tuyển tập bài tập môn toán 8 câu hỏi điểm 10 trong đề thi học kì có đáp án chi tiết

TUYỂN CHỌN BÀI TẬP ĐIỂM 10 TOÁN 8
PHẦN 1- ĐỀ BÀI
Bài 1:(HK1-THCS trưng nhị -hà nội 2017-2018)

x2 + y 2 + y 2

( y − z) + ( z − x) + ( x − y)
2

Rút gọn biểu thức:

2

2

biết

x+ y+ z = 0

Bài 2(HK1 huyện quốc oai hà nội 2019-2020)

cho

3
3
x − y = 2 .Tính giá trị biểu thức A = 2 ( x − y ) − 3 ( x + y )

2

Bài 3(HK1 THCS Nguyễn Trường tộ Hà nội 2018-2019)

 a 2 + b 4 + c 6 + d 8 = 1
 2016 2017 2018 2019
=1
Cho các số hữu tỉ a, b, c, d thảo mãn điều kiện  a + b + c + d
Tính giá trị biểu thức M

= a3 − a + 3b4 − 3b + 5c5 − 5c + 7d 6 − 7d

Bài 4(HK1 THCS Dịch vọng hà nội 2018-2019)

cho các số thực

x, y thỏa mãn đẳng thức: 5 x 2 + 8 xy + 5 x2 + 4 x − 4 y + 8 = 0

Tính giá trị biểu thức

P = ( x + y )8 + ( x + 1) + ( y − 1)
11

2018

Bài 5:(HK1 THCS văn yên hà nội 2018-2019)

cho số

x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tính giá trị của biểu thức

Bài 6 (HK1 Lương thế vinh hà nội 2018-2019)
cho

x, y thỏa mãn điều kiện 2 x 2 + 10 y 2 − 6 xy − 6 x − 2 y + 10 = 0

( x + y − 4) 2018 − y 2018
A=
tính giá trị biểu thức:
x
Bài 7:(HK1Vinschool-Hà Nội 2018-2019)

tính giá trị biểu thức

(1 −

1  1  1  
1 
)
1
−
1
−
....
1
−

÷
÷

÷
22  32   42   2017 2  .

Bài 8: (HK1-THCS Đại Mỗ - Hà Nội 2018-2019):

Cho các số thực

a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn:

a.b.c ≠ 0 và a 3 + b3 + c 3 = 3abc.

M=

1
1
1
+
+
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx


ab 2
bc 2
ca 2
P= 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2.
Tính giá trị của biểu thức
a +b −c b +c −a c +a −b
Bài 9: (HK1- THCS Archimedes Academy - Hà Nội 2018-2019):
Cho ba số thực

x, y, z thỏa mãn: 3x − 6 y + 2 z = − 4 và 3x − y − 3z = 1.

Tính giá trị của biểu thức :

S = 9x2 − 8 ( y 2 + z 2 ) .

Bài 10: (Giữa HK1 - Chuyên Amsterdam - Hà Nội 2018-2019):

a, b, c ≠ 0 sao cho

Cho các số

1
1 1 1
+ = + 2019.
2019 và a b c

a+ b = c+

1
1 
 1
P = (a 2019 + b2019 − c 2019 )  2019 + 2019 − 2019 ÷.
Tính giá trị của biểu thức :
b
c 
a
Bài 11: (HK1- Huyện Kinh Môn - Hà Nội 2018-2019):
Cho các số thực

x, y, z thỏa mãn : x + 2 y + 3z = 0 và 2 xy + 6 yz + 3zx = 0.

( x − 1) − ( 1 − y ) + ( 3z − 1)
S=
2018

2016
( x + 1) + 2 ( y − z ) + y 2014 + 1
Tính giá trị biểu thức
2019

2017

2015

Bài 12:(Huyện Đan Phượng Nà Nội 2017-2018)
Cho ba số

x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 xy − 4 xz + 2 yz − 6 y − 10 z + 34 = 0
tìm giá trị biểu thức

S = ( x − 4) 2020 + ( y − 4 )

2020

+ ( z − 4) 2020

Bài 13:(Quận Hồ Tây- Hà Nội 2017-2018)
Cho các số thực

x, y, z thỏa mãn đẳng thức : x 2 + y 2 + xy + 3x − 3 y + 9 = 0

Tính giá trị biểu thức

Q = ( x + y + 1)2017 + ( x + 2 )

2018

Bài 14:(THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 2016-2017)

Cho

xyz = 2016 .Tính giá trị biểu thức

Q=

2016 x
y
z
+
+
.
xy + 2016 x + 2016 yz + y + 2016 xz + z + 1

Bài 15:(HKI- THCS Cầu Giấy - Hà Nội 2016-2017)
Cho

ax + by + cz = 0 và a + b + c = 2016

bc ( y − z ) + ac ( z − x ) + ab ( x − y )
A=
Tính giá trị biểu thức
ax 2 + by 2 + cz 2
2

2

Bài 16:(HKI- THCS NGuyễn Trường Tộ-2015-2016)

2


1 1 1
+ + =0
Cho a, b, c đôi một khác nhau và a b c
Tính giá trị biểu thức

P=

1
1
1
+
+
a 2 + 2bc b2 + 2ac c 2 + 2ab

Bài 17 :(HKI- THCS nguyễn du - Hà Nội 2017-2018)

1 1 1
yz xz xy
+ + =0
A= 2 + 2 + 2
Cho x y z
tính giá trị biểu thức

x y z
Bài 18 :(HKI- THCS Cầu giấy - Hà Nội 2013-2014)

1
1
x+ = a
x5 + 5
Cho
tính theo a giá trị biểu thức sau
x
x
Bài 19:(HKI- Lương Thế Vinh- Hà Nội )

x > 0 và 4 x + y = 5 xy tính giá trị biểu thức

Cho y >

2

2

M=

xy
4x2 − y2

xy
4x2 − y2

M=

Tính giá trị biểu thức

Bài 20:(HKII-THCS Yên nghĩa- Hà Nội 2017-2018)

Biết

2 x > y > 0 và 4 x + y = 5 xy
2

2

tính giá trị biểu thức

M=

xy
4x − y2
2

Bài 22:(TLTV)
Cho

a, b đôi một khác nhau và a + b = 1

tính giá trị biểu thức M

= a3 + b3 + 3ab ( a 2 + b 2 ) + 6a 2b2 ( a + b )

Bài 23:(HKI- Hồ Tây - Hà Nội2019-2020 )

Biết

2 x + 2 y = 5 xy và 0 < x < y
2

2

tính giá trị biểu thức

P=

x− y
x+ y

Bài 24 :(HKI- THCS Nguyễn Du - Hà Nội 2019-2020)
Cho

x = by + cz, y = ax + cz , z =ax + by và x + y + z ≠ 0

tính giá trị biểu thức

P=

1
1
1
+
+
1+ a 1+ b 1+ c

Bài 25 :(HKI- Huyện Đan phượng - Hà Nội 2019-2020

1 1 1
2
1
+ + =3
−9= 2
Cho x, y , z Khác 0 thỏa mãn Đồng thời x y z
và xy
z
Tính giá trị biểu thức

P = ( x + 3 y + z)2019

Bài 26 :(HKI- THCS Lê Hồng Phong- Hà Nội 2019-2020)


Cho

2
2
2
a, b, c là ba số đôi một Khác nhau thỏa mãn ( a + b + c ) = a + b + c
2

a2
b2
c2
P= 2
+

+
Tính giá trị biểu thức
a + 2bc b2 + 2ac c 2 + 2ab
Bài 27 :(HKI- THCS Kim Chung - Hà Nội 2019-2020)
Cho các số

x, y thỏa mãn Đẳng thức: 3x 2 + 3 y 2 + 4 xy + 2 x − 2 y + 2 = 0

Tính giá trị biểu thức

P = ( x + y)

2019

+ ( x + 2)

2020

+ ( y + 2)

2021

Bài 28 (HKI- THCS Kim Chung - Hà Nội 2019-2020)
Cho

x 2 + 2 x − 1 = 0 Tính giá trị biểu thức M = x4 + 12 x + 2019

Bài 29 (HKI- THCS Kim Chung - Hà Nội 2019-2020)
Cho

a + b + c = 0 ( a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0 )

Tính giá trị biểu thức

A=

a2
b2
c2
+
+
a 2 − b 2 − c 2 b2 − c 2 − a 2 c 2 − a 2 − b2

Bài 30(TLTV)
Cho

a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện : a + b + c = 0, ab + bc + cd = − 6, abc = 1

Tính giá trị biểu thức

E = a 5 + b5 + c 5

Bài 31(TLTV)

1
1
1 1
+
+
=

Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 2009 và a + b b + c a + c 7
Tính giá trị biểu thức

P=

a
b
c
+
+
b+ c a+ c a+ b

Bài 32(TLTV)

1
1
1 1
+
+
=
Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 14 và a + b b + c a + c 7
Tính giá trị biểu thức

P=

c
b
a
++
+

a+ b
a+ c b+ c

Bài 33(TLTV)

1 1 1
+ + =1
Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 1 và a b a
Tính giá trị biểu thức

S = a 2021 + b 2021 + c 2021

Bài 34 (HKI- Chuyên AMS- Hà Nội 2019-2020)


1 1 1
+ + =1
Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a + b + c = 1 và a b c
1
1 
 1
P = ( a 2019 + b 2019 − c 2019 )  2019 + 2019 − 2019 ÷
Tính giá trị biểu thức
b
c 
a
Bài 35 (HKI- Quận Nam Từ Liêm - Hà Nội 2019-2020)
Cho các số x, y , z là các số thực khác 0 thỏa mãn đồng thời

x + y + z = 3 và x 2 + y 2 + z 2 = 9

2019

 yz zx xy 
P= 2 + 2 + 2÷
Tính giá trị biểu thức
x y z 
Bài 36(TLTV)

35 x − 29
A
B
=
+
2
Cho x − 3 x + 2 x − 1 x − 2 là một hằng đảng thức .Tính giá trị của A.B
Bài 37(TLTV): Cho

4a + b = 5ab và 2a > b > 0 .Tính
2

2

p=

ab
4a − b 2
2

Bài 38(TLTV)

a) Cho

a + b = 2 và a 2 + b2 = 20 .Tính giá trị biểu thức M = a3 + b3

b) Cho

a + b + c = 0 và a 2 + b2 + c 2 = 14 .Tính giá trị biểu thức N = a 4 + b 4 + c 4

Bài 39(TLTV): Cho a, b dương và

a 2000 + b2000 = a 2001 + b2001 = a 2002 + b2002

A = a 2011 + b2011

Tính giá trị biểu thức

 1  4 1  4 1 
 4 1
1 + ÷ 3 + ÷ 5 + ÷.......  29 + ÷
4 
4 
4
4

A= 
1
 4 1  4 1   4 1 

2 + ÷ 4 + ÷ 6 + ÷.......  304 + ÷


Bài 40 (TLTV) Tính giá trị của biểu thức:
4 
4 
4
4


Bài 41: (TLTV)
Cho các số

a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau:

a 3 − 3a 2 + 5a − 2011 = 0, b3 − 3b3 + 5b + 2005 = 0
Hãy tính

a+ b

Bài 42: (TLTV)
Cho các số nguyên

3
a, b, c thỏa mãn (a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) = 210

Tính giá trị của biểu thức:
Bài 43: (TLTV)Cho
Bài 44: (TLTV)

3

B = a− b + b− c + c− a

a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b3 + c 3 = 1 Tính S = a 2 + b2012 + c 2013


A = x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y − − ( x + y − 1) + 2 xy
2

Cho biểu thức :
Tính giá trị của biểu thức A với

x = 22011 , y = 16503

Bài 45: (TLTV)
Cho các số a; b; c thỏa mãn 12a − b 4
Tính giá trị của biểu thức

P=

= 12b − c 4 = 12c − a 4 = 2015

670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b
+
+
a
b
c

Bài 46(HK2 Quận Ba Đình –Hà Nội 2017-2018)
Cho a, b là các số thực thỏa mãn

a 2017 + b2017 = 2a 2018 .b2018

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức

P = 2018 − 2018ab luôn âm

Bài 47(HK1-Huyện thanh trì –Hà Nội 2018-2019):******
Tìm

2
2
x, y, y, z thỏa mãn bất đẳng thức sau: ( x − z ) + ( y − z ) + y + z = 2 xy − 2 yz + 6 z − 9
2

2

Bài 48 (HK1-THCS Nguyễn Trường Tộ -Hà Nội 2016-2017):
Tìm

x, y thỏa mãn đảng thức: x 2 + 6 y 2 + 2 xy + 2 x + 32 y + 46 = 0

Bài 49 (Giữa HK1-THCS Đông Hòa –Hà Nội 2019-2020):
Tìm các số nguyên

x, y, z biết: x3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2020

Bài 50 (Giữa HK1-Huyện Gia Lộc –Hải Dương 2019-2020):
Tìm các số

a , b, c ∈ Q

Biết

a 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc

và

a + b + c = 2019

Bài 51 (TLTV):
Cho ba số
Tìm

a , b, c

thỏa mãn:

a 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc

và

a 2019 + b 2019 + c 2019 = 32019

a, b, c

Bài 52 (Giữa HK1-THCS Lương Thế Vinh –Hà Nội 2019-2020):
Tìm

x, y , z

thỏa mãn:

2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 25 − 6 y − 2 xy − 8 x + 2 z ( y − x) = 0

Bài 53 (Giữa HK1-THCS Thị Trấn Gôi 2019-2020):
Cho ba số

x, y , z

thỏa mãn các điều kiện:

x + y + z = 6 và x 2 + y 2 + z 2 = 12
Tìm giá trị của

x, y , z

Bài 54 ( HK1-Chuyên AMSTERDAM Hà Nội 2019-2020):
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương

( a; b; c )

Thỏa mãn


Bài 55 (TLTV):
Tìm

x, y , z

Thỏa mãn phương trình sau:

9 x 2 + y 2 + 2 z 2 − 18 + 4 z − 6 y + 20 = 0

Bài 56 (TLTV):
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương

x, y, z Thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

x + y + z > 11 và 8 x + 9 y + 10 z = 100
Bài 57 (TLTV):
Tìm

x, y , z

biết :

x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx

x 2015 y 2015 + z 2015 = 320167

và

Bài 58 (HK1-THCS Minh Khai 2019-2020 hoặc Quận Nam Từ Liên 2016-2017)

a
b
c
+
+
=0

Cho a, b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: b − c c − a a − b
a
Chứng minh rằng ( b − c )

2

+

b

( c − a)

2

+

c

( a − b)

2

=0

Bài 59 ( HK1-THCS Cổ Nhuế II -Hà Nội 2017-2018):
Cho a, b, c ≠

0

và

a+ b+ c ≠ 0
1

Chứng minh rằng a

2017

+

1
b

2017

+

1 1 1
1
+ + =
.
thỏa mãn a b c a + b + c

1
c

2017

=

1
a

2017

+b

2017

+ c 2017

.

Bài 60 (Giữa HK1 Quận Tây Hồ -Hà Nội 2018-2019):
Cho các số

a, b dương thỏa mãn a 3 + b3 = 3ab − 1

Chứng minh rằng

a 2018 + b2019 = 2

Bài 61 (Giữa HK1-THCS Cầu Giấy – Hà Nội 2012-2013):
Cho

x = by + cz (1); y = ax+cz(2);z=ax+by(3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0

1
1
1

+
+
= 2.
Chứng minh đẳng thức 1 + a 1 + a 1 + a
Bài 62: (Giữa HK1-THCS Archimedes Academy-Hà Nội 2019-2020
Cho các số thỏa mãn:
Chứng minh rằng:

a+ b+ c = 0

a 2 ( 2a + b ) + c 2 ( 2c + b ) + b ( b 2 − 4ca ) = 0.

Bài 63 (Giữa HK1-THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2019-2020)
hoặc (HK1-THCS Quận Nam Từ Liêm-Hà Nội 2019-2020):

1 1 1
3
+
+
=
Cho a, b, c là ba số khác 0 thảo mãn: ( a + b + c ) = a + b + c Chứng minh: a 3 b3 c3 abc
2

2

2

2

1 1 1
1
+ + =
Bài 64: (TLTV): Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c a + b + c

1
Chứng minh a

2019

+

1
b

Bài 65: (TLTV): Cho

2019

+

1
c

2019

=

1
a

2019

+b

+ c 2019

2019

.

x + y = 1, x3 + y 3 = a, x5 + y 5 = b

.Chứng minh rằng

5a ( a + 1) = 9b + 1

Bài 66: (HK1-Huyện Thanh Trì – Hà Nội 2016-2020)

x
y
z
x2
y2
z2
+
+
=1
+
+

= 0.
Cho y + z z + x x + y
. Chứng minh y + z z + x x + y
Bài 67: (HK1-Chuyên AMSTERDAM – Hà Nội 2019-2020)

a
b
c
+
+
= 0.
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn b − c c − a a − b
a
Chứng minh rằng ( b − c )

2

+

b

( c − a)

2

+

c

( a − b)

2

= 0.

2
2
2
a b c
x y z
x
y
z
+ + =0
+ + =1
+ + = 1.
Bài 68: (TLTV)Cho a b c
và x y z
.Chứng minh rằng: a 2 b2 c 2

Bài 69: (TLTV) Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )
2

2

Chứng minh rằng

2

= 4 ( a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca ) .

a = b = c.

Bài 70: (TLTV): Cho x, y, z là các số khác không.

1 1 1
x6 + y 6 + z 6
x+ y+ z = + + =0
= xyz.
Chứng minh rằng: Nếu
thì x3 + y 3 + z 3
x y z
1 1 1
+ + =2
Bài 71: (TLTV) Chứng minh rằng: Nếu a b c
và
Bài 72: (TLTV) Chứng minh rằng: Nếu

a + b + c = abc

1 1 1
+ + = 2.
thì a 2 b 2 c 2

a + b = c thì a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2b2 + 2b2c 2 + 2c 2a 2 .

Bài 73: (TLTV)
a) Chứng minh rằng: Nếu

x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx

thì

x = y = z.

a 2 b2 c2 a c b
+ + = + +
b) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: b 2 c 2 a 2 c b a
Chứng minh rằng

a = b = c.

Bài 74: (TLTV)
Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0
Chứng minh rằng: Nếu

a + b + c = 0 thì:


a
b 
 a− b b− c c− a  c
+
+
+
+

÷
÷ = 9.
a

b  a− b b− c c− a
 c
Bài 75: (TLTV)
Chứng minh rằng:

a ( b − c) ( b + c − a) + c ( a − b) ( a + b − c) = b ( a − c) ( a + c − b) .
2

2

2

Bài 76: (TLTV)

a
b
c
+
+
= 0.
Cho 3 số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: b − c c − a a − b
a
Chứng minh rằng: ( b − c )

+
2

b

( c − a)

2

+

c

( a − b)

2

= 0.

Bài 77: (TLVL):
Cho a, b, c, d thỏa mãn
đúng:

a + b = 2cd . Chứng minh có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là

c 2 ≥ a; d 2 ≥ b.

a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.

Bài 78: (TLVL):Giả sử
Chứng minh:

a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca ) .

Bài 79: (TLVL): Chứng minh với mọi

2
2
a, b ta có: a + 5b − ( 3a + b ) ≥ 3ab − 5.

Bài 80: (TLVL):
Cho a, b là các số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:

a 3 + b3 = a 5 + b 5 .

a 2 + b 2 ≤ 1 + ab.

Bài 81: (TLVL):
a) Chứng minh:

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi số a, b, c.

bc ac ab
+ + ≥ a+ b+ c
b) Chứng minh: a b
với mọi số dương a, b, c.
c

Bài 82: (TLVL): Cho hai số

Bài 83: (TLVL): Cho hai số

a, b thỏa mãn a − b = 1.

1

a 2 + b2 ≥ .
Chứng minh
2

a, b thỏa mãn a + b = 1.

1
a 3 + b3 + ab ≥ .
Chứng minh
2

Bài 84: (KHI- THCS Cầu Giấy 2013-2014): Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn

x + y + z + xy + xz + yz = 6 Chứng minh rằng x3 + y 3 + z 3 ≥ 3
Bài 85: (KHI- THCS Đại Tự): Cho biểu thức
Chứng minh rằng nếu

a, b, c

A = 2a 2b2 + 2b 2c 2 + 2a 2c 2 − a 4 − b4 − c 4

là 3 cạnh của một tam giác thì

A> 0


Bài 86: (KHI- Huyện Quốc Oai -HN 2019-2020):
Chứng minh x

2

+ 5 y 2 − 4 xy + 2 x − 10 y + 14 > 0 ∀ x,y

Bài 87: (TLVL): Cho hai số dương

a, b thỏa mãn a + b ≥ 2 Chứng minh a3 + b3 ≤ a 4 + b4 .

Bài 88: (KHI- THCS Phan Chu Trinh -HN năm học 2019-2020):

Cho

A=

x4 ( y − z ) + y 4 ( z − x ) + z 4 ( x − y )

( x + y) + ( y + z ) + ( z + x)
2

2

2

trong đó

số nguyên dương

Bài 89: (TLVL): Cho

A=

x, y, z là các số nguyên và x > y > z . Chứng minh A là

a, b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh

a
b
c
+
+
≥3
b+ c− a a+ c− b a+ b− c

x
x2 y 2
+
+
4
≥
3
 +
2
x2
Bài 90: (TLVL): Cho x, y > 0 Chứng minh y
y

y
÷
x

Bài 91: (HKII- THCS Hoàng Liệt -HN 2017-2018): Cho 3 số dương

a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh

1 1 1
+ + ≥9
a b c
Bài 92: (TLTV): Cho 3 số dương

a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh

a
b
c
3
+
+
≤
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4
1
1
2
+ 2 ≥
.
Bài 93: (TLVL): Cho các số x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1. Chứng minh rằng: x + 1 y + 1 1 + xy
2

Bài 94: (TLVL):

1
1

1
1
+ 3 3
+ 3 3
≤
.
3
Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

2

 1
x+ ÷
x
Bài 95: (TLVL):Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh rằng: 

x y
+ ≥2
Bài 96: (TLVL): Chứng minh bất đẳng thức sau: y x
(Với

x, y cùng dấu)

Bài 97: (TLVL):
Cho

a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc = 1.

1

1
1
3
+ 3
+ 3
≥ .
Chứng minh rằng: a ( b + c ) b ( c + a ) c ( a + b ) 2
3

2

 1
+  y + ÷ ≥ 8.
y



Bài 98: (TLVL):
Cho các số thực dương

x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3.

1
1
1
3
+ 2
+ 2 ≥ .
Chứng minh rằng: x + x y + y z + z 2
2

a+ b
b+ c
c+ a 1 1 1
+
+
≤ + + .
2
2
Bài 99: (TLVL): Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh: ab + c bc + a ca + b 2 a b c

Bài 100: (HK2 – THCS Nam Trung Yên – Hà Nội 2017-2018):

a b c 1 1 1
+ + ≥ + + .
Cho 3 số dương a, b, c . Chứn minh rằng: b 2 c 2 a 2 a b c
Bài 101: (HK2 – THCS Ban Mai):
Với

a)

a, b, c là các số dương. Chứng minh:

( a + b + c ) 

1 1 1
+ + ÷ ≥ 9.
a b c

a

b
c
3
+
+
≥ .
b) b + c c + a a + b 2

Bài 102: (Giữa HK2 – THCS Chu Văn An – Hà Nội 2016-2017):

1 1 1
+ + = 4.
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x y z
Chứng minh

A=

1
1
1
+
+
≤ 1.
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Bài 103: (HK2 – Quận Tây Hồ - Hà Nội 2017-2018):
Cho

a, b là 2 số dương.
5

5

 a  b
 1 + ÷ +  1 + ÷ ≥ 64.
Chứng minh rằng:  b   a 
Bài 104: (HK2 – THCS Nguyễn Trường Tộ - Hà Nội 2017-2018):

1
x4 + y 4 > .
Cho x + y > 1. Chứng minh
8
Bài 105: (HK2 – THCS Trưng Vương - Hà Nội 2017-2018):
Cho ba số thực dương

a, b, c thỏa mãn: a + 2b + 3c ≥ 20.

3 9 4
A= a+ b+ c+ + + .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a 2b c
Bài 106: (HK2 – THCS Trưng Vương - Hà Nội 2016-2017):


1
2ab
3
+ 2
≥
.

Cho a, b > 0 và a + 2b = 1. Chứng minh: 8ab a + 4b 2 2
Bài 107: (HK2 – THCS Lê Quý Đôn - Hà Nội 2017-2018):
Cho

a, b, c là các số không âm có tổng bằng 1.

Chứng minh

b + c ≥ 16abc.

Bài 108: (HK1 – THCS Mỹ Đình II - Hà Nội 2018-2019):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 4 y + 1014.

Bài 109: (Giữa HK1 – Quận Hà Đông - Hà Nội 2018-2019):
Cho

a, b, c thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 27 và a + b + c = 9.

Tính giá trị của biểu thức:

B = ( a − 4)

2018

+ ( b − 4)

2019

+ ( c − 4)

2020

.

Bài 110: (HK1 – Huyện Đan Phượng - Hà Nội 2018-2019):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 5 x 2 + 9 y 2 − 12 xy + 24 x − 48 y + 81.

Bài 111: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh - Hà Nội 2016-2017):
Bài 112: (HK1 – THCS Lê Ngọc Hân - Hà Nội 2016-2017):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a + 2.

Bài 113: (HK1 – THCS Nguyễn Trường Tộ - Hà Nội 2015-2016):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = x 2 + 2 xy + 2 y 2 − 2 y − 2.

Bài 114: (Giữa HK2 – THCS Nghĩa Tân - Hà Nội 2017-2018):
Cho

x 2 + y 2 + z 2 = 2020. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2 xy − yz − zx.

Bài 115: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh - Hà Nội 2014-2015):

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Q=

2x + 1
.
x2 + 2

Bài 116: (GVTV):

4x2 − 8x + 5
C=
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
x2 + 1
x2 − 8x + 5
A=
.
Bài 117: (GVTV): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2 + 1
Bài 118: (GVTV):Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 119: (GVTV):Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức:

B=
D=

Bài 120: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh 2013-2014):

− x2 − 8x + 5
.

x2 + 3
x2 + x + 5

( x − 2)

2

.


3x 2 + 2 xy
A= 2
.
Cho x, y là các số thực khác 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x + 2 xy + y 2
Bài 121: (HK2 – THCS Nguyễn Công Trứ - Hà Nội 2017-2018):

A=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 x2 − 2x + 9
.
x2 + 2x + 5

Bài 122: (HK2 – Huyện Thanh Oai - Hà Nội 2017-2018):

M = 2 x 2 + 5 y 2 − 2 xy + 2 y + 2 x.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 123: (HK1 – Chuyên Amsterdam 2013-2014):
Cho

x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

C = ( x 2 + 4 y ) ( y 2 + 4 x ) + 8 xy.

Bài 124: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh 2011-2012):

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=

4x + 3
.
x2 + 1

Bài 125: (HK2 – THCS Đoàn Thị Điểm 2017-2018):

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

A=

3 − 4x
.
x2 + 1

Bài 126: (HK1 – Chuyên Amsterdam 2012-2013):
a) Cho các số

x, y thỏa mãn: 2 x + 3 y = 13. Tính GTNN của Q = x2 + y 2 .

x2 + 3
S=
.
b) Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x+1
Bài 128: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh – Hà Nội):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

T = − 2 x 2 − 4 y 2 − 4 x + 12 y + 4 xy + 2002.

Bài 128: (HK1 – THCS Ngô Sĩ Liên – Hà Nội):
Cho

x, y, z là các số thực thỏa mãn: − 2 ≤ x, y, z ≤ 5 và x + 2 y + 3z ≤ 9.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 .

Bài 129: (HK1 – THCS Quỳnh Mai – Hà Nội 2017-2018):

x 2 − 2 x + 2018
S=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với x > 0.

x2
Bài 130: (TLTV):

7
2
2
2
x
+
y
+
z
=
.
Cho các số x, y, z dương thỏa mãn:
4


Tìm giá trị nhỏ nhất của

M=

1
1 1
+
+ .
16 x 2 4 y 2 z 2

Bài 131: (HK1 – Quận Tây Hồ - Hà Nội 2018-2019):
Cho các số

x, y, z dương thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của

M=

1
1 1
+
+ .
16 x 2 4 y 2 z 2

Bài 132: (HK2 – Chuyên AMS - Hà Nội 2017-2018):
Với hai số dương

x, y thay đổi thỏa mãn x + 2 y ≤ 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của

P=

1
1
+
.
2
x + 4 y 2 xy
2

Bài 133: (Giữa HK1 – THCS Quang Trung – Nam Định 2019-2020):
Cho

x, y là 2 số thực tùy ý.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x 2 + 5 y 2 + 4 xy + 6 x + 16 y + 32.

Bài 134: (Giữa HK1 – THCS Thượng Cát – Hà Nội 2019-2020):
Cho

x + y = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + y 2 .

Bài 135: (Giữa HK1 – THCS Thanh Xuân – Hà Nội 2019-2020):
Cho

x, y là 2 số thực thỏa mãn x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

M = x2 + y 2 .

Bài 136: (Giữa HK1 – Huyện Thuận Thành – Bắc Ninh 2019-2020):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 2 x 2 + 10 x − 1.

Bài 137: (Giữa HK1 – THCS Yên Phong – Bắc Ninh 2019-2020):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 5x 2 + y 2 − 4 xy − 2 y + 2013.

Bài 138: (TLTV):

1 1 1
+ + = 3.
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a b c
Tìm giá trị nhơ nhất của biểu thức:

P=

1 1 1
+ + .
a 2 b2 c 2

Bài 139: (Giữa HK1 – Quận Hà Đông – Hà Nội 2017-2018):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = −2 x2 − 10 y 2 + 4 xy + 4 x + 4 y + 2013.

Bài 140: (HK1 – THCS – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2019-2020):
Cho các số thực

x, y thỏa mãn: x 2 + y 2 = 5.


Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

P = 3x 2 − 4 xy.

Bài 141: (HK1 – THCS – THPT Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2019-2020):
Cho

x, y ∈ ¡

và

x ≠ y.

x 2 − 6 xy + 6 y 2
P= 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x − 2 xy + y 2 .
Bài 142: (HK1 – THCS Trung Sơn Trầm – Hà Nội 2019-2020):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = x 2 − 2 xy + 6 y 2 − 12 x + 2 y + 45.

Bài 143: (HK1 – THCS Thạch Thất – Hà Nội 2019-2020):

Q=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 x2 + 2

( x + 1)

2

.

Bài 144: (HK1 – THCS Nguyễn Công Trứ – Hà Nội 2019-2020):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 2 x 2 + 5 y 2 + 4 xy − 8 x + 4 y + 2020.

Bài 145: (HK1 – THCS Thanh Xuân – Hà Nội 2019-2020):

Tìm

x

x 2 − 2 x + 1995
A=
.
để A đạt giá trị nhỏ nhất:
x2

Bài 146: (HK1 – Phòng GD – ĐT Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc 2016-2017):
Cho

x và y thỏa mãn x 2 + 2 xy + 6 x + 6 y + 2 y 2 + 8 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

B = x + y + 2016.

Bài 147: (Giữa HK1 – THCS Ngôi Sao – Hà Nội 2019-2020):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = 2 + 2 xy + 14 y − x2 − 5 y 2 − 2 x.

Bài 148: (TLTV):

4 5
+ ≥ 9.
Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn x 2 y 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q = 2x2 +

6
8
+ 3y2 + 2 .
2
x
y

Bài 149: (TLTV):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 6 x − 8 y + 2024.

Bài 150: (TLTV):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B = xy ( x − 2 ) ( y + 6 ) + 12 x 2 − 24 x + 3 y 2 + 18 y + 2045.

Bài 151: (TLTV):

Cho

a ≥ 0; b ≥ 0; thỏa mãn 2a + 3b ≤ 6 và 2a + b ≤ 4.


Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

A = a 2 − 2a − b.

Bài 152: (TLTV):
Cho số thực

x thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 1.

x2 1 − x2
P=
+
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
2 − x2 1 + x2
Bài 153: (TLTV):

x2 − x + 1
B= 2
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
x + x+1
Bài 154: (TLTV):
Cho hai số thực dương

x, y thỏa mãn x + y ≥ 10.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 2x + y +

30 5
+ .
x y

Bài 155: (TLTV):

1
1
1
+
+
= 2.
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: 1 + a 1 + b 1 + c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q = abc.

Bài 156: (TLTV):

Cho

x, y, z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=

x
y
z
+
+
.
y+ z z+ x x+ y

Bài 157: (Giữa HK2 – THCS Minh Khai – Hà Nội 2015-2016):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 8 x 2 + 3 y 2 − 8xy − 6 y + 21.

Bài 158: (HK2 – THCS Lương Thế Vinh– Hà Nội):

2x2 − 4 x + 7
A= 2
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x − 2x + 2
Bài 159: (HK2 – THCS Phúc Diễn – Hà Nội 2017-2018):
Cho

x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 y.

x2 + 2 y 2
M=
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

xy
Bài 160: (HK2 – THCS Nghĩa Tân – Hà Nội 2017-2018):
Cho

x > 1, y > 1 và x + y = 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = 3x + 4 y +

5
9
+
.
x − 1 y −1


Bài 161: (HK1 – THCS Mĩ Đình I – Hà Nội 2018-2019):
Ông Văn có 24m hàng rào rất đẹp. Ông muốn rào một sân vườn hình chữ nhật để đạt được diện tích
lớn nhất. Vườn ngay sát tường nhà để một chiều không phải rào. Hỏi kích thước sân đó là bao nhiêu?
Bài 162: (TLTV):

f ( x) = x3 + 2ax 2 + 4 x − 3b. Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức f ( x) cho đa thức

Cho đa thức

x − 3 ta được dư là -5 và khi chia đa thức f ( x) cho đa thức x + 1 ta được dư là -1.
Bài 163: (HK1 – THCS Thống Nhất – Quận Ba Đình – Hà Nội):
Xác định các hệ số a,b sao cho:

x 4 +ax 2 + b chia hết cho x 2 + x + 1.

Bài 164: (TLTV):

a3 + b3 + c 3 + 5a + 5b + 5c M6 với mọi a, b, c∈ Ζ

Chứng minh:
Bài 165: (TLTV):

Cho các số tự nhiên

a, b, c, d thỏa mãn a > b > c > d .

A = ( a − b ) ( a − c ) ( a − d ) ( b − c ) ( b − d ) ( c − d ) M12.

Chứng minh:
Bài 166: (TLTV):

Cho các số nguyên
Chứng minh

a, b, c thỏa mãn a + b + c M6.

a3 + b3 + c3 M6.

Bài 167: (Giữa HK1 – Chuyên AMS – Hà Nội 2017-2018):
Cho 3 số nguyên

a, b, c có tổng chia hết chi 6.

Chứng min rằng

M = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) − 2abc M6.

Bài 168: (Giữa HK1 – THCS Hoàng Hoa Thám – Hà Nội 2019-2020):
Chứng minh rằng:

A = n3 + ( n + 1) + ( n + 2 ) M9 với mọi n∈ Ν
3

3

.

Bài 169: (HK1 – THCS Thăng Long – Hà Nội 2019-2020):
Tìm a,b biết: Đa thức

ax 2 + bx + 1 chia hết cho đa thức x + 1 và chia cho đa thức x − 1 thì dư 3.

Bài 170: (TLTV):
Giả sử a,b là 2 số nguyên tố cung nhau với số 3 và
chia hết cho

a + b chia hết cho 3. Chứng minh rằng xa + xb + 1

x 2 + x + 1.

Bài 171: (TLTV):
2
A =  n3 ( x 2 − 7 ) − 36n  M7

Chứng minh rằng

 với

∀ n∈ Z

Bài 172: (TLTV):
Chứng minh rằng nếu

x 4 − 4 x3 + 5ax 2 − 4bx + c chia hết cho x3 + 3x 2 − 9 x − 3 thì a + b + c = 0.


Bài 173: (TLTV):

S = ( n 2 + n − 1) − 1 chia hết chi=o 24 với mọi số nguyên n.
2

Chứng minh rằng biểu thức
Bài 174: (TLTV):
Tìm a,b để f(x) =

ax3 + bx 2 + 10 x − 4 chia hết cho đa thức g(x) = x 2 + x − 2.

Bài 175: (TLTV):
Cho đa thức f(x) =
cho giá trị của đa thức

ax3 − 3x 2 + 3x − 4. Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức f(x) chia hết
x 2 + 2.

Bài 176: (TLTV):
Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho
được thương là

x − 2 dư 5; f(x) chia cho x − 3 dư 7; f(x) chia cho ( x − 2 ) ( x − 3)

x 2 − 1 và đa thức dư bậc nhât đối với x.

Bài 177: (TLTV):
2
Chứng minh f(x) = ( x + x − 1)

2018

+ ( x 2 − x + 1)

2018

− 2 cha hết cho g(x) = x 2 − x.

Bài 178: (TLTV):
Cho đa thức f(x) =

x 2 + px + q với p, q ∈ Ζ .

Chứng minh tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009).
Bài 179: (TLTV):
Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f(1)=5; f(2)=11; f(3)=21. Tính f(-1)+f(5).
Bài 180: (TLTV):
Tìm dư khi chia f(x)

= x 2015 + x1945 + x1930 − x 2 − x + 1 cho x 2 − 1.

Bài 181: (TLTV):
Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0)và f(1) là các số lẻ , chứng minh rằng đa thức f(x)
không có nghiệm nguyên.
Bài 182: (TLTV):
Chứng minh rằng

a 5 − a M30 với mọi số nguyên a.

Bài 183: (TLTV):
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho
được thương là

x + 2 dư 10, f(x) chia cho x − 2 dư 24, f(x) chia cho x 2 − 4

− 5x và còn dư.

Bài 184: (Giũa HK1 – Huyện Đan Phượng – Hà Nội 2019-2020):
Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là số chính phương.
Bài 185: (Giữa HK1 – Quận Hà Đông – Hà Nội 2019-2020):
Cho

x, y ∈ Ζ .

Chứng minh:

N = ( x − y ) ( x − 2 y ) ( x − 3 y ) ( x − 4 y ) + y 4 là số chính phương.

Bài 186: (HK1 – THCS Ngôi Sao – Hà Nội 2019-2020):

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để

M=

( n + 1) ( 4n + 3)
3

là số chính phương.

Bài 187: (Giữa HK1 – THCS Ngôi Sao – Hà Nội 2019-2020):
Tìm tất cả các số nguyên dương n để

B = 2n + 3n + 4n là số chính phương.

Bài 188: (TLTV):
Cho các số nguyên
phương.

a, b thỏa mãn: a 2 + b 2 + 2ab − 7a + 2b + 1 = 0 . Chứng minh rằng a là số chính

Bài 189: (TLTV):
Cho

a, b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp.

Chứng minh rằng:

A = ab − a − b + 1 chia hết cho 192.

Bài 190: (TLTV):
Tìm số tự nhiên

x sao cho x 2 + 2 x + 200 là số chính phương.

Bài 191: (TLTV):
Cho

2
a, b, c là các số tụ nhiên thỏa mãn các điều kiện: a − b là số nguyên tố và 3c = c ( a + b ) + ab.

Chứng minh rằng

8c + 1 là số chính phương.

Bài 192: (TLTV):
Cho

P = n4 + 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.

Bài 193: (TLTV):
Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết:

p = n3 − n 2 + n − 1.

Bài 194: (TLTV):
a) Chứng minh ∀ n ∈ Ν ∗ thì n3 + n + 3 là hợp số.
b) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng

là một số chính phương lẻ.
Bài 195: (TLTV):
Nếu
phương.

m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m2 + m = 5n2 + n thì m − n và 5m + 5n + 1 đều là số chính

Bài 196: (Giữa HK2 – THCS Thành Công – Hà Nội 2017-2018):

x+ 2 x+1
=
(1)
Cho phương trình x − m x − 1

(Với m là tham số)

a) Tìm m để phương trình (1) nhận x = 4 là nghiệm của phương trình.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 197: (Giữa HK2 – Quận Tây Hồ – Hà Nội 2017-2018):


3

3
 1
1 + ÷ ( 1 + x ) = 16.

Giải phương trình: 
x

Bài 198: (Giữa HK2 – THCS Minh Khai – Hà Nội 2016-2017):

x+ 3 x+ m
=
Giải và biện luận phương trình x − 1 x + 1 (ẩn x) theo tham số m.
Bài 199: (Giữa HK2 – THCS Yên Hòa – Hà Nội):

2m − 1
= m− 2
Hãy giải và biện luận phương trình x − 1
theo tham số m.
Bài 200: (TLTV):

x− m x−3
+
= 2.
Tìm m để phương trình có nghiệm (m là tham số) x + 3 x + m
Bài 201: (TLTV):

x 4 + 3x 3 + 4 x 2 + 3x + 1 = 0.

Giải phương trình
Bài 202: (TLTV):

x 4 + 4 x + 6 x 2 + 16 x + 72 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 12 x + 42
+
=
+
.
Giải phương trình

x+2
x +8
x+4
x+6
Bài 203: (TLTV):

9x
x
− 2
= 8.
Giải phương trình 2 x + x + 3 2 x − x + 3
2

Bài 204: (TLTV):

1
1
1
1
+ 2
+ 2
= .
Giải phương trình x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 18
2

Bài 205: (TLTV):
2
2
2
 x+ 3

 x − 3  7 ( x − 9)
= 0.

÷ + 6
÷ − 2
Giải phương trình  x − 2 
x −4
 x+ 2

Bài 206: (Giữa HK2 – Quận Hà Đông – Hà Nội 2017-2018):
Tìm x, y nguyên thỏa mãn

x 2 + y 2 = x + 6.

Bài 207: (HK2 – THCS Trần Đằng Ninh – Hà Nội 2017-2018):
Tìm (x, y) nguyên thỏa mãn phương trình:

10 x 2 + 20 y 2 + 24 xy + 8 x − 24 y + 52 = 0.
Bài 208: (TLTV):
Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:

(x
Bài 209: (TLTV):

2

+ 4 y 2 + 28 ) = 17 ( x 4 + y 4 + 14 y 2 + 49 )
2

Tìm các nghiệm nguyên x, y thỏa mãn

x3 + 2 x 2 + 3x + 2 = y 3 .

Bài 210: (TLTV):

x 2 + y 2 = 3 − xy.

Giải phương trình nghiệm nguyên:
Bài 211: (TLTV):

Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình:

3x 2 + 6 y 2 + 3z 2 + 3 y 2 z 2 − 18 x − 6 = 0.
Bài 212: (TLTV):

x 2 + x − y 2 = 0.

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
Bài 213: (TLTV):

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 .

Bài 214: (TLTV):
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn

3xy + x + 15 y − 44 = 0.

Bài 215: (TLTV):
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x2 + ( x + y ) = ( x + 9) .
2

2

Bài 216: (TLTV):
Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn:

y ( x − 1) = x 2 + 2.

Bài 217: (TLTV):
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19.

Bài 218: (TLTV):

1 1 1 1
+ +
= .
Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 2 xy 2
Bài 219: (TLTV):
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

x3 + 2 x 2 + 3x + 2 = y 3 .

Bài 220: (TLTV):

Giải phương trình nghiệm nguyên:

x 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0.

Bài 221: (TLTV):
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

x 2 + 2 xy + 7 ( x + y ) + 2 y 2 + 10 = 0.

Bài 222: (TLTV):
Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

y 2 + 2 xy − 3 x − 2 = 0.

Bài 223: (HK2 – Huyện Thanh Trì – Hà Nội 2017-2018):


Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:

x3 + 3x = x 2 y + 2 y + 5.

Bài 224: (TLTV):

Cho ba số

a, b, c thỏa mãn: a + b + c =

Chứng minh rằng trong ba số

1 1 1

1
+ + =
.
2018 và a b c 2018

a, b, c có ít nhất một số bằng 2018.

Bài 225: (HK1 – THCS Ngôi Sao – Hà Nội 2019-2020):

n2 + n
A=
.
Cho phân số
n + 5 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: 1 ≤

chưa tối giản.

n ≤ 2019 sao cho phân số A

Bài 226: (HK1 – Quận 1 – HCM 2018-2019):

Giữa 2 điểm A, B là một hồ nước. Biết A, B lần lượt là trung điểm của MC, MD (xem hình vẽ). Bạn
Mai đi từ C đến D với vận tốc 160m/phút hết 1 phút 3 giây. Hỏi hai điểm A và B cách nhau bao nhiêu
mét?
Bài 227: (Giữa HK2 – THCS Minh Khai – Hà Nội 2017-2018):
Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng lập phương của 3 số đầu bằng lập phương của số thứ tư.
Bài 228: (HK2 – THCS Cầu Diễn – Hà Nội 2011-2012):
Cho tam giác
Khoảng cách từ

ABC vuông tại A có diện tích là 100cm2 . M là một điểm thuộc cạnh huyền BC.

M đến hai cạnh góc vuông lần lượt là 4cm và 8cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông.

Bài 229: (TLTV):
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số
đo chu vi.
Bài 230: (TLTV):

∆ ABC đều. Gọi M , N lần lượt là điểm nằm trên các cạnh AB, BC sao cho BM = BN . Gọi G là
trọng tâm ∆ BMN và I là trung điểm của AN . Tính các góc của tam giác ICG.
Cho

Bài 231: (TLTV):
Cho
với

∆ ABC ( AB < AC ) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song

AD cắt AC tại E và cắt AB tại F . Chứng minh BF = CE.

Bài 232: (TLTV):


Cho tư giác lồi ABCD . TÌm tập hợp điểm O nằm trong tứ giác sao cho hai tứ giác OBCD và OBAD
có diện tích bằng nhau.
Bài 233: (HK1 – Huyện Bình Giang – Hải Dương 2013-2014):
Cho

x, y thỏa mãn: 2 x 2 + y 2 + 4 = 4 x + 2 xy.

Tính giá trị của biểu thức

A = x 2013 y 2014 − x 2014 y 2013 + 25 xy.

Bài 234: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh – Hà Nội 2015-2016):
Cho các số dương

x, y , z

Tính giá trị biểu thức

thỏa mãn

T=

x3 + y 3 + z 3 = 3xyz.

x10 + y10 + z10

( x + y + z)

10

.

Bài 235: (HK1 – Huyện Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2016-2017):
Cho

2

2
2
a, b, c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: ( a + b + c ) = a + b + c .
2

a2
b2
c2
P= 2
+
+
.
Tính giá trị biểu thức:
a + 2bc b2 + 2ca c 2 + 2ab
Bài 236: (TLTV):

x − 17
Tìm số nguyên x sao cho x − 9 là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 237: (TLTV):
Tìm một số có 8 chữ số:

a1a2 ...a8 thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:

( )

2

( )

3

a1a2a3 = a7 a8 và a4 a5a6 a7 a8 = a7 a8 .
Bài 238: (TLTV):
Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ BH vuông góc với AC (H thuộc AC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AH và CD. Chứng minh BM vuông goc với MN.
Bài 239: (TLTV):
Cho P là 1 điểm nằm bên trong hình chữ nhật ABCD sao cho PA=3cm, PD=4cm, PC=5cm. Tính độ
dài đoạn thẳng PB.
Bài 240: (TLTV):
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AD lấy điểm F. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt

1
1
1
=
+
.
DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. Chứng minh rằng: AD 2 AM 2 AN 2
Bài 241: (TLTV):
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ
AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. Biết diện tích tam giác
BCH gấp 4 lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC=2EF.
Bài 242: (TLTV):
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trục tâm.


HA ' HB ' HC '
+
+
.

Tính tổng AA BB ' CC '
Bài 243: (TLTV):
Tính diện tích hình thang ABCD (AB//CD), biết AB=42cm,
thang bằng 18cm.

µA = 45° , Bµ = 60° , chiều cao của hình

Bài 244: (TLTV):
Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho

NC NB
=
+ 1.
NM=MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: AN AB
Bài 245: (TLTV):
Cho

∆ ABC , phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần lượt lấy điểm E

BE BF AB 2
· = FAD
· . Chứng minh: CE . CF = AC 2 .
và F sao cho EAD
Bài 246: (TLTV):
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AN=CM.
Gọi K là giao của AN và CM. Chứng minh: KD là tia phân giác của góc AKC.
Bài 247: (TLTV):
Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2AD. Trên cạnh BC lấy điểm P, đường thẳng AP cắt DC tại điểm F.

1

1
1
= 2+
.
2
Chứng minh rằng AB
AP 4 AF 2
Bài 248: (TLTV):
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC
sao cho

·
BNM
= 90° . Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh: FB ⊥ AC.

Bài 249: (TLTV):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm M trong tam giác sao cho tổng các bình phương các
khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác đạt giác trị nhỏ nhất.
Bài 250: (TLTV):
Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D kẻ đường thẳng
song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại
điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.

PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:(HK1-THCS Trưng Nhị -hà nội 2017-2018)


x2 + y2 + y2

x2 + y2 + y 2

=
2
2
2
y
−
z
+
z
−
x
+
x
−
y
) ( ) (
) 2 ( x 2 + y 2 + y 2 ) − 2 ( yz + zx + xy )
Ta có: (

x + y + z = 0 ⇔ ( x + y + z ) = 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = − 2 ( xy + yz + xz )
2

mà

x2 + y 2 + y 2
do đó: ( y − z ) + ( z − x ) + ( x − y )
2

2

2

=

− 2 ( xy + yz + xz )
1
=
− 4 ( xy + yz + xz ) − 2 ( yz + zx + xy ) 3

Bài 2(HK1- Huyện Quốc Oai -Hà Nội 2019-2020)

A = 2 ( x3 − y 3 ) − 3 ( x + y ) = 2 ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) − 3 ( x 2 + 2 xy + y 2 )
2

Ta có:

x − y = 2 ⇒ ( x − y ) = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 4 + 2 xy
2

mà

.

⇒ A = 4 ( 4 + 2 xy + xy ) − 3 ( 4 + 2 xy + 2 xy ) = 16 + 12 xy − 12 − 12 xy = 4
Bài 3(HK1 THCS Nguyễn Trường tộ Hà nội 2018-2019)
ta có:

a 2 ≥ 0; b 4 ≥ 0; c6 ≥ d 8 ≥ 0

và

a 2 + b 4 + c 6 + d 8 = 1 ⇒ a 2 ≤ 1; b4 ≤ 1; c8 ≤ 1; d 8 ≤ 1

( *)

⇒ − 1 ≤ a, b, c, d ≤ 1

 a 2 + b 4 + c 6 + d 8 = 1
 2016 2017 2018 2019
+b +c +d =1
Ta có:  a
⇒ a 2 − a 2016 + b 4 − b 2017 + d 8 − d 2019 = 0

⇒ a 2 ( 1 − a 2014 ) + b 4 ( 1 − b 2013 ) + c 6 ( 1 − c 2012 ) + d 8 ( 1 − d 2011 ) = 0
kết hợp với (*) thì đẳng thức này có vế trái là các sô không âm, do đó đẳng thức chỉ thỏa mãn khi các số hạng đồng
thời bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi

a, b, c, d thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1:

a= b= c= d = 0

( không xảy ra vì trái với giả thiết)

+) Trường hợp 2:

a= b= c= d =1

( không xảy ra vì trái với giả thiết)

+ Trường hợp 3: Trong 4 số
vì trái với giả thiết)

a, b, c, d có nhiều nhất 2

hoặc 3 số) cùng bằng 1 và sô còn lại bằng 0 ( không xảy ra

( a, b, c, d ) thuộc một trong các bộ tương ứng sau:
( 1;0;0;0) ; ( 0;1;0;0 ) ; ( 0;0;1;0 ) ; ( 0;0;0;1) thỏa mãn điều kiện.

+ Trường hợp 4: Bộ số

Với bộ số

( a , b , c, d )

tương ứng ta luôn có

M=0

Bài 4(HK1 THCS Dịch vọng hà nội 2018-2019)