Sáng kiến kinh nghiệm về những ứng dụng của hệ thức Viét

Phần I - Đặt vấn đề

1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng và
phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá
trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phơng pháp dạy học theo chơng trình cải
tiến.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán ®Ĩ vËn dơng
kiÕn thøc ®· häc vµo thùc tÕ cc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho
học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi
học sinh phải biết vận dụng kiến thức đà học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn
thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đà tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập
có liên quan. Thông qua việc giải bài tập chống t tởng hình thức hoá, t tởng ngại khó
đặc biệt việc xác định các vấn đề thiếu căn cứ. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng
tợng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận cđa häc sinh.
b) C¬ së thùc tiƠn:
hƯ thøc Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng và tích các nghiệm
của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
- Nắm đợc những ứng dụng của hƯ thøc Vi - Ðt nh :
+ NhÈm nghiƯm cđa phơng trình bậc hai trong các trờng hợp a + b + c = 0 ; a - b +
c = 0 , hoặc các trờng hợp mà tổng, tích của hai nghiệm là những số nguyên với
giá trị tuyệt đối không quá lớn.
+ Tìm đợc hai số biết tổng và tích của chúng .
+ Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các
hệ số của phơng trình.
Trong chơng trình giảng dạy bộ môn toán ở lớp 9 tôi nhận thấy học sinh gặp rất
nhiều khó khăn trong việc vận dụng hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi
ét vào tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
t việc việc làm khá mới mẻ. đề bài toán đà cho không phải là những
Một đặc điểm quan trọng của hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào

tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
. Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình
thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể
1


trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các bài
kiểm tra, thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy Toán ở trờng THCS đợc giao công tác bồi dỡng học
sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên
cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu
hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình dạng toán chuyển động
2) Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:

a) Đối tợng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 9
b) Phơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT toán đại số lớp 8; lớp 9. Đề thi vào trờng THPT, Toán
nâng cao và các chuyên đề đại số 8, 9. Toán bồi dỡng học sinh Đại Số 9. Rèn luyện kĩ
năng giải Toán THCS. Tuyển chọn các đề toán thi vào lớp 10
- Nghiên cứu tài liệu Bồi duõng thờng xuyên chu kì III quyển 1, 2.

PHần II - giải quyết vấn ®Ị
A. Mét sè vÊn ®Ị lÝ thut :
1) C«ng thøc nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn số:
Đối với phơng trình bậc hai:
Biệt thức

= b 2 4ac

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

(Kí hiệu : đọc là đen ta)

+) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm:

x1 =

b +
;
2a

+) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép lµ: x1 = x2 = −
2

b
2a

x2 =

−b − ∆
2a


+) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
2) Các phơng pháp giải phơng trình Hệ phơng trình:
a) Giải phơng trình:
b

+) Phơng trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) cã 1 nghiệm duy nhất x =

a

+) Phơng trình bậc hai mét Èn sè ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) dïng c«ng thøc nghiƯm.
b) Giải hệ phơng trình:
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng.
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
3) Cách giải bài toán bằng cách giải phơng trình hệ phơng trình:
gồm 3 bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình Hệ phơng trình.
- Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn số và các số liệu cha biết.
- Lập phơng trình, hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình Hệ phơng trình.
Tuỳ thuộc vào dạng phơng trình hay hệ phơng trình mà có phơng pháp giải thích
hợp.
2

Bớc 3: Chọn kết qua thích hợp và trả lời bài toán.
Chú ý so sánh điệu kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không và trả lời kết quả của
bài toán.
Một số công thức về chuyển động
+) Công thức tính quÃng đờng trong chuyển động: S = v.t
+) C«ng thøc tÝnh vËn tèc trong chun ®éng:

v=

S

t

+) C«ng thøc tÝnh thêi gian trong chun ®éng:

t=

S
v

+) VËn tốc xuôi dòng:
+) Vận tốc ngợc dòng:

vxuoi = vthuc + vnuoc
vnguoc = vthuc − vnuoc

B. mét sè vÝ dơ vỊ giải bài toán bằng cách lập ph ơng
trình hệ phơng trình dạng toán chuyển động :
Dạng I:

Hai vật chuyển động cùng chiều.

1) lí do chọn đề tài:

Phần I : Đặt vấn đề
3


Các bài toán tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong
chơng trình dạy học toán THCS các bài toán này rất phơng phú đa dạng nó đòi hỏi
phải vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu

cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t duy.
Dạng toán cực trị đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờng gặp khó
khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán cực trị ; có những bài toán các em không
biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đà học? Làm thế nào để
tìm đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ngắn nhất, dài nhất. v.v. . . trong bài toán ấy?
Toán cực trị là loại toán có nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày chẳng hạn:
Hai nhà máy đợc xây dựng bên cùng một bờ sông tại hai địa điểm A; B. HÃy tìm
cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đa nớc về hai nhà máy sao
cho độ dài đờng ống dẫn nớc là ngắn nhất ? .v.v... Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc
trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một
giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, các
kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh giỏi
lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và
hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên
đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:

một số phơng phápgiải toán cực trị đại số

2) Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu:

a, Đối tợng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 9
b, Phơng pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9 (7), sách nâng cao, các đề thi vào các trờng
THPT, chuyên đề đại số, Tạp chí Toán tuổi thơ.

Phần II: giải quyết vấn ®Ị

A. Mét sè vÊn ®Ị lÝ thut :

HƯ thuc Vi et ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 )
1. m đợc gọi là một giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mÃn các điều
kiện sau đây:
a, f(x) m với D
I. Kh¸i niƯm :

b, ∃ x0 ∈ D sao cho f(x0) = m ; KÝ hiÖu m = max f(x), ∀x ∈ D
4


2. m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mÃn các điều
kiện sau đây:
a, f(x) m với x D
b, x0 ∈ D sao cho f(x0) = m ; KÝ hiƯu m = min f(x), ∀x ∈ D
II. C¸c kiÕn thøc cÇn dïng:
1) x2 ≥ 0 ⇒ [ f ( x)] 2 n ≥ 0 víi ∀x ∈ R, n ∈ Z
⇒ [ f (x)] 2n + M ≥ M

Hc - [ f (x)] 2n + M ≤ M
2)

a, x ≥ 0 víi ∀x ∈ R
b, x + y ≤ x + y DÊu “=” x¶y ra khi x,y cïng dÊu.
c, x − y ≥ x − y

DÊu “=” x¶y ra khi x,y cïng dÊu.
Chøng minh:

a, x ≥ 0 víi x R theo định nghĩa dấu giá trị tuyệt ®èi.
b, Ta cã xy ≥ xy

⇔ x . y ≥ x. y ⇔ 2. x . y ≥ 2.x. y

suy ra x 2 + 2. x . y + y 2 ≥ x 2 + 2.x. y + y 2
⇔
⇔

(x + y)

2

≥ ( x + y) 2 = ( x + y )

2

x + y ≥ x+ y

Hay:

x + y x + y (đpcm)

Dấu = xảy ra khi x,y cïng dÊu.
c,

Ta cã:

x. y ≤ x. y

5


⇔

− x. y ≥ − x. y

⇔

− 2 xy ≥ −2. x. y

⇔

x 2 − 2.xy + y 2 ≥ x 2 − 2 x. y + y 2

( x − y) 2 ≥ ( x − y ) 2

⇔
⇔

nÕu x ≥ y (®pcm)

x− y ≥ x − y

DÊu “=” x¶y ra khi x, y cïng dÊu. ( hay x.y 0 )
3) Bất đẳng thức Cô si: (chỉ áp dụng với các số không âm )
a, Dạng công thức:

a+b
ab

2

a+b+c 3
≥ abc
3
a1 + a 2 + ..... + a n n
≥ a1 .a 2 ....a n
n

b, D¹ng luü thõa:
2

a+b

 ≥ ab
 2 
2

a+b+c

 ≥ abc
3


n

 a1 + a 2 + ... + a n 

 ≥ a1 .a 2 .....a n
n




* HƯ qu¶:
- NÕu x > 0, y > 0 và x.y = k2 (không đổi) thì x + y nhá nhÊt ⇔ x = y
- NÕu x > 0, y > 0 vµ x + y = k2 (không đổi) thì x.y lớn nhất x = y
4) Bất đẳng thức Bunhiacospki:
a, Dạng căn thức:
6


* ax + by ≤

(a

* ax + by + cz ≤
*

2

)(

+ b2 x2 + y 2

(a

2

)

)(

+ b2 + c2 x2 + y2 + z 2

a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n ≤

(a

2
1

)
)(

2
2
2
2
+ a 2 + ... + a n x12 + x 2 + ... + x n

)

b, D¹ng luü thõa:

( ax + by ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

x y
=
a b

( ax + by + cz ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

x y z
= =
a b c

( a1 x1 + a 2 x2 + ... + a n x n ) 2 ≤ ( a12 + a 22 + ... + a n2 )( x12 + x 22 + ... + x n2 )
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

x
x1 x 2
=
= .... = n
a1 a 2
an

III. Một số phơng pháp giải bài toán cực trị: (tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏnhất)
1) Ph ơng pháp bất đẳng thức :
Giả sử cho hàm số f(x) xác định trên miền D
a, f(x) ≤ m hc f(x) ≥ n
b, ChØ ra x = x0 D sao cho dấu đẳng thức xảy ra .
2) Ph ơng pháp miền giá trị của hàm số:
Giả sử tìm cực trị của hàm số f(x) với x D. Gọi y0 là một giá trị của tuỳ ý của hàm
số xét trên miền đà cho có nghĩa hệ phơng trình sau có nghiệm :
f ( x) = y 0 ..........(1)


x D...............(2)

Tuỳ dạng phơng trình mà ta có điều kiện thích hợp sau khi rút gọn đa về dạng:
m y0 M

Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên ta có:
min f (x) = m
;
max f (x) =M
∀x ∈ D

∀x ∈ D

7


1. Bài 1:
Cho phơng trình x 2 + 4 x + 1 = 0 ( 1)
a) Giải phơng trình ( 1)
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ( 1) . HÃy tính giá trị của biểu thức:
3
B = x13 + x2
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
Giải:
a) Xét phơng trình x 2 + 4 x + 1 = 0 ( 1)
Ta cã: ∆ ' = 42 − 4.1.1 = 16 − 4 = 12 > 0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = −4 + 2 3 = −2 + 3 vµ x2 = −4 − 2 3 = −2 − 3
2.1
2.1
 x1 + x2 = −4

 x1.x2 = 1

b) ¸p dơng ®inh lÝ Vi – Ðt ta cã: 

3
3
Mµ: x13 + x2 = ( x13 + 3x12 .x1 + 3x1 x22 + x2 ) − ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 )

= ( x1 + x2 ) − 3x1 .x2 ( x1 + x2 )
3

= ( 4 ) 3 − 3.1.4. = 64 − 12 = 52
VËy

3
x13 + x2 = 52

2. Bài 2: Cho phơng trình 2 x 2 7 x + 4 = 0 gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biểu thức sau:
3
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x13 + x2
2) Xác định phơng trình bËc hai nhËn x12 − x2 vµ x22 − x1 là nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
Giải:
2
1) Xét phơng trình 2 x 7 x + 4 = 0
Ta cã: ∆ = ( −7 ) 2 − 4.2.4 = 49 − 32 = 17 > 0
⇒ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
áp dơng ®inh lÝ Vi – Ðt ta cã:

7

 x1 + x2 =
2

 x1.x2 = 2


2
3
3
b) Ta cã: x13 + x2 = ( x13 + 3x12 .x1 + 3x1 x2 + x2 ) − ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 .x2 ( x1 + x2 )
3

8


3

343 42 343 − 168 175
 
=  7  − 3.2.  7 ÷ =
−
=
=
 ÷
8
2
8

8
2
2

VËy

3
x13 + x2 =

175
8

2) Đặt u = x12 x2 và v = x22 − x1
2
Ta cã: u + v = ( x12 − x2 ) + ( x2 − x1 ) = x12 + x22 - ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 - ( x1 + x2 )
2

49
7 49 − 16 + 14 47
=  7  − 2.2 + 7 =
−4+ =
=
 ÷
4
2
4
4
2
2
⇒ u+v =

47
4

2
3
3
Mµ: u . v = ( x12 − x2 ) . ( x2 − x1 ) = x12 .x22 - ( x13 + x2 ) - x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x13 + x2 ) - x1.x2
2

= 22 ⇒ u.v =

175
175 16 − 175 −159
- 2 = 2
=
=
8
8
8
8
159
8

Vì 2 số u và v có tổng u + v =
trình bậc hai:

X2

47

159
và tích u. =
. Nên u ; v là 2 nghiệm của phơng
4
8

47
159
X
=0
4
8

Vậy phơng trình cần tìm là: X 2

47
159
X
=0
4
8

3. Bài 3: Cho phơng trình 2 x 2 9 x + 6 = 0 gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2

3
b) x13 + x2

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận 2 x1 − 3x2 vµ 2 x2 − 3x1 lµ nghiệm.

Giải:
1) Xét phơng trình 2 x 2 9 x + 6 = 0
Ta cã: ∆ = ( −9 ) 2 − 4.2.6 = 81 − 48 = 33 > 0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2

9


¸p dơng ®inh lÝ Vi – Ðt ta cã:

9

 x1 + x2 =
2

 x1.x2 = 3


2
3
3
b) Ta cã: x13 + x2 = ( x13 + 3x12 .x1 + 3x1 x2 + x2 ) − ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 .x2 ( x1 + x2 )
3

3

729 81 729 − 324 405
 
=  9  − 3.3.  9 ÷ =
− =

=
ữ
8
2
8
8
2
2

Vậy

405
8

3
x13 + x2 =

2) Đặt u = 2 x1 − 3x2 vµ v = 2 x2 − 3x1
Ta cã: u + v = ( 2 x1 − 3x2 ) + ( 2 x2 − 3x1 ) = 2 x1 − 3x2 + 2 x2 − 3x1 = - ( x1 + x2 ) = −
⇒ u+v= −

9
2

7
2

2
Mµ: u . v = ( 2 x1 − 3x2 ) . ( 2 x2 − 3x ) 1 = 4 x1 .x2 - 6 ( x12 + x2 ) - 9 x1.x2 = 7 x1.x2 −6 ( x1 + x2 )

2

2

= 7.3 −  9  = 21 − 81 = 84 81 = 3
ữ
4
4
4
2
u.v =

3
4

Vì 2 số u vµ v cã tỉng u + v = −

7
3
vµ tÝch u. v = .
2
4

Nên u; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
Vậy phơng trình cần tìm là:

X2

X2

7
3
X =0
2
4

7
3
X =0
2
4

Bài 1: Cho phơng trình 2 x 2 − 5 x − 1 = 0 gäi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biểu thøc sau:
2
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x12 + x2 2 x1 x2
2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x12 và x22 là nghiệm.
2. Bài 2: Cho phơng tr×nh 2 x 2 + 5 x − 6 = 0 ( 1)
a) Giải phơng trình ( 1)
3
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ( 1) . HÃy tính giá trị của biểu thức: B = x13 + x2
Giải:
a) Xét phơng trình 2 x 2 + 5 x − 6 = 0 ( 1)
10


Ta cã: ∆ = 52 − 4.2. ( −6 ) = 25 + 48 = 73 > 0 ⇒

∆ = 73

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = −5 + 73 = −5 + 73 vµ x2 = −5 − 73 = −5 − 73
2.2
4
2.2
4
5

 x1 + x2 =
2

x1.x2 = 3


b) áp dụng đinh lí Vi – Ðt ta cã:

3
3
Mµ: x13 + x2 = ( x13 + 3x12 .x1 + 3x1 x22 + x2 ) − ( 3x12 .x1 + 3x1 x22 )

= ( x1 + x2 ) − 3x1 .x2 ( x1 + x2 )
3

3


=  − 5  − 3. ( −3) .  − 5  = − 125 − 45 = −125 180 = 205

ữ
ữ

2
2
8
2
8
8


Vậy



3
x13 + x2 =





205
8

3. Bài 3 Cho phơng trình 2 x 2 7 x + 1 = 0 gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình
Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của c¸c biĨu thøc sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2
b) x1 + x1
Giải:
2
a) Xét phơng trình 2 x 7 x + 1 = 0
- Ta cã: ∆ = ( −7 ) 2 − 4.2.1 = 49 − 8 = 41 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2

- áp dụng đinh lí Vi ét ta cã:
⇒

x2 > 0 ;

x1 > 0;

x1.x2 > 0 ;

7

 x1 + x2 = 2


 x .x = 1
 1 2 2

x1 + x2 > 0

⇒ x1 > 0; x2 > 0 ; x1.x2 > 0

b) Đặt A = x1 + x1 ( A > 0)
⇒ A2 =

(

⇒ A2 =

7
1 7

2 7+2 2
+2
= + 2.
=
2
2 2
2
2

x1 + x1

)

2

= x1 + 2 x1 . x2 + x2 = ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2

( V× A > 0 )

A = 7+2 2
2

Vậy

x1 + x1 =

7+2 2
2

Phần bài tập tổng hợp về hệ phơng trình

1. Bài 1: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 2x + m (*)
11


1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm sè ®i qua:
a) A (- 1; 3)
b) B ( 2; −5 2 )
c) C ( 2; - 1)
2) T×m m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x-2 trong góc phần t thứ
IV
( Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 2005 )
Giải:
1) a) Để đồ thị hàm số y = 2x + m ®i qua: A (- 1; 3)
⇔ 3 = 2.(-1) + m
⇔ 3=-2+m
⇔ m=5
VËy víi m = 5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)
b) Để đồ thị hàm sè y = 2x + m ®i qua: B

(

2; −5 2

)

⇔ −5 2 = 2. 2 + m
⇔ m = 7 2

Vậy với m = 7 2 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B

(

2; 5 2

)

c) Để đồ thị hàm số y = 2x + m ®i qua: C ( 2; - 1)
⇔ -1 = 2.2+ m
⇔ -1 = 4 + m
⇔ m=-5
VËy víi m = -5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m ®i qua: C ( 2; - 1)
2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2 là
nghiệm của hệ phơng trình


3x - 2x = m + 2

y = 3x - 2


⇔

 y = 2x + m
⇔

 y = 3x - 2

x = m + 2



 y = 3. ( m + 2


)

3x - 2 = 2x + m

 y = 3x - 2

x = m + 2
⇔ 
-2
 y = 3m + 6 - 2

 x = m+ 2
⇔ 
 y = 3m +4

Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm sè y = 3x – 2
lµ ( m+ 2 ; 3m +4 )
Để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
thì

x > 0

y < 0

m +2>0

3m + 4 < 0

 m >-2

⇔
4
m < - 3


12

⇔ -2< m < -

4
3


4
thì đồ thị hàm số y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 3x
3

Vậy với - 2 < m < -

2 trong gãc phÇn t thứ IV
Câu II: ( 2 điểm)
1) Cho hàm số f(x) = 4x + 1. So sánh f(1) và f(2).
1
2

2) Cho hàm số y = x 2 có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình y = x
+ m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x 1, x2 tháa

m·n

1 1
+ 2 =2.
x12 x2

C©u
1)
f(1) = - 4.1+1 = - 3
f(2) = – 4.2 + 1 = - 7
1,0®iĨm Có 3 > - 7 nên f(1) >f(2)
II
2,0điể
2)
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng
m
1,0điểm
1
trình: x 2 = x + m ⇔ x 2 − 2 x 2m = 0 (1)
2

Để phơng trình (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt ⇔ ∆ ' >0
1
<=> 1+2m > 0 <=> m >
2

Khi đó phơng trình có 2 nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n:
x1 + x2 = 2 vµ x1 x2 = -2m

2

2
x + x − 2x x
Ta cã 12 + 12 = 2 ⇔ x1 2+ x2 = 2 ⇔ ( 1 2 )2 2 1 2 = 2 (*)
2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
2

Thay x1 + x2 = 2 vµ x1 x2 = -2m vµo (*) ta cã

m = 1
4 + 4m
2
2
= 2 ⇔ 1 + m = 2m ⇔ 2m − m − 1 = 0 ⇔
m = 1
4m 2

2

Câu V: ( 1 điểm)

7



Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá 3 + 5 ữ .
2 ữ

Câu
V
1,0điể
m

Đặt x1 = 3 5 ; x2 = 3 + 5 => x1 + x2 = 3 vµ x1x2 = 1
2
2
2
2
2
Cã x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 7

3
x13 + x2 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = 27 − 3.1.3 = 18

x + x = ( x + x ) − 2 x x = 7 − 2.1 = 47
4
1

4
2

2
1

2 2
2

2 2
1 2

2

7
3
4
3
x17 + x2 = ( x13 + x2 )( x14 + x2 ) − x13 x2 ( x1 + x2 ) = 18.47 − 1.3 = 743
7

 3+ 5 
7
x =
 2 ÷ = 743 − x1
÷


7
2

13

0,25

0,25
0,25

7



7
Do 0 <  3 − 5 ÷ < 1 => 0 < x17 < 1 ⇒ 742 < x2 < 743
2 ữ


7



Vậy số nguyên lớn nhất không vợt quá 3 + 5 ữ là 742
2 ữ



0,25

1) Cho phơng trình ( ẩn x): x2 2x 2m = 0 . Tìm m để phơng trình có 2
2
nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn : (1 + x12 )(1 + x2 ) = 5 .
2)
Phơng trình đà cho có 2 nghiệm phân biệt ' >0

1,0điểm

<=> 1+2m > 0 <=> m >

1
2

Khi đó phơng trình cã 2 nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n:
x1 + x2 = 2 vµ x1 x2 = -2m
Cã (1+x12)(1+x22) = 5
2
2
<=> x12 + x2 + x12 x2 + 1 = 5 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 + x12 x22 = 4 (*)
Thay x1 + x2 = 2 vµ x1 x2 = -2m vµo (*) cã
m = 0
4 + 4 m + 4 m 2 = 4 ⇔ 4 m + 4m 2 = 0 ⇔ 
 m = −1
1
KÕt hỵp víi m > − ta cã m = 0 thỏa mÃn.
2

Vậy với m= 0 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mÃn
(1+x12)(1+x22) = 5
Cho x, y tho¶ m·n: x + x 2 + 2008 y + y 2 + 2008 = 2008 . TÝnh: x + y .

)(

(

Ta cã

(

x 2 + 2008 + x

⇔ x 2 + 2008 − x =

T¬ng tù cã

)(

)

)

x 2 + 2008 − x = x 2 + 2008 − x 2 = 2008
2008

(a)

x + 2008 + x
2

2008

y 2 + 2008 − y =

(b)

y 2 + 2008 + y

Céng tõng vÕ cđa (a) vµ (b) ta cã
2008

x 2 + 2008 − x + y 2 + 2008 − y =

⇔ x + 2008 + y + 2008 − x − y =
2

2

⇔ x + 2008 + y + 2008 − x − y =
2

2

x + 2008 + x
2

2008

(
2008

(

2008
y + 2008 + y
2

x 2 + 2008 + x + y 2 + 2008 + y

x 2 + 2008 + x

(

+

)(

y 2 + 2008 + y

x 2 + 2008 + x + y 2 + 2008 + y
2008

⇔ x + 2008 + y + 2008 − x − y = x + 2008 + x + y 2 + 2008 + y
2

2

)

2

14

)
)


⇔ −2x − 2 y = 0
⇔ x+ y = 0

Vậy x + y = 0
1) Cho phơng trình x 2 − ( m + 4 x ) + 3m + 3 = 0 (m là tham số)
a) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
3
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x13 + x2 ≥ 0

1
2

Cho Parabol y = x 2 và điểm M ( -1; 2 )
1) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2)Gọi xA , xB là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k ®Ó
x A 2 + xB 2 + 2 x A xB ( x A + xB ) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Câu 5: (1đ) Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phơng trình: y 2 + 5y +1 = 0 .
T×m a; b sao cho phơng trình x 2 + ax + b = 0 cã hai nghiƯm lµ:
2
x1 = y1 + 3y 2 vµ x 2 = y 2 2 + 3y1
C©u II: ( 2,5 điểm)
1
2

Cho Parabol y = x 2 và điểm M ( -1; 2 )
2) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2) Gọi xA , xB là hoành độ giao điểm của A và B. Xác ®Þnh k ®Ĩ
x A 2 + xB 2 + 2 x A xB ( x A + xB ) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Câu II: ( 2,5 điểm)
1
2

Cho Parabol y = x 2 và điểm M ( 1; - 2 )
3) Chøng minh r»ng ph¬ng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2)Gọi xA , xB là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để
x A 2 + xB 2 2 x A xB ( x A + xB ) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.

Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình 2x - 7x + 1 = 0
TÝnh x x + x x ( x1 vµ x2 là hai nghiệm của phơng trình)
Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình 2x - 5x + 1 = 0
Tính x x + x x ( x1 vµ x2 lµ hai nghiệm của phơng trình)
2

1

2

2

1

2

Câu I:

1

2

2

1

15


Cho phơng trình x 2 2 ( m + 1) x + 2m 15 = 0
1) Giải phơng trình khi m = 0
2) Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để phơng trình cã
nghiƯm tháa m·n x2 + 5 x1 = 4
C©u 2: (2 điểm) Cho phơng trình: x 2 ( 2a − 1) x + 2a − 2 = 0
1) T×m a để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
2) Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm a để phơng trình có tổng bình
phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm)
1
4

Cho Parabol (P) y = x 2 và đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm A và B nằm trên P có
hoành độ lần lợt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành ®é
x ∈ [ −2; 4] sao cho tam gi¸c MAB có diện tích lớn nhất ?
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình: x 2 ( 2m 3) x + m = 0
3) Giải phơng trình khi m = - 2
4) Gọi ; là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng tr×nh: x 2 − ( 2m − 3) x + m = 0
5) Giải phơng trình khi m = - 2
6) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
7) Gọi ; là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2 + 2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
8) HÃy lập một phơng trình bậc hai nhận

Dề thi vào THPT Tỉnh thai bình.

1
;
2 3

1
là nghiệm.
2 3

Câu3: (2,0điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình : y =
2x2 , một đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I(0;2).
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1, x2 . CMR : x 1 - x 2 ≥ 2
Bài 3: (1,5 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + 2 và Parabol (P):
y = x2
4) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)
5) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với 1 m ≤ 2). CMR: SMAB ≤
28
8
 x x +3 3
 x + 3 
− 2 x ÷
÷ 3 − x ÷ = 1 (víi x ≥ 0 vµ x ≠ 3 ).
ữ
x 3x + 3


Bài 2: (1,25 điểm) Cho phơng trình: mx 2 2mx + 1 = 0 ( m là tham số)

1. Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm và tính các nghiệm của phơng
trình theo m .

1. Chứng minh:


16


2. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi
nghiệm kia.
6) Đề thi vào THPT Quôc học huê 005- 006
Bài 2: (2,5 ®iĨm)
Cho parabol (P) cã ®Ønh ë gèc to¹ ®é O và đi qua điểm A 1; .

ữ
4

7) Viết phơng trình của parabol (P).
8) Viết phơng trình đờng thẳng d song song với đờng thẳng x + 2 y = 1 và đi qua
điểm B(0; m) . Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d cắt parabol (P) tại hai
điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho 3x1 + 5 x2 = 5 .
1

Bµi III ( 1,50 điểm). Chứng minh rằng, nếu phơng trình:
x 2 + 2mx + n = 0

(1)

có nghiệm, thì phơng trình:

2

1
1


x + 2  k +  mx + n  k +  = 0
k 
k 


2

(2) cịng cã nghiƯm.

( m, n, k là các tham số; k 0 ).
Bài 3: (2,50 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị
(P) của hàm số y = ax 2 và điểm B không thuộc (P).
a) Tìm hệ số a và vẽ (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B.
Xác định tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và đờng
thẳng AB.

Bài 1: (1 điểm)
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bá tói): 3 + 7 vµ 19 .
Bµi 2: (1 ®iĨm)
a) BiÕn ®ỉi x − 3x + 1 vỊ d¹ng A2 + b víi b lµ h»ng sè vµ A là một biểu thức.
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức

1
. Giá trị đó đạt đợc khi x bằng
x 3x + 1

bao nhiêu ?
Bài 3: (1,25 điểm)
Viết phơng trình đờng thẳng d song song với đờng thẳng x + 2 y = 1 và đi qua giao
điểm của hai đờng thẳng d1 : 2 x 3 y = 4 vµ d 2 : 3x + y = 5 .
Bài 4: (1,25 điểm)
17


Cho phơng trình x 2 6mx + 4 = 0 . Tìm giá trị của m , biết rằng phơng trình đà cho có
hai nghiệm x1 và x2 thỏa m·n ®iỊu kiƯn

1 1 7
+ 2 = .
x12 x2 2

2
2
Cho phương trình : x − 2mx + m − m + 1 = 0 vớim là tham số và x là ẩn số.
a)Giải phương trình với m = 1.

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x 2 .

c)Với điềukiện câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 − x1 − x 2 đạt giaự trũ
nhoỷ nhaỏt.
Câu 1 : (1.5 điểm)
Cho phơng trình : x2 - mx + m -1 = 0 (1)

1. Gi¶i phơng trình (1) khi m = 1.
2. Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m .
Câu 2. (1.5 điểm)
Câu 4 (1.0 điểm)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m +3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc A = x1 x2 − 2 x1 − 2 x2
2 (P) vµ y = -x+m (D)
Cho y = ax
a) Tìm a biết (P) luôn đi qua A(2;-1)
b) Tìm m biết (D) tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Gọi B là giao của (D) với trục tung; C là điểm đối xứng của A qua trục tung.
CMR: C nằm trên (P) và ABC vuông cân.
a) Tìm số nguyên x để K là số nguyên lớn hơn 5
Bài 2(2,0 điểm):
Cho x2-2(m+1)x+m-4 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có đúng một nghiệm bằng 2? tìm nghiệm còn lại
b) CMR: (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
c) CMR: A = x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m
Bài 3(2,0 ®iĨm)
Cho y = ax2 (P)
a) T×m a biÕt (P) ®i qua điểm A(1;

1
)
2

b) Trên (P) lấy M, N có hoành độ lần lợt là 2 và 1. Viết phơng trình MN
c) Xác định hàm số y = ax+b (D) biết (D) song song víi MN vµ tiÕp xóc víi (P)
Cho phơng trình (m+1)x2-2(m-1)x+m-3 = 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm âm
c) Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng dấu thoả mÃn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 2(2,0 điểm):
Cho phơng trình : mx2+2(m-2)x+m-3 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn
c) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình. Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
không phụ thuộc m .
18


d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22
Bài 2(2,0 điểm):
Cho phơng trình : mx2+2(m-2)x+m-3 = 0 (1)
e) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
f) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn
g) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình. Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
không phụ thuộc m .
h) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22
Bài 3(2,0 điểm):
Cho y =

1 2
x (P) và mx+y = 2 (d)
2

a) Chøng minh r»ng khi m thay ®ỉi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định C.

b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định m để AB ngắn nhất. Khi đó hÃy tính diện tích AOB
d) Tìm q tÝch trung ®iĨm I cđa AB khi m thay đổi
Xét phơng trình: x2-12x+m = 0 (x là ẩn).
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn điều kiện x2 =x12.
câu 2: (3,5 điểm)
Cho Parabol y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m2+4.
a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng
b. Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung
độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất?
câu 4: (2 điểm)
Cho hàm số:
y=x2
(P)
y=3x=m2
(d)
1. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P)
tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P). Tìm m để có
đẳng thức y1+y2 = 11y1y2
câu 2: (3 điểm)

Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m là tham số).
1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng x=4.
2. Chøng minh r»ng víi mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2
điểm phân biệt.
3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đờng thẳng (d) vµ (P).
Chøng minh r»ng y1 + y 2 ≥ ( 2 2 − 1)( x1 + x 2 ) .

bµi 2: (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng
trình:
(P): y=x2
(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
19


2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để
x12+x22=6.

câu II:

Cho phơng trình x2+px+q=0 ; q0 (1)
1. Giải phơng trình khi p = 2 1; q = − 2 .
2. Cho 16q=3p2. Chøng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia.
3. Giả sử phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, chứng minh phơng trình qx2+px+1=0 (2) cũng
có 2 nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình (1), x2 là nghiệm âm của phơng
trình (2). Chứng minh x1+x2-2.
câu III:
Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) của hàm số y=-x 2 và đờng thẳng (d) đI qua ®iĨm A(1;-2) cã hƯ sè gãc k.
1. Chøng minh rằng với mọi giá trị của k đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại 2 điểm A, B.
Tìm k cho A, B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung.
2. Gọi (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ của các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng S=x 1+y1+x2+y2
đạt giá trị lớn nhất.
câu III:(2,5 điểm)

Cho phơng trình: x2- (m-1)x-m=0 (1)
1. Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1, x2. Lập phơng trình bậc hai có 2
nghiệm là t1=1-x1 và t2=1-x2.
2. Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn điều
kiện: x1<12. Lập phơng trình bậc 2 có các nghiƯm lµ: x1 = 3 − 5 ; x2 = 3 + 5 .
2
3. Tính giá trị của P(x)=x4-7x2+2x+1+ 5 , khi x = 3 − 5 .
2

2

c©u 1: (2,5 ®iÓm)

1. Cho 2 sè sau:
a = 3+ 2 6
b = 32 6

Chứng tỏ a3+b3 là số nguyên. Tìm số nguyên ấy.
2. Số nguyên lớn nhất không vợt quá x gọi là phần nguên của x và ký
hiệu là [x]. Tìm [a3].
câu 2: (2,5 điểm)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình là y=mx-m+1.
1. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố
định. Tìm điểm cố định ấy.
2. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho
AB = 3 .
bài 2: (1,5 điểm)

Đặt M = 57 + 40 2 ; N = 57 − 40 2

Tính giá trị của các biểu thức sau:
1. M-N
2. M3-N3
20


bài 3: (2,5 điểm)

Cho phơng trình: x2-px+q=0 với p0.
Chứng minh rằng:
1. Nếu 2p2- 9q = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia.
2. Nếu phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì 2p 2- 9q
= 0.
bài 2: (2,5 điểm)
Gọi u và v là các nghiệm của phơng trình: x2+px+1=0
Gọi r và s là các nghiệm của phơng trình : x2+qx+1=0
ở đó p và q là các số nguyên.
1. Chứng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) là số nguyên.
2. Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3.
bài 3: (2 điểm)
Cho phơng trình:
(x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0.
Nếu phơng trình vô nghiệm thì chứng tỏ rằng c là số dơng.
bài 3(1,5 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parabol (P) có phơng trình là :
1 2
x
2
1. Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A.

y=

2. Chứng minh rằng bất cứ đờng thẳng nào đI qua điểm A và không song song
với trục tung bao giờ cũng cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
bài 2(2,5 điểm):
Cho phơng trình: x2-2mx+m2- 0,5 = 0
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm của phơng trình có giá trị
tuyệt đối bằng nhau.
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
bài 3(1 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho (P) có phơng trình: y=x2
Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=3x+12 và có với (P)
đúng một điểm chung.
Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có 2 nghiệm là:
x1 =

4
3+ 5

; x2 =
4

Tính:
bài 3(2 ®iÓm):

4
3− 5

 4   4 

P=
 +


 

3+ 5 3 5

4

Tìm m để phơng trình: x 2 − 2 x − x − 1 + m = 0 , có đúng 2 nghiệm phân biệt.
bài 2(2 điểm):
Giả sử x, y là các số dơng thoả mÃn đẳng thức x+y= 10 . Tính giá trị của x và
y để biểu thức sau: P=(x4+1)(y4+1), đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất
ấy?
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình: x2-2(m+1)x+m2-1 = 0 víi x lµ Èn, m lµ sè cho trớc.
1. Giải phơng trình đà cho khi m = 0.

21


2. Tìm m để phơng trình đà cho có 2 nghiệm dơng x1,x2 phân biệt thoả mÃn điều kiện x12x22= 4 2

bài 1.(1,5 điểm)

Cho phơng trình x2+x-1=0. Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái
dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình. HÃy tính giá trị của biểu thøc:
8

P = x1 + 10 x1 + 13 + x1

bµi 3.(3 điểm)

Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=mx2
(d): y=2x+m
trong đó m là tham số, m0.
1. Với m= 3 , tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi m0, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt.
3. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 ®iĨm cã hoµnh ®é lµ

(1 + 2 )

3

Bµi 4.(3 ®iĨm)

; (1 − 2 ) 3 .

22


Sở GD & ĐT
Hải Dơng
***@***

Đề chính thức

Kì thi tuyển sinh trờng THPT nguyễn trÃi
Năm học 2000-2001

Thi Môn Toán
Thời gian làm bài 150 phút

Đề dành cho thí sinh KHTN
Câu I (4đ) Cho phơng trình: x(x - 4)(x - 1)(x - 5) = m
1) Giải phơng trình khi m = 0
2) Giải phơng trình khi m = 12
3) Giả sử m là 1 số để phơng trình có 4 nghiệm x1 ; x2; x3 ;
x4. (đều khác 0) .
1 1 1 1
4) Tìm giá trị của biểu thức : A = x + x + x + x theo m.
Câu II
CâuI
1) Giải phơng trình: (x2- 3x 2)2 - 3(x2- 3x 2) - 2- x = 0
2) Lập phơng trình bạc hai có hai nghiệm x1;x2 thoả mÃn:
x
x
a 7
+
=
x1.x2 = 4
và
x 1 x 1 a 4
Tìm những giá trị của a để phơng trình có nghiệm.
1

2

3

4

2

1

2

2

1

2

VI. Phơng pháp tam thức bậc hai.
1. Dùng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai.
- VD: Cho các số a,b,c thoả mÃn điều kiƯn: a + b + c = -2 (1) vµ a 2 + b 2 + c 2 = 2 ( 2 ) .
4
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn ; 0 .


3



Giải: Bình phơng hai vế cña (1) suy ra bc = 1 - a ( b + c) = … = a2 + 2a + 1.
Ta l¹i cã b + c = - ( a +2) do đó b,c là nghiệm của PT:

X2 + ( a + 2)X + a2 + 2a + 1 = 0. Từ đk có nghiệm suy ra kết quả của a.
Tơng tự với b và c.

23


Cho a,b,c là các số dương.
1\ Cho
a,

và

, hãy chứng minh:

.

b,
với khác .
2\ Rút gọn biểu thức:

Bài 2:
Giả sử hai phương trình bậc 2 ẩn
Chứng minh rằng:

:

và

có nghiệm chung.

.
Bài 3:
Với giá trị nào của m thì một trong các nghiệm của phương trình
nghiệm nào đó của phương trình
.
Bài 1: Cho phương trình
a, Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng
b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm

thỏa mãn

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hà Tây 06-07

Bài 1:
a)Tính giá trị biểu thức:
b)Giải pt:
Bài 2:
Cho pt:
Gọi

(1)
là 2 nghiệm của pt (1).Tính GTBT:

Bài 3:
a)Tìm nghiệm ngun của pt:

24

sẽ gấp đôi một

b)Cho

thỏa mãn

Tìm min
Bài 4:Giải hệ phương trình :

Đề thi HSG lớp 9

TP.HCM
Bài 1:
Cho hai phương trình :
phương trình (2) và

Năm học 2005-2006
(1) và
(2) . Biết rằng
là các nghiệm của phương trình (1) . Chứng minh rằng :

là các nghiệm của

.
Bài 2:
Biết rằng phương trình :
phương trình

có nghiệm
có nghiệm

lớn hơn 0,nghiệm còn lại âm . Chứng minh rằng

dương và

.

Bài 3:
Chứng minh rằng nếu có

và

thì

.

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG PTTH CHUN LÊ HỒNG PHONG HẢI DƯƠNG
Câu 4 : (2 điểm) Cho hai phương trình :
(1), a ≠ 0 và

(2), m ≠ 0.

Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vơ nghiệm thì phương trình sau ln có
nghiệm :

B một số ph ơng pháp giải bài toán cực trị đại số :
Ví dụ mở đầu : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(-2; 1) và B (2; 3). Tìm
trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
Hớng dẫn cách giải:
Giáo viên đa ra hình vẽ minh hoạ và dẫn dắt học sinh dựa

vào tính chất đối xứng (Gọi A là điểm đối xứng của điểm A qua trục Ox).
HÃy so sánh MA và MA (MA = MA ) => MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi nào ?
Giải
25