D39 - Câu 39-TÌM-THAM-SỐ-ĐỂ-HÀM-SỐ-BẬC 1-TRÊN-BẬC 1-ĐƠN-ĐIỆU - Muc do 1

y=

mx + 4

x + m nghịch biến trên ( −∞; 1) là:
Câu 1. Giá trị của m để hàm số
A. −2 ≤ m ≤ 2 .
B. −2 < m < 2 .
C. −2 ≤ m ≤ 1 .
Lời giải
Chọn D

Điều kiện để hàm số nghịch biến trên

( −∞,1)

là y′ < 0, ∀x ∈ (−∞;1) .

m 2 − 4 < 0  −2 < m < 2
m2 − 4
<
0,
∀
x
<
1
⇔
⇔
⇒ −2 < m ≤ −1

m

≤
−
1
( x + m) 2
−
m
≥
1



Câu 2.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

trên khoảng
A. m ≥ 1 .

D. −2 < m ≤ −1 .

.

y=

( m + 1) x + 2m + 2
x +m

nghịch biến

( - 1;+¥ ) .

B. 1 ≤ m < 2 .
−∞;1) ∪ ( 2; +∞ )
D. (
.
Lời giải

C. −1 < m < 2 .
Đáp án B
Điều kiện
y' =

x ¹ - m Þ - m £ - 1 Þ m ³ 1( 1)

m2 - m - 2

( x + m)

2

< 0 Þ m2 - m - 2 < 0 Û - 1 < m < 2( 2)

(1),(2) ⇒ 1 ≤ m < 2
Câu 3. Số các giá trị tham số m để hàm số
A. 2 .
B. 1 .

y=

x − m2 − 1
x − m có giá trị lớn nhất trên [ 0; 4] bằng −6 là

C. 3 .
Lời giải.

D. 0 .

Chọn B
Tập xác định

D = ¡ \ { m}

m − m +1
2

.
2

1 3

m − m +1 =  m − ÷ + > 0
2
( x − m)
2 4

Có
, ∀x ∈ D (do
, ∀m ∈ ¡ ).
( −∞;m ) và ( m; + ∞ ) .
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
max f ( x ) = f ( 4 )

Suy ra [ 0;4]
Để hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên [ 0;4] bằng −6 thì
y′ =

>0

2

m ∉ [ 0;4]
m ∉ [ 0;4]

 m ∉ [ 0;4 ] ⇔ 
m ∉ [ 0; 4]
⇔  m = 3
2

3
−
m

= −6 ⇔  2
 m = −9

 f ( 4 ) = −6
m + 6m − 27 = 0
 4−m

⇔ m = −9 .
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4.

Cho hàm số

f ( x) =

- mx + 3m + 4
x- m
( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m để

( 2;+¥ ) ?
hàm số nghịch biến trên khoảng
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C
Tập xác định:

D = ¡ \ { m}

f ¢( x ) =
Ta có:

.

2

m - 3m - 4

( x - m)

2

.
- mx + 3m + 4
f ( x) =
( 2;+¥ ) khi và chỉ khi:
x- m
Hàm số
nghịch biến trên
ïìï f ¢( x ) < 0
ïìï m 2 - 3m - 4 < 0 ìïï - 1 < m < 4
Û í
Û í
Û - 1 < m £ 2.
í
ïï m Ï ( 2; +¥ ) ïïî m £ 2
ïïî m £ 2
î
m Î { 0;1; 2} .
Do m nhận giá trị nguyên nên
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số

Câu 5.

( −15; −3) . Số phần tử của tập S

khoảng
A. 4 .

B. 3 .

y=

2 1 − x − 14
m − 1 − x đồng biến trên

là
C. 6 .
Lời giải

D. 5 .

Chọn D
2t − 14
yt =
x ∈ ( −15; −3) ⇒ t ∈ ( 2; 4 )
t
=
1
−
x
m−t .

Đặt
,
và
2m − 14  −1 
y′x = yt′.t x′ =
÷
2 
m − t )  2 1− x 
(
Ta có
.
( −15; −3)
Hàm số đồng biến trên khoảng
2m − 14  −1 
y′x =
÷ > 0,
2 
2
1
−
x
∀x ∈ ( −15; −3) , ∀t ∈ ( 2; 4 )
m
−
t


(
)
⇔

⇔

2m − 14

( m −t)

2

m < 7
4 ≤ m < 7
< 0, ∀t ∈ ( 2; 4 ) ⇔ 2m − 14 < 0 , ∀t ∈ ( 2; 4 ) ⇔ 
⇔
m ≤ 2
 m ∉ ( 2; 4 )
m − t ≠ 0
.

4 ≤ m < 7

⇒ m = { 1; 2; 4;5; 6}
 m ≤ 2

*
m ∈ ¥

.
Vậy có 5 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

(4 − m) 6 − x + 3

6− x +m
Câu 6. Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (−10;10)
sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (−8;5) ?
y=

A. 14 .

B. 13 .

C. 12 .

D. 15 .


Lời giải
Chọn A
Đặt

t = 6− x ⇒ f ( t) =

Với x ∈ (−8;5) , ta có

hàm số

y=

( 4 − m) t + 3 ⇒
t+m

t′ ( x) =

f ′ ( x ) = f ′ ( t ) .t ′ ( x )

.

−1
< 0, ∀x ∈ (−8;5)
2 6− x
và x ∈ (−8;5) ⇒ t ∈ (1; 14) . Từ đó ta suy ra

(4 − m) 6 − x + 3
( 4 − m) t + 3
f ( t) =
6− x +m
t+m
đồng biến trên khoảng (−8;5) khi hàm số
nghịch biến

trên khoảng (1; 14) .
 −m 2 + 4m − 3 < 0

 m ∈ [−1;1) ∪ (3; +∞)
 −m ≤ 1
⇔
 − 2
 m ≤ − 14
  m + 4m − 3 < 0

  −m ≥ 14

f ( t)
nghịch biến trên khoảng (1; 14) ⇔  

m ∈ { −9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 1;0; 4;5;6;7;8;9}
Do m ∈ (−10;10) nên
.
Như vậy có 14 số m nguyên trong khoảng (−10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (−8;5) .
mx + 1
x + m đồng biến trên khoảng (2; +∞)
Câu 7.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
A. −2 ≤ m < −1 hoặc m > 1 .
B. m ≤ −1 hoặc m > 1 .
C. −1 < m < 1 .
D. m < −1 hoặc m ≥ 1 .
Lời giải
y=

Chọn A
TXĐ: D = ¡ \{− m}
y′ =

m2 − 1
( x + m) 2

m 2 − 1 > 0
mx + 1

y=
−m ∉ ( 2; +∞ )

(2;
+∞
)
x + m đồng biến trên khoảng
Hàm số
m 2 − 1 > 0
m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
⇔
⇔
⇔
⇔ y ' > 0, ∀x ∈ ( 2;+∞ )
−m ≤ 2
m ≥ −2
− m ≤ 2

⇔ m ∈ [ −2; −1) ∪ (1; +∞) .
x−2
x − m đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
C. 2 .
D. Vô số.

y=

Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hàm số
A. 3 .
B. 4 .
Lời giải
Chọn C
−m + 2

x − 2 ⇒ y′ =
2
y=
x − m)
(
x
−
m
Ta có:
.
−m + 2 > 0
m < 2
⇔
⇔
( −∞; − 1) m > −1
 m > −1 .
Để hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 8.


Vậy có 2 giá trị nguyên của m để hàm số

y=

x−2
x − m đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
x−2
x − m đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
C. 2 .

D. Vô số.

y=

Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hàm số
A. 3 .
B. 4 .
Lời giải
Chọn C
−m + 2
x − 2 ⇒ y′ =
2
y=
( x − m) .
x−m
Ta có:
−m + 2 > 0
m < 2
⇔
⇔
( −∞; − 1) m > −1
 m > −1 .
Để hàm số đồng biến trên khoảng
x−2
y=
x − m đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
Vậy có 2 giá trị nguyên của m để hàm số
1
1
y= x3 − mx2 + 2mx− 3m+ 4

3
2
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số msao cho hàm số
Câu 9.

nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?
A. m= −1;m= 9 .

B. m= −1 .

D. m= 1;m= −9 .

C. m= 9 .
Lời giải:

Chọn A
+) Tập xác định: D = 
2
+) y ' = x − mx + 2m

+) Ta không xét trường hợp y' ≤ 0,∀x∈ vì a = 1 > 0
+) Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa
∆ > 0 ⇔ m2 − 8m > 0
m > 8 hay m < 0
x1 − x2 = 3 ⇔ 
⇔
⇔ m = −1 hay m = 9
 2
2
2

m − 8m = 9
( x1 − x2 ) = 9 ⇔ S − 4P = 9
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
nghịch biến trên khoảng
2.
A.

y=

−3 4 9 2
x + x − ( 2m + 15 ) x − m + 3
4
2

( 0; +∞ ) ?
B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Chọn C
Yêu cầu bài toán
thuộc

( 0;+∞ )

⇔ y′ = −3 x3 + 9 x − 2m − 15 ≤ 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ )

⇔ 3 x 3 − 9 x + 15 ≥ −2m ∀x ∈ ( 0; +∞ )

0; +∞ )
Xét hàm số: g ( x) = 3 x − 9 x + 15 trên (
.
3

2
Ta có: g ′( x ) = 9 x − 9
 x =1
⇒
′
g ( x) = 0
 x = −1 (l ) .

Bảng biến thiên:

.

và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm


Từ BBT ta có:

−2m ≤ 9 ⇔ m ≥ −

9
2

Vậy m ∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} .

Câu 12. Cho hàm số

y=

x+3
x + 1 có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = 2 x + m ( m là tham số). Biết rằng

( C ) tại hai điểm phân biệt M và N . Tìm các giá trị thực
với mọi giá trị của m đường thẳng d luôn cắt
của tham số m để độ dài MN nhỏ nhất.
B. m = −3 .

A. không tồn tại m để độ dài MN nhỏ nhất.
C. m = 2 .
D. m = 3 .

Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của đồ thị

( C)

và đường thẳng d thỏa mãn:

2
x+3
2 x + ( m + 1) x + m − 3 = 0 ( 1)
= 2x + m ⇔ 
x +1
m ≠ −1( *)

( C ) tại hai điểm phân biệt M và N .
Theo giả thiết với mọi giá trị của m đường thẳng d luôn cắt
Gọi
trình

M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 )

lần lượt là tọa độ của hai điểm M và N . Khi đó x1 , x2 là nghiệm của phương

( 1) .

m +1

 x1 + x2 = − 2

x x = m − 3
1 2
2
Theo Vi-et ta có: 
uuuu
r
2
2
2
2
MN = MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 5 ( x2 − x1 ) = 5 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 


Ta có

 ( m + 1) 2

 m 2 3m

MN = 5 
− 2 ( m − 3)  = 5 
−
+ 6÷
2
 4

 4


 3
−− ÷
2
m= 
=3
 m 2 3m

1
MN min ⇔ 
−
+ 6 ÷min
2.
2
 4

4

khi
.
y = ( m2 − 1) x3 + ( m − 1) x 2 − x + 4
Câu 13. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
nghịch biến trên

khoảng
A. 2

( −∞; +∞ ) .
B. 1

C. 0
Lời giải

D. 3


Chọn A
TH1: m = 1 . Ta có: y = − x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn
nghịch biến trên ¡ . Do đó nhận m = 1 .
2
TH2: m = −1 . Ta có: y = −2 x − x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể
nghịch biến trên ¡ . Do đó loại m = −1 .

TH3: m ≠ ±1 . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng
ở hữu hạn điểm trên ¡ .

( −∞; +∞ )

⇔ y′ ≤ 0 ∀x ∈ ¡ , dấu “=” chỉ xảy ra

⇔ 3 ( m 2 − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x − 1 ≤ 0 ∀x ∈ ¡
,

 −1 < m < 1
2
m 2 − 1 < 0
a < 0
1
m − 1 < 0

⇔
⇔
⇔
⇔ 1
⇔ − ≤ m <1
2
2
2
∆′ ≤ 0 ( m − 1) + 3 ( m − 1) ≤ 0 ( m − 1) ( 4m + 2 ) ≤ 0 − ≤ m ≤ 1
 2

.

m ∈ ¢ nên m = 0 .
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1 .
mx - 2
x - 2m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
Câu 14. Cho hàm số

đã cho đồng biến trên khoảng (1;+¥ )?
y=

A. 0 .

B. 1.

Chọn B
Tập xác định
−2 m 2 + 2
y=
2
( x − 2m )

D = R\\ { 2m}

Hàm số đồng biến trên

C. 3 .
Lời giải

D. 2.

.

( 1; +∞ )

khi và chỉ khi
−1 < m < 1
1

 y′ > 0, ∀x ∈ D
 −2m 2 + 2 > 0 ⇔ 
⇔
−
1
<
m
≤
1
⇔

2
m ≤ 2
 2m ∉ ( 1; +∞ )
 2m ≤ 1
m ∈ { 0}
Mà m ∈ ¢ nên
.
Câu 15. Cho hàm số

f ( x) =

- mx + 3m + 4
x- m
( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m để

( 2;+¥ ) ?
hàm số nghịch biến trên khoảng
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn C
Tập xác định:

D = ¡ \ { m}

f ¢( x ) =
Ta có:

.

2

m - 3m - 4

( x - m)

2

.
- mx + 3m + 4
f ( x) =
( 2;+¥ ) khi và chỉ khi:
x- m
Hàm số
nghịch biến trên

D. 4 .

Vì


ïìï f ¢( x ) < 0
ïìï m 2 - 3m - 4 < 0
Û í
Û
í
ïï m Ï ( 2; +¥ ) ïïî m £ 2
î

ìï - 1 < m < 4
Û - 1 < m £ 2.
íï
ïïî m £ 2

m Î { 0;1; 2} .
Do m nhận giá trị nguyên nên
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y=

x+6
x + 5m nghịch biến trên khoảng

( 10; +∞ ) ?
A. 3.

B. Vô số.

C. 4.
Lời giải

D. 5.

Chọn C
TXĐ D = ¡ \ { −5m} .
y′ =

Ta có

5m − 6

( x + 5m ) . Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 10; +∞ ) thì
2

 y ′ < 0

−5m ∉ ( 10; +∞ )

6

5m − 6 < 0  m <
⇔
⇔
5
 −5m ≤ 10

 m ≥ −2
. Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −2; −1; 0; 1} .

Câu 17. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số
y = x 3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + ( 12m + 5 ) x + 2
A. 1 .

B. 2 .

đồng biến trên khoảng
C. 3 .

( 2; + ∞ ) . Số phần tử của

S bằng

D. 0 .

Lời giải
Chọn D
Tập xác định D = ¡ .
y′ = 3 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5

.

Hàm số đồng biến trong khoảng
∀x ∈ ( 2; +∞ )

∀x ∈ ( 2; + ∞ ) ⇔ 3 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5 ≥ 0
khi y ′ ≥ 0 ,

,

.

3 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5 ≥ 0
Xét hàm số
g′ ( x ) =

( 2; + ∞ )

3x 2 − 6 x + 5
g ( x) =
12 ( x − 1)

3x − 6 x + 1
2

12 ( x − 1)

⇔m≤

với

3x 2 − 6 x + 5
, ∀x ∈ (2; +∞)
12 ( x − 1)

x ∈ ( 2; + ∞ )

.

>0

∀x ∈ ( 2; + ∞ ) ⇒
g ( x)
( 2; + ∞ ) .
hàm số
đồng biến trên khoảng
5
m ≤ g ( x ) ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) ⇒ m ≤ g ( 2 ) ⇔ m ≤ 12
Do đó
,
.
2

Câu 18. Cho hàm số

y = f ( 3 − x2 )

với

y = f ( x)

. Biết hàm số

đồng biến trên khoảng

y = f ′( x)

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

A.

( 2;3) .

B.

Chọn C

( −2; −1) .

C.
Lời giải

( −1;0) .

D.

Cách 1: Hàm số

y = f ( 3 − x2 )

⇔ −2 xf ′ ( 3 − x
đồng biến khi y′ > 0

 x < 0

f ′( 3 − x2 )
TH1: 

 x < 0
 2
x < 0
x < 1
⇔ 

2
⇔  3 − x > 2
x < 0
 −1 < x < 0


⇔

2
2
 −3 < x < − 2
>0
 4 < x < 9
  −6 < 3 − x < −1


2

( 0;1) .

) > 0 ⇔ 2 xf ′ ( 3 − x ) < 0 .
2

 x > 0
 2
x > 0
x > 9
⇔ 

2
⇔   3 − x < −6
x > 0
x > 3


⇔

2
2
<0
 1 < x < 4
  −1 < 3 − x < 2
1 < x < 2 .

 x > 0

f ′( 3 − x2 )


TH2:
So sánh với đáp án Chọn C.

Câu 19.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

khoảng (
A. 6 .

1; +∞ )

y=

( m + 1) x + 2m + 12
x+m

nghịch biến trên

?
B. 5 .

D. 4 .

C. 8 .
Lời giải

Chọn B
1; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (

⇔ y′ =

m 2 − m − 12

( x + m)

2

<0
với

∀x ∈ ( 1; +∞ )

m 2 − m − 12 < 0
−3 < m < 4
 −3 < m < 4
⇔
, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 
, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 
m ∉ ( −∞; −1) ⇔ −1 ≤ m < 4 .
x + m ≠ 0
m ≠ − x

 −1 ≤ m < 4
⇒ m = { −1;0;1; 2;3}

m ∈ ¢
.
Câu 20. Cho hàm số

f ( x)

f ′ x = x − 1) ( x + 3)

có đạo hàm trên ¡ là ( ) (
. Có bao nhiêu giá trị nguyên

y = f ( x 2 + 3x − m )
−10; 20]
0; 2 )
của tham số m thuộc đoạn [
để hàm số
đồng biến trên khoảng (
?
A. 18 .
B. 17 .
C. 16 .
D. 20 .
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên


Ta có:

y′ = ( 2 x + 3) f ′ ( x 2 + 3 x − m )

Vì

2 x + 3 > 0, ∀ x ∈ ( 0; 2 )

thì

f ′ ( x 2 + 3 x − m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )

.

. Do đó, để hàm số

y = f ( x 2 + 3x − m )

đồng biến trên khoảng

( 0; 2 )

(*).

2
x ∈ ( 0; 2 ) ⇒ t ∈ ( − m ;10 − m )
Đặt t = x + 3x − m . Vì
.

(*) trở thành:

f ′ ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ ( −m ;10 − m )

.

 13 ≤ m ≤ 20
10 − m ≤ −3  m ≥ 13  
⇔
⇒   −10 ≤ m ≤ −1
1 ≤ − m
m ≤ −1 



f′ x
m ∈ ¢
Dựa vào bảng xét dấu của ( ) ta có:
⇒ m ∈ { −10; −9;..; −1;3; 4;..; 20}

.

3
2
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2 x − mx + 2 x đồng biến trên khoảng

( −2;0 ) .
A. m ≥ −2 3 .

B.

m≥

13
2 .

C. m ≤ −2 3 .
Lời giải

D.

m≥−

13
2 .

Chọn A
2
( −2;0 ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( −2;0 )
Ta có y ' = 6 x − 2mx + 2 . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1
⇔ mx ≤ 3 x 2 + 1, ∀x ( −2; 0 ) ⇔ m ≥ 3x + ⇔ m ≥ max f(x), ∀x ∈ ( −2;0 )
( −2;0 )
x
.

1

x
=
( L)

1
3
f '( x) = 3 − 2 = 0 ⇔ 
1
x

1
f ( x ) = 3 x + , ∀x ∈ ( −2;0 )
x = − 3

x

Xét
. Ta có:
.

 1 
−13
f −
f
(
x
)
=
÷ = −2 3
lim− f ( x ) = −∞ xlim
3
→−2+


2
x
→
0
Lại có
;
và
.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biên thiên suy ra:

max f(x) = −2 3
( −2;0 )

⇒ m ≥ −2 3 .


y=

x+2
x + 3m đồng biến trên (−∞; −6) .

Câu 22. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn D
3m − 2
y'=
2
( x + 3m ) .
Ta có
2

3m − 2 > 0
2
m >
⇔
⇔
3 ⇔

3
−3m ≥ −6
m ≤ 2
(
−∞
;
−
6)
Hàm số đồng biến trên
.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

D. 2 .

Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính
cosin
của góc giữa hai mặt phẳng

( SBD )

và

( EBD ) .

1
B. 2 .

1
A. 3 .

C.
Lời giải

5
3 .

−

1
D. 2 .

S

E
A

B
O

C
Chọn B D
Gọi O là trung điểm cạnh BD . Theo tính chất hình chóp đều SO ⊥ BD .
Mặt bên là các tam giác đều cạnh

a

nên

DE = BE =

a 3
2 ,

BD = 2 AB 2 = a 2 .
Nên tam giác EBD cân tại E , EO ⊥ BD .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
SO = SB 2 − OB 2 =

·
cos SOE
=

( SBD )

và

( EBD )

·
là góc SOE

a
a 2
OE = BE 2 − BO 2 =
2 ,
2.

SO 2 + OE 2 − SE 2
2
1

=
=
2SO.OE
2
2

Câu 24. Cho hàm số

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡

)

có đồ thị như hình vẽ bên.


Đồ thị hàm số
A. 2 .

y = f ( x)

cắt đường thẳng
B. 6 .

y=

1
2 tại bao nhiêu điểm?
C. 5 .

D. 3 .

Lời giải
Đáp án B
Đồ thị hàm số

y = f ( x)

là đường màu đỏ. Đường thẳng

y=

1
2 cắt đồ thị hàm số tại 6 điểm phân biệt.

Câu 25. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số

( −15; −3) . Số phần tử của tập S

khoảng
A. 4 .

B. 3 .

y=

2 1 − x − 14
m − 1 − x đồng biến trên

là
C. 6 .

Lời giải

D. 5 .

Chọn D
2t − 14
y
=
t
x
∈
−
15;
−
3
⇒
t
∈
2;
4
(
)
( ) và
m−t .
Đặt t = 1 − x ,
2m − 14  −1 
y′x = yt′.t x′ =
÷
2 
m − t )  2 1− x 

(
Ta có
.
( −15; −3)
Hàm số đồng biến trên khoảng
2m − 14  −1 
y′x =
÷ > 0,
2 
2
1
−
x
m
−
t
∀x ∈ ( −15; −3) , ∀t ∈ ( 2; 4 )


(
)
⇔

⇔

2m − 14

( m −t)

2

m < 7
4 ≤ m < 7
2m − 14 < 0
< 0, ∀t ∈ ( 2; 4 ) ⇔ 
⇔
, ∀t ∈ ( 2; 4 ) ⇔ 
m ∉ ( 2; 4 )
m ≤ 2
m − t ≠ 0
.

4 ≤ m < 7

⇒ m = { 1; 2; 4;5; 6}
 m ≤ 2

*
m ∈ ¥

.

Vậy có 5 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

( x + mx + 9) với mọi x Î ¡ . Có bao nhiêu số
có đạo hàm
g x = f ( 3- x)
3;+¥ )
nguyên dương m để hàm số ( )
đồng biến trên khoảng (

?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Lời giải
Chọn B
Câu 26. Cho hàm số

Từ giả thiết suy ra

y = f ( x)

f ¢( x) = x( x - 1)

2

2

2
2
ù.
f ¢( 3- x) = ( 3- x) ( 2- x) é
ê( 3- x) + m( 3- x) + 9û
ú
ë


Ta cú

gÂ( x) =- f Â( 3- x) .

gx
3;+Ơ )
g x 0, " x ẻ ( 3;+Ơ )
hm s ( ) ng bin trờn khong (
khi v ch khi ( )
f Â( 3- x) Ê 0, " x ẻ ( 3;+Ơ )
2
2
( 3- x) ( 2- x) ộ
Ê 0, " x ẻ ( 3;+Ơ )
( 3- x) + m( 3- x) + 9ự
ờ
ỳ
ở
ỷ
2

mÊ

( x - 3) + 9
x- 3

, " x ẻ ( 3;+Ơ )
2

mÊ min h( x)
( 3;+Ơ )

Ta cú

h( x) =

( x - 3) + 9

h( x) =

vi
2
( x - 3) + 9
x- 3

x- 3

= ( x - 3) +

.

9
9
2 ( x - 3) .
= 6.
x- 3
x- 3

+

Vy suy ra

mẻ Â
mÊ 6 ắắ
ắđ mẻ {1;2;3;4;5;6} .

Chn

B.

3
9
y = x 4 + x 2 ( 2m + 15 ) x m + 3
4
2
Cõu 27. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn õm ca tham s m hm s

nghch bin trờn khong
2.
A.

( 0; + ) ?
B. 3.

C. 4.

D. 5.

Li gii
Chn C

y = 3 x3 + 9 x 2m 15 0 x ( 0; + )

Yờu cu bi toỏn
v du bng xy ra tai hu han im
3
( 0;+ ) 3x 9 x + 15 2m x ( 0; + ) .
thuc
3
0; + )
Xột hm s: g ( x) = 3 x 9 x + 15 trờn (
.
2
Ta cú: g ( x ) = 9 x 9
x =1

g( x) = 0
x = 1 (l ) .

Bng bin thiờn:

2m 9 m

T BBT ta cú:
Vy m { 4; 3; 2; 1} .
Cõu 28.

9
2

Tỡm tp hp S tt c cỏc giỏ tr ca tham s thc m hm s

1 3

x ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 2m ) x 3
( 1;1) .
3
nghch bin trờn khong
S = [ 1;0]
S = { 1}
A.
.
B. S = .
C.
.
Li gii

y=

Chn C
y = x 2 2 ( m + 1) x + ( m 2 + 2m )
Ta cú

D.

S = [ 0;1]

.


x = m
⇔
⇔ x − 2 ( m + 1) x + ( m + 2m ) = 0
 x = m + 2 ∀m

Xét y ′ = 0
( m; m + 2 ) ∀m
Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng
( −1;1) thì ( −1;1) ⊂ ( m; m + 2 ) .
Để hàm số nghịch biến trên khoảng
m ≤ −1

⇔  −1 < 1
1 ≤ m + 2

⇔ m = −1 .
Nghĩa là: m ≤ −1 < 1 ≤ m + 2
2

2

y=

ln x − m
m ln x − 4 đồng biến trên khoảng ( e; +∞ ) .

Câu 29. Tìm tập các giá trị của m để hàm số
−∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )
−∞; −2 ) ∪ [ 4; +∞ )
A. (
. B. (
.
−∞; −2 )
2; +∞ )
C. (

.
D. [
.
Lời giải
Chọn B
t−m
yt =
x
∈
e;
+∞
⇒
t
∈
1;
+∞
(
)
(
)
mt − 4 .
Đặt t = ln x ,
và
y′x = yt′.t x′ =
Ta có

−4 + m 2  1 
÷
2 
( mt − 4 )  x 

Hàm số đồng biến trên khoảng

.

( e; +∞ ) ⇔

y′x =

−4 + m 2  1 
÷ > 0,
2 
∀x ∈ ( e; +∞ ) , ∀t ∈ ( 1; +∞ )
( mt − 4 )  x 

.

m > 2
−4 + m 2 > 0
m ≥ 4


m
<
−
2
⇔
⇔
−4 + m



⇔
,
∀
t
∈
1;
+∞
(
)
 m < −2

4
⇔
> 0, ∀t ∈ ( 1; +∞ )
2

m
≠


( mt − 4 )
t

 m ∉ ( 0; 4 )
.
2

mx + 18
2 x + m nghịch biến trên khoảng ( −2;5 ) .

Câu 30. Tìm số giá trị nguyên của tham số m để hàm số
A. 2 .
B. 1 .
C. 11 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn A
 −m 
D=¡ \

 2 .
Tập xác định:
y=

y=
Ta có

mx + 18
m 2 − 36
⇒ y′ =
2
2x + m
( 2x + m)

.
−6 < m < 6

 − m ≥ 5
−6 < m < 6
m 2 − 36 < 0 ⇔   2



 m
⇔   m ≤ −10
⇔  −m
  − ≤ −2
∉ ( −2;5 )
m ≥ 4


2
⇔4≤m<6.

  2
YCBT
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 31. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau


g ( x) = f ( x + m)
( 0 ; 2) .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên khoảng
A. 3.
B. 4.
C. 2.

D. 1.
Lời giải
Chọn A
y = f ( x)
( −1;1) , ( 1;3) và liên tục tại x = 1 nên
Từ giả thiết suy ra hàm số
đồng biến trên các khoảng

( −1;3) .
đồng biến trên
g′ ( x) = f ′ ( x + m)
x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ x + m ∈ ( m ; m + 2 )
Ta có
và
.
m ≥ −1
⇔ ( m ; 2 + m ) ⊂ ( −1;3) ⇔ 
⇔ −1 ≤ m ≤ 1
g ( x)
0 ; 2)
(
2
+
m
≤
3

đồng biến trên khoảng
.
Vì m ∈ ¢ nên m có 3 giá trị là m = −1; m = 0; m = 1 .

4
2
Câu 32. Để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − 1 có ba điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì
giá trị của tham số m bằng
1
1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
Lời giải
Chọn A
y′ = 4 x 3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m )
Ta có
.

2
2
A ( 0; m − 1) B ( − m; − m + m − 1) C ( m; −m + m − 1)
Khi m > 0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
,
,
.
uuur
u
u
u
r
AB = ( −m; −m2 ) OC = ( m; − m 2 + m − 1)
,

.
Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương nên hiển nhiên AO ⊥ BC . Để O là trực tâm ∆ABC thì
uuur uuur
2
2
2
2
2
CO ⊥ AB ⇔ AB.OC = 0 ⇔ − m − m ( − m + m − 1) = 0 ⇔ −m ( − m + m ) = 0 ⇔ m = 0 (loại) hoặc m = 1

(nhận).
Câu 33. Cho hàm số

f ( x) =

mx + 16
x + m (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

( −∞; −1) ?
đã cho nghịch biến trên khoảng
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn B

f ( x) =

mx + 16
m 2 − 16
⇒ f '( x) =
, ∀x ≠ − m
2
x+m
( x + m)

m 2 − 16 < 0
⇔ −4 < m ≤ 1

− m ≥ −1

Yêu cầu của đề bài:
, mà m là số nguyên
Nên: m = −3; − 2; − 1; 0;1

D. 2


Câu 34. Cho hàm số

f ( x) =

mx + 16
x + m (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

( −∞; −1) ?
đã cho nghịch biến trên khoảng
A. 4 .

B. 5 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2

Chọn B

f ( x) =

mx + 16
m 2 − 16
⇒ f '( x) =
, ∀x ≠ − m
2
x+m
( x + m)

m 2 − 16 < 0
⇔ −4 < m ≤ 1

− m ≥ −1

Yêu cầu của đề bài:
, mà m là số nguyên
Nên: m = −3; − 2; − 1; 0;1

y = mx + ( m + 1)
Câu 35. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

trên

D = [ 2; +∞ )

A. m ≤ −1 .

là

B. m ≥ 0 .

C. m < −1 .
Lời giải

x−2

nghịch biến

D. −2 ≤ m ≤ 1 .

Chọn A
m +1
2 x − 2 , y′ xác định trên khoảng ( 2; +∞ ) .
Ta có:
1
( 2; +∞ ) thì 2 x − 2 nhận mọi giá trị trên ( 0; +∞ ) .
Nhận xét: khi x nhận giá trị trên
1
t=
⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ ( m + 1) t + m ≤ 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ )
2 x − 2 ).

Yêu cầu bài toán
(đặt
 m + 1 ≤ 0
⇔
⇔ m ≤ −1
 m + ( m + 1) ×0 ≤ 0
.
y = mx + ( m + 1) x − 2 ⇒ y ′ = m +

4
2
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số y = x − 2mx − 3m + 1 đồng

biến trên khoảng
A. 1.

( 1; 2 ) .
B. 3.

C. 2.
Lời giải

D. 4.

Chọn C
Tập xác định: D = ¡ .
Ta chỉ xét các giá trị của m ≥ 0 .

4
( 1; 2 ) .

Trường hợp m = 0 hàm số trở thành y = x + 1 đồng biến trên ¡ suy ra đồng biến trên khoảng
Hay m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

x = 0
y' = 0 ⇔ 
.
3
x
=
±
m
y
'
=
4
x
−
4
mx

Trường hợp m > 0 ta có:
. Khi đó
Bảng xét dấu của y ' :


( 1; 2 ) ⇔

Vậy hàm số đồng biến trên

m ≤1⇔ m ≤1

.

m ∈ { 0,1}
Kết luận có 2 giá trị thỏa mãn bài toán:
nên chọnChọn
y=

Câu 37. Tìm các giá trị của m để hàm số
m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )
m ∈ ( −∞;1)
A.
. B.
.
m ∈ ( 1; 2 )
m ∈ ( 2; +∞ )
C.
.
D.
.

C.

x − m2
x − 3m + 2 đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

Lời giải
Chọn D
y′ =
Ta có:

m 2 − 3m + 2

( x − 3m + 2 )

2

.

m 2 − 3m + 2 > 0
⇔m>2

−∞;1)
3
m
−
2
>
1
(
Hàm số đông biến trên khoảng
khi 
.
mx − 2m − 3
x−m
Câu 38. Cho hàm số
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
y=

B. 3 .

A. Vô số.

C. 5 .
Lời giải

D. 4

Chọn B
Tập xác định:

y′ =

D = ¡ \ { m}

.

− m + 2m + 3
2

( x − m)

2

2
Hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi và chỉ khi y ′ > 0, ∀x ∈ D ⇔ − m + 2m + 3 > 0
⇔ −1 < m < 3

Mà

m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 0;1; 2}

nên có 3 giá trị của m nguyên.

f ( x) =

Câu 39. Cho hàm số

m sin x + 4
sin x + m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm

 π
 0; ÷
số đã cho nghịch biến trên  2  ?
A. 2 .
B. 3 .
Chọn B
Đk: sin x ≠ −m .
f ′( x)
Ta có:

(m
=

2

− 4 ) cos x

( sin x + m )

2

 π
x ∈  0; ÷
 2  nên cos x > 0, 0 < sin x < 1 .
Vì

C. 4 .
Lời giải

D. 1 .


 π
 π
 0; ÷ ⇔ f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈  0; ÷
 2
Hàm số đã cho nghịch biến trên  2 
m 2 − 4 < 0
m 2 − 4 ) cos x
(
 −2 < m ≤ −1
π



⇔
< 0, ∀x ∈  0; ÷ ⇔   − m ≤ 0 ⇔ 
2

 2
( sin x + m )
0 ≤ m < 2
  −m ≥ 1

.

m ∈ { −1; 0;1}
Mà m nguyên nên
. Vậy có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Câu 40. Cho hàm số

m sin x + 4
sin x + m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của

f ( x) =

 π
 0; ÷
hàm số đã cho nghịch biến trên  2  ?
A. 2 .
B. 3 .
Chọn B
Đk: sin x ≠ − m .

f ′( x) =

(m

2

D. 1 .

− 4 ) cos x

( sin x + m )

Ta có:

C. 4 .
Lời giải

m để

2

 π
x ∈  0; ÷
 2  nên cos x > 0, 0 < sin x < 1 .
Vì
 π
 π
 0; ÷ ⇔ f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈  0; ÷
 2
Hàm số đã cho nghịch biến trên  2 

(m
⇔

2

− 4 ) cos x

( sin x + m )

Mà

2

m2 − 4 < 0
 −2 < m ≤ −1

 π
< 0, ∀x ∈  0; ÷ ⇔   −m ≤ 0 ⇔ 
 2
0 ≤ m < 2
  −m ≥ 1


.

m nguyên nên m ∈ { −1;0;1} . Vậy có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
khoảng
A. 6 .

m

để hàm số

y=

( m + 1) x + 2m + 12
x+m

nghịch biến trên

( 1;+∞ ) ?
B. 5 .

D. 4 .

C. 8 .
Lời giải

Chọn B

( 1; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng

⇔ y′ =

m 2 − m − 12

( x + m)

2

<0

với

∀x ∈ ( 1; +∞ )
−3 < m < 4


 m 2 − m − 12 < 0
 −3 < m < 4
⇔
, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 
, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 
m ∉ ( −∞; −1) ⇔ −1 ≤ m < 4 .
x + m ≠ 0
m ≠ − x
 −1 ≤ m < 4
⇒ m = { −1;0;1; 2;3}

m ∈ ¢
.


Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số

y=

e −2 x + m
me −2 x + 1 đồng biến trên khoảng

( ln 2; +∞ ) .
A. −4 ≤ m ≤ −1 .

B. −4 ≤ m < −1 .

C. m > 1 .
Lời giải

m > 1

D.  −4 ≤ m < −1 .

Chọn D
Đặt

1
t = e −2 x ; x ∈ (ln 2; +∞) => t ∈ (0; )
4

t = e−2 x NB tren (ln 2; +∞) nên YCBT trở thành: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
Vì
số

y=

để hàm

 1
t+m
 0; ÷
mt + 1 nghịch biến trên khoảng  4  .

Ta có

=>

m

1 − m2
y' =
(mt + 1) 2

m > 1

m > 1
  m < −1

1 − m 2 < 0
m > 1
 1

 m < −1
<=> 
 1
1 <=>   − ≤ 0 <=> 
 −4 ≤ m < − 1
 − ∉ (0; )

 m
m > 0
4

 m

 1 1
  −4 ≤ m < 0

− ≥

 m 4

mx + 8
x + 2m ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm
Câu 43. Cho hàm số
số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; +¥ )?
f (x) =

A. 5.

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2.

Chọn D
2m2 - 8

f '(x) =
(x + 2m)2

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 44. Cho hàm số

f ( x)

ìï 2m2 - 8 < 0 - 1
(1; +¥ ) Û ïí
Û
£ m<2
ïï - 2m £ 1
2
ïî

f ′ x = x − 1) ( x + 3)
có đạo hàm trên ¡ là ( ) (
. Có bao nhiêu giá trị nguyên

y = f ( x2 + 3x − m )
−10; 20]
0; 2 )
của tham số m thuộc đoạn [
để hàm số
đồng biến trên khoảng (
?
A. 18 .
B. 17 .
C. 16 .

D. 20 .
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên


Ta có:

y ′ = ( 2 x + 3) f ′ ( x 2 + 3x − m )

Vì

2 x + 3 > 0, ∀ x ∈ ( 0; 2 )

thì

f ′ ( x 2 + 3 x − m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )

.

. Do đó, để hàm số

y = f ( x 2 + 3x − m )

đồng biến trên khoảng

( 0; 2 )

(*).

2
x ∈ ( 0; 2 ) ⇒ t ∈ ( − m ;10 − m )
Đặt t = x + 3x − m . Vì
.

f ′ ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ ( −m ;10 − m )

(*) trở thành:

.

 13 ≤ m ≤ 20
10 − m ≤ −3  m ≥ 13  
⇔
⇒   −10 ≤ m ≤ −1
1 ≤ − m
m ≤ −1 


f′ x
m ∈ ¢
Dựa vào bảng xét dấu của ( ) ta có:
⇒ m ∈ { −10; −9;..; −1;3; 4;..; 20}

Câu 45. Cho hàm số

y=

.

mx + 4m
x + m với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m

để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 4 .
B. Vô số.
C. 3 .
Lời giải
Chọn C
D = ¡ \ { −m}

y′ =
;

D. 5

m 2 − 4m

( x + m)

2

.

2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m − 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4 .
m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 1; 2;3}
Mà
nên có 3 giá trị m nguyên.

y = 3x + m ( sin x + cos x + m )
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
đồng biến trên ¡ ?
A. 3 .
B. Vô số.
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn D
y′ = 3 + m ( cos x − sin x )
Ta có:
.
Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (1).

t = cos x − sin x, t ∈  − 2; 2 
y′ ( t ) = 3 + mt , t ∈  − 2; 2 
Đặt
, thu được hàm
.
Khi đó điều kiện (1) trở thành:

( )
( )

 y′ − 2 ≥ 0
3
3

3 − 2m ≥ 0



y′ ( t ) ≥ 0, ∀t ∈  − 2; 2  ⇔ 
⇔
⇔−
≤m≤
2
2
 y′ 2 ≥ 0
3 + 2m ≥ 0

.
Các giá trị nguyên của m nhận được là: −2, − 1, 0,1, 2 .


y = 3x + m ( sin x + cos x + m )
Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
đồng biến trên ¡ ?
A. 3 .
B. Vô số.
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn D
y′ = 3 + m ( cos x − sin x )
Ta có:
.
Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (1).

t = cos x − sin x, t ∈  − 2; 2 
y′ ( t ) = 3 + mt , t ∈  − 2; 2 

Đặt
, thu được hàm
.
Khi đó điều kiện (1) trở thành:

( )
( )

 y′ − 2 ≥ 0
3
3

3 − 2m ≥ 0
y′ ( t ) ≥ 0, ∀t ∈  − 2; 2  ⇔ 
⇔
⇔−
≤m≤
2
2
3 + 2m ≥ 0
 y′ 2 ≥ 0

.
Các giá trị nguyên của m nhận được là: −2, − 1, 0,1, 2 .
Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y=

mx + 9
x + m nghịch biến trên khoảng

( 1; +∞ ) ?
A. 5 .

C. 2 .
Lời giải

B. 3 .

D. 4 .

Chọn D

D = ¡ \ { − m}
Tập xác định:
.
2
m −9
y′ =
2
x + m)
(
Ta có:
.
 y′ < 0
m2 − 9 < 0
⇔
⇔
( 1; +∞ ) −m ∉ ( 1; +∞ ) −m ≤ 1 .
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

 −3 < m < 3
⇔
⇔ −1 ≤ m < 3
m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −1;0;1; 2}
 m ≥ −1
. Vì
.
x2 − 2x) ,
(
Câu 49. Cho hàm số
có đạo hàm
với mọi x∈ R. Có bao nhiêu giá
y = f ( x2 − 8x + m)
trị nguyên dương của tham số m để hàm số
có 5 điểm cực trị?
f '( x) = ( x − 1)

y = f ( x)

A. 16.

B. 17.

2

C. 15.
Lời giải

D. 18.

Chọn C
x = 4
g'( x) = ( 2x − 8) . f ' x2 − 8x + m = 0 ⇔ 
2
 f ' x − 8x + m = 0 (*)

Ta có:
(I)

(

Mà

f '( x) = ( x − 1)

2

)

(

( x2 − 2x) = ( x − 1) 2 x( x − 2) ;∀x∈ R.

)


 x2 − 8x + m− 1= 0 (1)

2
( *) ⇔ x2 − 8x + m− 1 x2 − 8x + m x2 − 8x + m− 2 = 0 ⇔  x2 − 8x + m= 0 (2) .


 x2 − 8x + m− 2 = 0 (3)

Suy ra
g'( x)
Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì
đều không đổi dấu. Do đó ta không xét
phương trình (1).
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2);(3) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.
16 − m> 0
16 − m+ 2 > 0

⇔
⇔ m< 16
−16 + m≠ 0
−18+ m≠ 0

(

)(

)(

)

+
Kết hợp m∈ Z ⇒ có 15 giá trị m cần tìm.

Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3

9
−
A. 7
B. 7
C. 0

y=

−2 x + m
2mx + 3 trên là -1 khi m bằng:

3
D. 7

Lời giải
Chọn B
m = 0: D = R
−6 − 2 m 2
 3 
y
'
=
< 0, ∀x ∈ D
m ≠ 0 : D = R \ −
2

2
mx
+
3

(
)
2
m

 Ta có:
. Hàm số nghịch biến.

Khi đó ta luôn có y (1) > y (3) Nên GTNN trên là y(3)
−6 + m
9
⇒ y (3) =
= −1 ⇒ m =
6m + 3
7
Câu 51. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
1 3
x − ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 2m ) x − 3
( 0;1) .
3
nghịch biến trên khoảng
( −∞;0]
[ −1; +∞ )
[ −1;0] .
A.
B.
C.
.
.
Lời giải

Chọn C
x = m
y′ = x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2m; y ′ = 0 ⇔ 
x = m + 2 .
Ta có:
Do đó ta có bảng biến thiên:

y=

D.

.

[ 0;1]
.


m ≤ 0
⇔ −1 ≤ m ≤ 0
0;1)
0;1) ⊂ ( m; m + 2 ) ⇒  m + 2 ≥ 1
(
(
Để hàm số nghịch biến trên
thì
.
3
2
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 6 x + mx + 3 đồng biến trên khoảng

( 0; +∞ ) .
A. m ≤ 12 .

B. m ≥ 0 .

C. m ≤ 0 .
Lời giải

D. m ≥ 12 .

Chọn D
Để hàm số đồng biến trên khoảng

( 0; +∞ )

⇔ y′ = 3x 2 − 12 x + m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )

⇔ m ≥ −3 x 2 + 12 x, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m ≥ max ( −3x 2 + 12 x )
x∈[ 0; +∞ )

.

−3x 2 + 12 x = −3 ( x − 2 ) + 12 ≤ 12, ∀x ∈ ¡ ⇒ max ( −3 x 2 + 12 x ) = 12
2

Ta có

x∈[ 0; +∞ )

( " = " khi x = 2 )

⇒ m ≥ max ( −3x 2 + 12 x ) = 12
x∈[ 0; +∞ )

Vậy m ≥ 12 .
f ( x) =

Câu 53. Cho hàm số

( m + 1)

−2 x + 3 − 1
2
− −2 x + 3 +
m ( m ≠ 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã

 1 
 − ; 1÷
S = ( −∞; a ) ∪ ( b; c ] ∪ [ d ; + ∞ )
cho nghịch biến trên khoảng  2  có dạng
, với a, b, c, d là các số
thực. Tính P = a − b + c − d .
A. - 3 .
B. - 1 .

C. 0 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
3

 x ≤ 2

− −2 x + 3 + 2 ≠ 0
m
Điều kiện xác định: 
.
−1
 1 
u = −2 x + 3 ⇒ u ′ =
< 0, ∀x ∈  − ; 1÷
−2 x + 3
 2  , suy ra hàm số u = −2 x + 3 nghịch biến trên
Đặt
 1 
 − ; 1÷
khoảng  2  .
 1 
x ∈  − ; 1÷⇒ u ∈ ( 1; 2 )
 2 
Với
.
g ( u) =

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số

( m + 1) u − 1
−u +

2
m

đồng biến trên khoảng

( 1; 2 ) .


2
( m + 1) − 1
2
m
g′ ( u ) =
,u≠
2
m
2

 −u + ÷
m

Ta có
.
 g ′ ( u ) > 0, ∀u ∈ ( 1; 2 )

2
 ∉ ( 1; 2 )
g ( u)
1; 2 )

(
Hàm số
đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi  m
2
m + 2
m > 0
 m ( m + 1) − 1 > 0
 m >0



m > 0
  m < −2
 2
 m − 2


⇔  ≤ 1
⇔ 
≥ 0 ⇔ m ≥ 2
 m < −2
 m < −2
⇔
 m
 m

m < 0
 2
 m −1

  m ≥ 2 ⇔ 0 < m ≤ 1


  m ≥ 2
  m ≤ 0
  m ≤ 1
 m ≥ 2
 0 < m ≤ 1



.

S = ( −∞; − 2 ) ∪ ( 0; 1] ∪ [ 2; + ∞ ) ⇒ a = −2; b = 0; c = 1; d = 2
Vậy
.
Do đó P = −2 − 0 + 1 − 2 = −3 .
Câu 54. Cho hàm số

f ( x ) = 2 x 3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 m
( là tham số thực). Có bao nhiêu giá

( 2; +∞ ) ?
trị nguyên dương của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
Lời giải
Đáp án: A

D. 2 .

Tập xác định: D = ¡ .

x = m
y′ = 0 ⇔ 
2
2
y′ = 6 x − 6 ( 2m + 1) x + 6 m ( m + 1)
 x = m + 1 (do ∆ = (2m + 1) − 4(m + m) = 1 ).
,
( −∞; m ) và ( m + 1; +∞ ) .
Suy r hàm số đồng biến trên các khoảng
*
Do đó hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1 . Do m ∈ ¥ nên m = 1 .
2

Câu 55. Tìm tập các giá trị của
A.
C.

( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .
( −∞; −2 ) .

B.
D.

m

để hàm số

y=

ln x − m
m ln x − 4 đồng biến trên khoảng ( e;+∞ ) .

( −∞; −2 ) ∪ [ 4; +∞ ) .

[ 2;+∞ ) .

Lời giải
Chọn B
t −m

yt =
x ∈ ( e; +∞ ) ⇒ t ∈ ( 1; +∞ )
mt − 4 .
Đặt t = ln x ,
và
y′x = yt′.t ′x =

Ta có

−4 + m 2  1 
÷
2 
( mt − 4 )  x 

Hàm số đồng biến trên khoảng

.

( e;+∞ ) ⇔

y′x =

−4 + m 2  1 
÷ > 0,
2 
∀x ∈ ( e; +∞ ) , ∀t ∈ ( 1; +∞ )
( mt − 4 )  x 

.


⇔

−4 + m 2

( mt − 4 )

2

> 0, ∀t ∈ ( 1; +∞ )

m > 2
−4 + m 2 > 0
m ≥ 4



m
<
−
2
⇔
⇔


⇔
,
∀
t
∈
1;
+∞
 m < −2
(
)
4

m
≠


t

 m ∉ ( 0; 4 )
.

y = − x 3 − 6 x 2 + ( 4m − 9 ) x + 4

Câu 56. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
nghịch

biến trên khoảng (
3

 −∞; − 
4 .
A. 

−∞; −1)

là
B.

[ 0; +∞ )

C.

( −∞; 0] .

 3

 − 4 ; +∞ ÷
.
D.

Lời giải
Chọn A
2

Ta có y′ = −3 x − 12 x + 4m − 9

Để hàm số nghịch biến trên khoảng

( −∞; −1)

⇔ 4m ≤ 3x 2 + 12 x + 9 ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔

y′ = −3 x 2 − 6 x + 4m − 9 ≤ 0 ∀x ∈ ( −∞; −1)
thì
4m ≤ min f ( x ) , f x = 3x 2 + 12 x + 9
( −∞ ; −1]

( )

f ' x = 6 x + 12; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −2
Ta có ( )
.
Khi đó, ta có bảng biến thiên

Suy ra

min f ( x ) = −3 ⇒ 4m ≤ −3 ⇔ m ≤

( −∞ ;0]

Câu 57. Cho hàm số
biến trên

−3

4 .

y = − x3 + 3 x 2 + ( m + 1) x − 2 m
( là tham số thực). Tìm mđể hàm số đã cho nghịch

( 0; 2 )

A. m < −4 .

B. m ≤ −4 .

Chọn

C. m ≤ 4 .
Lời giải

D. m < 4 .

B.

Ta có: y′ = −3 x + 6 x + m + 1
2

Hàm số đã cho nghịch biến trên
BBT của hàm số f (x)
x
f(x)
Từ BBT ta thấy

( 0; 2 ) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ m + 1 ≤ 3x 2 − 6 x =

f ( x), ∀x ∈ ( 0; 2 )

012
00
-3
m+ 1≤ f (x),∀x∈ ( 0;2) ⇔ m+ 1≤ −3 ⇔ m≤ −4
y=

ln x − m
m ln x − 4 đồng biến trên khoảng ( e; +∞ ) .

Câu 58. Tìm tập các giá trị của m để hàm số
−∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )
−∞; −2 ) ∪ [ 4; +∞ )
A. (
. B. (
.
−∞; −2 )
2; +∞ )
C. (
.
D. [
.


Lời giải
Chọn B
t−m
y

=
t
x
∈
e;
+∞
⇒
t
∈
1;
+∞
(
)
(
) và
mt − 4 .
Đặt t = ln x ,
−4 + m 2  1 
y′x = yt′.t x′ =
÷
2 
( mt − 4 )  x  .
Ta có
−4 + m 2  1 
y′x =
÷ > 0,
2 
mt − 4 )  x 
e; +∞ ) ⇔
∀x ∈ ( e; +∞ ) , ∀t ∈ ( 1; +∞ )

(
(
Hàm số đồng biến trên khoảng
.
m > 2
 −4 + m 2 > 0
m ≥ 4


m
<
−
2
⇔
⇔
−4 + m 2


, ∀t ∈ ( 1; +∞ )
 m < −2
⇔
> 0, ∀t ∈ ( 1; +∞ ) ⇔  m ≠ 4

2


( mt − 4 )
t

m ∉ ( 0; 4 )

.
3
2
Câu 59. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = x − 6 x + mx + 1 đồng biến trên khoảng

( 0; +∞ ) ?
A. m ≤ 0 .

B. m ≤ 12 .

C. m ≥ 0 .
Lời giải

D. m ≥ 12 .

Chọn D
2
Tập xác định: D = R . Ta có y ' = 3 x − 12 x + m .
( 0; +∞ ) ⇔ y′ ≥ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≥ −3x 2 + 12 x, ∀x > 0 .
Cách 1:Hàm số đồng biến trên
g ( x ) = −3 x 2 + 12 x
Xét hàm số
với x > 0 .

⇔ m ≥ max g ( x ) ⇔ m ≥ 12
( 0;+∞ )
YCBT
. Đáp án D
Cách 2:
 3 > 0, ∀m

 R n y ′ ≥ 0 ⇔ 
⇔ m ≥ 12
36
−
3
m
≤
0

TH1: Hàm số đồng biến trên
.
 ( 0; +∞ ) n y′ = 0 
 TH2: Hàm số đồng biến trên
có hai nghiệm x1 ; x2   thỏa x1 < x2 ≤ 0 .
'
'
+)  y = 0 có nghiệm x = 0n m = 0 . Nghiệm còn lại của  y = 0 là x = 4 (không thỏa mãn)

+) y ′ = 0 có hai nghiệm  x1 ; x2  thỏa

∆′ = 36 − 3m > 0
∆ ' > 0


x1 < x2 < 0 ⇔  S < 0 ⇔  S = 4 < 0
⇒ m  ∅
P > 0

m


 P= >0
3
