2021
2021
1
1
2021 2020
(Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1;0 thỏa mãn f 1 2 ln 2 1 ,
x x 1 f x x 2 f x x x 1 , x \ 1;0 . Biết f 2 a b ln 3 , với a , b là hai
số hữu tỉ. Tính T a 2 b .
3
21
A. T
.
B. T .
16
16
C. T
3
.
2
D. T 0 .
Lời giải
Chọn A
Ta có x x 1 f x x 2 f x x x 1
f x
x x 2
x2
x2
x2
f x 1
f x
f x
2
x x 1
x 1
x 1
x 1
'
x2
x2
x2
x2
x2
x2
f x
dx
f x x ln x 1 c
f x
x 1
x 1
x 1
2
x 1
x 1
f x
x 1 x2
x ln x 1 c .
2
x 2
Ta có f 1 2 ln 2 1 c 1.
3
a 4
x 1 x2
3 3
Từ đó f x 2 x ln x 1 1 , f 2 ln 3. Nên
.
x 2
4 4
b 3
4
3
Vậy T a 2 b .
16
Câu 7.
(THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y f x thỏa mãn y xy 2 và f 1 1 thì
giá trị f 2 là
A. e 2 .
B. 2e .
D. e3 .
C. e 1 .
Lời giải
3
x
C
y
y
x3
Ta có y xy x 2 dx x 2dx ln y C y e 3 .
y
y
3
2
Theo giả thiết f 1 1 nên e
1
C
3
1
1 C .
3
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Vậy y f x =e
Câu 8.
x3 1
3 3
. Do đó f 2 e3 .
(Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f x liên tục trên , f x 0 với mọi x và thỏa mãn
1
f 1 , f x 2 x 1 f 2 x .Biết
2
a, b , a, b 1 .Khẳng định nào sau đây sai?
A. a b 2019 .
f 1 f 2 ... f 2019
a
1
b
với
C. 2a b 2022 .
D. b 2020 .
Lời giải
f x
f x
f x 2 x 1 f 2 x 2
2x 1 2
dx 2 x 1dx
f x
f x
d f x
f 2 x
B. ab 2019 .
2 x 1 dx
1
x 2 x C 1 (Với C là hằng số thực).
f x
1
1
1
.
C 0 .Vậy f x
1
x 1 x
2
1
1
1 1 1 1
1
T f (1) f (2) ... f (2019) ...
1 2020 .
2 1 3 2
2020 2019
Thay x 1 vào 1 được 2 C
a 1
Suy ra:
a b 2019 (Chọn đáp số sai).
b 2020
Câu 9.
(THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên 0;
1
. Tính f 4 ?
2
C. 4 .
Lời giải
thỏa mãn 2 xf x f x 3 x 2 x . Biết f 1
A. 24 .
B. 14 .
D. 16 .
Chọn D
Trên khoảng 0; ta có: 2 xf ' x f x 3x 2 x x f ' x
'
x. f x
x. f x
3 2
x
2
1
2 x
3 2
x .
2
'
3
x . f x dx x 2 dx .
2
1 3
x C .
2
x2 x
1
1
1 1
Mà f 1 nên từ có: 1. f 1 .13 C C C 0 f x
.
2
2
2
2 2
Vậy f 4
Câu 10.
42 4
16 .
2
(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số
f x 0 với mọi
x,
f 0 1 và
f x x 1. f x với mọi x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x 2
B. 2 f x 4
C. f x 6
D. 4 f x 6
Lời giải
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
f x
Ta có:
f x
f x
1
1
dx
dx ln f x 2 x 1 C
f x
x 1
x 1
Mà f 0 1 nên C 2 f x e 2
Câu 11.
x 1 2
f 3 e 2 6
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
2; 4
3
và f x 0, x 2; 4 . Biết 4 x 3 f x f x x3 , x 2; 4 , f 2
7
. Giá trị của
4
f 4 bằng
A.
40 5 1
.
2
20 5 1
.
4
B.
20 5 1
.
2
Lời giải
C.
D.
40 5 1
.
4
Ta có: f x 0, x 2; 4 nên hàm số y f x đồng biến trên 2; 4 f x f 2 mà
f 2
7
. Do đó: f x 0, x 2;4 .
4
3
Từ giả thiết ta có: 4 x3 f x f x x3 x3 4 f x 1 f x
x. 3 4 f x 1 f x
Suy ra:
f 2
f x
3
4 f x 1
f x
3
4 f x 1
dx xdx
3
x.
2
33
x2
1 d 4 f x 1 x 2
4
f
x
1
C .
C
8
2
4 3 4 f x 1
2
7
3
1
2C C .
4
2
2
3
Vậy: f x
Câu 12.
4 2
3 x 1 1
40 5 1
.
f 4
4
4
(Chuyên Thái Bình 2019) Cho
f ( x)
là hàm số liên tục trên
f x f x x, x và f 0 1 . Tính f 1 .
A.
2
.
e
B.
1
.
e
C. e .
D.
Lời giải
f x f x x
(1) .
Nhân 2 vế của (1) với e x ta được e x . f x e x . f x x.e x .
Hay e x . f x x.e x e x . f x x.e x dx .
Xét I x.e xdx .
u x du dx
Đặt x
.
x
e dx dv v e
I x.e x dx x.e x e xdx x.e x e x C . Suy ra e x f x x.e x e x C .
Theo giả thiết f (0) 1 nên C 2 f x
x.e x e x 2
2
f 1 .
x
e
e
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
e
.
2
thỏa mãn
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 13.
(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số
f x thỏa mãn
2
xf x 1 x 2 1 f x . f x với mọi x dương. Biết f 1 f 1 1 . Giá trị f 2 2 bằng
A. f 2 2 2 ln 2 2 . B. f 2 2 2 ln 2 2 .
C. f 2 2 ln 2 1 .
D. f 2 2 ln 2 1 .
Lời giải
2
2
Ta có: xf x 1 x 1 f x . f " x ; x 0
2
x 2 . f ' x 1 x 2 1 f x . f " x
1
1 f x . f " x
x2
2
1
f ' x f x . f " x 1 2
x
'
1
f x . f ' x 1 2
x
'
1
1
Do đó: f x . f ' x .dx 1 2 .dx f x . f ' x x c1.
x
x
2
f ' x
Vì f 1 f ' 1 1 1 2 c1 c1 1.
Nên
1
f x . f ' x .dx x x 1.dx
1
f x .d f x x 1.dx
x
f 2 x x2
1 1
ln x x c2 . Vì f 1 1 1 c2 c2 1.
2
2
2 2
Vậy
Câu 14.
f 2 x x2
ln x x 1 f 2 2 2ln 2 2 .
2
2
(Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ( f '( x))2 f ( x). f ''( x) x 3 2 x, x R
và f (0) f '(0) 1 . Tính giá trị của T f 2 (2)
43
15
Lời giải
2
3
Có ( f '( x)) f ( x). f ''( x) x 2 x ( f ( x). f '( x))' x 3 2 x
A.
43
30
B.
16
15
f ( x). f '( x) ( x3 2 x)dx
C.
D.
26
15
1 4 2
x x C
4
Từ f (0) f '(0) 1 . Suy ra C 1 . Vậy f ( x ). f '( x )
1 4
x x2 1
4
1 4
1
x 2 x 2 2 ( f 2 ( x))' x 4 2 x 2 2
2
2
1
1
2
f 2 ( x) ( x 4 2 x 2 2)dx x5 x3 2 x C
2
10
3
1
2
Từ f (0) 1 . Suy ra C 1 . Vậy f 2 ( x) x5 x 3 2 x 1 .
10
3
43
Do đó T
15
Tiếp, có 2 f ( x). f '( x)
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 15.
(Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn
2
x
f x tan x. f x
. Biết rằng 3 f f a 3 b ln 3 trong đó a, b . Giá
3
cos x
3
6
trị của biểu thức P a b bằng
14
2
7
4
A.
B.
C.
D.
9
9
9
9
Lời giải
Chọn D
f x tan x. f x
x
x
cos x. f x sin x. f x
.
3
cos2 x
cos x
x
.
sin x. f x
cos 2 x
Do đó
x
sin x. f x dx cos
Tính I
2
x
dx sin x. f x
x
dx
cos 2 x
x
dx .
cos2 x
u x
du dx
Đặt
. Khi đó
dx
v tan x
dv cos 2 x
I
d cos x
x
dx x tan x tan xdx x tan x
dx x tan x ln cos x .
2
cos x
cos x
Suy ra f x
x.tan x ln cos x
sin x
ln cos x
x
.
cos x
sin x
3
2 2 ln 2 3
a 3 b ln 3 3 f f 3
2 ln
2
3 9
3
6
3
5 3
ln 3 . Suy ra
9
5
a
9 .
b 1
4
Vậy P a b .
9
Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x đồng biến trên
y f x
liên tục, nhận giá trị dương trên
0;
và thỏa mãn
f 3
2
f ' x x 1 . f x . Tính f 8 .
A. f 8 49 .
B. f 8 256 .
C. f 8
1
.
16
D. f 8
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
0; ;
49
.
64
4
9
và
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải
Chọn A
Ta có với x 0; thì y f x 0 ; x 1 0 .
Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên f x 0, x 0; .
2
Do đó f x x 1 f x f x
Suy ra
f x
f x
Vì f 3
dx
x 1dx
x 1 f x
f x
1
3
x 1
3
f x
f x
x 1 .
2
2
C .
4
2 8
nên C 2 .
9
3 3
1
Suy ra f x
3
2
x 1 2 , suy ra f 8 49 .
3
2
f x f x x
Câu 17. Cho hàm số f x thỏa mãn f 1 2 và x 2 1
1 với mọi x . Giá
trị của f 2 bằng
2
5
A.
B.
2
5
C.
5
2
D.
5
2
Lời giải
Chọn D
2
Từ giả thiết ta có: f x f x .
x2 1
x
2
1
0 với mọi x 1; 2 .
2
Do đó f x f 1 1 0 với mọi x 1;2 .
Xét với mọi x 1;2 ta có:
x
2
1 f x f x
2
x
2
1
f x
f x
x2 1
x2 1
2
dx
dx .
2
2
2
f x x 2 1
f x
x2 1
1
1
d x
2
f
x
dx x
1
1
x dx
dx
C .
2
2
2
2
1
f x
f x
f x
1
1
x
x
x
x
x
x
f x
1
x2 1
5
Mà f 1 1 1 1 C C 0 . Vậy f x
f 2 .
x
2
Câu 18.
(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
khoảng 0; , biết f x 2 x 1 f 2 x 0 , f x 0, x 0 và f 2
1
. Tính giá trị của
6
P f 1 f 2 ... f 2019 .
A.
2021
.
2020
B.
2020
.
2019
2019
.
2020
Lời giải
C.
D.
2018
.
2019
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
TH1: f x 0 f x 0 trái giả thiết.
TH2: f x 0 f x 2 x 1 . f 2 x
f x
f
2
x
2 x 1 .
f x
f 2 x
dx 2 x 1dx
1
x2 x C .
f x
1
1
1
1
C 0 f x 2
.
6
x x x x 1
1 1 1 1
1
2019
.
P .....
1 2 2 3
2020 2020
Ta có: f 2
Câu 19. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn
f x
2
2;1
thỏa mãn
f 0 3 và
. f x 3 x 2 4 x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 2;1 là
B. 2 3 15 .
A. 2 3 42 .
3
C.
42 .
D.
3
15 .
Lời giải
2
Ta có: f x . f x 3x 2 4 x 2 (*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được
f x
2
2
. f x dx 3x 2 4 x 2 dx f x d f x x3 2 x 2 2 x C
f x
3
3
3
x 3 2 x 2 2 x C f x 3 x 3 2 x 2 2 x C 1
3
Theo đề bài f 0 3 nên từ (1) ta có f 0 3 03 2.02 2.0 C 27 3C C 9
3
f x 3 x 3 2 x 2 2 x 9 f ( x) 3 3 x 3 2 x 2 2 x 9 .
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 2;1 .
CÁCH 1:
Vì x3 2 x 2 2 x 9 x 2 x 2 2 x 2 5 0, x 2;1 nên f x có đạo hàm trên 2;1
3 3x 2 4 x 2
và f x
3 3 x 2 x 2 x 9
3
3
2
2
3x 2 4 x 2
3
3 x 2 x 2 x 9
3
2
2
0, x 2;1 .
Hàm số y f x đồng biến trên 2;1 max f x f 1 3 42 .
2;1
Vậy max f x f 1 3 42 .
2;1
CÁCH 2:
3
2
2 223
f x 3 x 2x 2x 9 3 x 2 x
.
3
3 9
3
3
2
3
3
2
2 223
Vì các hàm số y 3 x , y 2 x
đồng biến trên nên hàm số
3
3 9
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
3
2
2 223
cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y f x đồng biến
y 3 3 x 2 x
3
3 9
trên 2;1 .
Vậy max f x f 1 3 42 .
2;1
Câu 20.
(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số
3
f ( x)
thỏa mãn
f (1) 4
và
2
f ( x) xf ( x) 2 x 3x với mọi x 0 . Giá trị của f (2) bằng
A. 5 .
B. 10 .
f ( x) xf ( x) 2 x3 3x 2
D. 15 .
1. f ( x) x. f ( x) 2 x3 3x 2
f ( x )
2x 3
2
2
x
x
x
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số g x 2 x 3 .
x
Suy ra,
Ta có
C. 20 .
Lời giải
2 x 3dx x
2
3x C , C .
f ( x)
x 2 3 x C1 , (1) với C1 nào đó.
x
Vì f (1) 4 theo giả thiết, nên thay x 1 vào hai vế của (1) ta thu được C1 0 , từ đó
Do đó,
f ( x) x 3 3 x 2 . Vậy f (2) 20 .
Câu 21.
(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f 0 2 2,
f x 0, x và f x . f x 2 x 1 1 f 2 x , x . Khi đó giá trị f 1 bằng
26 .
24 .
C. 15 .
Lời giải
f x. f x
Ta có f x . f x 2 x 1 1 f 2 x
2 x 1 .
1 f 2 x
A.
Suy ra
B.
f x. f x
1 f
2
x
dx 2 x 1dx
d 1 f 2 x
2 1 f
Theo giả thiết f 0 2 2 , suy ra 1 2 2
x
23 .
2 x 1dx 1 f 2 x x 2 x C .
2
Với C 3 thì 1 f 2 x x 2 x 3 f x
Câu 22.
2
D.
C C 3.
x
2
2
x 3 1 . Vậy f 1 24 .
2
(Cần Thơ 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 2 x 2 x 1 , x và
2
f 0 f 0 3 . Giá trị của f 1 bằng
A. 28 .
B. 22 .
C.
19
.
2
D. 10 .
Lời giải
2
Ta có f x f x f x f x f x .
Do đó theo giả thiết ta được f x f x 2 x 2 x 1 .
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Suy ra f x f x
2 3 x2
x x C . Hơn nữa f 0 f 0 3 suy ra C 9 .
3
2
2
x2
Tương tự vì f 2 x 2 f x f x nên f 2 x 2 x 3 x 9 . Suy ra
2
3
2
x2
1
x3
f 2 x 2 x 3 x 9 dx x 4 x 2 18 x C , cũng vì f 0 3 suy ra
2
3
3
3
Câu 23.
2
1
x3
f 2 x x 4 x 2 18 x 9 . Do đó f 1 28 .
3
3
(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn
x 2 f x x 1 f x e x
e
A. f 2 .
3
và f 0
B. f 2
1
. Tính f 2 .
2
e
.
6
C. f 2
e2
.
3
D. f 2
e2
.
6
Lời giải
Ta có
x 2 f x x 1 f x e x x 1 f x f x x 1 f x e x
x 1 f x x 1 f x e x e x x 1 f x e x x 1 f x e2 x
1
e x x 1 f x e2 x e x x 1 f x dx e2 x dx e x x 1 f x e2 x C
2
Mà f 0
1 ex
1
C 0 . Vậy f x .
2
2 x 1
Khi đó f 2
Câu 24.
e2
.
6
(Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x liên tục trên \ 0; 1 thỏa mãn điều
kiện f 1 2 ln 2 và x x 1 . f x f x x 2 x . Giá trị f 2 a b ln 3 , với a, b . Tính
a 2 b2 .
25
A.
.
4
B.
9
.
2
5
.
2
Lời giải
C.
Từ giả thiết, ta có x x 1 . f x f x x 2 x
D.
13
.
4
x
1
x
. f x
f x
2
x 1
x 1
x 1
x
x
. f x
, với x \ 0; 1 .
x 1
x 1
x
x
x
Suy ra
. f x
dx hay
. f x x ln x 1 C .
x 1
x 1
x 1
x
. f x x ln x 1 1 .
Mặt khác, ta có f 1 2 ln 2 nên C 1 . Do đó
x 1
2
3 3
3
3
Với x 2 thì . f 2 1 ln 3 f 2 ln 3 . Suy ra a và b .
3
2 2
2
2
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
9
Vậy a b .
2
2
Câu 25.
2
(THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và
thỏa mãn f 1 1 , f x f x . 3x 1 , với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2 f 5 3 .
B. 1 f 5 2 .
C. 4 f 5 5 .
D. 3 f 5 4 .
Lời giải
Ta có
f x f x . 3x 1
d f x
f x
2
1
2
dx ln f x
3x 1 C f x e 3
3
3x 1
4
Mà f 1 1 nên e 3
Câu 26.
f x
f x
1
1
dx
dx
f x
f x
3x 1
3x 1
C
3 x 1 C
4
4
1 C . Suy ra f 5 e 3 3, 794 .
3
(THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện
1
Biết
rằng
tổng
f 0 .
2
a
a
f 1 f 2 f 3 ... f 2017 f 2018 với a , b * và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A. 1.
B. 1 .
C. a b 1010 .
D. b a 3029 .
b
b
Lời giải
f x
Ta có f x 2 x 3 f 2 x 2
2x 3
f x
f x 2 x 3 f 2 x
và
f x
1
dx 2 x 3 dx
x 2 3x C .
f x
f x
1
Vì f 0 C 2 .
2
1
1
1
Vậy f x
.
x 1 x 2 x 2 x 1
Do đó f 1 f 2 f 3 ... f 2017 f 2018
1
1
1009
.
2020 2
2020
Vậy a 1009 ; b 2020 . Do đó b a 3029 .
Câu 27.
(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x 0 , f x
1
f 1 . Tính f 1 f 2 ... f 80 .
3
3240
6480
A.
.
B.
.
6481
6481
C.
6480
.
6481
D.
3x 4 x 2 1 2
f x và
x2
3240
.
6481
Lời giải
f x
f x 3x 4 x 2 1
3x 4 x 2 1 2
f
x
.
x2
f 2 x
x2
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
f x
3x 4 x 2 1
d
x
x 2 dx
f 2 x
d f x
f 2 x
3x 4 x 2 1
dx .
x2
d f x
1
1
1
1
3x 2 1 2 dx
C.
x3 x C f x
1
f x
x
f x
x
3
x x
x
1
1
1
1
x
2
Do f 1 C 0 f x 4
= 2
.
2
3
x x 1 2 x x 1 x x 1
1 1 1
11 1
1 1 1
1 1
1
f 1 ; f 2 ; f 3 ;.; f 80
.
2 3 1
2 7 3
2 13 7
2 6481 6321
1 1 1
3240
=
.
f 1 f 2 ... f 80 .
2 2 6481
6481
Câu 28.
2
(Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0; 2 và
2
2
thỏa mãn f x f x . f x f x 0 . Biết f 0 1 , f 2 e6 . Khi đó f 1 bằng
3
5
B. e3 .
A. e 2 .
D. e2 .
C. e 2 .
Lời giải
2
2
Theo đề bài, ta có f x f x . f x f x 0
f x . f x f x
f x
2
2
1
f x
f x
x2
x C ln f x C.x D
1
f x
2
f x
x
5
f 0 1
2 x
C 2
2
2
Mà
.
Suy
ra
:
f
x
e
f
1
e
.
6
D
0
f 2 e
2
2
Câu 29. Cho hàm số y f x liên tục trên thỏa mãn f x 2 x. f x e x , x và f 0 0 .
Tính f 1 .
1
B. f 1 .
e
A. f 1 e2 .
C. f 1
1
.
e2
D. f 1
1
.
e
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
2
2
f x 2 x. f x e x e x f x 2 x.e x . f x 1 e x . f x 1 .
2
xC
. f x dx dx e x . f x x C f x x 2 .
e
Vì f 0 0 C 0 .
Suy ra
e
x2
Do đó f x
x
1
. Vậy f 1 .
e
e
x2
Câu 30. Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x . f x x4 x2 . Biết f 0 2 . Tính f 2 2 .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
313
A. f 2
.
15
2
332
B. f 2
.
15
2
324
C. f 2
.
15
Lời giải
2
D. f 2 2
323
.
15
Chọn B
f 2 x x5 x 3
C .
f ' x . f x dx x x dx C
2
5 3
4
Ta có
f 0 2 nên suy ra C 2 .
Do
2
32 8
332
Vậy f 2 2 2 2
.
5 3 15
Câu 31.
(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x e x , x và
f 0 2 . Tất cả các nguyên hàm của f x e 2 x là
A. x 2 e x e x C .
B. x 2 e2 x e x C .
C. x 1 e x C .
D. x 1 e x C .
Lời giải
Chọn D
f x f x e x f x e x f x e x 1 f x e x
1 f x e
x
x C .
Vì f 0 2 nên C 2 . Do đó f x e2 x x 2 e x . Vậy:
f xe
2x
dx x 2 e x dx x 2 d e x x 2 e x e x d x 2 x 2 e x e x dx
x
x
x
x 2 e e C x 1 e C .
Câu 32. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0; thỏa mãn 2 xf x f x 2 x x 0; ,
f 1 1 . Giá trị của biểu thức f 4 là:
A.
25
.
6
B.
25
.
3
17
.
6
Lời giải
C.
D.
17
.
3
Chọn C
Xét phương trình 2 xf x f x 2 x 1 trên 0; : 1 f x
1
f x 1 2 .
2x
1
, ta tìm một nguyên hàm G x của g x .
2x
1
1
Ta có g x dx dx ln x C ln x C . Ta chọn G x ln x .
2x
2
1
f x x
Nhân cả 2 vế của 2 cho eG x x , ta được: x f x
2 x
Đặt g x
x. f x x
3 .
4
Lấy tích phân 2 vế của 3 từ 1 đến 4, ta được:
1
x. f x
4
1
4
x . f x dx xdx
1
4
14
1 14 17
2 3
x 2 f 4 f 1 f 4 1
(vì f 1 1 ).
3
2 3
3
1
6
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy f 4
Câu 33.
17
.
6
(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
3
4
điều kiện x 6 f x 27 f x 1 0, x và f 1 0 . Giá trị của f 2 bằng
A. 1 .
B. 1.
C. 7 .
D. 7 .
Lời giải
Chọn D
6
3
Ta có x f x 27 f x 1 0
1
1
1
2.
2
3 f x 1 x
f x 1 x
f x
4
3 f x 1 3
1
1
1
dx 2 dx C. Suy ra
Do đó
x
x
3 f x 1
1
1
C .
x
f x 1
3
Có f 1 0 C 0 . Do đó f x 1 x3 .
Khi đó f 2 7.
Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn:
f x
2
f x . f x 15 x 4 12 x , x và
f 0 f 0 1 . Giá trị của f 2 1 bằng
A.
5
.
2
B. 8.
C. 10.
D. 4.
Lời giải
Chọn B
2
Theo giả thiết, x : f x f x . f x 15 x 4 12 x
f x . f x f x . f x 15 x 4 12 x
f x . f x 15 x 4 12 x
f x . f x 15 x 4 12 x dx 3 x 5 6 x 2 C 1 .
Thay x 0 vào 1 , ta được: f 0 . f 0 C C 1 .
Khi đó, 1 trở thành: f x . f x 3x5 6 x 2 1
1
1
1
1
1
1
f x . f x dx 3 x5 6 x 2 1 dx f 2 x x 6 2 x3 x
2
0 2
0
0
0
1 2
7
f 1 f 2 0 f 2 1 1 7 f 2 1 8 .
2
2
Vậy f 2 1 8 .
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 35. Cho
hàm
y f x
số
xf x 2 f x .ln x x
nào dưới đây?
25
A. 12; .
2
3
có
đạo
hàm
liên
f x , x 1; ; biết f
27
B. 13; .
2
tục
trên
1;
e 3e . Giá trị
3
23
C. ;12 .
2
Lời giải
và
thỏa
mãn
f 2 thuộc khoảng
29
D. 14; .
2
Chọn C
Xét phương trình xf x 2 f x .ln x x3 f x 1 trên khoảng 1; :
1 x ln x. f x 1 2 ln x . f x x3 f x
1 2 ln x
x2
f x
x ln x
ln x
2 .
1 2 ln x
. Ta tìm một nguyên hàm G x của g x .
x ln x
1 2ln x
1 2 ln x
1
dx
d ln x
2 d ln x
Ta có g x dx
x ln x
ln x
ln x
Đặt g x
ln x
ln ln x 2ln x C ln 2 C .
x
ln x
Ta chọn G x ln 2 .
x
ln x
ln x
1 2 ln x
Nhân cả 2 vế của 2 cho eG x 2 , ta được: 2 f x
f x 1
x
x
x3
ln x
ln x
2 f x 1 2 f x x C 3 .
x
x
e 3e nên thay x
3
Theo giả thiết, f
ln
e.f
3
3
e
2
e
3
3
e C C
Từ đây, ta tìm được f x
Câu 36.
1
3
3 e2
3
e vào 3 , ta được:
3e 3 e 0 .
x3
23
23
.Vậy f 2 ;12 .
f 2
ln x
ln 2
2
(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn
3 f x .e f
3
x x2 1
2x
0 với x . Biết f 0 1 , tính tích phân
2
f x
11
A. .
2
15
B.
.
4
45
C.
.
8
Lời giải
7
x. f x dx .
0
D.
9
.
2
Chọn C
Ta có 3 f x .e
f 3 x x2 1
3 f 2 x . f x .e f
3
x
3
2
2x
0 3 f 2 x . f x .e f x 2 x.e x 1
f x
2
2
dx 2 x.e x 1dx e f
3
x
2
d f 3 x e x 1d x 2 1 e
f 3 x
ex
2
1
C .
Mặt khác, vì f 0 1 nên C 0 .
Do đó e f
3
x
ex
2
1
f 3 x x2 1 f x 3 x 2 1 .
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
7
Vậy
7
x. f x dx
0
Câu 37.
x. 3 x 2 1 dx
0
1
2
7
7
3
45
.
x 2 1 d x 2 1 x 2 1 3 x 2 1
8
8
0
3
0
(SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x liên tục và không âm trên thỏa mãn
f x . f x 2 x f 2 x 1 và f 0 0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P 2M m có dạng
a 11 b 3 c , a , b , c . Tính a b c
A. a b c 7 .
B. a b c 4 .
C. a b c 6 .
D. a b c 5 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: f x . f x 2 x f 2 x 1
f x . f x
f
2
x 1
2x
f x . f x
f 2 x 1
dx 2 xdx
f 2 x 1 x2 C .
2
f 2 x 1 x 2 1 f 2 x x 2 1 1 x 4 2 x 2
Mà f 0 0 C 1
f x x 4 2 x 2 (do f x 0, x ).
Ta có: f x
2 x3 2 x
x4 2 x2
0, x 1;3 max f x f 3 3 11; min f x f 1 3 .
1;3
1;3
Ta có: P 2 M m 6 11 3 a 6; b 1; c 0 a b c 7 .
Câu 38. Cho
hàm
số
y f x
liên
tục
trên
\ 1;0
thỏa
mãn
f 1 2ln 2 1 ,
x x 1 f x x 2 f x x x 1 , x \ 1;0 . Biết f 2 a b ln 3 , với a, b là hai số
hữu tỉ. Tính T a 2 b .
A. T
21
.
16
B. T
3
.
2
C. T 0 .
D. T
Lời giải
Chọn D
Ta có: x x 1 f x x 2 f x x x 1 , x \ 1;0 .
x2
x2 2x
x2
, x \ 1;0 .
f x
f
x
2
x 1
x 1
x 1
x2
x2
f x
, x \ 1;0 .
x 1
x 1
x2
x2
dx
f x C , x \ 1;0 .
x 1
x 1
1
x2
x 1
d
x
f x C , x \ 1;0 .
x 1
x 1
x2
x2
x ln x 1 C
f x C .
2
x 1
x2
x2
x ln x 1 C
f x , x \ 1;0 .
2
x 1
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
3
.
16
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Ta có: f 1 2ln 2 1 và f 1 1 2ln 2 2C C 1 .
x2
x2
x ln x 1 1
f x .
2
x 1
3 3
3
3
9 3 3
f 2 .ln 3 và f 2 a b ln 3 a , b T a2 b .
4 4
4
4
16 4 16
Câu 39. Cho hàm số y f x liên tục trên
0;
thỏa mãn 3x. f x x 2 . f x 2 f 2 x , với
1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
3
hàm số y f x trên đoạn 1; 2 . Tính M m .
f x 0, x 0; và f 1
A.
9
.
10
B.
21
.
10
5
.
3
Lời giải
C.
D.
7
.
3
Chọn C
Ta có: 3x. f x x 2 . f x 2 f 2 x 3x 2 . f x x3 . f x 2 x. f 2 x
3 x 2 . f x x3 . f x
f 2 x
2 x vì f x 0, x 0; .
x 3
x3
2
x
2 xdx x 2 C .
f x
f x
Mà f 1
1
x3
C 2 f x 2
.
3
x 2
Ta có: f x
x3
x4 6x2
f
x
0, x 0; .
2
x2 2
x2 2
Vậy, hàm số f x
x3
đồng biến trên khoảng 0; .
x2 2
Mà 1;2 0; nên hàm số f x
x3
đồng biến trên đoạn 1; 2 .
x2 2
4
1
5
Suy ra, M f 2 ; m f 1 M m .
3
3
3
Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 1.
2
(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x e x x3 4x .
Hàm số F x 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6 .
B. 5 .
C. 3 .
Lời giải
D. 4 .
Ta có F x f x
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
F x 2 x f x 2 x . x 2 x 2x 1 x 2 x e
2x 1 x x 1 e
2
2
x x 4
2
2
2
x x x2 x 2 x2 x 2
2
2x 1 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 e
x x
2
x x 0 x 2; 1; 1 ;0;1
2
2
F x 2 x 0 có 5 nghiệm đơn nên F x 2 x có 5 điểm cực trị.
1 cos x sin x cot x dx và S
2
Câu 2.
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F x
sin 4 x
là tổng
tất cả các nghiệm của phương trình F x F trên khoảng 0;4 . Tổng S thuộc khoảng
2
A. 6 ;9 .
B. 2 ;4 .
C. 4 ;6 .
D. 0;2 .
Lời giải
Chọn
1 cos x sin x cot x dx 1 cos x sin x dx 1 cos x cot x dx
sin x
sin x
sin x
1 cos x cot x dx và B 1 cos x sin x dx
A
sin x
sin x
2
2
Ta có: F x
4
4
2
Gọi
2
4
2
4
4
Ta có:
1 cos x cot x dx 1 2 cot x cot x dx cot x 2 cot x .d cot x
sin x
sin x
2
A
2
3
4
2
cot 2 x cot 4 x
C1.
2
2
1 cos x sin x dx 1 cos x sin x dx
B
1 cos x
sin x
2
2
4
2
2
Đặt t cos x , suy ra dt sin x.dx . Khi đó:
B
1 t2
t
2
1
2
dt
1 t2
2
t 1 . t 1
2
dt
1 1
1
1 1
1
dt
C2
2
2
2 t 1 t 1
2 t 1 t 1
1
1
1
C2
2 cos x 1 cos x 1
Do đó:
1 1
1 cot 2 x cot 4 x
F x A B
C
2 cos x 1 cos x 1 2
2
Suy ra:
1 1
1 cot 2 x cot 4 x
F x F
C C
2 cos x 1 cos x 1 2
2
2
1
1
cot 2 x cot 4 x 0
cos x 1 cos x 1
2 cos x cos 2 x cos 4 x
0
sin 2 x sin 2 x sin 4 x
Với điều kiện sin x 0 ,
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
cos x 0
cos x 0
3
*
cos x
2
2
3
2 cos x
0
2 1 cos x cos x 1 cos x cos x 0
2
sin x
cos x 0
cos x 0
2
cos x 1 17
2
cos
x
cos
x
2
0
4
3
3
Theo giả thiết x 0;4 nên x ; x
; x 2 ; x
2 ;
2
2
2
2
x ; x 2 ;
x ; x 2 .
Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 .
Câu 3.
(Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số
f x
2cos x 1
trên khoảng 0; . Biết rằng giá trị lớn nhất của F x trên khoảng 0; là
sin 2 x
3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. F 3 3 4
6
2
B. F
3
3
2
C. F 3
3
Lời giải
5
D. F
6
3 3
Ta có:
2cos x 1
cos x
1
dx 2 2 dx 2 dx
2
sin x
sin x
sin x
d sin x
1
2
2
2 dx
cot x C
2
sin x
sin x
sin x
f x dx
Do F x là một nguyên hàm của hàm số f x
F x có công thức dạng F x
2cos x 1
trên khoảng 0; nên hàm số
sin 2 x
2
cot x C với mọi x 0; .
sin x
2
cot x C xác định và liên tục trên 0; .
sin x
2cos x 1
F ' x f x
sin 2 x
2cos x 1
1
0 cos x x k 2 k .
Xét F ' x 0
2
sin x
2
3
Xét hàm số F x
Trên khoảng 0; , phương trình F ' x 0 có một nghiệm x
3
Bảng biến thiên:
Facebook Nguyễn Vương 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
max F x F 3 C
0;
3
Theo đề bài ta có, 3 C 3 C 2 3 .
2
cot x 2 3 .
Do đó, F x
sin x
Câu 4.
Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x
x cos x sin x
. Hỏi đồ thị của hàm số y F x có
x2
bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4 ?
A. 2 .
C. 3 .
Lời giải
B. 1.
D. 0 .
Chọn C
Ta có F ' x f x
F ' x f x
x cos x sin x
trên 0; 4 .
x2
x cos x sin x
0 x cos x sin x 0 trên 0; 4 .
x2
Đặt g x x cos x sin x trên 0; 4 .
x
Ta có g ' x x.sin x 0 x 2 trên 0; 4 .
x 3
Từ đó có bảng biến thiên của g x :
x
-
g'(x)
g(x)
x1
π
0
0
+
2π
x2
3π
0
-
0
x3
4π
+
4π
2π
0
0
-π
0
0
-3π
Vì g x liên tục và đồng biến trên ; 2 và g .g 2 0 nên tồn tại duy nhất x1 ; 2
sao cho g x1 0 .
Tương tự ta có g x2 0 , g x3 0 với x2 2 ;3 , x3 3 ; 4 .
Từ bảng biến thiên của g x ta thấy g x 0 khi x 0; x1 và x x2 ; x3 ; g x 0 khi
x x1 ; x2 và x x3 ;4 . Dấu của f x là dấu của g x trên 0;4 .
Do đó ta có bảng biến thiên của F x :
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x
x2
x1
0
0
-
f(x)
+
0
x3
-
0
4π
+
CĐ
F(x)
CT
CT
Vậy hàm số y F x có ba cực trị.
Câu 5.
(Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x là nguyên hàm của hàm số f x
x cos x
. Hỏi đồ
x2
thị của hàm số y F x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. vô số điểm.
Lời giải
D. 0.
Chọn A
Vì F x f x nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f x để tìm cực trị hàm số đã cho.
Ta xét hàm số g x x cos x , ta có g x 1 sin x 0 x .
Vì vậy g x là hàm số đồng biến trên toàn trục số.
g 2 2 0
Hơn nữa ta có
, do đó g x 0 có duy nhất nghiệm ; .
2 2
g 0
2
2
Ta có bảng xét dấu
Kết luận hàm số đã cho có một cực trị.
Câu 6.
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số
y f ' x trên
5;3
như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol
y ax2 bx c ).
Facebook Nguyễn Vương 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Biết f 0 0 , giá trị của 2 f 5 3 f 2 bằng
A. 33.
B.
109
.
3
C.
35
.
3
D. 11.
Lời giải
Chon C
*)Parabol
y ax2 bx c qua các điểm 2;3 , 1;4 , 0;3 , 1;0 , 3;0 nên xác định được
y x2 2x 3, x 1 suy ra f x
f 0 0 C1 0, f x
x3 2
x 3x C1 . Mà
3
x3 2
x 3x .
3
5
22
; f 2
(1)
3
3
Có f 1
*)Đồ thị f ' x trên đoạn 4; 1 qua các điểm 4;2 , 1;0 nên
f ' x
2
2 x 2
x 1 f x x C2 .
3
3 2
Mà f 1
5
5 2 1
2 x 2
14
.
C 2 2 f x
x 2 , hay f 4
3
3
3 3 2
3 2
*) Đồ thị f ' x trên đoạn 5; 4 qua các điểm 4;2 , 5; 1 nên
f ' x 3x 14 f x
3x2
14x C3 .
2
2
Mà f 4
3. 4
14
14
82
14. 4 C3
suy ra C 3
.
3
2
3
3
Ta có f x
3x2
82
31
14x f 5 (2).
2
3
6
Từ (1) và (2) ta được 2 f 5 3 f 2
Câu 7.
31
35
.
22
3
3
f x
4 x 2 3 x và
x
f 1 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 2 là
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn f x
A. y 16 x 20 . B. y 16 x 20 .
C. y 16 x 20 .
D. y 16 x 20 .
Lời giải
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Chọn B
f x
f x
4 x 2 3 x xf x f x 4 x3 3 x 2 .
x
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf x 4 x3 3x 2 dx x 4 x3 C .
Với x 1 ta có: f 1 2 C .
Theo bài ra f 1 2 2 C 2 C 0 .
Vậy xf x x 4 x3 f x x3 x 2 .
Ta có: f x 3x 2 2 x ; f 2 16 ; f 2 12 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 2 là:
y 16 x 2 12 y 16 x 20 .
BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
/>Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) />
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
/>Tải nhiều tài liệu hơn tại: />ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!
Facebook Nguyễn Vương 25