MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS LŨNG HÒA
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9.

.

Tác giả sáng kiến : Lê Thị Thanh Hương
* Mã sáng kiến: 28

LŨNG HÒA, THÁNG 2 NĂM 2020


MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu.........................................................................................................2
2. Tên sáng kiến:.......................................................................................................3
3. Tác giả sáng kiến:.................................................................................................3
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:...............................................................................3
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:...............................................................................3
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:.............................3
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:...........................................................................3
7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu.............3
7.2. Hệ thức vi-ét và một số ứng dụng trong giải toán...........................................5
8. Những thông tin cần được bảo mật: ................................................................21
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:...........................................21
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề...22

10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả :......................................................................................22
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến tổ chức cá nhân................................................................................22
10.3.Kết luận........................................................................................................23
11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu....................................................................................................25
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................26

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ
sở, là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã
hội. Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kỹ năng tính toán cần
thiết mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy logic, một phương
pháp luận khoa học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận
dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán
học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lý thuyết còn phải
chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải mốt số bài toán,nhưng để nắm
vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến
thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo
và kinh nghiệm đã tích lũy được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông
qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã học
vào giải bài tập, kỹ năng trình bày, kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng
dạy học. Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng, tượng sáng tạo, rèn khả

năng phán đoán, suy luận của học sinh.
Các bài toán ứng dụng hệ thức vi-ét có vị trí quan trọng trong chương trình dạy
học toán trung học cơ sở. Chính vì vậy dạng toán này thường xuyên có mặt
trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức vi-ét vào
giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vi-ét vào
nhiều loại bài toán trong khi đó hệ thức vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong
việc giải toán. Nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất
ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các
em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán liên
quan. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi. Đó là lý do tôi chọn đề
tài:
“MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
LỚP 9”.

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của
phương trình bậc 2 một ẩn, học sinh có phương tiện là hệ thức Vi-ét để tính
toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà không
biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu. Giải và biện luận phương trình bậc 2 có
chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu
tính giá trị biểu thức, quan hệ giữa 2 nghiệm, các phép tính trên 2 nghiệm ... của
2


phương trình. Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là
vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số. Trong trường hợp đó hệ
thức Vi-ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
2. Tên sáng kiến:
“MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9”.

3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Thị Thanh Hương
- Địa chỉ: THCS Lũng Hòa-Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0388415760; Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Lê Thị Thanh Hương - Trường THCS Lũng Hòa-Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Áp dụng vào các giờ giảng dạy môn Toán 9 có nội dung
liên quan đến hệ thức vi-ét .
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
tháng 3 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...
7.1.1. Mục đích nghiên cứu
-Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán về phương
trình bậc hai một ẩn có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ
đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
-Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài
toán về phương trình bậc hai một ẩn mà cả các dạng toán khác.
7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu
cầu rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học
sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
-Nghiên cứu các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có liên quan đến hệ
thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức
để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
-Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hê
thức Vi-ét vào các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn sao cho hợp lý.

7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Địa điểm: Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc.
+ Thời gian: Từ tháng 3 năm 2018 đến tháng 2 năm 2019.

3


+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh
Tường-Vĩnh Phúc.
+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phương trình bậc hai một ẩn có liên
quan tới hệ thức vi-ét.
7.1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Đọc tài liệu : Tham khảo tài liệu chuyên môn có liên quan
+ Sách giáo khoa toán 9, sách giáo viên, sách bài tập.
+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9,tài liệu chuyên toán lớp 9
,nâng cao và phát triển toán 9,...
2. Điều tra:
a. Dự giờ:
- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.
- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến
phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó
giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp
dạy học .
b. Đàm thoại:
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các
nguyên nhân học sinh chưa sử dụng hệ thức vi-ét thành thạo ở từng dạng toán cụ
thể. Xem học sinh hổng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trình

bày để có biện pháp xử lí kịp thời.
- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện
pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp
khác.
c. Thực nghiệm:
- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành
ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh củng cố
kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm
4


vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán
cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự
học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập
ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. Ngoài ra đối với học sinh khá, giỏi giáo
viến nên có thêm những bài tập đòi hỏi tính tư duy cao.
d.Theo dõi các bài kiểm tra:
- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá,
giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp
cho từng đối tượng học sinh.
7.2. Hệ thức vi-ét và một số ứng dụng trong giải toán
7.2.1. Hệ thức vi-ét :
-Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm
được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
có 2 nghiệm : x1 

b  
b  
; x2 

2a
2a

Theo hệ thức vi – ét ta có:
x1  x2 
x1 x2

b   b   2b b



2a
2a
2a
a

 b     b     b

4a

2





2
2
  b  b  4ac
4ac c


 2 
2
2
4a
4a
4a
a
2

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
Vậy:

S  x1  x2 

b
c
và P  x1.x2 
a
a

7.2.2.Một số ứng dụng của hệ thức vi - ét:
-Giáo viên soạn ra các dạng bài toán về phương trình bậc hai một ẩn cần ứng
dụng hệ thức Vi-ét để giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương
trình.
 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương

trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.
5


 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.
 Ứng dụng 9: Sử dụng hệ thức Viet trong giải hệ phương trình
đối xứng loại I.
Cụ thể như sau:
I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c
a

b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1) 2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c
=0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

c
a

Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = -1
và nghiệm kia là x2 =

3
2

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1
và nghiệm kia là x2 =

11
3

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0
c/ x2 - 49x - 50 = 0
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0

6


2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và
chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 –qx +50 = 0, biết phương trình có
hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
4 – 4p + 5 = 0 � p 

1
4
5

5

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x  2
1
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:
25+ 25 + q = 0 � q  50
50

50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = x  5  10
1
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và
theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
�x1  x2  11 �x1  9
��
�
�x1  x2  7

�x2  2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo
hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
x 5
�x1  2 x2
�
� 2 x2 2  50 � x2 2  52 � �2
�
x2  5
�x1.x2  50
�
Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15
Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

II. Lập phương trình bậc hai :
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ:
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
�S  x1  x2  5
�P  x1.x2  6

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0 � x2 – 5x + 6 = 0

7

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức
chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x2 

1
1
y2  x1 
và
x1
x2

Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
�1 1 �
1
1
x x
2 9
 x1    x1  x2   �  �  x1  x2   1 2  3  
x1

x2
x1 x2
3 2
�x1 x2 �
� 1 �� 1 �
1
1 9
P  y1. y2  �x2  �
. �x1  � x1 .x2  1  1 
 2 11 
x1 x2
2 2
� x1 �� x2 �

S  y1  y2  x2 

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2  Sy  P  0 hay y 2 

9
9
y   0 � 2 y2  9 y  9  0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
1

y2  x2 
và
x2
x1
5
1
(Đáp số: y 2  y   0 � 6 y 2  5 y  3  0 )
6
2
y1  x1 

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14 và y2  x2 4
(Đáp số: y 2  727 y  1  0 )
3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 <
x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x1  x2  1 và
x2  1  x1 

(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng
Nai, năm học: 200-2009)
4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Hãy
lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y1  x1  3 và y2  x2  3
8


b/ y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1
(Đáp số: a/ y 2  4 y  3  m 2  0 ; b/ y 2  2 y  (4m2  3)  0 )
III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b/ a - b = 5
và a.b = 36
2
2
c/ a + b =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a  b  9 �  a  b  2  81 � a 2  2ab  b2  81 � ab 



81  a 2  b 2
2

  20

x 4
�
x2  5
�

1
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x  9 x  20  0 � �

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
x  4
�
x2  9
�

1
2
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x  5 x  36  0 � �

9

Do đó:

Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169
a  b  13
�
2
�  a  b   132 � �
a  b  13
�

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x  4
�
x 2  13 x  36  0 � �1
x2  9
�

Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x 4
�
x 2  13x  36  0 � �1
x2  9

�

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
a  b  11
�
a  b  11
�

2
2
2
2
2
Từ a  b  61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  11 � �
2

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x  5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x 5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6

�

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích
hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
2
a/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2

3
3
2
2
 x1  x2   3x1x2 �
b/ x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
�
2

 2x 2 x 2
 x1  x2   2 x1x2 �
c/ x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 x2 2  �
�
� 1 2
2

1

1

2

2

2

x x

1
2
d/ x  x  x x
1
2
1 2

10


Ví dụ 2: x1  x2  ?
2
2
Ta biến đổi  x1  x2   x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4 x1 x2
� x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2
2

Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:

a/ x12  x2 2  ?
2
2
( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ... )
b/ x13  x23  ?

3
3
2
2
 ...
 x1  x2   x1 x2 �
(HD x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
� )
2

c/ x14  x2 4  ?
4
4
2
2
2
2
( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ... )
d/ x16  x26  ?
( HD x16  x26   x12    x2 2    x12  x2 2   x14  x12 x2 2  x2 4   ... )
3

3

e/ x16  x26  ?
f/ x17  x27  ?
g/ x15  x25  ?
1

1

h/ x  1  x  1  ?
1
2
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ x12  x2 2
1

1

b/ x  x
1
2
Giải:
�S  x1  x2  8
�P  x1.x2  15

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �

a/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  82  2.15  34
2

1

1

x

x

x x

8

1
2
b/ x  x  x x  18
1
2
1 2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
2
a/  x12  x22 
(Đáp án: 46)
1
2
b/ x  x
2
1

(Đáp án:

34
)
15

11


2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12  x2 2
(Đáp án: 65)
1

1

b/ x  x
1
2

(Đáp án:

9
)
8

3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:

a/ x12  x2 2
(Đáp án: 138)
1

1

b/ x  x
1
2

(Đáp án:

14
)
29

4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
a/ x12  x2 2
(Đáp án: 1)
x1

x2

b/ x  1  x  1
2
1
1

1

c/ x  x
1
2
1 x

(Đáp án:

5
)
6

(Đáp án: 3)
1 x

1
2
d/ x  x
1
2

(Đáp án: 1)

5/ Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải
phương trình, hãy tính:
Q

(HD: Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x2 2

5 x1 x23  5 x13 x2
6  x1  x2   2 x1 x2





2

 2.8
6 x  10 x1 x2  6 x2
17



3
3
2
2
5 x1 x2  5 x1 x2
�4 3  2.8� 80
5 x1 x2 �
 x1  x2   2 x1 x2 �
�
� 5.8 �
�
�
�
2
1

2

2

6. 4 3





)
6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1,
x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1
và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó
đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
12


Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Lập hệ
thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ
thuộc vào m.

Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�
�
�
5
�
2m
2
�
�

S  x1  x2 
S  x1  x2  2 
(1)
�
�
�
�
m 1
m 1
��
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
�P  x .x  1  3 (2)
1 2
1 2
m 1
m 1
�
�
2
2
Rút m từ (1), ta có: m  1  x1  x2  2 � m  1  x  x  2 (3)
1
2
3
3
Rút m từ (2), ta có: m  1  1  x1 x2 � m  1  1  x x (4)
1 2

Từ (3) và (4), ta có:

2
3

� 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2  � 3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0.
chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị
của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�

�
�
�
�
5
�
2m
�
S  x1  x2 
�
�
m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
1 2
�
m 1

Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =

2m
m4
6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1

m 1
m 1
m 1
4
Vậy A = 0 với mọi m �1 và m � .
5
3.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.

13


Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2  x1  x2   x1 x2  5  0 độc lập đối
với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2.
Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và
x2 không phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2 x1 x2   x1  x2   17  0 không phụ
thuộc giá trị của m.

VI.

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1
và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương
trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần
tìm.

Ví dụ 1 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số
m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �0
m �0
�
�
m  1 �0
�
�
�
�
�
2
�
�
�

 '  9 m 2  2m  1  9m 2  27 �0
 ' �0
'  �
3  m  21 �
�
�
�
� 9  m  3 m �0
�
m �0
�
m �0
�
��
��
 '  9  m  1 �0
m �1
�
�
6(m  1)
�
S  x1  x2 
�
�
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  9(m  3)
1 2
�
m





Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết)
14


Nên

6(m  1) 9(m  3)

� 6( m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7 ( thỏa mãn)
m
m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: x1  x2  x1 x2
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m
để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Giải:
' 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
7
4
�S  x1  x2  2m  1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
2

�P  x1.x2  m  2
Vì 3x1x2  5  x1  x2   7  0 (giả thiết)
1 4  m 2
 2m �۳
2

2



0

m

m2
�
�
Nên 3 m  2  5  2m  1  7  0 � � 4 ( nhận )
m
� 3



2



Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  5 x2  6
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1
và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 và tích
nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như
vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về
biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng
tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.

Bài 1:

15


16
15

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm : m �0; m �
�
  m  4 m
S  x1  x2 
�
�

m
 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  7
1 2
�
m
�

Theo đề bài ta có:

x1  2 x2  0 � x1  2 x2 � x1  x2  3x2 � 2  x1  x2   6 x2 � 2  x1  x2   3x1
2
�x1  x2  3 x2
� 2  x1  x2   9 x1 x2  2 
2  x1  x2   3 x1
�

Suy ra: �

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0 � m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: 11  96 �m �11  96
�S  x1  x2  1  m
 1
�P  x1.x2  5m  6

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: �

�x1  1  3  x1  x2 

�
Theo đề bài ta có: 4 x1  3x2  1 � �

�x2  4  x1  x2   1
� x1 x2  �
1  3  x1  x2  �
.�
4  x1  x2   1�
�
�
�
�
� x1 x2  7  x1  x2   12  x1  x2   1 2 
2

m0
�
(nhận).
m 1
�

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0 � � �

Bài 3:
2
2
Vì    3m  2   4.3  3m  1  9 m2  24m  16   3m  4  �0 với mọi số thực m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm .

3m  2
�
S  x1  x2 
�
3
�
 1
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: �
�P  x .x    3m  1
1 2
�
3
�
�
8 x1  5  x1  x2   6
�
Theo đề bài ta có: 3x1  5 x2  6 � �
8 x2  3  x1  x2   6
�
� 64 x1 x2  �
5  x1  x2   6 �
.�
3  x1  x2   6 �
�
�
�
�
� 64 x1 x2  15  x1  x2   12  x1  x2   36
2

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:

m  45m  96   0

m0
�
�
�
32 (nhận).
�
m
15
�

16


VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương
trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1

x2

S = x 1 + x2

P = x1 x2

trái dấu

�

m

P<0

 �0  �0 ; P< 0

cùng dấu

�

�

P>0

 �0  �0 ; P > 0

cùng dương

+

+

S>0

P>0

 �0  �0 ; P > 0 ; S > 0

cùng âm

-

-

S<0

P>0

 �0  �0 ; P > 0 ; S < 0



Điều kiện chung

Ví dụ :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0
có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:





2
�
   3m  1  4.2. m 2  m  6 �0

2
�
   m  7  �0m
 �0
�
�
�
��
��
� 2  m  3
�
m2  m  6
P

m

3
m

2

0
�P  0




�P 
�
0

2
�
Vậy với 2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.

Bài tập áp dụng:
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx 2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) =
0 có 2 nghiệm cùng dấu.
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = 0
có 2 nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x 2 +2x + m = 0 có ít
nhất một nghiệm không âm.
VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm :
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm
của phương trình. Tìm m để: A = x12  x2 2  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
2
vì:    2m  1  4m  4m 2  1  0 với mọi m nên phương trình luôn có hai
nghiệm .
�S  x1  x2    2m  1
�P  x1.x2   m

Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có: �

Theo đề bài ta có:
2
2
2
A = x12  x2 2  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2   2m  1  8m  4m2 12m  1   2m  3   8 �8

17

Suy ra: min A  8 � 2m  3  0 � m 

3
2

Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
B

2 x1 x2
x  x2  2  x1 x2  1
2
1

2

Giải:
vì:   m 2  4( m  1)  m 2  4m  4  (m  2) 2 �0 với mọi m nên phương trình luôn
có hai nghiệm .
�S  x1  x2  m
�P  x1.x2  m  1

Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: �

2x x

2x x

1 2
1 2

Theo đề bài ta có: B  x 2  x 2  2  x x  1 
2
 x1  x2   2
1
2
1 2
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:

B



  1   m  1

m 2  2  m 2  2m  1
m2  2

Vì  m 1�
 0
2

 m  1

2  m  1  3
m 2
2



2m  1
m2  2

2

m2  2

2

0

m2  2
Vậy maxB = 1 � m = 1

B 1

Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m  2m  2  m 2  2
m  4m  4  m 2  2
m  2

1
2

2
2
2
B



2
2
2
m 2
m 2
2 m 2 2



Vì  m 2  � 0
2

 m  2





2

2 m2  2



0

B









1
1
min B   � m  2
.
Vậy
2
2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ
tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m.
2m  1
� Bm 2  2m  2 B  1  0 (với ẩn là m và B là tham số)
m2  2
2
Ta có:   1  B  2 B  1  1  2 B  B
B

(*)

Để phương trình trên (*) luôn có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
2
2
Hay 1  2 B  B �0 � 2 B  B  1 �0 �  2 B  1  B  1 �0
�
1
�
�B �
�
�
2
B

1
�
0
�
2
�
�
�
�
�
�
1
�B  1 �0
�B �1
��

��
�  �B �1
�
2
2 B  1 �0
1
�
�
�
�
�B �
�
�
2
�
�
�B  1 �0
�
�
�
�B �1
�
1
Vậy: max B  1 � m  1 ; min B   � m  2
2

18


Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
2
Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x 1 và
x2 thỏa mãn điều kiện x12  x2 2 �10 có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm
x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
b/ B  x12  x2 2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m
để biểu thức C  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 . Xác định m để biểu thức
D  x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
IX. ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
*Khái niệm về hệ phương trình đối xứng loại I:
Một phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x
thì phương trình không thay đổi.
Ví dụ phương trình: x  y  xy  11 � y  x  yx  11
x 2  y 2  25 � y 2  x 2  25

Nên một hệ phương trình được gọi là đối xứng loại I nếu nó gồm những
phương trình đối xứng.
Ví
dụ:
Giải
hệ
phương
trình
đối

xứng
loại
I:
2
2
2
2
�
�
�x  y  25
�x  y  25
�
�2
�2
2
2
�x  y  xy  13 �y  x  yx  13

*Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I:
- Biểu diễn từng phương trình qua x  y; x. y
-Đặt S  x  y; P  xy ta được hệ phương trình mới chứa ẩn S,P
-Giải hệ phương trình ẩn S,P
-Các số x,y là nghiệm của phương trình t 2  St  P  0 (Vận dụng hệ thức vi –
ét đảo tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng)
Lưu ý: Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình chứa ẩn S,P có nghiệm
thỏa mãn S 2  4 P �0
Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theo tham số
từ đó đưa ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình.

19

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
5( x  y )  2xy  19
�
a, �
( x  y )  3xy  35
�

�x 2  xy  y 2  7
2
b, �
�x  y  5

�x 2 y 2
 18
� 
c, �y x
�x  y  12
�

c, �

�x 3  y 3  7
( x  y ) xy  2
�

Hướng dẫn giải:
5( x  y )  2xy  19
�

( x  y )  3xy  35
�

-Em có nhận xét gì về hệ phương trình �

-Muốn giải hệ phương trình trên ta làm như thế nào?
( giáo viên nêu cách làm bằng cách đặt S  x  y; P  xy khi đó các em thảo luận
và trình bày lời giải như sau)
Giải:
5( x  y )  2xy  19
�
đặt S  x  y; P  xy thì hệ phương trình trở thành
( x  y )  3xy  35
�

a, �

5S  2 P  19
15S  6 P  57
3S  13
�
�
�
�S  1
��
��
��
�
2S  6 P  70
�S  3P  35

�
�S  3P  35
�P  12
�x  y  1
��
�x. y  12

Theo hệ thức vi-ét thì x và y là nghiệm của phương trình bậc hai
X 2  X  12  0 giải phương trình này ta được hai nghiệm là X 1  4; X 2  3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y) � (4; 3);( 3; 4)

Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phương trình bằng phương pháp cộng
�x  y  1
�x. y  12

đại số ta cũng tính được �

từ đó áp dụng hệ thức vi-ét

giải phương trình tìm x,y
�x  a
�x  b
thì cũng có nghiệm �
�y  b
�y  a

Chú ý: nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm �

Chúng ta cần lưu ý tới điều này để không bỏ sót nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ 2: giải hệ phương trình

�x  y  xy  5
�2
2
�x  y  xy  7
-Muốn giải hệ phương trình trên ta làm như thế nào?
-Học sinh nêu cách làm là biến đổi hệ phương trình về dạng tổng, tích của x và y bắng cách
�S  P  5
đặt S  x  y; P  xy ta có hệ phương trình � 2
�S  S  12  0

rồi giải hệ phương trình này.
20


-Khi đó các em đèu nhận thấy cách vận dụng hệ thức vi-ét vào nhẩm nghiệm củ
phương trình bậc hai các em trình bày lời giải như sau:
( x  y )  xy  5
�
�x  y  xy  5
�
�xy  5  ( x  y )
�
�
�2
�
�
2
( x  y )2   5  ( x  y)  7
( x  y ) 2  xy  7
�

�x  y  xy  7
�
a)
�xy  5  ( x  y )
��
( x  y ) 2  ( x  y)  12  0
�
đặt S  x  y; P  xy

ta có hệ phương trình
�S  P  5
�S  P  5
��
�2
x y 3
�S  3; S  4 +)Với S =3 suy ra P=2 ta có �
�S  S  12  0
�
theo hệ thức
�xy  2
vi-ét thì x,y là hai nghiệm của phương trình bậc hai t 2  3t  2  0 (1)

Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm là t1=1 và t2=2
Vậy hê phương trình có hai nghiệm là (1;2);(2;1)
�x  y  2
theo hệ thức vi-ét thì x,y là hai nghiệm của
�xy  3

+)Với S =2 suy ra P=3 ta có �

phương trình bậc hai t 2  2t  3  0 (2)
Giải phương trình (2) ta có  '  2  0 nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hê phương trình có hai nghiệm là (1;2);(2;1)
Phương pháp chung:
Như vậy là từ những bài toán về hệ phương trình trình đối xứng loại I
xong nếu biết biến đổi lin hoạt và vận dụng hệ thức vi-ét về tìm hai số khi biết
tổng và hiệu của chúng ta sẽ đưa bài toán trở về dạng đơn giản từ đó tìm được
nghiệm của hệ phương trình.
Khi giải hệ phương trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thê coi
các ẩn đó là nghiệm của một phương trình rồi sử dụng hệ thức vi-ét để thiết lập
phương trình mới này.Tức là ta đã chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn về giải
một phương trình bận n một ẩn, nếu phương trình này giải được thì đó là nghiệm
của hệ n ẩn đã cho.
8. Những thông tin cần được bảo mật: không.
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo.

21


10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả :
Qua việc hướng dẫn các đối tượng học sinh thông qua mức độ nhận thức
một số ứng dụng của hệ thức vi-ét và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đã
tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất các
cách giải hay giúp học sinh hứng thú trong học tập. Việc khai thác và đề xuất ra
những ứng dụng của hệ thức vi-ét còn nhiều nhưng vì mức độ kiến thức toán
THCS còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng hơn được. Khi áp dụng chuyên đề này
vào trong giảng dạy cho các em học sinh khá, giỏi lớp 9 thì các em tiếp thu tốt

và có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội dung tương tự và từ chỗ mặc
cảm với dạng toán này thì các em có hứng thú học hơn và đạt được kết cao tốt.
- Kết quả học tập: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một
cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:

Trước khi áp dụng sáng kiến:
Số HS giải được theo các mức độ
Năm học
2016 - 2017

Số
HS
40

Giỏi

Khá

TB

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

7

17,5

12

30

11

27,5

10

25

Sau khi áp dụng sáng kiến :
Số HS giải được theo các mức độ
Năm học
2018 - 2019

Số

HS
40

Giỏi

Khá

TB

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

13

32,5

15

37,5

10

25

2

5

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến tổ chức cá nhân
Sau một thời gian nghiên cứu, kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng
như trong kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và giảng dạy ôn thi vào trung
học phổ thông hàng năm cùng với sự giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp tôi đã
hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC
VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9”. Tôi thấy đa số các em đều tự giác, tích
cực trong học tập vận dụng tương đối linh hoạt những ứng dụng của hệ thức
22


vi-ét vào giải các bài tập có liên quan, các bài tập tương tự và nâng cao
cũng như các ứng dụng thực tế của toán học cuộc sống
Dù là người truyền đạt lại những kiến thức khoa học nhưng giáo viên phải
tâm huyết trong giảng dạy. Đặc biệt là giáo viên dạy môn toán học. Khi hướng
dẫn các em giải toán đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu
cùng với sự phân tích để các em hiểu, nắm bắt và vận dụng được phương pháp

làm bài. Từ một bài tập cụ thể giáo viên cần khai thác các cách giải cũng như
mở rộng kiến thức( khái quát hóa)
10.3.Kết luận
1)Bài học kinh nghiệm:
- Đối với học sinh yếu, kém: Là một quá trình liên tục củng cố và rèn
luyện các kỹ năng để vận dụng tốt các ứng dụng của hệ thức vi-ét vào giải toán.
Giáo viên cần cho học sinh thực hành theo bài tập mẫu với các bài tương tự từ
đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm các bài tập khác
với nội dung của SGK.
- Đối với học sinh trung bình: Cần chú ý cho học sinh nắm chắc các
phương pháp cơ bản, kỹ năng biến đổi và vận dụng các phương pháp đa dạng
hơn vào từng bài tập cụ thể từ đó rèn luyện khả năng tự học, chủ động chiếm
lĩnh kiến thức mới.
- Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các ứng dụng cơ bản,
giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm các ứng dụng nâng cao khác của hệ
thức vi-ét thông qua các bài tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành
thạo kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong lựa chọn các phương pháp. Qua đó kích
thích óc tìm tòi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán nhằm phát triển
tư duy một cách toàn diện cho học sinh.
- Đối với giáo viên: Phải định hướng và vạch ra những dạng toán giúp học
sinh tìm ra các phương pháp giải hợp lý từ đó nắm vững các dạng toán, rèn kỹ
năng phân tích từng dạng bài tập. Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và
vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan
trong chương trình đại số 9 đã đề cập ở trên. Đồng thời giáo viên phải tạo ra
không khí tích cực trong khi giải bài tập đối với mọi đối tượng học sinh. Muốn
vậy giáo viên cần tác động đến từng đối tượng sao cho phù hợp. Chẳng hạn đối
23


với học sinh yếu, kém, trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét

cơ bản hướng học sinh theo con đường cần đi đến. Nên để cho học sinh tích cực
tìm tòi sáng tạo như vậy mới phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh.
2)Hướng phổ biến, áp dụng và nghiên cứu tiếp của đề tài:
- Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng các ứng dụng của hệ thức vi-ét trong
chương trình đại số 9. Tôi nhận thấy kết quả bước đầu học sinh tiến bộ đáng kể,
giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán khó hơn các bài toán cơ bản trong
sách giáo khoa.
- Đề tài này có thể áp dụng thực hiện trong tổ chuyên môn, khối 9 đồng thời
làm tài liệu tham khảo ở các khối 9 khác trong năm học tới.
- Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần, được áp dụng để nâng cao
chất lượng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì vậy việc tổ chức cho
học sinh nắm vững kiến thức cơ bản theo yêu cầu của chương trình, có kỹ năng
giải toán thành thạo là hết sức quan trọng. Việc áp dụng đề tài này cần phải có
thời gian, phải được tiến hành một cách hệ thống. Do vậy hình thức tổ chức là
các buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng bài tập và trình bày theo hệ thống
kiến thức.
- Để áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao giáo viên phải có phương pháp giảng
dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh và trong quá
trình dạy phải khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh
phương pháp học và tự học. Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi các bài
tập liên quan, cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập tiếp theo trong
chương trình sách giáo khoa THCS.
- Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm của bản thân tôi, thông qua thực trạng
học sinh của lớp 9A trong năm học 2016 -2017 mà tôi xây dựng để cho tiết học
đạt hiệu quả,xong vẫn còn một số thiếu sót, hạn chế của nó rất mong sự góp ý
của các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
- Với đề tài này, tôi có thể áp dụng nghiên cứu tiếp trong các năm học sau và
tự tìm tòi rút ra những kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất lượng dạy và học.

24